Тема №6507 Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 6) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

151.    Найти конечную температуру Т\ и верхний предел скорости v стационарного потока перегретого пара, вытекающего через сопло в атмосферу из камеры, где он имел температуру Т\ = 600 К и находился под давлением Р\ = 5 атм, если давление наружного воздуха равно Р2 = 1 атм. Перегретый пар считать идеальным газом с молярной теплоемкостью Ср = AR.
152.    Допустим, что температура горения химического горючего для ракетных двигателей Т = 3000 К, средняя относительная молекулярная масса продуктов горения р = 30 и что истечение продуктов горения происходит в вакуум адиабатически. Найти, во сколько раз стартовая масса одноступенчатой ракеты Мо должна превышать ее конечную массу М, чтобы ракета могла достичь первой космической скорости v = 8 км/с. Молярную теплоемкость продуктов горения ориентировочно принять равной Ср = 8 кал/(моль • °С). При вычислении скорости ракеты силу тяжести и трение о воздух не учитывать.
153.    Тело (например, космический корабль) движется в идеальном газе со скоростью v. В какой точке тела температура газа будет макси-мальной? Определить эту температуру, если температура окружающего газа равна Т.
154.    Моль идеального газа с постоянной теплоемкостью Су заключен в цилиндр с адиабатическими стенками и поршнем, который может перемещаться в цилиндре без трения. Поршень находится под постоянным внешним давлением Ру В некоторый момент времени внешнее давление скачкообразно уменьшают или увеличивают до Р2. (Этого можно достигнуть, снимая часть груза с поршня или добавляя новый груз.) В результате газ адиабатически изменяет свой объем. Вычислить температуру и объем газа после того, как установится термодинамическое равновесие.
155.    В предыдущей задаче, после того как установилось состояние равновесия, давление газа снова меняют скачкообразно до пер-воначального значения Р\. Вычислить окончательную температуру Т3
 
26
Задачи
и окончательный объем газа V3, когда он опять придет в состояние термодинамического равновесия. Показать, что в результате обоих адиабатических процессов температура и объем газа всегда возрастают. Рассмотреть специально случай, когда изменение давления Р2 — — Р\ мало. Определить для этого случая порядок малости изменений температуры Т3 — Т\ и объема V$ — V\.
156.    Газ находится в цилиндре с поршнем, нагруженным песком. Стенки цилиндра и поршень — адиабатические. Снимая песчинку за песчинкой, производят адиабатическое расширение газа. Затем газ адиабатически сжимают, кладя обратно на поршень последовательно по одной песчинке. Пользуясь результатами решения предыдущей задачи, показать, что в предельном случае, когда масса песчинки исчезающе мала, а их число бесконечно велико, газ в обратном процессе пройдет через ту же последовательность равновесных состояний, что и в прямом процессе.
§4. Второе начало термодинамики
157.    Привести пример процесса, при котором вся теплота, заим-ствованная из теплового резервуара, превращается в работу.
158.    Показать непосредственным расчетом, что КПД цикла Карно, проведенного с газом, термически идеальным, но калорически не иде-альным, определяется выражением
где ©1 и ©2 — абсолютные температуры нагревателя и холодильника по шкале газового термометра, наполненного рассматриваемым идеальным газом. Показать, что если температуру © в тройной точке воды принять равной 273,16°С, то температурная шкала этого термометра будет совпадать с абсолютной термодинамической шкалой Кельвина.
Примечание. Газ называется термически идеальным, если он подчиняется уравнению Клапейрона. Термически идеальный газ назы-вается калорически не идеальным, если его теплоемкость не зависит от объема, но зависит от температуры.
159.    Каким путем теоретически эффективнее повысить КПД машины Карно: увеличивая температуру нагревателя Т\ на АТ при фиксированном значении температуры холодильника X2 или понижая температуру холодильника Т\ на такую же величину АТ при фиксированном значении температуры нагревателя Т\?
160.    Тепловая машина Карно, имеющая КПД г) = 40%, начинает использоваться при тех же тепловых резервуарах как холодильная ма-шина. Сколько тепла Q2 эта машина может перевести от холодильника к нагревателю за один цикл, если к ней за каждый цикл подводится работа А = ЮкДж?
 
§4. Второе начало термодинамики
27
161.    Один моль одноатомного идеального газа (7 = %) совершает в тепловой машине цикл Карно между тепловыми резервуарами с температурами t\ = 127 °С и £2 = 27 °С. Наименьший объем газа в ходе цикла V\ = 5 л, наибольший — V2 = 20 л. Какую работу А совершает эта машина за один цикл? Сколько тепла Q\ берет она от высокотем-пературного резервуара за один цикл? Сколько тепла Q2 поступает за цикл в низкотемпературный резервуар?
162.    Тепловая машина Карно используется в качестве холодильной машины для поддержания температуры некоторого резервуара при температуре £2 = —3°С. Температура окружающего воздуха t\ = 27 °С. Какая механическая работа требуется для выполнения одного цикла машины, если при этом от оболочки резервуара отводится Q2 = 900 кал тепла?
163.    Найти КПД цикла, состоящего из двух изотерм и двух изобар, предполагая, что рабочим веществом является идеальный газ.
164.    Найти КПД цикла, проводимого с идеальным газом и состоящего из двух изотерм с температурами Т\ и Т2 и двух изохор с объемами V\ и V2 (Т\ > Т2, V\ > V2).
165.    На рис. 8 изображена диаграмма обратимого цикла, выпол-няемого молем идеального газа в некоторой тепловой машине. Найти: работы Aik, выполняемые машиной на каждом этапе цикла; количества тепла Qik, получаемые газом на каждом этапе и КПД цикла, выразив его как функцию температур Т\, Т2, Т3. Процесс 31 — адиабатический.
 
 
Рис. 8    Рис. 9
166.    На рис. 9 изображена диаграмма обратимого цикла, выпол-няемого молем идеального газа в некоторой тепловой машине. Найти работы Aik, выполняемые машиной, и количества тепла Qik, получаемые газом на каждом этапе цикла. Найти КПД цикла, выразив его в функции Т\ и Т2. Процесс 31 — изотермический.
167.    Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего вещества совершает обратимый цикл, состоящий из изохоры 12, адиабаты 23 и изотермы 31 (рис. 10). Рассчитать количества тепла, получаемые рабочим веществом на каждом этапе цикла. Найти КПД
 
28
Задачи
машины как функцию максимальной Т\ и минимальной Т\ температур, достигаемых газом в этом цикле.
 
Рис. 10    Рис. 11
168.    Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего вещества совершает цикл, состоящий из изотермы 31 при температуре Т\, изобары 12 и изохоры 23 (рис. 11). Найти количества тепла, получаемые рабочим веществом на каждом этапе цикла. Найти также КПД этого цикла как функцию максимальной Т\ и минимальной Т\ температур рабочего вещества, участвующего в цикле.
169.    Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего вещества совершает обратимый цикл, состоящий из изобары 12, адиабаты 23 и изотермы 31 (рис. 12). Найти КПД машины как функцию максимальной Т\ и минимальной Т\ температур рабочего вещества, ис-пользуемого в этом цикле. Найти также количества тепла, получаемые рабочим веществом на каждом этапе цикла.
 
Рис. 12    Рис. 13
170.    Найти КПД обратимого цикла, изображенного на рис. 13, как функцию максимальной Т\ и минимальной X2 температур вещества в этом цикле. Цикл совершает машина с идеальным газом в качестве рабочего тела. Найти также количества тепла, получаемые рабочим веществом на каждом этапе цикла.
 
§4. Второе начало термодинамики
29
171.    Найти КПД обратимой тепловой машины с идеальным газом в качестве рабочего вещества. Машина совершает цикл, состоящий из адиабаты 12, изобары 23 и изохоры 31 (рис. 14). Выразить КПД цикла через максимальную Т\ и минимальную Хз температуры рабочего ве-щества.
 
Рис. 14
Рис. 15
172.    Найти КПД обратимого теплового цикла Отто, состоящего из адиабат 12, 34 и изохор 23, 41 (рис. 15), если в качестве рабочего тела используется идеальный газ. Выразить КПД цикла через температуры газа Т\ и в состояниях 1 и 2.
 
Рис. 16    Рис. 17
173.    Обратимый термодинамический цикл, выполняемый с молем идеального газа в качестве рабочего вещества, состоит из двух изотер-мических процессов 12, 34 и двух политропических процессов 23, 41 с теплоемкостью газа Со (рис. 16). Найти работы, совершаемые газом, и количества получаемого им тепла на всех этапах цикла. Найти КПД тепловой машины, работающей по этому циклу.
174.    Найти КПД цикла Клапейрона, состоящего из двух изотерм 12, 34 и двух изохор 23, 41 (рис. 17), с идеальным газом в качестве рабочего вещества.
 
30
Задачи
175.    Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и воспользовавшись теоремой Карно, доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость фи-зически однородного и изотропного тела удовлетворяют соотношениям:
С помощью этих соотношений и уравнения состояния для идеальных газов доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа зависят только от температуры, но не от объема, занимаемого данной массой газа.
176.    Энтальпией или тепловой функцией физически однородного и изотропного вещества называется функция состояния, определяемая выражением I = U + PV. Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и применив к нему теорему Карно, показать, что энтальпия I и теплоемкость Ср удовлетворяют соотношениям:
177.    Исходя из второго начала термодинамики, показать, что внут-ренняя энергия данной массы идеального газа не зависит от его объема, а является функцией только температуры (закон Джоуля).
178.    Исходя из второго начала термодинамики, показать, что эн-тальпия данной массы идеального газа не зависит от его давления, а является функцией только температуры.
179.    Найти общий вид уравнения состояния вещества, теплоемкость Су которого не зависит от объема, а зависит только от температуры.
180.    Найти общий вид уравнения состояния вещества, теплоемкость Ср которого не зависит от давления, а зависит только от температуры.
181.    При 25 °С объем одного моля воды (в см3) для давлений от О до 1000 атм определяется уравнением
у = а + ЪР + сР2,
причем в том же интервале давлений
= 1,4- 10_6. Определить работу А, необходимую для сжатия моля
воды от 0 до 1000 атм при 25 °С, и найти приращение ее внутренней
энергии AU.
182.    Известно уравнение состояния физически однородного и изо-
тропного вещества. Найти разность теплоемкостей Ср — Су для этого
вещества.
Указание. Воспользоваться формулой (136.1).
 
 
(176.1)
 
где а = 18,066, b = -7, 15 • 10~4, с = 4,6 • 10~8, а = 4, 5 • 10~3, (3
 
§4. Второе начало термодинамики
31
183.    Выразить разность удельных теплоемкостей ср — cv физически однородного и изотропного вещества через температурный коэффици-
1 (dV\
ент расширения а = —    ——    , изотермический модуль всестороннего
VQ V дТ ) р
сжатия К = — V ( —— ) и плотность вещества р.
\dV )т
184.    Найти разность удельных теплоемкостей ср — cv для воды и ртути при t = 0°С (Т = 273, 15 К). Для воды а = = -6,10 • 10-5К-1, К — 2 • 109Н/м2, р = 103кг/м3. Для ртути Ср = 140Дж/(кг• К), а = 1,81 • КИК"1, К = 2,6 • Ю10Н/м2, р = = 13,6 • 103 кг/м3. В чем причина малой разности ср — cv для воды?
185.    Причина различия между теплоемкостями ср и cv состоит в том, что при нагревании вещества при постоянном давлении требуется подводить тепло, идущее на 1) производство работы против внешнего давления Р и 2) приращение внутренней энергии тела при изменении его объема, тогда как для нагревания тела при постоянном объеме этого не требуется. Выяснить (на примере воды и ртути) относительную роль обоих этих факторов для жидкостей, а также твердых тел и газов.
186.    Как доказывается в термодинамике, необходимыми условиями стабильности физически однородного и изотропного вещества являют-
(§&<*
Используя их, показать, что для любого вещества Ср > 0, причем Ср > Су .
187.    Внешнее давление, действующее на воду, увеличивают, одно-временно подводя или отводя тепло таким образом, что объем воды остается неизменным. Нагреется или охладится вода, если начальная температура была: 1) ниже 4°С; 2) выше 4°С?
188.    Тепловая машина совершает круговой процесс, обмениваясь теплом с несколькими тепловыми резервуарами (нагревателями и холо-дильниками). Пользуясь неравенством Клаузиуса, показать, что КПД такой машины не может превосходить величину
Тмакс Тмин
где Тмакс — максимальная, а Тмин — минимальная температуры тепловых резервуаров, с которыми машина обменивается теплом.
189.    Какую максимальную работу можно получить из системы двух тел, нагретых до разных абсолютных температур Тщ и Т20 (Тщ > Т20), если эти тела используются в качестве нагревателя и холодильника в тепловой машине? Теплоемкости тел С\ и С2 считать не зависящими от температуры. Найти окончательную температуру Т, которую будут иметь тела, когда установится тепловое равновесие между ними.
190.    Рассмотреть предельный случай предыдущей задачи, когда теплоемкость холодильника С% бесконечно велика (нагретое тело, по
 
32
Задачи
груженное в бесконечную среду, температура которой Х20 поддержива-
ется постоянной).
191.    Рассмотреть другой предельный случай задачи 189, когда
бесконечно велика теплоемкость нагревателя С\ (холодное тело, погру-
женное в более теплую бесконечную среду, температура которой Тщ
поддерживается постоянной).
192.    Идея динамического отопления, высказанная В. Томсоном
(1852 г.), заключается в следующем. Топливо сжигается в топке теп-
лового двигателя, который приводит в действие холодильную машину.
Холодильная машина отнимает теплоту от природного резервуара во-
ды (например, от грунтовой воды) и отдает ее воде в отопительной
системе. Одновременно вода в отопительной системе служит холо-
дильником теплового двигателя. Определить теоретическое (без учета
потерь) количество тепла, которое получает отапливаемое помещение
от сжигания 1 кг каменного угля, приняв следующие условия: удельная
теплота сгорания угля q = 8000 ккал/кг, температура в котле паровой
машины t\ =210 °С; температура воды в отопительной системе £2 =
= 60 °С; температура грунтовой воды £3 = 15 °С.
193.    Тепловой двигатель совершает круговой процесс, обмениваясь
теплом с нагревателем (температура Т\ = 500 К) и природным резерву-
аром воды (температура Т\ = 290К). Полученная работа используется
для приведения в действие холодильной машины, совершающей также
круговой процесс. Холодильная машина забирает тепло от охлаждаемо-
го резервуара (температура Х3 = 250 К) и передает тепло тому же при-
родному резервуару воды. Найти минимальную мощность потока тепла
от нагревателя Q\, если мощность тепла, отводимого от холодильника
для поддержания его температуры постоянной, равна Q3 = 100 Вт.
194.    Показать, что для любого вещества по-
литропа может пересекать изотерму не более чем
в одной точке.
195.    Показать, что для любого вещества адиа-
бата может пересекать изотерму не более чем
в одной точке.
196.    Цикл состоит из двух изохор и двух изо-
бар (рис. 18). Показать, что для любого вещества
с постоянными теплоемкостями Су и Ср темпе-
ратуры в точках 1, 2, 3, 4 связаны соотношением
Т1Т3 = Т2Т4.
197.    Цикл состоит из изобары 12, изохоры 23 и адиабаты 31 (рис. 19). Показать, что для любого вещества с постоянными теплоемкостями Су и Ср температуры в точках 1, 2, 3 связаны соотношением Т2/Тг = [Т2/Т{)\ где 7 = Cp/Cv.
198.    Определить работу цикла, совершаемого любым веществом и состоящего из изотермы 12, политропы 23 и адиабаты 31 (рис. 20). Известно, что теплоемкость тела на политропе 23 равна С, а температуры на изотерме 12 и в состоянии 3 равны соответственно Т\ и Т3.
Р 1
2
3
V
Рис. 18
 
§4. Второе начало термодинамики
33
199.    Цикл состоит из двух изотерм 12, 34 с температурами Т\ и Т\ и двух изохор 23, 41 (рис. 21). На изотерме с температурой Т\ получено тепло Q\. Определить работу цикла, если теплоемкость рабочего вещества Су зависит только от его температуры, но не зависит от объема.
 
Рис. 19    Рис. 20    Рис. 21
200.    Произвольная термодинамическая система квазистатически переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 двумя способами. В первом способе система адиабатически охлаждается до температуры То, затем изотермически получает тепло и, наконец, адиабатически переходит в состояние 2. Во втором способе переход осуществляется по произвольному пути, однако так, что на каждом участке этого пути система получает тепло, а ее температура остается выше То. Показать, что в первом способе для перевода системы из состояния 1 в состояние 2 требуется меньшая затрата тепла, чем во втором.

201.    Произвольная термодинамическая система квазистатически переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 двумя способами. В первом способе система сначала изотермически при температуре То переходит в какое-то промежуточное состояние, поглощая при этом тепло, а затем адиабатически охлаждается, переходя в состояние 2. Во втором случае переход осуществляется по произвольному пути, однако так, что на каждом участке этого пути система получает тепло, а ее температура остается ниже TQ. Показать, что в первом способе для перевода системы из состояния 1 в состояние 2 требуется большая затрата тепла, чем во втором.
202.    Показать, что разность энтропий системы в состояниях 2 и 1 (при условии, что S2 > Si) может быть определена как наименьшее количество тепла, которое требуется сообщить системе, чтобы квазистатически перевести ее из состояния 1 в состояние 2 и притом так, чтобы при переходе температура системы не опускалась ниже 1 К.
203.    Если во всех точках изотермы температурный коэффициент расширения равен нулю, то такая изотерма совпадает с адиабатой. Доказать.
204.    В цикле Карно в качестве холодильника выбрана вода при 4°С. Так как температурный коэффициент расширения при этой тем-
2 Под ред. Д. В. Сивухина
 
34
Задачи
пературе равен нулю, то для осуществления цикла Карно не надо сообщать тепло холодильнику (см. предыдущую задачу), т. е. КПД цикла равен единице. В чем ошибочность этого рассуждения?
205.    В качестве основных переменных, характеризующих состояние тела, можно принять его температуру и энтропию. Изобразить графически цикл Карно на диаграмме, откладывая по оси абсцисс энтропию, а по оси ординат температуру. Вычислить с помощью этого графика КПД цикла.
206.    Тепловые машины с произвольным веществом в качестве ра-бочего тела совершают обратимые термодинамические циклы, пред-ставленные на рисунках 22 и 23. Выразить КПД этих циклов через максимальную Т\ и минимальную Т\ температуры газа.
 
Рис. 22    Рис. 23
207.    Найти изменение энтропии AS вещества при нагревании, если его удельная теплоемкость с постоянна, а коэффициент объемного расширения равен нулю.
208.    Приводимые в тепловой контакт одинаковые массы вещества имеют разные температуры Т\ и Т^. Считая, что Ср = const, найти приращение энтропии в результате установления теплового равновесия при Р = const.
209.    Найти выражение для энтропии v молей идеального газа.
210.    Найти изменения энтропии моля идеального газа при изохо- рическом, изотермическом и изобарическом процессах.
211.    Найти увеличение энтропии AS идеального газа массы М, занимающего объем V\, при расширении его в пустоту до объема V2 (процесс Гей-Люссака).
212.    Вычислить изменения внутренней энергии и энтропии одного моля идеального газа при расширении по политропе PVn = const от объема V\ до объема V2. Рассмотреть частные случаи изотермического и адиабатического процессов.
213.    Вычислить изменения внутренней энергии и энтропии одного моля идеального одноатомного газа и количество поглощенного тепла при расширении газа по политропе PV3 = const от объема V\ = 1 л и давления Р\ = 20атм до объема V2 = Зл. Температура во время
 
§4. Второе начало термодинамики
35
процесса такова, что для молярной теплоемкости можно принять Су =
= 3/2Д.
214.    При некотором политропическом процессе давление и объем определенной массы кислорода меняются от Р\ = 4 атм и V\ = 1 л до Р2 = 1 атм и V2 = 2 л. Температура в начале процесса Т\ = 500 К. Какое количество тепла получил кислород от окружающей среды? Насколько изменились энтропия и внутренняя энергия газа?
215.    Найти изменение энтропии AS 5 г водорода, изотермически расширившегося от объема Юл до объема 25л.
216.    В двух сосудах одного и того же объема находятся различные идеальные газы. Масса газа в первом сосуде М\, во втором М2, давления газов и температуры их одинаковы. Сосуды соединили друг с другом, и начался процесс диффузии. Определить суммарное изменение AS энтропии рассматриваемой системы, если относительная молекулярная масса первого газа р\, а второго /^2•
217.    Два баллона с объемами V = 1 л каждый соединены трубкой с краном. В одном из них находится водород при давлении 1 атм и темпе-ратуре t\ = 20°С, в другом — гелий при давлении 3 атм и температуре £2 = 100°С. Найти изменение энтропии системы AS после открытия крана и достижения равновесного состояния. Стенки баллона и трубки обеспечивают полную теплоизоляцию газов от окружающей среды.
218.    Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен поршнем пренебрежимо малой массы на две равные части. По одну сторону поршня находится идеальный газ с массой М, относительной молекулярной массой р и молярными теплоемкостями Су и Ср, не зависящими от температуры, а по другую сторону поршня создан высокий вакуум. Начальные температура и давление газа То и То- Поршень отпускают, и он, свободно двигаясь, дает возможность газу заполнить весь объем цилиндра. После этого, постепенно увеличивая давление на поршень, медленно доводят объем газа до первоначальной величины. Найти изменения внутренней энергии и энтропии газа при таком процессе.
219.    Найти изменение энтропии AS 30 г льда при превращении его в пар, если начальная температура льда —40°С, а температура пара 100 °С. Теплоемкости воды и льда считать постоянными, а все процессы — происходящими при атмосферном давлении. Удельная теплоемкость льда с = 0, 5 кал/(г • °С).
220.    Найти суммарное изменение энтропии AS (воды и железа) при погружении 100 г железа, нагретого до 300 °С, в воду при температуре 15°С. Удельная теплоемкость железа равна с = 0, 11 кал/(г • °С).
221.    Найти удельную энтропию 5 неоднородной системы, состоящей из жидкости и ее насыщенного пара. Теплоемкость жидкости считать не зависящей от температуры.
222.    Два тела А и В, нагретые до разных температур, помещены в жесткую адиабатическую оболочку и приведены в тепловой контакт друг с другом. Тепло переходит от более нагретого тела А к менее на
2*
 
36
Задачи
гретому телу В, пока температуры обоих тел не сравняются. Показать, что при этом процессе энтропия системы А Т В увеличивается.
223.    Идеальный одноатомный газ в количестве v = 10 молей, на-ходящийся при температуре Т\ = 300 К, расширяется без подвода и отдачи тепла в пустой сосуд через турбину, необратимым образом совершая работу (рис. 24). После установления равновесия температура газа понижается до Т = 200 К. После этого газ квазистатически сжимается: сначала изотермически, а затем адиабатически, возвращаясь в первоначальное состояние. При этом сжатии затрачивается работа А = 15кДж. Найти изменение энтропии газа при расширении.
 
Рис. 24
224.    В расположенном горизонтально теплоизолированном жестком цилиндре может перемещаться поршень, по одну сторону от которого находятся v = 2 моля двухатомного идеального газа, а по другую — вакуум. Между поршнем и дном цилиндра находится пружина. В начальный момент поршень закреплен, а пружина не деформирована. Затем поршень освобождают. После установления равновесия объем газа увеличился в п = 2 раза. Определить изменение энтропии газа. При расчете пренебречь трением, а также теплоемкостями цилиндра, поршня и пружины. Считать, что к деформациям пружины применим закон Гука.
225.    Наряду с внутренней энергией U и энтальпией I = U + PV в термодинамике широко пользуются функциями Ф = £/ — TS и Ф = = Ф + PV. Первая из них называется свободной энергией, а вторая — термодинамическим потенциалом системы. Доказать, что эти функции удовлетворяют соотношениям
dU = TdS - PdV, е?Ф = -SdT - PdV,
d$ = -SdT + VdP, dl = TdS + VdP,
 
(225.1)
(225.2)
(226.1)
 
§4. Второе начало термодинамики
37
(227.1)
227.    Доказать соотношения Максвелла
fdT_\ _ _ (дР\    (дТ\ _ /dV\
\dVJs ~ USJv' \dPJs ~ VdSJp’
fds\ _ /&р\    /as\ _ _ /аул
\dV)т \дт)у’    \др)т \дт)р'
228.    Пользуясь методом термодинамических функций (соотноше-
ниями Максвелла), найти производные (dU/dV)p и (81/дР)т. (Ср. с
задачами 175 и 176.)
229.    В чем ошибочность следующего рассуждения? Элементарное
количество тепла dQ, полученное физически однородным телом при
квазистатическом процессе, равно
dQ = dU + Р dV = dl — V dP,
или
отсюда
<!<И§)Р‘£Г+
(—) - v
\дР)т
dP;
(dQ\ = (dI_\    = (Ё1Л -V
\дТ) \дТ/р’ дР \дР)т
d2Q _    д21 d2Q _    д21 /dV\
~    8РдТ~дРдТ V дТ) р '
дТдР дТдР
Приравнивая оба выражения, получим (dV/dT)p = 0; отсюда следует, что тепловое расширение тел невозможно.
230.    Пользуясь условием, что дифференциальное выражение Х(х, у) dx + Y(x, у) dy есть полный дифференциал, доказать, что элементарная работа 5А не может быть полным дифференциалом.
231.    Используя понятие энтропии и соотношения Максвелла, получить выражение для разности теплоемкостей Ср — Су. (Ср. с решением задачи 182.)
232.    Доказать соотношения

V.
233.    Методом якобианов доказать соотношения
/д£\ _ (д£\ /аР\    / dl_\ _ (dl_\ /dV\
V dV )т    V дР )т V dV )т ’ V дР )т V dV )т V дР )т
234.    Доказать, что если внутренняя энергия физически однородно-
го тела не зависит от его объема, а зависит только от температуры, то
она не зависит и от давления. То же справедливо и для энтальпии.
235.    Пользуясь методом якобианов, найти отношение адиабатиче-
ского модуля всестороннего сжатия к его изотермическому модулю.
(Ср. с решением задачи 137.)
236.    Доказать соотношения
fdS\ Су (дТ\ (
dS
Ср (дТ
 
38
Задачи
237.    Показать, что при квазистатическом расширении физически однородного тела при постоянном давлении его энтропия возрастает, если температурный коэффициент расширения положителен, и убывает, если этот коэффициент отрицателен.
238.    Показать, что при квазистатическом увеличении давления на физически однородное тело при постоянном объеме его энтропия возрастает, если температурный коэффициент давления положителен, и убывает, если этот коэффициент отрицателен.
239.    Методом якобианов доказать соотношения
(дТ\ _T^/dV\ (дТ\ __Т_(дР\
\dPJs~ СР V дТ )р ’ UWs- Су U TJv'
(Ср. с задачами 243 и 246.)
240.    Из опыта известно, что резиновый жгут удлиняется при охла-ждении (если его натяжение остается постоянным). Пользуясь этим, доказать, что жгут нагреется, если его адиабатически растянуть.
241.    Из измерений найдено, что натяжение резинового жгута опре-деляется выражением т = А(1)Т, где Т — абсолютная температура, а функция А(1) зависит только от длины жгута (А > 0). Показать, что внутренняя энергия такого жгута U не зависит от его длины, а энтропия при изотермическом увеличении длины уменьшается.
242.    Доказать соотношения
 
(dV\ __fdS\ _(dS\ fdT\ _CPfdT\
\дТ)р~ \dPjT~\dTJp\dPJs~ T \дPJs~
-    (§L\ (^УЛ
Т \dv)s\dPjs9
 
=    (<?Х.\ _ (dV\ jy (Wy*
\др)т KdTjpKdSJp \др)т Ср \дт)р’
(дР\ _ /ар\ _ ту (дР\2 \dv)s~\dVjT Cv \dTjv’ т(дР\ (dv\ д2т (дСр \ (дт\ dCv (дт\
\dTjv\дт)р dPdV + V дР )v \dVjp dVP \дР)v
243.    Физически однородное и изотропное вещество расширяется (или сжимается) адиабатически и квазистатически от давления Р\ до давления Р^. Найти изменение его температуры — Т\ в этом процессе.
 
§4. Второе начало термодинамики
39
244.    Воду, находящуюся при 0°С и давлении Р = 100 атм, расширяют адиабатически и квазистатически до атмосферного давления. Найти изменение температуры воды в этом процессе, если коэффициент объемного расширения воды в этих условиях отрицателен и равен а = —6, 1 • Ю-^С”1.
245.    Ртуть, находящуюся при 0°С и давлении Р = 100 атм, расширяют адиабатически и квазистатически до атмосферного давления. Найти изменение температуры ртути в этом процессе, если коэффициент объемного расширения ртути в этих условиях положителен и равен а = 1,81 • 1СГ4 °С-1, удельная теплоемкость ртути ср = 0,033 кал/(г х х °С), плотность р= 13, 6 г/см3.
246.    Доказать соотношение
(дг\ = I /ар\
WAS- Су \dTJv'
247.    Показать, что при квазистатическом адиабатическом расши-рении тела его температура понижается, если температурный коэффи-циент давления положителен, и повышается, если этот коэффициент отрицателен.
248.    Показать, что при квазистатическом адиабатическом уменьше-нии давления на тело его температура понижается, если коэффициент расширения положителен, и повышается, если этот коэффициент отри-цателен.
249.    Железная проволока радиуса г = 1 мм квазистатически и адиа-батически нагружается при температуре Т = 273 К. Начальное значение растягивающей силы равно нулю, конечное F = ЮН. Определить изменение температуры проволоки АТ. Коэффициент линейного расширения железа /3= 1,2- 10-5оС-1, удельная теплоемкость железа с = 0,44 Дж/(г • °С), плотность р = 7,9 г/см3.
250.    В объеме V\ = Зл находится v\ =0,5 моля кислорода О2,
а в объеме V2 = 2 л —    = 0, 5 моля азота N2 при температуре Т =
= 300 К. Найти максимальную работу, которая может быть произведена за счет изотермического смешения этих газов в суммарном объеме V\ + + Н2.
251.    Решить предыдущую задачу в предположении, что смешивание газов производится адиабатически. Начальная температура газов Тх = 300 К.
252.    В процессе Джоуля-Томсона энтальпия газа не изменяется. Пользуясь этим, найти общее термодинамическое выражение для из-менения температуры в таком процессе (эффект Джоуля-Томсона).
253.    Показать, что для идеальных газов эффект Джоуля-Томсона не имеет места (АТ = 0).
254.    В одном из методов получения низких температур используют охлаждение газа при его дросселировании через вентиль (эффект Джоуля-Томсона). В другом методе используют охлаждение газа при его обратимом адиабатическом расширении. Показать, что при одних
 
40
Задачи
и тех же начальном Р\ и конечном Р2 давлениях (Pi > Р2) понижение температуры во втором методе больше, чем в первом.
255.    Показать, что в процессе Джоуля-Томсона энтропия газа увеличивается.
256.    Сосуд с твердыми адиабатическими стенками разделен на две части твердой адиабатической перегородкой. По одну сторону пере-городки находится газ, по другую — вакуум. Вывести общую тер-модинамическую формулу для температуры газа, которая установится в нем после удаления перегородки. Применить полученную формулу к идеальному газу и показать, что в этом случае изменения температуры не произойдет.
257.    С помощью второго начала термодинамики найти условие конвективной устойчивости неравномерно нагретой жидкости или ре-ального газа в однородном поле тяжести. Теплопроводность жидкости или газа считать пренебрежимо малой. (См. задачу 133.)
§ 5. Теплопроводность
258.    Стальной стержень длины I = 20 см с площадью поперечного сечения S = Зсм2 нагревается с одного конца до температуры t\ = = 300°С, а другим концом упирается в лед. Предполагая, что передача тепла происходит исключительно вдоль стержня (без потерь через стенки), подсчитать массу т льда, растаявшего за время т = 10 мин. Теплопроводность стали к = 0, 16 кал/(с • см • °С).
259.    Медный кофейник нагревается на примусе. Вода доведена до кипения и выделяет каждую минуту т = 2 г пара. Толщина дна кофейника I = 2 мм, а площадь S = 300 см2. Определить разность температур £2 — £1 между внутренней и наружной поверхностями дна кофейника, предполагая, что все дно нагревается равномерно. Теплопроводность меди к = 0,92 кал/(с • см • °С).
260.    Решить предыдущую задачу, если дно кофейника с внутренней стороны покрыто слоем накипи толщины l\ = 1 мм. Теплопроводность накипи к\ = 0,003 кал/(с • см • °С).
261.    Три пластинки одинакового размера сложены вместе, образуя столбик. В середине — свинцовая пластинка, по краям — серебряные. Внешняя сторона одной серебряной пластинки поддерживается при постоянной температуре £ = 100 °С. Внешняя сторона другой серебряной пластинки имеет температуру £3 = 0°С. Найти температуры t\ и £2 в местах соприкосновения свинцовой пластинки с серебряными. Теплопроводности свинца к\ = 30 ккал/(ч • м • °С), серебра к = 360 ккал/(ч • м х х °С).
262.    Кубик сделан из чередующихся пластинок разной толщины и разной теплопроводности. Толщина пластинок одного типа равна b 1, теплопроводность материала, из которого они сделаны, равна щ, число всех пластинок этого типа щ. Соответствующие величины для
 
§5. Теплопроводность
41
пластинок второго типа равны Ь2, щ и п^. Найти теплопроводности материала кубика вдоль пластинок хц и перпендикулярно к ним х_щ Какая из этих теплопроводностей больше?
263.    Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами R\ и R2 заполнено проводящим тепло однородным веществом. Найти распределение температуры в этом пространстве, если температура внутреннего цилиндра tа внешнего
264.    Найти распределение температуры в пространстве между двумя концентрическими сферами с радиусами R\ и R2, заполненном проводящим тепло однородным веществом, если температуры обеих сфер постоянны и равны t\ и £2-
265.    Урановый шар радиуса R = 10 см, помещенный в сосуд с водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия q = 100 Вт/см3. Температура воды Т = 373 К, теплопроводность урана к = 400 Вт/(м х х °С). Найти стационарное распределение температуры в шаре, а также температуру в его центре.
266.    По однородному цилиндрическому проводу без изоляции течет постоянный электрический ток. Определить стационарное распределение температуры в проводе, если его поверхность поддерживается при постоянной температуре То.
267.    Для получения самоподдерживающейся термоядерной реакции в дейтерии (или в смеси дейтерия с тритием) необходимо нагреть вещество до температуры порядка 108 К. При таких температурах вещество находится в состоянии плазмы, т. е. полностью ионизованного газа. При этом сильно возрастают потери энергии за счет теплопроводности. Как показывает теория (см. задачу 449), теплопроводность плазмы пропорциональна абсолютной температуре в степени 5/2, т. е. х = аТ5/2, где для дейтериевой или тритиевой плазмы в системе СГС а и 10_6. Внутри малого объема, выделенного в плазме и имеющего форму шара радиуса го = 1 см, поддерживается температура Т = 108 К. Вне шара температура убывает в соответствии с законами теплопроводности. Какую мощность надо подводить к этому объему, чтобы компенсировать потери энергии за счет теплопроводности? К остальным частям плазмы энергия не подводится.
268.    Стержень сечения S упирается концами в твердые пластины, расстояние L между которыми поддерживается постоянным. Затем температуру одной из пластин повышают, и в стержне устанавливается постоянный поток тепла Q. Какое давление Р действует на единицу поперечного сечения стержня, если начальное напряжение в стержне было равно нулю? Теплопроводность стержня х, коэффициент линейного расширения а, модуль Юнга Е.
 
42
Задачи
269.    Показать, что решение одномерного уравнения теплопровод-ности в однородной среде
Плотность мощности источника тепла q(x,t), а также функции f(x), if\ (£) и    предполагаются заданными.
270.    Два теплоизолированных тела 1 и 2 с бесконечными тепло-проводностями (например, два куска металла) соединены между собой однородным, также теплоизолированным стержнем длины I с площадью поперечного сечения S и теплопроводностью к. Теплоемкости тел С\ и С2 очень велики по сравнению с теплоемкостью стержня. Найти температуры тел Т\ и в любой момент времени £, если при £ = О они были равны соответственно Тщ и Тэд. Найти также разность этих температур и время t\/2, по истечении которого она уменьшается в два раза.
271.    Определить толщину льда, образующегося в течение заданного времени £ на спокойной поверхности озера. Считать, что температура Т окружающего воздуха все время постоянна и равна температуре наружной поверхности льда (Т < Тпл, где Тпл — температура плавления льда). Произвести численный расчет, предполагая, что Т = = — 10°С. Для льда к = 2,22 • 105 эрг/(с • см • °С), q = 3, 35 • 109 эрг/г, р = 0,9 г/см3.
272.    Сферический кусок льда (с начальным радиусом RQ = 1 см) погружен в большую массу воды с температурой 10 °С. Предполагая, что теплопередача в жидкости связана только с ее теплопроводностью, определить время т, в течение которого лед полностью растает. Теплопроводность воды х = 6 • 10_3 Дж/(с • см • °С), удельная теплота плавления льда q = ЗЗОДж/г.
273.    Тело, помещенное в среду с постоянной температурой to, охла-дилось от температуры t\ = 80°С до температуры £2 = 64 °С в течение времени т и до температуры £2 = 52 °С в течение времени 2т. Считая справедливым закон охлаждения Ньютона, найти температуру окружа-ющей среды £Q. ДО какой температуры £4 тело охладится в течение времени Зт?
274.    Определить количество тепла Q, теряемое 1 м2 стены в течение времени т, равного одним суткам, при температуре воздуха в помещении t\ = 20 °С и температуре наружного воздуха £4 = —10 °С. Толщина стены I = 20 см. Теплопроводность материала стены к = = 0,003 кал/(с • см • °С). Коэффициент теплообмена на границе стена- воздух а = 0,0002 кал/(с • см2 • °С). Определить также температуры внутренней £2 и внешней £3 поверхностей стены.
 
(269.1)
единственное, если заданы начальное и краевые условия:
Tt=о = /Ц),
Tx=o = lfil(t), Tx=l=lfi2(t).
(269.2)
(269.3)
 
§5. Теплопроводность
43
275.    Сколько каменного угля нужно сжигать в течение времени т, равного одним суткам, на водяное отопление дома, площадь поверхности стен и крыши которого равна S = 10000 м2, чтобы поддерживать в квартирах температуру t\ = 18 °С, если температура снаружи здания £2 = — 22 °С? Толщина стен L = 60 см, теплопроводность материала стен к = 0,002 кал/(с • см • °С), а утечка тепла с единицы поверхности крыши такая же, как с единицы поверхности стены. Коэффициент теплообмена на границе воздух-стена а = 0,00025 кал/(с • см2 • °С), удельная теплота сгорания угля q = 7500кал/г.
276.    В тонкостенный замкнутый металлический сосуд налита жид-кость, имеющая температуру t\. Температура воздуха вне сосуда £3. Найти температуру £2 внешней стенки, если известно, что теплопроводность металла х, коэффициент теплообмена на границе металл- воздух а, а на границе металл-жидкость оо. Толщина стенки равна L.
Примечание. Сосуд считается тонкостенным, когда толщина стенок мала по сравнению с его линейными размерами.
277.    Определить температуру £2 в предыдущей задаче в двух пре-дельных случаях: 1) очень тонкого металлического сосуда и 2) сосуда из материала с очень малой теплопроводностью.
278.    В тонкостенный замкнутый металлический сосуд с общей поверхностью S налита жидкость при температуре t\. Через сколько времени г жидкость охладится до температуры £2, если масса ее га, удельная теплоемкость с, температура воздуха вне сосуда £3, а коэф-фициент теплообмена на границе металл-воздух равен а?
279.    По длинной тонкостенной медной трубе радиуса г = 1 см, покрытой цилиндрическим теплоизолирующим слоем, течет горячая вода. Теплопроводность изолирующего слоя х = 6- 10-4 кал/(с • см х х °С), коэффициент теплообмена трубы с изолирующим слоем а = = 5- 10-4 кал/(с • см2 • °С). 1) При каком значении внешнего радиуса R изолирующего слоя потери тепла максимальны? 2) При каком R потери тепла уменьшатся вдвое по сравнению с потерями для трубы, лишенной тепловой изоляции?
280.    На концах длинного однородного стержня, поперечные размеры которого малы по сравнению с его длиной, задаются температуры t\ и £2, которые могут меняться во времени. Температура однородной среды, окружающей стержень, равна £3. Показать, что благодаря теплообмену температура в стержне подчиняется уравнению
dt 2 <92£ тД/, , \
S    = “ (Р - ь <* - *з)-
2    УС т9    Гф
где а = у = —, о = —р — периметр поперечного сечения стержня, ср    cpS
Ь — площадь этого сечения, с — удельная теплоемкость вещества стержня, р — его плотность, а — коэффициент теплообмена, к — теплопроводность.
281.    Найти установившееся распределение температуры вдоль длинного и очень тонкого стержня длины I, если температуры его
 
44
Задачи
концов t\ и £2, а также температура окружающей среды £3 поддерживаются постоянными. Остальные величины такие же, как в предыдущей задаче.
282.    Решить предыдущую задачу в предположении, что £3 = £2- Рассмотреть случай очень длинного стержня.
283.    Вычислить температуру средней точки круглого стержня длины I = 80 см, радиуса г = 2 см с теплопроводностью к = 0, 8кал/(с х х см • °С) и коэффициентом теплообмена а = 5 • 10-4 кал/(с • см2 • °С), если оба конца стержня поддерживаются при одной и той же температуре t\ = £2 = 100 °С, а температура комнаты £3 = 20 °С.
284.    Сурьмяный и медный стержни покрыты очень тонким слоем парафина и своими концами упираются в стенку металлического сосуда, наполненного кипящей водой. Через некоторое время, по достижении стационарного состояния, плавление парафина прекращается на расстоянии х\ от стенки сосуда на сурьмяном стержне и на расстоянии Х2 на медном. Теплопроводность сурьмы щ. Определить теплопроводность меди Х2.
285.    Для определения теплопроводностей жидкостей используются три медные пластинки, расположенные горизонтально одна над другой. Нижняя пластинка омывается потоком холодной воды (температура t\), верхняя — теплой (температура £3). Пространство между нижней и средней пластинками заполнено жидкостью с теплопроводностью щ, а пространство между средней и верхней — жидкостью с теплопро-водностью Х2. Расстояние средней пластинки от нижней равно d\, а от верхней — d2. Выразить теплопроводность щ через щ, если в установившемся состоянии температура средней пластинки равна £2. В случае, когда в качестве известной жидкости взята вода (щ = = 0,00143 кал/(с • см • °С), а в качестве испытуемой — бензол, для расстояний с?1 = 1 мм и с?2 — 1» 2 мм получились температуры t\ = 80 °С, £2 = 68,6°С, £3 = 10 °С. Найти К2 для бензола.
286.    Температура одного конца однородного стержня равна £ь а другого £2, причем температура окружающей среды равна нулю. Показать, что в стационарном состоянии между температурами ©ь ©2 и ©з трех равноотстоящих друг от друга сечений стержня, находящихся на расстояниях х, х + d и х + 2d от его начала, существует следующее соотношение:
причем а — коэффициент теплообмена, к — теплопроводность, р — периметр и S — площадь поперечного сечения стержня.
287.    Для определения теплопроводностей стержней иногда приме-няют следующий метод. Если температуру окружающей среды принять
 
где
 
 
§5. Теплопроводность
45
за нуль, то между температурами ©ь ©2 и ©3 трех равноотстоящих друг от друга сечений стержня, нагреваемого с одного конца, в стационарном состоянии существует зависимость:
Bi+вз =е/Ц + е-/Ц = 2 п,
©2
 
(см. предыдущую задачу). Величину 2п можно определить непосред-
ственными измерениями. Если имеются два стержня из разных матери-
алов, то, определив из нескольких измерений величину 2п для одного
из них и 2п\ для другого, можно определить отношение теплопровод-
ностей по формуле
1п(п + у/п2 — 1)
ln(m + \Jn\- 1 )
если только стержни имеют одинаковые поперечные размеры S и равные коэффициенты теплообмена а. Вывести эту формулу.
288.    Полупространство х > 0 заполнено веществом с температуро-проводностью а2 = х/{ср). В плоскости х = 0 происходят гармонические колебания температуры с периодом Т:
t = to + t\ cos cor,
где to и t\ — постоянные, а и = 2п/Т. Найти температуру среды в зависимости от координаты х и времени т.    ^
Указание. Искать решение уравнения теплопроводности — =
d2t    ■    °т
= a<2-Q-^ в комплексной форме t — to = Х(х)егшт, а затем перейти к
вещественной форме.
289.    Найти выражение для фазовой скорости v и коэффициента затухания 7 температурных волн.
290.    Опыт показывает, что температурные волны с периодом в одни сутки распространяются внутрь Земли со скоростью 1 м/сут. Найти скорость распространения волн с периодом в 1 год.
291.    Во сколько раз коэффициент затухания годовых температурных волн 7i меньше коэффициента затухания суточных температурных волн 72?
292.    При каком условии распространение звука в безграничной однородной среде может рассматриваться как адиабатический процесс?
293.    При каком условии распространение звука в стержне радиуса г может рассматриваться как адиабатический процесс, если температу-ропроводность окружающей среды пренебрежимо мала по сравнению с температуропроводностью стержня?
294.    Однородная среда заполняет полупространство, ограниченное плоскостью х = 0. В начальный момент времени t = 0 температура
XL
ж
 
46
Задачи
среды всюду одинакова и равна Т$. Температура на поверхности среды все время поддерживается постоянной и равной Т\ ф То. Найти рас-пределение температуры T(x,t) в среде во все последующие моменты времени. Найти также градиент температуры вблизи границы среды.
295.    В. Томсон вычислил возраст Земли, исходя из следующих предположений: Земля является однородным телом, температура которого в момент затвердевания по всей массе была равна температуре затвердевания горных пород То ~ 4000°С, а температура поверхности Земли с момента ее затвердевания оставалась постоянной и равной 0°С. При вычислении температурного градиента вблизи поверхности Земли В. Томсон заменил ее однородной средой, ограниченной плоской поверхностью и занимающей бесконечное полупространство х > 0 (см. предыдущую задачу). Вычислить в этих предположениях возраст Земли (с момента затвердевания), если вблизи земной поверхности температура Земли повышается на 1 °С при углублении в нее на каждые 25 м, а скорость распространения суточных температурных волн составляет v = 1 м/сут.
§ 6. Кинетическая теория вещества
296.    Сколько молекул азота находится в сосуде объемом в 1 л, если температура азота 27 °С, а давление равно 10-6мм рт. ст.?
297.    Сколько молекул находится в одном грамме воды?
298.    Сколько молекул находится в одном кубическом сантиметре воздуха при нормальном давлении и температуре 0°С?
299.    Допустим, что все молекулы воды в стакане как-то отмечены. После этого вода была вылита в водопроводный сток. По прошествии длительного времени вылитая вода равномерно перемешалась со всей водой, имеющейся на Земле. Какое количество отмеченных молекул окажется в стакане, если его вновь наполнить водопроводной водой?
300.    Каково давление смеси газов в колбе объемом 2,5 л, если в ней находится 1015 молекул кислорода, 4 • 1015 молекул азота и 3, 3 • 10-7г аргона? Температура смеси 150 °С.

Ответы к задачам по физике Стрелков, Сивухин (Часть 2) from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (23.07.2016)
Просмотров: | Теги: Сивухин, Стрелков | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar