Тема №5726 Ответы к задачам по физике Джанколи (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Джанколи (Часть 4) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Джанколи (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа


73 (III) Нить одним из своих концов прикреп­
лена к грузу, который может скользить по
наклонной плоскости; другой ее конец намотан
вокруг цилиндра, покоящегося в углублении на
вершине наклонной плоскости (рис. 9.31). Оп-
М= 1.6 кг
Я = 0.20 м
ределите скорость груза после того, как он
пройдет расстояние 1,20 м вдоль наклонной
плоскости, если он начинает движение из сос­
тояния покоя. Считайте при этом, что а) тре­
ние отсутствует и б) коэффициент трения меж­
ду всеми поверхностями одинаков и равен
р = 0,15. (Подсказка: в случае «б» определите
сначала нормальную силу, действующую на
цилиндр, и сделайте любые необходимые ра­
зумные предположения.)

Задачи
Раздел 10.1
1. (I) Покажите, что a) ixi=jxj = kxk =
= 0; б) i х j = k, i x k = -j , j x k = i.
2. (I) Рассмотрите частицу твердого тела, вра­
щающегося относительно неподвижной оси.
Покажите, что тангенциальная (касательная) и
радиальная составляющие вектора линейного
ускорения равны соответственно
ат = а х г, ас = со х v.
3. (II) Используя процедуру нахождения пре­
делов, изложенную в гл. 2, в частности в при­
мере 2.3, получите соотношение (10.2г).
4. (II) Докажите дистрибутивный (перемести­
тельный) закон для векторного произведения
[соотношение (10.2в)].
5. (II) а) Покажите, что векторное произведе­
ние двух векторов
А = Ах\ + Ауj -I- Azk и В = Вх\ + By} + Bzк
записывается в виде
А х B = (AyBz- A z By)i + (Az Bx- A x Bz)] +
+ (Ах Ву-АуВх)к.
б) Покажите, что векторное произведение
можно представить в виде
i j к
А х В = Ах Ау Аг
в х By в г
где используется правило вычисления опреде­
лителя матрицы. (Заметим, однако, что, строго
говоря, это не определитель, а просто некое
правило, облегчающее запоминание.)
6. (III) Покажите, что скорость v любой точки,
принадлежащей твердому телу, вращающемуся
с угловой скоростью со вокруг неподвижной
оси, может быть записана в виде
V = СО X г,
где г-радиус-вектор этой точки относительно
начала отсчета О, расположенного на оси вра­
Вопросы. Задачи 323
щения. М ожет ли при этом О находиться в
любой точке, принадлежащей оси? Выполняет­
ся ли равенство v = со х г, если начало отсчета
О расположено в точке, не принадлежащей оси
вращения?
7. (III) Пусть заданы три вектора А, В, С, не
лежащие в одной плоскости (некомпланарные
векторы). Покажите, что справедливы сле­
дующие равенства: А • (В х С) = В • (С х А) =
= С • (А х В). Подсказка: обратитесь к решению
предыдущей задачи.
Раздел 10.2
8. (II) Начало системы координат помещено в
центре колеса. Колесо может вращаться в
плоскости ху вокруг оси, проходящей через
начало координат. В точке с координатами
х = 10 см, у = 35 см к колесу приложена сила
F — 83 Н, направленная под углом 30° к оси х.
Чему равна величина и как направлен момент
этой силы относительно оси вращения?
9. (II) Тонкое колесо диаметром 30 см может
вращаться вокруг оси, проходящей через его
центр, направление которой выберем за ось z
(колесо вращается в плоскости ху). К точке
обода колеса, которая находится точно на оси
х , приложена сила F = 26j — 15k (в ньютонах).
а) Найдите момент этой силы (его величину и
направление) относительно центра колеса.
б) Параллельно ли направление этого момента
силы угловому ускорению а? Если нет, то
объясните, каким образом вектор момента си­
лы х может быть пропорционален а.
Раздел 10.3
10. (I) Найдите *-, у - и z-составляющие векто­
ра момента импульса частицы, расположенной
в точке г = x i + у } + z k и имеющей импульс
р = pxi + p /i + р г к.
И . (I) Покажите, что кинетическая энергия
частицы массой т , движущейся по круговой
траектории, равна /2/ 2/, где /-величина ее м о­
мента импульса, а / - е е момент инерции отно­
сительно оси, проходящей через центр окруж­
ности перпендикулярно ее плоскости.
12. (II) Две одинаковые частицы имеют рав­
ные по величине, но противоположные по на­
правлению импульсы р и — р и движутся не по
одной прямой. Покажите, что полный момент
импульса этой системы не зависит от выбора
начала координат.
13. (II) Две частицы находятся на краю стола
на расстоянии d друг от друга. Одна из частиц
массой т соскальзывает со стола и падает
вертикально вниз. Совместив начало системы
координат с оставшейся на столе частицей,
вычислите а) момент силы т, действующей на
падающую частицу, как функцию времени (до
ее удара о поверхность земли); б) момент им­
пульса / как функцию времени, в) Покажите,
что выполняется равенство т = dl/dt.
14. (Ill) В боровской модели атома водорода
электрон массой т удерживается на круговой
орбите вокруг ядра (протона) электрической
силой F = ке2/г2 (где е - электрический заряд
электрона или протона, а к - постоянный коэф­
фициент). В этой модели разрешены не все
орбиты, а лишь те, для которых момент им­
пульса / электрона составляет целое кратное п
величины Л/2тс, где Л-постоянная Планка; точ­
нее, / = лЛ/2тс, где п-целое положительное
число. Покажите, что возможные радиусы
орбит электрона даются выражением
п2И2
Для этого покажите сначала, что радиус орби­
ты равен г = ke2/mv2, а затем примените соот­
ношение / = nh/2n.
Разделы 10.4-10.6
15. (II) Четыре одинаковые частицы массами
т каждая укреплены на тонком стержне длиной
L и массой М на равных расстояниях друг от
друга, причем на каждом конце стержня имеет­
ся по одной частице. Система вращается с
угловой скоростью со вокруг оси, перпендику­
лярной стержню и проходящей через одну из
концевых масс. Определите: а) кинетическую
энергию и б) момент импульса системы.
16. (II) Воспользуйтесь в примере 9.10 для
определения ускорения груза соотношением
х = dL/dt.
17. (II) Луна обращается по орбите вокруг
Земли таким образом, что к Земле обращена
всегда одна ее сторона. Найдите отношение
собственного момента импульса Луны (при
вращении вокруг ее собственной оси) к ее
орбитальному моменту импульса.
18. (III) Тонкая нить намотана на сплошную
цилиндрическую катушку радиусом R и массой
М. Один конец нити закреплен, и катушка
может падать вертикально (без начальной ско­
рости) по мере раскручивания нити, а) Вы­
числите момент импульса катушки относитель­
но оси, проходящей через ее центр масс, как
функцию времени, б) Как зависит от времени
натяжение нити?
19 (III) Однородный тонкий стержень длиной
80 см и массой 400 г лежит на гладком (без
трения) горизонтальном столе. По стержню
ударяют в точке, расположенной на расстоянии
324 10. Вращательное движение; общий случай
20 см от одного из его концов, причем удар
производится в направлении, перпендикуляр­
ном самому стержню. Опишите результирую­
щее движение стержня, если импульс силы
равен 8,5 Н с .
20. (III) Тонкая прямоугольная пластинка с
длинами сторон а и b вращается относительно
оси, проходящей вдоль ее диагонали. Опреде­
лите величину и направление момента импуль­
са L пластинки.
21. (III) Велосипедист, движущийся со ско­
ростью v = 5,2 м/с по горизонтальной дороге,
делает поворот по дуге окружности радиусом
г = 3,8 м. На велосипедиста и велосипед со
стороны дороги действуют сила нормальной
реакции FN и сила трения FTp, приложенные к
шинам, а также сила тяжести mg, где т - полная
масса велосипеда и велосипедиста, а) Подроб­
но объясните, почему угол 0, который велоси­
пед составляет с вертикалью (рис. 10.16) при
условии, что велосипедист находится в равно­
весии, дается соотношением tg0 = FTp/F N.
б) Вычислите угол 0 для значений параметров,
заданных в условии. (Подсказка: рассмотрите
поступательное движение по окружности ве­
лосипеда и велосипедиста.) Если коэффициент
статического трения между шинами и дорогой
равен \xs = 0,65, то чему будет равен мини­
мальный радиус поворота?
22. (III) Покажите, что полный момент им­
пульса L = £ гi х р, системы частиц, вычислен­
ный относительно начала инерциальной сис­
темы отсчета, может быть представлен в виде
суммы момента импульса L* относительно
ЦМ системы (собственный момент импульса) и
момента импульса ЦМ системы относительно
начала координат (орбитальный момент им­
пульса):
L = L* + ГцМ х М УцМ.
(Подсказка: см. вывод выражения (9.22).)
Рис. 10.16.
♦Раздел 10.7
*23. (I) Чему равна величина силы F, дейст­
вующей со стороны каждой из опор на
рис. 10.9 (пример 10.3)? Расстояние между опо­
рами равно d.
*24. (II) Предположите, что на рис. 10.9 т2 =
= 0; иными словами, имеется только одна
масса m i. Учитывая, что опоры разнесены на
расстояние d друг от друга, найдите силы F t и
F 2, действующие на верхнюю и нижнюю опо­
ры соответственно. (Подсказка: выберите на­
чало отсчета, отличающееся от точки О на
рис. 10.9, причем таким образом, чтобы вектор
L был параллелен вектору ш.)
*25. (II) Однородный диск цилиндрической
формы диаметром 60 см и массой 18 кг вра­
щается относительно оси, проходящей через
точку, смещенную на 1,0 см от его центра,
а) Если опоры установлены на расстоянии
9,5 см друг от друга, то чему равны силы,
действующие на них, когда диск вращается с
частотой 12 об/с? б) Куда нужно поместить
массу 1,00 кг, чтобы уравновесить диск?
Раздел 10.8
26. (II) На платформе, которая может свобод­
но вращаться без трения (но в данный момент
находится в покое), стоит человек, обладаю­
щий моментом инерции / р. В руках человек
держит вращающееся велосипедное колесо, ось
которого горизонтальна, как показано на
рис. 10.13. Колесо с моментом инерции Iw
вращается с угловой скоростью cow. Чему бу­
дет равна угловая скорость платформы со, если
человек перемещает ось колеса так, что а) она
остается направленной вертикально вверх;
б) отклоняется на 60° от вертикали; в) стано­
вится направленной вертикально вниз? г) Чему
Рис. 10.17. Колесо, вращаю­
щееся относительно горизон­
тальной оси, закрепленной в
опоре на одном конце, пре­
цессирует.
Вопросы. Задачи 325
будет равна угловая скорость вращения <о, если
в положении «а» человек достанет рукой до
колеса и затормозит его?
♦Раздел 10.10
*27. (П) Волчок массой 120 г вращается с час­
тотой 26 об/с, причем ось волчка составляет
угол 30° с вертикалью и прецессирует с часто­
той 1 оборот за 8 с. Чему равен момент инер­
ции волчка, если его ЦМ находится на рас­
стоянии 3,5 см от острия (кончика) волчка
вдоль оси симметрии волчка?
*28. (И ) Твердое колесо на рис. 10.17 враща­
ется вокруг своей оси со скоростью 25 рад/с, а
его радиус равен 6,0 см. Колесо насажено в
центре тонкой горизонтальной оси длиной
20 см. Какова скорость прецессии оси?
*29. (П) Как изменится скорость прецессии в
том случае, если в условии задачи 28 на сво­
бодный конец оси поместить тело, масса кото­
рого равна половине массы колеса?

Задачи Раздел 11.3 1. (I) Каким должно быть натяжение проволо­ ки в корригирующем зубном протезе на 342 11. Равновесие, упругость и разрушение тел Рис. 11.19. рис. 11.19, чтобы на выделенный зуб действо­ вала в указанном направлении результирую­ щая сила 0,60 Н? 2. (I) Горизонтальная балка массой 150 кг ле­ жит обоими концами на опорах. На балке на расстоянии в четверть ее длины от одного из концов установлено пианино массой 200 кг. Какова вертикальная сила, действующая на опоры? 3. (I) Люстра подвешена на двух шнурах, как и на рис. 11.4, с той лишь разницей, что верхний шнур теперь составляет угол 45° с потолком. Какой может быть предельная масса люстры, если шнуры способны выдержать натяжение 1000 Н? 4. (I) а) Вычислите силу FM, которую должна создавать дельтовидная мышца, чтобы удер­ живать вытянутую руку в горизонтальном по­ ложении (рис. 11.20). Масса всей руки равна 2,8 кг. б) Чему равна FM, когда в руке держат гантель массой 10 кг (на расстоянии 50 см от плечевого сустава)? 5. (И) Вычислите в задаче 4 для случаев «а» и «б» величину и направление силы F; , действующей на плечевую кость в суставе со стороны лопатки. 6. (II) Шар массой 9,1 кг подвешен к потолку на шнуре А. Шнур В тянет шар вниз и вбок. Найдите натяжения шнуров А к В, если шнур А составляет с вертикалью угол 20°, а шнур В- угол 50°. 7. (II) Дверь высотой 2,35 м и шириной 1,10 м имеет массу 13,0 кг. Вес двери поровну распределен между двумя петлями, располо­ женными на расстоянии 0,35 м от нижней и верхней сторон двери. Считая, что центр тяже­ сти находится в геометрическом центре двери, вычислите вертикальные и горизонтальные со­ ставляющие сил, действующих со стороны пет­ ли на дверь. 8. (II) Вычислите силы F t и F2 для консольной балки из однородного материала массой 11 000 кг, показанной на рис. 11.18. (Определите величину и направление обеих сил.) 9. (II) Рассчитайте силы F t и F 2, действующие со стороны опор на трамплин для прыжков в воду (рис. 11.21), если на его конце стоит человек массой 60 кг. Решите задачу для слу­ чаев, когда а) масса трамплина не учитывается и б) масса трамплина равна 35 кг, а его ЦТ расположен в геометрическом центре трамплина. Рис. 11.21. 10. (II) Туго натянутая над землей проволока имеет длину 50 м и провисает на 3,8 м, когда канатоходец массой 60 кг стоит на ее середине, а) Чему равно натяжение проволоки? б) Воз­ можно ли натянуть проволоку столь сильно, чтобы она совсем не провисала? 11. (II) Дверь сарая приперта тяжелой доской массой 80 кг, которая составляет с дверью угол 45е и упирается в край двери на расстоянии 2,6 м от оси дверных петель. Какую силу должен приложить к краю двери в горизон­ тальном направлении человек, стоящий внут­ ри, чтобы открыть дверь? Считайте, что трение между доской и дверью пренебрежимо мало; конец доски, стоящий на земле, закреплен, так что проскальзывание отсутствует. 12. (II) Решите предыдущую задачу, считая коэффициент трения между доской и дверью равным 0,45. 13. (II) Человек ростом 160 см лежит на легкой доске с пренебрежимо малой массой, установ­ ленной на двух весах таким образом, что одни Вопросы. Задачи 343 Рис. 11.22. весы находятся под макушкой, а другие-под ступнями ног лежащего. Показания весов рав­ ны соответственно 32,8 и 29,8 кг. Где находится центр тяжести лежащего человека? 14. (II) Расстояние между деревьями на рис. 11.16 равно 12,5 м. Вычислите величину силы F, которую должен приложить человек для того, чтобы удержать сумку с провизией массой 15,0 кг на веревке, а веревка при этом провисла в середине на а) 2,0 м; б) 0,20 м. 15. (II). На рис. 11.22 показаны силы, дей­ ствующие на северном участке висячего моста «Золотые ворота» в Сан-Франциско, который имеет длину dx — 343 м. Пусть центр тяжести этого участка находится посередине между ан­ керной опорой 2 и пилоном 3. Определите силы 7\ и Т2 (действующие на северный участок троса 1) и выразите их через mg (вес северного участка мостового полотна 4); вычислите вы­ соту Л, при которой система находится в рав­ новесии. Считайте, что мостовое полотно сво­ бодно подвешено к тросу 1. (Подсказка: сила Т3 на рассматриваемый участок не действует.) 16. (II) Представьте себе, что однопролетный висячий мост, подобный мосту «Золотые во­ рота», имеет конфигурацию, показанную на рис. 11.22. Считайте, что мостовое полотно (4) является однородным по всей длине моста и что каждый из трех участков мостового полотна целиком удерживается лишь соответствующим участком находящегося под ним троса. Концы троса закреплены в анкерных опорах (2) и не соединены с мостовым полотном. Чему должно быть равно отношение d jd 2, чтобы со стороны троса на пилоны (3) не действовала горизон­ тальная составляющая силы? Пренебрегите массой троса и отклонением мостового полот­ на от строго горизонтального. 17. (II) Лестница длиной 9,5 м и массой 16,0 кг прислонена к гладкой вертикальной стене (так что сила Fw со стороны стены перпендикулярна стене), а другим концом упирается в землю. Лестница составляет угол 20° со стеной; про­ скальзывание по поверхности земли отсутст­ вует. а) Вычислите составляющие силы, дейст­ вующей со стороны поверхности земли на ос­ нование лестницы, б) Каким должен быть коэффициент трения между основанием лест­ ницы и поверхностью земли, чтобы лестница не соскользнула, когда на лестнице на уровне 3/4 ее высоты стоит человек массой 75 кг? 18. (II) До какой высоты может подняться че­ ловек по лестнице в предыдущей задаче, преж­ де чем она начнет проскальзывать по поверх­ ности земли, если коэффициент трения между лестницей и землей равен 0,40? 19. (II) На рис. 11.23,а показана круглая арка, а на рис. 11.23, б -стрельчатая (готическая) арка. Обе имеют одинаковую ширину пролета 8,0 м и поддерживают вышележащую часть стены и крышу здания. Рассматривайте каждую арку составленной как бы из двух «полуарок», со­ единенных (шарнирно) в верхней точке; на­ грузка со стороны верхней стенки на каждую полуарку указана на рисунке отдельной стрел­ кой, направленной вниз, а) Покажите, что для предотвращения падения арки на нее должна действовать со стороны опоры горизонтальная сила FH. б) Покажите, что при одной и той же нагрузке на арку сверху горизонтальная сила, действующая со стороны опоры на готическую арку, вдвое меньше, чем действующая на круг­ лую. в) Что можно сказать о технических преимуществах готической арки? 20. (И) Однородный гибкий стальной трос мас­ сой m закреплен на одинаковой высоте на двух опорах и благодаря провисанию составляет в точках подвеса угол 0 с горизонталью. Опре­ делите натяжение троса а) в нижней точке провисания; б) в точках крепления к опорам. Как направлена сила натяжения в каждом из этих случаев? 344 11. Равновесие, упругость и разрушение тел Рис. 11.23. 21. (II) Проектируется 50-этажное здание вы­ сотой 210 м с площадью основания 40 м х х 70 м. Его полная масса равна примерно 1,60*107 кг. Считайте, что центр тяжести зда­ ния совпадает с его геометрическим центром, а) Опрокинется ли здание под напором ветра скоростью 200 км/ч, направленного перпенди­ кулярно стене шириной 70 м? (Подсказка: счи­ тайте здание свободно стоящим на земле; ве­ тер, налетая на стену, полностью тормозится; плотность воздуха 1,29 кг/м3.) б) При какой наименьшей скорости ветра здание опроки­ нется? 22. (Н) Автолюбителю необходимо снять со своей машины двигатель массой 220 кг. Его план таков: натянуть веревку вертикально вверх от двигателя к ветке дерева на высоте 25 м (рис. 11.24), причем веревку несколько вы­ ше двигателя перекинуть через жестко закреп­ ленный блок таким образом, чтобы, когда автолюбитель заберется на дерево до середины его высоты и начнет тянуть веревку за ее середину в горизонтальном направлении, дви­ гатель поднялся из-под капота автомобиля. Какую силу должен приложить автолюбитель, чтобы поднять двигатель на 0,50 м? 23. (И) От вершины стойки высотой 2,4 м, на которой закреплена волейбольная сетка, идут Рис. 11.24. две проволочные оттяжки, прикрепленные к земле на расстоянии 2 м от основания стойки и в 2 м одна от другой. Натяжение каждой про­ волоки составляет 65 Н. Каково натяжение сетки, если считать, что она натянута гори­ зонтально и закреплена в вершине стойки? 24. (И) Круглый стол массой 30 кг имеет три ножки, расположенные по краю стола на оди­ наковых расстояниях друг от друга. Чему рав­ на минимальная масса тела, которое нужно положить на край стола, чтобы он опроки­ нулся? 25. (И) Человек передвигает по полу торшер массой 9,6 кг. Считайте, что сила со стороны человека приложена на высоте 60 см от пола, а коэффициент трения между основанием тор­ шера и полом равен 0,20. а) Будет ли торшер скользить по полу или он опрокинется (рис. 11.25)? б) На какой максимальной высоте от пола человек должен приложить силу, чтобы торшер скользил по полу не опрокидываясь? 26. (III) При ходьбе человек всем своим весом опирается в течение небольшого промежутка времени лишь на одну из своих ног, и центр тяжести тела находится над ступней этой ноги. На рис. 11.26 показаны соответствующие силы, действующие на ногу. Вычислите силу со сто­ роны приводящей мышцы бедра FM, а также Вопросы. Задачи 345 Рис. 11.25. Рис. 11.26. дг- и ^-проекции силы F3 , действующей на го­ ловку бедра со стороны отводящей мышцы бедра. Рассматривайте ногу в этой задаче как единое целое. 27. (III) а) Пользуясь данными из условия за­ дачи 26, вычислите силы и Fy (рис. 11.26) в случае, когда человек несет в каждой руке по чемодану массой 20 кг каждый. Считайте, что ЦТ каждого чемодана расположен точно под нижним концом бедренной кости, б) Рассчи­ тайте FM и Fj для правой ноги человека, несущего один такой же чемодан в левой руке. (Подсказка: сначала определите положение ЦТ системы «человек -I- чемодан»; эта точка будет находиться выше ступни, и соответст­ венно изменятся расстояния по горизонтали, указанные на рис. 11.26. Заметьте, что эти силы оказываются больше, когда человек несет один чемодан, чем когда у него в каждой руке по такому же чемодану!) 28. (III) На краю стола укладывают стопкой четыре кирпича таким образом, что каждый следующий выступает над нижними, причем самый верхний кирпич выступает над краем стола на максимально возможное расстояние. а) Покажите, что стопка кирпичей не опроки­ нется, если каждый кирпич будет нависать над нижележащим не более чем (начиная с верх­ него) на 1/2, 1/4, 1/6, 1/8 своей длины. б) Окажется ли верхний кирпич полностью за краем стола? в) Выведите общую формулу для максимального расстояния, на которое стопка из п кирпичей может выходить за край стола, не теряя устойчивости. Раздел 11.4 29. (I) Мраморная колонна с площадью по­ перечного сечения 2,0 м 2 удерживает тело мас­ сой 30000 кг. а) Чему равно механическое напряжение внутри колонны? б) Каково от­ носительное удлинение колонны? в) На сколько укорачивается колонна, если ее высота под нагрузкой становится равной 10,5 м? 30. (Н) Какую силу нужно приложить, чтобы вытянуть рояльную проволоку диаметром 0,052 см на 0,015% ее первоначальной длины? 31. (II) Какое давление нужно создать, чтобы уменьшить объем железного слитка на 0,11%? Выразите ответ в Н /м2 и сравните полученное значение давления с атмосферным (1,0 х х 105 Н /м2). 32. (Н) Один литр (1000 см3) этилового спирта в мягком сосуде погружают на дно моря, где давление равно 2,8* 106 Н /м2. Чему здесь равен объем спирта? 33. (II) Сухожилие животного длиной 16 см под действием силы 12,4Н удлиняется на 3,3 мм. Сухожилие можно считать круглым в сечении с диаметром 8,6 мм. Рассчитайте модуль упру­ гости этого сухожилия. 34. (II) Моллюск морской гребешок открывает свою раковину с помощью упругого вещества 346 11. Равновесие, упругость и разрушение тел абдуктина, модуль упругости которого при­ мерно равен 2,0*106 Н /м2. Какую потенциаль­ ную энергию запасает кусочек абдуктина тол­ щиной 3,0 мм и площадью сечения 0,50 см2 при сжатии его на 1,0 мм? 35. (III) К фасаду магазина торцом прикреплен горизонтально длинный шест. К шесту на рас­ стоянии 2,1 м от стены подвешена вывеска массой 4,5 кг. а) Какой вращающий момент создает вес вывески относительно точки, где шест крепится к стене? б) Чтобы шест не опрокинулся, на него должен действовать не­ который компенсирующий момент силы. Чем создается этот момент силы? Покажите на рисунке, как должен возникнуть этот мо­ мент. в) Какие деформации (сжатие, растя­ жение, сдвиг) существенны при ответе на вопрос «б»? Раздел 11.5 36. (I) Средняя площадь сечения бедренной кости человека равна 3,0 см2. Какую силу сжа­ тия может выдержать кость не разрушаясь? 37. (И) Какую минимальную площадь попе­ речного сечения должна иметь стальная про­ волока, на которой вертикально подвешива­ ется люстра массой 280 кг? Считайте, что запас прочности равен 5,0. 38. (И) Две стальные пластины соединяются друг с другом стальным болтом. Болт должен выдерживать нагрузки до 2500 Н. Вычислите минимальный диаметр болта, заложив в расчет запас прочности 4,5. 39. (II) В примере 8.8 были рассчитаны импульс и средняя сила для ноги человека, прыгающего на землю с высоты 5,0 м. В предположении, что ноги при приземлении не сгибаются и перемещение тела при столкновении с землей составляет только d = 1,0 см, а) вычислите механическое напряжение в берцовой кости (площадь поперечного сечения 3,0*10”4 м2) и б) определите, сломается кость или нет. в) Ответьте на эти же вопросы, если человек при приземлении сгибает ноги в коленях (d = = 50,0 см). 40. (II) Опоры консоли массой 11000 кг на рис. 11.18 изготовлены из дерева. Рассчитайте минимальное допустимое в этом случае по­ перечное сечение каждой опоры с запасом прочности 8,5. 41. (III) Потолочное перекрытие в классной комнате размером 7,5 м х 10,0 м должно по­ мимо собственной массы 4100 кг выдерживать равномерно распределенную нагрузку массой 10000 кг (133 кг/м2). Предполагается, что пе­ рекрытие поддерживается деревянными стой­ ками, каждая с поперечным сечением 4,0 см х х 9,0 см, установленными вдоль более длин­ ных стен. Сколько стоек и на каком расстоянии друг от друга нужно поставить с каждой сто­ роны? Считайте стойки работающими только на сжатие; запас прочности равен 15. 42. (II) Существует максимальная высота од­ нородной вертикальной колонны из любого материала, не зависящая от площади попе­ речного сечения (почему?), при превышении которой колонна разрушится. Вычислите эту высоту для колонны из а) стали (плотность 7,8* 103 кг/м3) и б) гранита (плотность 2,7 х х 103 кг/м3). 43. (II) Стальной трос удерживает кабину лифта, масса которой в нагруженном состо­ янии не должна превышать 2500 кг. Если максимальное ускорение лифта равно 1,5 м/с2, то каким должен быть диаметр троса при запасе прочности 5,0? 44. (Ill) С какой высоты нужно уронить кирпич размером 15,0 см х 6,0 см х 4,0 см и массой 1,2 кг на жесткий стальной пол, чтобы кирпич разбился? Считайте, что кирпич падает плашмя и что сжатие кирпича при ударе гораздо боль­ ше, чем сжатие пола (т. е. сжатием стали можно пренебречь).

Задачи Раздел 12.1 1. (I) Объем гранитной скалы Эль-Капитан в Иосемитском национальном парке равен при­ близительно 108 м3. Какова ее масса? 2. (I) Чему равна масса воздуха в комнате размером 6,8 х 3,4 х 2,8 м? 3. (I) К 5,5 л антифриза (р = 800 кг/м3) при­ бавляют 4,5 л воды, чтобы получить 10,0 л смеси. Какова плотность полученной смеси? 4. (I) Масса пустой бутылки равна 31,20 г; когда она заполнена водой, ее масса становит­ ся 98,44 г. При заполнении ее некоторой другой жидкостью масса составляет 88,78 г. Чему равна относительная плотность жидкости? Раздел 12.2 5. (I) Головка звукоснимателя действует на грампластинку с силой (1,0 г) д. Какое давление оказывает игла на пластинку, если диаметр острия равен 0,0013 см. Выразите результат в единицах Н/м2 и атм. 6. (I) На какую величину отличается давление крови на уровне макушки и у подошвы чело­ века ростом 1,60 м, стоящего прямо? 7. (I) Какова приблизительно разность давле­ ний воздуха на первом этаже и на крыше здания Центра международной торговли в Нью-Йорке, высота которого равна 410 м и которое расположено на уровне моря? Вырази­ те полученный результат в процентах к нор­ мальному атмосферному давлению на уровне моря. 8. (I) Когда вы быстро едете на машине в гору или спускаетесь с горы, вам случается ощущать щелчки в ушах. Это происходит в тот момент, когда давление за барабанной перепонкой уравнивается с наружным давлением. Если бы этого не происходило, то какая сила действова­ ла бы на барабанную перепонку площадью 0,50 см2 при подъеме (спуске) на 1000 м? 9. (II) Покажите, что работа, совершаемая постоянным давлением Р по перемещению объема жидкости (газа) А К, равна W = PAV. 10. (II) Оцените давление воздуха на вершине горы Эверест (8850 м над уровнем моря). И. (II) С какой силой действует вода на прямо­ угольную плотину высотой 75 м и шириной 120 м, когда водохранилище заполнено водой доверху? 12. (II) Одно колено U-образной трубки (отк­ рытой с обоих концов) заполнено водой, дру­ гое-спиртом. Если граница раздела двух жид­ костей находится точно в нижней точке U-об­ разной трубки и столбик спирта имеет высоту 18.0 см, то какую высоту имеет столбик воды? 13. (II) Рассчитайте полную массу земной ат­ мосферы, пользуясь известным значением ат­ мосферного давления на уровне моря. 14. (II) Оцените плотность воды на глубине 10.0 км в океане (см. разд. 11.4 и табл. 11.1). На какую долю полученное значение отличается от плотности воды у поверхности моря? 15. (И) Выведите общую формулу для давления Р на глубине h в жидкости с плотностью р, если жидкость вместе с сосудом движется а) с уско­ рением а, Направленным вверх; б) с ускорением а, направленным вниз; в) с ускорением д, на­ правленным вниз (свободное падение). 16. (II) Цилиндрическое ведро с жидкостью (плотность р) вращается относительно своей оси симметрии, которая направлена вертикаль­ но. Покажите, что давление на расстоянии г от оси вращения записывается в виде Р = Ра + (1/2) рсо2г2, где со-угловая скорость вращения, а Ра- дав­ ление на оси на той же глубине. 17. (II) Чистая вода устанавливается на оди­ наковом уровне в двух коленах U-образной трубки, концы которой сообщаются с атмос­ ферой. В одно из колен трубки наливается другая жидкость, не смешивающаяся с водой. Вода в другом колене поднимается на 8,3 см, а ее уровень оказывается на 2,1 см выше уровня налитой жидкости. Какова плотность второй жидкости? 18. (III) Сосуд с жидкостью, находящийся в покое, получает на горизонтальной поверхнос­ ти ускорение а вправо, а) Покажите, что по­ верхность жидкости располагается под углом 0 = arctg(fl/0) к горизонту, б) В какую сторону наклонена поверхность жидкости? в) По како­ му закону изменяется давление в жидкости с глубиной, отсчитываемой от поверхности жид­ кости? 19. (III) Уровень воды за горизонтальной пло­ тиной постоянной ширины b находится на вы­ соте И. а) Используя интегрирование, покажите, что вода действует на плотину с силой FT = (1/2) рgh2b. б) Покажите, что обусловлен­ ный этой силой вращающий момент, действу­ ющий на плотину, имеет плечо А/3. в) Какую минимальную толщину t (постоянную по всему телу плотины) должна иметь свободно стоящая бетонная плотина высотой А, чтобы не опро­ кинуться? Нужно ли здесь учитывать атмос­ ферное давление? Объясните. 370 12. Гидростатика и аэростатика Разделы 12.3 и 12.4 20. (I) Нормальное систолическое артериаль­ ное давление равно 120 мм рт. ст. Переведите это значение в единицы а) торр; б) Н /м2; в) атм. 21. (I) а) С какой силой атмосфера давит на крышку стола размером 3,2 х 1,2 м? б) Чему равна сила, действующая на ту же крышку стола снизу? 22. (I) Какое минимальное избыточное давле­ ние должно быть в водопроводе, подводящем снизу воду к зданию, чтобы вода текла из крана на 12-м этаже, на высоте 40 м? 23. (I) Левый желудочек сердца, сокращаясь, прогоняет кровь по системе кровообращения. Считая площадь внутренней поверхности желу­ дочка равной 85 см2, а максимальное давление крови 120 мм рт. ст., рассчитайте полную силу, развиваемую мышцами желудочка в момент, когда давление максимально. 24. (И) Предположим, что человек может по­ низить давление в легких на 80 мм рт. ст. ниже атмосферного. На какую высоту ему удастся втянуть воду по соломинке? 25. (II) Для измерения давления в резервуаре с кислородом используют ртутный манометр с открытой трубкой. Чему равно абсолютное давление (в паскалях) в резервуаре, если атмос­ ферное давление составляет 1040 мбар, а уро­ вень ртути в открытой трубке а) на 28,0 см выше и б) на 4,2 см ниже, чем в трубке, соединенной с резервуаром? 26. (II) При внутренних вливаниях иглу, вве­ денную в руку, нередко соединяют трубочкой с сосудом, наполненным жидкостью и находя­ щимся на некоторой высоте. Если плотность жидкости равна 1,00 г/см3, то на какой высоте должен находиться сосуд, чтобы давление жид­ кости составляло а) 60 мм рт. ст.; б) 600 мм вод. ст.? Если давление крови в вене на 18 мм рт. ст. выше атмосферного, то на какой высоте должен находиться сосуд, чтобы жидкость на­ чала поступать в вену? Под высотой h мы будем понимать расстояние по вертикали от иглы до поверхности жидкости в сосуде. 27. (II) Избыточное давление в каждой из четы­ рех шин автомобиля массой 1800 кг равно 210 кН/м2. Какова площадь контакта каждой шины с поверхностью земли? 28. (II) При каждом сокращении сердце про­ качивает примерйо 70 см3 крови под средним давлением 105 мм рт. ст. Рассчитайте мощ­ ность сердца в ваттах при 60 ударах пульса в минуту. 29. (II) Какой будет высота столба спирта в барометре при нормальном атмосферном дав­ лении? Раздел 12.5 30. (I) Избыточное давление в гидравлическом подъемнике равно 16 атм. Какую наибольшую массу (в кг) может иметь поднимаемый авто­ мобиль, если диаметр поршня в рабочем ци­ линдре равен 17 см? 31. (И) К поршню медицинского шприца при­ ложена сила 3,0 Н. Если диаметр поршня 1,0 см, а диаметр канала иглы 0,20 мм, то а) какую силу жидкость должна преодолеть, чтобы вый­ ти из иглы? б) какую силу нужно приложить к поршню, чтобы ввести жидкость в вену, в которой избыточное давление 18 мм рт.ст.? 32. (II) Для доказательства своего закона Пас­ каль осуществил впечатляющий опыт, показы­ вающий, какую значительную силу может соз­ дать гидростатическое давление. Он присоеди­ нил к крышке, закрывающей винный бочонок радиусом 20 см, длинную трубку с внутренним радиусом 0,30 см. Бочонок заполнялся водой, и, когда вода в трубке доходила до уровня 12 м, бочонок разрывался. Вычислите: а) массу воды в трубке; б) результирующую силу, дейст­ вующую на крышку бочонка. Раздел 12.6 33. (I) Ареометр, описанный в примере 12.6 и помещенный в бродильный чан, погружается на глубину 22,3 см. Какова плотность жид­ кости в чане? 34. (I) Геолог обнаружил, что образец лунной породы массой 7,20 кг при погружении в воду имеет «кажущуюся»u массу 5,88 кг. Какова плотность образца? 35. (I) Чему равна выталкивающая сила, дейст­ вующая в атмосфере на резервуар с водой объемом 4700 м 3? 36. (I) На какую долю объема погружается кусок железа, плавающий в ртути? 37. (II) Кусок дерева массой 0,40 кг плавает в воде, но тонет в спирте (р = 790 кг/м3), в котором имеет «кажущуюся» массу 0,020 кг. Чему равна плотность дерева? 38. (II) Пользуясь табл. 12.1, определите, на какую долю объема кубик чистого льда погру­ жается в стакане а) с чистой водой; б) с морс­ кой водой, в) Каким будет ответ, если опыт проводить на Луне, где ускорение свободного падения в шесть раз меньше, чем на Земле? 1} Здесь автор вводит не совсем удачное понятие «кажущей­ ся» массы т\ определяемой через вес тела Р' в жидкости: Р' = т'д = тд — РАрх, откуда ясно, что в жидкости всегда т! < т-Прим. ред. Вопросы. Задачи 371 г) Будут ли ваши ответы на вопросы „а” или „б” справедливы для айсберга в океане? Если да, то какой именно? 39. (II) Ведро с водой движется с направлен­ ным вверх ускорением 3,5д. Какая выталкиваю­ щая сила действует на находящийся в воде кусок гранита (р = 2700 кг/м3) массой 1,0 кг? Всплывет или не всплывет камень? Почему? 40. (II) Деревянный куб массой 4,0 кг плавает в озере, погрузившись на 50% своего объема. Какую работу нужно совершить, чтобы погру­ зить его полностью под воду? 41. (II) Площадь поперечного сечения грузо­ вого судна по ватерлинии 3100 м 2. Осадка суд­ на после загрузки 6,1 м. Какова масса груза? 42. (II) Животное массой 25 кг плавает в воде, причем над водой остается объем его тела, равный 2,0 см3. Чему равна относительная плотность тела животного? 43. (II) Небольшое тело находится во взвешен­ ном состоянии (т. е. плавающим при полном погружении) в смеси 18% (массовых) спирта и 82% воды. Чему равна плотность тела? 44. (II) Шлюпка имеет объем 1,5 м 3 и массу 35 кг. Сколько пассажиров (масса каждого 70 кг) может выдержать шлюпка не затонув? 45. (II) Закон Архимеда можно применить не только для определения относительной плот­ ности твердого тела с помощью жидкости из­ вестной плотности (пример 12.5), но и для решения обратной задачи, а) Рассчитайте для примера плотность жидкости, в которой алю­ миниевый шар массой 12,00 кг имеет «кажу­ щуюся» массу 9,40 кг. б) Выведите простую формулу для определения плотности жидкости таким образом. 46. (II) Вычислите истинную массу (в вакууме) куска алюминия, который, будучи взвешен в воздухе, имеет массу 2,0000 кг. 47. (II) Кусок дерева (р = 500 кг/м3) массой 520 г плавает в воде. Какой минимальной массы кусок свинца нужно привязать к нему снизу на нитке, чтобы дерево утонуло? 48. (И) Если тело плавает в воде, то его плот­ ность можно определить, привязав к нему «гру­ зило», достаточно тяжелое, чтобы тело утону­ ло. Покажите, что относительная плотность (в единицах плотности воды) тела равна w/(wl — — н>2), где w-в ес тела в воздухе, wl - вес тела с грузилом, когда в воду погружено только гру­ зило, и н>2-в ес тела с грузилом, когда они оба погружены. 49. (III) Два сплошных деревянных куба каж­ дый объемом 1,00 м 3, изготовленные один из древесины плотностью 350 кг/м3, а другой из древесины плотностью 600 кг/м3, склеены бок о бок между собой. Если всю конструкцию по­ грузить в воду и удерживать так, чтобы она плавала горизонтально (т. е. плоскость склейки вертикальна), то какой момент силы будет действовать на нее? ♦Раздел 12.7 *50. (I) Вычислите поверхностное натяжение у жидкости, если сила F, необходимая для пере­ мещения подвижной стороны рамки (/ = = 0,075 м) на рис. 12.12, равна 6,4* 10"3 Н. *51. (II) Поверхностное натяжение жидкости можно определить, измеряя силу F, необходи­ мую для того, чтобы оторвать от поверхности жидкости круглое платиновое кольцо радиусом г. а) Получите формулу для у через F и г. б) Вычислите у исследуемой жидкости, если F = 9 ,4 0 -10"3 Н и г = 3,5 см (при 30 °С). *52. (II) Какую работу нужно совершить, что­ бы увеличить диаметр мыльного пузыря от 3,0 до 5,0 см (см. табл. 12.3)? *53. (II) Небольшая лужица воды на столе разбивается на 50 капель. Во сколько раз изме­ няется поверхностная энергия? Считайте, что лужица является плоской и имеет высоту А, а капли-это полусферы радиусом И. *54. (III) Покажите, что внутри мыльного пу­ зыря существует избыточное давление АР = = 4y/jR, где Л -радиус пузыря, а у-поверхност­ ное натяжение. (.Подсказка: рассматривайте пу­ зырь в виде двух полусфер и не забудьте, что у пленки две поверхности - внешняя и внутрен­ няя.) Этот результат справедлив для любой пленки, у которой Т — 2у есть натяжение на единицу длины. ♦Раздел 12.8 *55. (I) На какую высоту поднимается вода в стеклянном капилляре радиусом 0,12 мм? *56. (I) Стеклянная трубка с внутренним диа­ метром 0,85 мм вводится в сосуд с ртутью. На какой высоте над уровнем ртути в сосуде рас­ положится уровень ртути в трубке? *57. (I) Когда стеклянную трубку опускают в сосуд с этиловым спиртом, уровень спирта в трубке поднимается на 3,4 мм. Чему равен диаметр трубки? *58. (II) Карандаш диаметром 1,0 см вводят вертикально в стакан с водой. Вода смачивает карандаш, так что краевой угол равен 0°. Вы­ числите величину и направление действующей на карандаш силы, обусловленной поверхност­ ным натяжением. *59. (II) Каким должен быть диаметр капил­ ляров ксилемы, чтобы вода поднималась на 100 м вверх по стволу дерева только за счет капиллярности? *60. (II) На какую высоту поднимется вода за счет капиллярности между двумя плоскими стеклянными пластинками, опущенными вер­ тикально в воду с зазором между ни­ ми 0,11 мм?


Категория: Физика | Добавил: Админ (14.03.2016)
Просмотров: | Теги: Джанколи | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar