Главная » Файлы » 11 класс » Математика

ГДЗ по математике ЕГЭ Ященко 30 вариантов 2016

Если у вас возникли трудности при выполнении домашнего задания по предмету Математика, то ГДЗ по математике ЕГЭ Ященко 30 вариантов 2016 поможет вам. С помощью данного решебника вы сможете решить задания 11 класс. Книга ГДЗ по математике ЕГЭ Ященко 30 вариантов 2016 позволит вам найти правильное решение онлайн и исправить ошибки.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

13.02.2016, 11:46

9. Планиметрические задачи
9.1. Найдите площадь правильного треугольника, сторона которого равна стороне ромба с
диагоналями 1 0 и 1 2 .
9.2. Найдите периметр правильного треугольника, если центр описанной около него ок­
ружности удален от хорды, равной 2 , на расстояние 3.
9.3. В треугольнике АВС основание D высоты CD = \1з лежит на стороне А В . Найдите
АС , если АВ -- 3, AD = ВС .
9.4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 13, а
высота, опущенная на гипотенузу, равна 1 2 .
9.5. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена медиана СМ и вы­
сота С Н , причём точка Н лежит между А и М . Найдите отношение АН : AM , если
СМ : СН = 5:4.
9.6. Один из углов треугольника равен разности двух других, наименьшая сторона тре­
угольника равна 1 , а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторо­
нах, вдвое больше площади описанного около треугольника круга. Найдите наиболь­
шую сторону треугольника.
9.7. Окружность радиуса л/з, вписанная в прямоугольный треугольник АВС с углом
ZA = 30° , касается катета АС в точке К . Найдите ВК .
9.8. Окружность радиуса 3, центр О которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного
треугольника, касается катетов. Найдите площадь треугольника, если ОА = 5 .
9.9. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника
АВС, касается катетов АС и ВС в точках Е и D соответственно. Найдите Z B , если
АЕ - 1, BD = 3 .
9.10. В треугольнике АВС проведена биссектриса CD прямого угла. Из точки D опущен
перпендикуляр DM = \1з на сторону АС . Найдите ВС , если AD = 2л/з .
9.11. На стороне АВ треугольника АВС с углами ZA = 30° и ZB = 130° как на диаметре
построен круг. Найдите площадь части этого круга, лежащей внутри треугольника.
9.12. Две равных хорды окружности образуют вписанный угол величиной 30°. Найдите от­
ношение площади части круга, лежащей внутри угла, к площади всего круга.
9.13. Точка пересечения двух общих касательных к двум непересекающимся окружностям,
меньшая из которых имеет радиус г , лежит на линии их центров на расстоянии 6г от
центра большей окружности и делит отрезок касательной между точками касания в
отношении 1:3. Найдите площадь фигуры, состоящей из двух частей, ограниченных
касательными и большими дугами окружностей.
143
9.14. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, со­
единяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, равны.
9.15. Прямая, параллельная стороне А В треугольника А В С , пересекает стороны А С и В С в
точках М и N соответственно. Найдите A M : С М , если площадь треугольника M C N
вдвое больше площади трапеции A M N B .
9.16. Прямая, параллельная стороне А В - 5 треугольника А В С и проходящая через центр
вписанной в него окружности, пересекает стороны В С и А С в точках М и N соот­
ветственно. Найдите периметр четырёхугольника A B M N , если M N - 3.
9.17. В треугольнике А В С на сторонах А В и А С взяты точки М и N соответственно так,
что A M : М В = 3 : 2 и A N : N C = 4:5. В каком отношении прямая, проходящая через
точку М параллельно В С , делит отрезок B N ?
9.18. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная осно­
ваниям и пересекающая боковые стороны в точках Е и F , причём E F = 8 . Найдите
основания трапеции, если их отношение равно 4.
9.19. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника с острым уг­
лом а и радиусом описанной окружности R .
9.20. Найдите отношение высот треугольника А В С , опущенных из вершин А и В соо.твет-
, 1 . „ 1
ственно, если cos А - —, sin В = — .
5 2
9.21. Найдите углы треугольника со сторонами 10, 24 и 26.
9.22. В четырёхугольнике A B C D углы А и В прямые, А В = В С = 3 и B D = 5 . На сторонах
A D и C D взяты такие точки Е и F соответственно, что А Е = 1 и C F = 2. Найдите
площадь пятиугольника A B C E F .
9.23. Одно из оснований равнобедренной трапеции равно 4. Найдите расстояние между точками
касания с её боковыми сторонами вписанной в трапецию окружности радиуса 4.
9.24. В параллелограмме A B C D со сторонами А В = 2 и A D = 5 биссектриса угла А пересе­
кает биссектрисы углов В и D в точках К и L соответственно, а биссектриса угла С
пересекает те же биссектрисы в точках N и М соответственно. Найдите отношение
площади четырёхугольника K L M N к площади параллелограмма A B C D .
9.25. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если центр вписанной в него ок­
ружности делит биссектрису прямого угла в отношении у/З : у[2 , считая от вершины.
9.26. Найдите высоту, биссектрису и медиану, проведённые из вершины одного угла тре­
угольника, если они делят этот угол на четыре равные части, а радиус описанной око­
ло треугольника окружности равен R .
9.27. Найдите площадь треугольника со стороной а , противолежащим углом а и углом |3.
9.28. Найдите биссектрису прямого угла треугольника с гипотенузой с и острым углом а .
144
9.29.
9.30.
9.31.
9.32.
9.33.
9.34.
9.35.
9.36.
9.37.
9.38.
9.39.
9.40.
9.41.
9.42.
9.43.
В окружность радиусом R вписан равнобедренный треугольник с острым углом а при
основании. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
В окружность диаметром 25 вписан равнобедренный треугольник с боковой стороной
20. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
Около треугольника АВС описана окружность с диаметром AD = 2 . Найдите ВС , если
АВ = 1 и ZBAD : ZCAD = 4:3.
Окружность радиуса 5 с центром О , лежащим на стороне АВ треугольника АВС, ка­
сается сторон АС и ВС . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
АВС , если АО = 13 и ВО - 7 .
На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята такая точка D , что
CD = 2 и биссектриса CL перпендикулярна прямой DL . Найдите AL .
Две окружности радиусов 2 и 8 касаются друг друга внешним образом в точке А . Об­
щая касательная к ним, проведённая через точку А , пересекает другую общую каса­
тельную в точке В . Найдите А В .
Окружности радиусов 2 и 3 касаются друг друга внешним образом в точке А . Общая
Касательная к ним в точке А пересекает в точке В другую общую касательную, ка­
сающуюся в точке С меньшей окружности с центром О . Найдите радиус окружности,
вписанной в четырёхугольник ОАВС .
Вписанная в треугольник АВС окружность касается сторон АВ, ВС и АС в точках
К, L и М соответственно. Найдите K L , если AM = 2, МС = 3 и ZC = —
3
Вписанная в треугольник АВС окружность касается сторон АВ = 4 и АС - 3 в точках
М и N соответственно. Найдите площадь треугольника AMN , если ВС - 2 .
Вписанная в треугольник АВС окружность с центром О касается стороны ВС в точке
К . Найдите площадь треугольника ВОК , если АС = a, ZABC = а , а периметр тре­
угольника АВС равен 2р .
Прямая, касающаяся окружности в точке К , параллельна хорде АВ = 6 . Найдите ра­
диус окружности, если АК = 5 .
Диагонали вписанной в окружность трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите
площадь трапеции, если её периметр равен 18, а основания относятся, как 1:7.
Трапеция ABCD с основаниями ВС - а и AD = b вписана в окружность. Найдите ра­
диус окружности, если ZCAD = а .
Окружность, проходящая через вершины С и D параллелограмма ABCD, касается
прямой AD и пересекает прямую АВ в точках В и Е . Найдите А Е , если AD = 4 и
СЕ = 5.
Через точку К диаметра АВ окружности проведена хорда M N . Найдите А В , если
ZABM = 30°, ZBMK = 15° и М К = 3 .
145
9.44. Медианы ВМ и CN треугольника АВС взаимно перпендикулярны. Найдите площадь
треугольника АВМ , если ВС = а и АС = b .
9.45. Медианы ВМ и CN треугольника АВС пересекаются в точке К . Найдите расстояние
от точки К до прямой ВС , если ВС = a, ZB = р и ZC = у .
9.46. В треугольнике АВС проведена высота ВН и медиана В М . Найдите угол ZM BH , ес­
ли АВ = 1, ВС = 2 и AM = ВМ .
9.47. Найдите углы треугольника АВС, если его медиана ВМ равна половине стороны А С ,
а один из углов, образованных биссектрисой BL и стороной А С , равен 55°.
9.48. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и на боковую сторо­
ну, равны т и п соответственно. Найдите стороны треугольника.
9.49. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и С К . Найдите радиус
описанной около треугольника АВС. окружности, если НК = 2^2, а площади тре­
угольников АВС и ВНК равны 18 и 2 соответственно.
9.50. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и С К . Найдите площадь
круга, описанного около треугольника КВН , если АС = 1 и ZKCH = а .
9.51. Отрезок, соединяющий основания высот, проведённых к сторонам АВ и АС остро­
угольного треугольника АВС с углом ZA = а , равен I. Найдите В С .
9.52. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса A L .
Найдите AL , если BL -Ь и CL = с .
9.53. В равнобедренной трапеции с боковой стороной 5, основание высоты, проведённой из
вершины верхнего основания, делит нижнее основание на отрезки 12 и 3. Найдите
верхнее основание трапеции, её площадь, высоту и диагональ.
9.54. Найдите площадь треугольника со сторонами а, Ъ и с , его высоту, медиану и биссек­
трису, проведённые к стороне с , а также радиусы вписанной и описанной окружно­
стей.
9.55. В треугольник со сторонами а, b и с вписана окружность. Найдите расстояние от про­
тиволежащей стороне с вершины треугольника до ближайшей точки касания.
9.56. Зная медианы треугольника, найдите его площадь.
9.57. Зная высоты треугольника, найдите его площадь.
9.58. Стороны треугольника равны а, Ь, с . В каком отношении центр вписанной окружности
делит биссектрису, проведённую к стороне а ?
9.59. Углы треугольника равны а, Р, у . В каком отношении точка пересечения высот делит
высоту, проведённую из вершины угла а ?
9.60. Даны две непараллельные стороны а и b параллелограмма. Найдите его диагональ dx
по известной другой диагонали d2.
146
9.61. Какова площадь треугольника со сторонами: а) 5, 9, 12; б) 2, 3, 6 ; в) V5,VTo,Vl3 ?
9.62. Найдите углы треугольника площадью 3, если две его стороны равны 3 и 4.
9.63. В треугольнике АВС со стороной АВ = 5 и высотой BD = 3 найдите ZBAC.
9.64. Две стороны треугольника равны 1 и 2, а синус угла между ними равен —. Найдите
2
третью сторону и два других угла треугольника.
9.65. Существует ли треугольник с углами 71
3 ’
371 .7 1 — , arcsm — ?
7 4
10. Стереометрические задачи
10.1. В правильную шестиугольную пирамиду с высотой Н вписан один конус, а около неё
описан другой конус с радиусом основания R . Найдите разность объёмов этих конусов.
10.2. Конус вписан в правильную четырёхугольную пирамиду. Их общая высота равна
9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1. Найдите разность объёмов пирамиды
и конуса.
10.3. Через вершину S конуса проходит плоское сечение SAB площадью 42. Точки А и
В делят длину окружности основания конуса в отношении 1:5 . Найдите объём ко­
нуса, если ZSAB = arccos
10.4. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна d и об­
разует с двумя смежными гранями углы а и р соответственно.
10.5. Найдите сторону основания правильной треугольной призмы объёмом V , если угол
между диагоналями двух её боковых граней, проведёнными из одной вершины, ра­
вен а .
10.6. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды объёмом 36, если её
высота вдвое больше радиуса окружности, описанной около основания.
10.7. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды со сто­
роной основания, равной а , и углом ср между боковыми рёбрами.
10.8. Найдите двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды,
если угол между её боковыми рёбрами равен ф.
10.9. В правильной пирамиде SABC с рёбрами АВ - 1 и AS = 2 проведены биссектриса
AL боковой грани SAB и медиана ВМ основания АВС . Найдите L M .
10.10. На высоте правильной треугольной пирамиды взята точка, удаленная от бокового
ребра пирамиды на расстояние 4 /Vl3 и делящая высоту в отношении 1:2, считая
от вершины. Найдите объём пирамиды, если её боковые грани наклонены к основа­
нию под углом к/6 .
3
л/58 *
147
10.11. Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7,
8 и 9, если её боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60°.
10.12. Найдите объём пирамиды, если её основанием служит прямоугольный треугольник с
гипотенузой 3 и углом 30°, а боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60°.
10.13. Основанием пирамиды SABC с высотой SH служит прямоугольный треугольник АВС
5
с гипотенузой А В, а двугранные углы при рёбрах основания равны по arcsin — . Най-
13
дите площадь боковой поверхности пирамиды, если АН = 1 и ВН = 3>/2.
10.14. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды объёмом
эТз и высотой 3.
10.15. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если радиус описанной око­
ло неё сферы равен 2 , а боковое ребро в л/2 раз больше ребра основания.
10.16. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды вдвое больше её высоты. Най­
дите отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.
10.17. В правильной пирамиде SABC с высотой SH и ребром основания АВ - а угол меж­
ду боковым ребром и плоскостью основания равен ср. Найдите площадь сечения пи­
рамиды плоскостью, проходящей через точку Н параллельно рёбрам SA и ВС.
10.18. Плоскость, параллельная боковому ребру AS = a j 2 и ребру ВС = а основания АВС
правильной пирамиды SABC, проходит на расстоянии d от ребра AS. Найдите
площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
10.19. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой Н и двугранным
углом а при боковом ребре.
10.20. В правильной пирамиде SABCD с вершиной S боковое ребро равно а , а двугранный
угол при этом ребре равен ф. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, про­
ходящей через точки В, D и середину ребра SC.
10.21. Все рёбра правильной пирамиды SABCD с вершиной S равны по 2. Плоскость, па­
раллельная прямым АС и S B , пересекает рёбра АВ и ВС в точках М и N . Най­
дите периметр сечения пирамиды этой плоскостью, если MN = V2.
10.22. В правильной пирамиде SABCD с высотой 4 сторона основания SABC равна 6 . Точки
М и N — середины ребер ВС и CD . Найдите радиуё сферы, вписанной в пирамиду
SMNC.
10.23. На воздушном шаре, двигавшемся относительно Земли вдоль заданной параллели на
постоянной высоте, было совершено кругосветное путешествие. На какой широте со­
вершалось путешествие, если разность расстояний, пройденных верхней и нижней
точками шара, оказалась равной удвоенному диаметру шара?
10.24. Какими должны быть радиусы четырёх одинаковых шаров, чтобы их можно было
разместить внутри данной сферы радиуса R и при этом каждый шар касался сферы
и трёх других шаров?
148
10.25. Два шара радиуса г касаются друг друга и боковой поверхности конуса, а так же его
основания — в точках, симметричных относительно центра. Найдите объём конуса,
если его высота в 4/3 раза больше радиуса основания.
10.26. Площадь сечения правильной четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей
через вершину её основания перпендикулярно противоположному ребру, вдвое
меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение высоты пирамиды к бо­
ковому ребру.
10.27. Три параллельные прямые касаются в точках А, Б и С сферы с центром О и ра­
диусом 4. Найдите /А В С , если площадь треугольника АОС равна 4, а площадь тре­
угольника АВС больше 16.
10.28. Вне правильного тетраэдра ABCD взята такая точка М , что МА = МВ - МС = V97
и MD = \/2 . Найдите объём тетраэдра.
10.29. Стороны АВ = 6 и CD основания ABCD пирамиды SABCD параллельны,
AD = 4, AS = 2Vl4 и ZBAD = 120°. Найдите объём пирамиды, если через каждую из
прямых АВ и CD можно провести по плоскости, которые не содержат основание пи­
рамиды и пересекают её по равным четырёхугольникам.
10.30. Основанием прямой призмы служит ромб ABCD с ZA = 120°. На боковых рёбрах
АА', ВВ' и СС взяты такие точки К, L и М соответственно, что угол между пря­
мыми KL и АВ равен 45°, а между прямыми LM и ВС — 30°. Найдите угол ме­
жду плоскостями KLM и АВС.
10.31. Площадь сечения правильной треугольной пирамиды, проходящего через её боковое
ребро, равное Vl3 , и высоту, вдвое больше площади её основания. Найдите площадь
её боковой грани.
10.32. На ребре AS правильной пирамиды SABC объёмом V взята такая точка D , что
SD : DA = т : п . Расстояние от центра основания АВС до плоскости BCD равно d .
Найдите площадь треугольника BCD.
10.33. На боковых рёбрах АА' и ВВ' треугольной призмы АВСА'В'С' объёмом V взяты та­
кие точки D и Е соответственно, что AD = DA' и BE : BE' = 1:2. Найдите объём
призмы, заключённой между плоскостями АВС и DEC.
10.34. Найдите площадь поверхности параллелепипеда объёмом 8 , вписанного в сферу ра­
диуса V3 .
10.35. На каком расстоянии от ребра SA правильной пирамиды SABC с вершиной S
должна проходить плоскость, параллельная рёбрам ВС = а и AS = Ъ, чтобы площадь
сечения пирамиды этой плоскостью была максимальной?
10.36. Основанием пирамиды SABCD служит квадрат ABCD со стороной 15, а радиус впи­
санного в пирамиду шара равен 3. Найдите высоту пирамиды, если она совпадает с
ребром S A .
149
10.37. Хорды АА' , ВВ' - 18 и СС сферы радиуса 11 взаимно перпендикулярны и пересе­
каются в точке М , находящейся на расстоянии V59 от центра сферы. Найдите АА',
если СМ : М С = (8 + >/2): (8 - 42).
10.38. На рёбрах АВ, ВС и CD правильного тетраэдра ABCD с ребром 1 взяты такие точки
К, L и М соответственно, что АК = 1/2 и BL - СМ - 1/3 . Плоскость KLM пересека­
ет прямую AD в точке N . Найдите угол между прямыми NK и NL .
10.39. Точка М равноудалена от вершин А и D правильного тетраэдра ABCD, а от каж­
дой из вершин В и С находится на расстоянии л/З/2 . Прямая МС перпендикуляр­
на высоте DH треугольника ACD. Найдите объём тетраэдра.
10.40. В правильную пирамиду SABCD вписана сфера радиуса 2. Этой сферы, граней
BSC, CSD и основания ABCD пирамиды касается, другая сфера радиуса 1. Найдите
объём пирамиды и двугранный угол при боковом ребре.
10.41. Найдите ребро основания правильной призмы АВСА'В'С' с боковым ребром АА' = 2 ,
если угол между скрещивающимися прямыми АС' и А'В равен а < 60°.
10.42. На ребре BD тетраэдра ABCD взята такая точка Е , что DE : BE = 3:5. Найдите
отношение, в котором плоскость, проходящая через точки А и D параллельно ме­
диане ВМ треугольника АВС , делит объём тетраэдра.
10.43. На рёбрах AD и BD тетраэдра ABCD взяты такие точки Е и F соответственно, что
DE : АЕ = SF : BF = 1:2. Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая че­
рез точки Е и F параллельно ребру СВ, делит объём тетраэдра.
10.44. Двугранный угол при ребре АВ тетраэдра ABCD равен тс/4. Найдите ZDAC , если
ZDAB = тг/2 и ZBAC = Зтг/4 .
10.45. Двугранный угол при ребре АС тетраэдра ABCD равен л/4. Найдите B D , если
АВ = 2, AD = л/2 , ZBAC = я/ 6 и ZCAD = тг/2 .
10.46. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра ABCD, если АВ = ВС = 2, АС = 1,
а ребро CD = 4 перпендикулярно рёбрам АВ и АС.
10.47. Найдите радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра, две вершины которо­
го лежат на диагонали куба с ребром 2 , а две другие вершины - на диагонали грани
этого куба.
10.48. Пусть ABCD — прямоугольник, а точка Е не лежит в его плоскости. Найдите угол
между двумя прямыми, по которым пересекаются две пары плоскостей ABE, CDE и
ВСЕ, ADE.
10.49. Дан тетраэдр ABCD с углом ZABC = р < 90°. Найдите угол между двумя прямыми,
проходящими через две пары точек: середины ребер АС, ВС и середины ребер
BD, CD.
150
10.50. Точка А находится на расстоянии а от данной плоскости и на расстоянии b от
прямой L , лежащей в этой плоскости. Найдите расстояние от проекции точки А на
плоскость до прямой L.
10.51. Найдите угол между боковым ребром а правильной треугольной пирамиды и плоско­
стью её основания со стороной Ъ.
(
10.52. В одной из граней двугранного угла величины а взята точка А на расстоянии d от
ребра двугранного угла. Найдите расстояние от точки А до плоскости второй грани.
10.53. Пусть А' — проекция точки А на данную плоскость, АА' = а . Через точку А про­
ходит другая плоскость, образующая с данной плоскостью угол а и пересекающая её
пр прямой L . Найдите расстояние от точки А ’ до прямой L.
10.54. В пирамиде SABC с ZABC = а точка В — проекция точки S на плоскость АВС.
Найдите величину угла между гранями SAB и SBC.
10.55. На ребре ВС = 4 куба ABCDA'B'C'D' взята середина М , а на ребре A'D' — такая
точка N , что A'N = 1. Найдите длину кратчайшего пути из точки М в точку N по
поверхности куба.
10.56. Найдите объём куба ABCDA’B'C'D' , если сфера радиуса V41 проходит через точки
А, В, С и середину ребра A'D' .
10.57. Расстояния от концов отрезка до некоторой плоскости равны 1 и 3. Чему может быть
равно расстояние от середины этого отрезка до той же плоскости?
10.58. Боковые грани пирамиды SABC одинаково наклонены к основанию
АВС, АС = 3, ВС = 4, SC = V38 и ZACB = 90° . В пирамиду вписан цилиндр площадью
боковой поверхности 8л/3; нижнее его основание лежит в плоскости АВС, а верхнее
имеет по одной общей точке с каждой боковой гранью. Каким может быть радиус
основания этого цилиндра?
10.59. Чему может быть равна сумма углов, образуемых произвольной прямой с данной
плоскостью и с перпендикуляром к ней?
10.60. Какие значения может принимать величина угла, получаемого в сечении произволь­
ной плоскостью фиксированного двугранного угла величины а ?
11. Задачи на доказательство
11.1. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
а) треугольник — правильный;
б) все медианы треугольника равны;
в) все высоты треугольника равны;
г) все биссектрисы треугольника равны.
11.2. Докажите, что из медиан любого треугольника можно сложить треугольник. Верно
ли аналогичное утверждение для высот треугольника?
151
11.3. Докажите, что угол между секущими, выходящими из точки вне круга, измеряется
полуразностью двух дуг окружности, расположенных внутри угла.
11.4. Докажите, что вертикальные углы между пересекающимися хордами измеряются
полусуммой двух дуг окружности, на которые они опираются.
11.5. Докажите, что угол между касательной к окружности и хордой, выходящей из точки
касания, измеряется половиной дуги, заключённой между ними.
1 1 .6 . Хорды АВ и CD окружности с центром в точке О радиуса R пересекаются в точке
Е. Докажите, что АЕ ■ BE - СЕ • DE = R2 - ОЕ2.
11.7. Через точку А, лежащую вне окружности с центром в точке О радиуса Я, проведена
секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках Б и С, а касатель­
ная касается окружности в точке D. Докажите, что AD2 = АВ • АС = АО2 - R2.
1 1 .8 . Пусть AD — биссектриса внутреннего или внешнего (в этом случае точка D лежит
на продолжении ВС ) угла треугольника АВС . Докажите, что BD : CD = АВ : АС .
11.9. Докажите, что в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность то­
гда и только тогда, когда АВ + CD = AD + ВС .
1 1 .1 0 . Докажите, что четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность тогда и только
тогда, когда ZA + ZC = ZB + ZZ).
1 1 .1 1 . Докажите, что если точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, то плоскость, про­
ходящая через середины отрезков A D , BD , CD , параллельна:
а) прямой А В ;
б) плоскости АВС.
1 1 .1 2 . Докажите, что в пространстве для любых четырёх различных точек А, В, С, D сере­
дины К , L, М, N отрезков А В , ВС , CD , DA соответственно служат вершинами па­
раллелограмма KLMN .
11.13. Докажите, что если три прямые в пространстве не проходят через одну точку и по­
парно пересекаются, то они лежат в одной плоскости.
11.14. Три прямые проходят через точку А. Точки В, В' — точки одной прямой, С, С' —
точки другой прямой, D,D' — точки третьей прямой. Докажите, что отношение
объёмов пирамид ABCD n A ’B'C'D' равно (АВ • АС • A D ): (АВ' • АС' • AD').
11.15. Докажите, что отношение площади многоугольника, расположенного в одной плоско­
сти, к площади его проекции на другую плоскость равно 1 : cos q>, где ф — угол между
плоскостями.
11.16. Докажите, что если S и Р — площади двух граней тетраэдра, а — их общее ребро, а
„ ^ .. 2SP sin а а — двугранный угол между ними, то объем этого тетраэдра равен
За
11.17. Докажите, что если а и Ъ — противоположные рёбра тетраэдра, d — расстояние
^ .. abd sin а между ними, а а — угол между ними, то объем этого тетраэдра равен
6
152
11.18. Докажите, что плоскость, делящая пополам двугранный угол при ребре тетраэдра, де­
лит противоположное ребро на части, пропорциональные площадям граней, заклю­
чающих этот угол.
* * *
11.19. Найдите геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух разных то­
чек этой плоскости.
11.20. Найдите геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух разных
прямых этой плоскости.
11.21. Найдите геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от трёх попарно пе­
ресекающихся прямых этой плоскости.
11.22. Даны две разные точки А и В плоскости и число а е [0;л]. Найдите геометрическое
место точек М ф А, В плоскости, для которых ZAMB = а.
11.23. Пусть А — фиксированная точка, не лежащая в данной плоскости, а М — произ­
вольная точка этой плоскости. Найдите геометрическое место середин отрезков AM.
11.24. Найдите геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат в двух па­
раллельных плоскостях.
11.25. Даны две разные точки А и В пространства. Найдите геометрическое место точек
М ф А, В пространства, для которых ZAMB - 90°.

12.26. Докажите, что если р — простое число, большее 3, то число р2 - 1 делится нацело
на 24.
12.27. Докажите, что если р и q — простые числа, большие 3, то число р 2 - q2 делится
нацело на 24.
12.28. Докажите, что число 210 + 512 — составное.
12.29. Докажите, что число 222333 + ЗЗЗ222 — составное.
12.30. Докажите, что число 20Ю2010 - 1 делится на 2009.
154
12.31. Докажите, что если сумма цифр десятичной записи числа п равна сумме цифр деся­
тичной записи числа 2п, то число п делится на 9. Верно ли обратное утверждение?
12.32. Найдите все числа вида 34*5у , кратные 36.
12.33. Докажите, что для любого натурального п число п2 + п чётное.
12.34. Докажите, что для любого целого п число п3 + 2п делится на 3.
12.35. Докажите, что для любого целого п число п3 + 5п делится на 6 .
12.36. Докажите, что для любого целого п число пъ - п делится на 30.
12.37. Докажите, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111,... нет числа, являющегося
квадратом натурального.
12.38. Докажите, что все числа вида 16, 1156, 111556, 11115556,... являются полными
квадратами.
12.39. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 54 и 72.
12.40. Докажите, что при любом натуральном значении п числа Зтг + 5 и 5п + 8 взаимно
просты.
12.41. Докажите, что для любого натурального п наибольший общий делитель чисел
тг2 + Юн + 21 и п2 + 9п + 18 равен п + 3 .
12.42. Докажите, что для любого натурального п наименьшее общее кратное чисел
п2 +6п + 9 и п + 4 равно п3 + 10п2 + 33п + 36 .
12.43. Докажите, что ни при каком целом п число п2 + Ъп + 16 не делится на 169.
12.44. Запишите число 0,11(7) в виде обыкновенной дроби.
12.45. Докажите, что числа \[2 и V2 + 7 з — иррациональные.
12.46. Докажите, что числа log2 3 и log4 6 — иррациональные.
12.47. Решите уравнение Зле — 4i/ = 1 в целых числах.
12.48. Докажите, что уравнение х2 + 1 = 3у не имеет решений в целых числах.
12.49. Решите уравнение ху + х + у - 0 в целых числах.
12.50. Докажите, что если хотя бы одно из рациональных чисел р и q отлично от - 2 , то
ни один из корней уравнения х2 + рх + q = 0 не равен 1 + >/3 .
155
13. Задачи экономической тематики
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
13.6.
13.7.
31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% го­
довых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на
14%), затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Вла­
димир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два го­
да)?
31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5% го­
довых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на
12,5%), затем Сергей переводит в банк х рублей, Какой должна быть сумма х, чтобы
Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
31 декабря 2014 года Геннадий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты
кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет процен­
ты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Геннадий
переводит очередной транш. Геннадий выплатил кредит за два транша, переведя в
первый раз 600 тыс. рублей, во второй 55 тыс. рублей. Найдите а.
Фёдор хочет взять в кредит 1,2 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год
равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка
процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Фёдор взять кре­
дит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
1 января 2015 года Михаил Юрьевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема вы­
платы кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2
процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Миха­
ил Юрьевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев
Михаил Юрьевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более
250 тыс. рублей?
31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый
процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следую­
щего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает
долг на а%), затем Максим переводит очередной транш. Если он будет платить каж­
дый год по 1 640 250 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 936 250 рублей, то
за 2 года. Под какой процент Максим взял деньги в банке?
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата
таковы:
— 1 -го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше
долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1027,5 тыс. рублей.
Какую сумму планируется взять в кредит?
156
13.8. 15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата
таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше
долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно выплатить 29,6 тыс. рублей.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
13.9. 15-го января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата
таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше
долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно
выплатить банку за весь срок кредитования?
13.10. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно вы­
ращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой
пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором
— 300 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором -
500 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свеклу - по цене
3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
13.11. В двух областях есть по 40 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов
в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час до­
бывает 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи х кг
алюминия в день требуется х 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в
день требуется у2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём
1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов
можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
13.12. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов
в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час до­
бывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг
алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в
день требуется у 2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности
производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1
кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов
так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько
килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
157
13.13.
13.14.
13.15.
14.1.
14.2.
14.3.
14.4.
В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 80 рабочих,
каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час
добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Во второй шахте имеется 180 рабочих,
каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час
добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности
производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1
кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов
так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько
килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут
быть стандартные номера площадью 2 1 квадратный метр и номера «люкс» площадью
49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, состав­
ляет 653 квадратных метра. Предприниматель может поделить эту площадь между
номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000
рублей в сутки, а номер «люкс» - 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму
денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 9000 рублей. В конце каж­
дого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей мо­
жет продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год
сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен
продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги
сумма на банковском счёте была наибольшей?

15. Задачи с целыми числами
Первый член геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем, равным 5,
а разность между утроенным вторым членом и половиной третьего - больше 20. Най­
дите знаменатель прогрессии.
После деления двузначного числа на сумму его десятичных цифр в частном получи­
лось 7, а в остатке 6. После деления того же числа на произведение его цифр в част­
ном получилось 3, а в остатке 11. Найдите это число.
162
15.3.
15.4.
15.5.
15.6.
15.7.
15.8.
15.9.
15.10.
15.11.
15.12.
15.13.
Ученик перемножил два данных натуральных числа и допустил ошибку, увеличив
произведение на 372. Поделив для проверки полученный результат на меньшее из
данных чисел, ученик правильно получил в частном 90 и в остатке 29. Найдите дан­
ные числа.
Мастер делает в час целое число деталей, большее 5, а каждый из его учеников - на
2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика
вместе на 1 ч быстрее. Из какого числа деталей состоит заказ?
На факультет подано от немедалистов на 600 заявлений больше, чем от медалистов.
Девушек среди немедалистов больше, чем среди медалистов, в 5 раз, а юношей сре­
ди немедалистов больше, чем среди медалистов, в п раз, где п — натуральное
число, и 6 < п < 13. Найдите общее число заявлений, если среди медалистов юно­
шей на 20 больше, чем девушек.
Имеется два проекта застройки микрорайона. По первому проекту предполагается по­
строить несколько одинаковых домов, содержащих в общей сложности 12 096 квар­
тир. По второму проекту предполагается построить на 8 домов больше, причём домов
также одинаковых, но с большим числом квартир в каждом, и содержащих в общей
сложности 23 625 квартир. Сколько домов предполагается построить по первому про­
екту?
Авиалинию, связывающую два города, обслуживают самолёты только трёх типов.
Каждый самолёт первого, второго и третьего типа может принять на борт соответст­
венно 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолёты ли­
нии могут принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найдите
число действующих на линии самолётов каждого типа, если их общее число не пре­
восходит 8.
На клетчатой бумаге выделен прямоугольник размером тхп клеток, причём числа
т и п взаимно простые и т < п . Диагональ этого прямоугольника не пересекает
ровно 116 его клеток. Найдите все возможные значения т и п при данных условиях.
А, И, Б сидели на трубе в указанном порядке. К ним стали подсаживаться другие
буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите равнялся
сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих букв. С некоторого момента бук­
вы стали циклически повторяться.
1) Какая буква в циклически повторяющемся наборе встречалась наиболее часто?
2) Может ли циклически повторяющийся набор при каких-либо других начальных
буквах состоять из одной буквы? Если да, то из какой?
тт „ (2х + 2у + 24jc — 28у + 167 < 0, Найдите все целочисленные решения системы <
[х + 2у < 15/2.
тт „ [7875х2 = 567у3, Найдите все целочисленные решения системы «
[| х |< 25.
Найдите все целочисленные решения уравнения 3(х - З)2 + 6у 2 + 2z2 + 3y 2z2 = 33 .
Найдите все целочисленные решения уравнения 3* = 5у 2 + 4у - 1 и докажите, что
для любого такого решения (*, у) число х3 + z/3 — нечётное.
163
15.14. Найдите наименьшее нечётное натуральное число, кратное 9 и дающее остаток 7 при
делении на 13.
15.15. Первая бригада изготовила деталей на 15% больше, чем вторая. Все детали уложи­
ли в два ящика: в первый ящик - менее 1000 деталей, а во второй - более 1000.
Сколько деталей положили в первый ящик, если в нем оказалось 2/3 деталей, из­
готовленных первой бригадой, и 1/7, изготовленных второй?
15.16. Найдите число студентов, сдавших экзамен, если шестая их часть получила оценку
«удовлетворительно», 56% — «хорошо», а 14 человек — «отлично», причём отличники
составили более 4%, но менее 9% от общего числа экзаменовавшихся студентов.
15.17. Экзаменующиеся сдавали экзамены в два потока в нескольких аудиториях. В каж­
дом потоке число экзаменующихся в каждой аудитории, было равно числу аудито­
рий. Если бы экзамены проводились в другом корпусе, то их пришлось бы провести
в три потока, причём в каждом потоке в каждой аудитории экзаменующихся удалось
бы рассадить по рядам так, что число рядов, а также число людей в ряду было бы
равным числу аудиторий. Какое наименьшее число экзаменующихся могло быть
проэкзаменовано при этих условиях?
15.18. В двух коробках лежали карандаши: в первой - красные, во второй - синие, причём
красных было меньше, чем синих. Сначала 40% карандашей из первой коробки пе­
реложили во вторую. Затем 20% карандашей, оказавшихся во второй коробке, пере­
ложили в первую, причём половину из переложенных карандашей составляли синие.
В итоге красных карандашей в первой коробке оказалось на 46 больше, чем во вто­
рой. Найдите общее количество синих карандашей.
15.19. Найдите все пары целых чисел а и b , для каждой из которых уравнение
Jn2 - г 2 Jn2 - г2
arcsin —------------а ■ 2amnax - | arcsin —---------- + a - 2smnax | = 2аЪ имеет не менее 10 раз-
а а
личных корней.
15.20. Найдите все значения а , при каждом из которых неравенство а3 \ у |< V2(a2 - х2)
имеет наименьшее количество целочисленных решений.
15.21. Найдите все значения а , при каждом из которых неравенство
x2-3x + 3|x + a| + a< 0 имеет наибольшее количество целочисленных решений.
15.22. Найдите все целочисленные решения неравенства \1х3 - 5х - 3 < 6 - х .
15.23. Найдите все целочисленные решения уравнения (х2 + у2)(х + у - S) - 2ху .
15.24. Найдите все пары натуральных чисел х, у , удовлетворяющие системе
|2 х + 47 < 22у - 2у2,
[7х + 14 < 4у.
15.25.
\х2 + у 2 < 16х - 22у - 171,
Найдите все целочисленные решения системы <
[ЗОх - у2 > 252 + х2 + 14у.
164
15.26.
15.27.
15.28.
15.29.
15.30.
15.31.
15.32.
15.33.
15.34.
Найдите все целые а , при каждом из которых графики функций у = - 2а) и
у = log2(:x; - 2 а 3 - За2) пересекаются в точке с целочисленными координатами.
Найдите все а , при каждом из которых уравнение
|7зу— +( 3 ) — [UJ UJ
ЗГЗ
512
'3
U
2а-2х-3
- 4 + 2 = 0
имеет хотя бы один корень, и все его корни - целочисленные.
Первые 80 км пути из одного пункта в другой автобус идёт по шоссе, а оставшиеся
120 км - по грунтовой дороге, на два часа дольше. Совершив более четырёх рейсов
по маршруту туда и обратно, он затратил менее 168 ч, включая стоянки в конечных
пунктах. Найдите скорости движения автобуса по шоссе и по грунтовой дороге, если
за время, которое автобус провел в движении, он со скоростью, равной среднему
арифметическому этих двух скоростей, проехал бы 2100 км.
Когда груз разложили в вагоны по 80 т, один вагон оказался недогружен. Если бы
груз разложили в вагоны по 60 т, то понадобилось на 8 вагонов больше, причём один
вагон опять оказался недогруженным. Если груз разложили в вагоны по 50 т, то по­
надобилось еще на 5 вагонов больше, причём все вагоны оказались полными. Найди­
те вес груза.
В саду было подготовлено чётное число ям для посадки деревьев. После посадки яб­
лонь, груш и слив оказалось, что использовано менее трети ям, груш посажено на 6
больше, чем яблонь, а свободных ям оказалось втрое больше, чем посажено слив.
Если бы яблонь посадили втрое больше, то свободных осталось бы 59 ям. Сколько ям
для посадки было подготовлено?
Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрес­
сия с разностью 4 при условии, что квадрат её первого члена в сумме с остальными
членами не превосходит 100?
В двух ящиках содержится в общей сложности более 29 деталей. Число деталей, со­
держащихся в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем втрое превышает число
деталей, содержащихся во втором ящике. Утроенное число деталей, содержащихся в
первом ящике, превышает удвоенное число деталей, содержащихся во втором ящи­
ке, но менее чем на 60. Сколько деталей содержится в каждом ящике?
Три мальчика хотели вместе купить две одинаковые игрушки. Сложив все имеющиеся
у них деньги, они не смогли купить даже одну игрушку. Если бы у первого мальчика
было вдвое больше денег, то им на покупку двух игрушек не хватило бы 34 коп. Ко­
гда третьему мальчику добавили вдвое больше денег, чем у него было, после покупки
двух игрушек у них еще осталось 6 коп. Сколько стоили игрушки, если первоначаль­
но у второго мальчика было на 9 коп. больше, чем у первого?
Число двухкомнатных квартир в доме вчетверо больше числа однокомнатных, а чис­
ло трёхкомнатных квартир кратно числу однокомнатных. Если число трёхкомнат­
ных квартир увеличить впятеро, то их станет на 22 больше, чем двухкомнатных.
Сколько всего квартир в доме, если их не меньше 100?
165
15.35. Найдите все целочисленные решения уравнения
9 х2у2 + 9 ху2 + 6 х2у + х2 + 2у2 +18 ху + 5х + 7у + 6 = 0.
15.36. Найдите все целочисленные решения уравнения
14х4 - 5у 4 - Зх2у 2 - 125л:2 + 82у2 + 51 = 0 .
15.37. Найдите все целочисленные корни уравнения cos ^ |3 х - л/9л;2 + 160л; + 800 j = 1
15.38. Найдите все целочисленные решения системы
^ х г +2ху+1
' . ЗЯ2 sin-----
I 2
= 7]yl~1(z + 2),
= 1.
15.39. Найдите все значения а , при каждом из которых система
12л;2 - 4х - 2ху + Зу - 9 = 0,
аху + ayz + azx > xyz
имеет ровно пять различных решений в натуральных числах.
15.40. Решите уравнение cos|к[х + 7yfx^jsin -^-(4х + 4х = 1.
15.41. Найдите все тройки чисел (х, у, z) , удовлетворяющие равенству
уЗх2 - 2z2 + 2у2 + 2z - 6у + ~ ~ х ~ 41 + у]2х2 - 4>/2(cos ку + cos кг) - 0.
15.42. Найдите все целочисленные решения уравнения xz + 1953100 ху - 1995lw>yz = 0 -100 . 2
15.43. В ящике находится 13 черных шаров и 17 белых. Разрешается:
а) увеличить на 1 число черных шаров и одновременно увеличить на 4 число белых;
б) увеличить на 2 число черных шаров и одновременно уменьшить на 1 число белых;
в) уменьшить на 4 число черных шаров и одновременно увеличить на 5 число белых;
г) уменьшить на 5 число черных шаров и одновременно уменьшить на 2 число белых.
Можно ли, совершая в каком-либо порядке и количестве описанные действия, до­
биться, чтобы в ящике оказалось 37 черных шаров и 43 белых?
15.44. Две бригады землекопов одинаковой производительности каждый вырыли по одина­
ковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в
первой бригаде было на 5 человек больше, то она закончила бы работу на 2 ч рань­
ше. Найдите число землекопов в каждой бригаде.
15.45. Рота солдат прибыла на парад прямоугольным строем по 24 человека в ряд, однако не
все прибывшие солдаты смогли участвовать в параде. Оставшийся для парада состав
перестроили так, что число рядов уменьшилось на 2, а число солдат в каждом ряду
стало на 26 больше числа новых рядов. Если бы все солдаты участвовали в параде, то
роту можно было бы построить в виде квадрата. Сколько солдат было в роте?
166
15.46. Три фермера привели баранов для продажи на ярмарке: первый — 10, второй — 16,
третий — 26. В первый день они установили одинаковую цену (в целое число руб­
лей), и каждый продал не менее одного барана, но не всех. Во второй день они про­
дали остальных баранов, опять же по одинаковой, но более низкой цене. По какой
цене продавались бараны в первый и во второй день, если каждый фермер выручил
от продажи по 3500 руб.?
15.47. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сна­
чала по 5%, затем по Н-^%, по 7у% и, наконец, по 12%. Под действием каждой
новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении сро­
ка хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок
хранения вклада.
15.48. Пусть — — несократимая дробь, где т и п — натуральные числа. На какие нату-
п
ральные числа можно сократить дробь —— , если известно, что она сократима?
5 п + 2 т
15.49. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысив­
ших во втором полугодии успеваемость, заключён в пределах от 2,9% до 3,1%. Ка­
ково наименьшее число учеников в классе?
15.50. Из строительных деталей двух видов можно собирать дома трёх типов. Для сборки
12-квартирного дома необходимо 70 деталей первого вида и 100 второго, для сборки
16-квартирного дома — 110 деталей первого типа и 150 второго, а для сборки 21-
квартирного дома — 150 деталей первого типа и 200 второго. Всего имеется 900 де­
талей первого вида и 1300 второго. Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы
общее количество квартир в них было наибольшим?
15.51. С завода на стройку нужно перевезти 24 больших и 510 маленьких бетонных блоков.
Доставка блоков осуществляется автомашинами, каждая из которых вмещает 44 ма­
леньких блока и имеет грузоподъёмность 19 т. Масса маленького блока 0,2 т, боль­
шого — 3,6 т, большой блок занимает место 14 маленьких. Найдите наименьшее
число рейсов, достаточное для перевозки всех блоков.
15.52. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства 4 ■ 32х+1 +3* < 1.
15.53. В магазине продаются гвоздики и розы. Гвоздика стоит 1,5 у.е., роза — 2 у.е. На по­
купку гвоздик и роз можно затратить не более 30,5 у.е. При этом число гвоздик не
должно отличаться от числа роз более чем на 6. Необходимо купить максимально воз­
можное суммарное количество цветов, при этом гвоздик нужно купить как можно
меньше. Сколько гвоздик и сколько роз можно купить при указанных условиях?
15.54. Множество состоит из более семи различных натуральных чисел, наименьшее общее
кратное которых равно 210, а произведение — делится на 1920 и не является квад­
ратом никакого целого числа, причём наибольший общий делитель любых двух из
них больше единицы. Найдите все числа, составляющие это множество.
167
15.55.
15.56.
15.57.
15.58.
15.59.
15.60.
Сколько точек с целочисленными координатами находится строго внутри криволи-
3
нейной трапеции, образованной осью абсцисс, прямыми х = —, х - 129 и графиком
2
функции у = log2 X ?
X . О
Найдите все целые значения п , для каждого из которых число \og2n_l(n +2) явля­
ется рациональным.
2000
^ ^ 123456788...877654321 Сократите дробь —-------------------------------- до несократимой.
12345678 99...987654321
Tl99jT
Сколькими способами можно разбить на две команды группу из 7 мальчиков и
8 девочек так, чтобы в одной из команд было ровно 4 мальчика и 3 девочки?
Билеты имеют номера от 000001 до 999999. Билет считается «счастливым», если
первые три его цифры нечётны и различны, а вторые - чётны, причём цифры 7 и 8
не стоят рядом. Сколько существует различных номеров «счастливых» билетов?
Имеются 12 карандашей попарно различной длины. Сколькими способами можно
уложить их в коробку в два слоя по шесть карандашей так, чтобы в каждом слое ка­
рандаши были упорядочены по возрастанию длины (слева направо), а каждый каран­
даш верхнего слоя лежал строго над карандашом нижнего слоя и был короче каран­
даша?

 


Категория: Математика | Добавил: Админ | Теги: Ященко
Просмотров: | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
Смотрите также:

ГДЗ по математике ЕГЭ Ященко 30 вариантов 2016 скачать бесплатно

Всего комментариев: 0
avatar