Тема №7590 Ответы к задачам по физике Серова (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Серова (Часть 1) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Серова (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1. Оценить время, за которое электрон, движущийся
вокруг протона в атоме водорода по орбите с радиусом
0,53- 10~10м, упал бы на ядро, если бы он терял энергию
на излучение в соответствии с формулой классической
электродинамики
dE _ 2 el Та
dt 3 4ле0с3 г 9
где г — вектор ускорения электрона.
2. Пользуясь правилами квантования (1.2), найти
уровни энергии одномерного гармонического осциллятора
с частотой со.
3. Частица массы т0 движется по круговой орбите
в центрально-симметричном потенциальном поле. Потен­
циальная энергия частицы £/ = у £ г 2 (где г — радиус ор­
биты). Пользуясь правилом квантования, определить
уровни энергии частицы.
4. Показать, что частота излучения водородоподобного
атома, соответствующая переходу электрона с п + 1-й
орбиты на п-ю, равна частоте обращения электрона на
п-й орбите, если 1 (принцип соответствия).
5. Определить квантовое число п для возбужденного
состояния атома водорода, если известно, что при пере­
ходе в основное состояние атом излучил два фотона
с длинами волн \ = 65630нм и %2= 12160нм.
6. Вычислить потенциалы ионизации и первые потен­
циалы возбуждения для ионов гелия Не+ и лития Li + + .
7. Учитывая движение ядра водородоподобного атома
путем введения приведенной массы, получить выражение
5
для энергии электрона в м-м состоянии и найти зависи­
мость постоянной Ридберга от массы ядра.
8. Найти для легкого водорода и дейтерия разность:
а) энергий связи электронов в основных состояниях;
б) длин волн головных линий серии Бальмера;
в) первых потенциалов возбуждения.
9. Вычислить для связанной системы позитрон + элек­
трон: а) радиусы стационарных орбит позитрона; б) по­
зитронный потенциал ионизации; в) длину волны резо­
нансной линии.
10. Определить для мезоатома (водородоподобный
атом, в котором вокруг ядра вместо электрона обращается
р-мезон) радиус первой боровской орбиты, энергию связи
в основном состоянии и первый потенциал возбуждения.

37. Найти оператор бесконечно малого поворота
—►
вокруг направления п0 и выразить его через оператор
/\
момента импульса J?.
38. Показать, что если операторы А и В линейные, /Ч /\ /Ч /\
то их сумма А+В и произведение А В тоже представ­
ляют собой линейные операторы.
39. Является ли оператор комплексного сопряжения
/\
/Итр = ф* линейным оператором?
40. Является ли оператор дифференцирования Л =
эрмитовым оператором?
41. Является ли оператор комплексного сопряжения
эрмитовым оператором? Чему равен оператор, комплекс­
но-сопряженный оператору комплексного сопряжения?

42. Показать, что сумма произвольного оператора А и
его сопряженного оператора есть самосопряженный (эр­
митов) оператор.
/\ /\
43. Доказать, что если операторы А и В эрмитовы,
/\ /\ /\ /Ч /\ /\
то и операторы А+В и АВ + ВА также эрмитовы.
44. Какое соотношение должно существовать между /\ /ч
эрмитовыми операторами А и В для того, чтобы их про­
изведение было эрмитовым оператором?
45. Доказать эрмитовость следующих операторов:
а) рх; б) З г\ в) р|; г) Н.
46. Доказать эрмитовость оператора J?2, учитывая, /\ /\ /ч
что операторы Jg7*, J?y> 3? z эрмитовы.
47. Показать, что среднее значение квадрата физи­
ческой величины А является положительным.
48. Доказать, что в любом состоянии ф среднее зна­
чение энергии не меньше энергии основного состояния Е0

64. Найти нормированные собственные функции и
собственные значения оператора кинетической энергии /ч
вращательного движения Гф плоского ротатора (система
из двух жестко связанных друг с другом материальных
точек, вращающихся в плоскости относительно центра
/\ л
масс). Оператор Тф выражается формулой (гДе
/ — момент инерции системы относительно центра масс).
65. Возможные значения проекции момента импульса
частицы, движущейся в центрально-симметричном поле,
на произвольную ось равны trih (где пг = 0, ± 1 , +2,...
14
..., ±/). Принимая во внимание равноправность осей,
а значит, и равновероятность этих проекций, показать,
что в состоянии с определенным значением^/ среднее значе­
ние квадрата момента импульса равно J?2 = h2l (/ + 1).
66. Модель пространственного ротатора — это частица
с массой р, движущаяся на расстоянии r0 = const от
центра 0. Найти собственные значения энергии такого
ротатора, считая известными собственные значения опе-
/\
ратора
= (/ + 1),
где / = 0, 1,2, ...
67. Доказать, что в стационарном состоянии дискрет­
ного спектра среднее значение проекции импульса ча­
стицы равно нулю.
68. Показать, что в состоянии г|), которому соответ-
/\
ствует определенное собственное значение оператора S?z,
средние значения 3? х и равны нулю.
69. Непосредственными вычислениями убедиться в ор- /Ч
тогональности собственных функций оператора 2?г, при­
надлежащих различным собственным значениям.
70. Показать, что оператор радиус-вектора частицы
^ д в р-представлении есть r = m — .
др
71. Определить собственные функции и спектр соб-
/\
ственных значений оператора х в импульсном представ­
лении.
72. Состояние частицы описывается волновым пакетом
_а x*+J-xp0
гауссовской формы ty(x) = Ae п . Найти нормиро­
вочный коэффициент А и перейти к импульсному пред­
ставлению.
73. Перейти к импульсному представлению для вол­
новой функции
i
о
15
74. Найти волновые функции в г- и р-представлениях
для частицы, локализованной в точке г0, и для частицы,
->
движущейся с определенным импульсом р0.
75. По заданной волновой функции ф(л;, у> г) вычи­
слить вероятность нахождения частицы в состоянии
с координатой х, лежащей в интервале от хг до х2, и
с компонентом импульса рХ9 лежащем в интервале от рг
ДО р%.
76. Частица находится в бесконечно глубокой потен-

циальной яме в состоянии ф (х) = A sin — х.
Получить для нее распределение по импульсам.
77. Гармонический осциллятор в основном состоянии
характеризуется волновой функцией ф (х) = Ае~а2х\ Полу­
чить волновую функцию в ^-представлении и найти рас­
пределение вероятностей по импульсам.
78. Частица находится в однородном потенциальном
поле U (х) = ах. Найти собственные значения и собствен­
ные функции оператора энергии в ^-представлении.
79. В одномерной прямоугольной потенциальной яме
с абсолютно непроницаемыми стенками ( О ^ х ^ а ) нахо­
дится частица в состоянии ty(x) = Ax(a—х). Найти вол­
новую функцию в энергетическом представлении и вы­
числить среднюю энергию частицы.
80. Плоский ротатор находится в состоянии, описы­
ваемом функцией ф(ф) = Л з т 2ср. Найти волновую функ­
цию в «^-представлении и вычислить средние значения
величин М и М - /\
81. Определить собственные значения о п ер атор ам и
их вероятности для системы, находящейся в состоянии
ф(ф) = А (1 -Г cos ф)2.
82. Определить матричные элементы дипольного мо-
мента ех в ^-представлении для частицы в бесконечно
глубокой одномерной потенциальной яме ( О ^ х ^ а ) .
83. Определить матричные элементы оператора им­
пульса в /^-представлении для частицы, находящейся
в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
(0
16
84. Вычислить матричные элементы оператора проек-
/\
ции момента импульса 3 z и показать, что в своем соб­
ственном представлении он диагоналей.
85. Вычислить угловую часть матричных элементов
/\ /ч
оператора проекции дипольного момента Dz — ez для ча­
стицы в центрально-симметричном поле, состояние кото­
рой описывается волновой функцией \^п1т =
= Rni(r) p im(cosO)eim(f> (где Plm (cos0) — полиномы Ле­
жандра).
86. Доказать, что из эрмитовости операторов вытекает
следующее свойство матричных элементов: Апт==А^гп (его
называют эрмитовостью матриц).

87. Показать, что временное уравнение Шредингера
дает стационарные решения, если потенциальная энер­
гия U не зависит явно от времени.
88. Как изменится полная волновая функция t),
описывающая стационарные состояния, если изменить
начало отсчета потенциальной энергии на величину AU?
89. Выяснить, является ли волновая функция
» представляющая собой суперпо-
k
зицию стационарных состояний, решением временного и
стационарного уравнений Шредингера
90. Используя уравнение Шредингера, получить ра­
венство
^ j W d t = 0,
указывающее на сохранение нормировки волновой функ­
ции с течением времени.
91. Показать, что в стационарных состояниях плот­
ность вероятности и плотность тока вероятности не за­
висят от времени.
92. Доказать, что вероятность обнаружения опреде­
ленного значения любой физической величины в стацио­
нарном состоянии не зависит от времени.
93. Найти общее решение временного уравнения
Шредингера для свободной частицы.
94. Показать, что свободно движущаяся частица имеет
непрерывный энергетический спектр.
95. Свободная частица имеет в момент времени / = 0
волновую функцию:
а>'г (^0) = / ;§sl”( f ) ;
i_ i 1£о
б) W (Ху 0) = (2lih) 2 е к .
18
Найти волновые функции в следующие моменты времени.
96. Плоским ротатором называют систему из двух
жестко связанных частиц, вращающуюся в плоскости
вокруг своего центра инерции. Оператор энергии такого
"jy 2 ^2
ротатора имеет вид # = — 57 Щ? (гДе ^— момент инерции
системы). Как изменяется во времени состояние плоского
ротатора, если в момент / = 0 оно описывается волновой
функцией Ч'Дф, 0) = Л з т 2ф?
97. Волновая функция частицы, находящейся в одно­
мерной прямоугольной потенциальной яме шириной а
с абсолютно непроницаемыми стенками, имела в началь­
ный момент t = 0 вид W (х, 0) = Ах (а—х). Найти волновую
функцию частицы в произвольный момент времени t.
98. В момент времени / = 0 свободная частица опи-
х2
сывается функцией 0) = Ае 2а2 0 . Определить ко­
эффициент А и область локализации частицы. Найти
->
плотность тока вероятности /.
99. Найти коэффициенты Фурье для функции, при­
веденной в задаче 98, и определить ширину волнового
пакета в ^-пространстве. Проверить соотношение неопре­
деленности.
100. Рассмотреть временную эволюцию пакета волн,
если в начальный момент времени он представляется
функцией

102. Выяснить, будут ли сохраняться энергия £ ,
проекции импульса, проекции и квадрат момента импульса
при свободном движении частицы.
103. Какие из механических величин (энергия £ , про­
екции импульса, проекции и квадрат момента импульса)
сохраняются при движении частицы: а) в однородном
потенциальном поле U(z) = az (где а— постоянная);
б) в центрально-симметричном потенциальном поле U (г);
в) в однородном переменном поле U (г, t) = a(t)z?
104. Определить, при каких условиях квадрат момента
импульса J?72 и его проекция 2?z могут быть интегралами
движения.
105. Показать, что для системы частиц при отсут­
ствии внешних сил импульс системы будет интегралом
движения.
106. Доказать справедливость следующих операторных
уравнений движения частицы в потенциальном поле U (г):
Л -А
dx __ рх . dpx dU
dt т0 ’ dt дх '
107. Показать, что для пространственных средних
значений физических величин и в квантовой механике
имеет место основное уравнение классической динамики
dp _р
dt ~~Г '
где р — импульс, a F — сила, действующая на частицу
—>
в потенциальном поле U (г).
108. Доказать, что произвольная по времени от опе-
/\
ратора 3?г проекции момента импульса равна оператору
проекции момента внешних потенциальных сил:
ди^ .х Ё И - м Tt— У ъ х 1у=*м *-
109. Показать, что для средних значений классиче­
ская связь между моментом количества движения и мо-
dt% -> ->
ментом потенциальной силы имеет место и
в квантовой механике.
20
НО. Показать, что сохранение момента количества
движения замкнутой системы связано с изотропией про­
странства.
111. Показать, что закон сохранения импульса зам­
кнутой системы связан с однородностью пространства.
112. Гамильтониан заряженной частицы, движущейся
в магнитном поле, имеет вид

где Л — оператор вектора-потенциала магнитного поля,
являющийся функцией координат. Найти оператор v
скорости частицы в магнитном поле и правила коммута­
ции операторов различных компонентов скорости между
собой.
113. Найти уравнения движения заряженной частицы,
если гамильтониан задается выражением

118. Частица массой т0 находится в двухмерной пря­
моугольной потенциальной яме с абсолютно непрони­
цаемыми стенками (0 < х < а, 0 < у < Ь). Определить
спектр собственных значений энергии и собственные функ­
ции частицы.
119. Частица находится в двухмерной прямоугольной
потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стен­
ками. Вычислить вероятность ее нахождения в области
1 2 1 2
— — a, для основного состояния.
120. Определить собственные значения энергии и соб­
ственные функции для частицы массой т 0, находящейся
в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсо­
лютно непроницаемыми стенками (0 < х < а, 0 < у < Ь,
0 < г < с). Вычислить значения энергии для первых трех
уровней, если а = Ь = с.
121. Записать распределение вероятностей различных
значений импульса частицы в одномерной потенциальной
яме с абсолютно непроницаемыми стенками, если известно,
что эта частица находится в п-м энергетическом состоянии.
122. Частица массой т0 находится в потенциальной
яме (рис. 1):
Получить уравнение, определяющее спектр собственных
значений энергии частицы в области Е < U0, и привести
23
123. Используя результаты предыдущей задачи, найти:
а) значение величины a2U0, при котором появляется
п-й дискретный уровень; б) число уровней в яме, у кото-
» о г / ПО h2 ч af7 рои а2(У0 = ——— ; в) значение а2и 0, при котором энергия
единственного уровня равна £ = у ( У0. Какова при этом
вероятность нахождения частицы вне ямы?
124. Частица массой т0 движется в потенциальной
яме (рис. 2):
U(x) =
I/. при X < о ,
0 при 0 < х < а.
U 0 при х > а.
Получить уравнение, определяющее спектр собственных
значений энергии. В области £ < U0 обосновать дискрет­
ность энергетического спектра.
125. Используя результаты задачи 124, найти: а) зна­
чение a2U0i при котором энергия основного состояния
з
частицы E1= j U 0\ б) значение a2U0i при котором по­
является третий уровень; в)^число энергетических уров­
ней в яме, если a2U0= 125— . т о
126. Для частицы в глубокой прямоугольной потен­
циальной яме (см. рис. 2) найти приближенное аналити-
24
ческое выражение энер­
гии нижних уровней
(Е < U0), если a?U0 > т о
127. Частица массой
т0 находится в потенци­
альной яме вида
и (х) =
(
U1 при л:<0,
О при 0 < л; <а,
U2 при x > а.
Получить уравнение,
определяющее спектр соб­
ственных значений энер­
гии в области энергий Е < U t (рис. 3).
128. Для линейного гармонического осциллятора,
находящегося на п-ы уровне, вычислить х2 и среднюю
потенциальную энергию.
129. Для линейного гармонического осциллятора, энер­
гия которого равна уйсо, вычислить среднюю кинетиче­
скую энергию.
130. Найти распределение вероятностей различных
значений импульса для линейного гармонического осцил­
лятора.
131. Для линейного гармонического осциллятора мас­
сой т0 и зарядом е, помещенного в постоянное электри­
ческое поле <£, найти уровни энергии и волновые функ­
ции стационарных состояний.
132. Найти энергетические уровни частицы массой т0,
движущейся в потенциальном поле следующего вида:
(
оо при л: < 0,
■jkx2 при х>0.
133. Найти уровни энергии и собственные функции
трехмерного гармонического осциллятора с потенциальной
энергией
U {х, у , z) == у £х.х;2 *f j k 2y2 + ~ k 3z \
Рис. з
25
Рис. 5
134. Трехмерный изо­
тропный гармонический
осциллятор имеет собст­
венные значения энергии
ha (п + у ) , где п — 0, 1,
2... Какова степень
вырождения квантового
энергетического уровня
135. Движущиеся вдоль
оси х две частицы (т1 = т2)
связаны друг с другом
упругой силой. Кроме
того, каждая из них свя­
зана с началом оси так­
же упругой силой, но с
другим коэффициентом
упру гости. О п редел ить
уровни энергии и собст­
венные функции системы.
136. Частица массой
т0 движется в потенци­
альном поле вида
и х
U0 при х > О,
О при х<0.
Найти волновую функцию в области энергий Е > U0
(рис. 4). Определить коэффициент отражения R и коэф­
фициент прозрачности D.
137. Для потенциального поля, приведенного в пре­
дыдущей задаче, показать, что коэффициент отражения
барьера R = 1, если энергия частицы Е < t/0.
138. Частица массой т0, имеющая энергию Е > О,
движется слева направо в потенциальном поле вида
U(x) =
— Uд при 0 < х < а,
О при х < 0 и х > а.
Найти коэффициент прозрачности D и коэффициент от­
ражения R (рис. 5).
26
139. Используя резуль­
тат предыдущей задачи,
определить энергию
Е
,
при которой частица бу­
дет беспрепятственно про­
ходить через яму. Уста­
новить для этого случая
связь между шириной ямьг а и длиной волны де
Бройля
к внутри ямы.
140. Для случая, изо­
браженного на рисунке
5, вычислить при задан­
ных значениях
Е и U0 ши­
рину ямы а, при которой
коэффициент отражения
R
максимален.
141. Частица массой
т0 и энергией
Е падает
на прямоугольный потен­
циальный барьер, изо­
браженный на рисунке 6:
U(x) =
U0 при 0 <
х < а,
0 при
х < 0 и
х > а.
Найти для случая
Е > U0
коэффициент прозрачности D и коэффициент отраже­
ния R. Вычислить также D при Е —* t/0.
142. Для электрона в
потенциальном поле, пред­
ставленном на рисунке 6,
найти первые два значе­
ния энергии £ , при кото­
рых электрон беспрепят­
ственно проходит через
барьер, если t/0= 1 5 эВ
и Ю~10 м.
143. Для частицы мас­
сой т 0, падающей на пря­
27
моугольный потенциальный барьер высотой UQ и шириной а
(рис. 6), найти коэффициент прозрачности D, если полная
энергия частицы Е < U0. Упростить полученное выраже­
ние для случая, когда Ь<^1.
144. Вычислить коэффициенты прозрачности D барьера
прямоугольной формы при U0 = 20 эВ и а = 10“10 м для
электрона и протона с энергиями 10 эВ.
145. Вычислить коэффициент прозрачности барьера,
изображенного на рисунке 7, для частицы массой т0 при
энергии Е < UQ.
146. Для частицы массой т0 и энергией Е < U0 найти
коэффициент прозрачности D барьера, заданного потен­
циальной кривой (рис. 8):

 3 г момента импульса, если волновая функция ча­
стицы, движущейся в центрально-симметричном поле
U (г), зависит от углов 0 и ср, как шаровая функция
У (в, Ф).
149. Вычислить средние значения компонентов З х,
З и, З г момента импульса для частицы, движущейся
в центрально-симметричном поле U (г), если угловая
часть волновой функции представляет линейную комби­
нацию сферических функций Y 1т и Ylt_mi соответствую­
щих заданному значению квантового числа L
150. Вычислить среднее значение квадрата момента
импульса в состоянии ф(0, ср) == A sin 0 cos ф.
151. Найти собсхвенное значение оператора квадрата
момента импульса L2, соответствующее его собственной
функции
Y (0, ф) = A (3cos20 —- 1 + sin 20 cos ср).
152. Частица, движущаяся в центрально-симметричном
поле U (г), находится в состоянии ф(г, 0, ф ) = ^ лг(г)х
X Y 1т (0, ф). Каков физический смысл функции | Y 1т (0, ф) |2?
Воспользовавшись таблицей 1, вычислить нормировочные
коэффициенты шаровых функций для /?-, d- и /-состояний.
зо
153. Определить волновые функции и уровни энергии
частицы массой т0 и нулевым орбитальным моментом, на­
ходящейся в сферически-симметричном потенциальном
ящике радиусом г0 с бесконечными стенками.
154. Воспользовавшись результатами предыдущей за­
дачи, найти средние значения г, г2, (Дг2) для частицы,
находящейся на /г-м s-уровне (/ = 0).
155. Вычислить для основного s-состояния частицы,
находящейся в сферически-симметричном потенциальном
ящике радиусом г0 с бесконечными стенками, наиболее
вероятное значение расстояния гвер и вероятность нахож­
дения частицы в области г < гвер. Изобразить примерный
вид графика функции |ф(г)|2. Каков физический смысл
этой функции?
156. Найти волновые функции, описывающие /7-состоя-
ние частицы (/==1) с массой р, находящейся в сфериче-
ски-симметричной потенциальной яме радиусом г0 с бес­
конечными стенками. Показать, что энергетические уровни
в этом состоянии определяются уравнением
kr0 = &г0,
£2
Р
157. Найти распределение вероятностей различных
значений* импульса в основном состоянии частицы мас­
сой т 0, находящейся в сферически-симметричном потен­
циальном ящике радиусом г0 с абсолютно непроницае­
мыми стенками.
158. Частица массой т0 находится в сферически-сим­
метричном потенциальном поле
U(r) =
{
0,
V0,
г < г 0-,
г > г 0.
Показать с помощью подстановки R (г) = — % (г), что урав­
нение, определяющее собственные значения энергии ча­
стицы в s-состоянии (1 — 0) при Е < U0, имеет вид
sinkr,= ± } / ^ - k r , .
31
где
и V^m^E
Каков энергетический спектр частицы в этом случае?
159. Используя результаты задачи 158, вычислить
интервал значений для глубины U0 сферически-симмет-
ричной потенциальной ямы радиусом г0, при кото­
рых имеется лишь один энергетический s-уровень. Опре­
делить также положение этого уровня в момент его
появления и по мере дальнейшего увеличенйя глуби­
ны ямы.
160. Полагая в условии предыдущей задачи характе­
ристический параметр равным
вычислить наиболее вероятное расстояние гвер для ча­
стицы в основном s-состоянии, а также определить ве­
роятность нахождения частицы в области г > г0.
161. Показать, что энергетический спектр частицы
с нулевым орбитальным моментом (/ = 0), находящейся
в сферически-симметричной потенциальной яме радиу­
сом г0 и конечной глубиной U0, непрерывен, если пол­
ная энергия частицы Е > U0.
162. Привести уравнение, определяющее радиальную
часть волновой функции электрона в водородоподобном
атоме, к безразмерному виду
выбрав в качестве единиц измерений атомную единицу
длины rt (первый боровский радиус) и атомную единицу
энергии Е]Мк = — Е1 (энергия ионизации атома водорода
для основного состояния) и введя обозначения:
163. Используя таблицы 1 и 2, вычислить нормиро­
вочные коэффициенты волновых функций в Is-, 2s-, 3р-
состояниях электрона в атоме водорода.
2m0rlU0_16я2
Р ~~27
г Е
Р =
32
164. Электрон в атоме водорода находится в стацио­
нарном состоянии, описываемом сферически-симметричной
волновой функцией ф(г) = А (1 аг) еаг(где Л, а, а — не­
которые постоянные). С помощью уравнения Шредингера
найти значения постоянных а, а и энергию электрона.
Определить, в каком состоянии находится электрон.
165. Вычислить для электрона, находящегося в ls-
состоянии в атоме водорода, наиболее вероятное расстоя­
ние от ядра гвер и вероятность пребывания электрона
в области г < гвер.
166. Вычислить вероятность нахождения 1 s-электрона
в атоме водорода вне классических границ поля.
167. Вычислить для 1 s-электрона в атоме водорода
средние значения расстояния г от ядра, а также вели­
чины г2 и (Дг)2.
168. Вычислить среднее значение кинетической энер­
гии и среднеквадратичную скорость для 1 s-электрона
в атоме водорода.
169. Вычислить наиболее вероятное расстояние 2р- и
З^-электронов от ядра в водородоподобном атоме.
170. Пронормировать волновые функции для 2р- и
3d- электронов в атоме водорода и вычислить средние
расстояния г электронов от ядра и среднеквадратичный
разброс (Дг)2.
171. Вычислить средние значения силы взаимодейст­
вия с ядром и потенциальной энергии для 2/?-электрона
в атоме водорода и для ионов с одним электроном.
172. Найти средний электростатический потенциал,
создаваемый 1 s-электроном в центре водородоподобного
атома.
173. Определить средний электростатический потен­
циал поля, создаваемого ядром и электроном в основном
состоянии атома водорода.
174. Подсчитать кратность вырождения энергетиче­
ского уровня Е==-------т°е9-т- в атоме водорода. Записать
128лЧ20%2 ^
волновые функций tynlm (г, 0, ср) различных состояний
электрона с указанной энергией.
175: Подсчитать энергию ионизации атома водорода.
Показать, что с возрастанием главного квантового числа п
интервал между соседними энергетическими уровнями
2 № 23 33
уменьшается. Начертить схему уровней энергии атома
водорода.
176. Получить импульсное представление волновой
функции 25-электрона в атоме водорода и записать рас­
пределение вероятностей по импульсам.

177. На частицу массой т0, находящуюся в бесконечно
глубокой потенциальной яме шириной а, наложено ма-
л 2л
лое возмущение V (х) = V0 cos — х (где а и V0 — постоян­
ные). Определить поправки к энергии стационарных
состояний с точностью до второго порядка включи­
тельно.
178. Получить приближенное выражение для энерге­
тического сдвига основного состояния атома водорода,
обусловленного конечными размерами протона, предпо­
лагая, что протон представляет собой равномерно заря­
женный по объему шар радиусом 7?=10~*5м.
179. Найти поправку к энергии основного состояния
линейного гармонического осциллятора за счет ангармо­
нических членов в потенциальной энергии V (х) = ах% + Р * 4
(где а и р — постоянные).
180. Трехмерный гармонический осциллятор с заря­
дом е, у которого сох = со2 = со3, находится в слабом маг­
нитном поле. Найти расщепление низшего вырожденного
энергетического уровня с квантовым числом п= 1 .
181. На одномерный гармонический осциллятор с за­
рядом е действует электрическое поле с напряженностью
<£, направленной вдоль оси х. Найти изменение энергии
стационарных состояний во втором приближении теории
возмущений. Сравнить точное значение энергии с при­
ближенным.
182. Определить поправку к энергии основного водо­
родоподобного состояния донорного электрона, обуслов­
ленную экранированием потенциала взаимодействия сво­
бодными носителями заряда. Потенциальная энергия
донорного электрона определяется формулой U (г) =
= — 4дё0^7 е~ХТ ( гДе —— дебаевский радиус экраниро­
вания, &' — относительная диэлектрическая проница­
емость).
183. Найти поправку к уровням энергии атома водо­
рода за счет релятивистской зависимости массы от ско­
рости. Учесть, что член порядка v2/c2 в релятивистской
формуле зависимости m(v) приводит к оператору возму-
/\
щения V,рел * р* (где р — оператор импульса).
184. В плоскости хОу вращается жесткий ротатор
с моментом инерции / и электрическим дипольным мо­
ментом D. Исследовать влияние однородного электриче­
ского поля с напряженностью направленной вдоль
оси х, на уровни энергии ротатора.
185. Определить возмущенные электрическим полем
волновые функции плоского ротатора из предыдущей
задачи, учитывая первую поправку теории возмущений.
Найти также вероятности различных ориентаций диполя
по отношению к электрическому полю.
186. Пространственный ротатор с моментом инерцииУ
и электрическим дипольным моментом D помещен в одно­
родное электрическое поле <§. Рассматривая электриче­
ское поле как возмущение, найти первую неисчезаемую
поправку к энергии основного состояния ротатора.
187. Атом водорода находится в однородном электри-
ческом поле с напряженностью <§, направленной вдоль
оси Oz. Найти расщепление уровня энергии, характери­
зующегося главным квантовым числом п = 2 (эффект
Штарка).
188. Для двухкратно вырожденного энергетического
уровня определить поправки первюго порядка к энергии
и правильные функции нулевого приближения, если опе- /\
ратор энергии возмущения V не зависит от времени.
189. Плоский заряженный ротатор помещен в одно­
родное магнитное поле, индукция которого В перпенди­
кулярна плоскости вращения. Применяя теорию возму­
щений, найти в первом приближении энергию и волновые
функции стационарных состояний. Заряд ротатора е,
масса т 0.
190. Частица без спина, движущаяся в сферически-
симметричном поле, находится в однородном магнитном
поле с индукцией В, параллельной оси г. Найти собст­
венные значения энергии и волновые функции в первом
приближении теории возмущений. Оператор энергии воз-
Gtfi/ —^
м ущ ен и я считать равны м i — А V (гДе А — векторны й т0
потенциал, т0—масса частицы).
191* Получить формулу для собственных значений
37
энергии ^-кратно вырожденного уровня во втором прибли­
жении теории возмущений для случая, когда матричные
элементы по вырожденным состояниям равны нулю.
192. Невозмущенная система имеет два близких энер­
гетических уровня, интервал между которыми сравним
с матричным элементом оператора возмущения между
этими состояниями. Найти поправку к энергии в первом
приближении.
193. Определить приближенно с помощью вариацион­
ного метода энергию основного состояния частицы в по­
тенциальном поле U (х) = Uах1 (где V а — const). В качестве
допустимых функций использовать функции вида ф (х) =
= Ае 2Р \
194. Смещение энергетического уровня основного со-
•—>-
стояния атома водорода в эффекте Штарка в слабом поле $
определяется выражением А£ = — ^-ае0<£2 (где а — поля­
ризуемость атома). Используя теорию возмущений, оце­
ните пределы изменения поляризуемости атома водорода
в основном состоянии.
195. Пользуясь прямым вариационным методом, найти
энергию основного состояния частицы в поле с потен-
2
циальной энергией = (одномерный гармони­
ческий осциллятор).
В качестве допустимых функций выбрать следующие:
X*
а) ф(*) = Л Г
б) ф(л;) = А (1 +а\х\)е~а1 *1.
196. Применяя ^прямой вариационный метод, найти
минимальную энергию трехмерного гармонического ос­
циллятора, имеющего потенциальную энергию U (г) =
= ~ т 0со2/2 (где г — расстояние частицы от положения
равновесия). В качестве пробных выбрать функции вида
ф(г) = А (1 +аг)е~аг (где а — параметр).
197. Определить энергию основного состояния дейтона,
если взаимодействие протона с нейтроном в зависимости
от расстояния г между ними характеризуется потенциаль-
38
г
ной энергией U(r) = — U0e а ((70«25М эВ , а » 2 - 10_15м).
В качестве пробных волновых функций взять функции
а г
а|)(г) — Ае 2а, зависящие от одного параметра а (А — по­
стоянная нормировки).
198. Сравнить энергию основного состояния водородо-
подобного атома, вычисленную вариационным методом
с использованием пробных функций вида ф (г) = А (1 + а г)х
Х£~аг, со значением, определяемым формулой =
= —~ • 13,6 эВ при /2= 1 .
199. Вариационным методом определить энергию основ­
ного состояния двухэлектронной системы, находящейся
в поле ядра с зарядом Ze0. В качестве допустимых вол­
новых функций взять произведение водородоподобных
функций ^эффективным зарядом Z'e0.
ф (г) = С exp ( - ? £ ) .
200. Используя результат предыдущей задачи, найти
потенциалы ионизации нейтрального атома гелия и иона
лития Li+.
201. Применить квазиклассический метод к нахожде­
нию энергетического спектра частицы массой т 0, движу­
щейся в поле с потенциальной энергией U (х) = — UQx
X ( l — Ц ^) при Е < 0.
202. Определить квазиклассические уровнй энергии
в поле с потенциальной энергией U {x) = UQ ctg2-^*.
203. Рассчитать энергетический спектр водородоподоб­
ного атома, используя квазиклассическое приближение.
204. Для частицы в потенциальном поле U (х) =
= — UQ ch2~ определить в квазиклассическом прибли­
жении энергетический спектр и полное число дискретных
уровней.
205. Определить в квазиклассическом приближении
число дискретных энергетических уровней частицы, дви­
жущейся в центрально-симметричном поле с потенциаль­
ной энергией U (г).
206. Используя метод квазиклассического приближе­
ния, показать, что правила квантования для частицы,
39
находящейся в произвольной одномерной потенциальной
яме, с точностью до членов порядка % представляются
соотн ош ен и я м и ф pdq — ^п + 4 -) > ( г д е п = 0, 1, 2,...).
207. Определить в квазиклассическом приближении
среднее значение кинетической энергии частицы, движу­
щейся в одномерной потенциальной яме (a^lx^b).

Ответы к задачам по физике Серова from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (12.08.2016)
Просмотров: | Теги: серова | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar