Тема №5607 Ответы к задачам по физике Савченко (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Савченко (Часть 4) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Савченко (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

3.3.1. Тело массы m, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Сме-
щение тела зависит от времени по закону x = A cos ωt. Как меняются со временем
скорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещения
и от времени? Чему равна жесткость пружины?
3.3.2. Амплитуда колебаний математического маятника 5 мм, длина его ни-
ти 1 м. Как зависит смещение шарика от времени? За начало отсчета времени
принять: а) момент прохождения положения равновесия слева направо; б) момент
прохождения крайнего правого положения.
3.3.3. Груз, свободно колеблющийся на пружине, за время 0,01 с сместился с
расстояния 0,5 см от положения равновесия до наибольшего, равного 1 см. Каков
период его колебаний?
3.3.4. Частота свободных колебаний тела равна ω. Через какое наименьшее
время его кинетическая энергия уменьшается вдвое по сравнению со своим наи-
большим значением?
3.3.5. Найдите период колебаний математического маятника длины l, если
на пути нити на расстоянии l/2 вниз по вертикали от точки подвеса вбит гвоздь.
3.3.6. Найдите период колебаний тела в задаче 3.1.7.
6 81
♦ 3.3.7∗
. Гладкую однородную веревку длины l удерживают в вертикальном
колене изогнутой трубы так, что нижний конец ее касается горизонтальной части
трубы. Веревку отпускают. Через какое время она полностью окажется в гори-
зонтальном колене? Трением пренебречь. Как изменится это время, если вначале
часть веревки уже находилась в горизонтальном колене?
♦ 3.3.8∗
. Воздушный шарик при слабом ударе о стенку деформируется, как
показано на рисунке. При этом максимальная деформация шарика x много мень-
ше его радиуса R. Пренебрегая изменением избыточного давления ∆p воздуха
в шарике и упругостью оболочки, оцените время соударения со стенкой. Масса
шарика m.
♦ 3.3.9. Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в
некоторых определенных точках оси OO0
, если скорость каждой частицы пучка
в сечении OO00 равна v0, а сила, действующая на частицу, F = −kr, где r —
расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения OO00 фо-
кусируются частицы, если масса каждой из них равна m?
♦ 3.3.10. Из нижней точки гладкого горизонтального цилиндрического жело-
ба радиуса R под небольшим углом к его образующей выскальзывает со скоро-
стью v0 маленький шарик. Сколько раз на длине l он пересечет нижнюю образу-
ющую желоба?
♦ 3.3.11. К наклонной стене подвешен маятник длины l. Маятник отклонили
от вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вер-
тикали, и отпустили. Найдите период колебаний маятника, если удары о стену
абсолютно упругие.
♦ 3.3.12. Один конец пружины прикреплен к стене, на втором — шарик, ко-
леблющийся с амплитудой A и периодом T0. На каком расстоянии от положения
равновесия шарика нужно поставить плиту, чтобы период его колебаний стал
равным T? Удары шарика о плиту абсолютно упругие.
♦ 3.3.13. Груз массы m падает с высоты H на пружину жесткости k и длины h,
нижний конец которой прикреплен к полу. Определите время контакта груза с
пружиной, если mg < 2k(H − h).
♦ 3.3.14. По гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v скользит тон-
кий однородный брусок длины l. Брусок наезжает на обширный шероховатый
82
участок плоскости. Через какое время брусок остановится, если коэффициент
трения равен µ?
♦ 3.3.15∗
. Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который колеблется
гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он це-
лится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет
в диск, если амплитуда колебаний диска a  R? Если A = 2R? Увеличится ли
вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии R от
края области?
♦ 3.3.16. К одному концу первоначально недеформированной и неподвиж-
ной пружины жесткости k прикреплен груз массы m. Свободный конец пру-
жины стали тянуть с постоянной скоростью, как показано на рисунке, пока
он не переместился на расстояние d. Затем
его резко остановили. При какой скорости
этого конца пружины груз после остановки
не будет колебаться? Сформулируйте ана-
логичную задачу для математического ма-
ятника.
3.3.17. Два одинаковых маятника имеют общую точку подвеса. Одному ма-
ятнику толчком сообщили некоторую скорость, затем через время τ другому ма-
ятнику тоже толчком сообщили такую же скорость. Через какое время после
начала движения первого маятника оба маятника встретятся, если период их
колебаний равен T, а τ < T /2?
♦ 3.3.18. Тело массы m, подвешенное на пружине жесткости k, лежит на под-
ставке. Подставку мгновенно убирают. Опишите движение тела, если первона-
чально пружина: а) не деформирована; б) сжата и ее деформация равна l.
♦ 3.3.19. Пуля массы m, летящая со скоростью v, попадает в тело массы M,
связанное со стенкой пружиной жесткости k, и застревает в нем. Выбрав мо-
мент попадания пули за начало отсчета времени, найдите зависимость скорости
и координаты тела от времени.
♦ 3.3.20. По горизонтальной плоскости со скоростью v скользят два шари-
ка одинаковой массы m, связанные недеформированной пружиной жесткости k.
Шарики налетают на вертикальную упругую стенку. Опишите последующее дви-
жение шариков. Произойдет ли повторный удар их о стенку?
83
3.3.21∗
. Тела массы m1 и m2 связаны первоначально недеформированной
пружиной. Телу массы m1 сообщают ударом скорость v, направленную вдоль
пружины. Как с течением времени станут меняться скорости этих тел, если ча-
стота свободных колебаний тел равна ω?
3.3.22. На тело, связанное со стенкой пружиной и находящееся в равновесии,
начала действовать вдоль пружины постоянная сила F. Чему равно наибольшее
значение силы натяжения пружины и через какое время после включения начала
действия на тело силы F оно достигается? Период свободных колебаний тела T.
3.3.23∗
. В момент времени t0 координата тела, совершающего колебания с
частотой ω, равна x0, а скорость равна v0. Докажите, что зависимость коорди-
наты тела от времени можно представить в виде
x = x0 cos ω(t − t0) + (v0/ω) sin ω(t − t0).
3.3.24∗
. Тело массы m, подвешенное на пружине, колеблется по закону
x = A0 cos ωt. С момента времени t0 на тело начинает действовать вдоль пружи-
ны постоянная сила F. Определите амплитуду колебаний относительно нового
положения равновесия. При каком t0 эта амплитуда наибольшая? наименьшая?
♦ 3.3.25∗
. На горизонтальной ленте транспор-
тера, движущейся со скоростью u, находится груз
массы m, связанный пружиной жесткости k с
неподвижной стенкой. Пусть в начальный момент
пружина не деформирована и груз из-за трения
движется вместе с лентой. Определите амплиту-
ду возникших колебаний.
3.3.26∗
. Пусть в условии задачи 3.3.25∗ начальная скорость груза нулевая,
а коэффициент трения равен µ. При какой скорости ленты движение груза будет
гармоническим колебанием? Как зависит амплитуда установившихся колебаний
от скорости ленты u?
3.3.27∗
. На горизонтальной плоскости лежит тело массы M, связанное пру-
жиной жесткости k с неподвижной стенкой. Тело оттянули на расстояние l от
положения равновесия и отпустили. Совершив n колебаний, тело остановилось.
Чему равен коэффициент трения между телом и плоскостью, если после останов-
ки тела пружина оказалась недеформированной?
♦ 3.3.28. К маятнику AB с шариком массы M подвешен маятник BC с ша-
риком массы m. Точка A совершает гармонические колебания по горизонтали
с частотой ω. Найдите длину нити BC, если известно, что нить AB все время
остается вертикальной.
3.3.29. Тело массы m колеблется по закону x = A cos (ωt + ϕ). Найдите
зависимость силы, действующей на тело, от времени. Чему равно ее наибольшее
значение? В какие моменты сила принимает наибольшее по модулю значение?
3.3.30. Горизонтальная мембрана совершает гармонические колебания по
вертикали с частотой ω и амплитудой A. На мембране лежит маленький груз.
84
При каком условии он будет колебаться вместе с мембраной, а при каком —
начнет отскакивать? Ниже или выше среднего положения мембраны происходит
отрыв груза от ее поверхности?
♦ 3.3.31. Для измерения малых амплитуд колебаний мембраны, совершающей
гармонические колебания высокой частоты ω, применяется «молоточек», вклю-
ченный в электрическую цепь с мембраной и телефоном. Молоточек массы m
прижимается к мембране с силой, которая регулируется микрометрическим вин-
том. Когда контакт молоточка с мембраной прерывается, прерывается ток в цепи
и в телефоне слышно дребезжание. Определите амплитуду колебаний, если дре-
безжание началось с момента, когда сила, с которой молоточек прижимается к
мембране, достигла значения F.
3.3.32. На горизонтальной плите лежит груз. Плита начинает двигаться
вверх, совершая по вертикали гармонические колебания с частотой ω и амплиту-
дой A. На какую высоту от начального положения плиты подскочит груз после
своего отрыва от ее поверхности?
3.3.33∗
. С какой амплитудой должна колебаться плита (см. задачу 3.3.32),
чтобы наступил своеобразный резонанс: груз, подбрасываемый плитой, после
каждого удара увеличивал бы высоту своего подъема? Удары считать абсолютно
упругими.
♦ 3.3.34∗
. Пьезокварцевая пластинка колеблется с частотой ω = 107
с
−1
. На
торец пластинки положили тело массы, сравнимой с массой пластинки. Коэффи-
циент трения между телом и пластинкой µ = 1. Оцените, при какой амплитуде
колебаний наличие этого тела существенно влияет на частоту колебаний пла-
стинки. Оцените наибольшую скорость тела в установившемся колебательном
режиме в случае, когда амплитуда колебаний пластинки A = 10−6
см.
6
∗ 85
3.3.35. Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется
скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по
ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это.
♦ 3.3.36∗
. Наклонная плоскость совершает гармонические колебания с боль-
шой частотой вдоль своей поверхности. Каково установившееся движение тела,
находящегося на ней? Какова средняя скорость этого тела за большое время, ес-
ли tg α  µ, где α — угол наклона плоскости, µ — коэффициент трения, v0 —
амплитуда скорости наклонной плоскости?
§ 3.4. Наложение колебаний
♦ 3.4.1. Концы пружин могут скользить без трения по неподвижной вер-
тикальной рамке, другими концами они прикреплены к телу массы m. Какой
характер носит движение тела в общем случае, когда
k1 6= k2? В каких направлениях возможно прямоли-
нейное движение и как его возбудить?
3.4.2. Пусть в условиях задачи 3.4.1 k1 = k2 =
k/2. Убедитесь, что в плоскости рамки возмож-
ны прямолинейные колебания в любом направлении.
Каким способом нужно возбуждать колебания, чтобы
движение тела происходило по окружности? Докажи-
те, что при любом способе возбуждения траектория
движения тела замкнутая. Найдите период движения
тела.
3.4.3. а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плос-
кости. Амплитуда его колебаний A, частота ω. В момент максимального откло-
нения шарику маятника сообщили небольшую скорость v, направленную перпен-
дикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик
маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шари-
ка до положения равновесия?
б

. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость v сообщена ша-
рику в момент, когда он находится на расстоянии x от положения равновесия.
♦ 3.4.4. Движение электронного луча по экрану ос-
циллографа описывается уравнениями
x = A cos (ωt − ϕ), y = A cos (ωt + ϕ).
Для удобства измерений перед экраном помещена квад-
ратная сетка. Определите по рисунку сдвиг фаз обоих
колебаний.
3.4.5∗
. В условиях задачи 3.4.4 определите, при ка-
ком сдвиге фаз на экране виден отрезок; окружность. За
время 2π/ω след луча на экране не успевает погаснуть.
Докажите, что в случае произвольного постоянного ϕ
след луча на экране представляет собой эллипс с полуосями, лежащими на диа-
гоналях квадрата. Найдите эти полуоси.
3.4.6. При изучении гармонических колебаний осциллятора электрическое
напряжение, пропорциональное смещению осциллятора, подается на x-пластины
осциллографа, а напряжение, пропорциональное скорости, — на y-пластины. Ка-
кую картину мы увидим на экране?
3.4.7. Отклонение луча осциллографа описывается уравнениями
x = A cos [(ω − Ω/2)t], y = A cos[(ω + Ω/2)t],
86
где Ω  ω, причем след луча на экране гаснет за время, много меньшее 2π/Ω.
Какую картину мы увидим на экране осциллографа?
♦ 3.4.8. На x- и y-пластины осциллографа подают гармонические сигналы, и
на экране появляются картины, изображенные на рисунке. Как относятся пери-
оды колебаний по x и y в случаях а–г?
3.4.9. Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно пер-
пендикулярных направлениях x, y, движется по траектории, которая называется
фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целые
числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу при
равных частотах?
3.4.10. Докажите, что если амплитуда гармонических колебаний точки по
оси x равна A, а по оси y равна B, то фигура Лиссажу вписывается в прямо-
угольник со сторонами 2A по оси x и 2B по оси y. Пусть фигура касается го-
ризонтальных сторон этого прямоугольника в p = 3 точках, а вертикальных —
в q = 4 точках. Как относятся частоты этих колебаний?
♦ 3.4.11∗
. Два шарика массы m1 и m2, при-
крепленные к одинаковым пружинам, могут ко-
лебаться, скользя по бруску массы M без трения.
Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Ша-
рики связаны нитью, сила натяжения которой F.
Нить пережигают. При каком наименьшем коэф-
фициенте трения между плоскостью и бруском
тот не сдвинется с места?
3.4.12∗
. Концы пружины жесткости k перемещают в продольном направле-
нии по гармоническому закону:
x1 = A1 cos (ωt + ϕ1), x2 = A2 cos (ωt + ϕ2);
при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Как меняется
эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время
энергию пружины. При какой разности фаз ϕ2 − ϕ1 средняя энергия пружины
наибольшая? наименьшая?
3.4.13∗
. Пусть концы пружины (см. задачу 3.4.12) перемещаются с разной
частотой:
x1 = A cos ω1t, x2 = A cos ω2t.
Как в этом случае меняется сила натяжения пружины со временем? Постройте
график зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот. Поче-
му здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд и
частот среднюю энергию пружины за большое время.
3.4.14. Частица при действии на нее силы F = F0 cos ωt колеблется по закону
x = A cos (ωt − ϕ). Какова средняя мощность этой силы?
87
♦ 3.4.15. а. Двум шарикам массы m, которые связаны друг с другом и стенка-
ми тремя пружинами жесткости k, одновременно сообщили одинаковую по моду-
лю скорость, направленную вдоль пружин. Найдите частоту колебаний шариков,
если их скорости противоположно направлены. Одинаково направлены.
б. Свободные колебания сложных систем являются суммой (наложением)
нескольких гармонических колебаний с разными частотами. Если первому ша-
рику в задаче 3.4.15а сообщить вдоль пружины скорость v, то последующее дви-
жение шариков будет суммой двух движений: движения шариков, которым со-
общили скорость v/2 и −v/2, и движения шариков, которым сообщили скорость
v/2 и v/2. Определите, пользуясь этим, скорость шариков в последующие за на-
чалом колебаний моменты времени. Чему равно максимальное смещение первого
шарика? второго? максимальное удлинение средней пружины?
в. Решите задачу 3.4.15б в случае, если первому шарику сообщили скорость
3v, а второму скорость v.
3.4.16∗
. Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшую
скорость v в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизит-
ся атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода равна M, атома
углерода m, а жесткость связи между атомами равна k.
♦ 3.4.17∗
. Собственные частоты двойного маятника равны ω1 и ω2. Длина
нити, связывающей шарики маятника, равна l. В состоянии равновесия нижнему
шарику сообщили небольшую скорость v. Определите максимальное отклонение
нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний
шарик с потолком.
♦ 3.4.18. Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по
закону
x1 = B cos (ω0t + ϕ) + A cos ωt,
x2 = B cos (ω0t + ϕ) − A cos ωt.
Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равнове-
сия маятники вертикальны, масса каждого шарика m.
♦ 3.4.19. На рисунке изображен график зависимости координаты от времени
для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определите
по нему амплитуды и частоты этих колебаний.
88
§ 3.5. Вынужденные и затухающие колебания
3.5.1. Маятник массы m подвергается кратковременным ударам, за каждый
из которых ему передается импульс p0. Постройте график движения маятника,
если известно, что вначале он покоился, что затухания колебаний нет, а уда-
ры следуют друг за другом через промежутки времени T0 и T0/2 (T0 — период
свободных колебаний маятника).
3.5.2. Гармоническому колебанию тела массы m можно сопоставить движе-
ние точки по окружности, радиус которой совпадает с амплитудой колебаний A
тела, а угловая скорость — с частотой ω. Координата x этой точки совпадает с
координатой тела, а координата y, умноженная на mω, — с импульсом тела p.
Кривые, описывающие движение тела в переменных p, x, называются фазовым
портретом. Постройте фазовый портрет для маятника задачи 3.5.1.
3.5.3∗
. В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость v0
и координату x0. Какой будет амплитуда колебаний после n ударов, если первый
из них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет.
3.5.4. Ваша приятельница сидит на качелях. Вы раскачиваете их кратко-
временными толчками. Как это нужно делать, чтобы раскачивание проходило
наиболее успешно?
3.5.5. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик сто-
ит на ней неподвижно, она прогибается на 0,1 м. Когда же он идет со скоростью
3,6 км/ч, то доска начинает так раскачиваться, что он падает в воду. Какова
длина шага мальчика?
3.5.6. Грузовики въезжают по грунтовой дороге на зерновой склад с одной
стороны, разгружаются и выезжают со склада с той же скоростью, но с другой
стороны. С одной стороны склада выбоины на дороге идут чаще, чем с другой.
Как по состоянию дороги определить, с какой стороны склада въезд, а с какой
выезд.
3.5.7. Катер, плывущий по морю, начинает сильно раскачиваться, хотя вол-
ны сравнительно невысокие. Капитан изменяет курс катера и его скорость. Уда-
ры волн о катер становятся при этом в два раза чаще, но тем не менее размах
колебаний катера значительно уменьшается. Объясните это.
3.5.8. Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным ко-
лебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однако
это вряд ли удастся. Почему?
3.5.9. Сила сопротивления в жидкой или газообразной среде при небольших
скоростях движения пропорциональна скорости тела и направлена против нее:
f = −bv. Как зависит рассеиваемая при движении тела мощность от его скоро-
сти?
3.5.10∗
. Пусть кинетическая энергия осциллятора K = mv2/2, а потен-
циальная U = kx2/2. Покажите, что наличие «потерь» мощности Nп = bv2
89
осциллятора эквивалентно наличию добавочной силы f = −bv, действующей на
него.
3.5.11. Качественно опишите движение вначале покоившегося осциллятора
под влиянием одиночного толчка и серии одинаковых толчков, следующих друг
за другом через период, и постройте фазовый портрет этого осциллятора, если
сила сопротивления движению пропорциональна его скорости.
3.5.12∗
. Колебательную систему при наличии сопротивления называют ос-
циллятором с затуханием, а его колебания в отсутствие силы, их поддержи-
вающей, — затухающими. Покажите, что уравнения движения двух осцилля-
торов, сила сопротивления движению которых f1 = −b1v1, f2 = −b2v2, при
k1/m1 = k2/m2 = ω
2
0 и b1/m1 = b2/m2 = 2γ имеют одинаковое решение при
одинаковых начальных координатах и скоростях (ω0 — частота свободных ко-
лебаний в отсутствие трения, γ — коэффициет затухания, k1, k2 — жесткость и
m1, m2 — масса осцилляторов).
3.5.13. Покажите, что если затухающие колебания осциллятора происходят
по закону x1 = x1(t) и v1 = v1(t), то колебания такого же осциллятора с началь-
ными условиями x2(0) = nx1(0), v2(0) = nv1(0) происходят по закону x2 = nx1(t),
v2 = nv1(t).
3.5.14. Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его
перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при
каком соотношении величин γ и ω0 это произойдет (см. задачу 3.5.12).
3.5.15. Пусть затухание достаточно слабое, так что осциллятор, выйдя из
начального равновесного положения со скоростью v, через время T снова про-
ходит положение равновесия со скоростью v/n, n > 1. Что можно сказать про
скорость осциллятора через время 2T, 3T?
3.5.16. Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время τ умень-
шилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора?
За какое время его энергия уменьшилась вдвое?
3.5.17. На горизонтальные пластины осциллографа подается сигнал, про-
порциональный смещению осциллятора, совершающего слабозатухающие коле-
бания, а на вертикальные — сигнал, пропорциональный его скорости. Изобразите
след луча на экране осциллографа.
3.5.18. Если в момент t = 0 осциллятор, колеблющийся с за-
туханием, находится в положении равновесия и его скорость равна v0,
то координата его в момент времени t 6= 0 определяется формулой
x =
v0
ω
exp (−γt) sin ωt,
где ω =
p
ω
2
0 − γ
2, γ < ω0 =
p
k/m,
k, m и γ — соответственно жесткость, масса
и коэффициент затухания осциллятора. Пока-
жите, что свойства осциллятора, описанные в
задачах 3.5.12 и 3.5.15, не противоречат этому
утверждению.
♦ 3.5.19. По виду зависимости x от t для за-
тухающих колебаний, полученному на экране
осциллографа, определите величину γ и ω. По-
чему при γ  ω0 можно считать, что ω ≈ ω0?
3.5.20. а. Два следующих друг за дру-
гом наибольших отклонения в одну сторону се-
кундного маятника отличаются друг от друга
на 1%. Каков коэффициент затухания этого ма-
ятника?
90
б. Шарик этого маятника заменили шариком того же радиуса, но с массой в
четыре раза большей. Как это скажется на затухании колебаний?
3.5.21∗
. а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной
энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на 1 рад. Выразите
добротность через коэффициент затухания γ и частоту свободных колебаний ω0
(γ  ω0). Как связана добротность Q с числом колебаний, за которое энергия
осциллятора уменьшится в e раз?
б. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответ-
ствующей подвеске добротность Q = 108−109
. Частота колебаний монокристалла
ω0 = 104
с
−1
. Оцените, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристалла
за сутки.
3.5.22∗
. Каждый раз, когда осциллятор проходит в одном и том же направ-
лении положение равновесия, ему в направлении скорости сообщается ударом
дополнительный импульс p. Каким будет движение осциллятора и какая устано-
вится максимальная скорость? Характеристики осциллятора известны. Рассмот-
рите два предельных случая: 2πγ/ω  1 и 2πγ/ω  1.
3.5.23. Приведите пример системы, в которой воздействие со стороны одной
части ее на другую описывается силой, меняющейся со временем гармонически.
3.5.24. На частицу массы m действует сила F = F0 sin ωt, вынуждающая
частицу колебаться около положения равновесия. Представьте себе, что эту си-
лу развивает пружина, прикрепленная к неподвижной стенке, и найдите в этом
случае амплитуду колебаний частицы.
♦ 3.5.25∗
. В системах, изображенных на рисунке, происходят свободные коле-
бания без трения. Покажите, что сила, действующая на выделенный штриховой
линией осциллятор, имеет гармонический характер.
3.5.26. а. Тело массы m, связанное с двух сторон пружинами со стенками,
колеблется с частотой ω (см. рисунок к задаче 3.5.25∗
). Определите амплитуду
колебаний тела, если известно, что жесткость левой пружины k, а со стороны
правой пружины на тело действует сила F0 sin ωt.
б. Тело массы m, слева связанное со стенкой пружиной жесткости k, а справа
жестко соединенное с другим телом, колеблется с частотой ω (см. рисунок к
задаче 3.5.25∗
). Определите амплитуду колебаний этого тела, если известно, что
со стороны второго тела на тело массы m действует сила F0 cos ωt.
♦ 3.5.27∗
. Если одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и от-
пустить, то в системе возбудятся колебания с частотой ω0 =
p
g/l. Если же
отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут ко-
лебания с частотой ω =
p
g/l + 2k/m. В общем случае движение грузиков есть
результат наложения этих колебаний:
x1 = B cos (ω0t + ϕ)A cos ωt, x2 = B cos (ω0t + ϕ) − A cos ωt.
91
Теперь, рассматривая силу F0 cos ωt, действующую на левый грузик со сторо-
ны пружины как вынуждающую, определите величину A через параметры F0,
m, ω0 и ω. Слагаемое B cos (ω0t + ϕ) представляет собой свободное колебание
выделенного осциллятора. Чем определяется выбор параметров B и ϕ?
3.5.28∗
. Результат задачи 3.5.27∗ очень важен: в общем случае движение
осциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вы-
нужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить только
вынужденные колебания?
3.5.29∗
. Почему при линейной зависимости вынуждающей силы от смеще-
ния и скорости осциллятора общее его движение является суммой свободных и
вынужденных колебаний?
3.5.30. Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, мень-
шей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы сов-
падают, а при частоте, большей собственной, противоположны?
3.5.31. При малых по сравнению с собственной частотой осциллятора ча-
стотах вынуждающей силы его смещение можно считать равным F(t)/k, где
F(t) — вынуждающая сила, k — жесткость колебательной системы. При боль-
ших же частотах вынуждающей силы ускорение осциллятора можно считать
равным F(t)/m, где m — масса осциллятора. Объясните это.
3.5.32∗
. В момент времени t = 0 на покоящийся в положении равновесия
осциллятор начинает действовать вынуждающая сила F = F0 cos ωt. Масса ос-
циллятора m, его собственная частота ω0. Найдите зависимость координаты ос-
циллятора от времени и постройте ее график для |ω − ω0|  ω. При построении
графика воспользуйтесь тождеством
cos α − cos β ≡ 2 sin
α − β
2
sin
α + β
2
.
3.5.33∗
. Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32∗
, сопро-
вождается биениями. При ω → ω0 размах биений неограниченно растет, но зато
их период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются. Пусть
время, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много мень-
ше 2π/|ω − ω0|. Воспользуйтесь приближением sin ε ≈ ε (ε  1) и определите
характер раскачки колебаний в этом случае.
3.5.34∗
. Выяснить характер раскачки колебаний при ω = ω0 можно, перейдя
в выражении для координаты x(t) к пределу ω → ω0 (см. ответ к задаче 3.5.32∗
).
Как объяснить, что амплитуда колебаний растет в этом случае пропорционально
времени?
3.5.35∗
. Пусть имеются колебания со слабым затуханием: коэффициент за-
тухания γ  ω0. Как оно скажется на раскачке колебаний осциллятора из состо-
яния покоя в положении равновесия при |ω − ω0|  γ и при ω = ω0? Почему в
этих случаях уместно говорить об установлении вынужденных колебаний? Како-
во характерное время этого установления?
3.5.36. а. Какая нужна вынуждающая сила, чтобы осциллятор массы m с
коэффициентом затухания γ начал совершать гармонические колебания с соб-
ственной частотой ω0 по закону x = A cos (ω0t − ϕ)?
б. Амплитуда вынуждающей силы равна F0, ее частота ω = ω0. Определи-
те амплитуду вынужденных колебаний. Во сколько раз она больше отклонения
осциллятора при действии постоянной силы F0?
3.5.37. Осциллятор движется по закону x = x0 sin ωt, а вынуждающая сила,
действующая на него, F = F0 cos ωt. Каков коэффициент затухания у осциллято-
ра? Масса осциллятора m.
♦ 3.5.38. На рисунке приведена зависимость квад-
рата амплитуды скорости вынужденных колебаний
92
от частоты вынуждающей силы, амплитуда которой
постоянна. Определите собственную частоту осцил-
лятора, его коэффициент затухания и добротность.
3.5.39. Для резонансного обнаружения малых
вынуждающих сил можно использовать монокри-
сталл сапфира с добротностью Q = 109 и частотой
собственных колебаний ω0 = 104
с
−1
. Сколько вре-
мени (по порядку величины) нужно ждать, чтобы в
монокристалле установились колебания?
3.5.40. Игла звукоснимателя движется по синусоидальной бороздке грам-
пластинки. Частота собственных колебаний иглы ω0. При какой скорости иглы
относительно пластинки она начнет выскакивать из бороздки? Изгибы бороздки
повторяются через расстояние λ.
3.5.41∗
. Частицы массы m каждая вылетают из источника в момент t = 0
с почти нулевой начальной скоростью. Сразу после вылета на них начинает дей-
ствовать сила F = F0 sin ωt. Определите скорость частиц спустя время t после
вылета. Какова средняя скорость этих частиц? На каком расстоянии от источ-
ника достигается наибольшая скорость? Ответьте на эти вопросы для частиц,
испущенных в момент времени t = π/ω, π/2ω.
3.5.42∗
. С момента времени t = 0 на частицу массы m начинает в направ-
лении оси x действовать сила Fx = F0 sin ωt, а в направлении оси y — сила
Fy = F0 cos ωt. Найдите траекторию частицы, если в начальный момент она по-
коится. Чему равна средняя скорость частицы за большое время? Какую началь-
ную скорость должна иметь частица, чтобы двигаться при наличии этих сил по
окружности? Каков радиус этой окружности?

3.6.1. Длинную цепь шариков, связанных пружинами жесткости k, тянут за
один конец с силой F. Другой конец цепи закреплен. Определите общее удлинение
пружин и смещение N-го шарика при равновесии.
3.6.2. Проволоку длины 1 м растянули за концы на 0,1 мм. Как изменится
расстояние между «соседними» атомами, если среднее межатомное расстояние в
недеформированном материале равно 10−10 м?
3.6.3. Модулем Юнга E материала называется жесткость куба единичного
объема при усилии, приложенном перпендикулярно одной из его граней. Какова
жесткость стержня длины L и сечения S при продольных растяжении и сжа-
тии? Пусть стержень закреплен с одного конца. Какой силой, прикладываемой к
другому концу, его можно растянуть на ∆L?
3.6.4. Оцените жесткость межатомной связи в веще-
стве с модулем Юнга E и средним межатомным рассто-
янием a.
♦ 3.6.5. На стальном стержне сечения 0,5 см2 и дли-
ны 75 см закрепили на расстоянии 25 см друг от дру-
га три груза массы 2 т каждый. Нижний груз висит на
конце стержня. Нарисуйте графики относительно удли-
нения (деформации) и смещения участков стержня. Мо-
дуль Юнга стали 2 · 1011 Па. Каково растяжение всего стержня?
3.6.6. Рельсы для трамвая при укладке сваривают в стыках. Какие напря-
жения появляются в них при изменении температуры от −30 ◦C зимой до 30 ◦C
летом, если укладка проводилась при 10 ◦C? Температурный коэффициент ли-
нейного расширения стали 1, 25 · 10−5 K−1
.
93
3.6.7. Части стены по разные стороны трещины соединили раскаленной
стальной полосой, которая, остыв, прижала их друг к другу. Пусть ширина тре-
щины 1 см, длина полосы 2 м, а ее сечение 2 см2
. С какой силой стянуты части
стены, если полоса первоначально нагрета на 500 ◦C?
3.6.8. Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту 30 м.
На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита
2,7 · 103 кг/м
3
, а его модуль Юнга 1011 Па.
3.6.9. Стержень массы m, длины l и сечения S тянут за один конец в про-
дольном направлении с ускорением a. Модуль Юнга материала стержня E. Ко-
лебаний в стержне нет. На сколько удлинится стержень?
3.6.10. Относительное удлинение стержня равно ε. Найдите энергию упру-
гой деформации на единицу объема, если модуль Юнга материала стержня ра-
вен E. Выразите полученную величину через силу, действующую на единицу
площади сечения и через нормальное напряжение σ.
3.6.11∗
. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в
кольцо стержень, имеющий квадратное сечение a × a? Модуль Юнга матери-
ала E, длина стержня l  a.
♦ 3.6.12∗
. При действии продольных сил, растяги-
вающих или сжимающих упругое тело, изменяются не
только его продольные, но и поперечные размеры. Рас-
смотрите модель ячейки кристалла, в которой связи ато-
мов представлены пружинами. Жесткость диагональ-
ных пружин k, остальных — k0. Определите отношение
сжатия поперечных пружин к удлинению продольных
при малых деформациях.
3.6.13∗
. При продольном растяжении образца относительное уменьшение его
поперечных размеров −ε
0 пропорционально относительному удлинению образца
ε = −∆l/l. Отношение ν = −ε
0/ε называется коэффициентом Пуассона ν. Опре-
делите коэффициент Пуассона для образца, отвечающего модели из задачи 3.6.12.
3.6.14. Коэффициент Пуассона для стали ν = 0,3. Увеличивается или умень-
шается объем стального стержня при растяжении? Объем резинового шнура при
растяжении почти не меняется. Чему равен коэффициент Пуассона для резины?
3.6.15. Сжимаемость вещества показывает, на какую долю от первоначаль-
ного объема уменьшается объем тела при единичном увеличении давления на
его поверхность. Рассматривая всестороннее сжатие кубика вещества как сум-
му трех односторонних сжатий, выразите сжимаемость через модуль Юнга E и
коэффициент Пуассона ν.
3.6.16. Сжимаемость воды 5·10−5 атм−1
. Оцените изменение глубины океана
в случае, если бы вода стала несжимаемой. Средняя глубина океана составляет 3–
4 км. В океане встречаются впадины, глубина которых около 10 км. На сколько
плотность воды на этой глубине больше, чем на поверхности? Какая упругая
энергия запасена в единице объема воды?
♦ 3.6.17. Невесомая нить переброшена через два гвоздя. К ней подвешены два
груза. Сила натяжения горизонтальных участков нити F. Как по профилю нити
найти массу грузов и силу реакции со стороны гвоздей?
♦ 3.6.18. К концам струны приложены продольные силы F0. При попереч-
ном смещении отдельных участков струны возник профиль, изображенный на
рисунке. Постройте график зависимости поперечной составляющей силы натя-
жения струны от координаты. Какие поперечные силы могут удержать струну
в таком виде?
94
♦ 3.6.19. Участки струны движутся в поперечном направлении так, что об-
ласть изгиба смещается вправо со скоростью c, не меняя своего наклона. Как
связаны деформация ε струны в области изгиба и скорость участков струны u?
♦ 3.6.20. а. Объясните, почему увеличивается импульс выделенного на рисун-
ке участка струны. Определите скорость изменения этого импульса через массу
единицы длины струны ρ, деформацию в области изгиба ε  1 и скорость сме-
щения области изгиба c.
б. Какова сумма сил, действующих на выделенный на рисунке участок стру-
ны, если сила натяжения ее равна F0? Выразите скорость смещения области
изгиба струны через F0 и ρ.
♦ 3.6.21. а. По графику продольных смещений участков стрежня определите
деформацию и упругую энергию, приходящуюся на единицу объема стержня, в
области возмущения. Возмущение, сохраняя свой вид, перемещается вправо по
стержню со скоростью c. Какова скорость частиц стержня в области возмущения?
Модуль Юнга материала стержня E.
б. В движущейся области деформации (бегущей волне), сохраняющей свою
форму при перемещении по стержню, кинетическая энергия частиц равна упру-
гой. Определите скорость волны через модуль Юнга E и плотность ρ материала
стержня.
♦ 3.6.22. а. Область продольной деформации ε движется по стержню со ско-
ростью c вправо. Площадь сечения стержня S, плотность материала ρ. Какова
скорость изменения импульса частиц стержня в области справа от выделенного
сечения?
95
б. Импульс, переносимый за единицу времени через единицу площади по-
перечного сечения, называется плотностью потока импульса. Почему плотность
потока импульса должна быть равна нормальному напряжению σ в этом сечении?
Выразив σ через деформацию, определите отсюда c через ε и ρ.
3.6.23. Модуль Юнга стали 2 · 1011 Па, ее плотность 7,8 · 103 кг/м
3
. Какова
скорость продольных волн в стальном стержне? Скорость продольных волн в
листовой стали больше, чем в тонких стальных стержнях. Почему?
3.6.24. Сжимаемость ртути, воды и воздуха равна соответственно 3 · 10−5
,
5·10−5 и 0,71 атм−1
, а их плотность — соответственно 13,6·103
, 1·103 и 1,2 кг/м
3
.
Определите скорость звука в этих средах.
♦ 3.6.25. В газе распространяется ударная волна, в
которой давление P и плотность ρ газа сильно превос-
ходят давление P0 и плотность ρ0 невозмущенного га-
за. Найдите по этим данным скорость ударной волны.
♦ 3.6.26∗
. В бегущей волне плотность ρ газа плавно
убывает до значения ρ0 плотности невозмущенного га-
за. Давление газа P ∼ ρ
γ
(γ > 1). Объясните, как из
такой волны развивается ударная волна сжатия. Почему не образуется ударных
волн разрежения?
♦ 3.6.27∗
. Определите скорость волн на «мелкой воде», т. е. волн, длина ко-
торых много больше глубины водоема h. Изменение уровня воды за счет возму-
щения мал´о по сравнению с h.
♦ 3.6.28∗
. По цепочке шариков массы m каждый, связанных пружинами дли-
ны l и жесткости k = mω2
0
, бежит продольная синусоидальная волна частоты ω.
Продольные смещения шариков отложены на рисунке по вертикали в увеличен-
ном масштабе. Амплитуда смещений A много меньше l. Найдите скорость рас-
пространения этой волны. Получите скорость этой волны в низкочастотном пре-
деле (ω  ω0) через l и k, а затем через модуль Юнга E и плотность вещества
ρ, рассматривая шарики как аналоги атомов вещества. Оцените ω0 для железа.
96
§ 3.7. Распространение волн
3.7.1. Середина стержня сечения S и плотности ρ сместилась после прохо-
ждения короткой волны продольного сжатия на расстояние b вправо. Скорость
волны c. Определите импульс этой волны.
♦ 3.7.2. а. В упругой среде плотности ρ движется со скоростью c плоская вол-
на сжатия, амплитуда которой ∆ρ. Чему равна плотность потока импульса в
области сжатия?
б. Протяженность слоя среды в направлении распространения волны L, а
самой волны l. С какой скоростью движется центр масс этого слоя? На сколько
он сместится после того, как волна пройдет по всему слою?
♦ 3.7.3. В трубе с газом идет волна со скоростью c. Неподвижный датчик
при прохождении волны показывает давление, равное P(t). Найдите зависимость
давления в трубе от расстояния до датчика в момент времени t0.
3.7.4. Скорость частиц стержня в волне сжатия, бегущей по нему вправо
со скоростью c, в начальный момент определяется зависимостью u = u(x), где
x — расстояние от левого конца стержня до частицы. Найдите зависимость от
времени плотности потока импульса через сечение стержня на расстоянии x0 от
левого его конца.
3.7.5. Воду, текущую по водопроводной трубе со скоростью 2 м/с, быстро
перекрывают жесткой заслонкой. Определите силу, действующую на заслонку
при остановке воды, если скорость звука в воде 1,4 км/с. Сечение трубы 5 см2
.
3.7.6. На конец покоящегося полубесконечного стержня в течение времени τ
действует продольная сила F. Найдите скорость частиц стержня и его деформа-
цию в области возникшей волны, если сечение стержня равно S, модуль Юнга
его материала равен E, а плотность ρ. Какова плотность стержня в области
волны? Найдите импульс и энергию смещающихся частиц стержня через время
0, 5 τ и 1, 5 τ от начала действия силы.
3.7.7. На торец цилиндрического стального снаряда сечения 102
см2 и длины
0,5 м в течение 5·10−5
с действовала сила, равная 107 Н. Определите работу этой
силы и отношение кинетической энергии снаряда к этой работе после того, как
колебания в снаряде исчезнут.
3.7.8. Струна, состоящая из двух частей с линейными плотностями ρ1 и ρ2,
натянута продольными силами Fk. В точке соединения частей струну начинают
тянуть поперечной силой F⊥. Как меняется со временем форма струны?
♦ 3.7.9. На натянутую с силой F струну, линейная плотность которой равна ρ,
надеты три гладких колечка. Колечки движутся по струне со скоростью v, де-
формируя ее. С той же скоростью, не меняя своей формы, движется по струне
и область изгиба, создаваемая колечками. Какие силы действуют на струну со
стороны колечек? Что происходит при приближении v к
p
F/ρ?
7 97
3.7.10. Скорость волны «изгиба» шины 160–200 км/ч. Что произойдет при
приближении скорости автомобиля к этой величине?
3.7.11. В своей лекции «О корабельных волнах» лорд Кельвин рассказывал:
«. . . Одно открытие фактически сделано лошадью, ежедневно тащившей лодку
по каналу между Глазго и Ардроссаном. Однажды лошадь испугалась и понес-
ла, и возница, будучи наблюдательным человеком, заметил, что когда лошадь
достигла определенной скорости, тянуть лодку стало явно легче и позади нее не
оставалось волнового следа». Объясните это явление.
♦ 3.7.12. Согласно принципу Гюйгенса каждый участок фронта волны явля-
ется источником вторичных сферических волн. Огибающая вторичных волн дает
новый фронт волны. Исходя из принципа Гюйгенса покажите, что в однородной
среде плоский фронт звуковой волны перемещается со скоростью звука. Как рас-
пространяется цилиндрический фронт? сферический?
♦ 3.7.13. Область повышенного давления на границе сред распространяется
вправо со скоростью v, большей скорости звука c в среде. Каков фронт волны в
среде? Каково направление его распространения?
♦ 3.7.14. На плоскую границу раздела двух сред со скоростью звука c1 под
углом α к нормали падает плоская волна. Найдите направление распространения
отраженной и преломленной волны, если скорость распространения волны во
второй среде равна c2.
3.7.15. Когда самолет летит с дозвуковой скоростью, на земле слышен шум
его двигателей. Если же пролетает самолет со сверхзвуковой скоростью, то сна-
чала слышен громкий хлопок, а затем уже шум двигателей. С чем это связано?
3.7.16. При достаточно пологом падении плоской звуковой волны на границу
раздела двух сред из среды, в которой скорость звука больше, во второй среде
не образуется преломленной волны. Это явление называется полным внутренним
отражением. Найдите угол полного внутреннего отражения, если скорость звука
в этих средах равна c1 и c2 (c1 < c2).
3.7.17. Над поверхностью воды движется поток воздуха. Как это повлияет
на направление распространения отраженной и преломленной звуковых волн?
98
♦ 3.7.18. а. Скорость волны на «мелкой во-
де» уменьшается с уменьшением глубины. Прямой
фронт такой волны при приближении к берегу, по-
л´ого уходящему в воду, искривляется вблизи него,
повторяя его очертания. Почему?
б. Изобразите качественно, как меняется пря-
мой фронт волны, встретившей на своем пути
круглую и пологую отмель.
♦ 3.7.19. При землетрясениях в океане возника-
ют протяженные возмущения поверхности воды —
волны цунами. Особенно далеко они распространя-
ются вдоль подводных горных хребтов, почти не
теряя своей разрушительной способности. Объясните это.
3.7.20∗
. Почему звуковой сигнал, распространяющийся по ветру, слышен
значительно лучше, чем против ветра? Скорость ветра заметно уменьшается
при приближении к поверхности земли.
3.7.21. Частота собственных колебаний камертона равна ν0. Какой частоты
звук мы услышим, если будем звучащий камертон приближать к уху со скоро-
стью v?
♦ 3.7.22. Волны набегают на берег с частотой ν0. С какой частотой они уда-
ряют о катер, движущийся со скоростью v от берега? к берегу? Скорость волн
на воде c. Рассмотрите движение катера под углом α к направлению распростра-
нения волн.

 

Категория: Физика | Добавил: Админ (03.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar