Тема №7362 Ответы к задачам по физике Савельев (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Савельев (Часть 2) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Савельев (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1.7. Механика твердого тела 1.146. Тело произвольной формы вращается вокруг оси 00 с угловой скоростью (о. Доказать, что угловая скорость вращения тела вокруг любой другой оси О'О', параллельной оси 00, также равна <о .
1.147. Точка 1 тела, вращающегося с угловой скоростью (о, имеет в некоторый момент времени скорость уг. Найти для того же момента времени скорость v2-точки 2, смещен ной относительно точки 1 на г12 .
40 1.148. Тело совершает плоское движение в плоскости х, у. Центр масс тела С перемещается вдоль оси X с посто янной скоростью v0. В момент t= 0 центр масс совпадал с началом координат О. Одновременно тело вращается в указанном на рис. 1.26 направлении со скоростью <о .
Рис. 1.27 "Написать выражение для радиус-вектора г точки пересе чения мгновенной оси вращения тела с плоскостью х, у .
1.149. Балка массы т= 300 кг и длины /=8,00 м лежит на двух опорах (рис. 1.27). Расстояния от концов балки до опор: Ц=2,00 м, /2=1,00 м. Найти силы Fx и F2, с которыми балка давит на опоры .
f 1.150. Лестница длины /=5,00 м и массы /л= 11,2 кг прислонена к гладкой стене под углом а =70° к полу (рис. 1.28). Коэффициент трения между лестницей и полом k=0,29. Найти: а) силу Fx, с которой лестница давит на стену, б) предельное' значение угла а 0, при котором лестница начинает скользить .
1.151. Протяженное тело произвольной формы брошено под некоторым углом к горизонту. Как движется центр масс тела в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь? 41 t 1,152. Невесомая нерастяжимая нить скользит без тре ния по прикрепленному к стене желобу (рис. 1.29) под действием грузов, массы которых /^ = 1,00 кг и т 2=2,00 кг .
С каким ускорением wc движется при этом центр масс грузов? 1.153. На рис. 1.30 изображены две частицы 1 и 2, соединенные жестким стержнем. Могут ли скорости ча стиц быть такими, как на рисунке? Частицы и скорости лежат в плоскости рисунка .
+ 1.154. Два частицы (материальные точки) с массами тг и т.2 соединены жестким невесомым стержнем длины I .
Найти момент инерции I этой системы относительно пер пендикулярной к стержню оси, преходящей через цетр масс .
1.155. Найти момент инерции I однородного круглого прямого цилиндра массы т и радиуса R относительно оси цилиндра .
1.156. Плотность цилиндра длины /=0,100 м и радиуса R=0,0500 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения рх=500 кг/м3 до значения рг=3р1 = 1500 кг/м3 .
Найти: а) среднюю по объему плотность (p)v цилиндра; срав нить ее со средней по радиусу плотностью (р)г, б) момент инерции I цилиндра относительно оси; срав нить его с моментом инерции V однородного цилиндра та кой же массы и размеров .
1.157. Найти момент инерции I однородного шара ради уса R и массы т относительно оси, проходящей через центр шара .
1.158. Прямой круглый однородный конус имеет массу т и радиус основания R. Найти момент инерции I конуса относительно его оси .
1.159. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длины I и массы т относительно перпендикуляр ной к стержню оси, проходящей через: а) центр масс стерж ня, б) конец стержня .
1.160. На йти момент инерции однородной прямоуголь ной пластинки массы т, длины а и ширины b относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через: а) центр пластинки, б) одну из вершин пластинки .
Сравнить полученные результаты с ответом к предыду щей задаче .
1.161. Найти момент инерции I однородного куба отно сительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба т, длина ребра а .
42 1.162. Можно доказать, что момент инерции всякого тела, вычисленный относительно любой оси, проходящей через центр масс тела, связан с главными моментами ицер* ции 1Х, 1У, Iz (т. е. моментами инерции относительно главных осей) соотношением I — Ix cos2 а + 1 у cos2 Р + / г cos2 у, где а, р, у — углы, образованные данной осью с осями х, у, z. Основываясь на этом, показать, что момент инерции однородного куба относительно любой оси, проходящей через его центр, одинаков (как и у шара!) .
1.163. Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой служит квадрат со стороной а, относи- тельно*оси, проходящей через вершину и центр основания .
Масса пирамиды равна т .
1.164. Найти отношение моментов инерции: а) пирамиды (с квадратным основанием) и конуса оди наковой высоты, плотности и массы, б) куба и шара одинаковой плотности и массы (у куба, как и у шара, момент инерции относительно любой прохо дящей через центр оси одинаков; см. задачу 1.162) .
Имеются в виду оси, проходящие через вершину и центр основания в случае а) и проходящие через центр в случае б) .
+ 1.165. Найти главные моменты инерции тонкого одно родного диска массы т и радиуса R. Иметь в виду, что вы числение целесообразно производить в полярных коорди натах г и ф .
1.166. Вычислить момент инерции однородного кругло го прямого цилиндра относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии цилиндра и проходящей через его центр .
Масса цилиндра т, радиус R, высота h. Сравнить полу ченный результат с ответами к задачам 1.159 и 1.165 .
Рассмотреть предельные случаи: R<^ji и h<^R .
1.167. Имеется однородный прямой круглый цилиндр .
При каком отношении высоты цилиндра h к его радиусу R все три главных момента инерции будут одинаковыми? + 1.168. Найти момент инерции однородного тела, имею щего форму диска, в котором сделан квадратный вырез .
Одна из вершин выреза совпадает с центром диска. Радиус диска R=20,0 см, сторона квадрата а=10,0 см, масса тела т=5,00 кг. Имеется в виду момент относительно оси, перпендикулярной к диску и проходящей через его центр .
1.169. Имеется однородная тонкая пластинка, ограни ченная контуром произвольной формы. Через одну из точек пластинки проведены три взаимно перпендикуляр 43 ные реи, две йз кагорах — х и у — лежат в плоскости пластинки, а ось г перпендикулярна к этой плоскости .
Ндйт.и соотношение между моментамй инерции /*, I у и / 2 пластинки отноейтельно этих осей, 1.170. Использовать ответ предыдущей задачи для нахождения момента инерции I тонкого однородного диска относительно оси, лежащей в плоскости диска и проходя щей через его центр. Масса и радиус диска равны соот ветственно т и R. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска, считать известным .
Сравнить полученный результат с ответом к задаче 1.165 .
1.171. Однородная пластина имеет длину а=20,0 см, ширину & = 10,0 см и толщину с~5,00 см. Масса пластины т =2,70 кг. Начало координат Помещено в центр пластины, ось х направлена параллельно стороне а, ось у — парал лельно стороне Ь, ось г — параллельно стороне с. Найти отнбейтельно этой системы координат компоненты тензора инерции пластины и написать сам тензор .
1.172. Имеются вектор а с компонентами ах—1, ау=2, п2= 3 и тензор второго ранга Т, все компоненты которого одинаковы и равны Tik= l. Найти компоненты вектора Ь, получающегося в результате умножения вектора а на тен зор Т (Ь=Та) .
1.173. Имеются произвольный вектор а с компонентами «х. а у> Яг и тензор второго ранга Е, определяемый таблицей (такой тензор называют единичным). Найти вектор Ь, получающийся в результате умножения вектора а на тен зор Е (Ь=Еа) .
1.174. Вычислить компоненты тензора инерции и напи сать сам тензор для однородного шара радиуса R = 10,0 см и массы т=25,0 кг для случая, когда начало координат помещается в центре шара .
1.175. В каких случаях момент импульса М и угловая скорость © вращающегося тела коллинеарны? 1.176. В каких случаях уравнение динамики враща тельного движения может быть представлено в виде 7co=N? 1.177. В каких случаях кинетическая энергия вращаю щегося тела определяется выражением 7 = /© 2/2? 1.178. .Пластина из задачи 1.171 вращается вокруг оси, проходящей через ее центр. Компоненты угловой скорости (»x—(i>y=(o2=I,00 рад/с. Найти: 44 а) модуль момента импульса пластины М и угол а между векторами ю и М, ' б) кинетическую энергию Т пластины .
1.179. Две частицы одинаковой массы пг, находящиеся все время на противоположных концах диаметра (рис. 1.31), движутся по окружности радиуса г с одинаковыми по модулю скоростями vL и v2 [и1=и2=у(^)] .
а) Определить суммарный момент импульса М частиц относительно про извольной точки О (не обязательно ле жащей в плоскости окружности). Выра- О зить М через угловую скорость со (t), с которой поворачивается диаметр, соеди няющий частицы .
б) Зависит ли М от выбора точки О? 1.180. Однородный шар радиуса R и массы m вращается с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через его центр. Найти момент импульса М шара относительно произвольной точки 0 (рис. 1.32) .
VI.181. Тело произвольной формы падает, вращаясь, в однородном поле сил тяжести. Сопротивление среды отсут ствует. Как ведет себя собственный момент импульса тела? (См. задачу 1.
.) 1.182. Однородный цилиндр массы m и радиуса R ка тится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр цилиндра движется со скоростью v0 (рис. 1.33). Найти мо дуль момента импульса цилиндра относительно точек 1 , 2 и 3, которые лежат в перпендикулярной к цилиндру пло скости, проходящей через его центр .
1.183. Вычислить момент импульса Земли М0, обуслов ленный ее вращением вокруг своей оси. Сравнить этот мо мент с моментом импульса М, обусловленным движением Земли вокруг Солнца. Землю считать однородным шаром, а орбиту Земли — окружностью .
45 1.184. Горизонтально расположенный однородный ци линдр радиуса R вращается без трения вокруг оси, сов падающей с одной из его образующих .
а) Указать положения цилиндра, в которых модуль уг лового ускорения цилиндра (3 максимален и минимален .
б) Найти максимальное и минимальное значения р .
1.185. На горизонтальном столе лежат два тела, кото рые могут скользить по сто лу без трения. Тела связаны невесомой нерастяжимой ни тью (рис. 1.34). Такая же нить, переброшенная через блок, связывает тело 2 с грузом массы т=0,500 кг. Блок представляет собой однородный сплош ной цилиндр. Масса тел и блока одинакова н равна М = = 1,00 кг .
а) Считая, что блок вращается без трения, а нить не проскальзывает по блоку, найти ускорение тел w, натяже ние Г12 нити, связывающей оба тела, натяжение нити Г2 па участке от тела 2 до блока, натяжение нити Fm на участ ке от блока до груза т .
б) Определить те же величины, предполагая, что блок не вращается, а нить скользит по нему без трения. Сравнить полученные результаты .
1.186. Доказать, что потенциальная энергия тела про извольной формы, находящегося вблизи поверхности Зем ли, равна mgh, где т — масса тела, h — высота центра масс тела над уровнем, принятым за нулевой .
1.187. Тонкий стержень длины /=1,00 м и массы т= =0,600 кг может вращаться без трения вокруг перпендику лярной к нему горизонтальной оси, отстоящей от центра стержня на расстояние д=0,100 м. Стержень приводится в горизонтальное положение и Отпускается без толчка с нулевой начальной скоростью. Определить: а) угловое ускорение стержня ро и силу давления F0 на ось в начальный момент времени, б) угловую скорость со и силу давления F на ось в мо мент прохождения стержнем положения равновесия .
1.188. Тонкий стержень массы «1=0,200 кг и длины /— = 1,00 м может вращаться в вертикальной плоскости во круг горизонтальной оси, проходящей через его конец .
Трение в оси создает постоянный по модулю вращающий момент N. Выберем в качестве координаты, определяющей 46 тШ Рис. 1.34 положение стержня, угол ф между стержнем и вертикалью, отсчитываемый от верхнего положения стержня. При значении этого угла, равном фо=10,0°, стержень начи нает самопроизвольно поворачиваться. Найти: а) угловую скорость со стержня в момент, когда стер жень проходит через нижнее положение, б) модуль момента импульса М стержня- в этот момент .
+1.189. Столб высоты h—3,00 м и массы т =50,0 кг па дает из вертикального положения на Землю. Определить модуль момента импульса М столба относительно точки опоры и скорость v верхнего конца столба в момент удара о Землю .
1 1 * п 0 Рис. 1.35 в 4-1.190. Линейка массы т=0,1200 кг и длины /=1,000 м лежит на гладком столе. По точке, отстоящей от центра ли нейки на расстояние а=40,0 см (рис. 1.35), наносится удар, при котором линейке сообщается импульс р — =7,50• 10~2 кг-м/с. Считая удар «мгновенным» и прене брегая трением, а) найти расстояние х от центра линейки до точки О, которая не «почувствует» удара, б) определить, как движется линейка непосредственно после удара .
^ 1.191. Однородный шарик помещен на плоскость, об разующую угол а=30,0° с горизонтом (рис. 1.36) .
1. При каких значениях коэффициента трения k шарик будет скатываться с плоскости без скольжения? 2. Полагая £=0,100, а) определить характер движения шарика, б) найти значения скоростей точек Л, В и С ша рика спустя /=1,00 с после начала движения .
1.192. Однородному цилиндру сообщают начальный импульс, в результате чего он начинает катиться без сколь жения вверх по наклонной плоскости со скоростью va=> =3,00 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол а=20,0° .
■+■ а) Сколько времени С будет двигаться цилиндр до ос тановки? 47 б) На какую высоту h поднимется цилиндр? в) Сколько времени t2 затратит цилиндр на скатывание вниз до исходного положения? г) Какую скорость v имеет цилиндр в момент возвра щения в исходное положение? Сравнить полученные результаты с ответом к задаче 1.64 .
1.193. Решить задачу 1.192 в предположении, что на цилиндр действует постоянный по модулю момент силы трения качения АСр=0,100 Н-м. Масса цилиндра т = = 1,00 кг, радиус R =0,100 м. Помимо указанных в предыдущей задаче ве личин, определить: д) какую работу А совершает си ла трения качения на всем пути сни зу вверх и обратно .
Сравнить полученные результаты с ответами к предыдущей задаче и к задаче 1.65 .
1.194. На горизонтальной плоскости лежит катушка, масса которой т=50,0 г, а момент инерции относительно ее оси /=5,00- 10'6 кг-м2. На катушку намотана прак тически невесомая и неоастяжпмая нить (рис. 1.37). Ра Ряс. 1.37 диус внешнего слоя витков г=2,00 см, радиус торцов ка тушки 7?=3,00 см. Коэффициент трения между катушкой и плоскостью £=0,200. За нить тянут с силой F .
1. Найти условие для силы F, при котором катушка катится по плоскости без скольжения .
2. Как ведет себя катушка, если сила F и угол а имеют значения: a) F=0,128 Н, сс=30,0°, б) F=0,100 Н, а=48,2°, в) F=0,100 Н, а =30,0°, г) F=0,1Q0 Н, а=60,0°? Для всех случаев определить wx — проекцию на ось х ускорения оси катушки .
Vl.195. Однородный сплошной цилиндр массы /п=1,00 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис. 1.38). Цилиндр отпускают без толчка .
а) За сколько времени t цилиндр опустится на расстоя ние Я=50,0 см? б) Какое натяжение F испытывает при опускании ци линдра каждая из нитей? 1.196. Блок радиуса R может вращаться вокруг своей оси с трением, характеризуемым вращающим моментом NTр, который не зависит от скорости вращения блока. На блок намотана прикрепленная к нему одним концом прак тически невесомая нерастяжимая нить, к другому концу которой подвешен груз массы т (рис. 1.39). Груз отпу скают без толчка и он начинает опускаться, раскручивая блок. Найти момент импульса M(t) этой системы тел от носительно оси блока спустя время t после начала ее дви жения .
1.197. Найти момент импульса М относительно оси блока и кинетическую' энергию Т системы из предыдущей задачи в момент, когда скорость груза массы m равна v .
Момент инерции блока принять равным / .
if 1.198. Имеются два одинаковых однородных диска. Один из них может вращаться без трения вокруг вертикальной фиксированной оси, проходящей через его центр. Этот диск первоначально неподвижен. Второй диск раскручивают, сообщив ему угловую скорость со0, и роняют в горизон тальном положении на первый диск так, что край одного из дисков совпадает с центром другого. Придя в сопри косновение, диски мгновенно склеиваются. Определить: а) угловую скорость со, с которой будет вращаться образовавшаяся система, б) как изменится кинетическая энергия дисков .
V 1.199. Горизонтально расположенный деревянный стер жень массы т=0,800 кг и длины /=1,80 м может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину .
В конец стержня попадает и застревает в нем пуля массы in' = 3,00 г, летящая перпендикулярно к оси и к стержню со скоростью и=50,0 м/с. Определить угловую скорость со, с которой начинает вращаться стержень .
1.200. Решить задачу 1.199, заменив пулю пластмас совым шариком такой же массы и движущимся с той же скоростью. Удар считать абсолютно упругим. Определить: а) угловую скорость со стержня, б) скорость v шарика после удара .
49 -----fm' Рис. 1.40 Результат, полученный для ю, сравнить с ответом к задаче 1.199 .
1.201. Горизонтальный диск массы т и радиуса R может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На краю диска стоит человек массы т' .
Вначале диск и человек неподвижны. Затем человек начи нает идти по краю диска со скоростью v' относительно диска. С какой скоростью со вращается при этом диск относительно неподвижной системы отсчета? Размерами человека по сравнению с R можно пренебречь .
1.202. Тело вращается вокруг оси г с угловой скоростью со=со(/). На тело действует момент сил Nz= N z(t). Напи сать выражение для работы, совершенной приложенными к телу силами за промежу ток времени от tr до t.z .
1.203. Расположенный горизонтально однородный круглый цилиндр массы т= = 10,00 кг вращается без трения вокруг своей оси под действием груза массы /п' = = 1,000 кг, прикрепленного к легкой не растяжимой нити, намотанной на цилиндр. Найти кине тическую энергию Т системы спустя t = 3,53 с после на чала движения .
1.204. Вытащенное из колодца ведро с водой уронили, и оно стало опускаться вниз, раскручивая ворот. Трение в подшипниках ворота создает постоянный вращающий момент M=0,170 Н-м. Масса ведра с водой т = 13,2 кг .
Масса ворота /п'=43,1 кг, радиус ворота г=12,8 см. Рас стояние от края сруба до поверхности воды в колодце h =7,0 м. Определить: а) по какому закону изменяется со временем угловая скорость со вращения ворота, б) натяжение веревки F во время опускания ведра, в) через сколько времени t ведро коснется воды в ко лодце, г) какую скорость v будет иметь ведро в конце падения, д) какую работу А совершают силы трения за время падения ведра .
Ворот считать сплошным однородным цилиндром. Мас сой и толщиной веревки, массой рукоятки ворота, а также сопротивлением воздуха пренебречь .
1.205. Расположенный горизонтально однородный ци линдр радиуса R может вращаться вокруг оси, совпадаю щей с его геометрической осью. Трение в оси создает не зависящий от скорости вращения момент Мтр. К цилиндру 50 прикреплена точечная масса т' (рис. 1.40). Цилиндр уста навливают так, чтобы масса оказалась на уровне оси, и отпускают без толчка. Определить, при каком значении т’\ а) цилиндр придет во вращение, б) сделав 1/4 оборота, цилиндр остановится .
1.206. Диск массы т и радиуса R первоначально вра щается вокруг своей оси с угловой скоростью со. Под действием внешних сил диск останавливается. Чему равна работа А внешних сил? 1.207. Однородный цилиндр массы т и радиуса R вра щается вокруг своей оси. Угловая скорость цилиндра из меняется за время i от значения ©j. до значения со2. Какую среднюю мощность (Р) развивают силы, действующие на цилиндр? 1.208. Ротор некоторого агрегата снабжен дисковым тормозом. Этот тормоз состоит из двух дисков радиуса R = = 150 мм, один из которых закреплен на конце оси ротора, а другой, лишенный возможности вращаться, может при жиматься к первому с силой Р=100 Н. Тормоз включают в момент, когда ротор вращается по инерции со скоростью га =50,0 рад/с (трением в подшипниках можно пренебречь) .
Момент инерции ротора вместе с укрепленным'на нем дис ком тормоза 1=0,628 кг-м2. Коэффициент трения между поверхностями дисков не зависит от их относительной скорости и равен k=6,2b0. Считая, что сила F равномерно распределяется по поверхности дисков, определить, сколь ко оборотов N успеет сделать ротор до остановки .
1.209. Гироскоп в виде однородного диска радиуса R=* =8,00 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со =3,00• 102 рад/с. Угловая скорость прецессии гироскопа от' = 1,00 рад/с. Определить расстояние I от точки опоры до центра масс гироскопа. Моментом инерции оси гиро скопа пренебречь .
1.210. Гироскоп массы т = 1,000 кг, имеющий момент инерции /=4,905-10_3 кг-м2, враш,ается с угловой ско ростью оз = 100,0 рад/с. Расстояние от точки опоры до центра масс 1=5,00 см. Угол между вертикалью и осыо гироскопа сг=30,0°. Найти: а) модуль угловой скорости прецессии to', б) модуль углового ускорения гироскопа р .
1.211. Поместив начало координат в точку опоры ги роскопа и направив ось г вверх по вертикали, а) найти угловое ускорение р гироскопа из предыдущей задачи; считать, что в начальный момент ось гироскопа находилась в плоскости х, г; 51 б) вычислив скалярное произведение <00, определить, как направлен вектор 0 .
1.212. Гироскоп, вращающийся вокруг оси симметрии с угловой скоростью со = 100 рад/с, прецессирует в поле земного тяготения с угловой скоростью со'= 1,00 рад/с .
Угол между вертикалью и осью гироскопа а=30,0°. Опре делить угол <р между осью симметрии и направлением уг ловой скорости гироскопа Q (см. задачу 1.49). Решить задачу методом последовательных приближений, поло жив ф в нулевом приближении равным нулю .
1.8. Всемирное тяготение 1.213. В опыте, аналогичном тому, с помощью которого Кавендиш определил в 1798 г. гравитационную постоян ную у, массы малых и больших свинцовых шаров были равны соответственно т =0,729 кг и М = 158 кг. Малые шары были укреплены на легком, подвешенном на стальной проволоке коромысле, длина которого, измеренная между центрами шаров, /=216 см. Диаметр проволоки равнялся 0,6 мм, длина была около метра. При расстоянии г между центрами малого и соответствующего большого шаров, равном 300 мм, проволока, несущая коромысло с малыми шарами, закручивалась на угол а =39,6". Определенный экспериментально коэффициент пропорциональности k между углом закручивания проволоки и приложенным вращающим моментом равен 1,04-103 рад/(Н-м). Найти значение у .
1.214. С какой силой F притягивают друг друга два одинаковых однородных шара массы т—1,000 кг каждый, если их центры отстоят друг от друга па расстояние г= = 1,00 м? 1.215. Два одинаковых однородных шара, соприкаса ясь, притягивают друг друга с силой F. Как изменится сила, если увеличить массу шаров в п раз? Материал, из которого изготовлены шары, предполагается одним и тем же .
1.216. Имеется очень тонкий однородный прямой стер жень длины I и массы М. На прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр, находится на расстоянии b частица массы т .
а) Найти модуль F силы, с которой стержень действует на частицу, если Ь=1—2а .
б) Исследовать случай Ь^>/ .
62 в) Сравнить F с силой F', с которой взаимодействовали бы материальные точки массами Мит, находящиеся на расстоянии Ь=2а друг от друга .
1.217. Решить задачу 1.216, считая, что частица находится на оси стержня, на расстоянии Ь=/=2а от его центра .
1.218. Имеется очень тонкое однородное кольцо массы М и радиуса R. На прямой, перпендикулярной к плоскости кольца и проходящей через его центр, находится на рас стоянии х от центра частица массы гп. Найти: а) взаимную потенциальную энергию U (х) частицы и кольца, б) силу Fx, действующую на частицу со стороны кольца .
Силу вычислить двумя способами: 1) путем суммирования элементарных сил, 2) использовав выражение для U(х) .
в) Исследовать случай x^>R .
1.219. Имеется очень тонкий однородный диск радиу са R. Поверхностная плотность (масса единицы площади) диска равна а. На прямой, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, находится на расстоя нии b от диска частица массы т. Определить: а) силу F, с которой диск действует на частицу, б) при каком условии сила F отличается от своего пре дельного значения Fm, получающегося при R-*-oо, не бо лее чем на 1 % .
1.220. Имеется бесконечная очень тонкая однородная пластинка с поверхностной плотностью а. На расстоянии b от нее находится частица массы т .
а) Найти модуль F силы, с которой пластинка действует на частицу .
б) Чем примечательно выражение для F? в) Как изменится результат, если пластинку с пренеб режимо малой толщиной заменить пластиной конечной толщины d, изготовленной из вещества с объемной плот ностью р? 1.221. Имеется бесконечная однородная пластина тол щины £1=0,100 м, плотность которой р = 10,0 г/см3. С какой силой F действует эта пластина на находящееся вблизи от нее тело массы т=1,00 кг? 1.222. С какой силой F (в расчете на единицу площади) притягивают друг друга две параллельные бесконечные однородные пластины плотности р —10,0 г/см3 и толщины d=0,100 м каждая? 1.223. Имеется бесконечный очень тонкий однородный прямой стержень с линейной плотностью (массой, прихо 53 дящейся на единицу длины), равной А,. На расстоянии Ь от его оси находится частица массы т .
а) Найти модуль F силы, с которой стержень действует на частицу .
б) Частица какой массы М, находясь от частицы массы т на расстоянии Ь, действовала бы на нее с такой силой? 1.224. Как связаны телесный угол dQ и поверхность dS, вырезаемая им на сфере радиуса R, центр которой совпадает с вершиной телесного угла? 1.225. Выразить в сферических координатах элемент поверхности dS сферы радиуса R, центр которой находится в начале координат .
1.226. Выразить в сферических координатах элементар ный телесный угол dQ, вершина которого помещается в на чале координат .
1.227. Определить гравитационную силу F, которую будет испытывать материальная точка, находящаяся внутри однородного шарового слоя .
1.228. Внутри однородного шарового слоя находится однородный шаровой слой меньшего размера. Центры слоев не совпадают. Чему равна сила F взаимодействия между слоями? 1.229. Имеется очень тонкий однородный слой в виде полусферы радиуса R и массы М. В центре полусферы на ходится частица массы т. Найти модуль F силы, с которой слой действует на частицу .
1.230. Найти взаимную потенциальную энергию U (г) очень тонкого однородного шарового слоя и частицы массы т, находящейся на расстоянии г от центра слоя. Масса слоя равна М, радиус R. Рассмотреть случаи: а) г<К , б) r>R .
1.231. Воспользовавшись результатом предыдущей за дачи, найти взаимную потенциальную энергию U (г) тол стого шарового слоя и частицы массы т, находящейся на расстоянии г от центра слоя. Масса слоя равна М, внут ренний радиус Rlt внешний радиус R2 .
1. Рассмотреть случаи: a) r<iRi, б) r > R 2 .
2. Какое заключение о силе F, действующей на частицу со стороны слоя, можно сделать на основании ответа на п. 1 а? 1.232. С помощью каких данных можно определить массу: а) Земли, б) Солнца? 1.233. Воспользовавшись значениями астрономических величин и физических констант, вычислить массу т и среднюю плотность (р): а) Земли, б) Солнца .
54 1.234. Найти силу F, с которой притягиваются друг к другу: а) Земля и Солнце, б) Луна и Земля. Сравнить эти силы .
1.235. Считая, что Земля движется по круговой орбите, найти ускорение w, сообщаемое Земле Солнцем. Сравнить W с g .
1.238. Найти первую космическую скорость щ для Зем ли, т. е. скорость, которую нужно сообщить телу для того, чтобы оно стало спутником Земли .
1.237. Найти вторую космическую скорость v2 для Зем ли, т. е. наименьшую скорость, которую надо сообщить телу для того, чтобы оно могло преодолеть действие земного притяжения и навсегда покинуть Землю. Сравнить v2 с первой космической скоростью v1 .
1.238. В каком случае тело удалится ка большее рас стояние от Земли: а) при запуске вверх по вертикали со скоростью 10 км/с или б) при запуске под углом к горизон ту, равным 5°, со скоростью 12 км/с? Сопротивлением воздуха пренебречь .
1.239. Определить, при каком радиусе орбиты R (в метрах) спутник может двигаться в плоскости экватора так, чтобы все время находиться над одной и той же точкой поверхности Земли. Сравнить 7? с радиусом Земли R3 .
1.240. Планета движется по круговой орбите. Найти связь между радиусом орбиты R и периодом Т обращения планеты вокруг Солнца .
1.241. Исходя из того, что радиус земной орбиты /?3 = = 149,6- 10е км, а радиус орбиты Марса /?м=227,8- 10s км, найти период Тм обращения Марса вокруг Солнца (выра зить его в годах) .
1.242. Считая Землю однородным шаром и пренебрегая вращением Земли, найти: а) ускорение свободного падения g(h) как функцию расстояния h от земной поверхности, б) значения этого ускорения для Н, равных: 100, 1000, 10 000 км. Выразить найденные значения через g — ус корение вблизи поверхности Земли .
Т 1.243. а) Найти потенциальную энергию U тела массы пг, находящегося на расстоянии h от земной поверхности .
Потенциальную энергию на высоте h= 0 считать равной нулю .
б) Получить приближенное выражение для U, справед ливое при h<^R3 (R3 — радиус Земли) .
1.244. Тело запущено с поверхности Земли под углом а=45,0° к горизонту со скоростью у0=5,20-Ю3 м/с. Пре 55 небрегая сопротивлением воздуха и вращением Земли, определить: а) высоту h, на которую поднимется тело над поверх ностью Земли, б) скорость v тела в верхней точке траектории, в) радиус кривизны Ккр траектории в верхней точке .
1.245. Считая Землю однородным шаром и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, как будет двигаться небольшое тело, если его уронить в узкий канал, просвер ленный вдоль земной оси .
1.246. В условиях предыдущей задачи найти: а) модуль ускорения тела w(r) как функцию расстояния г от центра земного шара, б) модуль скорости тела v(r) как функцию г, в) скорость тела и(0) в момент, когда оно достигает центра Земли; сравнить у(0) с первой космической скоро стью (см. задачу 1.236), г) время т, спустя которое тело вернется в исходную точку; сравнить т с временем tlt за которое тело, движу щееся с первой космической скоростью, облетает вокруг Земли, д) среднюю (по времени) скорость тела (v); сравнить ее с у(0) .
1.247. Для тела из задачи 1.245 найти: а) потенциальную энергию U(г) как функцию расстоя ния г от центра земного шара (положить потенциальную энергию тела на бесконечно большом удалении от Земли равной нулю), б) потенциальную энергию U(0), которой обладает тело в центре Земли; сравнить U(0) с потенциальной энергией тела вблизи земной поверхности U(R) .
1.248. Введем вращающуюся систему отсчета, ось кото рой проходит через центр Солнца и перпендикулярна к плоскости земной орбиты. Система вращается в ту же сторону, что и Земля, с угловой скоростью, в два раза большей, чем скорость вращения Земли .
а) Какие силы нужно учесть, рассматривая в этой систе ме движение Земли относительно Солнца? б) Вычислить значение и указать направление этих сил. Сравнить их с силой Fg гравитационного притяжения Земли к Солнцу .
1.249. Определить силу F, с которой притягивает к себе Землю небольшое тело массы т, находящееся на экваторе недалеко от поверхности Земли. Ускорение свободного падения на экваторе считать известным и равным gatLB .
56 1.9. Колебательное движение 1.250. Частица колеблется вдоль оси х по закону х= —a cos at. Построить графики: а) функций л:, л: и л: в зависимости от t, б) функций л: и л: в зависимости от х .
1.251. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой а и периодом Т. Найти: а) , время tu за которое смещение частицы изменяется от 0 до а!2, б) время 12, за которое смещение изменяется от а!2 до а .
1.252. Частица колеблется вдоль оси х по закону х— --=0,100 sin 6,28/ (м). Найти среднее значение модуля ско рости частицы (и): а) за период колебания Т, б) за первую 1/8 часть Т, в) за вторую 1/8 часть Т. Сопоставить получен ные значения: 1.253. Для частицы из задачи 1.252 найти среднее значение вектора скорости (v): а) за период колебания Т, б) за первую четверть Т, в) за вторую четверть Т .
1.254. Как, зная амплитуду смещения а и амплитуду скорости vm, найти частоту гармонического колебания со? 1.255. Как, зная амплитуду скорости vm и амплитуду ускорения wm, найти амплитуду а и частоту со гармониче ского колебания? \/ 1.258. Горизонтальная платформа совершает в верти кальном направлении гармоническое колебание х=а cos соt .
На платформе лежит шайба из абсолютно неупругого материала .
а) При каком условии шайба будет отделяться от плат формы? б) В каком положении находится ив каком направлении движется платформа в момент отрыва от нее шайбы? в) На какую высоту /г будет подниматься шайба над ее положением, отвечающем среднему положению платформы, в случае, если а=20,0 см, со = 10,0 с-1? 1.257. Найти средние значения sin2 х и cos2 х на проме жутке от а до к +wt (ос — произвольный угол, п — целое число) .
1.258. Чему равна при гармоническом колебании работа А квазиупругой силы за время, равное периоду колебаний? 1.259. а) Найти уравнение, связывающее значения им пульса рх=гпх со значениями координаты х одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора т, ча стота а, амплитуда колебания а .
- . 57 б) Нарисовать кривую, описываемую этим уравне нием .
в) Выразить площадь S, ограниченную этой кривой, через энергию осциллятора Е .
1.260. Определить частоту со малых колебаний частицы из задачи 1.92, возникающих в том случае, если частицу сместить в радиальном направлении из положения устой чивого равновесия. Массу частицы принять равной т .
1.2-31. а) При какой длине I период колебаний «математи ческого маятника будет равен 1 с? б) Чему равен период колебаний Т математического маятника длины 1= 1 м? 1.282. Роль физического маятника выполняет тонкий стержень, подвешенный за один из его концов .
а) При какой длине / стержня период колебаний этого маятника будет равен 1 с? б) Чему равен период колебаний Т при длине стержня в 1 м? V 1.263. На каком расстоянии х от центра нужно подве сить тонкий стержень заданной длины /, чтобы получить физический маятник, колеблющийся с максимальной ча стотой? Чему равно значение сошах этой частоты? 1.264. Найти закон, по которому изменяется со време нем натяжение F нити математического маятника, совер шающего колебание cp=q?mcos cot. Масса маятника равна т , длина I .
1.285. В неподвижной кабине лифта качается маятник .
Вследствие обрыва троса кабина начинает падать с уско рением g. Как ведет себя маятник относительно кабины лифта, если в момент обрыва троса он а) находился в одном из крайних положений, б) проходил через положение равновесия? \f 1.266. В кабине лифта подвешен маятник, период коле баний которого, когда лифт неподвижен, равен Т0- а) Каков будет период Т колебаний маятника, если лифт станет опускаться с ускорением, равным 3/4g? б) С каким ускорением w нужно поднимать лифт для того, чтобы период колебаний маятника был равен 1/2Т0? 1.267. В кабине самолета подвешен маятник. Когда самолет летит без ускорения, маятник качается с часто той со0 .
а) Какова будет частота со колебаний маятника, если самолет летит с ускорением w, направление которого 'об разует с направлением вниз по вертикали угол а? б) Найти со для случая, когда w=g и а= я/2 .
58 1.268. Найти период колебаний Т математического ма ятника, длина подвеса которого / равна радиусу Земли R3 .
Сравнить полученный результат с ответом к задаче 1.246, п.г) .
1.269. Физический маятник устанавливают так, что его центр масс располагается над точкой подвеса. Из этого по ложения маятник начинает двигаться без трения с нулевой начальной скоростью. В момент прохождения через нижнеа положение угловая скорость маятника достигает значения сртах. Найти собственную частоту со0 малых колебаний этого маятника .
Рис. 1.41 Рис. 1.42 Рис. 1.43 1.270. Шарик массы т = 50,0 г подвешен на пружина жесткости k=49,3 Н/м. Шарик поднимают до такого поло жения, при котором пружина не напряжена, и отпускают без толчка. Пренебрегая трением и массой пружины, а) найти период Т и амплитуду а возникших колебаний, б) направив ось х вниз и совместив точку х= 0 с началь ным положением шарика, написать уравнение движения шарика .
.271. Пренебрегая трением, определить частоту со ма лых колебаний ртути, налитой в U -образную трубку с внутренним сечением S =0,500 см2 (рис. 1.41). Масса рту ти т=136 г; 1.272. Деревянный молоток состоит из цилиндрического бойка радиуса /?=4,00 см и рукоятки длины /=90,0 см .
Масса бойка =0,800 кг, масса рукоятки т а=0,600 кг .
Молоток положен на два параллельных бруска (рис. 1.42) .
Найти период Т малых колебаний этой системы, у 1.273. Бревно массы М =20,0 кг висит на двух шнурах длины /=1,00 м каждый (рис. 1.43). В торец бревна ударяет и застревает в нем пуля массы т=10,0 г, летящая со ско ростью и=500 м/с. Найти амплитуду срт и период Т воз никших колебаний этой системы. Трением пренебречь .
59 1.274. Шар массы т =2,00 кг подвёшен к двум соединен ным последовательно пружинам (рис. 1.44). Жесткость пружин равна: ^= 1000 Н/м, &2=3000 Н/м. Пренебрегая массой пружин и трением, найти: а) частоту со малых колебаний шара, б) амплитуду а колебаний, возникающих в том случае, если шар установить на уровне, при котором пружины не ty/////s. напряжены, и отпустить без толчка .
1.275. Блок показанного на рис. 1.45 уст ройства представляет собой сплошной однород ный цилиндр, который может вращаться вокруг оси без ощутимого трения. Масса блока М = = 5,00 кг. Жесткость пружины 6=1000 Н/м .
Массой пружины и переброшенного через блок шнура можно пренебречь. Масса висящего на шнуре груза т=1,00 кг. Полагая, что про скальзывание шнура по блоку отсутствует, найти: а) частоту со малых колебаний устройства, б) максимальную силу натяжения шнура слева (Flm) и справа (F2w) от блока в случае, когда амплитуда коле баний а=5,00 мм .
1.276. Два шара массами тх и т2 могут скользить без трения по тонкому горизонтальному стержню (рис. 1.46) .
*//////////////. Шары связаны невесомой пружиной жест кости 6. Сместив шары в противополож ные стороны, их отпускают без толчка .
Определить: а) как ведет себя центр масс системы, б) частоту со возникших колебаний, т К У V777777777777Z- Рис. 1.45 Рис. 1.46 в) максимальное значение относительной скорости ша ров утах, если начальное относительное смещение шаров равно а .
1.277. Два шара массами гщ и т 2 могут скользить без трения по длинной натянутой горизонтально проволоке (см. рис. 1.46). Шары связаны невесомой пружиной жест кости k. Первоначально система неподвижна и пружина не напряжена. Первому шару сообщается импульс /?0=WW Определить: 60 а) скорость vc центра масс системы, б) энергию £ пост поступательного и Дкодев колеба тельного движения системы, в) частоту со и амплитуду а колебаний .
1.278. Однородный диск массы т—3,00 кг и радиуса R=20,0 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен неподвижно (рис. 1.47). Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момен та к углу закручивания) &=6,00 Н-м/рад .
Определить: а) частоту со малых крутильных колеба ний диска, б) амплитуду <рт и начальную фазу а рнс> 147 колебаний, если в начальный момент <р= =0,0600 рад, ср=0,800 рад/с .
1.279. Два диска могут вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Радиус дисков одинаков и равен R=0,500 м. Массы дисков равны: т1=2,00 кг и /п2=3,00 кг .
Диски соединены пружиной, у которой коэффициент пропорциональности между возникающим вращательным моментом и углом закручивания равен /г=5,91 Н-м/рад .
Диски поворачивают в противоположные стороны и отпускают. Чему равен период Т крутильных колебаний дисков? Диамет ром оси пренебречь .
1.280. По диаметру горизонтального диска может пере мещаться, скользя без трения по направляющему стержню небольшая муфта массы т=0,100 кг. Муфта «привязана» к концу стержня с помощью невесомой пружины, жест кость которой /с = 10,0 Н/м (рис. 1.48). Если пружина не напряжена, муфта находится в центре диска. Найти ча стоту со малых колебаний муфты в том случае, когда диск вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ф, равной: а) 6,00 рад/с, б) 10,1 рад/с .
1.281. К куполу зала подвешен на легком нерастяжимом шнуре шар массы т—5,00 кг. Длина подвеса /=9,81 м .
Шар отвели в сторону вдоль некоторого направления х на расстояние а=30,0 см и сообщили ему в перпендикулярном к х направлении у импульс р = 2,00 кг-м/с. Пренебрегая трением, найти уравнение траектории, по которой будет двигаться центр.шара .
61 1.282. За 10 с амплитуда свободных колебаний уменьша ется в 10 раз. За какое время т амплитуда уменьшится в 100 раз? 1.283. За 1,00 с амплитуда свободных колебаний умень шается в 2 раза. В течение какого промежутка времени т амплитуда уменьшится в 10 раз? 1.284. За время /=16,1 с амплитуда колебаний умень шается в ri=5,00 раз .
а) Найти коэффициент затухания колебаний |3 .
б) За какое время т амплитуда уменьшится в е раз? 1.285. За 100 с система успевает совершить 100 колеба ний. За то же время амплитуда колебаний уменьшается g 2,718 раз. Чему равны: а) коэффициент затухания колебаний |3, б) логарифмический декремент затухания X, в) добротность системы Q, г) относительная убыль энергии системы —АЕ/Е за период колебаний? 1.286. За время, в течение которого система совершает #=100 колебаний, амплитуда уменьшается в т]=5,00 раз .
Найти добротность системы Q .
1.287. Добротность некоторой колебательной системы Q=2,00, частота свободных колебаний и = 100 с-1. Опре делить собственную частоту колебаний системы со0 .
1.288. Затухающие колебания частицы были возбужде ны путем смещения ее из положения равновесия на рас стояние а0=1,00 см. Логарифмический декремент затуха ния А.=0,0100. При столь слабом затухании можно с боль шой степенью точности считать, что максимальные откло нения от положения равновесия достигаются в моменты времени tn^(T/2)n (п=0, 1, 2, . . .). В этом приближении найти путь s, который пройдет частица до полной остановки .
1.289. Частота свободных колебаний некоторой си стемы со = 100,0 с~ \ резонансная частота сорез=99,0 с-1 .
Определить добротность Q этой системы .
1.290. Железный стержень, подвешенный к пружине, будучи выведен из положения равновесия, совершает свободные колебания частоты со'=20,0 с-1, причем ам плитуда колебаний уменьшается в ц = 2 раз в течение вре мени т=1,11 с. Вблизи нижнего конца стержня помещена катушка, питаемая переменным током (рис. 1.49). При частоте тока ю=*11,0 с-1 стержень колеблется с амплитудой а=»1,б0 мм .
а) При какой частоте тока сорез колебания ' стержня достигнут наибольшей интенсивности? 63 б) Какова будет амплитуда арез колебаний при этой частоте? Предполагается', что амплитуда вынуждающей силы неизменна. Учесть, что частота вынуждающей силы равна удвоенной частоте изменений тока в катушке .
1.291. Под действием вынуждающей силы Fx=Fm cos <ot система совершает установившиеся колебания, описыва емые функцией х=а cos (сot—ср) .
а) Найти работу Лвын вынуждающей силы за период .
б) Показать, что работа силы трения за пе риод Лтр А в ы н ■ 1.292. При неизменной амплитуде вынужда ющей силы амплитуда вынужденных колебаний при частотах со1=100 с-1 и соа=300 с-1 ока зывается одинаковой. Найти-резонансную ча стоту сорез .
1.293. При неизменной амплитуде вынужда ющей силы амплитуда скорости при частотах m1= 100c~i и со2=300 с-1 оказывается одинаковой. Найти частоту С0рез, при которой амплитуда скорости максимальна .
Рис. 1.49 1.10. Релятивистская механика 1.294. Согласуется ли с принципами специальной теории относительности представление о теле в виде шара радиуса /? = 1,00 м, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью со=3,30-108 рад/с? 1.295. Согласуется ли с принципами специальной тео рии относительности представление об электроне как о вращающемся вокруг своей оси однородном шарике массы m=0,911 -10~30 кг (масса электрона) и радиуса R = 2,82Х XlO"16 м (классический радиус электрона), обладающем собственным моментом импульса Л4=0,913-10~34 кг-м2/с (вытекающее из квантовой теории и подтвержденное экс периментально значение собственного момента импульса электрона)? 1.296. В системе К некоторое событие произошло в точке с координатами (1,00; 1,00; 1,00) в момент ^=1,00 с .
Определить координаты и время этого события в системе К', Движущейся относительно К в направлении совпада ющих осей х и х' со скоростью и0=0,800 с .
1.297. Имеются два одинаковых стержня. Стержень 1 покоится в. системе отсчета Ки стержень 2 покоится в системе отсчета Кг- Системы движутся друг относительно друга вдоль совпадающих осей х. Стержни параллельны 63 этим осям. Какой стержень будет короче: а) в системе Ki, б) в системе Ка? Vl.298. Какую продольную скорость v нужно сообщить стержню для того, чтобы его длина стала равной половине длины, которую он имеет в состоянии покоя? 1.299. а) Чему равно относительное приращение длины стержня А///„, если ему сообщить скорость о=0,1с в на правлении, образующем с осью покоившегося стержня угол а? б) Вычислить А///0 для значений а, равных: 0, 45, 90° .
1.300. Решить задачу 1.299 для скорости о=0,9с .
V 1.301. В системе К', относительно которой стержень покоится, он имеет длину /' = 1,00 м и образует с осью х' угол а '=45°. Определить в системе К длину стержня / и угол а, который стержень образует с осью х. Относитель ная скорость систем равна ио=О,5О0с .
1.302. Неподвижное тело произвольной формы имеет объем V0. Чему равен объем V того же тела, если оно дви жется со скоростью о=0,866с? 1.303. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющего форму куба, равна S0. Чему равна поверхность S того же тела, если оно движется в направлении одного из своих ребер со скоростью о=0,968с? 1/1.304. Имеются две системы отсчета К и К', относи тельная скорость которых неизвестна. Параллельный оси х' стержень, движущийся относительно системы К! со скоростью сф=0,100с, имеет в этой системе длину /' = 1,10 м .
В системе К длина стержня /=1,00 м. Найти скорость vx стержня в системе К и относительную скорость систем v0 .
1.305. Имеется двое одинаковых часов. Часы 1 покоятся в системе отсчета Кi, часы 2 покоятся в системе отсчета Кг- Системы движутся друг относительно друга. Какие часы идут быстрее: а) в системе Ki, б) в системе /С2? 1.306. Двое одинаковых синхронизированных часов укреплены на концах стержня с собственной длиной /0 .
При каком значении /„ разность показаний часов А/', определенная наблюдателем, движущимся параллельно стержню со скоростью о0=0,600с, окажется равной: а) 1,000 мкс, б) 1,000 с? 1.307. Решить предыдущую задачу для п0=0,999с .
v/1.308. На концах двух стержней собственной длины /0= 10,00 м укреплены одинаковые синхронизированные друг с другом часы (рис. 1.50). Стержни приведены в дви жение с относительной скоростью п0=с/2. В момент, когда 64 часы 1 и Г находятся друг против друга, стрелки обоих часов показывают нулевой отсчет. Определить: а) показания и т2 часов 1 и 2' в момент, когда они поравняются друг с другом, б) показания т2 и т2 часов 2 и Г в момент, когда они по равняются друг с другом, У' Э — а - • а 1 г Рис. 1.50 в) показания т2 и т2 часов 2 и 2' в момент, когда они по равняются друг с другом .
1.309. Собственное время жизни некоторой частицы оказалось равным т— 1,00-10_в с. Чему равен интервал As между рождением и распадом этой частицы? 1.310. С какой скоростью v должна лететь частица от носительно системы отсчета К для того, чтобы промежуток собственного времени Дт был в 10 раз меньше промежутка At, отсчитанного по часам системы К} 1.311. За промежуток времени А/= 1,000 с, отсчитанный по часам некоторой системы отсчета К, частица, двигаясь прямолинейно и равномерно, переместилась из начала координат системы К в точку с координатами x—y —z = = 1,50x10® м. Найти промежуток собственного времени частицы Дт, за который произошло это перемещение .
1.312. Собственное время жизни нестабильной элемен тарной частицы равно т. Считая движение частицы пря молинейным и равномерным, определить путь /, который она пройдет до распада в системе отсчета, в которой время жизни частицы равно t .
1.313. Собственное время жизни нестабильной элемен тарной частицы, называемой мюоном, т=2,2 мкс. Опре делить время жизни t мюона в системе отсчета, в которой он проходит до распада путь /=30 км. Считая движение мюона прямолинейным и равномерньм, найти скорость мюона V .
1.314. Система отсчета К' движется относительно си стемы к со скоростью а0=0,500с. Скорость некоторой ча стицы в системе К' равна v'=0,1732 с(е^+е^+е2). Найти: 3 И. В. Савельев 63 а) модуль v' скорости v' и угол а ', образуемый v' с осью х', б) скорость v частицы в системе К, модуль v этой ско рости и угол а, образуемый v с осью х, в) отношение v/v’ модулей векторов v и v' .
1.315. Две одинаковые частицы движутся в некоторой системе отсчета К навстречу друг другу с одинаковой но модулю скоростью v .
1. Определить модуль скорости г/, с которой каждая из частиц движется относительно другой частицы .
2. Вычислить г/ для случая: а) у—0,1 с, б) v=0,5c, в) у=0,99с .
1.316. Решить задачу 1.315 для случая, когда частицы движутся в системе К во взаимно перпендикулярных на правлениях .
1.317. При какой скорости v погрешность при вычис лении импульса по ньютоновской формуле p=mv не пре вышает 1 %? 1.318. Найти отношение релятивистского и ньютонов ского импульсов для скорости, равной: а) 0,1с, б) 0,5с, в) 0,999с .
1.319. Найти скорость v релятивистской частицы массы /п=0,91Ы 0-:!0 кг (масса электрона), импульс которой р = 1,58-10~22 кг-м/с .
1.320. Энергия покоя частицы равна Е0■ Чему равна полная энергия частицы в системе отсчета, в которой импульс частицы равен р? 1.321. Импульс тела массы т равен р~тс. Чему равна кинетическая энергия Т тела? 1.322. При какой скорости частицы v ее кинетическая энергия равна энергии покоя? 1.323. Найти импульс р релятивистской частицы массы пг, кинетическая энергия которой равна Т, 1.324. Воспользовавшись результатом задачи 1.323, определить импульс р релятивистской частицы массы пг, кинетическая энергия Т которой равна энергии покоя частицы ж 3 .
1.325. При скорости частицы v0 импульс частицы ра вен р0 .
а) Во сколько раз т) нужно увеличить скорость частицы для того, чтобы ее импульс удвоился? б) Найти значения т) для vjc, равных 0,1, 0,5, 0,9 и 0,99 .
в) Получить приближенное выражение г] для значений и0, близких к с .
66 1.326. Полная энергия частицы равна 10 тс2. Чему равна ее скорость у? 1.327. Частица массы т=1,00-10-20 кг обладает в системе К кинетической энергией 7'=2,25-10“4 Дж. Оп ределить кинетическую энергию Т', которой обладает частица в системе Кг, движущейся относительно К сб скоростью уо=0,800с, перпендикулярной к скорости частицы в системе К- 1.328. Две одинаковые частицы массы m каждая летят навстречу друг другу с одинаковой по модулю скоростью v .
Столкнувшись, частицы сливаются в одну частицу, 1. Какова масса М образовавшейся частицы? 2. Найти М для v, равной: а) 0,1с, б) 0,5с, в) 0,999с .
.329. Неподвижная частица массы М распадается на две одинаковые частицы массой т = 0,4 М каждая. Найти скорость v, с которой движутся эти частицы .
1.330. Найти отношение кинетической энергии Т к энергии покоя частицы Е0 для случая, когда (3=у/с со ставляет: а) 0,9, б) 0,1, в) 0,01, Выразить Т1Е0 через (3 и |32. Установить закономер ность в зависимости Т/Е0 от |32 .
1.331. Какую работу А нужно совершить, чтобы со общить электрону скорость, равную: а) 0,5с, б) 0,999с? Энергия покоя электрона £ о=0,82-10“13 Дж (0,51 МэВ) .
1.332. Над первоначально покоившимся протоном си лами электрического поля была совершена работа Л = = 1,00-10-10 Дж. Найти импульс р и скорость v, которые приобрел в результате этого протон .
+ 1.333. Частица массы m начинает двигаться под дей ствием постоянной силы F. Найти зависимость от времени импульса р и скорости v частицы .
1.334. Над частицей массы /га=0,911 • 1СУ30 кг, двигав шейся первоначально со скоростью Ci=0 ,100 с, была совер шена работа А =8,24-10-14 Дж. Как изменились в ре зультате этого скорость, импульс и кинетическая энергия частицы? (Найти Av, Ар и АТ.) •*1.335. Относительная скорость систем отсчета К и К' равна уо=0,800с. В системе К' импульс частицы р '=2,30 х 10-18 (е^+еу+е^) (кг-м/с), а энергия Е'<=\,50-10~8 Дж .
Найти импульс р и энергию Е частицы в системе К- 1.336. Система отсчета К' движется относительно си стемы К со скоростью 1>0=0,500с. В системе К' импульс протона р '= (0,774е^4-1,548е^+2,322ег)-10"18 кг-м/о, Оп ределить: 3* 67 а) ’ энергию Е ' и модуль скоро»™ v' протона в систе ме К', б) импульс р, энергию Е и модуль скорости v протона в системе К .
1.337. Два протона с энергией £= 50 ГэВ каждый движутся в системе К навстречу друг другу и претерпе вают лобовое соударение. Рассмотрев этот процесс в си стеме К', в которой один из протонов неподвижен, опре делить энергию Е' другого протона. (Энергия покоя про тона £ 0=938 МэВ.) Какой вывод можно сделать из полу ченного результата? 1.11. Гидродинамика 1.338. На столе стоит цилиндрический сосуд высоты Н, наполненный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить высоту h, на которой нужно сделать в сосуде небольшое отверстие, чтобы вытекающая из него струя попадала на стол на наибольшем удалении от сосуда .
1.339. Цилиндрический сосуд высоты h—0,500 м и ра диуса £ = 10,0 см наполнен доверху водой. В дне сосуда открывается отверстие радиуса r= 1,00 мм. Пренебрегая вязкостью воды, определить: а) время т, за которое вся вода вытечет из сосуда, б) скорость v перемещения уровня воды в сосуде в за висимости от времени .
1.340. Щприц, применяемый для заправки смазкой шарнирных соединений автомобиля, заполнили для про мывки керосином. Радиус поршня шприца £=2,00 см, ход поршня /=25,0 см. Радиус выходного отверстия шпри ца г—2,00 мм. Пренебрегая вязкостью керосина и трением поршня о стенки, определить время т, за которое будет вы теснен керосин из шприца, если давить на поршень с по стоянной силой £=5,00 Н. Плотность керосина р принять равной 0,800 г/см3 .
у 1.341. С мостика, переброшенного через канал, по ко торому течет вода, опущена узкая изогнутая трубка, об ращенная открытым концом навстречу течению (рис. 1.51) .
Вода в трубке поднимается на высоту h= 150 мм над уров нем воды в канале. Определить скорость v течения воды .
1.342. Устройство, называемое трубкой Пито — Прандт- ля, состоит из двух узких коаксиальных трубок (рис. 1.52) .
Внутренняя трубка открыта на нижнем конце, внешняя имеет боковые отверстия. Верхние концы трубок подклю чены к дифференциальному манометру (т. е. манометру, 68 показывающему разность давлений Ар). С помощью этого устройства можно измерять скорость жидкости (или газа) .
Для этого его погружают в жидкость, обратив открытым концом навстречу потоку, и отсчиты вают Ар. При погружении трубки в поток жидкости с плотностью р = = 1, 10-103 кг/м3 была обнаружена разность давлений Д/?=4,95-103 Па .
Найти скорость v течения жидкости .
/Г Ишрференщюльнщ нанометр!) у Рис. 1.51 Рис. 1.52 VI.343. По горизонтальной трубе радиуса R = 12,5 мм течет вода. Поток воды через сечение трубы Q=3,00x Х10~5 м3/с. Определить: а) характер течения, б) перепад давления на единицу длины трубы dp/dl .
Вязкость воды принять равной т] = 1,00-10-? Па-с .
1,344. Два одинаковых цилиндрических бака соедине ны узкой трубкой с краном посредине (рис. 1.53). Радиус баков R = 20,0 см, радиус трубки r= 1,00 мм. Длина трубки /=1,00 м. Проходное отверстие крана совпадает с сечением трубки. В один из баков налита вода до высоты h =50,0 см, второй бак вначале пустой. В момент / = 0 кран открывают .
Определить: а) характер течения воды в трубке в первые секунды, б) время т, по истечении ко торого разность уровней воды в баках уменьшается в е раз .
Вязкость воды принять рав ной л = 1,00-10“8 Па-с .
v 1.345. Над нагретым участком Рис. 1.53 поверхности Земли установился стационарный поток воздуха, направленный вертикально вверх и имеющий скорость и=20,0 см/с .
В потоке находится шаровидная пылинка, которая движет- 69 ся вверх с установившейся скоростью о=4,0 см/с. П лот ность пылинки р=5,00-103 кг/м3, плотность воздуха р0=1,29 кг/м*. Вязкость воздуха г] = 1,72-10-6 Па-с .
а) Определить радиус пылинки г .
б) Убедиться в том, что обтекание пылинки воздухом имеет ламинарный характер .
Примечание. Для шарика критическое значение, числа Рейнольдса Re (т. е. значение, при котором ламинар ное обтекание шарика переходит в турбулентное) равно 0,250, если в качестве характерного размера принять радиус шарика .
1.346. В высокий широкий сосуд налит глицерин (плот ность ро=1,2Ы 03 кг/м3, вязкость г]=0,350 Па-с). В гли церин погружают вдалеке от стенок сосуда и отпускают без толчка шарик радиуса г=1,00 мм. Плотность шарика р = = 10,0-103 кг/м3. Первоначальная высота шарика над дном сосуда Я=0,500 м .
а) Определить, можно ли силу сопротивления движению шарика вычислять по формуле Стокса (см. примечание к задаче 1.345) .
б) Найти зависимость пути s, пройденного шариком, от времени t .
в) Найти время т, за которое шарик достигнет дна со суда .
г) Определить время t, по истечении которого скорость шарика будет отличаться от предельного значения v0, не более чем на 1%.

Ответы к задачам по физике Савельев from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (09.08.2016)
Просмотров: | Теги: савельев | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar