Тема №6520 Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 19)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 19) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 19), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

581.    Изобразим кривой зависи-
мость фазовой скорости волны v от
длины волны Л (рис. 64). Показать,
что отрезок О А на оси v, отсека-
емый касательной к этой кривой
в точке Ао, равен групповой скоро-
сти для длины волны А = Ао. (По-
строение П.С. Эренфеста.)
582.    Плоское волновое возмущение распространяется в среде с ли-нейным законом дисперсии: v = а + ЬХ, где v — фазовая скорость, а а и b — постоянные. Показать, что каково бы ни было возмущение, форма его, непрерывно изменяясь, будет периодически восстанавливаться по истечении времени т = dX/dv = 1 /Ъ. Показать, что отношение пути s, пройденного возмущением за промежуток времени т к продолжительности этого промежутка, равно групповой скорости.
Указание. Любое плоское возмущение в любой момент времени может быть получено суперпозицией синусоид. Каждая из синусоид перемещается со своей фазовой скоростью в одном и том же направлении. Вследствие этого непрерывно деформируется форма возмущения. Утверждение, сформулированное в задаче, будет доказано, если показать, что существует такое время т, по истечении которого точно восстанавливается первоначальное взаимное расположение синусоид. Достаточно провести рассуждение для трех синусоид; обобщение на большее число синусоид тривиально.
583.    Вычислить групповую скорость и для различных законов дисперсии (v — фазовая скорость);
1)    v = а (а = const) — недиспергирующая среда, например звуковые волны в воздухе;
2)    v = ал/А — волны на поверхности воды, вызываемые силой тяжести;
 
Рис. 64
 
90
Задачи
3)    v = a/yfX — капиллярные волны;
4)    v = а/Х — поперечные колебания стержня;
5)    v = л/с2 + Ь2А2 — электромагнитные волны в ионосфере (с —
скорость света в вакууме, Л — длина волны в среде, см. задачу 682);
6)    v = соо / у/оо2 г [л — с2 а2 — электромагнитные волны в прямолиней-
ном волноводе, заполненном диспергирующей средой с диэлектриче-
ской проницаемостью £ = г(и) и магнитной проницаемостью /а =
(с — скорость света в вакууме, а — постоянная, зависящая от размеров
и формы поперечного сечения волновода).
584.    При каком законе дисперсии немагнитной среды £ = е(са),
заполняющей прямолинейный волновод или бесконечное пространство,
связь между фазовой и групповой скоростями электромагнитных волн
принимает вид vu = с2?
Указание. См. предыдущую задачу.
585.    Показать, что в условиях предыдущей задачи, а также в том
случае, когда внутри волновода вакуум, фазовая скорость электромаг-
нитных волн в волноводе превосходит скорость света в вакууме.
586.    Найти групповую скорость и рентгеновского излучения в сре-
де, если предельный угол полного внутреннего отражения при падении
этих волн на среду из воздуха равен а. Показатель преломления
рентгеновских волн определяется выражением n2 = 1 — оо^/оо2, где иоо —
постоянная.
587.    Для определения плотности электромагнитной энергии в непо-
глощающей диспергирующей среде можно поступить следующим обра-
зом. Пусть вещество с диэлектрической проницаемостью г(ио) и маг-
нитной проницаемостью fi(u) заполняет плоский конденсатор с емко-
стью С = г(и)Со И ТОНКИЙ соленоид с индуктивностью L = fi(uj)Lo,
соединенные в колебательный контур (рис. 65). Со и LQ — значения
емкости и индуктивности для того случая, когда в пространстве между
обкладками конденсатора и внутри соленоида вакуум. При отсутствии
сопротивления в контуре будут совершаться
свободные гармонические колебания с цик-
лической частотой и = 1 /yjL(uo)C(uo). Если
в некоторый момент времени ввести в контур
малое сопротивление R, то, начиная с этого
момента, колебания сделаются затухающими
и первоначально запасенная электромагнитная
энергия будет переходить в джоулево тепло,
выделяющееся в сопротивлении R. Полное ко-
личество тепла, выделившееся в сопротивле-
нии R за время, когда колебания прекратятся, будет равно электро-
магнитной энергии, запасенной в контуре до введения сопротивления.
Найти выражение для плотности электромагнитной энергии в непогло-
щающей диспергирующей среде.
 
 
§8. Скорость света
91
Примечание. О физическом смысле полученного выражения см. задачу 684.
588.    Среднюю скорость движения энергии и в плоской монохро-матической бегущей волне можно определить как отношение средней плотности потока энергии к средней плотности самой энергии. В электромагнитной волне плотность потока энергии дается вектором
S = — [ЕН]. Пользуясь этим и результатом решения предыдущей 47г
задачи, показать, что средняя скорость движения электромагнитной энергии в плоской монохроматической бегущей волне совпадает с груп-повой скоростью.
589.    Какая скорость света измеряется методом Рёмера и Физо, фазовая или групповая?
590.    Показать, что если г(и) и fi(u) положительны, то фазовая и групповая скорости в электромагнитной волне направлены в одну сторону.
591.    В анизотропной среде фазовая скорость волны зависит не только от частоты си, но и от направления распространения волны. Если записать закон дисперсии в форме и = о; (к), то легко показать, что групповая скорость в такой среде будет вектором с компонентами duo/dki (г = ж, ip z). Показать, что в прозрачном однородном кристалле групповая скорость по величине и направлению совпадает с лучевой скоростью и. Для простоты пренебречь зависимостью тензора диэлектрической проницаемости га$ от частоты и.
592.    Из общих соображений вытекают так называемые дисперси-онные соотношения, т. е. соотношения, устанавливающие связь между вещественной и мнимой частями диэлектрической проницаемости 0. Следствием этих соотношений для прозрачной изотропной среды явля-ются неравенства дг/дис ^ 0, дг/дис ^ 2(1 - г)/и, где г{и) — диэлектрическая проницаемость на частоте и. Пользуясь этими неравенствами, доказать, что групповая скорость ^гр ^ С.
593.    Луч прожектора, вращающийся с угловой скоростью си, сколь-зит по цилиндрическому экрану. Можно ли применять для вычисления скорости «зайчика» формулу v = йог (г — расстояние от прожектора до экрана), если v > с = 3 • Ю10см/с? Нет ли здесь противоречия с теорией относительности?
594.    Наблюдатель (или регистрирующая аппаратура) находится на значительном расстоянии от плоского экрана, который в некоторый момент to весь освещается (загорается). Какую картину увидит наблю-датель?
595.    Светящаяся сферическая оболочка (например, оболочка взо-рвавшейся звезды) начала расширяться в точке О со скоростью v в момент t\. Найти место точек («видимую» оболочку), излучение от
Х)Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. — М.: Гостехиздат, 1957.
 
92
Задачи
которой достигает наблюдателя в точке Р в момент t ^ to = t\ + R/c, где R — расстояние OP, которое считается достаточно большим.
596.    Найти скорость и расширения «видимой» оболочки, рассмот-ренной в предыдущей задаче. Каковы максимальные значения этой скорости, а также скорости оболочки, перпендикулярной к лучу зрения?
597.    Как ясно из решения предыдущей задачи, «видимая» скорость гамаке может быть сколь угодно велика и, в частности, может превосходить скорость света с. Почему это не противоречит теории относительности?
598.    Источник света (излучающий осциллятор и т. п.) движется по прямой линии в некоторой среде со скоростью v, превосходящей фазовую скорость света в среде = с/п (для простоты считать, что дисперсия отсутствует и таким образом групповая скорость света также равна с/п). В некоторый момент источник останавливается. Какое движение источника увидит наблюдатель, расположенный перед источником на продолжении его траектории?
599.    Вывести формулу для эффекта Доплера в акустике при про-извольном движении источника и наблюдателя относительно воздуха.
600.    Получить выражение для эффекта Доплера в акустике, когда источник и наблюдатель движутся вдоль прямой, их соединяющей.
601.    До теории относительности эффект Доплера в оптике тракто-вался так же, как в акустике. Считалось, что свет распространяется в эфире подобно акустическим волнам в воздухе. В нерелятивистском приближении, когда можно было пренебречь величинами порядка (^отн/с)2, где v0TH — скорость источника относительно наблюдателя, такая трактовка приводила к правильному результату. Вывести формулу для изменения частоты в эффекте Доплера в указанном приближении.
602.    Монохроматическая волна частоты у падает нормально на зеркало, равномерно движущееся в направлении нормали. Как связана в нерелятивистском приближении частота У' отраженной волны со скоростью движения зеркала v?
603.    Для экспериментальной проверки принципа Доплера в земных условиях А.А. Белопольский использовал отражение света от зеркал, приводимых в быстрое вращение. Световой луч, прежде чем он попадал в глаз наблюдателя, успевал несколько раз отразиться от движущихся зеркал. Считая, что свет падает на движущиеся зеркала нормально, найти измененную частоту у', если скорость движения зеркал v, а число отражений N (считать, что v <С с, и пренебречь членами порядка v2/с2).
604.    Какая скорость света измеряется в методе вращающегося зеркала Фуко, фазовая или групповая?
Указание. Согласно принципу Доплера при отражении света от движущегося зеркала изменяется длина световой волны. Так как скорости различных точек вращающегося зеркала неодинаковы, то это изменение будет разным для лучей, отразившихся от различных точек
 
§8. Скорость света
93
зеркала. Поэтому если среда, в которой распространяется отраженный свет, диспергирующая, то фазовые скорости для этих лучей будут также разными. Это ведет к повороту волнового фронта отраженной волны. В методе Фуко этот поворот надо учитывать.
605.    Майкельсон измерил скорость света в сероуглероде по методу вращающегося зеркала. Показатель преломления сероуглерода для средней длины волны видимого спектра равен п = 1,64, а величина
1 + — ^ равна 0,93. Определить, какое следует ожидать значение п ал
для отношения скорости света в вакууме к измеренной этим методом скорости света в сероуглероде?
606.    В дорелятивистской классической теории эффекта Доплера вводилось движение источника света и наблюдателя относительно эфира. Допустим, что источник света движется относительно эфира, а наблюдатель покоится. Тогда длина волны излучаемого света изменяется, и неподвижный наблюдатель может обнаружить это с помощью дифракционной решетки. Но если источник света неподвижен относительно эфира, то движение решетки, очевидно, никак не может сказаться на длине волны излучаемого света. Тем не менее и в этом случае дифракционная решетка обнаруживает смещение спектральных линий согласно эффекту Доплера. Разобрать механизм и рассчитать величину этого смещения.
607.    Каково доплеровское смещение АЛ линии водорода Яд (Л = = 4861 А) при наблюдении вдоль пучка водородных каналовых лучей, имеющих среднюю скорость v = 1,3 • 108 см/с?
608.    Каково доплеровское смещение 5Х в условиях предыдущей задачи, если наблюдать в направлении, перпендикулярном к направлению пучка?
609.    Каково максимальное доплеровское смещение АЛ для линии водорода Яд, излучаемой движущимися атомами водорода с кинетической энергией 4 • 106эВ?
610.    Каково поперечное доплеровское смещение 5Х в условиях предыдущей задачи?
611.    Как движется относительно Земли некоторая туманность, если известно, что линия водорода Я7 (Л = 4340 А) в спектре туманности смещена на 20 А в красную сторону?
612.    Каково максимальное полугодичное изменение АЛ зеленых линий (Л = 5500 А) спектра звезд, лежащих в плоскости земной орбиты?
613.    Длина волны некоторой фраунгоферовой линии в солнечном спектре равна 5900 А при наблюдении по направлению к полюсу Солнца. При наблюдении той же линии по направлению на край солнечного диска на экваторе обнаруживается смещение на 0,04 А. Найти линейную скорость v солнечного экватора.
614.    Ограничиваясь только непосредственными наблюдениями колец планеты Сатурн в телескоп, не удается решить, являются ли эти
 
94
Задачи
кольца сплошными образованиями или только скоплениями большого числа мелких спутников в определенных плоскостях. Как, пользуясь законами механики и оптическим эффектом Доплера, можно однозначно решить вопрос в пользу того или иного предположения?
615.    Найти приближенное значение катодного падения потенциала V в разрядной трубке, если доплеровское смещение линии Л = = 5016 А, принадлежащей гелию и наблюдаемой под углом 145° к ка- наловому лучу, составляет 5 А.
616.    Приемник радиолокатора определяет скорость приближения самолета по частоте биений между непосредственно принимаемым от передатчика сигналом и сигналом, полученным вследствие отражения от движущегося самолета. На какой длине волны Л должен работать радиолокатор, чтобы приближающийся со скоростью v = 1800 км/ч самолет давал частоту биений Av = 2000 Гц?
§ 9. Теория относительности и оптика
движущихся тел
617.    Можно ли с помощью фотоаппарата зафиксировать сокращение Лорентца по изменению формы предмета, пролетающего мимо точки фотографирования с релятивистской скоростью? Рассмотреть случай куба и шара, летящих на большом расстоянии от точки фотографирования.
618.    Согласно теории относительности «стандартные» движущиеся часы идут медленнее покоящихся, мимо которых они пролетают. При этом ход часов, как обычно считают, зависит явным образом только от их скорости, но не от ускорения. Является ли последнее утверждение следствием теории относительности (лорентцевых преобразований) или основано на опыте?
619.    Можно ли считать релятивистское сокращение масштабов и замедление хода часов результатом динамических процессов, проис-ходящих в масштабах и часах?
620.    Два шарика диаметром do (в системе покоя) приведены в дви-жение навстречу друг другу с релятивистской скоростью v. После лобового столкновения в определенных условиях можно считать, что шарики мгновенно останавливаются, а затем происходит их разлет. Каков размер системы I в момент остановки? (Такими шариками в некотором приближении можно считать, например, протоны, в результате соударения которых образуются новые частицы — пионы и пр.)
621.    На слой плазмы с электронной концентрацией п (в котором вначале тока нет) действует импульс электрического поля, направленного вдоль слоя и ускоряющего частицы до релятивистских скоростей. Какова будет концентрация частиц в плазме после ускорения. Нужно ли учитывать лорентцево сокращение единицы объема плазмы?
 
§ 9. Теория относительности и оптика движущихся тел
95
622.    Какова максимальная плотность тока, который может течь в полностью ионизованной водородной плазме с электронной концен-трацией п (при неизменном значении ее)?
623.    Как преобразуется плотность вещества при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой?
624.    Определить время жизни т /i-мезона с энергией Е = 109 эВ (в лабораторной системе отсчета). Время жизни медленного (покоящегося) /i-мезона то = 2,2 • 10-6 с, масса /i-мезона m = 206,7me (me — масса электрона).
625.    Оптический эффект Доплера отличается от акустического в двух отношениях. I. В акустике есть среда (воздух), относительно которой могут двигаться источник и наблюдатель. В оптике, когда речь идет о распространении света в вакууме, подобной среды не существует — имеет смысл говорить только об относительном движении источника и наблюдателя. II. При больших скоростях источников света в оптике надо считаться с эффектом теории относительности «замедления хода движущихся часов». Учитывая эти два отличия, получить формулу для оптического эффекта Доплера. За систему отсчета принять ту, относительно которой наблюдатель неподвижен. Рассмотреть частные случаи: 1) источник движется вдоль луча зрения, в направлении которого его видит наблюдатель; 2) источник движется перпендикулярно к этому лучу.
626.    Получить формулу для релятивистского эффекта Доплера, принимая за систему отсчета систему, в которой покоится источник.
627.    Пользуясь результатами решения задач 625 и 626, получить релятивистскую формулу для аберрации света.
628.    Получить релятивистскую формулу для эффекта Доплера, когда источник движется в среде со скоростью v, а наблюдатель в этой среде покоится.
629.    Расчет релятивистского эффекта Доплера и аберрации света проще всего произвести, пользуясь инвариантностью фазы волны от-носительно преобразования Лорентца. Согласно этой инвариантности в плоской волне справедливо соотношение
uot — kr = uo't' — kV,
где t, г и tf, rf — время и координаты одного и того же события в «неподвижной» и «движущейся» системах отсчета, связанные между собой преобразованием Лорентца. Доказать это соотношение и, пользуясь им, получить релятивистские формулы для эффекта Доплера и аберрации света.
630.    Главная трудность наблюдения поперечного эффекта Доплера в каналовых лучах заключается в следующем. Поперечный эффект, как эффект второго порядка относительно у/с, очень мал по сравнению с эффектом первого порядка (см. задачи 607 и 608). Чтобы исключить эффект первого порядка, надо создать в высокой степени параллельный пучок каналовых частиц, движущихся перпендикулярно
 
96
Задачи
к линии наблюдения. Малейшее отклонение в направлении движения этих частиц от строгой перпендикулярности к линии наблюдения поведет к появлению продольной компоненты скорости и к продольному эффекту Доплера, который может перекрыть эффект второго порядка. В условиях задачи 607 подсчитать максимальный угол отклонения пучка от строгой перпендикулярности к линии наблюдения, при которой поперечный эффект еще не будет маскироваться продольным эффектом.
631.    С учетом дисперсии найти в первом приближении скорость света Уф в жидкости, движущейся от источника со скоростью у, если в неподвижной жидкости скорость света равна с/п(Л), где Л — длина волны света в неподвижной жидкости.
632.    Две одинаковые частицы (например, два протона), ускоренные до одной и той же энергии & = 10 ГэВ, движутся навстречу друг другу и сталкиваются между собой. Рассмотреть тот же процесс в лабораторной системе отсчета, в которой одна из частиц (мишень) покоится, а другая движется навстречу ей. Определить энергию второй частицы в этой системе. (Принцип ускорителя на встречных пучках.)
633.    Межзвездный корабль движется к ближайшей звезде, на-ходящейся на расстоянии L = 4,3 световых года, со скоростью у = = 1000 км/ч. Достигнув звезды, корабль возвращается обратно. На какое время At часы на корабле отстанут от земных часов по возвращении корабля на Землю?
Примечание. Ввиду большой скорости корабля движение звезды относительно Солнца можно не учитывать.
634.    Какая кинетическая энергия & должна быть сообщена меж-звездному кораблю массы т = 104 кг, чтобы его часы по возвращении на Землю показывали вдвое меньшее время, чем часы на Земле? Сколько тонн урана М должно прореагировать, чтобы выделилось такое количество энергии? При делении одного атома урана выделяется энергия 170 МэВ. Какую скорость у будет иметь корабль при такой кинетической энергии?
635.    Как связана начальная (стартовая) масса то релятивистской ракеты с ее конечной массой т и достигнутой скоростью у в произвольный момент времени? Считать, что скорости ракеты у и газовой струи и (относительно ракеты) направлены вдоль одной прямой, причем ракета все время движется с включенным двигателем, так что величина и остается постоянной.
636.    Во что переходит формула (635.4) для нерелятивистских дви-жений?
637.    Ввиду колоссальности расстояний до звезд для достижения даже ближайших звезд требуются космические корабли, двигающиеся со скоростью порядка скорости света с. Допустим, что фантастический космический корабль представляет собой ракету, работающую на хи-мическом топливе, которое позволяет получать газы, выбрасываемые
 
§ 9. Теория относительности и оптика движущихся тел
97
из ракеты с относительной скоростью и = 10 км/с. Ракета должна достигнуть скорости v = с/3. Оценить, какое количество топлива то потребуется в этом случае на каждую тонну полезного груза ракеты.
638.    Найти скорость и минимальное отношение массы в начале пути к массе в конце пути фотонной ракеты (двигатель которой превращает «горючее вещество», находящееся на ракете, в направленный пучок света), необходимые для достижения ракетой туманности Андромеды (удаленной на R = 1,8 • 106 световых лет) за 25 лет по собственному времени ракеты. Временем ускорения и замедления ракеты пренебречь.
639.    Какое собственное время пройдет на космическом корабле при полете от Земли до Галактического центра, удаленного на расстояние R = 3 • 104 световых лет, если первую половину пути космический корабль движется по прямой с ускорением а = 10 м/с2, постоянным в системе координат, связанной в каждый момент с космическим кораблем (так называемое «гиперболическое» движение), а вторую половину пути корабль замедляется с тем же ускорением? (Собственное время здесь определяется как
где dt — время в системе Земли, а (3 = v/c.)
640.    Какую минимальную мощность в начале пути должен иметь двигатель фотонной ракеты для полета к центру Галактики (R = = 3 • 104 световых лет), если первую половину пути ракета движется с постоянным ускорением а = 10 м/с2 (в собственной системе), а вторую половину пути она замедляется с тем же ускорением при условии, что все топливо находится на ракете, а масса ракеты Мк в конце пути равна 103 т?
641.    Чему равна интенсивность корпускулярного космического из-лучения на космическом корабле, обусловленного наличием в межзвездной среде атомов водорода с плотностью п = 1 см-3? Условия движения корабля те же, что и в предыдущей задаче.
642.    Как изменится расположение звезд на небесной сфере для наблюдателя на космическом корабле, движущемся с релятивистской скоростью v относительно Земли?
643.    Радиолокатор работает на частоте и («несущая» частота сиг-нала) и облучает предмет, движущийся со скоростью v в произвольном направлении относительно радиолокатора. Учитывая эффект Доплера, найти «несущую» частоту отраженного от предмета излучения а;*, принимаемого тем же радиолокатором.
644.    В циклическом сильноточном электронном ускорителе — мик-ротроне — электрон, проходя ускоряющий промежуток, приобретает энергию, кратную его энергии покоя Дс? = птс2, где п — целое число. Затем его поворачивает постоянное однородное магнитное поле Н0 и он снова попадает в ускоряющий промежуток (обычно в тот
t
 
о
4 Под ред. Д. В. Сивухина
 
98
Задачи
же). Пренебрегая размерами ускоряющего промежутка по сравнению с размерами орбит электрона, найти максимальное расстояние между орбитами и энергию электрона на выходе микротрона, если число ускорений N = 12 при п = 2, Щ = 1000 Э.
645.    Согласно принципу эквивалентности Эйнштейна все процессы в однородном поле тяготения протекают так же, как в системе отсчета, движущейся с постоянным ускорением относительно инерциальной системы отсчета. Пользуясь этим принципом, показать, что частота света при его распространении в поле тяготения должна изменяться (гравитационное смещение спектральных линий). Связать изменение частоты с изменением гравитационного потенциала вдоль светового луча.
646.    Какое число штрихов должна иметь дифракционная решетка, чтобы с ее помощью в спектре испускания Солнца можно было обнаружить гравитационное смещение спектральных линий, если наблюдение ведется во втором порядке (т = 2). Необходимые числовые данные можно получить, зная угловой радиус Солнца (при наблюдении с Земли) а = 0,00465 рад и скорость движения Земли по ее орбите v = 30 км/с.
647.    Свет, испускаемый с поверхности фотосферы звезды, наблю-дается на Земле. В какую сторону будет происходить гравитационное смещение спектральных линий?
648.    Оценить гравитационное смещение длины волны излучения, испускаемого с поверхности нейтронной звезды, считая ее массу равной массе Солнца (М = 2 • 1033 г), плотность постоянной по всему объему звезды, а среднее расстояние между нейтронами равным 3 х х 10-13 см.
649.    На Земле принимаются радиосигналы с искусственного спутника Земли, находящегося на высоте h = 800 км над земной поверхностью. Найти относительное изменение частоты радиоволны со спутника, обусловленное гравитационным полем Земли. В какую сторону спектра будет происходить гравитационное смещение, в красную или фиолетовую?
650.    Найти относительное изменение частоты, обусловленное земным полем тяготения, когда передатчик расположен на горе на высоте h = 5 км выше приемника.
651.    Показать, что гравитационнее смещение частоты радиосигнала с искусственного спутника Земли есть эффект второго порядка относительно v/c (v — скорость спутника, с — скорость света).
652.    В задаче 649 учесть эффект Доплера (линейный и квадратичный). Найти полное относительное изменение частоты, обусловлевное эффектом Доплера и гравитационным полем Земли, если: 1) спутник вращается точно по окружности; 2) спутник движется под углом © = = 89° к вертикали, приближаясь к Земле со скоростью v = 7,5 км/с.
653.    Еще в 1798 г. Лаплас отметил, что в случае достаточно мас-сивной звезды лучи света не смогут ее покидать в силу их притяжения
 
§10. Давление света
99
звездой и что «по этой причине самые большие светящиеся тела во Вселенной будут для нас невидимыми». Лаплас опирался, разумеется, на ньютоновскую механику и закон всемирного тяготения, в сочетании с корпускулярной теорией света. Каков, с этой точки зрения, должен быть радиус rg тела (звезды) массы М, чтобы его поверхность стала невидимой?
§ 10. Давление света
654.    Исходя из представления, что свет состоит из фотонов, каж-
дый из которых обладает импульсом kv/c, определить давление Р
световой волны на плоское зеркало, предполагая, что коэффициент
отражения зеркала равен г, а угол падения равен ср. Определить
также тангенциальную силу Т, действующую на единицу поверхности
зеркала со стороны падающего излучения.
655.    Решить предыдущую задачу в предположении, что поверх-
ность, на которую падает световая волна, идеально матовая (удовле-
творяет закону Ламберта).
656.    Показать, что давление излучения при нормальном падении
света на идеальное зеркало равно 2и, а на полностью поглощающую
поверхность равно и, где и — плотность энергии падающего излучения.
657.    Каково давление света на идеальное зерка-
ло, если излучение изотропно?
658.    Найти световое давление солнечного из-
лучения на квадратный метр земной поверхности,
перпендикулярной к направлению излучения. Сол-
нечная постоянная (см. примечание к задаче 196)
равна 2 кал/(см2 • мин).
Абсорбцией в земной атмосфере пренебречь. Рас-
смотреть три случая: 1) земная поверхность — абсо-
лютно черная; 2) земная поверхность — абсолютно
зеркальная; 3) земная поверхность — абсолютно от-
ражающая, но матовая (удовлетворяет закону Лам-
берта).
659.    П. Н. Лебедев впервые экспериментально
доказал существование светового давления на твер-
дые тела и газы и измерил его. Прибор Лебедева для
исследования светового давления на твердые тела
состоял из легкого подвеса на тонкой нити, по краям
которого были прикреплены очень тонкие и легкие
крылышки (рис. 66). Крылышко имело форму круж-
ка диаметром в 5 мм. Одно из крылышек было зачернено, а другое
оставалось блестящим. Подвес помещался в откачанном сосуде, обра-
зуя весьма чувствительные крутильные весы. С помощью специальных
приспособлений на крылышки посылался поток лучистой энергии мощ-
ностью 1,2-1,8 калорий в минуту. Определить силу светового давления
 
Рис. 66
4:
 
100
Задачи
на зачерненный кружок прибора П. Н. Лебедева, когда мощность па-дающего на него потока лучистой энергии составляет Q = 1,5 калории в минуту 0.
660.    Плоская световая волна падает на поверхность шара, размеры которого велики по сравнению с длиной световой волны. Предполагая, что поверхность шара: 1) абсолютно черная; 2) абсолютно зеркальная; 3) абсолютно матовая (удовлетворяет закону Ламберта), выразить силу светового давления на шар через плотность падающего излучения.
661.    В каком случае световое давление на шар плоской неполя- ризованной волны будет больше: когда поверхность шара идеально отражающая или когда она отражает свет частично, а остальной свет поглощается внутри шара? Размеры шара велики по сравнению с длиной световой волны.
662.    Определить силу светового давления F\ солнечного излучения на поверхность земного шара, считая ее абсолютно черной. Найти отношение этой силы к силе гравитационного притяжения Солнца F Средняя плотность Земли 5 = 5,5 г/см3.
663.    По теории Бредихина форма кометных хвостов объясняется действием на частицы кометы отталкивающих сил, исходящих от Солнца и изменяющихся обратно пропорционально квадрату расстояния от него. Было высказано предположение, что эти силы суть силы светового давления, так как последние убывают с расстоянием по тому же закону 1 2). Считая для простоты частицу шариком, оценить по порядку величины его радиус а, при котором давление солнечного излучения на шарик превосходит силу гравитационного притяжения Солнца. Считать, что поверхность шарика — абсолютно черная, а его плотность 5 = 1 г/см3.
Указание. Так как отношение силы светового отталкивания к силе гравитационного притяжения не зависит от расстояния до Солнца, то можно считать, что шарик находится на таком же расстоянии от Солнца, что и Земля, и значение плотности энергии солнечного излучения взять такое же, как вблизи Земли.
664.    Принимая во внимание, что давление света на идеально отра-жающее зеркало при нормальном падении равно удвоенной плотности энергии падающей волны, найти закон изменения плотности световой энергии при отражении от медленно движущегося идеального зеркала.
665.    На твердое тело, находящееся в вакууме, падает интенсивный пучок света. При каких условиях импульс, сообщаемый телу, может превосходить значение импульса, которое оно получает в результате
1)    Описание опытов Лебедева можно найти в следующих книгах: П. Н. Ле-бедев. Собрание сочинений. — М.: Изд-во АН СССР, 1963; Г. С. Ландсберг. Оптика, изд. 6-е. — М.: Физматлит, 2003.
2)    По-видимому, в большинстве случаев отталкивание кометных хвостов обусловлено не столько световым давлением, сколько другими причинами, например корпускулярным излучением Солнца.
 
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы
101
светового давления при зеркальном отражении света? При нормальном падении света этот импульс равен 2uSt, где и — плотность энергии в пучке, S — площадь его поперечного сечения и t — длительность освещения.
666.    Существуют лазеры, мощность излучения которых в импульсе составляет сотни мегаватт. Допустим, что мощность лазера равна W = = 500МВт, а площадь поперечного сечения светового пучка S = 1 см2. Пусть луч сфокусирован идеальной линзой с фокусным расстоянием / = 5 см. Оценить напряженность электрического поля Е и давление света Р в фокусе такой линзы. Длина волны Л = 6943 А.
667.    Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью г = = 0,5 мс энергию & = 1 Дж в виде почти параллельного пучка с сечением S = 1 см2. Рабочая длина волны лазера Л = 6943 А. Определить следующие величины: 1) давление несфокусированного пучка света Р на площадку, перпендикулярную к пучку; 2) давление света Р на площадку, перпендикулярную к пучку, при максимально возможной концентрации светового пучка (при фокусировке в область с площадью поперечного сечения порядка Л2); 3) напряженность электрического поля Е в области максимально возможной концентрации светового пучка.
Примечание. Считать излучение лазера во время импульса рав-номерным (усреднение).
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы
из других разделов физики
668.    Определить поляризуемость а молекулы СО2, если показатель преломления углекислоты при нормальных условиях равен п = = 1,000449, а число молекул в одном кубическом сантиметре (число Лошмидта) N = 2,687 • 1019.
669.    Показать, что модель атома Дж. Томсона приводит к соотно-шению а = а3, где а — радиус атома Томсона.
Примечание. В модели Томсона атом представляет собой шар, суммарный положительный заряд которого равен е и который распределен равномерно по объему шара. Внутри шара находится точечный отрицательный электрон с зарядом —е.
670.    Найти максимальную скорость свободного электрона при вынужденных колебаниях его в поле солнечного излучения вблизи земной поверхности (см. задачу 196). Определить также отношение максимальной силы Fm, действующей на такой электрон со стороны магнитного поля, к максимальной силе Ее, действующей со стороны электрического поля. Поле солнечного излучения заменить монохроматическим Е = Eocoscct с длиной волны Л = 5500 А.
 
102
Задачи
Указание. В первом приближении действие магнитного поля волны можно не учитывать. Найдя движение электрона, можно вычислить силу, действующую на него со стороны магнитного поля.
671.    Определить среднюю силу светового давления на колеблющийся электрон в поле плоской монохроматической световой волны частоты и. Помимо поля световой волны на электрон действуют еще две силы: 1) квазиупругая сила —тоо^х, под действием которой он совершал бы свободные гармонические колебания с собственной частотой иу»; 2) «сила трения» —гп'ух, благодаря которой электрон поглощает свет. Рассчитать также среднюю энергию е, поглощаемую электроном в одну секунду, и выразить через нее среднюю силу светового давления. Показать, что если бы поглощения света не было, то средняя сила светового давления равнялась бы нулю.
672.    Величина постоянного дипольного момента полярной молекулы ро порядка 10“18 (в системе СГСЭ), поляризуемость молекулы а порядка 10-24см3. Сравнить постоянный дипольный момент молекулы: 1) с моментом, индуцированным в поле световой волны солнечного излучения, если напряженность электрического поля солнечного излучения у земной поверхности около 7 В/см; 2) с моментом, индуцированным в поле напряженности 10000 В/см 0.
673.    Чем объясняется, что соотношение п = л/г (п — показатель преломления, гг — диэлектрическая постоянная) так резко нарушается для воды в оптической области электромагнитного спектра?
674.    Плотность водорода при 0°С и давлении 760 ммрт. ст. 0,0000896 г/см3, а его показатель преломления 1,000138. Плотность жидкого водорода 0,068 г/см3. Считая, что формула Лорентца-Лоренца применима к этому случаю, найти показатель преломления жидкого водорода. (Эксперимент дает значение п = 1,12.)
9 Значения а и ро для некоторых веществ приводятся ниже. В случае анизотропных молекул под а понимается среднее из значений трех главных поляризуемостей молекулы.
Вещество    а, 10 25 см3    Ро, 10“18 СГСЭ
Водород Н2    7,9    0,0
Азот N2    17,6    0,0
Окись углерода СО    19,5    0,11
Углекислота СО2    26,5    0,0 ± 0,02
Водяной пар Н2О    —    1,79
Хлороформ CHCI3    82,3    1,05
Хлористый метил CH3CI    42,3    1,86
Ацетон СН3СОСН3    63,3    2,73
Бензол СбНб    103,2    0,0
Нитробензол C6H5NO2    129,2    3,8
 
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы
103
675.    Получить формулу для диэлектрической проницаемости е(иа) ионизованного газа в монохроматическом электрическом поле Е = = EQ COSut. Столкновениями электронов и ионов пренебречь.
676.    Может ли показатель преломления быть меньше единицы?
677.    В области аномальной дисперсии dv/dX < 0 (v — фазовая скорость, Л — длина волны в среде). В этой области возможен случай, когда групповая скорость и = v — X dv/dX будет больше скорости света с в вакууме. Как согласовать это с выводом теории относительности о невозможности сигналов, распространяющихся со скоростью больше с?
678.    Диэлектрическая проницаемость плазмы г(ио) (см. задачу 675) отрицательна, если и < UJQ. В этом случае показатель преломления п = = у/г — чисто мнимая величина. Выяснить физический смысл чисто мнимого показателя преломления.
679.    Радиоволна распространяется вверх. Волны каких частот могут проходить через ионосферу? Какие волны будут полностью отражаться?
680.     Радиосигнал определенной частоты v = сс/2п посылается вверх и отражается на определенной высоте. Определить концентрацию электронов в точке отражения.
681.    Концентрация электронов на Солнце на расстоянии г = 0,06Д от границы фотосферы (R = 6,95 • Ю10см — радиус Солнца) примерно равна N = 2 • 108 см-3. Могут ли радиоволны из этой области Солнца достигать Земли, если длина волны (в вакууме) равна: 1) Л = 1м; 2) Л = Юм; 3) Л = 50 м?
682.     Получить выражение для фазовой скорости радиоволны в ионосфере в зависимости от длины волны Л в ионосфере. (См. задачу 675.)
683.    При каких условиях в плазме могут существовать продольные колебания электрического поля? Чему равны фазовая и групповая скорости соответствующих волн?
684.    Плотность электромагнитной энергии в диспергирующей среде легко определить в случае газа. В этом случае она слагается из: плотности энергии самого электромагнитного поля (т. е. поля в вакууме) и плотности энергии частиц, находящихся в поле. Последняя энергия в свою очередь состоит из: кинетической энергии колеблющихся частиц и потенциальной энергии деформированных квазиупругих диполей. Из этих соображений найти выражение для плотности электромагнитной энергии в непоглощающей диспергирующей среде (ср. с задачей 587). Рассмотреть также частный случай плазмы.
685.    Какая картина будет наблюдаться в спектроскопе, если на его щель сфокусирована система горизонтальных интерференционных полос, получаемых от белого источника света? Как изменится эта картина, если в одно из плеч интерферометра ввести стеклянную
 
104
Задачи
пластинку? Дисперсию показателя преломления стеклянной пластинки не учитывать 0.
686.    Как изменится картина, наблюдаемая в спектроскоп, скрещенный с интерферометром Жамена (см. предыдущую задачу), если изменять толщину и дисперсию вносимой в одно из плеч стеклянной пластинки? Как изменится картина при переносе пластинки из одного плеча в другое?
687.    Какой вид будет иметь интерференционная картина (см. задачу 685), если в одном из плеч интерферометра находится слой паров натрия, а в другом стеклянная пластинка? 1) Рассмотреть вид полос вблизи линии поглощения натрия. 2) Найти выражение для (dn/dX)N3 в вершине крюка (Л — длина волны в вакууме), если толщина стеклянной пластинки равна /ст, толщина слоя паров натрия ZN3, а их показатели преломления равны пст и п^а соответственно.
Примечание. Вершиной крюка называется точка, в которой касательная к интерференционной полосе горизонтальна.
688.    Расстояние между вершинами крюков с двух сторон резонансной линии в длинах волн равно 2АЛ, толщины стеклянной пластинки и слоя исследуемого газа равны /ст и I соответственно, показатель преломления стекла пластинки — пст. Определить силу осциллятора /о, соответствующую данной линии.
Примечание. Для достижения совпадения классической теории дисперсии с опытом нужно в формулах классической теории заменить число рассеивающих электронов Щ на число /оЩ, где /о называется силой осциллятора. При решении принять во внимание, что показатель преломления газа близок к единице.
689.    Свет частоты и рассеивается на затухающем гармоническом осцилляторе с собственной частотой иуь отличной от w. 1) Каков будет спектральный состав рассеянного света? 2) Какова будет частота рассеянного света после прекращения действия падающей волны?
690.    Как известно, линейный осциллятор не излучает в направлении своей оси. Используя этот факт, дать молекулярное объяснение наличия угла полной поляризации (угла Брюстера) при отражении света от тела (n > 1). Молекулы тела считать изотропными.
Указание. См. задачу 25.
691.    Отступления от формул Френеля (см. задачу 452) обычно связаны с наличием на поверхности отражающего тела переходного слоя, показатель преломления которого отличен от показателя преломления отражающей среды, а толщина мала по сравнению с длиной световой волны. Объяснить на основе молекулярных представлений, почему при наличии переходного слоя закон Брюстера не соблюдается?
1) Задачи 685-688 составлены на основе классических работ Д. С. Рож-дественского, разработавшего «метод крюков» для исследования аномальной дисперсии.
 
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы
105
692.    Опыт показывает, что закон Брюстера применим не только к изотропным средам, молекулы которых сами изотропны, но также и к изотропным средам, состоящим из анизотропных молекул. Как согласовать этот факт с молекулярными представлениями, если для анизотропной молекулы направление индуцированного дипольного мо-мента молекулы, вообще говоря, не совпадает с направлением воз-буждающего электрического поля? Ведь в таком случае для света, поляризованного перпендикулярно к плоскости падения, возбужденные дипольные моменты молекул среды не будут параллельны направлению отраженного луча. Следовательно, молекулы среды будут излучать в этом направлении и мы должны были бы ожидать появления отраженного света вопреки закону Брюстера.
693.    С молекулярной точки зрения распространение света в среде заключается в следующем. Под влиянием падающей световой волны, а также под влиянием излучений соседних молекул и атомов каждая молекула (или атом) приобретает дипольный момент, меняющийся со временем, и поэтому сама становится источником вторичных световых волн. Эти вторичные волны распространяются в пространстве между молекулами и атомами со скоростью света с в вакууме. Поскольку вто-ричные волны в конце концов возбуждаются одной и той же падающей волной, они когерентны и интерферируют друг с другом. Результат этой интерференции вне среды есть отраженная волна, а внутри среды — преломленная волна. При исследовании отражения света нас интересует поле на таких расстояниях от границы среды, которые велики не только по сравнению с межатомными и межмолекулярными расстояниями, но и по сравнению с длиной волны. Вычисляя поля излучения на таких расстояниях, дискретные излучающие центры — молекулы или атомы — можно заменить источниками с непрерывно распределенным вектором поляризации: каждый элемент объема среды dV (размер которого мал по сравнению с Л3) излучает как диполь с дипольным моментом Р dV (Р — вектор поляризации среды). Пусть среда граничит с вакуумом вдоль плоскости, и на нее падает плоская монохроматическая волна. В установившемся состоянии Р = — pQe^(o;t-kr)> среду можно разбить на слои, параллельные границе раздела. Каждый из слоев будет излучать в вакуум плоскую волну в направлении отраженного света. Подберем толщину слоев I так, чтобы два соседних слоя излучали плоские волны в противоположных фазах. Показать, что напряженность поля волны, излучаемой в вакуум всей средой, равна половине напряженности поля волны, излучаемой первым слоем. Найти также толщину слоя I.
694.    В неограниченной изотропной среде может распространяться однородная электромагнитная волна и соответствующая ей однородная волна поляризации среды. Пользуясь этим, можно следующим образом вывести формулы Френеля для отражения света от среды, граничащей с вакуумом. Пусть в неограниченной среде распространяется однородная волна поляризации Р = P0e^a;t_kr) с kz > 0 (ось Z направлена
 
106
Задачи
вертикально вниз). Разделим всю среду на две половины плоскостью
z = 0. Влияние верхней половины на нижнюю сводится к тому, что
она излучает вниз плоскую волну (распространяющуюся со скоростью
света в вакууме) с волновым вектором f, определяемым компонен-
тами:
Если часть среды выше плоскости z = 0 убрать, но сохранить ее поле излучения, то состояние среды ниже плоскости z = 0 останется неиз-менным. Но то же состояние в нижнем полупространстве мы получим, послав из вакуума плоскую монохроматическую волну на среду, запол-няющую нижнее полупространство. Следовательно, падающая волна эквивалентна волне, излучаемой в нижнее полупространство вообра-жаемой средой, заполняющей верхнее полупространство. Пользуясь этим и результатом решения предыдущей задачи, получить формулы Френеля для отражения света.
695.    Расположенный в среде с показателем преломления п = уС колеблющийся точечный диполь (осциллятор) с дипольным моментом р дает поле излучения Е. Как будет излучать тот же диполь (т. е. диполь с тем же дипольным моментом р), если его поместить в узкую щель: 1) параллельно щели; 2) перпендикулярно к щели? Ширина щели мала по сравнению с длиной волны. Щель заполнена однородным веществом с диэлектрической проницаемостью г'.
Указание. Применить электродинамическую теорему взаимности 0. Ее можно сформулировать следующим образом. Пусть имеются два точечных диполя (осциллятора) с дипольными моментами Pi и р2- Пусть поле диполя 1 в точке нахождения диполя 2 равно Ei (2), а поле диполя 2 в точке нахождения диполя 1 равно Е2(/). Тогда по теореме взаимности piE2(/) = P2EI(2). Теорема взаимности применима к любым средам (как однородным, так и неоднородным), за исключением сред, в которых имеет место магнитное вращение плоскости поляризации (эффект Фарадея). (См. задачи 717 и 718.)
696.    Решить предыдущую задачу для цилиндрической полости, когда диполь р ориентирован: 1) параллельно оси полости; 2) перпендикулярно к оси. Радиус цилиндрической полости мал по сравнению с длиной волны.
697.    То же для сферической полости.
698.    Найти спектральное распределение света, излучаемого раз-реженным газом, находящимся в термодинамическом равновесии при температуре Т. Предположить, что атомы газа излучают лишь одну
1) Доказательство теоремы взаимности см., например, в книге Л. И. Ман-
дельштам. Полное собрание трудов. Т. III. С. 328. — М.: Изд-во АН СССР, 
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы
107
спектральную линию, частота которой равна щ в системе координат, связанной с атомом.
699.    Найти полуширину линии На, излучаемой водородом при тем-пературе 50 °С. Считать, что уширение линии вызвано лишь эффектом Доплера. Длина волны линии На А = 6563 А.
Примечание. Полушириной линии называется величина АЛ = = Ло — А1 у2» где Ло — длина волны, соответствующая центру линии, и А1/2 — длина волны, при которой I = У2Аз-
700.    Найти АЛ/Л, если источник движется со скоростью v в среде с показателем преломления п

 

 

Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 4) from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (23.07.2016)
Просмотров: | Теги: Стрелков, Сивухин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar