Тема №5606 Ответы к задачам по физике Савченко (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Савченко (Часть 3) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Савченко (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

2.6.5. Предлагается метод определения гравитационной постоянной. По гео-
логическим образцам пород и по распространенности этих пород на Земле на-
ходят среднюю плотность вещества. Умножая эту плотность на объем Земли,
находят ее массу. Зная же радиус Земли и ускорение свободного падения на ее
поверхности, находят гравитационную постоянную. В чем коренной недостаток
этого метода?
♦ 2.6.6. Рассмотрим установку Кавендиша
для измерения гравитационной постоянной (так
называемые крутильные весы). Легкий стер-
жень (коромысло), на концах которого закрепле-
ны два одинаковых шара массы m, подвешен на
тонкой и длинной нити. К шарам можно при-
близить два шара массы M, значительно боль-
шей m. Коромысло снабжено зеркальцем, от-
брасывающим световой «зайчик» на удаленную
шкалу и потому позволяющим измерять очень
малые углы поворота коромысла вокруг вертикальной оси. (При длине коромыс-
ла 10 см и расстоянии 40 м зеркальца до шкалы смещение «зайчика» в 1600 раз
превышает смещение шаров.)
Измерение проводят следующим образом. Шары массы M располагают сим-
метрично возле шаров массы m. При этом коромысло поворачивается и нить
закручивается на некоторый угол. Затем, когда после прекращения крутильных
колебаний большие шары переводят в новое симметричное положение, измеряют
угол поворота коромысла. Зная упругие свойства нити, определяют максималь-
ное ускорение легких шариков.
Вычислите гравитационную постоянную на основе данных, полученных на
установке Кавендиша (крутильные весы): расстояние между шарами массы m
и M равно 2r = 10 см, масса тяжелых шаров M = 7,0 кг, максимальное ускорение
легких шариков a = 2,8 · 10−7 м/с
2
.
2.6.7. Свой эксперимент по измерению гравитационной постоянной Кавен-
диш назвал «взвешиванием Земли». Определите массу Земли, если на ее поверх-
ности ускорение свободного падения g = 9,8 м/с
2
, а радиус Земли R = 6370 км.
56
2.6.8. Найдите массу Солнца. Радиус орбиты Земли равен 1,5·108 км, в году
содержится примерно 3,14 · 107
с.
2.6.9. Найдите силу гравитационного притяжения, действующего на вас со
стороны Земли, Луны, Солнца.
2.6.10. Спутник Марса Фобос обращается вокруг него по орбите радиуса
9400 км с периодом 7 ч 39 мин. Во сколько раз масса Марса меньше массы
Земли?
2.6.11. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны 1700 км.
Во сколько раз ускорение свободного падения вблизи лунной поверхности меньше,
чем вблизи земной?
2.6.12. Определите радиус круговой орбиты астероида, если угловая ско-
рость обращения его вокруг Солнца ω, а масса Солнца m .
2.6.13. Как изменилась бы продолжительность земного года, если бы мас-
са Земли сравнялась с массой Солнца, а расстояние между ними осталось бы
прежним?
2.6.14∗
. Две звезды массы m1 и m2 образуют двойную систему с неизменным
расстоянием между звездами R. Каков период обращения звезд вокруг общего
центра масс?
2.6.15. В астрономии часто измеряют расстояние в радиусах земной орби-
ты, периоды — в земных годах, а массы звезд — в массах Солнца. Определите
суммарную массу двойной системы, если в этих единицах расстояние между звез-
дами постоянно и равно r, а период их обращения равен T.
2.6.16. Три звезды массы m каждая сохраняют в своем движении конфигу-
рацию равностороннего треугольника со стороной L. С какой угловой скоростью
вращается этот треугольник?
2.6.17. Найдите первую космическую скорость для Земли и Луны, а также
и периоды обращения по околоземной и окололунной орбитам.
2.6.18. Спутник массы m0 движется по круговой орбите радиуса R вокруг
планеты массы m. Какой импульс нужно мгновенно сообщить спутнику, чтобы
плоскость его орбиты повернулась на угол α, а радиус не изменился?
2.6.19. Космический корабль движется по круговой орбите радиуса R вокруг
Земли со скоростью v, вдвое большей скорости свободного движения по той же
орбите. Какую силу тяги развивают двигатели корабля, если его масса m?
2.6.20. Два одинаковых поезда массы 1000 т каждый движутся по экватору
навстречу друг другу со скоростями 30 м/с. На сколько отличаются силы, с
которыми они давят на рельсы?
2.6.21. а. Каков радиус орбиты спутника, лежащей в экваториальной плос-
кости, если тот все время находится в зените над одной и той же точкой земной
поверхности?
б. Опишите качественно трассу спутника, если при том же радиусе орби-
ты ее плоскость образует угол 60◦
с плоскостью экватора. (Трассой спутника
называется линия, соединяющая точки на Земле, из которых спутник виден в
зените.)
2.6.22. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия небольшо-
го тела массы m с Землей U = −γMm/r, где M — масса Земли, r — расстояние
от тела до центра Земли. Найдите приращение потенциальной энергии ∆U при
подъеме тела на высоту h с поверхности Земли. Какая относительная ошибка
возникает при использовании приближенного выражения mgh вместо ∆U? Уско-
рение свободного падения на поверхности Земли g, радиус Земли R.
2.6.23∗
. Тело запустили вдоль экватора с востока на запад с такой скоро-
стью, что очень далеко от Земли его скорость стала равной нулю. Какую ско-
рость относительно Земли будет иметь вдали от нее тело, запущенное с той же
начальной скоростью вдоль экватора, но с запада на восток?
57
2.6.24. Метеорит на очень большом расстоянии от планеты имеет ско-
рость v0. Падая на планету, он приобретает вблизи ее поверхности скорость v.
При какой наименьшей скорости вблизи поверхности этой планеты космический
корабль покинет ее безвозвратно? (Такая скорость называется второй космиче-
ской.)
2.6.25. На поверхности планеты телу сообщили скорость, превышающую
вторую космическую скорость на 0,5%. Во сколько раз скорость тела вдали от
планеты будет меньше второй космической скорости?
2.6.26. Найдите вторую космическую скорость для Земли и Луны. Враще-
нием планет вокруг собственной оси пренебречь.
2.6.27. Спутник движется со скоростью v по круговой орбите вокруг Земли.
Какую наименьшую добавочную скорость надо сообщить спутнику, чтобы он мог
безвозвратно уйти от Земли?
2.6.28. Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии
от Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужно
включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку (5g), что-
бы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны
около 1700 км, ускорение свободного падения на ее поверхности в 6 раз меньше,
чем на поверхности Земли.
♦ 2.6.29. Скорость пылинок однородного шаро-
вого облака направлена радиально и пропорцио-
нальна расстоянию до центра: v = Hr; это отно-
сится к начальному моменту. При какой наиболь-
шей начальной плотности облако будет неограни-
ченно расширяться? (Для тела внутри однородной
сферической оболочки суммарная гравитационная
сила со стороны оболочки нулевая.)
2.6.30∗
. Какую скорость нужно сообщить те-
лу небольшой массы в центре астероида массы m
и радиуса R, чтобы оно через радиальную шахту ушло от астероида бесконечно
далеко? Астероид можно считать однородным.
2.6.31. Космический аппарат вдалеке от Земли находится на том же рассто-
янии от Солнца, что и Земля. При какой минимальной его скорости он покинет
Солнечную систему?
2.6.32∗
. Наименьшая скорость тела на поверхности Земли, обеспечивающая
его выход за пределы Солнечной системы, называется третьей космической ско-
ростью. Найдите ее, если известно, что скорость орбитального движения Земли
30 км/с.
2.6.33∗
. В фантастическом рассказе описывается, как из-за небольшой оши-
бки в выборе начальной скорости при старте с поверхности Земли межпланетный
корабль падает на Солнце. При какой наименьшей скорости на поверхности Зем-
ли это возможно?
2.6.34. Кинетическая энергия спутника на круговой орбите равна K. Чему
равна его потенциальная энергия?
2.6.35∗
. Спускаясь по спирали с круговой орбиты на поверхность плане-
ты в разреженных слоях атмосферы спутник совершает почти круговые витки
уменьшающегося радиуса. При этом его скорость увеличивается так, будто сила
сопротивления атмосферы толкает спутник вперед, в направлении его полета!
Объясните качественно и количественно такое парадоксальное поведение спут-
ника.
♦ 2.6.36∗
. В случае действия на тело центральной силы радиус-вектор, прове-
денный к нему из центра, описывает в равные промежутки времени равные пло-
щади. (В этом, собственно, и состоит по отношению к движению планет второй
58
закон Кеплера.) Какую площадь опишет за время t радиус-вектор, проведенный
от Солнца к планете, если в начальный момент расстояние от нее до Солнца r,
скорость v, а угол между скоростью планеты и радиус-вектором α?
♦ 2.6.37. Спутник связи «Молния–1» имеет перигей над южным полушарием
Земли на высоте около 500 км, а апогей — на высоте около 40 000 км над северным
полушарием. Каково отношение угловых скоростей обращения этого спутника в
перигее и апогее?
♦ 2.6.38∗
. К планете радиуса R и массы M издалека движется со скоростью v
относительно нее космический зонд. При каком прицельном параметре ρ зонд
пролетит ближе всего к планете, не разбившись?
2.6.39∗
. Скорость спутника в перигее равна v при расстоянии до центра
Земли, равном r. Какова скорость спутника в апогее? Каково расстояние от него
до центра Земли в апогее?
2.6.40∗
. Космический зонд массы m движется вокруг планеты массы M по
орбите с наибольшим удалением rа от центра планеты (в апоцентре) и наимень-
шим — rп (в перицентре). Какую минимальную энергию нужно сообщить зонду,
чтобы он покинул планету?
2.6.41∗
. С орбитальной станции, движущейся со скоростью u по круговой
орбите вокруг планеты, запускают два зонда. Начальная скорость зондов отно-
сительно планеты равна v (

2 u > v > u). Один зонд движется по направлению
радиуса планеты; начальная скорость другого зонда перпендикулярна ее радиу-
су. Найдите отношение максимально возможных расстояний от зондов до центра
планеты.
♦ 2.6.42∗
. Плоскость орбиты спутника разбита на секторы с общей верши-
ной в центре планеты массы M и одинаковыми малыми углами раствора dϕ.
Найдите изменение скорости спутника при прохождении каждого сектора, если
его скорость в перицентре vп, а расстояние от спутника до центра планеты в
перицентре rп.
♦ 2.6.43∗
. С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса R и
скорость u, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении
дополнительную скорость V . Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-
тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости
отличаются по-прежнему на величину V . На каком расстоянии от центра плане-
ты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен α?
59
♦ 2.6.44∗
. При какой скорости V орбита зонда из предыдущей задачи
замкнута? Найдите ее перицентр и апоцентр. В случае же незамкнутой орби-
ты найдите предельный угол с направлением от центра планеты к точке старта,
который образует скорость зонда при его безграничном удалении от планеты.
2.6.45∗
. Отрезок, соединяющий перицентр и апоцентр эллиптической орби-
ты, называется большой осью. Относительно нее эллипс симметричен. Отрезок,
соединяющий наиболее удаленные от большой оси точки орбиты, называется ма-
лой осью. Она перпендикулярна большой оси и тоже является осью симметрии
эллипса. Используя условия задачи 2.6.43, найдите скорость зонда в вершинах
малой оси. Выразите эту скорость через длину большой полуоси a и массу пла-
неты M.
♦ 2.6.46∗
. Спутник движется вокруг планеты мас-
сы M по эллипсу∗)
с большой и малой полуосями a и b.
Определите площадь, которую радиус-вектор, прове-
денный из центра планеты к спутнику, «заметает» в
единицу времени. Найдите период обращения спутни-
ка.
2.6.47. Наибольшее расстояние от Солнца до ко-
меты Галлея составляет 35,4 радиуса земной орбиты,
а наименьшее — 0,6. Прохождение ее вблизи Солнца
наблюдалось в 1986 году; в каком году произошло ее
предыдущее прохождение?
2.6.48∗
. Спутник, двигавшийся по круговой орбите радиуса Rс был мгновен-
но заторможен и стал двигаться по эллиптической орбите, касающейся начальной
орбиты и поверхности планеты. Определите время падения спутника на планету.
Радиус планеты R, ускорение свободного падения на поверхности g.
2.6.49∗
. Определите время падения Земли на Солнце, если ее внезапно оста-
новить.
2.6.50∗
. Два богатыря на полюсе Земли бросают вертикально вверх була-
вы. Первая упала через неделю, вторая — через 30 дней. Оцените, на сколько
различались их начальные скорости.
2.6.51. Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника мас-
сы m, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях R1 и R2 от ее центра
так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли M.

♦ 2.6.52∗
. Две соприкасающиеся шаровые глы-
бы массы m и радиуса r каждая движутся по кру-
говой орбите вокруг планеты массы M. Центры
глыб находятся на одном радиусе, расстояние от
точки их соприкосновения до центра планеты R.
С какой силой давит одна глыба на другую? При
каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб
перестанет удерживать их вместе? Радиус плане-
ты R0  r. Плотность глыб примите равной сред-
ней плотности планеты.
2.6.53∗
. Известный физик Ф. Дайсон выска-
зал предположение, что можно было бы полно-
стью использовать энергию звезд, если бы косми-
ческие цивилизации могли окружить звезды сферическими оболочками. Найдите
напряжение в материале неподвижной однородной оболочки, которая окружила
бы в соответствии с этим предположением Солнце, при ее радиусе, равном ра-
диусу земной орбиты. Плотность материала оболочки ρ = 4 · 103 кг/м
3
.
§ 2.7. Вращение твердого тела
2.7.1. Два подобных маховика изготовлены из одного металла, причем линей-
ные размеры второго вдвое больше линейных размеров первого. Как относятся
кинетические энергии маховиков при одной и той же угловой скорости вращения
вокруг оси?
2.7.2. Определите кинетическую энергию тонкого кольца радиуса R и мас-
сы m, раскрученного до угловой скорости ω вокруг его оси. Больше или меньше
эта энергия в случае сплошного диска того же радиуса и массы?
2.7.3. Маховик в виде кольца массы m и радиуса R с невесомыми спицами
раскрутили до угловой скорости ω. Из-за трения он остановился. Найдите момент
силы трения, если маховик остановился через время t; если маховик до полной
остановки сделал N оборотов.
2.7.4. Тонкий обруч радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой ско-
рости ω и положили плашмя на горизонтальный стол. Через какое время обруч
остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен µ? Сколь-
ко оборотов сделает обруч до полной остановки?
2.7.5∗
. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг оси, про-
порциональна квадрату угловой скорости: K = Jω2/2. Коэффициент J назы-
вается моментом инерции относительно данной оси. Найдите момент инерции
для гантели, представляющей собой точечные массы m1 и m2 на концах лег-
кого стержня, если ось ее вращения перпендикулярна стержню и находится на
расстоянии r1 и r2 от точечных масс.
♦ 2.7.6. Тонкостенный цилиндр радиуса R раскру-
тили до угловой скорости ω и поставили в угол,
как показано на рисунке. Коэффициент трения между
стенками угла и цилиндром равен µ. Сколько оборо-
тов цилиндр сделает до полной остановки?
2.7.7. Решите задачу 2.7.6 в случае, если в угол
поставили раскрученный сплошной однородный ци-
линдр. Момент инерции такого цилиндра J = mR2/2, где m — его масса.
2.7.8. Момент сил, действующих на твердое тело относительно его оси вра-
щения, равен M. Докажите, что работа этих сил равна Mϕ, а угловое ускорение
тела равно M/J, где ϕ — угол поворота тела, а J — момент инерции тела отно-
сительно оси вращения.
61
♦ 2.7.9∗
. Определите угловое ускорение блока радиуса R с моментом инер-
ции J, вызванное двумя грузами массы m1 и m2, закрепленными на концах нити,
перекинутой через блок, если нить не проскальзывает по блоку.
♦ 2.7.10. Электродвигатель закреплен на подставке так, что его ось и общий
центр масс находятся посередине между опорами, расстояние между которыми
равно l. Его поставили на гладкую горизонтальную поверхность. Найдите силы
давления опор подставки на поверхность, если после включения ротор двигателя
раскручивается с угловым ускорением w, а его момент инерции равен J. Масса
двигателя с подставкой m.
♦ 2.7.11. На гладком горизонтальном столе находится брусок массы m1. На
нем укреплен тонкостенный цилиндр массы m2 и радиуса R, который может
без трения вращаться вокруг своей оси. На цилиндр намотана невесомая тон-
кая нить, за конец которой тянут с горизонтальной силой F. Найдите ускорение
бруска и угловое ускорение цилиндра.
2.7.12. Найдите ускорение, с которым скатывается без проскальзывания по
наклонной плоскости с углом α тонкостенный цилиндр. Какова сила трения, дей-
ствующая на него?
♦ 2.7.13∗
. Оси тонкостенного и сплошного цилиндров соединены невесомой
штангой. Цилиндры скатываются без проскальзывания по наклонной плоскости с
углом α. Радиусы цилиндров одинаковы, масса каждого цилиндра m. Определите
силу натяжения штанги.
♦ 2.7.14∗
. На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен
на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить
остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр,
если его ось прошла расстояние l? Угол наклона плоскости α, коэффициент тре-
ния между плоскостью и цилиндром µ.
62
2.7.15. Сплошной цилиндр массы m1 насажен на горизонтальную ось. На
цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массы m2.
С каким ускорением станет опускаться гиря, если ее отпустить?
♦ 2.7.16. Твердое тело насажено на горизонтальную ось, проходящую через его
центр масс. На ту же ось насажен легкий блок радиуса r, жестко прикрепленный
к телу. К свободному концу нити, намотанной на блок, подвешена гиря массы m.
Гирю отпускают. Через время t она опускается на расстояние h. Найдите момент
инерции тела.
♦ 2.7.17. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противополож-
ных направлениях две нити с подвешенными к ним грузами массы m1 и m2.
Найдите ускорение грузов и силу натяжения нитей. Момент инерции блока J,
радиус соответствующих участков блока R1 и R2.
♦ 2.7.18. На валик радиуса r плотно насажен сплошной диск. Момент инерции
этой системы относительно оси J, масса m. На валик симметрично намотаны
две нити, на которых система подвешена к неподвижному штативу. Нити вер-
тикальны. Систему отпускают. Найдите ускорение оси диска и силу натяжения
нитей.
♦ 2.7.19∗
. Однородная тяжелая веревка, концы которой закреплены на одной
вертикали, охватывает невесомый обруч. С каким ускорением обруч падает, если
его отпустить?
♦ 2.7.20∗
. На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток. Катушку тя-
нут за нитку. При каких углах α между силой и горизонталью катушка станет
ускоряться в сторону натянутой нити?
2.7.21∗
. Тонкое кольцо радиуса R и массы m раскрутили до угловой скоро-
сти ω0 и поставили вертикально на горизонтальную плоскость. Как будет дви-
гаться кольцо, если коэффициент трения кольца о плоскость равен µ? Определите
зависимость от времени скорости оси и угловой скорости вращения. Через какое
время прекратится проскальзывание? Какая часть начальной энергии перейдет
в тепло?
2.7.22∗
. Однородный цилиндр радиуса R и массы m толкнули с начальной
скоростью v0 без вращения вдоль горизонтальной плоскости. Через какое время
прекратится проскальзывание, если коэффициент трения цилиндра о плоскость
равен µ? Какая часть начальной энергии перейдет в тепло?
63
2.7.23∗
. По шероховатой горизонтальной поверхности катится без проскаль-
зывания со скоростью v тонкое кольцо. Через какое время после упругого удара
о гладкую вертикальную стенку кольцо остановится, если коэффициент трения
кольца о поверхность равен µ? Опишите качественно движение сплошного диска
после удара.
2.7.24. Ознакомьтесь с условиями задачи 2.4.18. При какой начальной угло-
вой скорости обруч радиуса R вернется в исходную точку, двигаясь с постоянным
ускорением по горизонтальному полу? Начальная скорость центра обруча v.
♦ 2.7.25. Три одинаковых цилиндра раскрутили до угловой скорости ω и при-
вели в соприкосновение так, что левый и правый цилиндры оказались прижаты
к центральному с одинаковой силой. Оси цилиндров параллельны и закреплены.
Каким станут в конце концов угловые скорости вращения цилиндров?
♦ 2.7.26. Центр тонкого кольца находится как раз над краем стола. Коль-
цо начинает скатываться со стола без проскальзывания из состояния покоя. На
какой угол повернется кольцо до момента отрыва его от края стола? Больше или
меньше будет этот угол в случае, если со стола скатывается шар?
♦ 2.7.27∗
. Легкий стержень с закрепленными на концах грузами массы m1
и m2 опирается серединой на жесткую подставку. В начальный момент стержень
удерживают горизонтально, а затем отпускают. С какой силой он давит на под-
ставку сразу после того, как его отпустили?
♦ 2.7.28∗
. Тонкая однородная палочка длины l и массы m лежит симметрично
на опорах, расстояние между которыми равно a. Одну из опор быстро убирают.
Какова сразу после этого сила реакции оставшейся опоры?
♦ 2.7.29. Гантель с шариками массы m1 и m2, соединенными невесомым
стержнем длины l, вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр
гантели, с угловой скоростью ω. Определите угол, который образует ось гантели
с осью вращения.
♦ 2.7.30. Два диска с моментами инерции J1 и J2 вращаются с угловой скоро-
стью соответственно ω1 и ω2 вокруг одной и той же оси без трения. Диски пришли
в соприкосновение друг с другом. Из-за возникшего между дисками трения через
некоторое время проскальзывание одного диска по другому прекращается. Како-
ва станет тогда угловая скорость вращения дисков? Какое количество теплоты
выделится?
64
2.7.31∗
. Вращающийся обруч радиуса R падает вертикально на горизон-
тальную плоскость и отскакивает от нее со скоростью v под углом 30◦
, уже не
вращаясь. Какова угловая скорость обруча до удара?
♦ 2.7.32∗
. По гладкой горизонтальной плоскости навстречу друг другу дви-
жутся два одинаковых тонких вращающихся кольца. Их скорости v1 и v2 направ-
лены по прямой, соединяющей центры колец. Угловые скорости колец ω1 и ω2.
Определите угловую скорость колец после соударения, если проскальзывание их
относительно друг друга исчезает в последний момент удара.
♦ 2.7.33. В цилиндр массы m1 и радиуса R, покоящийся на гладкой горизон-
тальной плоскости, попадает пуля массы m2, летящая горизонтально на высоте h
от оси цилиндра со скоростью v. Считая удар абсолютно неупругим и m2  m1,
найдите скорость оси и угловую скорость цилиндра.
2.7.34. На покоящемся однородном горизонтальном диске массы m1 и ради-
уса R стоит человек массы m2. Диск может без трения вращаться вокруг вер-
тикальной оси, проходящей через его центр. С какой угловой скоростью начнет
вращаться диск, если человек пойдет по окружности радиуса r вокруг оси диска
со скоростью v относительно него? Радиус диска много больше роста человека.
2.7.35. На краю свободно вращающегося с угловой скоростью ω вокруг вер-
тикальной оси диска, имеющего радиус R и момент инерции J, стоит человек
массы m. Как изменится угловая скорость вращения диска, если человек перей-
дет от края диска к центру? Как изменится кинетическая энергия системы при
этом? Размерами человека по сравнению с размерами диска пренебречь.
♦ 2.7.36. В установке, находящейся на полюсе Земли, небольшие, но тяжелые
грузы удерживаются с помощью нити на расстоянии R от вертикальной оси.
Нить пережигают. Грузы опускаются и оказываются на расстоянии r = 0,1R от
оси. Сколько оборотов за час совершает после этого установка, если вначале она
относительно Земли не вращалась? Трением пренебречь.
2.7.37. Воздух из субтропического пояса повышенного давления переходит
в экваториальный пояс пониженного давления. В какую сторону — на запад или
восток — он будет отклоняться при своем движении?
2.7.38∗
. За последние 40 лет сутки возросли примерно на 10−3
с. Некоторые
геофизики считают основной причиной этого таянье полярной ледяной шапки в
Антарктиде. Оцените, какая масса льда в Антарктиде растаяла, если это пред-
положение верно, за 40 лет.
5 65
♦ 2.7.39∗
. а. Известно, что приливная деформация самой Земли и приливы в
океанах замедляют вращение Земли. Объясните, как возникает необходимый для
этого момент сил.
б. Солнечный прилив в атмосфере Земли достигает максимума на два ча-
са раньше прохождения Солнцем зенита. Способствует или препятствует этот
прилив замедлению суточного вращения?
2.7.40∗
. Однородная спица длины l, стоящая на гладкой горизонтальной по-
верхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость
верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность.
2.7.41. Тонкий стержень массы m и длины l лежит на гладкой горизонталь-
ной поверхности. Пластилиновый шарик массы m со скоростью v, перпендику-
лярной стержню, ударяется об один из его концов и прилипает к нему. Какое
количество теплоты выделится при таком ударе?
♦ 2.7.42. Стержень массы m1 и длины l подвешен на шарнире. Небольшой
кусок пластилина массы m2 прилипает к середине стержня, двигаясь до соударе-
ния с ним горизонтально со скоростью v. Найдите максимальный угол отклонения
стержня от вертикали. Трением в шарнире пренебречь.
2.7.43∗
. Каким местом при фехтовании палками нужно ударять их друг о
друга, чтобы не чувствовать отдачи? Палку держат одной рукой за ее конец.
♦ 2.7.44. Момент инерции твердого тела массы m относительно оси O ра-
вен J. Центр масс тела находится на расстоянии R от этой оси. Найдите силу,
действующую на ось при кратковременном приложении к твердому телу силы F,
перпендикулярной отрезку длины x, который соединяет точку приложения силы
и ось. При каком x сила, действующая на ось, наименьшая?
♦ 2.7.45. Две одинаковые гантели летят навстречу друг другу со скоростью v1
и v2 так, как изображено на рисунке. Расстояние между шариками гантели l. Как
будут двигаться гантели после упругого соударения?
♦ 2.7.46∗
. На какую высоту можно подбросить мешок с песком с помощью
доски массы m1 и длины l, если на другой конец этой доски с высоты H падает
такой же мешок с песком? Масса мешка с песком равна m2.
66
♦ 2.7.47∗
. На вертикальную трубу, выходящую из дна сосуда с жидкостью,
герметично надета коленчато изогнутая насадка — сегнерово колесо. Если в со-
суд подливать жидкость, чтобы уровень жидкости в нем не менялся при ее выте-
кании, сегнерово колесо вращается с постоянной угловой скоростью ω. Определи-
те момент сил трения, действующий на насадку, если относительно нее жидкость
вытекает со скоростью u по касательной к окружности радиуса R. Расход массы
жидкости в единицу времени µ.
♦ 2.7.48∗
. Найдите, пренебрегая трением, полезную мощность турбины, уст-
роенной по принципу сегнерова колеса. Данные возьмите из предыдущей задачи.
Как зависит угловая скорость вращения турбины от момента сил нагрузки?
§ 2.8. Статика
♦ 2.8.1. На рисунке изображены конструкции, которые удерживают груз мас-
сы 10 кг. Тросы изображены тонкими линиями, стержень — двойной линией.
Определите силу натяжения тросов для случая а и силу, действующую на стер-
жень со стороны переброшенного через него троса, для случая б.
♦ 2.8.2. Карандаш массы 0,01 кг стоит вертикально на пружине в закрытом
пенале. Когда пенал перевернули, карандаш стал давить на крышку в 1,2 раза
сильнее. С какой силой он давил на нее первоначально?
2.8.3. Определите наибольшую высоту стены, которую можно построить из
кирпича, если предел прочности кирпича на сжатие равен 107 Па, а его плотность
равна 1,5 · 103 кг/м
3
.
♦ 2.8.4. Через три отверстия в крышке стола пропущены нити, связанные с
одного конца общим узлом. К другому концу каждой нити прикреплены одина-
ковые грузы. Найдите углы между нитями. Трением пренебречь.
67
♦ 2.8.5. Два груза небольшого размера соединены нитью длины l и лежат
на цилиндрической гладкой поверхности радиуса R. При равновесии грузов угол
между вертикалью и радиусом, проведенным к грузу массы m1, равен α. Найдите
массу второго груза.
♦ 2.8.6. Из проволоки изготовлена рама в форме прямоугольного треугольни-
ка, которая помещена в вертикальной плоскости так, как показано на рисун-
ке. По проволоке могут скользить без трения связанные нитью грузы массы
m1 = 0,1 кг и m2 = 0,3 кг. Найдите силу натяжения нити и угол между ни-
тью и длинным катетом треугольника при равновесии.
♦ 2.8.7. На сколько переместится конец нити (точка A), перекинутой через
подвижной блок, если к нему приложить силу F? Жесткость пружин равна k.
2.8.8. Если к нижнему концу вертикально висящей пружины прикрепить
груз, то ее длина станет равной l1. Если этот же груз прикрепить к середине
пружины, то ее длина станет равной l2. Найдите длину недеформированной пру-
жины.
♦ 2.8.9. Цепочка массы m подвешена за концы так, что вблизи точек подвеса
она образует с горизонталью угол α. Определите силу натяжения цепочки в ее
нижней точке и в точках подвеса.
♦ 2.8.10. Гладкий тонкий обруч массы m висит у стенки на одном гвозде (A)
и опирается на другой (B). Радиус, проведенный к гвоздю A из центра обруча,
образует угол α с вертикалью. Радиус же, проведенный к гвоздю B, образует
угол β с вертикалью. Найдите, с какой силой действует обруч на каждый гвоздь.
♦ 2.8.11. В гладкой закрепленной полусфере свободно лежит палочка массы m
так, что угол ее с горизонтом равен α, а конец выходит за край полусферы.
С какими силами действует палочка на полусферу в точках соприкосновения A
и B?
68
♦ 2.8.12. Проволока, когда ее начинают резать ножницами, выскальзывает
к их концам и только тогда, когда угол раствора ножниц по мере движения
проволоки уменьшится до значения αмин, ножницы надрезают проволоку. Почему
это происходит? Определите коэффициент трения проволоки о лезвие ножниц.
Силой тяжести пренебречь. Проволока не закреплена.
♦ 2.8.13. Валки прокатного стана имеют радиус R. Вращаясь, они втягивают
заготовку, если ее толщина достаточно мала. Коэффициент трения между валка-
ми и заготовкой µ, а зазор между валками d0. Найдите максимальную толщину
заготовки. Заготовку не подталкивают.
♦ 2.8.14∗
. Тело с установленными в его вырезах клиньями расположено между
двумя параллельными стенками так, как показано на рисунке. Найдите предель-
ный угол при вершине клиньев, при котором тело может двигаться вправо и не
может двигаться влево. Коэффициенты трения клиньев о стенки и тело равны µ1
и µ2 соответственно.
♦ 2.8.15. Между одинаковыми брусками квадратного сечения, лежащими на
горизонтальной плоскости, вставлен гладкий клин такой же массы с сечением в
виде равностороннего треугольника. При каком коэффициенте трения брусков о
плоскость они начнут разъезжаться?
2.8.16∗
. На цилиндрический столб намотан один виток каната. Чтобы канат
не скользил по столбу, когда его за один из концов тянут с силой F, другой конец
каната достаточно удерживать с силой f. Как изменится удерживающая сила,
если на столб намотано n витков? Витки каната не соприкасаются друг с другом.
♦ 2.8.17∗
. За один конец веревки, охватывающей столб по дуге с углом θ,
тянут с силой F0. Какую минимальную силу нужно приложить к другому концу
веревки, чтобы ее удержать, если коэффициент трения веревки о столб равен µ?
♦ 2.8.18. На рисунке изображены балки, на которых находится по два груза
массы 10 кг каждый. Расстояние между опорами балок 4 м. Найдите силу давле-
ния балок на опоры. Балки невесомы.
♦ 2.8.19. Линейка массы 0,01 кг лежит на двух опорах так, как это показано на
5
∗ 69
рисунке. На один конец линейки положен груз. Какова масса груза, при которой
возможно равновесие?
2.8.20. Неравноплечие весы находятся в равновесии. Если на левую их чашку
положить груз, то он уравновешивается гирей массы m1 на правой чашке. Если
этот же груз положить на правую чашку весов, то он уравновешивается гирей
массы m2 на левой чашке. Какова масса груза?
♦ 2.8.21. Центр масс коромысла равноплечих весов находится ниже точки под-
веса на расстоянии h от нее, а масса коромысла равна m0. На концах коромысла,
расстояние между которыми равно 2L, на нитях подвешены одинаковые чашки.
На сколько отличаются массы грузов, положенных на чашки, если коромысло
отклонилось от горизонтали на угол α?
♦ 2.8.22. Ось коромысла равноплечих весов, имеющая радиус r, вставлена в
прорезь стойки. При гире массы m на одной чашке и грузе на другой коромыс-
ло остается в горизонтальном положении. Масса коромысла вместе с чашками
равна M, а длина коромысла 2L. На сколько может отличаться масса груза от
массы гири, если коэффициент трения между осью и стойкой равен µ?
♦ 2.8.23. Тяжелый стержень согнут посередине под прямым углом и подвешен
свободно за один из концов. Какой угол с вертикалью образует верхняя половина
стержня?
♦ 2.8.24. Однородная балка массы m имеет длину L и высоту h. Нижний ле-
вый угол балки соединен со стенкой шарниром, а верхний левый угол прикреплен
к стенке горизонтальным тросом. Балка горизонтальна. Определите силу натя-
жения троса и силу давления балки на ось шарнира.
♦ 2.8.25∗
. К системе из одинаковых стержней, соединенных шарнирами, под-
вешен груз массы m, как показано на рисунке. Определите силу, растягивающую
n-й верхний горизонтальный стержень.
♦ 2.8.26. С какой силой давит на стенки цилиндрического стакана палочка
массы m, наполовину погруженная в воду? Угол наклона палочки к горизонта-
ли α. Трением пренебречь.
♦ 2.8.27. Каким должен быть коэффициент трения однородного стержня о пол,
чтобы он мог стоять так, как показано на рисунке? Длина нити AB равна длине
стержня.
70
♦ 2.8.28. Расстояние между вертикальными стенками равно l. Какой длины
стержень, вставленный наискось между стенками, не будет опускаться, если ко-
эффициент трения между стержнем и стенками равен µ?
♦ 2.8.29. На цилиндр намотана нить, один конец которой закреплен на стойке в
верхней точке наклонной плоскости. При каком угле наклона плоскости цилиндр
не будет скатываться с нее, если коэффициент трения цилиндра о плоскость ра-
вен µ?
♦ 2.8.30. Глубина лунки в доске, в которую вставлен шар, в два раза меньше
радиуса шара. При каком угле наклона доски с горизонталью шарик выскочит
из лунки?
♦ 2.8.31∗
. На парту с углом наклона α > 30◦ кладут шестигранный карандаш
так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле
между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно?
♦ 2.8.32. Однородный куб с помощью веревки, привязанной в середине его
ребра, подвешен к вертикальной стене. При каких значениях угла между веревкой
и стенкой куб соприкасается со стенкой всей гранью, если коэффициент трения
его о плоскость равен µ?
♦ 2.8.33∗
. На горизонтальной поверхности стоит куб массы m. С какой мини-
мальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро,
чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения
куба о плоскость равен µ?
♦ 2.8.34. Лестница опирается на вертикальную стену и пол. При каких зна-
чениях угла между лестницей и полом она может стоять, если коэффициенты
трения лестницы о пол и о стену равны m1 и m2 соответственно?
♦ 2.8.35∗
. Центр масс холодильника находится на высоте h от пола посере-
дине между опорами, расстояние между которыми равно l. Задние опоры — ко-
лесики с пренебрежимо малым трением в осях, передние опоры — неподвижные
71
выступы, коэффициент трения которых о пол равен µ. Если к холодильнику на
уровне его центра масс приложена горизонтальная сила F, то холодильник начи-
нает сдвигаться назад, в сторону колесиков. Какую горизонтальную силу нужно
приложить на том же уровне в противоположном направлении, чтобы сдвинуть
холодильник вперед?
2.8.36. На вращающуюся горизонтальную ось радиуса R надета с малым
зазором легкая втулка с прикрепленным к ней радиально легким стержнем дли-
ны l. На конце стержня закреплен тяжелый груз. Определите угол отклонения
стержня при вращении втулки вместе с осью от радиального направления, если
коэффициент трения между втулкой и осью µ.
♦ 2.8.37∗
. Колесо радиуса R может свободно вращаться вокруг своей оси. К
боковой поверхности колеса на расстоянии h от оси вращения прижимаются при-
водные ремни, движущиеся со скоростью v. Определите установившуюся угло-
вую скорость колеса, если соприкосновение его с приводным ремнем происходит
только по ободу.
♦ 2.8.38. Однородная балка длины l висит на четырех одинаковых канатах,
прикрепленных на расстоянии l/3 друг от друга. Канат A удаляют. Для умень-
шения опасности разрыва канатов предлагают удалить еще и канат D. Разумно
ли это предложение?
♦ 2.8.39. Однородная балка длины l и массы m на расстоянии l/3 от конца
имеет ось вращения. К концу балки присоединена пружина, прикрепленная к
полу, и такая же пружина присоединена симметрично по другую сторону оси.
При горизонтальном положении балки обе пружины не деформированы. Найдите
силы, с которыми балка действует на ось и пружины. Деформации пружин малы,
поэтому балка почти горизонтальна.
72
♦ 2.8.40. Катушка висит на нити, намотанной по малому радиусу r катушки.
По большому радиусу катушки R тоже намотана нить, на конце которой висит
груз. Какова масса груза, если система находится в равновесии? Масса катуш-
ки M.
♦ 2.8.41. Найдите силу натяжения нити, связывающей оси шарниров верхнего
ромба легкой шарнирной подвески. Масса груза m.
2.8.42∗
. На крыше дома с углом наклона ϕ лежит свинцовый лист. Темпе-
ратура воздуха в течение суток повышается, достигая наивысшего значения t2,
а потом понижается до минимальной температуры t1, при которой длина листа
равна l. Найдите точки листа, неподвижные при нагревании; при остывании.
На какое расстояние сползет лист за N суток устойчивой погоды? Коэффици-
ент трения листа о крышу µ > tg ϕ. Температурный коэффициент линейного
расширения свинца α.
2.8.43. Муравей решил утащить к муравейнику соломинку. Как ему следует
поступить, если сила, с которой он может тянуть соломинку, несколько меньше
максимальной силы трения покоя?
♦ 2.8.44∗
. Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плос-
кости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по
перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения
между бруском и плоскостью равен µ?

 3.1.1. Посередине натянутой струны
длины 2l закреплен шар. Какая суммарная
сила действует на шар со стороны струны,
если поперечное смещение его из положения
равновесия x  l, а сила натяжения стру-
ны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать
зависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена эта
сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия
шара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им поло-
жения равновесия, если его максимальное смещение равно x0? Масса шара m.
3.1.2. Груз массы m подвешен на пружине жесткости k. Как зависит суммар-
ная сила, действующая на груз, от смещения его на x из положения равновесия?
Найдите зависимость потенциальной энергии груза от смещения x.
3.1.3. а. Тело массы m, подвешенное на пружине, совершает колебания так,
что наибольшее значение скорости равно v0, а наибольшее отклонение от поло-
жения равновесия равно x0. Определите жесткость пружины.
б. Скорость тела массы m, подвешенного на пружине и совершающего ко-
лебания, зависит от координаты тела x по закону v = v0
p
1 − (x/x0)
2. Найдите
зависимость силы, действующей на тело, и потенциальной энергии этого тела от
координаты x. Зависит ли полученный результат от природы силы, заставляю-
щей тело двигаться по приведенному закону?
3.1.4. Почему кажется, что быстро колеблющаяся на пружине лампочка
вспыхивает в крайних точках своей траектории?
♦ 3.1.5. Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определи-
те силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесия
на x в случае, если x  l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?
3.1.6. Определите максимальную скорость шарика математического маят-
ника длины l, движущегося в одной плоскости, если амплитуда смещения при
малых колебаниях маятника равна x0.
♦ 3.1.7. Горизонтальный желоб слева от нижней линии выгнут по цилиндри-
ческой поверхности радиуса r, а справа — по поверхности радиуса R. Определите
отношение наибольших отклонений влево и вправо при малых колебаниях тела
в этом желобе.
74
♦ 3.1.8∗
. Два одинаковых шарика с зарядами ±q, жестко связанные невесомым
стержнем длины l, находятся в электрическом поле, которое действует на них
с силой ±qE. Определите массу шарика, если амплитуда малых поперечных
колебаний шариков равна x0, а максимальная скорость шариков v0.
♦ 3.1.9. Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиус
кривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика от
малого смещения x из положения равновесия.
♦ 3.1.10∗
. Бусинка с зарядом q может двигаться без трения по натянутой ни-
ти длины 2L, на концах которой закреплены заряды Q. Найдите приращение
потенциальной энергии при смещении бусинки на x вдоль нити из ее центра.
Убедитесь, что при малых смещениях зависимость приращения потенциальной
энергии от x квадратичная. Найдите, на сколько сместится бусинка массы m,
если в положении равновесия ей сообщат небольшую скорость v.
♦ 3.1.11. Две пружины жесткости k, соединенные, как по-
казано на рисунке, не деформированы. Какой массы груз сле-
дует подвесить к точке соединения пружин, чтобы он опу-
стился на малое расстояние x в положение равновесия?
♦ 3.1.12. а. Небольшое заряженное тело массы m может
скользить по вертикальной спице, в нижней точке которой
закреплен заряд, одноименный с зарядом тела. Положение
равновесия тела находится на расстоянии R от этого заря-
да. Как зависит сила, действующая на тело, от малого его
смещения x из положения равновесия?
б. Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком те-
перь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела?
75
Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения из положения
равновесия?
3.1.13. На тело массы m в задаче 3.1.12а положили небольшой грузик массы
∆m и отпустили. Найдите максимальную скорость тела с грузиком.
♦ 3.1.14∗
. На нитях длины h, находящихся на расстоянии l друг от друга,
висит невесомый стержень длины L > l с грузами массы m на концах. Стержень
горизонтален. Покажите, что при повороте стержня вокруг его вертикальной оси
симметрии на малый угол ϕ момент сил, действующих на грузы, пропорциона-
лен ϕ, а изменение потенциальной энергии грузов пропорционально ϕ
2
. Найдите
максимальную угловую скорость стержня, если его отпустили, повернув предва-
рительно на угол ϕ0.
♦ 3.1.15. Амплитуда малых колебаний математического маятника, стоящего
на тележке, равна x0, а амплитуда колебаний тележки y0. Длина нити маятника l.
Определите максимальную скорость маятника и тележки. Трением пренебречь.
3.1.16. Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити мате-
матического маятника, амплитуда колебаний которого x0 много меньше длины
нити l, если масса маятника m.
3.1.17. Сила нормального давления небольшого тела при малых колебаниях
его вблизи положения равновесия в лунке радиуса R меняется от N до N + ∆,
∆  N. Определите амплитуду колебаний этого тела.
§ 3.2. Период и частота свободных колебаний
♦ 3.2.1. а. Груз массы m, подвешенный на пру-
жине и совершающий колебания, расположен ря-
дом с вращающимся с угловой скоростью Ω коле-
сом, причем точка A колеса все время находится
на одном уровне с центром масс груза. Где на-
ходится положение равновесия груза? Какая сила
действует на груз, если смещение его из положе-
ния равновесия равно x? Через какое наименьшее
время T повторяются значения скорости и сме-
щения груза? Как изменятся значения скорости
и смещения через время T /2?
б. Используя результаты предыдущей задачи, сопоставьте колебательное
движение груза массы m по прямой под действием силы F = −kx вращательно-
му движению. Определите угловую скорость колеса, если известны величины k
и m. На каком расстоянии от оси колеса находится точка A, если наибольшее
отклонение груза от положения равновесия равно x0?
76
3.2.2. Неподвижный груз, подвешенный на пружине, растягивает ее, нахо-
дясь в положении равновесия, на длину ∆l. Каков период вертикальных колеба-
ний груза?
3.2.3. Груз колеблется по вертикали на резиновом шнуре. Во сколько раз
изменится период вертикальных колебаний груза, если его подвесить на том же
шнуре, сложенном вдвое?
♦ 3.2.4. Найдите период колебаний систем осцилляторов, изображенных на
рисунке. Зависит ли период колебаний осциллятора на рисунке в от расстояния
между стенками? k1 и k2 — жесткость пружин, m — масса тела.
3.2.5. Найдите длину математического маятника, период колебаний∗) кото-
рого 1 с.
♦ 3.2.6. Маятник представляет собой легкий и жесткий стержень длины l с
грузом на конце. Чтобы сделать период колебаний маятника б´ольшим без чрез-
мерного увеличения размеров самого маятника, его ось устанавливают под уг-
лом α к вертикали. Определите период колебаний.
♦ 3.2.7. а. Математический маятник — железный шарик массы m, висящий
на длинной нити, — имеет период T0. В присутствии магнита, расположенного
чуть ниже шарика, период колебаний стал равным T. Определите действующую
на шарик магнитную силу.
б. Железный шарик маятника поместили между полюсами магнита так, что
на него действует горизонтальная магнитная сила. Найдите эту силу и новое
∗) Здесь и в дальнейшем, если не оговорено, рассматриваются малые колебания.
77
положение равновесия шарика, если период его колебаний после включения маг-
нитного поля стал равным T.
3.2.8. Вблизи рудного месторождения период колебаний маятника изменился
на 0,1%. Плотность руды в месторождении 8 · 103 кг/м
3
. Оцените размеры место-
рождения, если средняя плотность Земли 5,6 · 103 кг/м
3
, а ее радиус 6400 км.
3.2.9. На сколько отстанут за сутки маятниковые часы, поднятые на высоту
Эвереста (8,9 км)? Останкинской башни (0,5 км)?
3.2.10. Измерения круговой частоты колебаний тела массы m, закрепленного
посередине натянутой струны, длина которой 2l, дали значение ω
∗)
. Найдите силу
натяжения струны.
3.2.11. Найдите частоту малых колебаний системы, описанной в зада-
че 3.1.10.
♦ 3.2.12. Определите время полета камня от одного полюса Земли до другого
по прямому тоннелю, прорытому через центр. Плотность Земли считать посто-
янной, ее радиус — равным 6400 км.
♦ 3.2.13. В Земле прорыт прямой тоннель, не проходящий через ее центр.
Определите время движения поезда с выключенными двигателями по такому
тоннелю, если влиянием вращения Земли на движение поезда и трением прене-
бречь.
♦ 3.2.14. Доска массы m лежит на двух катках, вращающихся с большой ско-
ростью навстречу друг другу. Расстояние между осями катков L, коэффициент
трения при скольжении доски по катку µ. Найдите частоту продольных колеба-
ний доски.
3.2.15∗
. Подъемник поднимается или опускается в шахте, глубина которой
400 м, за 40 с. Сначала он разгоняется с постоянным ускорением, а затем с тем же
по модулю ускорением замедляется. На сколько отстанут за сутки маятниковые
часы подъемника по сравнению с неподвижными часами? Подъемник находится
в движении в течение 5 ч ежедневно.
♦ 3.2.16∗
. Тяжелая тележка скатывается с ускорением a по наклонной плос-
кости, образующей угол α с горизонтом. Найдите период колебаний маятника
длины l, установленного на тележке.
3.2.17∗
. Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоро-
стью Ω. Как зависит период колебаний маятника длины l от расстояния R точки
подвеса до оси вращения? Плоскость колебаний проходит через ось вращения.
♦ 3.2.18. Шарик массы m, насаженный на стержень, вращается с угловой ско-
ростью Ω вокруг оси O, с которой он соединен пружиной жесткости k. Определите
частоту колебаний шарика вдоль пружины, если Ω
2 < k/m.
∗) В дальнейшем круговая частота ω = 2πv = 2π/T, где T — период колебания, если это не
оговорено, называется частотой колебаний.
78
♦ 3.2.19. Метроном представляет собой легкий стержень, на нижнем конце
которого на расстоянии l от оси находится груз массы M. Выше оси подвижный
грузик массы m можно закреплять на стержне на разных расстояниях x от
оси, тем самым подбирая нужную частоту колебаний метронома. Считая массы
точечными, найдите, как частота колебаний зависит от расстояния x.
♦ 3.2.20. Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой
груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную
пружину жесткости k? На рисунке изображено состояние равновесия.
♦ 3.2.21. К ободу колеса с горизонтально расположенной осью прикрепили
грузик массы m. Найдите массу колеса, предполагая ее однородно распределенной
по ободу, если частота колебаний колеса с грузиком вокруг оси равна ω, а его
радиус равен R, R < g/ω2
.
♦ 3.2.22. В сферической лунке радиуса R находятся две точечные массы, со-
единенные невесомым стержнем длины 2l. Определите частоту колебаний при
движении в направлении: а) перпендикулярном плоскости рисунка; б

) парал-
лельном этой плоскости.
♦ 3.2.23. Пружина жесткости k одним концом присоединена к оси колеса мас-
сы m, которое способно катиться без проскальзывания, а другим прикреплена к
79
стенке. Какова частота колебаний системы? Масса колеса однородно распределе-
на по ободу.
3.2.24. Найдите частоту колебаний тонкого обруча радиуса R, подвешенного
на гвозде. Проскальзывания нет; колебания происходят в плоскости обруча.
3.2.25. Два тела массы m1 и m2 связаны пружиной жесткости k. Какова
частота свободных колебаний такой системы, если вращения нет?
♦ 3.2.26. Найдите отношение частот колебаний молекулы H2 и молекулы HD
(D — атом дейтерия).
♦ 3.2.27∗
. Возможны два типа линейных колебаний молекулы углекислого га-
за: а) ядра кислорода движутся в противоположные стороны, а ядро углерода
остается на месте; б) ядра кислорода движутся с одинаковыми скоростями в на-
правлении, противоположном направлению движения ядра углерода. Определите
отношение частот этих колебаний.
♦ 3.2.28. На гладкой горизонтальной поверхности находится тележка массы M
с установленным на ней математическим маятником длины l и массы m. Найдите
период колебаний системы.
♦ 3.2.29. Четыре одинаковых шарика массы m каждый, соединенные одина-
ковыми пружинами жесткости k, образуют квадрат. Одновременно всем четы-
рем шарикам сообщили одинаковые по модулю скорости, направленные к центру
квадрата. Через какое время после этого пружины будут: а) сильнее всего сжаты;
б) сильнее всего растянуты?
♦ 3.2.30. Момент инерции чашки, подвешенной на проволоке, относительно
оси кручения этой проволоки, равен I0. Период крутильных колебаний системы
равен T0. На чашку положили груз. При этом период крутильных колебаний из-
менился и стал равным T. Каков момент инерции груза относительно той же оси
кручения? Момент сил, возникающих при закручивании проволоки, пропорцио-
нален углу закручивания.
♦ 3.2.31∗
. Легкие стержни соединены шарнирами в виде ромба. Две проти-
воположные вершины ромба связаны пружиной жесткости k, а к двум другим
вершинам прикреплены шарики одинаковой массы m. Найдите частоту колеба-
ний системы, если длина пружины в недеформированном состоянии совпадает с
длиной стержня.
♦ 3.2.32∗
. К муфте массы m, надетой на гладкую горизонтальную неподвиж-
ную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии l
от спицы. На другом конце нити привязан груз массы M. При колебаниях муфты
изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите
частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза.
3.2.33. Найдите период колебаний жидкости в ∪-образном сосуде постоян-
ного сечения. Общая длина части сосуда, занятого жидкостью, равна l.
♦ 3.2.34∗
. Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две
сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний
80
жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается
горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна H.
3.2.35. Определите частоту вертикальных колебаний длинного цилиндриче-
ского ареометра, погруженного в жидкость, налитую в цилиндрический стакан,
если радиус стакана много меньше глубины H, на которой ареометр находится
в состоянии равновесия.
♦ 3.2.36∗
. В цилиндрическом сосуде ра-
диуса R находится поршень длины l, соеди-
ненный пружиной жесткости k со стенкой
сосуда. По оси поршня имеется сквозной ка-
нал радиуса r. Все свободное пространство
в сосуде заполнено жидкостью плотности ρ.
Найдите частоту колебаний поршня, если l  R и масса поршня равна m.
3.2.37∗
. После загрузки корабля период колебаний его по вертикали уве-
личится с 7 до 7,5 с. Какова масса груза? Сечение по ватерлинии S = 500 м
2
.
Характер вовлечения воды в движение считать не изменившимся при загрузке.

 

Категория: Физика | Добавил: Админ (03.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar