Тема №6504 Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 3) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

301.    Вычислить среднюю квадратичную скорость теплового движе-ния молекул: 1) водорода, 2) азота, 3) кислорода при 0°С.
302.    Масса крупной молекулы органического вещества m = 10“18 г. Найти полную среднюю кинетическую энергию К теплового движения такой молекулы, взвешенной в воздухе при температуре 27 °С. Найти также среднюю квадратичную скорость молекулы при этой температуре.
303.    Найти средний квадратичный импульс молекулы Н2 при тем-пературе 27 °С.
304.    Определить порядок величины максимальной скорости, с ко-торой артиллерийский снаряд может вылететь из ствола орудия. Каким должен быть порох, чтобы эта величина была возможно большей?
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
47
305.    Найти зависимость между средней квадратичной скоростью теплового движения молекулы газа vKB и скоростью звука в нем сзв.
306.    Импульс фотона связан с его энергией соотношением £ = рс. Написать выражение для давления Р фотонного газа.
307.    Показать на основании кинетической теории, что при квази- статическом передвижении поршня в цилиндре, наполненном идеальным одноатомным газом, давление и объем газа связаны соотношением
PV5/3 = const.
Стенки цилиндра и поршень теплонепроницаемы.
Указание. Рассмотреть удар молекулы о движущийся поршень и учесть, что скорость поршня гораздо меньше скоростей ударяющихся молекул.
308.    Решить предыдущую задачу для двухатомного газа. Показать, что в этом случае давление Р и объем V связаны соотношением
PV7/5 = const.
Указание. При решении воспользоваться теоремой о равномерном
распределении кинетической энергии по степеням свободы.
309.    Для применимости классического способа рассмотрения газа
необходимо, чтобы его температура Т была высока по сравнению с
так называемой температурой вырождения. Последняя определяется
выражением
h2 /Згг\2/3
2km \87ry
Те =
где п — число молекул в единице объема, m — масса молекулы, h — постоянная Планка, к — постоянная Больцмана 0. Вычислить температуру вырождения для: 1) гелия (ш = 6,6 х 10-24 г, п = 2, 7 • 1019 см-3), 2) электронного газа в серебре (т = 9, 11 • 10-22 г, п ^ 6 • 1022 см-3).
310.    Восемь граммов кислорода занимают объем V = 560 л. Определить давление этого газа в том же объеме при температуре: 1) Т = = 820 К, 2) Т = ЮкэВ, когда атомы кислорода полностью ионизованы.
311.    Найти отношение числа молекул водорода п\, скорости которых лежат в пределах от 3000 до 3010м/с, к числу молекул щ, имеющих скорости в пределах от 1500 до 1510 м/с, если температура водорода 300°С.
312.    Исходя из распределения Максвелла, найти средний квадрат ж-компоненты скорости молекул газа. Найти отсюда среднюю кинети-ческую энергию, приходящуюся на одну степень свободы поступательного движения молекулы газа.
О Условие Т >> Tg означает, что среднее расстояние между молекулами газа должно быть велико по сравнению с длиной волны де-Бройля молекул, движущихся с тепловыми скоростями.
 
48
Задачи
313.    Найти наиболее вероятную vm, среднюю v и среднюю квадра-
тичную vKB скорости молекул хлора при температуре 227 °С.
314.    При какой температуре средняя квадратичная скорость моле-
кул кислорода равна таковой же скорости молекул азота при темпера-
туре 100° С?
315.    Показать, что если за единицу скорости молекул газа принять
наиболее вероятную скорость, то число молекул, абсолютные значения
скоростей которых лежат между v и v + dv, не будет зависеть от
температуры газа.
316.    Как зависит от давления средняя скорость молекул идеального
одноатомного газа при адиабатическом сжатии или расширении?
317.    Написать выражение для среднего числа dN молекул газа,
кинетические энергии которых заключены между г и г + ds.
318.    Найти наивероятнейшее значение кинетической энергии £
поступательного движения молекул газа, т. е. такое значение гт, при
котором в фиксированный интервал энергии de в газе находится мак-
симальное число молекул.
319.    При каком значении температуры число молекул, находящих-
ся в пространстве скоростей в фиксированном интервале (v,v + dv),
максимально?
320.    Вычислить скорость щ/2 теплового движения молекулы газа,
определяемую условием, что половина молекул движется со скоростью,
меньшей, чем щ/2, а другая половина — со скоростью, большей,
чем v\/2.
321.    Найти среднее значение обратной величины скорости молеку-
лы в газе.
322.    Найти среднее число молекул, компоненты скорости которых,
параллельные некоторой оси, лежат в интервале (v\\,v\\ + dv\\), а абсо-
лютные значения перпендикулярной составляющей скорости заключе-
ны между v± и v± + dv±.
323.    В диоде электроны, эмиттируемые
накаленным катодом, попадают в задержива-
ющее поле анода. До анода доходят лишь
достаточно быстрые электроны. Считая, что
тепловые скорости эмиттируемых электронов
(вышедших из катода) распределены по за-
кону Максвелла с температурой Т = 1150 К,
определить долю электронов а, преодолеваю-
щих задерживающий потенциал: 1) V = 0, 2 В;
2) V = 0,4 В. Катодом является тонкая прямо-
линейная нить, натянутая по оси цилиндриче-
ского анода.
324.    На рис. 25 изображено горизонталь-
ное сечение прибора, использованного в из-
вестном опыте Штерна по определению скорости молекул и атомов.
Найти скорость атомов серебра, испаряющихся с центральной нити
 
Рис. 25
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
49
прибора, если при п = 50об/с на внешнем цилиндре смещение следа молекулярного пучка при вращающемся приборе по отношению к следу пучка в неподвижном приборе составило 5 = 4,8 мм. Сопоставить результаты расчета скорости атомов серебра из приведенных данных с расчетом той же скорости при помощи соотношения между средней квадратичной скоростью атомов и температурой газа. Температура нити в том опыте Штерна, для которого приведены указанные выше данные, была равна 1607 °С (1880 К), R = 10см.
325.    В опыте Штерна (рис. 25) на поверхности вращающегося цилиндра С конденсируются молекулы серебра с различными скоростями. Каким скоростям молекул, попадающих на пластинку DD', соответствует ее наибольшее почернение?
326.    Выразить число молекул z, ударяющихся о квадратный санти-метр стенки сосуда в одну секунду, через среднюю скорость движения газовых молекул, если функция распределения молекул по скоростям изотропна (т. е. зависит только от абсолютного значения скорости молекулы, но не от ее направления). Рассмотреть частный случай максвелловского распределения.
327.    Найти полную кинетическую энергию Е молекул одноатомного газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу времени. Задачу решить сначала в общем виде для изотропной функции распределения, а затем применить результат к частному случаю максвелловского распределения.
328.    В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ при тем-пературе Т, имеется очень маленькое отверстие, через которое молекулы вылетают в вакуум. Определить среднее значение г кинетической энергии вылетевшей молекулы в предположении, что за время опыта изменения числа молекул и температуры газа в сосуде пренебрежимо малы 0.
329.    В тонкостенном сосуде объема V, стенки которого поддержи-ваются при постоянной температуре, находится идеальный газ. Сосуд помещен в вакуум. Как будет меняться с течением времени концентрация молекул п газа внутри сосуда, если в его стенке сделать очень малое отверстие площади 5? Определить время t\/2, по истечении которого давление газа внутри сосуда уменьшится в два раза. Считать, что истечение газа происходит настолько медленно, что оно практически не нарушает равновесность состояния во всем сосуде, за исключением малой области вблизи отверстия. Температуру газа в сосуде считать постоянной и равной внешней температуре.
330.    Откачанный тонкостенный сосуд, стенки которого поддержи-ваются при постоянной температуре, погружен в атмосферу идеального газа с постоянной концентрацией молекул щ, поддерживаемого при той
1) В задачах 328-336 предполагается, что размеры отверстия и толщина стенок малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа.
 
50
Задачи
же температуре. Как будет меняться с течением времени концентрация молекул газа внутри сосуда, если в его стенке сделать очень малое отверстие?
331.    Через какое время давление воздуха в тонкостенном откачанном сосуде, в стенке которого имеется отверстие площадью S = = 10_6см2, возрастает от Р\ = 10_4мм рт. ст. до Р2 = 10_2мм рт. ст., если давление наружного воздуха Ро = 760 мм рт. ст., а температура 20°С? Объем сосуда V = 1 л. Через какое время давление в сосуде станет равным половине атмосферного давления?
332.    Сосуд разделен перегородкой на две равные части объемом V каждая. В одной части находится азот, а в другой кислород при одинаковых давлениях Р и температурах Т. Газы в сосуде сильно разрежены (средняя длина свободного пробега велика по сравнению с размерами сосуда). В момент t = 0 в перегородке открывается небольшое отверстие площади S. Найти давление в обеих частях сосуда в за-висимости от времени. Температуру газа во все время процесса считать неизменной. Результат выразить через средние скорости молекул азота и кислорода Та и Тк.
333.    Полностью эвакуированный герметический сосуд помещен в атмосферу, состоящую из смеси двух газов, молекулярные массы которых относятся как 1 :4, а отношение концентраций (т. е. чисел молекул в единице объема) равно а. Смесь газов вне сосуда поддерживается при постоянных давлении и температуре. В стенке сосуда оказалось малое отверстие, через которое оба газа стали очень медленно натекать в сосуд. Определить максимальное и минимальное значения отношения концентраций легкой и тяжелой компонент газовой смеси в сосуде и моменты времени, когда достигаются эти значения.
334.    Полностью эвакуированный тонкостенный герметический сосуд помещен в атмосферу кислорода, поддерживаемого при постоянной температуре и невысоком давлении Р. В стенке сосуда оказалось малое отверстие, через которое окружающий кислород стал натекать в сосуд. Через час давление газа в сосуде повысилось от нуля до Р/2. Какое давление было бы в том же сосуде через то же время, если бы после откачки сосуд был помещен в атмосферу водорода при тех же давлении и температуре?
335.    Тонкостенный сосуд объема V, наполненный идеальным газом, поддерживается при постоянной температуре Т. В стенке сосуда имеется маленькое отверстие площади S, через которое молекулы газа вылетают в вакуум. Какое количество тепла Q = Q(t) надо подводить к сосуду в единицу времени для поддержания в нем постоянной температуры?
336.    В тонкостенном сосуде, помещенном в вакууме, имеется очень малое отверстие, на которое извне направляется параллельный пучок одноатомных молекул, летящих с одной и той же скоростью VQ, пер-пендикулярной к площади отверстия. Концентрация молекул в пучке
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
51
равна щ. Найти среднюю скорость v, концентрацию молекул п и тем-пературу Т газа в сосуде в установившемся равновесном состоянии.
337.    Определить, какая часть молекул идеального газа, столкнув-шихся со стенкой сосуда за определенное время (например, за одну секунду), имеет кинетическую энергию, превосходящую е.
338.    Вольфрамовая нить, испаряясь в высокий вакуум при темпе-ратуре Т = 2000 К, уменьшается в массе, как показали измерения, со скоростью q = 1, 14 • 10“13 г/(с • см2). Вычислить давление насыщенного пара вольфрама при этой температуре.
339.    Какова была бы мгновенная скорость испарения воды с каждого квадратного сантиметра ее поверхности, если бы над этой поверхностью был вакуум, а температура воды в этот момент равнялась Т = 300 К? Табличное значение упругости насыщенного водяного пара при этой температуре Р = 27 мм рт. ст. Сравнить полученную величину с величиной скорости испарения воды при обычных условиях (т. е. когда над ее поверхностью находится воздух при нормальном давлении) и объяснить получившееся расхождение.
340.    Отношение молекулярных масс различных газов можно измерять по скорости эффузии их, т. е. по скорости истечения из сосуда с очень малым отверстием. Доказать, что время, в течение которого из сосуда вытекает определенный объем газа, пропорционально квадратному корню из молекулярной массы газа.
341.    Для определения числа Авогадро Перрен измерял распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что отношение а числа частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстояние I = ЗОмкм, равно 2,08. Плотности частиц р = = 1, 194г/см3, воды ро = 1 г/см3. Радиусы частиц г = 0,212мкм. На основании этих данных вычислить число Авогадро N. Температура воды t = 18 °С.
342.    Для определения относительных молекулярных масс колло-идальных частиц исследуют распределение их концентрации в поле центробежной силы, возникающей при вращении центрифуги. Найти относительную молекулярную массу р коллоидальных частиц, если известно, что отношение их концентраций в местах, расположенных от оси центрифуги на расстояниях г2 и щ, равно а. Плотности частиц р, растворителя — ро- Угловая скорость вращения центрифуги и.
343.    При термодинамическом равновесии температура газа, находя-щегося в поле тяжести, постоянна по высоте. С молекулярно-кинетической точки зрения кажется на первый взгляд, что температура газа должна убывать с высотой, так как летящая вверх молекула замедляется полем тяжести, а летящая вниз — ускоряется. Дать качественное молекулярно-кинетическое объяснение постоянства температуры газа по высоте.
344.    Теплоизолированный сосуд с идеальным газом подвешен на нити в поле тяжести. Из-за действия силы тяжести плотность газа внизу сосуда больше, чем наверху. Нить пережигают, и сосуд свободно
 
52
Задачи
падает. Предполагая, что во время падения успевает установиться термодинамическое равновесие, определить равновесную температуру газа, которая в нем установится при падении.
345.    Пользуясь формулой Больцмана, найти среднюю потенциальную энергию £Пот молекулы газа в земной атмосфере, считая последнюю изотермической (с температурой Т), а поле тяжести однородным. Вычислить теплоемкость газа С при этих условиях.
346.    Теплоизолированный герметический цилиндрический сосуд высоты Н, наполненный газом, подвешен в вертикальном положении в однородном поле тяжести. Температура газа в сосуде везде одинакова и равна Т. Найти среднюю потенциальную энергию молекулы газа £пот.
347.    В цилиндре предыдущей задачи помещен моль идеального газа с относительной молекулярной массой /х. Найти теплоемкость этого газа, учитывая влияние поля тяжести и предполагая, что ligH <С <С RT.
348.    Цилиндр радиуса R и длины Н, наполненный химически однородным газом, равномерно вращается в однородном поле тяжести вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью и. Найти рас-пределение концентрации молекул газа внутри цилиндра, если его ось направлена вертикально.
349.    Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в поле силы тяжести, отражаясь от пола по законам упругого удара. Найти связь между его средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергий. Результат использовать для установления связи между средними значениями кинетической и потенциальной энергий молекулы воздуха в поле земного тяготения. Пользуясь этим результатом, получить формулу для разности молярных теплоемкостей Ср — Су, а также дать новое решение задачи 345.
350.    Доказать, что гравитационное поле планеты не может удер-живать неограниченно долго планетную атмосферу. Последняя должна рассеяться в окружающее пространство.
351.    Скорость рассеяния планетной атмосферы в мировое простран-ство можно характеризовать временем рассеяния атмосферы т. Так называют время, по истечении которого число частиц в атмосфере убывает в е раз. Оценить время рассеяния планетной атмосферы т, предполагая, что атмосфера изотермическая и состоит из одинаковых частиц. Атмосферу считать бесконечно разреженной. В этих условиях взаимными столкновениями молекул можно пренебречь — максвелловское распределение скоростей устанавливается в результате столкновений молекул с поверхностью планеты. Молекулы выбывают из атмосферы и улетают в межпланетное пространство, если в результате столкновений с поверхностью планеты они получают скорости, превышающие вторую космическую скорость. (В проблеме рассеяния планетных атмосфер вторая космическая скорость называется скоростью убегания ууь.) Найти время т для атомарного и молекулярного
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
53
водорода земной атмосферы, предполагая, что температура последней
т = зоок.    _
352.    Найти значение средней энергии Е, приходящейся, согласно классической кинетической теории газов, на одну степень свободы вращательного движения молекулы газа при t = 27 °С. Найти значение средней квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при этих условиях. Момент инерции молекулы кислорода вокруг оси, перпенди-кулярной к оси симметрии молекулы, 1± = 19,2 • 10_4°г-см2.
353.    Найти суммарную кинетическую энергию К теплового движения всех молекул кислорода О2, занимающих объем V = 5,5 л при давлении Р = 2атм. Считать, что температура газа настолько низка, что колебания атомов в молекулах еще не возбуждены, а вращения возбуждены полностью.
354.    Какова будет средняя кинетическая энергия вращательного движения молекулы водорода, если первоначально он находился при нормальных условиях, а затем был адиабатически сжат в 32 раза?
355.    Смесь равных (по массе) количеств водорода и гелия при 0°С помещена в цилиндрический сосуд объемом V = 1 м3, закрытый сверху движущимся без трения невесомым поршнем. Атмосферное давление Р = 740 мм рт. ст. Какое количество тепла по классической теории потребуется для нагревания смеси до 200 °С?
356.    Подсчитать по классической теории удельную теплоемкость при постоянном давлении газа следующего молярного состава:
Не - 20%; Н2 - 30%; СН4 - 50%.
(Молярный состав указывает отношение количества молей данного газа к общему количеству молей всей смеси газов.)
357.    Вычислить по классической теории количество тепла Q, необ-ходимое для нагревания воздуха от температуры Т\ = 273 К до темпе-ратуры Т2 = 298 К при постоянном объеме V\ = 30 м3, если первоначально он находился при нормальном атмосферном давлении Р\.
358.    Вычислить по классической теории количество тепла Q, необ-ходимое для нагревания воздуха от температуры Т\ = 273 К до темпе-ратуры Т2 = 303 К при постоянном давлении, если первоначально он находился при нормальном атмосферном давлении Р\ и занимал объем Vi = 50 м3.
359.    Вычислить по классической теории количество тепла Q, которое надо подвести к молю двухатомного идеального газа при его изобарическом обратимом нагревании, если в процессе нагрева газ совершил внешнюю работу А = 20 Дж.
360.    Вычислить по классической теории количество тепла Q, которое надо подвести, чтобы квазистатически повысить температуру в комнате от Т\ = 290 К до Т2 = 294 К. (Из-за наличия щелей и пор в стенах комнаты давление воздуха в ней в каждый момент равно внешнему давлению Р = 1 атм.) Объем комнаты V = 30м3.
 
54
Задачи
361.    Удельные теплоемкости кобальта и золота соответственно с\ = = 0, 104 кал/(г • °С) и С2 = 0,0312 кал/(г • °С). Определить их атомные теплоемкости С\ и С2.
362.    Определить молярную теплоемкость при постоянном объеме твердых соединений типа XV и XV2, считая справедливой классическую статистику.
363.    Определить удельную теплоемкость при постоянном объеме кислорода, нагретого до очень высокой температуры (порядка нескольких килоэлектронвольт).
364.    При взрыве атомной (урановой) бомбы в ее центре достигаются температуры порядка Т ЮкэВ. Принимая ориентировочно плотность урана в центре бомбы равной р = 20 г/см3, найти давление внутри бомбы при этой температуре. Сравнить это давление с давлением в центре Земли, вычисленным в предположении, что плотность Земли постоянна и равна рз = 5, 5 г/см3. Давление светового излучения не учитывать.
365.    По одной из старых теорий (Гельмгольц, 1854 г.; лорд Кельвин, 1861 г.) солнечное излучение поддерживается за счет тепла, образу-ющегося при сжатии Солнца. Предполагая, что Солнце представляет собой однородный шар, плотность вещества которого на любых рассто-яниях от центра одна и та же, подсчитать, какое количество тепла Q образуется, если радиус Солнца уменьшится от R\ до R2. На сколько лет хватит выделившегося тепла, если предположить, что интенсивность солнечного излучения постоянна во времени и если радиус Солнца уменьшится на 1/10 своей первоначальной величины (R2 = 0, 9R\)? Масса Солнца М = 2 • 1033 г, средний радиус R\ = 6,95 • Ю10см, гравитационная постоянная G = 6, 67 • 10-8 дин • см2/г2, солнечная постоянная А = 1,39 • 106 эрг/(с •см2), среднее расстояние Земли от Солнца 1,5- 1013см. Оценить также, насколько повысилась бы температура Солнца, если бы сжатие произошло внезапно. Теплоемкость солнечного вещества можно грубо оценить, предполагая, что Солнце целиком состоит из водорода. (Это дает завышенное значение для теплоемкости. По современным данным масса Солнца состоит приблизительно на 70- 80% из водорода.)
366.    Определить постоянную адиабаты для газовой смеси, содержа-щей v\ молей водорода и v2 молей гелия. Рассмотреть частный случай, когда смесь содержит одинаковые (по массе) количества этих газов.
367.    Найти выражение для скорости звука в смеси щ,    •••
молей различных идеальных газов при температуре Т.
368.    Вычислить скорость звука в кислороде при температуре Т = = 1 кэВ.
369.    Найти значения средней колебательной энергии теплового движения для двух различных атомных осцилляторов при температуре 27 °С. Частота колебаний одного осциллятора щ = 1013 с-1, а другого V2 = Ю14 с-1. Сравнить найденные значения этих энергий со значением средней энергии Екл, приходящейся на одну степень свободы коле
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
55
бательного движения, согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы.
370.    Найти характеристические температуры для колебаний атомов в молекулах Н2, О2 и НС1, если частоты колебаний атомов в этих молекулах равны соответственно ищ = 12, 7 • 1013 с-1, VQ2 = 4, 7 • 1013 с-1, Ига = 8,75- 1013с-1. Характеристической температурой в в теории теплоемкости принято называть ту минимальную температуру, при которой АЕ = кв, где АЕ — минимальная энергия возбуждения системы и к — постоянная Больцмана.
371.    Найти молярную колебательную теплоемкость Су кислорода при температуре 27 °С, если частота валентных колебаний молекулы О2 равна v = 4, 7 • 1013с-1. (См. предыдущую задачу.)
372.    Найти характеристическую температуру для вращения молекул Н2 и О2, если моменты инерции этих молекул имеют значения соответственно 1р2 = 0,47 • Ю-40 г • см2 и IQ2 = 19,2 • 10-4° г • см2. (Ср. с задачей 370.)
373.    Показать, что при достаточно высокой температуре атомная теплоемкость твердого тела должна быть равна Су = 3R «
6    кал/(моль • °С).
374.    По классической теории молярная теплоемость водорода С = = 5/2R. Какие отклонения от этого значения нужно ожидать при достаточно низких температурах?
375.    Вычислить среднюю энергию Е моля одноатомного газа, со-стоящего из молекул, имеющих два дискретных уровня энергии: £\ и > £\. Показать, что при очень низких температурах теплоемкость такого газа равна 3/2Д. Вращением молекул пренебречь. Для упрощения записи формул принять £\ = 0, £2 = £•
376.    Вычислить по квантовой теории молярные теплоемкости Су и Ср углекислого газа СО2 при 0°С. Молекула СО2 является линейной (О-С-О), т. е. три атома, из которых она состоит (точнее, их положения равновесия), расположены на одной прямой. Момент инерции молекулы 1 = 7, 2 • 10-39г-см2. Частоты нормальных колебаний молекулы по спектроскопическим данным: й\ = щ = 667,3см-1, щ = 1388,3 см-1, щ = 2349,3 см-1. Частотам й\ и щ соответствуют поперечные колебания, совершающиеся во взаимно перпендикулярных плоскостях; частоте щ — продольные колебания, в которых атомы кислорода колеблются синфазно; частоте 7ц — также продольные колебания, но в них атомы кислорода колеблются в противоположных фазах (рис. 26).
Примечание. Под v здесь понимается так называемая спектро-скопическая частота, т. е. v = 1 /А, где Л — длина волны. Величина v связана с обычной частотой v соотношением v = ей, где с — скорость света.
377.    Используя решения задач 369-376 и результаты измерения теплоемкости Н2, О2 и СО2 при нормальных условиях, построить
 
56
Задачи
приблизительный график зависимости от температуры молярной теп-лоемкости Су для этих газов.
 
О    • -    -"““О v3
О-*"    •    10
Рис. 26
378.    Согласно теории теплоемкостей Дебая свободная энергия твер-дого тела при низких температурах выражается формулой
Ф = и0 - АТ\
где Щ — внутренняя энергия тела при абсолютном нуле (нулевая энергия), а А — положительный коэффициент, зависящий только от объема V. Пользуясь этой формулой, показать, что при низких температурах отношение коэффициента объемного расширения тела а к теплоемкости Су не зависит от температуры (закон Грюнейзена).
379.    Зеркальце висит на кварцевой нити, модуль кручения которой равен D, и освещается таким образом, что его повороты, вызванные ударами окружающих молекул газа, можно регистрировать на шкале. Положению покоя соответствует угол поворота (р = 0. Как изменяется средний квадрат угловой скорости ф2 и средний квадрат углового от-клонения (р2, если момент инерции зеркальца, длину нити и ее диаметр увеличить соответственно в а, /3, у раз? Какое значение получится для числа Авогадро N из измерений при температуре Т = 287 К, если D = 9, 43 • 10_9дин-см, ip2 = 4, 18 • 10_6? (Данные взяты из опытов Герлаха и Капплера.)
380.    Рассматривая зеркальце, подвешенное на кварцевой нити (см. предыдущую задачу), как гармонический осциллятор с незатухающими колебаниями, найти ip2 и ф2 в квантовом случае. Написать условие применимости классических выражений. Найти квантовые поправки, используя данные предыдущей задачи. Для момента инерции зеркальца взять I « 0,01 г • см2.
381.    Пусть fug — произвольные физические величины, флукту-ирующие вокруг своих средних значений / и g7, так что / = / + А/, g = ~g + Ag. Найти среднее значение произведения fg.
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
57
382.    Выразить средний квадрат флуктуации А/2 = (/ — /)2 произ-вольной физической величины / через /2 и / .
383.    Величины fug называются статистически независимыми, если Af Ag = 0. Показать, что для статистически независимых вели- чин fg = fg.
384.    Пусть F — какая-либо аддитивная физическая величина, ха-рактеризующая систему N молекул идеального газа, так что F = ^2 /ь где величины Д характеризуют г-ю молекулу того же газа. Выразить средний квадрат флуктуации величины F через средний квадрат флуктуации величины /, а также найти относительную флуктуацию той же величины.
385.    В закрытом сосуде объема V в отсутствие силовых полей нахо-дятся N молекул идеального газа. Определить среднее число молекул и его флуктуации в объеме v, являющемся малой частью объема V.
386.    Газообразный водород при температуре Т = 300 К и давлении Р = 10_6атм вытекает в вакуум из тонкостенного сосуда через отверстие с площадью S = 0, 1 мм2. Через определенные промежутки времени на опыте измеряется полный поток атомов через отверстие за интервал времени t = 10_3 с. Предполагая, что давление водорода в сосуде остается постоянным, найти относительную флуктуацию этого потока.
387.    В кубическом сосуде емкостью V = 1 л при комнатной темпе-ратуре находится N молекул водорода. Найти вероятность Р того, что эти молекулы соберутся в одной половине сосуда. Оценить величину N, при которой такое событие можно ожидать один раз на протяжении эпохи порядка возраста наблюдаемой части Вселенной (Т ~ Ю10 лет).
388.    Определить величину объема V в идеальном газе, в котором средняя квадратичная флуктуация числа частиц составляет а = 10_6 от среднего числа частиц в том же объеме. Определить также среднее число частиц в таком объеме п. Газ находится при стандартных условиях.
389.    Сосуд с N молекулами идеального газа разделен перегородкой на две части с объемами V\ и V^. Найти вероятность того, что в первой части будет содержаться N\, а во второй N2 молекул.
390.    Убедиться, что выражение (389.1) удовлетворяет условию нор-мировки J2PNIN2 = С где суммирование производится по всем числам N1 и ЛГ2, удовлетворяющим условию N\ + N2 = N. (Для определенности вероятность Р мы снабдили индексами N\ и N2, смысл которых не нуждается в пояснении.)
391.    Два одинаковых сосуда, в которых находится по молю одного и того же идеального газа при одинаковых условиях, сообщаются между собой через отверстие. Какое число молекул п должно перейти из одного сосуда в другой, чтобы возникшее состояние стало в а = е раз менее вероятным, чем исходное?
 
58
Задачи
392.    Решить предыдущую задачу, используя формулу Больцмана S = кЫР и термодинамическое выражение для энтропии идеального газа. Сравнить результат с предыдущим решением и объяснить расхождение.
393. Получить результаты (385.1) и (385.2) с помощью формулы (389.1).
394.    Определить асимптотическое выражение, в которое переходит формула (393.1), когда N —>> оо при фиксированных пип. Такое выражение определяет вероятность того, что число молекул в объеме v равно п при условии, что объем v окружен однородным газом, простирающимся бесконечно во всех направлениях.
395.    Преобразовать выражение (394.1) с помощью асимптотической формулы Стирлинга
396.    Если п велико, то вероятность (395.2) имеет очень резкий максимум при п п. Этим можно воспользоваться для упрощения формулы (395.2), разлагая 1пРп в ряд Тейлора по степеням (п — — п) и обрывая это разложение на члене второй степени. Получить выражение для вероятности Рп в этом приближении.
397.    Получить распределение Гаусса (396.1) из формулы Больцмана S = кЫР, используя термодинамическое выражение для энтропии идеального газа.
398.    Тепловые флуктуации малого объема, заполненного жидкостью или газом и окруженного средой, температура Т которой поддерживается постоянной, можно рассчитать следующим образом. Предположим, что рассматриваемая часть жидкости или газа заключена в цилиндр, стенки которого идеально проводят тепло. Одна из стенок — поршень — может свободно без трения перемещаться в цилиндре. К движению поршня можно применить теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и таким образом найти искомую флуктуацию. Провести этот расчет.
399.    Найти среднюю квадратичную относительную флуктуацию объема капельки ртути радиуса г = 0,01 мм в воздухе при температуре Т = 300 К. Изотермическая сжимаемость ртути 'ут = 3,9 • 10-6атм-1.
400.    Найти выражение для флуктуации плотности жидкости или газа, возникающей из-за теплового движения в малом объеме V, мысленно выделенном в рассматриваемой среде.
401.    Вычислить флуктуацию кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа.
402.    Малая макроскопическая часть системы (подсистема) является частью большой замкнутой системы. Флуктуации энергии и энтальпии такой подсистемы в принципе можно вычислить так же, как это было сделано для молекулы идеального газа (см. предыдущую задачу). Только вместо максвелловского распределения надо пользоваться его обобщением на макроскопические подсистемы (так называемым рас
 
(395.1)
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
59
пределением Гиббса). Таким путем можно показать, что флуктуации внутренней энергии и энтальпии подсистемы определяются выражениями
где Су и Ср — теплоемкости подсистемы, а индексы V и Р, как всегда, означают, что в первой формуле остается постоянным объем подсистемы V, а во второй — давление Р. Пользуясь этими выражениями,
найти для подсистемы (AT2)V,(AS2)V, (AS2)P, (АР2)Т и (AP2)s.
403.    Для упрощения вычислений средней длины свободного пробега Л молекулы газа можно предположить, что все молекулы находятся в покое, за исключением рассматриваемой молекулы, скорость которой принимается равной средней скорости теплового движения v. Пользуясь этим упрощением, вычислить Л, а также среднее число столкновений z, испытываемое молекулой в единицу времени. Молекулы считать твердыми шариками диаметра d.
404.    Клаузиус усовершенствовал модель предыдущей задачи, считая при вычислении z и Л, что все молекулы газа имеют одинаковые по абсолютной величине скорости, равные v и распределенные в про-странстве изотропно. Вычислить z и Л в этом предположении.
405.    Используя формулы (403.1) и понятие приведенной массы, получить точные выражения для z и X с учетом максвелловского распределения скоростей.
406.    Для водорода при атмосферном давлении длина свободного пробега Л = 1,28 • 10_5см. Найти газокинетический диаметр молекулы водорода d.
407.    Сколько столкновений z за 1 с испытывает молекула неона при температуре 600 К и давлении 1 мм рт. ст., если газокинетический диаметр молекулы неона равен d = 2,04 • 10-8 см?
408.    Сколько столкновений z испытывает в среднем молекула СО2 за одну секунду при нормальном давлении и температуре? Газокинетический диаметр молекулы СО2 d = 10_7см.
409.    Сколько столкновений v происходит ежесекундно в 1 см3 между молекулами кислорода, находящегося при нормальных условиях? Газокинетический диаметр молекулы кислорода d = 3, 1 • 10_8см.
410.    Идеальный газ нагревают при постоянном давлении. Как из-меняются длина свободного пробега Л и число z столкновений его молекул в одну секунду с изменением температуры?
411.    Идеальный газ сжимают изотермически. Найти зависимость Л и z от давления.
412.    Идеальный газ сжимают адиабатически. Найти зависимость Л и z от давления.
(AU2)v = kT2Cv,
(Ай)р = kT2CP,
(402.1)
(402.2)
 
60
Задачи
413.    Найти молярную теплоемкость процесса, совершаемого иде-альным газом, при котором число столкновений между молекулами газа в единице объема в единицу времени остается неизменным.
414.    Найти молярную теплоемкость процесса, совершаемого иде-альным газом, при котором число столкновений между молекулами во всем объеме газа в единицу времени остается неизменным.
415.    Вязкость азота при температуре 0°С rj = 16,8- 10-5динх х с/см2. Найти значение средней длины свободного пробега Л молекул азота при этих условиях.
416.    Вязкость аргона (относительная атомная масса А = 40) при 0°С г/ = 21 • 10-5 дин • с/см2. Вычислить следующие величины для аргона при нормальной температуре и давлении: 1) среднюю скорость теплового движения атомов, 2) среднюю длину свободного пробега атома, 3) среднее число v столкновений атомов в 1 см3 в 1 с, 4) газокинетическое эффективное сечение атома а, 5) газокинетический радиус атома аргона г.
417.    Найти среднюю длину свободного пробега Л молекулы кисло-рода при нормальном давлении, если коэффициент диффузии кислорода при том же давлении и температуре 0°С равен D = 0, 19см2/с.
418.    Определить расход массы газа Q при стационарном изотерми-ческом пуазейлевом течении его вдоль цилиндрической трубы длины I и радиуса г, на концах которой поддерживаются давления Р\ и Р2 (Pi > Р2).
419.    Для определения вязкости г/ углекислого газа им наполнили колбу с объемом V = 1л при давлении Р\ = 1600 мм рт. ст. Затем открыли кран, позволяющий СО2 вытекать из сосуда через капилляр длиною I = 10 см и диаметром D = 0, 1 мм. Через время т = 22 мин давление в колбе понизилось до Р3 = 1350 мм рт. ст. Вычислить из этих данных вязкость и газокинетический диаметр d молекулы СО2. Наружное атмосферное давление Р2 = 735 мм рт. ст. Процесс можно считать изотермическим, происходящим при 15 °С.
420.    Для измерения теплопроводности азота им наполнили про-странство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых г\ = 0, 5 см и Г2 = 2 см. Внутренний цилиндр равномерно нагревался спиралью, по которой проходил ток силой г = 0, 1 А. Сопро-тивление спирали, приходящейся на единицу длины цилиндра, равно R = 0, 1 Ом. Внешний цилиндр поддерживался при температуре £2 = = 0°С. При установившемся процессе оказалось, что температура внутреннего цилиндра равна t\ = 93 °С. Найти газокинетический диаметр d молекулы азота. Давление газа в таких опытах берется малым (порядка десятков миллиметров), и поэтому конвекцией можно пренебречь.
421.    Считая, что газокинетическое поперечное сечение не зависит от температуры, определить зависимость теплопроводности газа от тем-пературы. Пользуясь полученной зависимостью, найти стационарное распределение температуры в плоскопараллельном слое газа толщины I, на границах которого поддерживаются постоянные температу
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
61
ры Т\ и Т2. Нагревание производится таким образом, что конвекция не возникает. Найти также стационарное распределение температуры для сферического и цилиндрического слоев. (Ср. с задачами 263 и 264.)
422.    Найти верхний предел давления Р водорода в сосуде объемом V = 1 л, при котором длина свободного пробега молекулы больше размеров сосуда. Газокинетический диаметр водорода d = 2, 2 • 10-8 см, а температура его Т = 300 К.
423.    Теплопроводность газа, как известно, не зависит от давления. Объяснить, зачем из пространства между двойными стенками сосуда Дьюара выкачивают воздух, создавая в этом пространстве возможно более высокий вакуум?
424.    Оценить массу М жидкого воздуха, испарившегося за время т = 1 час из плохо откачанного сосуда Дьюара, если давление воздуха (при комнатной температуре То = 293 К), оставшегося между стенками, равно Р = 10_3 мм рт. ст. Поверхность сосуда S = 600 см2, удельная теплота испарения жидкого воздуха q = 48,4кал/г, а его температура Т = 93 К. Зазор между стенками сосуда мал по сравнению с длиной свободного пробега.
Указание. Для упрощения считать, что молекулы воздуха, попе-ременно ударяясь о холодную и теплую стенки, каждый раз отражаются от них со средними кинетическими энергиями поступательного движения, соответствующими температурам стенок. Различием между средней и средней квадратичной скоростями молекул пренебречь, рассчитывая скорость молекул по формуле для средней квадратичной скорости.
425.    Течение ультраразреженного газа через трубу можно рассмат-ривать как процесс диффузии. Коэффициент диффузии определяется исключительно столкновениями молекул газа со стенками трубы. Столкновениями молекул между собой можно полностью пренебречь. Роль длины свободного пробега играет диаметр трубы 2г. Исходя из этих представлений, оценить число молекул N, ежесекундно проходящих через поперечное сечение цилиндрической трубы длины I, если на одном конце трубы концентрация молекул газа равна щ, а на другом — нулю. Течение считать изотермическим.
426.    Решить ту же задачу в предположении, что на одном конце трубы концентрация молекул равна щ, а на другом — п2. Результат сравнить с формулой (418.1).
427.    Два сосуда одинакового объема соединены трубками. Диаметр одной из трубок очень велик, а другой очень мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа, находящегося в сосуде. Первый сосуд поддерживается при постоянной температуре Т\ = 800 К, а второй — при постоянной температуре Т2 = 200 К. В каком направлении будет перетекать газ по узкой трубке, если перекрыть краном широкую трубку? Какая масса m газа перейдет при этом из одного сосуда в другой, если общая масса газа в обоих сосудах равна М?
 
62
Задачи
428.    Стеклянный сосуд с толщиной стенок I = 5 мм и объемом V = 1 л наполнен азотом и окружен вакуумом. В стенке сосуда образовался узкий цилиндрический канал радиуса а = 0, 1 мм. Начальное давление газа в сосуде настолько мало, что радиус канала пренебрежимо мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Как меняется во времени концентрация молекул газа в сосуде? Определить время т, по истечении которого давление газа в сосуде уменьшится в е раз, если температура поддерживается постоянной и равна Т = = 300 К.
429.    Полностью эвакуированный стеклянный сосуд с толщиной стенок I = 3 мм и объемом V = 1 л погружен в атмосферу углекислого газа (СО2). В стенке сосуда образовался узкий цилиндрический канал диаметра D = 0, 1 мм. Давление окружающего газа настолько мало, что диаметр канала пренебрежимо мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Как меняется во времени концентрация молекул газа в сосуде? Определить время т, по истечении которого давление газа в сосуде будет составлять (е — 1)/е = 0,628 от давления окружающего газа при условии, что температура поддерживается постоянной и равна Т = 300 К.
430.    Сосуды с объемами V\ и V2 соединены между собой цилин-дрическим капилляром радиуса а и длины I, по которому происходит изотермическое кнудсеновское перетекание газа из одного сосуда в другой. Как будут меняться во времени концентрации молекул газа в сосудах щ и П2, если их начальные значения были равны п\о и П20?
431.    Изотермическая эффузия газа через пористую перегородку (поры которой малы по сравнению с длиной свободного пробега) используется для разделения изотопов. Естественная смесь изотопов помещается в сосуд с пористыми стенками. Газ, прошедший через поры сосуда в результате эффузии, откачивается и собирается в специальном резервуаре. С ним производится второй цикл эффузии, затем третий и т. д., пока не будет достигнута требуемая степень разделения изотопов. Сколько циклов эффузии необходимо произвести, чтобы отношение концентраций частиц легкого и тяжелого изотопов увеличить в 10 раз, если относительные молекулярные массы их равны соответственно Ц1 и /х2?
432.    Оценить по порядку величины установившуюся скорость, с которой будет двигаться в сильно разреженном воздухе плоский диск, одна из сторон которого нагрета до температуры Т\ = 310 К, а другая до температуры Т\ = 300 К. Температура воздуха Т = 300 К.
433.    Определить, на какой угол ср повернется диск, подвешенный на упругой нити, если под ним на расстоянии h — 1см вращается второй такой же диск с угловой скоростью и = 50 рад/с. Радиус дисков R = 10 см, модуль кручения нити / = 100 дин • см/рад, вязкость воздуха считать равной г/ = 1,8- 10-4 дин • с/см2. Краевыми эффектами пренебречь. Движение воздуха между дисками считать ламинарным.
 
§ 6. Кинетическая теория вещества
63
434.    Решить предыдущую задачу в предположении, что диски по-мещены в сильно разреженный воздух с давлением Р = 10-4 мм рт. ст., когда длина свободного пробега молекул воздуха велика по сравнению с расстоянием между дисками. Для упрощения расчета считать, что все молекулы движутся с одинаковыми по абсолютному значению скоростями, равными средней скорости молекул воздуха v = 450 м/с.
435.    В жидкости находятся одинаковые броуновские частицы, кон-центрация которых зависит только от одной координаты х. Выравнивание концентрации частиц происходит вследствие диффузии. Выразить коэффициент диффузии броуновских частиц D через средний квадрат смещения частицы в направлении оси X за время т.
436.    Подвижностью В броуновской (или какой-либо другой) частицы называется коэффициент пропорциональности между скоростью и установившегося движения ее под действием постоянной силы / и величиной самой силы:
u = Bf.
Взвесь одинаковых броуновских частиц в жидкости находится в поле силы тяжести. Написать выражение для суммарного потока частиц вследствие диффузии и действия силы тяжести. В стационарном состоянии суммарный поток должен равняться нулю. В то же время стационарное распределение броуновских частиц по высоте дается формулой Больцмана (барометрической формулой). Исходя из этих соображений, установить связь между подвижностью частицы и коэффициентом диф-фузии.
437.    Используя результаты решения двух предыдущих задач, найти связь между средним квадратом смещения броуновской частицы за время г в каком-либо определенном направлении Ах2 с подвижностью этой частицы. Какой вид принимает эта связь для шарообразной частицы радиуса а? (По формуле Стокса В = 1 /(бтгтуа), где р — вязкость жидкости.)
438.    Определить среднее квадратичное горизонтальное перемещение зерен гуммигута в воде при температуре 20 °С за 1 мин, если известно, что радиус их а = 0, 5 мкм, а вязкость воды р = 0,01 дин • с/см2.
439.    Согласно Эйнштейну и Смолуховскому, число Авогадро N можно определить, наблюдая броуновское движение зерен гуммигута и измеряя среднее квадратичное перемещение их в некотором фикси-рованном направлении. Чему равно это число, если среднее квадратичное перемещение за 5 мин зерен гуммигута радиуса а = 0, 385 мкм в глицерине при температуре 20°С равно 1,5 мкм? Вязкость глицерина р = 1,49 дин • с/см2.
440.    При обработке экспериментальных данных, относящихся к броуновскому движению, удобнее и проще вычислять не Ах2, а |Дж|. Предполагая, что распределение смещений Ах подчиняется закону ошибок Гаусса, найти выражение для среднего смещения броуновской частицы \Ах\ за время т.
 
64
Задачи
441.    Капелька масла массы т = 10—10 г падает в воздухе с высоты h = 1м, совершая при этом броуновское движение. Предполагая, что к ее падению применима формула Стокса, найти средний квадрат г2 отклонения капельки от ожидаемой точки падения, если температура воздуха Т = 300 К. Проверить, выполняются ли условия применимости формулы Стокса, если плотность масла р = 0,9 г/см3, а вязкость воздуха г/ = 1,8- 1СГ4 дин • с/см2.
442.    При измерении заряда электрона по методу Милликена на-блюдается броуновское движение масляных капель. Наблюдая это движение, можно найти не только заряд электрона, но и число Аво- гадро. Пусть v\ — скорость установившегося падения капли в поле тяжести при отсутствии электрического поля. Пусть в электрическом поле напряженности Е капля поднимается вверх с установившейся скоростью V2. Из этих наблюдений, как известно, можно вычислить заряд капли е. Пусть (Аж)2 — средний квадрат смещения частицы за время т в направлении (горизонтальной) оси X. Считая, что установившаяся скорость частицы пропорциональна приложенной силе, найти выражение для Ne, где N — число Авогадро.
443.    При наблюдении броуновского движения масляной капли в конденсаторе Милликена (см. предыдущую задачу) было найдено (Ах)2 = 1,05 • 10-5 см2, г = 10 с, vi +v2 = 0,0268 см/с, Т = 300 К. Напряжение на обкладках конденсатора V = 940 В, расстояние между пластинами конденсатора d = 0,7 см. Вычислить по этим данным число Авогадро. Измеренный на опыте заряд капли оказался равным заряду электрона е = 4, 8 • 10_1° СГСЭ.
444.    Космические лучи блуждают в Галактике, отклоняясь в меж-звездных магнитных полях. Этот процесс подобен диффузии. Найти время т, за которое частицы пройдут путь порядка размеров Галактики R « 5 • 1022 см, если эффективная длина свободного пробега I ^ 3 х х Ю20 см.
445.    Звук какой длины волны начинает сильно затухать при рас-пространении в одноатомном газе?
446.    Каково по порядку величины эффективное сечение для со-ударений электронов с ионами плазмы, нагретой до температуры Т? Имеются в виду соударения с передачей импульса, сопровождающиеся сильными отклонениями электронов.
447.    Используя результат решения предыдущей задачи, получить приближенное выражение для удельной электрической проводимости Л и удельного электрического сопротивления р водородной или дейтериевой плазмы, нагретой до абсолютной температуры Т. Как зависит удельная электрическая проводимость плазмы от ее плотности и температуры?
448.    При какой температуре Т удельная электрическая проводимость водородной или дейтериевой плазмы будет равна удельной электрической проводимости меди при комнатной температуре? Удельная
 
§ 7. Реальные газы
65
электрическая проводимость меди 5, 14 • 1017 с-1 = 5, 72 • Ю5Ом-1 х х см-1.
449.    Получить приближенное выражение для теплопроводности водородной или дейтериевой плазмы х, нагретой до абсолютной тем-пературы Т. Как зависит теплопроводность плазмы от ее плотности и температуры?
§ 7. Реальные газы
450.    Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа записывается в виде    /    N
(р+Ащ =    (450Л)
Записать это уравнение для газа, содержащего v молей.
451.    Найти выражения для давления, температуры и объема газа и установить связь между этими величинами в критической точке, предполагая, что вещество подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.
452.    Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных параметрах т. е. таких параметрах, когда за единицы приняты критическая темпе-ратура, критическое давление и критический объем моля газа.

Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 1) from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (23.07.2016)
Просмотров: | Теги: Сивухин, Стрелков | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar