Тема №7591 Ответы к задачам по физике Серова (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Серова (Часть 2) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Серова (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

210. Вычислить квадрат проекции спина электрона на
произвольное направление.
211. Найти скалярное произведение спинов двух ча­
стиц в триплетном и синглетном состояниях. Спин частицы
fh
равен -j.

2 12. Вычислить оператор , используя гамильтониан
для частицы со спином, находящейся в магнитном поле
с индукцией В.
213. Выписать спектральные обозначения терма, у ко­
торого
а) 5 = 3/2, L = 2, g = 0;
б) S=l/2; J = 3/2, g —4/3.
214. Вычислить множитель Ланде для атомов с одним
валентным электроном в состояних &Е> и <F.
215. Вычислить магнитный момент атома водорода
в основном состоянии.
216. Определить возможные значения магнитного мо­
мента атома в состоянии 3<£>.
217. Найти магнитный момент р и возможные значе­
ния проекции рн атома в состояниях: а) б) 25*3/2-
218. Магнитный момент атома в состояниях 4Й> и 6<F
равен нулю. Найти механический момент его в этих
состояниях.
219. Атом находится, на оси кругового контура с то­
ком / = 20А. Расстояние между атомом и центром кон­
тура с током г = 10 см, радиус контура г= 10 см. Вычис­
лить максимальное значе-
. ние силы взаимодействия
2 £ между током и атомом в
состояниях: а) 2^ 3/2;
б) 4<2>1/2.
220. Какова скорость
атомов серебра (в нор­
мальном состоянии) в опы­
те Штерна и Герлаха
(рис. 9), с которой они
вступают в резко неодно­
родное магнитное поле,
если градиент напряжен­
ности ~ ~ = 6,0*107 А/м2,
42
расщепление пучка на экране 6 = 3 мм, а = 1 5 см, 6 =
= 25 см?
221. В опыте Штерна и Герлаха по расщеплению
узкого атомарного пучка использовали атомы в состоя­
нии 4(Гз/2- Найти расстояние между крайними компо­
нентами пучка на экране, если -^r = 6 - 107 А/м2, а = 15 см,
& = 25 см и начальная кинетическая энергия атомов
£ к = 0,04 эВ.
222. Узкий пучок атомов пропускают по методу
Штерна и Герлаха через резко неоднородное магнитное
поле. На сколько компонентов расщепится пучок атомов,
находящихся в состояниях: а) в5; б) 6f r1?
223. Определить максимальные значения проекций
магнитных моментов атомов в состояниях 4eF и 6<2>, если
известно, что при пропускании через неоднородное маг­
нитное поле (по методу Штерна и Герлаха) атомарный
пучок расщепляется соответственно на 4 и 9 компонентов.
224. Найти величину расщепления терма хё£) в маг­
нитном поле с индукцией 1,5 Тл.
225. Атом находится в магнитном доле £ = 0,6 Тл.
Определить спектральный символ синглетного терма,
полная ширина расщепления которого составляет
1,68 см-1.
226. Какой эффект Зеемана обнаруживают в слабом
магнитном поле спектральные линии, обусловленные
переходами:
a) б) в) 2^ - > 2^ 1/2?
2
227. Показать, что частота перехода между соседними
подуровнями зеемановского расщепления терма совпадает
с ларморовской частотой прецессии механического мо­
мента атома в магнитном поле.
228. Построить схему возможных переходов между
термами 2У 3 и 2S i в слабом магнитном поле и вычис-
Т Т"
лить смещения частоты зеемановских компонентов в еди-
ницах — .
229. Определить минимальную разрешающую способ­
ность спектрального прибора, который позволяет разре­
шить зеемановскую структуру спектральной линии
43
670,78 нм ^ S *± —► лития в слабом магнитном
поле с индукцией £ = ЗкГс.
230. Атом водорода в основном состоянии помещен
в однородное магнитное поле В. Вычислить напряжен­
ность магнитного поля # 0, обусловленную прецессией
электронного облака в центре атома.
231. Диамагнитная молярная восприимчивость иони­
зированного лития (Li+) равна % = —8,5* 10~12 м3/моль.
Найти среднее расстояние электронов от ядра, считая
разброс значений расстояния незначительным.
232. Учитывая, что основной вклад в диамагнетизм
вносят внешние электроны атома, оценить радиусы внеш­
них оболочек ионов Na+ и С1“, если их молярная
диамагнитная восприимчивость равна соответственно
—7,6-10“и и —3 ,0 4 -Ю”10 м3/моль.
233. Определить диамагнитную восприимчивость ато­
марного водорода при нормальных условиях (0°С и нор­
мальное атмосферное давление), если распределение
плотности заряда электронного облака в атоме дается
- 2 Г
выражением р(г)=-^е а» (где а0— радиус первой бо-
яа0
ровской орбиты).
234. Рассчитать молярную диамагнитную восприим­
чивость газообразного гелия, принимая во внимание
волновую функцию атома Не в основном состоянии
(rfleZ'=g, а0 = 0,529-10-10м). 2'3 _ £L£i+£i!
«ГС £2q
235. Вычислить энергию, приобретаемую атомом ксе­
нона (Хе) при включении магнитного поля В = 1 Тл, если
молярная диамагнитная восприимчивость ксенона равна
—5.4.10- 10 — .
236. С какой силой круговой контур с током / = 5 А
и радиусом R — 10 см действует на атом криптона (Кг),
находящийся на оси контура на расстоянии г = 1 0 см
от его центра? Диамагнитная восприимчивость криптона
% = —3,5-10“ 10
моль
237. Определить магнитный момент моля газа, поме-
щенногапри температуре Т =*300 К во внешнее магнитное
44
поле g индукцией В = 5 Тл. Магнитный момент молекулы
равен 2,5 |хБ.
238. Магнитный момент моля некоторого разрежен­
ного парамагнитного газа при температуре 300 К в сла­
бом магнитном поле с магнитной индукцией В = 10“ 2 Тл
равен 1,5-10“ 4 Тл^мЗль * ОпРеДелить постоянную Кюри,
отнесенную к молю газа, и магнитный момент молекулы.
239. Парамагнитный газ из атомов в состоянии г!Р
находится при температуре 300 К в магнитном поле
В=* 1 Тл. Вычислить отношение ~ (разности А N чисел
атомов с положительной и отрицательной проекциями
магнитных моментов на направление поля к полному
числу N атомов). Вычисление провести: 1) с учетом про­
странственного квантования; 2) классически— без учета
пространственного квантования.
240. Парамагнитный одноатомный газ помещен в маг­
нитное поле В =2,5 Тл при температуре 300 К. Рассчитать
намагничение, если в 1 м3 содержится N = 102Q атомов
в 25 1/2-СОСТОЯНИИ.
241. Вычислить постоянную Кюри одного моля пара­
магнитного газа, состоящего из атомов натрия (Na) в ос­
новном состоянии. Определить также удельное намагни­
чение этого газа при температуре Т = 300 К в магнитном
поле с индукцией В = 0,1 Тл.
242. Вычислить парамагнитную восприимчивость 1 кг
атомарного кислорода в слабом магнитном поле при
температуре 1500 К, если атомы газа находятся в основ­
ном состоянии.

243. Система состоит из двух частиц, спины которых
характеризуются квантовыми числами 1/2 и 0. Показать,
что при любом законе взаимодействия этих частиц орби­
тальный момент количества движения 3? является сохра­
няющейся величиной.
47
244. Показать, что если между одночастичными функ­
циями ф1( ф2, фдг существует линейная зависимость,
то антисимметричная волновая функция, определяемая
формулой (7.2), обращается в нуль.
245. Две тождественные частицы находятся во внеш­
нем поле U (г) и слабо взаимодействуют друг с другом

с оператором V12. Предполагая решение уравнения
Шредингера для одной частицы во внешнем поле извест­
ным, найти орбитальную волновую функцию для системы
из двух частиц.
246. Определить обменное расщепление уровней энер­
гии системы двух электронов, рассматривая взаимодей-
ствие V12 как малое возмущение.
247. Вычислить обменную энергию атома гелия при
условии, что электроны находятся в состояниях Is и 2s.
Сравнить полученное значение с энергией магнитного
взаимодействия спиновых моментов, рассматривая их как
магнитные диполи, находящиеся на расстоянии 10~хо м.
248. Зная экспериментальные значения энергии
парасостояния (£ 5 = —58,3712 эВ) и ортосостояния
(Ел = —59,1600 эВ) атома гелия с электронной конфигу­
рацией ls 12s1, найти обменную и кулоновскую энергию
взаимодействия электронов.
249. Записать полные волновые функции орто- и па­
расостояний для атомов (или ионов) с электронной кон­
фигурацией ls^ s1.
250. Какой вид имела бы волновая функция основ­
ного состояния атома гелия, если бы вокруг ядра вместо
электронов обращались частицы со спином, равным %?
251. Найти число электронов в атомах, у которых
в нормальном состоянии заполнены: а) /С-, L-оболочки,
3s- и 3/?-подоболочки; б) /С-, L-, М-оболочки и подобо­
лочки 4s, 4/?, 4d, 5s.
252. Записать электронные конфигурации атомов
аргона (Z = 18), криптона (Z = 36), палладия (Z = 46) и
цезия (Z = 55).
253. Найти максимальное число электронов в атоме,
имеющих следующие одинаковые квантовые числа: а) п,
/, mt\ б) п, /; в) п.
254. Определить число электронов в заполненной
п-оболочке (я = 4), у которых одинаковые значения кван­
товых чисел: a) mL = —1 ; б) /72* = + 1 ; ms = —1/2 .
48
255. Доказать, что все механические моменты (орби­
тальный, спиновый и полный) у целиком заполненных
электронных оболочек равны нулю.
256. Найти возможные термы системы из двух /7-элект­
ронов: а) с разными главными квантовыми числами;
б) с одинаковыми главными квантовыми числами (экви­
валентные электроны).
257. Найти возможные состояния системы из трех
эквивалентных /7-электронов.
258. Показать, что в системе из четырех эквивалент­
ных /7-электронов состояния те же, что и в системе из
двух эквивалентных /7-электронов, т. е. две «дырки» имеют
те же состояния, что и два электрона. Привести при­
меры систем с аналогичными свойствами.
259. Пользуясь правилом Хунда, определить основной
терм4для атомов, имеющих на незаполненной подоболочке
три /7-электрона.
260. С помощью правила Хунда определить основной
терм атома с электронной конфигурацией незаполненной
подоболочки:
a) nd3; б) ndb\ в) nd1.
261. Найти орбитальную волновую функцию для си­
стемы из трех эквивалентных р-электронов: а) в основном
состоянии 4S; б) для состояния 2*2>.
262. Записать невозмущенную волновую функцию ос­
новного состояния нейтрального атома лития.
263. Определить максимальное число а-, я- и 6-элект-
ронов в двухатомной молекуле.
264. Какова четность мультиплетностей электронных
термов следующих двухатомных молекул: СО, N 0, 0 2,
ОН?
265. Определить возможные типы электронных термов
двухатомных молекул, электронная оболочка которых
состоит: а) из двух электронов я и а; б) из трех элект­
ронов а, я и б.

266. В начальный момент времени (t = О) система
находится в состоянии Чг[0>, относящемся к двухкратно
вырожденному уровню. Найти вероятность перехода
системы в другое состояние Щ0) с той же энергией под
действием включенного в начальный момент времени
постоянного возмущения.
267. На заряженный линейный гармонический осцил­
лятор, находящийся в основном состоянии, внезапно
накладывается однородное электрическое поле. Опреде­
лить вероятность перехода осциллятора в возбужденные
состояния под влиянием этого возмущения.
268. Система атомов находится в равновесии с излу­
чением температуры Т. Учитывая, что при равновесии
числа прямых (i—>k) и обратных (k—*i) переходов оди­
наковы, а атомы распределяются по энергетическим
уровням по закону Больцмана, найти выражения для
объемной спектральной плотности энергии равновесного
излучения: а) с учетом вынужденного испускания фотона,
б) пренебрегая вынужденным излучением.
269. Предполагая, что вынужденное излучение обус­
ловлено действием изотропного электромагнитного поля
такой интенсивности, что в данном объеме вблизи частоты
перехода имеется по одному кванту на каждое состояние
поля, показать равенство-вероятностей вынужденного и
спонтанного переходов.
270. Атом водорода, находящийся в состоянии 2р>
помещен в полость с равновесным излучением. При какой
температуре вероятности спонтанного и вынужденного
излучения будут одинаковыми?
271. Получить правила отбора для пространственного
ротатора в электрическом дипольном приближении, если
невозмущенные волновые функции суть сферические
гармоники Y em(§, ср).
272. Найти пределы применимости простейших пра­
вил отбора для линейного гармонического осциллятора
(Дл = ±1), учитывая, что пропорциональность между
вероятностью перехода и квадратом матричного элемента
электрического дипольного момента основывается на
предположении, что фаза электромагнитной волны внутри
системы постоянна.
273. Показать, что правило отбора для частицы в
бесконечно глубокой потенциальной яме (0 <л;<а)
состоит в том, что квантовое число для разрешенных
51
переходов должно меняться с четного на нечетное (или
наоборот).
274. Непосредственным расчетом вероятности радиа­
ционного дипольного перехода линейного гармонического
осциллятора показать, что переход из состояний с п = 2
в состояние с п = 0 является запрещенным.
275. Вычислить отнесенную к единице времени веро­
ятность спонтанного перехода 2р —► Is и время жизни
в состоянии 2р для атома водорода.
276. Каково физическое обоснование правила отбора,
согласно которому переход с излучением одного фотона
между двумя состояниями с нулевыми моментами коли­
чества движения (0 —►0-переход) запрещен? Имеется ли
какая-либо другая возможность такого перехода с излу­
чением света?
277. Найти вероятность перехода за время t системы
А
под влиянием не зависящего от времени возмущения V
из состояния с энергией Е в состояние с энергией
Путем анализа полученного результата обосновать со­
отношение неопределенности Д^-Д£сл)Й между энерги­
ей ДЕ и временем At. Какой смысл имеет в этом соотно­
шении Д£?

278. Определить потенциал ионизации и первый по­
тенциал возбуждения атома натрия (Na), у которого
квантовые дефекты основного терма 3s и терма 3р равны
соответственно 1,37 и 0,88.
279. Найти энергию связи валентного электрона
в основном состоянии атома лития (Li), если известно^
что длины волн головной линии резкой серии и ее корот-
коволновой границы соответственно равны 0,813 и
0,349 мкм.
280. Вычислить для иона бериллия (Ве+) квантовые
дефекты s- и р-термов, а также длину волны границы
и головной линии резкой серии, если известно, что длины
волн головной линии главной серии и ее коротковолно­
вой границы равны соответственно 321 и 68,3 нм.
281. Термы атомов и ионов с одним валентным элект­
роном можно представить формулой Т = (где
Z— зарядовое число ядра, а — поправка на экранирова­
ние, п— главное квантовое число валентного электрона).
Вычислить а для натрия (Na) в основном состоянии,
если известно, что ионизационный потенциал атома нат­
рия равен 5,14 В.
282. Найти расщепление уровня 3р атома натрия,
если длины волн компонентов дублета резонансной линии
равны 588,996 и 589,593 нм. Сравнить полученное значе­
ние с энергией перехода Зд—«-Зв^.
283. Используя формулу тонкой структуры (8.9), вы­
числить для двухкратно ионизированного лития разность
длин волн компонентов дублета линии, обусловленной
переходом 2р—>-Is.
284. При какой разрешающей способности спектраль­
ного прибора можно обнаружить тонкую структуру голов­
ной линии серии Бальмера атомарного водорода?
54
285. Сравните относительную «населенность» враща­
тельных уровней с 1 = 1 и 1 = 0 молекулами парообраз­
ного хлористого водорода, находящегося в состоянии
термодинамического равновесия при температурах 7 \ =
= 288 К и Т 2 = 2,88 К.
286. Найти отношение энергий, которые нужны для
возбуждения молекулы йодистого водорода (HI) на пер­
вый колебательный и первый вращательный уровни.
Собственная частота колебаний молекулы HI равна
6,93* 1013с ~ \ а расстояние между ядрами составляет
1,604-10"10 м.
287. Зная частоту собственных колебаний молекулы
хлора (Cl2) v0 = 1,695• 10 *3с“* и расстояние между ядра­
ми d = 1,988-10“10 м, рассчитать, до какова ротационного
уровня должна быть возбуждена молекула, чтобы ее вра­
щательная энергия оказалась равной колебательной энер­
гии на первом возбужденном уровне.
288. Найти относительный изотопический сдвиг линий
чисто ротационной полосы спектра смеси молекул НС136
и НС137 хлористого водорода, если расстояния между
ядрами в обеих молекулах можно считать одинако­
выми.
289. Определить коэффициент р ангармоничности моле­
кулы хлора (С12), если для нее собственная частота коле­
баний v0 = 1,695 • 101зс“1, а энергия ее диссоциации со­
ставляет 2,48 эВ.
290. Газообразный натрий, содержащий N=5- 1016 ато­
мов, находится в состоянии термодинамического равно­
весия при температуре Т = 1600 К. При этом мощность
излучения на частоте резонансной линии со = 3,2- Ю15^ "1
составляет 0,52 Вт. Пользуясь приведенными данными,
найти среднее время жизни атома натрия в состоянии 3р.
291. Используя формулу (8.14), найти естественную
ширину спектральной линии с длиной волны А,, считая
известной величину у. Вычислить естественную ширину
спектральной линии ртути с длиной волны А, = 185 нм,
соответствующей переходу из возбужденного состояния
с временем жизни т = 1 ,2 - 10“9с в основное состояние.
292. Распределение интенсивности излучения в линии
с доплеровским уширением имеет вид
тс2 (щ-озр)2
*1 __ 7 р 2/е0Гсо§ */ (0-- о0е >
55
где 30 — интенсивность в центре линии, Т — абсолютная
температура, m — масса атома. Получить эту формулу из
распределения Максвелла по скоростям и найти допле­
ровское уширение линии.
293. Оценить доплеровское уширение линии для арго­
новой газосветной трубки на длине волны Х = 5-102 нм
при температуре 300 К. При каком давлении уширение,
обусловленное столкновениями атомов, з рассматривае­
мом случае станет одинаковым с доплеровским ушире-
нием? При расчетах атомы аргона считать твердыми
шариками с диаметром d порядка 0,2 нм.

300. Найти фазы и сечение рассеяния частиц на малые
углы рассеивающим центром с потенциалом t/(r) = ~ .
Учесть, что при рассеянии на малые углы основной вклад
дают парциальные волны с большими /.
301. Найти в борновском приближении дифферен­
циальное сечение рассеяния сферической потенциальной
ямой шириной а и глубиной U0.
302. Используя результат предыдущей задачи для
дифференциального сечения рассеяния, определить пол­
ное сечение рассеяния потенциальной ямой. Рассмотреть
два предельных случая:
а) рассеяние медленных частиц (ak<^ 1);
б) рассеяние быстрых частиц (ak^> 1).
303. Определить в борновском приближении диффе­
ренциальное и полное сечение рассеяния в поле с гаус-
совским потенциалом U = U0e а2. Указать пределы при­
менимости полученных выражений.
304. Используя борновское приближение и пользуясь
правилами размерностей физических величин, оценить
эффективное сечение в поле с потенциальной энергией
U (г) = Проанализировать полученное выражение для
следующих частных случаев: а) я = 1 ; б) п = 2; в) д = 3.
305. Вычислить амплитуду рассеяния и полное сече­
ние рассеяния в поле с потенциалом Юкавы V (г) =
г
= а в борновском приближении.
306. Определить дифференциальное сечение рассея­
ния частиц кулоновским полем в борновском приближе­
нии.
307. Найти интегральное сечение рассеяния а-частиц
кулоновским центром с зарядом Ze для углов
(рассеяние назад).
308. Вычислить сечение ядра золота (Аи) при рас­
сеянии протонов с кинетической энергией 2,4 МэВ в ин­
тервале углов от у до л.
Р а с с м о т р е т ь п р е д е л ь н ы й с л у ч а й :
59
309, Кулоновским полем ядер атомов серебра (Ag)
рассеиваются а-частицы с кинетической энергией £ „ =
= 1,8 МэВ. Определить дифференциальное сечение ^
при рассеянии на угол 0 = -j*
310, Определить в борновском приближении диффе­
ренциальное сечение упругого рассеяния атомом частиц
с зарядом ег, рассматривая атом как неподвижный центр
с зарядом Ze, окруженный отрицательно заряженным
непрерывным облаком с плотностью заряда—ер (г).
311, Вычислить дифференциальное и полное сечение
рассеяния быстрых электронов на атоме водорода в основ­
ном состоянии (Is), не учитывая обмена электронов.
312, Используя результат задачи 310, вычислить пол­
ное сечение рассеяния быстрых электронов атомом гелия
в основном состоянии (Is2).

315. Определить и изобразить фазовую траекторию
для частицы массой т с электрическим зарядом —е%
движущейся под действием кулоновской силы притяже­
ния к неподвижному заряду + е±. Начальное расстояние
между зарядами г0 и начальная скорость частицы у0 = 0.
316. Начертить фазовые траектории одномерного дви­
жения материальных точек в поле силы тяжести с уско­
рением g = const и проиллюстрировать справедливость
теоремы Лиувилля.
317. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для
материальных точек массой т , движущихся по инерции
вдоль некоторого направления.
318. Проверить теорему Лиувилля для следующих
трех линейных гармонических осцилляторов:
где т> е, со— масса, энергия и собственная частота соот­
ветственно, а Де и б — некоторые постоянные величины.
319. Проверить справедливость теоремы Лиувилля
для случая упругого центрального соударения двух ча­
стиц массами т1 и /я2, движущихся вдоль одной прямой.
320. Проверить теорему Лиувилля для абсолютно не­
упругого удара двух шаров.
321. Для линейного гармонического осциллятора
с энергией в вычислить фазовый объем Г, ограниченный
гиперповерхностью энергии. Оценить объем элементарной
фазовой ячейки, используя формулу энергетического
спектра
где /г = 0, 1 ,2 , . . . .
322. Вычислить фазовый объем Г для релятивистской
частицы массой покоя т 0, движущейся в объеме V и об­
ладающей энергией е.
pt = — У 2т е sin со/, р2 = — У 2т(г + Де) sin со/
p3=z — У 2тг sin (со/ + б),
63
323. Найти число микросостояний dQ(e) с энергией е
в интервале e~e-fde для частицы газа, энергия кото­
рой связана с импульсом соотношением е = ср (где с —
скорость света в вакууме).
324. В объеме V заключены N частиц идеального газа,
которые подчиняются микроканоническому распределению
с энергией Е. Вычислить для этой системы фазовый
объем Г, энтропию S и температуру Т. Найти уравнение
состояния.
325. Для N невзаимодействующих линейных осцил­
ляторов с энергией Е справедливо микроканоническое
распределение. Вычислить для этой системы фазовый
объем Г, энтропию S и температуру.
326. Вывести каноническое распределение Гиббса из
общей формулы микроканонического распределения, счи­
тая, что в качестве термостата выступает: 1) совокуп­
ность N линейных осцилляторов; 2) совокупность N
частиц идеального газа. При выводе считать, что
£'
N
— const при N оо (где Е0 и £ ' — энергия замкну­
той системы и энергия термостата соответственно). По­
казать, что окончательный результат не зависит от вы­
бора термостата.
327. Записать в классическом приближении распреде­
ление Гиббса по энергиям для линейного гармонического
осциллятора и вычислить среднее значение его энергии.
328. Идеальный газ, состоящий из N частиц, нахо­
дится в термостате с температурой Т. Найти вероятность
того, что газ имеет заданное значение энергии Е из ин­
тервала E ~ E + dE.
329. Найти положение £ вер, ширину Л£, отношение
ДЕ
- — и высоту wmax максимума плотности вероятности
Евер
w(E) канонического распределения Гиббса для системы
с большим числом невзаимодействующих частиц N.
Указание. Воспользоваться выражением w(E) =
е зл/_1
*= Be k°TE 2 для плотности вероятности. Для полу­
чения окончательного результата применить формулу
( N Стирлинга: ЛП«(— J .
330. Показать, что каноническое распределение Гиббса
64
для систем с очень большим числом частиц (N оо) пе­
реходит в микроканоническое.
331. Показать, что для системы с большим числом
невзаимодействующих частиц N наивероятнейшая энер­
гия £ вер совпадает со средней энергией системы.
332. Показать~что для системы с большим числом
частиц справедливо соотношение Ет = (Е)т при любом
целом т.
333. Пользуясь каноническим распределением Гиббса,
получить максвелловское распределение молекул идеаль­
ного газа па энергиям. Сравнить графики плотностей
вероятностей (в распределении Гиббса и максвелловском
распределении).
334. Найти вероятность того, что молекула имеет уг­
ловые скорости сох, со2, со3 вращения вокруг главных осей
инерции из интервалов coj Ч-coj+dcox; со2-f-co2 + dco2; со3 -f-
4-co3 + dco3, если главные моменты инерции равны соот­
ветственно /*, / 2, / 3. Внутримолекулярными колебаниями
атомов пренебречь.
335. Найти средние квадратичные значения угловой
скорости со2 и кинетического момента вращения мо­
лекулы JI 2.
336. Показать, что энтропия квазизамкнутой системы,
содержащей весьма большое число частиц, пропорцио­
нальна логарифму числа состояний с энергией, близкой
к среднему значению <£ = £ .
337. Используя каноническое распределение Гиббса и
связь между энтропией и свободной энергией, показать,
что энтропия S выражается через фазовую плотность
вероятности распределения по микросостояниям форму­
лой S = — k0\nf.
338. Пусть W i — вероятность того, что система нахо­
дится в г-м состоянии с энергией Е{. Показать, что если
энтропия выражается формулой S = — k0 2 Wt In Wh то
i
те значения Wh при которых энтропия максимальна,
подчиняются каноническому распределению.
339. Получить формулу Больцмана S — kQ\nWT, пред­
полагая, что энтропия S и термодинамическая вероят­
ность WT функционально связаны друг с другом.

340. Используя каноническое распределение Гиббса,
доказать, что распределение Максвелла по компонентам
импульса (а следовательно, и по скоростям) справедливо
для любых систем.
341. Подсчитать число частиц N идеального газа,
скорости которых заключены в интервале
66
342, Какая часть молекул газа имеет кинетическую
энергию поступательного движения выше средней кине-
_ з
тической энергии е = у £ 0Т?
$43. Изучение свойств пленок нерастворимых поверх­
ностно-активных веществ, нанесенных на поверхность
воды, показало, что при малых плотностях пленки мо­
лекулы этих веществ могут совершенно свободно дви­
гаться по поверхности жидкой подложка. Они ведут себя
подобно своеобразному «двумерному» идеальному газу,
частицы которого двигаются только в двух измерениях.
Записать распределение скоростей в идеальном двумер­
ном газе и найти характерные скорости молекул: и, vB,
]/" У2 .
344. Показать, что число ударов молекул газа о еди­
ничную площадку поверхности сосуда за 1 с может быть
записано в виде v==^nv (где я — число молекул в еди­
нице объема).
345. Молекулярный пучок выходит из узкой щели
в откаченный сосуд. Найти среднюю и среднеквадратич­
ную скорости частиц в пучке.
346. Найти среднее значение величины, обратной ско­
рости молекул газа в состоянии равновесия, т. е
347. Подсчитать число Nx частиц в газе, у которых
х-и компонент скорости лежит в интервале
348. Найти число молекул, имеющих заданное значе­
ние v2 компонента скорости вдоль некоторой оси г, и
число молекул, имеющих заданное значение vj_ компо­
нента скорости в направлении, перпендикулярном оси г.
349. Вычислить наиболее вероятную ев энергию моле­
кул в идеальном газе. Показать, что ев^=~/щ ;|.
350. Какая часть молекул газа имеет скорость, боль-
_ /" гр
шудо средней тепловой скорости v= у
351. Какая часть молекул газа имеет скорость, за­
ключенную между половинным и удвоенным значениями
наивероятнейшей скорости, т. е. между yt>B и 2ив?
352. Показать, что отношение числа молекул, имею­
3* 67
щих скорости, превосходящие наивероятнейшую, к числу
всех молекул газа не зависит от температуры.
353. Считая, что молекулы газа, ударяющиеся о стенки
сосуда, передают им некоторую известную часть своей
энергии, выражаемую правильной дробью р, найти энер­
гию; передаваемую 1 см2 поверхности за 1 с.
354. Найти вероятность того, что кинетическая энер­
гия частицы идеального одноатомного газа не превышает
заданного значения е0.
355. Высокотемпературная плазма из дейтерия нахо­
дится при температуре 107К- Определить, какая доля
ядер обладает кинетической энергией, достаточной для
преодоления кулоновского потенциального барьера (без
учета туннельного эффекта). Радиус ядра дейтерия при­
нять рлвным 2*10“*5 м.
356. В большом сосуде объема V находится N частиц
идеального газа при температуре Т. Найти угловое рас­
пределение частиц, вылетающих в единицу времени в ва­
куум из небольшого отверстия площадью S в стенке
сосуда.
357. Металл находится в равновесии со свойм паром.
Давление пара считается настолько низким, что наличие
пара не влияет на скорость испарения частиц. Найти
массу металла М, испаряющегося с 1 см2 поверхности
в 1 с, как функцию давления и температуры.
358. Газ состоит из атомов, излучающих свет с дли­
ной волны Я0. Найти закон распределения по длинам
волн X измеряемой в спектроскопе интенсивности излу­
чения газа, состоящего из N атомов, находящихся в теп­
ловом движении.
359. Получить выражение молярной теплоемкости
при постоянном объеме cv для идеальных одноатомных
газов.
360. Найти относительную флуктуацию б8 энергии
молекулы идеального газа и относительную флуктуацию
бя энергии газа, состоящего из N молекул.
361. Пользуясь распределением Максвелла, вычислить
среднюю скорость относительного движения молекул газа.

362. Считая справедливой для атмосферы (в первом
приближении) барометрическую формулу, найти, на какой
высоте при температуре 273 К давление воздуха умень­
шается втрое. Относительную молекулярную массу воз­
духа считать равной 28,97. Ускорение свободного паде­
ния g = 9,81 м/с2.
363. Для измерения числа Авогадро Перрен исследо­
вал распределение по высоте взвешенных в жидкости
69
зерен гуммигута в однородном поле силы тяжести. Он
нашел, что при температуре 293 К при поднятии вверх
на высоту в 100 мкм число взвешенных частиц умень­
шается в два раза. Частицы гуммигута диаметром
0 ,3 -10“4 см были взвешены в жидкости, плотность кото­
рой на 0,2 г/см3 меньше плотности частиц. Определить
по этим данным значение числа Авогадро.
364. Определить среднее значение потенциальной энер­
гии одной молекулы в равновесном столбе газа высотой Н.
Газ находится при температуре Т в однородном поле
силы тяжести с ‘ускорением g.
365. В вертикальном цилиндрическом сосуде высоты Н
находится 1 моль одноатомного идеального газа при тем­
пературе Т. Найти энергию и теплоемкость газа, учиты­
вая наличие однородного поля силы тяжести. Рассмот­
реть два предельных случая:
1) VgH<^RT, 2) iigH^>RT,
где р — молекулярная масса, R — универсальная газовая
постоянная.
366. Какая доля молекул кислорода (0 2) земной ат­
мосферы может преодолеть гравитационное поле Земли
при температуре 300 К?
367. В центрифуге находится эмульсия из воды и не­
коего синтетического вещества, плотность которого
р = 0,999 г/см3. Взвешенные частицы этого вещества можно
считать шариками радиусом 10~2 мкм. Радиус центрифуги
/? = 1 2 см, частота вращения / = 200 Гц. Вычислить от­
ношение чисел взвешенных частиц в центре и на пери­
ферии, если температура равна 4°С.
368. Молекулярную массу коллоидальных частиц
можно определить на основе исследования распределения
их концентрации во вращающейся центрифуге. Найти
молекулярную массу коллоидальных частиц, если изве­
стно, что отношение их концентраций в точках, находя­
щихся на расстояниях г2 и гх от оси центрифуги, равно а.
Плотность частичек р, плотность растворителя р0. Угло­
вая скорость вращения центрифуги со.
369. Найти среднюю потенциальную энергию молеку­
лы идеального газа, находящегося в центрифуге радиу­
са R , вращающейся с постоянной угловой скоростью со.
370. В газовой центрифуге радиуса R, вращающейся
с постоянной угловой скоростью со, производится разде­
ление смеси газов, молекулы которых имеют массы тх
70
и m2. Найти коэффициент разделения
__
4 (/ii/«a)r=o ’
где п1 и п2 — концентрация молекул обоих сортов. Объяс­
нить, почему q растет с понижением температуры.
371. Найти среднее квадратичное расстояние молекул
массы т от оси центрифуги радиуса R , вращающейся
с постоянной угловой скоростью со. Показать, что не су­
ществует наивероятнейшего расстояния до оси. Темпера­
тура газа в центрифуге Т.
372. Равновесный одноатомный газ, состоящий из N
молекул массой т , находится в равномерно вращающейся
с угловой скоростью со центрифуге радиусом R при тем­
пературе Т. Найти энергию и теплоемкость газа.
373. Получить распределение молекул газа в верти­
кальном цилиндре радиусом R и высотой Я, находя­
щемся в однородном поле тяжести с ускорением g и
вращающемся вокруг своей оси с угловой скоростью со.
374. Газ находится в поле с потенциальной, энергией
U = — acoscp (где a = const, ср— угол между осью моле­
кулы и некоторым выделенным направлением, например
напряженностью внешнего однородного электрического
поля). Получить распределение молекул по направлениям
и вычислить среднее значение потенциальной энергии
молекулы, считая, что ср меняется непрерывно в интер­
вале от 0 до я.
375. Газообразный аммиак (NH3), молекулы которого
обладают дипольными моментами р0 = 4,9* 10“30 Кл-м,
помещен в однородное электрическое поле с напряжен-
ностью <£ = 500— . У какой части молекул аммиака при
температуре 273 К дипольные моменты образуют с на­
правлением <£ угол, не превышающий 45°?
376. Для газообразного хлористого водорода (НС1),
находящегося в равновесном состоянии при температуре
300 К, определить, при какой напряженности действую­
щего поля второй член разложения функции Ланжевена
Ро$
L(P) по степеням $ = —р г дает поправку порядка 1%
к приближенному выражению L ((3)^ --p. ДипольнЬш мо­
мент молекулы хлористого водорода равен 3 ,5 -10~?0 Кл-м.
71
377. С учетом пространственного квантования полу­
чить выражение для среднего значения проекции на на­
правление магнитной индукции В магнитного момента
атомов парамагнитного газа в состоянии с квантовыми
числами L, S, У, считая внешнее магнитное поле слабым.
378. Определить магнитный момент моля газа, состоя­
щего из молекул с магнитным моментом ц = 2,5цб (где
цб — магнетон Бора) при температуре 60 К и напряжен­
ности магнитного поля 50 кэ.
379. Найти разность показателей преломления п2 и пу
газа из анизотропных молекул для электромагнитных
волн, электрические векторы которых колеблются соот­
ветственно вдоль осей г и у, в зависимости от распре­
деления молекул по углам 0 между осями молекул и
осью г. Считать, что (nz—пу)<^п0 и п0 близко к еди­
нице (п0 — показатель преломления при изотропном рас­
пределении осей молекул). Принять также, что распре­
деление молекул зависит лишь от угла 0 их осей с осью г.
n z — Пу
380. Вычислить постоянную Керра К = ------г (гДе
Х0—длина волны падающего света, <§— напряженность
постоянного электрического поля) для газа, состоящего
из полностью анизотропных молекул с постоянным ди-
польным моментом /?0, направление которого совпадает
с направлением поляризуемости молекулы. Считать, что
£ф - < 1 и Рт*<Ро-

381. Пользуясь выражением интеграла состояний для
одноатомного идеального газа, вычислить свободную энер­
гию и давление гелия, находящегося в цилиндре объема
10 л при температуре Г = 300 К- Масса газа 1 г.
382. Определить внутреннюю энергию, энтропию, эн­
тальпию и термодинамический потенциал для 1 л гелия
при температуре 400 К и давлении 2,76* 105 Н/ма, считая
его идеальным газом.
383. Вывести термическое уравнение состояния идеаль­
ного одноатомного газа, у частиц которого энергия свя­
зана с импульсом соотношением е = с/?4.
384. Найти свободную энергию ¥ и уравнение сос­
тояния идеального одноатомного ультрарелятивистского
газа, для частиц которого справедливо соотношение е~ср
между энергией и импульсом.
385. Найти, как зависит от энергии Е и объема V
энтропия 5 идеального одноатомного газа из N частиц.
386. Найти выражение свободной энергии ¥ и энтро­
пии S идеального газа при одномерном движении.
387. Получить уравнение адиабаты классического иде­
ального газа при: а) одномерном движении; б) двух­
мерном движении.
388. Найти свободную энергию ¥ столба идеального
одноатомного газа высотой Н и площадью основания а,
находящегося в одномерном поле силы тяжести с уско­
рением g, при температуре Т, если известны число N
всех частиц газа и масса т частицы.
389. В сосуде, имеющем форму куба с ребром L, на­
ходится при температуре Т идеальный газ из N частиц.
Сосуд с газом помещен в однородном поле силы тя­
жести с ускорением g. Найти давление на верхнюю
грань куба.
390. Идеальный газ из N атомов заключен во вра­
щающийся с угловой скоростью со цилиндр радиусом R
и высотой /. Определить среднее давление газа на боко­
вую поверхность цилиндра, если температура газа Г.
391. Вывести закон Дальтона для давления смеси двух
идеальных газов. Число частиц одного газа Nlf а дру­
гого N2.
392. Смесь двух идеальных газов, состоящих из N±
и N2 частиц с массами т1 и т 2 соответственно, находится
в цилиндрическом сосуде высотой h и площадью осно­
вания а. Сосуд с газом помещен в однородное поле силы
74
тяжести с ускорением g. Найти давление на верхнюю
стенку сосуда, а также положение центра масс.
393. Вычислить интеграл состояний двухатомного
идеального газа, если колебания атомов в молекулах
еще не возбуждены. Определить вращательные части сво­
бодной энергии, энтропии и внутренней энергии.
394. Найти изменение вращательной свободной энер­
гии и вращательной энтропии для 1 кмоль кислорода
(0 2) при его нагревании от 350 до 400 К* если момент
инерции молекулы кислорода равен 1 ,9 Ы 0 “4в кг-м2.
395. Хлористый водород нагревают от 300 до 400 К-
Найти приращение внутренней энергии и энтропии 2 кмоль
этого вещества, считая, что колебания атомов в молеку­
лах еще не возбуждены и объем при нагревании остается
постоянным.
396. Вычислить вращательную часть интеграла со­
стояний многоатомного идеального газа и получить вы­
ражения для вращательных: свободной энергии <FBP, внут­
ренней энергии 1/вр и энтропии SBP.
397. Вычислить вращательные части свободной энер­
гии, внутренней энергии, энтропии, энтальпии и термо­
динамического потенциала для 1 кмоль водяных паров
при температуре 400 К и давлении 1,52-105 Н/м2. Глав­
ные моменты инерции молекулы воды (Н20 ) равны =
= 10"46 кг-м2, / л = 1,9* 10~47 кг-м2, /£ = 1,9-10"47 кг-м2.
398. Вывести термическое уравнение состояния много­
атомного идеального газа.
399. Найти выражение для свободной энергии газа
Ван-дер-Ваальса. Используя полученную формулу, вы­
числить свободную энергию 1 г гелия, занимающего
объем V = 5 л при температуре 400 К ( а = 3,5 - 103 , V кмоль*
6 = 0 ,0 2 4 -^ — ) . * кмоль J
400. Получить калорическое уравнение состояния газа
Ван-дер-Ваальса. Вычислить внутреннюю энергию 2 кмоль
кислорода, занимающих объем 10~а м3 при темпера-
туре 300 К ( a - I.36-10* .
401. Подсчитать энтропию 1 г гелия, находящегося
в сосуде объема 10 л при температуре 300 К» Гелий
75
f
считать газом Ван-дер-Ваальса ^а = 3,5-103
= 0,024
кмоль )■
Н «м4
кмоль2 , ь *=*
402. Найти выражение для термодинамического по­
тенциала газа Ван-дер-Ваальса.
403. Вычислить постоянную а в уравнении Ван-дер-
Ваальса для случая, когда потенциальная энергия вза­
имодействия между частицами имеет вид
t/(r) =
' оо при 0 < > < 2г0,
— Ы° { ~ У при 2г0 < г < оо|
где г0 — радиус частицы, п— натуральное число, причем
п > 3.
404. Вычислить поправку к уравнению состояния для
разреженного газа, частицы которого взаимодействуют
по закону
U(r) =
оо при O ^ r < d ,
—75- ПРИ r >d,
где d—диаметр частицы, а > 0, л > 3.
405. Взаимодействие между молекулами двумерного
газа, образованного молекулами, адсорбированными на
поверхности жидкости площадью а, можно учесть так же,
как это делается для обычного газа. Найти уравнение
состояния двумерного газа из N частиц, учитывая лишь
парные взаимодействия молекул.
406. Показать, что если для всех газов потенциаль­
ная энергия взаимодействия пары молекул имеет вид
(
оо при 0 ^ г < г0,
— м° (-7 - ) " При Г0 < Г < ОО
(где г0— радиус частицы, п— натуральное число), то с по­
мощью интеграла состояний можно получить обобщенный
закон соответственных состояний.
407, Получить выражение для молярной теплоемко­
сти Cv идеального газа, предполагая, что колебания
атомов в молекулах не возбуждены.
76
408. Найти среднюю энергию и теплоемкость класси­
ческого газа: а) при одномерном движении; б) при двух­
мерном движении.
1 д Н 4Q9. Величина называется вириалом для i-и
степени свободы. Показать, что среднее значение вириала
одной степени свободы равно ~ £ 07\ если Я —* оо при
< 7/-*± 00.
410. Пользуясь теоремами о равномерном распреде­
лении кинетической энергии по степеням свободы и о
вириале в виде
дн __ Ж
^ dqi ~ Pi dpt ’
вычислить среднюю энергию линейного гармонического
осциллятора.
411. Пользуясь теоремами о равномерном распреде­
лении кинетической энергии по степеням свободы и
о вириале, найти среднюю энергию частицы, совершаю­
щей одномерное движение во внешнем поле с потенци­
альной энергией U (q) = aq2n (где п— натуральное число,
а = const).
412. Вычислить молярную теплоемкость твердого тела,
считая колебания атомов ангармоническими. Функция
Гамильтона линейного ангармонического осциллятора
имеет вид
Н (q. p ) = ^ + a q * -
ГДе
413. Вычислить среднюю энергию линейного осцил­
лятора, функция Гамильтона которого имеет вид
H (Q> Р)=:^ + а^>
где а = const.
414. Найти теплоемкость Cv одного моля идеального
одноатомного ультрарелятивистского газа (г — ср).
415. Найти дополнительную теплоемкость двухатомной
молекулы, обусловленную ангармоничностью ее колеба-
Л
ний, если потенциальная энергия молекулы имеет рид
U = j q ^ + ffi + yq*,
где коэффициенты а, р, у — постоянные величины.

Ответы к задачам по физике Серова from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (12.08.2016)
Просмотров: | Теги: серова | Рейтинг: 1.0/1


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar