Тема №7361 Ответы к задачам по физике Савельев (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Савельев (Часть 1) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Савельев (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1.1. Кинематика
1.1. Частица движется с постоянной скоростью v. Что
определяет выражение: a) v (/2—/j), б) v(t2—tx), в) vx (t2—tx)}
1.2. Частица движется с постоянным ускорением w.
В начальный момент времени она находилась в точке с
радиус-вектором г0 и имела скорость v0. Написать выражение для: а) приращения скорости частицы Av за время t,
б) проекции скорости частицы на ось у в момент времени t,
в) перемещения частицы Аг за время t, г) приращения
координаты z частицы за время t.
1.3. В каком случае векторы а и b могут быть связаны
соотношением a=ab, где а — скаляр? Как соотносятся
их орты, если а<0?
1.4. Может ли приращение модуля вектора А а оказаться равным модулю приращения вектора |Да|?
1.5. В каком соотношении находятся приращение модуля вектора Да и модуль приращения вектора |Аа|,
если векторы а и Да направлены в противоположные стороны?
1.6. Вектор а изменил направление на обратное. Найти:
Да, |Да|, Да.
1.7. Вектор а повернулся без изменения «длины» на
малый угол бф. а) Написать приближенное выражение для
|Да|. б) Чему равно Да?
1.8. Начальное значение скорости равно у1=1ея+ 3 ег/+
+ 5 е2 (м/с), конечное у2=2е3.+4ег/+ 6 е2 (м/с). Найти: а) приращение скорости Av, б) модуль приращения скорости
|Ду|, в) приращение модуля скорости До.
1.9. Написать выражение для косинуса угла а между
векторами с компонентами ах, ау, аг и bx, by, bz.
1.10. Компоненты одного вектора равны (1, 3, 5), другого — (6, 4, 2). Найти угол а между векторами.
1.11. Преобразовать к виду, содержащему только модули векторов и угол а, выражение а [Ьс], в котором векторы а и с взаимно перпендикулярны, а вектор b образует
с нормалью к плоскости, в которой лежат векторы а и с,
угол а.
1.12. Заданы функции vx (t), vy(t) и vz(t), определяющие в некоторой системе координат скорость частицы v.
Написать выражение для: а) перемещения частицы Дг
за промежуток времени от tx до /2, б) пути s, пройденного
частицей за тот же промежуток времени, в) приращения
Ах координаты х частицы за время от tx до /2, г) среднего
значения ускорения частицы (w> за то же время.
15
1.13. Частица 1 движется со скоростью vt=aex, частица 2 — со скоростью \ i - b t y (а н Ь — Константы).
Найти скорость v второй частицы относительно первой
и модуль v этой скорости.
1.14. Исходя из определения среднего значения функции, доказать, что:
а) среднее за время т значение скорости точки (v> равно
перемещению точки Дг за это время, деленному на т,
б) среднее за время т значение ускорения точки (w)
равно приращению скорости Ду за это время, деленному
на т.
1.15. Частица движется равномерно по часовой стрелке
по окружности радиуса R, делая за время т один оборот.
Окружность лежит в координатной плоскости х, у, причем
центр окружности совпадает с началом координат. В момент /= 0 частица находится в точке с координатами х=0,
y=R. Найти среднее значение скорости точки за промежуток времени: а) от 0 до т/4, б) от 0 до т/2, в) от 0 до Зт/4,
г) от 0 до т, д) от т/4 до Зт/4.
1.16. Частица прошла за некоторое время 3/4 окружности со средним значением модуля скорости (о). Найти модуль средней скорости частицы |(v)| за то же время.
У 1.17. Первоначально покоившаяся частица прошла за
время т=10,0 с полторы окружности радиуса Р=5,00 м
с постоянным тангенциальным ускорением. Вычислить
соответствующие этому промежутку времени значения:
а) среднего модуля скорости (о), б) модуля средней скорости
! <v> |, в) модуля среднего ускорения |(w)|.
1.18. Постоянный по модулю вектор а, равномерно поворачиваясь против часовой стрелки в плоскости х, у,
переходит за время t из положения, при котором он совпадает по направлению с осью х, в положение, при котором
он совпадает по направлению с осью у. Найти среднее
за время t значение вектора а и модуль этого среднего.
1.19. Радиус-вектор точки г изменяется: а) только по
модулю, б) только по направлению. Что можно сказать
о траектории?.
1.20. Радиус-вектор частицы определяется выражением:
r= 3 /2ea+ 4 /2ej,+7e2 (м). Вычислить:
а) путь s, пройденный частицей за первые 10 секунд
движения,
б) модуль перемещения |Дг1 за то же время,
в) объяснить полученные результаты.
1.21. Радиус-вектор частицы изменяется со временем
по закону: r ^ ^ t x+2i^v+ \ t t (м). Найти:
16
а) скорость v и ускорение w частицы,
б) модуль скорости v в момент /=1 с,
в) приближенное значение пути s, пройденного частицей
за 11-ю секунду движения.
1.22. Частица движется со скоростью v = le ,+ 2 /e i/+
+ 3 /2ег (м/с). Найти:
а) перемещение Аг частицы за первые 2 секунды ее
движения,
б) модуль скорости v в момент /= 2 с.
1.23. Частица движется со скоростью v=at(2ex+3ev+
+ 4 e z) (а=1,00 м/с2). Найти:
а) модуль скорости v частицы в момент времени /=1,00 с,
б) ускорение частицы w и его модуль w,
в) путь s, пройденный частицей с момента /1=2,00 с
до момента /2=3,00 с,
г) какой характер имеет движение частицы.
1.24. Лифт начал подниматься с постоянным ускорением щ=1,00 м/с2. Спустя время /=1,00 с от потолка кабины лифта отделился и стал падать шуруп. Определить:
а) время А/ падения шурупа до удара о пол кабины,
б) путь s, пройденный шурупом за время А/ в системе
отсчета, связанной с Землей. Высота кабины лифта/1=2,75 м.
1.25. Известна функция v(/) для частицы, движущейся
по криволинейной траектории. Написать выражение для
радиуса кривизны R траектории в той точке, в которой
частица находится в момент /.
, 1.26. Частица движется равномерно по криволинейной
траектории. Модуль ее скорости равен v. Найти радиус
кривизны R траектории в той точке, где модуль ускорения
частицы равен w.
1.27. По какой траектории движется частица в случае,
если ют=0, ffiin=const?
1/ 1.28. В некоторый момент времени / компоненты скорости v частицы имеют значения (1,00, 2,00, —3,4)0) (м/с),
а компоненты ускорения w — (—3,00, 2,00, 1,00) (м/с2).
Найти:
а) значение выражения dv/dt в момент /,
б) радиус кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент /.
1.29. Точка движется вдоль оси х, причем координата х
изменяется по закону х=а cos(2n/T)t. Найти:
а) выражения для проекций на ось х скорости v и ускорения W точки,
б) путь Sx, пройденный точкой за промежуток времени
от /= 0 до /=Т/8, ^.....................—______
в) путь s2, пройденный точкой за промежуток времени
от /=778 до /=774,
г) путь s, пройденный точкой за промежуток времени
от /= 0 до /= 7 \
1.30. Компоненты скорости частицы изменяются со
временем по законам: уж= а cos со/, vy=a sin со/, vz=0,
где а и со — константы. Найти модули скорости v и ускорения w, а также угол а между векторами v и w. На основании полученных результатов сделать заключение о
характере движения частицы.
1.31. Зависимость координат движения частицы от
времени имеет вид х —а cos со/, у=а sin со/, z= 0 (а и со —>
константы).
а) Определить радиус-вектор г, скорость v и ускорение
w частицы, а также их модули.
б) Вычислить скалярное произведение векторов г и V.
Что означает полученный результат?
в) Вычислить скалярное произведение векторов г и w.
Что означает полученный результат?
г) Найти уравнение траектории частицы.
д) В каком Направлении движется по траектории частица?
е) Охарактеризовать движение частицы.
ж) Как изменится движение частицы, если в выражении
для у изменить знак на обратный?
1.32. Небольшое тело (материальная точка) брошено
из точки О под углом а к горизонту с начальной скоростью
v0 (рис. 1.1). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) время полета т,
б) дальность полета /,
в) наибольшую высоту поднятия тела h,
г) уравнение траектории тела в координатах х', у',
д) значения \d\ldt\ и d\w\!dt
в вершине траектории,
е) радиус кривизны R траектории в точках О и О'.
Точки бросания и падения считать лежащими на одном
уровне.
1.33. Тело брошено под углом к горизонту с начальной
скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти
среднее значение скорости (v) за первые т секунд полета.
1.34. Под каким углом а к горизонту нужно установить
ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на рас-
18
, стоянии /=10,0 км, если начальная скорость снаряда ц0=
' =500 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.35. Известны: функция f(s), определяющая зависимость производной dv/dt от пройденного частицей пути s,
модуль скорости п0 в начале пути. Написать выражение
для v(s) — модуля скорости, которую имеет частица,
пройдя путь s.
1.36. Дана функция n(s), определяющая зависимость
модуля скорости частицы от пройденного частицей пути s.
Написать выражение для времени t, затрачиваемого частицей на прохождение пути s.
1.37. Зависимость модуля скорости частицы v от пройденного частицей пути s определяется функцией v(s) =
—v0—bs.
а) Найти зависимость s от времени t.
б) Определить зависимость v от t.
в) Написать приближенные выражения для s(t) и v(t),
справедливые для
1.38. Модуль скорости частицы изменяется со временем
по закону v=v$~bt. Каков физический смысл константы Ь?
1.39. Лодка пересекает реку с постоянной относительно
воды, перпендикулярной к берегам скоростью н=0,300 м/с.
Ширина реки равна Ь=63,0 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону
где х — расстояние от берега, и0 — константа, равная
5,00 м/с. Найти снос s лодки вниз по течению от пункта ее
отправления до места причала на
противоположном берегу реки.
1.40. Ось х на рис. 1.2 служит границей между участком, поросшим травой, и участком, покрытым рыхлым песком. Пешеходу нужно попасть
из пункта А в пункт В.. По
траве пешеход может идти со
скоростью ^= 5,00 км/ч, по песку — со скоростью у2=3,00 км/ч. Чтобы совершить
переход за самое короткое время, пешеход выбирает ломаный путь АОВ. При каком соотношении между синусами
углов ах и а а время движения пешехода из А в В будет
минимальным?
19
1.41. Ниже приводятся приближенные выражения для
некоторых функций, справедливые при x-Cl'-
a) « 1 =F х, б) VI ± х ж l± - j , в)е±хж1±х,
ж2 г) In (1 ± х) ~ ± х, д) sin х х х , е) c o s x « 1— гр
Определить для я=0,1 относительную погрешность значений этих функций, найденных по формулам для приближенных вычислений.
1.42. По прямой дороге АВ движется с постоянной скоростью «=20,0 м/с автомобиль. Из точки С, которая находится от АВ на расстоянии /=2000 м, в момент, когда автомобиль и точка С оказываются на одном перпендикуляре
к АВ, производится выстрел из пушки (рис. 1.3). Предполагая, что снаряд летит прямолинейно с постоянной
скоростью «=200 м/с, определить:
а) угол а, на который нужно повернуть ствол пушки,
чтобы поразить автомобиль,
б) время / полета снаряда,
в) путь s, который пройдет автомобиль за время /.
1.43. Имеются две моторные лодки, развивающие относительно воды скорость «=5,00 м/с. Вода течет с одинаковой по всей ширине реки скоростью «=0,500 м/с. Ширина
реки /=1,000 км. На середине реки
вбиты две сваи С и D, отстоящие
друг от друга на расстояние, равное ширине реки / (рис. 1.4). Одной лодке нужно пересечь реку
строго в поперечном направлении
с—
в
Рис. 1.4
из точки А в точку В и обратно. Второй лодке нужно проделать путь от сваи С до сваи D и обратно.
а) Как должна двигаться первая лодка относительно
воды, чтобы относительно, берегов перемещаться вдоль
прямой А В?
20
б) Найти времена ^ и tt, затрачиваемые на прохождение пути 21 первой и второй лодками.
в) Получить для и it приближенные выражения,
справедливые для и<о>- Найти с помощью этих выражений
значения и /2; сравнить их с точными значениями.
1.44. На высоте й=5000 м летит
прямолинейно самолет с постоянной
скоростью и = 100,0 м/с. В момент, когда он находится над зенитной батареей, производится выстрел (рис. 1.5). Начальная скорость снаряда у0=500,0 м/с.
Пренебрегая сопротивлением воздуха,
найти:
а) под каким углом а к горизонту
нужно установить ствол орудия, чтобы
снаряд и самолет достигли одновременно точки пересечения их траекторий,
б) на какую продолжительность полета t нужно установить взрыватель, чтобы, снаряд разорвался в точке встречи
с целью, 4
в) на какое расстояние s по горизонтали отстоит от
батареи точка встречи.
1.45. Известно, что Луна все время обращена к Земле
одной и той же стороной и обращается вокруг Земли за
27,3 суток. Определить угловую скорость сол вращения Луны вокруг ее
оси. Сравнить эту скорость с угловой скоростью со3 суточного вращения Земли.
1.46. Часы каждые сутки отстают
на 2 минуты. Чему равно угловое
ускорение (3 минутной стрелки?
1.47. Постоянный по модулю вектор а вращается с постоянной угловой скоростью « 'в о круг фиксированной перпендикулярной к нему оси. Выразить производные а и а через векторы а и ю.
1.48. Цилиндр катится без скольжения со скоростью v
(рис. 1.6). Найти скорости точек 1, 2 и 3, выразить их через орты координатных осей.
1.49. Шар вращается с угловой скоростью ю вокруг
оси, которая поворачивается в плоскости х, у с угловой
скоростью ft)'=co'ez (рис. 1.7). Найти:
а) угловую скорость Q и угловое ускорение 0 шара,
а также модули этих векторов,
21
б) угол а между векторами Q и ©,
в) угол <р между векторами р и Q. Считать, что в начальный момент времени вектор © направлен по оси х.
1.50. Тело участвует в двух вращениях, происходящих
со скоростями ©1= а^еж и м2= 2at2e.v (а=1,00 рад/с3).
а) На какой угол ф повернется тело за первые 3,00 с?
б) Вокруг какой оси произойдет этот поворот?
1.51. Якорь электромотора,
вращавшийся с частотой п~
— =50 с-1, двигаясь после выклю-
^ * чения тока равнозамедленно, остановился, сделав полное писал/ ло оборотов N —1680. Найти уг-
' ловое ускорение р якоря.
1.52. До начала торможения
автомобиль имел скорость и0=
= 60 км/ч. После начала торможения автомобиль двигался
прямолинейно с непостоянным ускорением и остановился спустя время /=3,00 с. За это время он прошел путь
s=20,0 м. Определить среднюю угловую скорость (со) и
среднее угловое ускорение (|3) колеса автомобиля за время
торможения. Радиус колеса R = 0,23 м.
1.53. Частица движется по радиусу вращающегося диска со скоростью и=3,С0 м/с. В начальный момент времени
частица находится в центре диска. Угловая скорость
вращения диска со=20,0 рад/с. Найти приближенное значение пути s, пройденного частицей в неподвижной системе
отсчета за время с момента /х=9,00 с до момента /2=10,00 с.
1.54. Чтобы определить коэффициент трения k между
деревянными поверхностями, брусок положили на доску
и стали поднимать один конец доски до тех пор, пока брусок
не начал по ней скользить. Это произошло при угле наклона доски ос=14°. Чему равен k?
1.55. Два соприкасающихся бруска лежат на горизонтальном столе, по которому они могут скользить без трения. Масса первого бруска =2,00 кг, масса второго
бруска tn2 —— 3,00 кг. Один из брусков толкают с силой
Fo=10,0 Н (рис. 1.9).
1. Найти силу F, с которой бруски давят друг на друга
в случае, если сила F„ приложена к бруску 1 (а), к бруску 2 (б).
24
2. Что примечательного в полученных результатах?
1.56. Решить задачу 1.55 в предположении, что коэффициент трения между бруском и столом равен ^= 0,100
для бруска 1 и &а=0,200 для бруска 2.
1.57. Решить задачу 1.56, положив йх=0,200 и fta=0,10Q.
Сопоставить результаты задач 1.55, 1.56 и данной за*
дачи.
1.58. Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной доске (рис. 1.10). Масса первого бруска ш1=2,00 кг,
масса второго бруска т2—
=3,00 кг. Коэффициент трения между бруском и доской
равен ^= 0,100 для бруска 1
и k 2= 0,200 для бруска 2
Угол наклона доски а=45°.
1. Определить: а) ускорение w, с которым движутся
бруски, б) силу F, с которой бруски давят друг на друга.
2. Что происходило бы в случае k{>k£
1.59. На горизонтальном столе лежат два тела массы
М = 1,000 кг каждое. Тела связаны невесомой нерастяжимой нитью (рис. 1.11). Такая же нить связывает тело 2 с
грузом массы ш=0,500 кг. Нить может скользить без трения по изогнутому желобу, укрепленному на краю стола.
Коэффициент трения первого тела со столом ^=0,100,
второго тела &2=0,150. Найти:
а) ускорение w, с которым движутся тела,
б) натяжение F12 нити, связывающей тела 1 и 2,
в) натяжение F нити, на которой висит груз.
1.60. Эстакада на пересечении улиц имеет радиус кривизны R = 1000 м. В верхней части эстакады в дорожное
покрытие вмонтированы датчики, регистрирующие силу
давления на эстакаду. Отмечающий эту силу прибор проградуирован в кгс (1 кгс=9,81 Н). Какую силу давления F
показывает прибор в момент, когда по эстакаде проезжает
со скоростью у=60,0 км/ч автомобиль массы т—1,000 т?
25
1.61. На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует магнитная сила F=q fvB] (q — заряд
частицы, v — ее скорость, В — характеристика поля, называемая магнитной индукцией). Найти уравнение траектории, по которой будет двигаться частица в однородном
магнитном поле (т. е. поле, во всех точках которого В
одинакова по модулю и направлению) в случае, если в начальный момент вектор v перпендикулярен к В. Никаких
сил, кроме магнитной, нет. Известными считать массу т,
заряд q и скорость v частицы, а также магнитную индукцию
поля В. В качестве координатной плоскости х, у взять плоскость, в которой движется частица.
1.62. Шарик массы т=0,200 кг, привязанный к закрепленной одним концом нити длины /=3,00 м, описывает в
горизонтальной плоскости окружность радиуса Р = 1,00 м.
Найти:
а) число оборотов п шарика в минуту,
б) натяжение нити F.
1.63. Горизонтально расположенный диск вращается
вокруг проходящей через его центр вертикальной оси с
частотой /г=10,0 об/мин. На каком расстоянии г от центра
диска может удержаться лежащее на диске небольшое тело,
если коэффициент трения k —0,200?
1.64. Небольшому телу сообщают начальный импульс, в
результате чего оно начинает двигаться поступательно без
трения вверх по наклонной плоскости со скоростью о0=
=3,00 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол а=20,0°.
Определить:
а) на какую высоту h поднимется тело,
б) сколько времени /х тело будет двигаться вверх до
остановки,
в) сколько времени /2 тело затратит на скольжение вниз
до исходного положения,
г) какую скорость v имеет тело в момент возвращения
в исходное положение.
1.65. Решить задачу 1.64 в предположении, что коэффициент трения между телом и плоскостью k =0,100.
Масса тела т = 1,00 кг. Помимо указанных в предыдущей
задаче величин, определить:
д) какую работу А совершает сила трения на всем пути
снизу вверх и обратно.
Сравнить результаты задачи 1.64 и данной задачи.
1.66. Шарик массы т помещен в высокий сосуд с некоторой жидкостью и отпущен без толчка. Плотность
жидкости в л раз меньше плотности шарика. При движении
26
шарика возникает сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения: F= —kv.
а) Описать качественно характер движения шарика.
б) Найти зависимость скорости шарика v от времени t.
V I.67. Тонкая стальная цепочка с очень мелкими звеньями, имеющая длину I = 1,000 м и массу т — 10,0 г, лежит
на горизонтальном столе. Цепочка вытянута в прямую
линию, перпендикулярную к краю стола. Конец цепочки
свешивается с края стола. Когда длина свешивающейся
части составляет т]=0,275 длины I, цепочка начинает
соскальзывать со стола вниз. Считая цепочку однородной по
длине, найти:
а) коэффициент трения k между цепочкой и столом,
б) работу А сил трения цепочки о стол за время соскальзы-
. вания, в) скорость v цепочки в конце соскальзывания.
1.68. Тонкая стальная цепочка с очень мелкими звеньями висит вертикально, касаясь нижним концом стола. Масса
цепочки /п, длина I. В момент ^=0 цепочку отпускают. Считая цепочку однородной по длине, найти:
а) мгновенное значение F(t) силы, с которой цепочка
действует на стол,
б) среднее значение {F) этой силы за время падения.
1.69. Сила, действующая на частицу, имеет вид F =<
=пеж(Н), где а — константа. Вычислить работу А, совершаемую над частицей этой силой на пути от точки с координатами (1, 2, 3) (м) до точки с координатами (7, 8, 9) (м).
1.70. Частица движется равномерно по окружности.
Чему равна работа А результирующей всех сил, действующих на частицу: а) за один оборот, б) за полоборота,
в) за четверть оборота?
1.71. Частица перемещается по окружности радиуса г
под действием центральной силы F. Центр окружности совпадает с силовым центром. Какую работу А совершает
сила F на пути s?
1.72. Тангенциальное ускорение wx частицы массы т,
движущейся по некоторой криволинейной траектории, изменяется с расстоянием s, отсчитанным вдоль траектории
от некоторого начального положения частицы, по закону
wx=wx(s). Написать выражение для работы Л, совершаемой над частицей всеми действующими на нее силами,
на участке траектории от до s2.
1.73. Тело массы т=\ ,00 кг падает с высоты /г=20,0 м.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) среднюю по времени мощность (Р), развиваемую силой тяжести на пути h,
27
б) мгновенную мощность Р на высоте Л/2.
V1.74. Брошенный камень массы т поднимается над
уровнем, на котором находится точка бросания, на высоту
h. В верхней точке траектории скорость камня равна V.
Сила сопротивления воздуха совершает над камнем на
пути от точки бросания до вершины траектории работу
^сопр- Чему равна работа А бросания камня?
У 1.75. Тело массы т брошено под углом а к горизонту с
начальной скоростью о0- Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) мгновенную мощность P(t), развиваемую при полете
тела приложенной к нему силой,
б) значение мощности Р в вершине траектории,
в) среднее значение мощности (£)под за время подъема
тела,
г) среднее значение мощности (Р)поя за все время полета (точка бросания и точка падения находятся на одном
уровне).
» 1.76. Тело массы т начинает двигаться под действием
силы F—2tex-\-3Pey. Найти мощность Р (/), развиваемую
силой в момент времени t.
1.3. Энергия
1.77. Найти приращение энергии ЛЕ, если: а) Ех~ 2 Дж,
£ 2= 5 Дж, б) £V=10 Дж, £ 2=8 Дж.
1.78. Для указанных в задаче 1.77 начальной и
конечной Е 2 энергий найти убыль энергии —АЕ.
1.79. Первоначально покоившаяся частица, находясь
под действием силы Р=1ея+ 2ег/+ 3е;г (Н), переместилась из
точки (2, 4, 6) (м) в точку (3, 6, 9) (м). Найти кинетическую
энергию Т частицы в конечной точке.
1.80. Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) (Н), частица переместилась из точки 1
с координатами (1, 2, 3) (м) в точку 2 с координатами
(3, 2, 1) (м).
а) Какая при этом совершается работа А?
б) Как изменилась кинетическая энергия частицы?
1.81. Доказать соотношение
Тл = Г ц + тК£/2,
где Тя — кинетическая энергия системы материальных
точек, определяемая в лабораторной системе отсчета (л-си-
сгеме), Т„ — кинетическая энергия, Определяемая в си28
стеме центра масс (ц-системе), т — суммарная масса системы, Vc — скорость центра масс в л-системе.
1.82. Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением £/=1,00л;+2,00г/а+
+З,00г3 (U в Дж, координаты в м). Найти работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки
с координатами (1,00; 1,00; 1,00) в точку с координатами
(2,00; 2,00; 2,00).
1.83. Потенциальная энергия частицы определяется выражением U—a{x2-\-y2-\-z2), где а — положительная константа. Частица начинает двигаться из точки с координатами (3,00; 3,00; 3,00) (м). Найти ее кинетическую энергию
Т в момент, когда частица находится в точке с координатами (1,00; 1,00; 1,00) (м).
1.84. Два тела соскальзывают без трения и без начальной скорости с наклонных плоскостей 1 и 2 (рис. 1.12).
а) Сравнить скорости тел vx и v2 в конце соскальзывания.
б) Одинаковы ли времена соскальзывания t± и t2?
1.85. Имеются две наклонные плоскости, совпадающие
с хордами одной и той же окружности радиуса R (рис. 1.13).
С каждой из них соскальзывает без трения и б£3. начальной
.скорости небольшое тело. Для какой из плоскостей время
соскальзывания больше?
1.86. Небольшое тело массы m устанавливают в верхней
точке наклонной плоскости высоты h и сообщают ему
начальную скорость v0, в результате чего оно начинает
сползать по плоскости вниз (рис. 1.14). Поверхность плоскости неоднородна, поэтому скорость сползания изменяется некоторым произвольным образом. Однако в нижней
точке плоскости скорость имеет первоначальное значение
v0. Какую работу А совершают силы трения на всем пути
движения тела?
у 1.87. Небольшое тело начинает скользить без трения
с вершины сферы радиуса R вниз (рис. 1.15). На какой
29
высоте ft над центром сферы тело отделится от поверхности
сферы и полетит свободно?
1.88. По желобу, имеющему форму, показанную на
рис. 1.16 (горизонтальный участок желоба сдвинут относительно наклонного в направлении, перпендикулярном к рисунку), с высоты h начинает скользить без трения небольшое тело (материальная точка).
а) При каком минимальном значении высоты h тело
опишет полную петлю, не отделяясь от желоба?
б) Чему равна при таком значении h сила F давления
тела на желоб в точке Л?
1.89. Градиент скалярной функции <р в некоторой точке
Р представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением 1, вдоль которого функция <р, возрастая по величине, изменяется в точке Р с наибольшей
скоростью. Модуль этого вектора равен значению dcp/dl
в точке Р. Аналитически это можно записать следующим
образом:
1. Исходя из этого определения, найти выражения для:
а) у г, б) у {Иг), в) yf{r), где г — модуль радиус-вектора
точки Р.
2. Убедиться в том, что такие же выражения получаются
с помощью формулы
^ 1.90. Потенциальная энергия частицы имеет вид: a) U—
~а/г, б) U=йгг/2, где г — модуль радиус-вектора г частицы; а и k — константы (й>0). Найти силу F, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей
при переходе ее из точки (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4).
^77777777777777777Т?77777
Рис. 1.15 Рис. 1.16
30
1,91. Потенциальная энергия частицы имеет вид
U == а (х/у—у/г),
где а — константа. Найти:
а) силу F, действующую на частицу,
б) работу А, совершаемую над частицей силами поля
при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку (2, 2, 3).
[/ 1.92. Потенциальная энергия частицы, находящейся в
центрально-симметричном силовом поле, имеет вид
U = а/г3—6/г2,
где а и Ъ — положительные константы.
а) Имеется ли у этой частицы положение устойчивого
равновесия по отношению к смещениям в радиальном направлении?
б) Нарисовать примерную кривую зависимости U от г.
\г 1.93. Частица движется по окружности в поле центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от силового центра. В каком соотношении находятся в этом случае кинетическая Т, потенциальная U и полная Е энергии частицы?
1.94. Частица массы пг находится в силовом поле вида F =— (а/г2)ег (а — положительная константа, г — модуль, а ег — орт
радиус-вектора частицы). Частицу поместили
в точку с радиус-вектором г0 и сообщили
ей начальную скорость v0, перпендикулярную к г0. По какой траектории будет двигаться частица?
1.95. При каком условии траекторией частицы из предыдущей задачи будет окружность?
1.96. Невесомая нерастяжимая нить может скользить
без трения по изогнутому желобу (рис. 1.17). К концам
нити прикреплены грузы массами /^= 3,00 кг и /п3=1,00 кг.
Груз массы т1 поднимают настолько, чтобы груз массы гп2
коснулся пола, и отпускают. Высота 1,00 м. На какую
высоту h2 над полом поднимется груз массы т2 после того,
как груз массы тг ударится о пол?
1.97. Автомобиль массы т= 1 ,0 0 т ехал некоторое
время по горизонтальному участку дороги с постоянной
скоростью и=80 км/ч. При въезде на подъем, образующий
с горизонтом угол а = 10,0°, для того чтобы сохранить
прежнюю скорость, пришлось, «прибавив газ», увеличить
вращающий момент, приложенный к ведущим колесам,
Л -
IV V7777777777.:
Рис. 1.17
31
в л =6,20 раза. Считая силу F сопротивления воздуха
движению автомобиля пропорциональной квадрату скорости, определить коэффициент k в формуле F=kv*. Трением в шинах пренебречь.
1.98. По резиновому шнуру, подвешенному одним концом к кронштейну (рис. 1.18), может скользить с независящим от скорости трением муфта массы т—
=0,300 кг. Трение характеризуется силой F—
=0,294 Н. Длина недеформированного шнура
/0= 1,00 м, коэффициент пропорциональности
между упругой силой и удлинением шнура k=
=560 Н/м. На нижнем конце шнура имеется
упор. Муфту поднимают в крайнее верхнее положение и отпускают. Пренебрегая внутренним
трением в шнуре, размерами муфты, а также
Рис. 1.18 массами шнура и упора, определить:
а) удлинение шнура А1 в момент достижения муфтой упора,
б) скорость муфты v в этот момент,
в) максимальное удлинение шнура Д/тах.

1.4. Импульс
1.99. Система состоит из частицы 1 массы 0,100 г, частицы 2 массы 0,200 г и частицы 3 массы 0,300 г. Частица 1
помещается в точке с координатами (1,00; 2,00; 3,00),
частица 2 — в точке с координатами (2,00; 3,00; 1,00),
частица 3 — в точке с координатами (3,00; 1,00; 2,00)
(значения координат даны в метрах). Найти радиус-вектор г с центра масс системы и его модуль.
1.100. Из астрономических наблюдений установлено,
что называемый барицентром центр масс системы Земля —
Луна расположен внутри земного шара на расстоянии
ц к з °т центра Земли (т|=0,730, R 3 — радиус Земли).
Считая известными массу Земли т3, радиус Земли R 3
и средний радиус лунной орбиты R, вычислить массу Луны
тл . Сравнить полученное значение с табличным.
1.101. Однородный круглый конус имеет высоту h. На
каком расстоянии I от вершины находится его центр масс?
1.102. Чему равен импульс р системы частиц в системе их
центра масс?
1.103. Как ведет себя центр масс, если суммарный импульс системы частиц равен нулю?
1.104. Система взаимодействующих тел находится в поле
сил тяжести вблизи поверхности Земли. Как ведет себя
32
центр масс системы? Сопротивлением воздуха пренебречь.
i 1.105. Тело массы т бросили под углом к горизонту с
начальной скоростью v0. Спустя время т тело упало на
Землю. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) приращение импульса тела Ар за время полета,
б) среднее значение импульса (р) за время т.
11.106. Частица массы т движется в плоскости х, у под
действием постоянной по модулю силы F, поворачивающейся в этой плоскости по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью (о. В начальный момент времени сила направлена по оси х, скорость частицы равна v0. Найти импульс частицы р в момент времени t.
1.107. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль
прямой, проходящей через их центры. Масса и скорость
первого шара равны 4,00 кг и 8,00 м/с, второго шара —■
6,00 кг и 2,00 м/с. Как будут двигаться шары после абсолютно неупругого соударения?
1.108. Два шара претерпевают центральный абсолютно
неупругий удар. До удара шар массы т2 неподвижен, шар
массы ш1 движется с некоторой скоростью. Какая часть ц
первоначальной кинетической энергии теряется при ударе,
если: а) т ^т ^, б) mt= 0,1 т2, в) т ^ Ю т 2?
1.109. Шар массы т1 совершает центральный абсолютно
упругий удар о покоящийся шар массы т2.
а) При каком соотношении масс ту и т2 первый шар полетит после удара в обратном направлении?
б) Что происходит с первым шаром, если массы шаров
одинаковы?
в) Что происходит с первым шаром, если ту<^т2?
1.110. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль
оси х. Масса первого шара ту~-0,200 кг, масса второго
шара тг= 0,300 кг. До столкновения проекции скоростей
шаров на ось равны: и1О=1,00 м/с, v20= —1,00 м/с. Найти
проекции скоростей шаров v±x и v2x после их центрального
абсолютно упругого соударения.
1. 111. Шар массы ти движущийся со скоростью v0,
ударяет о неподвижный шар массы т2. После абсолютно
упругого соударения шары летят со скоростями v* и v 2
в направлениях, указанных на рис. 1.19.
1. При каком соотношении масс ту и т2 возможны случаи: а) а= я/2 , б) а=$ф0, в) а = р = 0 , г) а=л, р=0?
2. Возможен ли случай р=я/2?
3. Чему равно при а = я /2 предельное возможное значение угла р?
2 И. В. Савельев 33
4. Какую относительную долю rj своей кинетической
энергии передает первый шар второму в случаях: а) а =п/2,
б) а = Р=^0, в) а = р=0, г) а = я , р=0?
5. Сравнить результаты п. 4а — г.
6. Чему равно предельное значение tj в случае 46?
7. При каких значениях т ь т 2 и р первый шар после
удара покоится?
8. Найти угол р в случае, если: а) а= я/2 и тг—0,99 т 2,
б) а=р=^0 и тг=т г.
9. Сравнить угол разлета шаров (т. е. а+Р) в случаях
8а и 86.
10. Доказать, что в случае m1=m 2 при любом значении
а (в пределах 0<а-<л/2) угол разлета шаров равен л/2.
1.112. Два одинаковых шара претерпевают центральный
удар. До удара второй шар неподвижен, первый движется
со скоростью v„. Характер удара
таков, что потеря энергии составляет трю часть той, которая имела
бы место при абсолютно неупругом
ударе.
1. Определить скорости шаров
Uj и v2 после удара.
2. Исследовать случаи: a) rj = 1,
б) г|=0.
1.113. Вычислить скорости шаров из задачи 1.112 для
значений ц, равных: а) 0,1, б) 0,5, в) 0,9. Сравнить полученные результаты.
1.114. Расшалившиеся дети бросили мяч вслед проехавшему мимо грузовому автомобилю. С какой скоростью v
отскочит мяч от заднего борта грузовика, если скорость
автомобиля и = 7,0 м/с, скорость v„ мяча непосредственно
перед ударом равна 15,0 м/с и направлена по нормали к
поверхности борта. Удар считать абсолютно упругим.
1.115. Протон начинает двигаться по направлению
к свободной покоящейся альфа-частице «из бесконечности»
(т. е. с расстояния, при котором взаимодействие между
протоном и альфа-частицей пренебрежимо мало) со скоростью ио=1,00-10° м/с. Считая «соударение» центральным,
определить, на какое минимальное расстояние rmin сблизятся частицы.
При решении задачи учесть, что взаимная потенциальная энергия двух точечных зарядов qx и q2, находящихся
на расстоянии г друг от друга, равна U=kq1qi!r (ср. с
выражением U =—yn^mjr для взаимной потенциальной
энергии двух тяготеющих друг к другу точечных масс),
34
в СИ числовое значение коэффициента пропорциональности k равно 9-109. Заряд протона равен +е, заряд альфа-
частицы равен +2е, где е — элементарный заряд. Масса
протона т р=1,67-10"27 кг, масса альфа-частицы т а=
=6,64-К)-27 кг.
V 1.116. Водометный двигатель катера забирает воду из
реки и выбрасывает ее со скоростью « = 10,0 м/с относительно катера назад. Масса катера /14 = 1000 кг. Масса
ежесекундно выбрасываемой воды постоянна и равна т—
= 10,0 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить:
а) скорость катера v спустя время /=1,00 мин после
начала движения,
б) какой предельной скорости уП1ах может достичь
катер.
1.5. Момент импульса
1.117. Сила с компонентами (3, 4, 5) (Н) приложена к
точке с координатами (4, 2, 3) (м). Найти:
а) момент силы N относительно начала координат,
б) модуль вектора N,
в) момент силы Nг относительно оси г.
И 1.118. Вращение от двигателя к ведущим колесам автомобиля передается через ряд устройств, одно из которых,
называемое оцеплением, позволяет в случае надобности
отключить двигатель от остальных устройств. Сцепление
в принципе состоит из двух одинаковых фрикционных
накладок, прижимаемых друг к другу сильными пружинами. В автомобиле «Жигули» фрикционные накладки имеют
форму колец с внутренним диаметром с?1=142 мм и наружным диаметром с!2= 203 мм. Коэффициент трения накладки
по накладке ^=0,35. Найти наименьшую силу F, с которой
нужно прижимать накладки, чтобы передать вращающий
момент TV=100 Н-м.
1.119. Тело массы /п=1,00 кг брошено из точки с координатами (0, 2, 0) (м) вверх по вертикали с начальной
скоростью ц0=10,0 м/с. Найти приращение момента импульса ДМ относительно начала координат за все время
полета тела (до возвращения в исходную точку). Ось z
направлена вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.120. Тело массы т брошено с начальной скоростью
v0, образующей угол ос с горизонтом. Приняв плоскость,
в которой движется тело, за плоскость х, у и направив
ось у вверх, а ось х — по направлению движения, найти
2* 35
вектор момента импульса тела М относительно точки
бросания в момент, когда тело находится в верхней точке
траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.121. Две частицы движутся равномерно в противоположных направлениях вдоль параллельных прямоли-
I I нейных траекторий (рис. 1.20). Рассто-
| п ! яние между траекториями равно /. На
I ® | рисунке п обозначает направленную за
! , чертеж нормаль к плоскости, в которой лежат траектории частиц. Найти:
а) суммарный импульс частиц р,
б) суммарные моменты Mt и М2 импульса частиц, взятые относительно указанных на рисунке точек Ot и 0 2.
Рассмотреть два случая: 1. Импульсы
частиц различны по модулю. 2. Модули
импульсов частиц одинаковы: рг= Рз=Р-
1.122. Имеется замкнутая система, состоящая из п
взаимодействующих частиц. Вследствие взаимодействия
между частицами их импульсы рх, р2, . . ., р„ являются
функциями времени: р,=рг(0- Однако в силу замкнутости
системы 2 р,- = const. Доказать, что в случае, когда суммарный импульс системы равен нулю, момент импульса
системы не зависит от выбора точки, относительно которой
он берется.
.1.123. Доказать соотношение
М0 = Мс -| [Rcp],
где М0 — момент импульса системы материальных точек
относительно начала О лабораторной системы отсчета (л-си-
стемы), Мс — момент импульса относительно центра масс С
(собственный момент импульса), Rc — радиус-вектор центра масс в л-системе, р —■ суммарный импульс системы
точек, определенный в л-системе.
1.124. Небольшое тело (материальная точка) массы т
начинает скользить без трения с вершины наклонной
плоскости (рис. 1.21). Буквой п обозначена на рисунке
нормаль, направленная за чертеж. Найти выражения для:
а) момента N результирующей силы, действующей на
тело, относительно точки О,
б) момента импульса М(^) тела относительно точки О.
1.125. Материальная точка (частица) массы т брошена
под углом ос к горизонту с начальной скоростью v0. Траектория полета частицы лежит в плоскости х, у (рис. 1.22;
I I
Рис. 1.20
36
ось г направлена «на нас»). Пренебрегая сопротивлением
воздуха, найти зависимость от времени:
а) момента N силы, действующей на частицу,
б) момента импульса частицы М.
Оба момента берутся относительно точки бросания.
т
Рис. 1.22
1.126. Тело массы яг=0,100 кг брошено с некоторой
высоты в горизонтальном направлении со скоростью у0=
=20,0 м/с. Найти модуль приращения момента импульса
тела |ЛМ| относительно точки бросания за первые т=5,00 с.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.127. Четыре одинаковых шара массы т=0,300 кг
каждый объединены попарно с помощью невесовых стержней длины /=1,000 м в две гантели.
Размеры шаров много меньше I, поэтому их можно считать материальными точками. Гантели движутся
поступательно навстречу друг другу
с одинаковой скоростью и = 1,000 м/с
(рис. 1.23). Считая удар шаров мгновенным и абсолютно упругим,
а) охарактеризовать движение гантелей после соударения,
б) найти угловую скорость со
вращения гантелей,
в) определить время т, в течение коротого происходит
это вращение,
г) охарактеризовать движение гантелей по истечении
времени .
1.128. Решить задачу 1.127, считая удар абсолютно
неупругим.
а) Охарактеризовать движение гантелей после удара.
б) Найти скорость vc, с которой движутся центры гантелей.
в) Вычислить угловую скорость со вращения гантелей,
г) Определить, как изменяется механическая энергия
Е системы.
I I
'6—■----- ф /77
1 h
4 ____ jf" 7 у ■— <р/77
Рис. 1.23
37
1.129. Имеете# система из двух гантелей, аналогичная
описанной в задаче 1.127. Первоначально левая гантель
покоится, а правая движется поступательно со скоростью
2и (рис. 1.24). Ответить на вопросы,
сформулированные в задаче 1.127.
1.130. Решить задачу, аналогичную задаче 1.128, с тем лишь отличием, что первоначально левая гантель покоится, а правая движется
поступательно со скоростью 2v.
1.131. Наибольшее расстояние от
Солнца до Земли Дтах=1 ,52-1011 м,
наименьшее P mm= 1,47• 1011 м, среднее
расстояние 7?=1,495-1011 м. Исходя
из этих данных, найти среднюю (и),
максимальную игоах и минимальную v min скорости движения Земли по ее орбите. Сравнить максимальную и минимальную скорости со средней.
1.132. Чему равна приведенная масса р, системы из двух
частиц одинаковой массы пг?
1.133. Найти приближенное значение приведенной массы р частиц с массами т и М для случая, когда т<^_М.
Рис. 1.24
1.6. Неинерциальные системы отсчета
1.134. Относительно горизонтально расположенного диска, вращающегося с угловой скоростью со0, тело, лежащее
на диске, находится в покое. Масса тела равна т, расстояние от оси вращения г,
а) Какие силы действуют на тело в неподвижной системе
отсчета?
б) В какой системе отсчета к предыдущим силам добавится только центробежная сила инерции?
в) В какой системе отсчета появится еще и сила Кориолиса?
1.135. Какую мощность Р развивает сила Кориолиса?
1.136. Какую работу А совершает над частицей кориолисова сила при перемещении частицы относительно вращающейся системы отсчета из точки 1 в точку 2?
1.137. Движение частицы массы т~ 10,0 г рассматривается в системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной системы с угловой скоростью to = 10,0 рад/с.
Какую работу А совершают, над частицей силы инерции при
перемещении ее из точки, отстоящей от оси вращения на
38
расстояние /?х= 1,00 м, в точку, отстоящую на расстояние
2=2,00 м?
1.138. Небольшое тело падает без начальной скорости
на Землю на экваторе с высоты 1г—10,0 м. В какую сторону
и на какое расстояние х отклонится тело от вертикали за
время падения т? Сопротивлением
воздуха пренебречь. Сравнить найденное значение х с разностью As
путей, которые пройдут вследствие
вращения Земли за время т точка,
находящаяся на высоте h, и точка, находящаяся на земной поверхности.
1.139. Имеется горизонтально расположенное ружье, дуло которого
совпадает с осью вертикального цилиндра (рис. 1.25). Цилиндр вращается с угловой скоростью со.
а) Считая, что пуля, выпущенная из ружья, летит горизонтально с постоянной скоростью v, найти смещение s точки В цилиндра, в которую попадет пуля, относительно
точки А, которая находится против дула в момент выстрела. Решить задачу двумя способами: в неподвижной,
системе отсчета и в системе отсчета, связанной с цилиндром.
б) Зависит ли результат от того, вращается ружье
вместе с цилиндром или неподвижн >?
1.140. На широте <р=45° из ружья, закрепленного
горизонтально в плоскости меридиана, произведен выстрел по мишени, установленной на расстоянии /=100,0 м
от дула ружья. Центр мишени находится на оси ружейного
ствола. Считая, что пуля летит горизонтально с постоянной скоростью v=500 м/с, определить, на какое расстояние
и в какую сторону отклонится пуля от центра мишени,
если выстрел произведен в направлении: а) на север, б)
на юг.
1.141. Электровоз массы т=184-103 кг движется вдоль
меридиана со скоростью у=20,0 м/с (72 км/ч) на широте
Ф=45°. Определить горизонтальную составляющую F силы,
с которой электровоз давит на рельсы.
1.142. Горизонтально расположенный диск вращается
вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью to. По диску движется равномерно на неизменном
расстоянии от оси вращения частица. Найти мгновенное
значение:
а) скорости частицы v' относительно диска, при которой
сила Кориолиса будет уравновешиваться центробежной
39
силой инерции. Выразить v' через мгновенное значение
радиус-вектора г, проведенного к частице из центра диска,
б) скорости частицы v относительно неподвижной системы отсчета при тех же условиях.
1.143. Горизонтально расположенный стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его
конец, с угловой скоростью и = 1,00 рад/с. Расстояние
от оси до другого конца стержня /=1,00 м. На стержень
надета муфта массы ш =0,100 кг. Муфта закреплена с
помощью нити на расстоянии /0=0,Ю0 м от оси вращения.
В момент /= 0 нить пережигают и муфта начинает скользить по стержню практически без трения. Найти:
а) время т, спустя которое муфта слетит со стержня,
б) силу F, с которой стержень действует на муфту в
момент т,
в) работу А, которая совершается над муфтой за время т
в неподвижной системе отсчета.
1.144. Горизонтально расположенный диск вращается
с угловой скоростью (». Вдоль радиуса диска движется
частица массы т, расстояние которой от центра диска
изменяется со временем по закону r=at (а —■ константа).
Найти результирующий момент N сил, действующих на
частицу в системе отсчета, связанной с диском. Имеется
в виду момент относительно центра диска.
1.145. Имеется система отсчета, вращающаяся относительно инерциальной системы вокруг оси г с постоянной
угловой скоростью со. Из точки О, находящейся на оси г,
Еылетает в перпендикулярном к оси направлении частица
массы т и летит относительно инерциальной системы прямолинейно с постоянной скоростью V. Найти наблюдаемый
ео вращающейся системе отсчета момент, импульса М(/)
частицы относительно точки О. Показать, что возникновение М(/) обусловлено действием силы Кориолиса.

Ответы к задачам по физике Савельев from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (09.08.2016)
Просмотров: | Теги: савельев | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar