Тема №6531 Решение задач по физике Кронин, Гринберг (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по физике Кронин, Гринберг (Часть 1) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по физике Кронин, Гринберг (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
1.1. Некая община регулирует рождаемость детей сле­
дующим своеобразным способом: каждая пара родителей
продолжает рожать детей до тех пор, пока не родится сын.
Как только это случится, дальнейшее прибавление в семье
прекращается. Каково соотношение между мальчиками и
девочками в общине, если в обычных условиях, когда рож­
даемость никак не регулируется, 51% родившихся детей —
мальчики?
1.2. Игральная кость представляет собой кубик, все
шесть граней которого окрашены в разные цвета.
а. Сколько существенно различающихся игральных кос­
тей такого типа может быть изготовлено с использованием
шести определенных цветов?
б. Каково число вариантов изготовления пары играль­
ных костей?
1.3. Грани правильного восьмигранника должны быть
окрашены в различные цвета. Сколько различных восьми­
гранников можно изготовить, имея краски восьми различ­
ных цветов?
1.4. Колода карт состоит из четырех мастей, по 13 карт
каждой масти. Какова вероятность, что при раздаче такой
колоды карт двум командам (каждая команда состоит из
двух партнеров) определенная пара партнеров получит
целиком одну масть?
1.5. Некий процесс обладает следующим свойством:
вероятность того, что произойдет событие в интервале
(t, t + h), равна %h независимо от того, произошло ли собы­
тие в интервале (0, t). Предполагается, что вероятность
более чем одного события в интервале (/, t + И) пропорцио­
нальна высшим порядкам по h. Перейдя к пределу при
h -*■ 0, определить вероятность того, что к моменту вре­
мени t произойдет п событий. Вычислить средние значе­
ния п и п 2, для функции распределения.
7
1.6. Невооруженным глазом на небе наблюдается
6500 звезд. Иногда две звезды появляются очень близко
друг к другу, хотя тщательные исследования не обнаружи­
вают между ними физической связи. Принято такую пару
звезд называть оптической двойной звездой.
а. Предполагая, что звезды на небесной сфере распре­
делены случайным образом, вычислить ожидаемое число
оптических двойных звезд с расстоянием между компонен­
тами не более Г по дуге.
б. Определить вероятность наблюдения двух оптичес­
ких двойных звезд.
в. Грубо оценить вероятность наблюдения оптической
тройной звезды.
1.7. Найти: а) собственные значения и б) нормированные
собственные векторы матрицы
М =
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1.8. Пусть Xt (i = 1, 2, 3) — собственные значения мат­
рицы
Вычислить суммы 2Х, И 2Х?.
1.9. Вычислить Т = Sp ( е1с,а е1оЬ ) , где компоненты сг—
три стандартные матрицы Паули для спина 1/2.
1.10. Пусть Т — симметрический тензор второго ранга
с компонентами T tk(i, k = 1, 2, 3).
а. Показать, что с тензором Т связаны три инварианта
(обозначим их /0, 1Х и / 2) по отношению к преобразованиям
координат
Xi =
I
б. Найти связь поверхности 1 = 2 Tik хг xk {xj — де-
itk
картавы координаты) с тензором Т. Воспользовавшись
свойствами этой поверхности, дать геометрическую интер­
претацию трем ранее найденным инвариантам.
1. 11. Найти вычеты функций еа2/г5 и l/sin3 2 в точке
г = 0.
8
1.12. Вычислить
+ 00
lim
I
dx
e-».+o J (*2— a2— ie)3
— 00
1.13. Вычислить
для a > 0.
sma X
+oo
' ■ +— 00
1.14. Вычислить интегралы
00
xdx
dx.
/i ex — 1
x3dx
1.15. Разложить функцию f(x) = cos x2 в интеграл
Фурье.
1.16. Используя обратное преобразование Лапласа, най­
ти функцию f{t):
а*
р2 + а2
2гс
= j e-P‘f(t)dt.
о
dtp 1.17. Вычислить \ --------- для следующих случаев:
J <* + cos <?
о
а. a > 1.
б. a = a0 -j- is (где a0 и s — действительные, e > О
и 0 < a 0< 1 при s->0.)
в. a = — 1.
1.18. Вычислить интегралы
+оо +оо
, _ Г dx . _ С dx
1 _ J chx И 3 “ J ch3 х ’
1.19. Вычислить интеграл

6 + a cos tp
a2 -j- f>2 +- 2a6 cos tp
dcp, \а\ф\Ь\.
1.20. Гамма-функция определяется соотношением
00
Г (х) = | t^e^d t, R e x > 0 .
9
Показать, что для О <С х <. 1
00 со
Г t*~l cos t dt — Г (x) cos — ■, J t-*-1 sin t dt = Г (x) sin -Щ- .
о о
1.21. Показать, что
I
sh (ax)
sh (tlx)
dx — л < a <T it,
интегрируя функцию ea2/sh(лг) по подходящему контуру.
1.22. Интегрированием по контуру вычислить
Г х',г dx
J 1 + х‘г
о
Показать выбранный вами контур, все полюсы и разрезы
в комплексной плоскости.
1.23. Методами контурного интегрирования вычислить
ряд
со
Указание. Воспользоваться тем, что функция 1/sin (яг)
имеет полюсы на действительной оси в точках г = 0, ± 1,
± 2 , ... В качестве контура интегрирования выбрать кон­
тур, показанный на рис. 1.
Ч-
-з -Z о Z 3
Рис. 1
1.24. Исследовать аналитическую функцию
2г F (г) =р(г) In 1 — (1 — р(г) )
где р(г) = ] /г(г — а)/а, г — действительное положитель­
ное число. В качестве линии разреза для р(г) выбрать дей­
ствительную ось от — оо до 0 и от а до оо.
Ю
а. Исследовать свойства римановой поверхности функ­
ции /•’(г).
б. Показать, что имеется один лист, где F(z) может быть
представлена в виде
а
и найти W(s).
1.25. Вычислить
lim
f t —»- СО
—}- оо
у ~п Ч
dx
(1 + х*)п
ds,
где п — целое положительное число.
1.26. Вычислить / (a, b) = J (е-** — е~хЬ) .
о
1.27. Найти сумму следующего бесконечного ряда:
S = 1 + 2х + Зх2 + 4х3 + ... для \х\ < 1.
1.28. Производящая функция F(x, t) полиномов Эрмита
Нп(х) имеет вид
F (х, t) = е
х*—Ц—х)г
00
Н*(х)Р .
k!
а. Выразить Ип(х) через контурный интеграл.
б. Доказать, что Нп(х) удовлетворяет дифференциаль­
ному уравнению Эрмита
£Н_
dx3
2х — + 2пЯ = 0. dx
в. Вывести рекуррентное соотношение
йНп (х)
dx = „_1 (*).
1.29. Производящая функция для полиномов Лежандра
Р t (х), где х — cos 6, имеет вид
(1 - J +>)■/■- М О -
И
Доказать, что xPi (х) — Pi-\ (х) + IР, (х), где
Р\ (х) = ~dPl {x)- . dx
1.30. Ряд Лорана для функции eW ) (2_1/2) задан в ви-
-}-оо
де ^ Ап zn, где Ап = Jn ((а). Выразить функцию Бесселя
— СО
/ п(р) через интеграл от тригонометрической функции с
пределами интегрирования от — л до л.
1.31. Функция ф(х, у) задана на плоскости z = 0.
Найти для г > 0 решение ф(х, у, z) уравнения Лапласа,
которое на плоскости z = 0 сводится к функции ф(х, у).
1.32. Показать что
Ко(х)= f е— ь ^ ф
о
удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка и
мнимого аргумента, т. е. Ко(х) = </o(ix). Показать, что
асимптотический предел Ко(х) для очень больших х равен
Derx/}Ax. Определить значение постоянной D.
1.33. Вычислить интеграл JrcfA по поверхности тора.
1.34. Вычислить объем V четырехмерной единичной
сферы
хх = г sin ф2 sin ф! cos ф;
х2 = г sin ф2 sin ф! sin ф;
х3 = г sin ф2 cos фх;
х4 = г cos ср2.
1.35. Газообразный гелий без турбулентности протекает
со скоростью v по трубе (рис. 2). Конец трубы соединен с
атмосферой. На очень
малых расстояниях от
конца трубы гелий быст­
ро смешивается с воз­
духом практически до
нулевой концентрации.
Составить и решить
дифференциальное урав­
нение для концентрации
воздуха в трубе (рас­
стояние отсчитывать от
конца трубы). Считать, что: 1) имеется равновесие, 2) тем­
пературы гелия и воздуха одинаковы; 3) трением о стенки
12
и концевыми эффектами можно пренебречь и 4) коэффици­
енты диффузии 0 2 и N2 в Не одинаковы и равны D.
1.36. Уравнение, описывающее плотность нейтронов в
ядерном реакторе, имеет вид
у2л + К2п = 0.
а. Найти радиус сферического реактора для заданного
значения коэффициента К при следующих граничных усло­
виях: плотность нейтронов вне реактора равна нулю, внут­
ри реактора она везде конечна и положительна.
б. Теперь предположим, что реактор окружен тонким
слоем вещества толщиной t и что плотность нейтронов в
этом слое вещества описывается уравнением
у 2л — [х2 *п = 0.
Предположим далее, что на границе раздела плотность
нейтронов п и grad п непрерывны. Сохраняя условие, что
вне реактора, окруженного тонким слоем вещества, плот­
ность нейтронов равна нулю, найти для фиксированных
значений К, ц и t выражение для радиуса внутренней об­
ласти реактора. Предполагая К. С ц < вывести приближен­
ное выражение для разности радиусов реактора при нали­
чии поверхностного слоя вещества и без него.
1.37. Точечный источник нейтронов, расположенный
на оси длинной графитовой колонны квадратного сечения
со стороной 150 см, излучает 106 нейтронов в секунду.
Вычислить поток нейтронов в точке на оси, удаленной от
источника на расстояние 1 м, если коэффициент диффузии
нейтронов D = hi!3, где v — скорость нейтронов, К —
= 2,8 см — средняя длина свободного пробега рассеяния
нейтронов в графите. Эффектами замедления и захвата ней­
тронов можно пренебречь,
2. МЕХАНИКА
2.1. Вывести закон Стокса с помощью теории размер­
ностей в предположении, что сила не зависит от плотности
жидкости. Что произойдет, если это предположение не­
верно?
2.2. Газовый пузырь, образовавшийся в результате
глубинного подводного взрыва, осциллирует с периодом
Т ~ padbec, где р — статическое давление, d — плотность
воды, е = полная энергия взрыва. Найти а, b и с.
13
2.3. Спутник выведен на круговую околоземную орбиту.
Сила трения, действующая на спутник в верхних слоях
атмосферы, равна Fv = Av* , где v — скорость спутника.
Замечено, что скорость изменения радиального расстоя­
ния г (drldi = —- С, где С —- положительная величина),
обусловленная воздействием этой силы, достаточно мала,
так что потеря энергии на один оборот мала по сравнению
с полной кинетической энергией спутника Е, Найти выра­
жения для А и а.
2.4. Материальная точка массой т, на которую не воз­
действуют внешние силы, невесомой нитью прикреплена
к цилиндру радиусом R. Первоначально нить была намота­
на на цилиндр, так что материальная точка касалась ци­
линдра. В какой-то момент времени к массе т приложен
импульс силы в радиальном направлении так, что нить
начала разматываться (рис. 3). Найти:
а) уравнение движения материальной точки в наиболее
удобных обобщенных координатах,
б) общее решение, удовлетворяющее начальному ус­
ловию,
в) момент количества движения материальной точки
относительно оси цилиндра, воспользовавшись результа­
том, полученным в п. б.
2.5. Разбрызгиватель для поливки газона имеет сфери­
ческую насадку (а0= 45°) с большим числом одинаковых
отверстий (рис. 4), через которые вытекает вода со ско­
ростью v0. Очевидно, что газон будет поливаться неравно­
мерно, если отверстия на насадке распределены равномер­
но. Какова должна быть зависимость числа отверстий на
единицу площади р от угла а, чтобы круговой газон поли­
вался равномерно? Предполагается, что радиус разбрызги­
И
вающей насадки значительно меньше размеров газона и
что насадка расположена на одном уровне с газоном.
2.6. Вывести дифференциальное уравнение удерживаю­
щей поверхности, на которой материальная точка осцилли­
рует с периодом, не зависящим от амплитуды.
2.7. Три частицы (массами тъ тг, т3) расположены в
вершинах равностороннего треугольника и взаимодейст­
вуют друг с другом по закону Ньютона. Найти вращатель­
ное движение системы, оставляющее относительное распо­
ложение частиц неизменным.
2.8. Частица массой т движется по круговой орбите
радиусом г0 в поле центральных сил, потенциал которого
равен —km!rn. Показать, что если п < 2, то круговая ор­
бита устойчива по отношению к малым колебаниям (т. е.
частица осциллирует около круговой орбиты).
2.9. Две частицы движутся друг относительно друга
по круговым орбитам с периодом т под влиянием гравита­
ционных сил. В заданный момент времени движение вне­
запно прекращается и частицы начинают падать друг на
друга. Доказать, что они столкнутся спустя время т/4]/1Г
после момента остановки.
2.10. Если гз и рз — соответственно радиус и плотность
Земли, то радиус и плотность Луны равны соответственно
0,275гз и 0,604 р з. Человек, стоящий на Земле, сгибая ко­
лени, опускает свой центр тяжести на 50 см. Собрав все
силы, он подпрыгивает, поднимая центр тяжести на 60 см
выше нормального положения. Как высоко он может под­
прыгнуть таким способом на Луне?
2.11. Однородный тонкий негнущийся стержень весом W
поддерживается в горизонтальном положении двумя
вертикальными опорами у концов стержня (рис. 5). В мо­
мент времени t = 0 одна из опор выбивается. Найти силу,
которая действует на вторую опору сразу же после этого
момента.
2.12. Три одинаковых цилиндра, оси которых парал­
лельны, соприкасаются друг с другом по образующим. Два
цилиндра из трех лежат на шероховатой плоскости, третий
же цилиндр покоится на этих двух (рис. 6). Найти мини­
Рис. 5
15
мальный угол между направлением силы, действующей со
стороны плоскости на цилиндры, и вертикалью, при ко­
тором цилиндры еще не разойдутся.
2.13. Катушка покоится на горизонтальной поверх­
ности (рис. 7). Небольшая горизонтальная тяга действует
на нитку так, что катушка катится без скольжения, В ка­
ком направлении она катится и почему?
2.14. Горизонтально расположенный круглый диск мас­
сой М может вращаться вокруг вертикальной оси, прохо­
дящей через точку на его ободе. Показать, что если собака
массой т совершит один оборот по ободу, то диск повернет­
ся вокруг оси на угол
2.15. Слой пыли толщиной h см (h мало по сравнению с
радиусом Земли) образован изотропным падением на Зем­
лю метеоров. Используя момент количества движения,
показать, что относительное изменение продолжительности
дня приблизительно равно 5hd/RD, где R — радиус Земли,
D u d — плотность Земли и пыли соответственно. Пусть
начальные значения величин имеют индексы 0, а конечные
значения — индекс 1. Момент инерции сферы относитель­
но оси, проходящей через центр, равен 2M R 2/5, а момент
инерции тонкостенной полой сферы массой т и радиусом R
равен 2mR2/3.
2.16. Простой гирокомпас представляет собой гироскоп,
вращающийся вокруг оси с угловой скоростью со • Пусть
момент инерции гироскопа относительно этой оси равен С,
а относительно поперечной оси — А . Подвешенный ги­
роскоп плавает в ртути, так что лишь воздействие крутя­
Рис. 6 Рис. 7
о
16
щего момента удерживает его ось в горизонтальной плос­
кости. Показать, что если такой гироскоп поместить на
экватор Земли, вращающейся с угловой скоростью 2, то его
ось будет осциллировать в направлении север — юг, и
найти период колебаний для малых амплитуд. Напомним,
что в данном случае приближение ю > Q является хо­
рошим.
2.17. Поверхность сферы медленно колеблется таким
образом, что главные моменты инерции являются гармони­
ческими функциями времени:
, 2тга . , lzz = —^— (1 -j- £ COS СО /),
2 тгг
У У
COS <13 /
где е 1. Одновременно эта сфера вращается с угловой
скоростью Q(f). Показать, ч т о 0 2 остается приблизитель­
но постоянной, a Q(f) прецессирует вокруг оси z с часто­
той прецессии о>п =
2
COS со/ при условии 0).
2.18. Три жесткие сферы соединены мягкими гибкими
стержнями (рис. 8). Соотношение между массами сфер
равно
mL: т2 : тъ — 1 : 2 : 1.
Описать нормальные моды колебаний системы и определить
частоты этих колебаний.
Рис. 8
2.19. Твердый однородный брусок массой М и длиной L
поддерживается в состоянии равновесия в горизонтальном
положении двумя невесомыми пружинами, прикрепленны­
ми к концам бруска (рис. 9). Обе пружины имеют один и
тот же коэффициент упругости k. Движение центра тяжести
бруска возможно лишь в направлении, параллельном вер­
тикальной оси х. Найти нормальные моды и частоты коле­
баний системы для случая, когда движение возможно лишь
в плоскости xz.
2.20. Частица массой М подвешена на одном конце
струны, масса которой равна т, а длина L. Другой конец
струны закреплен. Частица с помощью небольшого гори­
зонтального смещения б выведена из состояния покоя.
Составить дифференциальные уравнения и сформулировать
граничные условия для движения струны и частицы. Со­
ставить трансцендентное уравнение для определения соб­
ственных частот и решить это уравнение для случая
т 4^ М.
2.21. Сформулировать вариационный принцип для час­
тоты со колебаний мембраны с поверхностным натяжени­
ем Т и поверхностной плотностью массы а, края которой
закреплены, т. е., другими словами, найти интеграл по
поверхности мембраны, экстремальное значение которого
равно частоте колебаний мембраны.
2.22. Если часы поднять на большую высоту, будут ли
они спешить или отставать?
2.23. Тело массой m прикреплено к невесомой струне,
длина которой L, поперечное сечение S и прочность на
разрыв Т. Тело, удерживаемое вблизи точки закрепления
второго конца струны, внезапно освобождается и падает
вниз. Каково должно быть максимальное значение модуля
Юнга Е для струны, чтобы она при таком падении тела
не разорвалась?
2.24. Поезд массой М, движущийся со скоростью и,
тормозится буфером, представляющим собой спиральную
пружину, которая имеет длину (в отсутствие сжатия) /0
и коэффициент упругости k 0- Последний остается постоян­
ным вплоть до полного сжатия пружины. Однако при пол­
18
ном сжатии (/ < /0) коэффициент упругости скачком воз­
растает, становясь много больше k 0. Допуская свободный
выбор значения k 0, найти минимальное значение /0 при
условии, что максимальное торможение по своей абсолют­
ной величине не должно превышать амакс.
2.25. а. Цилиндр радиусом R, длиной h и плотностью р
плавает в вертикальном положении в жидкости плотностью
р0. Какова будет частота ю
(незатухающих) гармоничес­
ких колебаний цилиндра, если
последнему сообщить на­
правленное вниз смещение с
амплитудой х?
б. Показать, что в случае
малых колебаний движение
жидкости вблизи осциллиру­
ющего цилиндра распростра­
няется на область размером
8 ~ Y У(Ро “). считая от края
цилиндра. Максимальный гра­
диент скорости жидкости
вблизи цилиндра равен
да -у - . Пренебрегая тре­
нием у основания цилиндра,
показать, что максимальная
величина тормозящей силы
вязкости жидкости, действую­
щей на цилиндр, приблизи­
тельно равна
ц
F да 2vRhp Ци>3/р0),/2 х. 1
Рис. 10
2.26. Жидкостная пленка
с поверхностным натяжением
т натянута между двумя круглыми рамками радиусом а.
Напишите уравнение для профиля пленки г(г). При какой
величине отношения dla показанная на рис. 10 конфи­
гурация стабильна?
2.27. Прямая вертикальная опора длиной / и попереч­
ным сечением а х о жестко закреплена в основании. По­
казать, что максимальный вес W, который она может удер­
живать на верхнем торце, не изгибаясь, определяется выра­
жением W = я 2а4£748/2. Здесь Е — модуль Юнга для мате­
риала, из которого изготовлена опора.
19
2.28. Прямоугольная балка с поперечным сечением а у. а
и длиной L одним концом прикреплена к кирпичной стене.
Вычислите прогиб свободного конца балки под действием
собственного веса. Плотность материала, из которого изго­
товлена балка, равна р, а модуль Юнга Е. Прогиб предпо­
лагается малым.
2.29. Однородная тонкая труба, вертикально стоящая
на Земле, падает, вращаясь относительно точки опоры.
Показать, что сечение трубы в любой ее точке подвержено
изгибающему усилию, и вычислить наиболее вероятную
точку излома трубы при ее падении.
2.30. Открытая поверхность жидкости находится под
постоянным давлением. Показать, что если несжимаемую
жидкость налить в цилиндрический сосуд и затем сосуд с
жидкостью вращать с постоянной угловой скоростью ю,
то поверхность жидкости примет форму параболоида вра­
щения.
2.31. Ангар полуцилиндрической формы (рис. 11) дли­
ной L = 70 м и радиусом R = 10 м подвергается действию
ветра, скорость которого на бесконечности пм= 72 км/ч
строго перпендикулярна к оси ангара. Какая сила дей­
ствует на ангар, если дверь, расположенная на участке
А, открыта? Поле скоростей задано потенциалом
2.32. Температура воздуха над горизонтальной грани­
цей раздела равна 280° К. Внизу воздух имеет Т = 300° К.
Предположим, что появление синусоидальных волн на гра­
нице раздела обусловлено гравитационными волнами дли­
ной волны К и малой амплитуды. Найти фазовую ско­
рость этих волн, как функцию длины волны X, считая, что
граница раздела расположена достаточно далеко от других
Плотность воздуха равна 1,2 кг/м3.
Рис. 11
20
возможных границ раздела. Предполагается, что воздух
несжимаем.
2.33. Две взаимно перпендикулярные полубесконечные
стены О А и ОВ (рис. 12), пересекающиеся в начале коорди­
нат О, преграждают путь двухмерному гидродинамическому
потоку несжимаемой жидкости плотностью р от точечного
источника интенсивностью К, расположенного в точке с
координатами (а, Ь). Рассчитать давление на стены.
А
I
1
1
Рис. 12
2.34. Обозначим массы Солнца и Луны соответственно
М и т\ расстояния между Солнцем и Землей, между Луной
и Землей — соответственно R и г. Каково отношение амп­
литуд приливных волн, индуцированных Солнцем и Лу­
ной, на экваторе?
2.35. Найти основной период колебаний изолирован­
ного несжимаемого водяного шара (радиус шара равен
6300 км), колеблющегося под действием собственного гра­
витационного притяжения. Предполагать, что поток ско­
ростей безвихревой.
2.36. Системы координат и S 2 движутся в направле­
нии оси х соответственно со скоростями щ и i>2 относитель­
но системы координат S. Измеренный в системе коорди­
нат S интервал времени, за которое стрелка часов в систе­
ме координат Sx сделает один оборот, равен t. Каков этот
же интервал времени i2, измеренный в системе коорди­
нат S 2?
2.37. В межзвездное пространство стартует с Земли
ракета. Спустя короткое время после старта ускорение ра­
кеты, измеренное пассажирами, оказывается постоянным.
Ракета направлена на звезду, находящуюся на фиксиро­
ванном расстоянии от Земли, и движется прямолинейно.
Сколько времени по часам пассажиров понадобится раке­
те, чтобы достигнуть звезды? Обозначить D — фиксиро­
21
ванное расстояние от Земли до звезды, а а — постоянное
ускорение в системе отсчета, связанной с ракетой.
2.38. Частица массой покоя т движется вдоль оси х
инерциальной системы отсчета и притягивается к началу
координат О с силой (производная от импульса по времени)
ттгх. Частица начинает осциллировать с амплитудой а.
Выразить период этого релятивистского осциллятора через
определенный интеграл и вычислить приближенное зна­
чение этого интеграла.
2.39. Антипротоны после остановки поглощаются дей­
терием по реакции р + D -> п + л° (мы здесь пренебрегаем
другими возможными реакциями). Определить полную
энергию л°-мезонов. Массы покоя: M j — М„— 938,2 Мэе,
Md = 1875,5 Мэе, Мп= 939,5 Мэе, М* = 135,0 Мэе.
2.40. Рассмотреть процесс образования электрон-по-
зитронной пары.
а. Определить скорость системы, в которой пара имеет
нулевой импульс (система центра масс).
б. Вывести выражение для энергии частицы в этой
системе отсчета.
в. Вывести выражение для величины относительной
скорости частиц, т. е. для скорости одной частицы, изме­
ряемой в системе отсчета, связанной с другой частицей
пары.
2.41. Быстрый (ультрарелятивистский) электрон входит
в конденсатор под углом а (рис. 13).
Вывести уравнение траектории электрона, если прило­
женная к пластинам разность потенциалов равна V, а рас­
стояние между пластинами d.
2.42. Нейтральный я-мезон (масса покоя М) распа­
дается на два f -кванта. Угловое распределение -у-квантсв
изотропно в системе покоя л°-мезона. В лабораторной
системе координат я0-мезон имеет скорость v, направленную
по оси г. Какова вероятность P(B)dQ вылета фотона в те­
22
лесный угол dQ под углом б при распаде мезона на лету?
Здесь 0 — угол в лабораторной системе координат между
направлением вылета -[-кванта и осью г. Скорость мезона v
может быть сравнима со скоростью света.
2.43. а. Какова должна быть минимальная энергия нейт­
ронов, рожденных во взаимодействиях космических лучей
на расстоянии одного светового года от Земли, если они
достигают последней с вероятностью не менее 1/е?
б. Если эти нейтроны распадаются на лету, то каков
максимальный угол между направлением вылета электрона
распада и первоначальным направлением полета нейтрона?
в. Каков максимальный угол вылета нейтрино распада?
г. Какова максимальная энергия нейтрино, вылетевше­
го под максимально возможным углом?
2.44. Прецессия перигелия траектории планет была
предсказана общей теорией относительности. Однако даже
специальная теория относительности предсказывает такой
эффект вследствие зависимости инерциальной массы от
скорости. Вывести формулу специальной теории относитель­
ности, описывающую прецессию перигелия для планеты с
заданным моментом количества движения L, массой по­
коя т и энергией Е. Планета движется в гравитационном
поле Солнца.
Указание. Использовать полярные координаты и — Mr
и б и составить дифференциальное уравнение, в которое
время не входило бы явно.
2.45. Баллон с гелием свободно плавает в замкнутом
сосуде, наполненном воздухом при нормальных давлении
и температуре. Сосуд, в свою очередь, находится в меж­
звездном пространстве и движется в заданном направлении
с ускорением, равным по величине гравитационному уско­
рению на поверхности Земли. В каком направлении дви­
жется баллон с гелием относительно вектора ускорения?
3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
3.1. Ребра куба представляют собой одинаковые сопро­
тивления R, соединенные друг с другом в вершинах. Два
противоположных угла одной грани куба присоединены
к батарее. Каково эффективное сопротивление такой
цепи?
3.2. В электрическую цепь, представляющую собой
бесконечно протяженную плоскую сетку с прямоугольной
ячейкой (рис. 14), через точку А подводится, а через точку С
23
снимается ток i. Найти силу тока, протекающего по про­
воду АС.
3.3 Имеются два одинаковых стальных бруска, один
из которых намагничен, а другой нет. Каким образом можно
определить, какой из брусков намагничен, не используя
внешнее магнитное поле? (Имеется возможность измерять
силы.)
3.4. Проводник заряжается электрическим зарядом при
многократном соприкосновении с металлической пластиной,
которая после каждого соприкосновения дозаряжается
до величины заряда Q. До какой конечной величины заря­
дится проводник,если после первого соприкосновения его
заряд оказался равен q?
3.5. Переменный конденсатор присоединен к батарее с
э.д.с., равной Е (рис. 15). С0 и q0— начальные емкость и
заряд конденсатора. В дальнейшем емкость конденсатора
изменяется во времени так, что ток в цепи / остается по­
стоянным. Вычислить мощность, потребляемую от батареи,
и сравнить ее со скоростью изменения во времени энергии,
запасенной в конденсаторе. Если сравниваемые величины
различаются, объяснить — почему.
3.6. После погружения конденсатора в среду с прово­
димостью g сопротивление между его зажимами оказалось
равным R. Показать, что независимо от формы его пластин
имеет место соотношение RC — e/g, где е — диэлектри­
ческая постоянная среды, а С — емкость конденсатора в
среде.
24
3.7. В цилиндре радиусом b просверлено отверстие
радиусом а (а <. Ь). Ось отверстия параллельна оси ци­
линдра, а расстояние между осями равно d (рис. 16). По
цилиндру течет ток /. Какова напряженность магнитного
поля на оси отверстия?
3.8. Проводник
имеет форму беско­
нечной проводящей
плоскости с полусфе­
рическим выступом
радиусом а. Над цен­
тром выступа на рас­
стоянии р от плоскос­
ти расположен заряд
q. Вычислить силу,
действующую на за­
ряд.
3.9. Имеется тол­
стостенный полусфе­
рический колпак, вну­
тренний и внешний
радиусы которого рав­
ны соответственно а
и b (рис. 17). Колпак
однородно намагни­
чен вдоль оси симмет­
рии (ось г на рисун­
ке). Показать, что по­
мещенная в начало
координат небольшая
стрелка компаса бу­
дет свободно вра­
щаться.
3.10. Тонкий одно­
родный металличес­
кий диск лежит на
бесконечной проводя­
щей плоскости. Од­
нородное гравитаци­
онное поле направ­
лено перпендикулярно к плоскости. Вначале диск и плос­
кость не заряжены, к ним медленно подводится заряд.
Какова должна быть плотность заряда, чтобы диск при­
поднялся над плоскостью?
25
3.11. Вычислить емкость С сферического конденсатора,
внутренний и внешний радиусы которого равны соответ­
ственно R 1 и R 2. Конденсатор наполнен диэлектриком с
диэлектрической проницаемостью
е = е0 + cos2 0,
где 0 — полярный угол.
3.12. Длинный прямой провод, по которому течет ток I ь
расположен на расстоянии а над полубесконечной магнит­
ной средой с магнитной проницаемостью р. Вычислить силу,
действующую на единицу длины провода, и определить
направление этой силы.
3.13. Коэффициент самоиндукции круговой петли из
тонкой проволоки (столь тонкой, что потоком через прово­
локу можно пренебречь) измеряется в следующих случаях:
а) плоскость петли совпадает с плоскостью ху, которая
представляет собой раздел сред с магнитной проницаемо­
стью ц = 2(г < 0) и р = 1 (вакуум, г > 0);
б) петля находится в среде ср = 1.
Каково отношение коэффициентов самоиндукции L в
этих двух случаях?
3.14. Внутри металла с проводимостьюо0 имеется не­
большое включение с проводимостью аг (рис. 18). Это вклю­
чение возмущает электрическое поле, которое в отсутствие
включения было бы постоянным. Найти зависимость воз­
мущения от расстояния до включения. (Решить задачу
только для случая установившегося состояния.)
3.15. Длинный проводник, имеющий форму полого ци­
линдра радиусом о, разрезан по образующим на две поло­
26
винки, разделенные небольшим расстоянием. К поло­
винкам приложены потенциалы Ух и V2. Показать, что
потенциал в любой точке внутри цилиндра определяется
выражением
У = Л ± Ж + 2
п=1
где г — расстояние от точки до оси цилиндра (см. рис. 19).
3.16. Найти, каким образом убывает во времени началь­
ная плотность заряда в любой точке внутри проводни­
ка. Оценить время, в течение которого первоначальный за­
ряд внутри медного проводника исчезает (удельное элек­
трическое сопротивление меди равно 1,7-10_в ом-см). Ес­
ли проводник совершенно изолирован, то как распреде­
ляется заряд?
3.17. Небольшая сфера радиусом а и поляризуемостью а
расположена на очень большом расстоянии от сферы ради­
усом Ь, изготовленной из проводящего материала, которая
поддерживается при потенциале V. Найдите приближенное
выражение для силы, действующей на сферу из диэлект­
рика, справедливое при условии а <^г, где г — расстояние
между сферами.
3.18. Вывести соотношение Клаузиуса—Моссотти, свя­
зывающее диэлектрическую постоянную е с поляризу­
емостью среды а.
3.19. В простой кубической решетке постоянная решет­
ки равна 2А, а показатель преломления (скажем, для длины
волны излучения натрия) равен п = 2,07. Предположим,
что среда подвергается такому давлению, что происходит
двухпроцентное удлинение вдоль одного из ребер куба и
однопроцентное сокращение вдоль двух других ребер.
Вычислить показатель преломления деформированной
решетки для случаев, когда электрический вектор Е на­
правлен а) параллельно и б) перпендикулярно к главной
оси деформации. Считать атомную поляризуемость а
постоянной скалярной величиной.
Указание. Локальное поле, действующее на атом в опи­
санной среде, можно найти следующим образом. Предста­
вим себе сферическую полость, окружающую атом и шесть
соседних атомов. Вне этой полости среду можно считать
непрерывной и изотропной. Локальное поле в центре по­
лости может быть выражено в виде
27
Ел = Е + Е' + 2 Е/',
/=1
где Е — приложенное поле, Е' и Е/' — поля, вызванные со­
ответственно поляризованным континуумом вне сфери­
ческой полости и диполем, индуцированным в /-м атоме
в
внутри полости. В анизотропной среде ^ Е/ не обращается
/= 1
в нуль. Более того, эта величина зависит от направления
приложенного поля Е.
3.20. Каков критический угол полного отражения для
коротковолнового рентгеновского излучения с длиной вол­
ны к, падающего на металлическую пластину, в которой
все N электронов в единице объема являются «свободными».
3.21. Ионосферу можно рассматривать как ионизо­
ванную среду, содержащую N свободных электронов в еди­
нице объема. Показать, что если линейно поляризованная
волна распространяется в ионосфере в направлении, па­
раллельном направлению слабого однородного магнитного
поля Земли Н, то плоскость поляризации волны будет
поворачиваться на угол, пропорциональный пройденному
волной расстоянию. Вычислить коэффициент пропорцио­
нальности.
3.22. Показать, что электромагнитные волны могут
распространяться внутри полой металлической трубы пря­
моугольного поперечного сечения, стенки которой полно­
стью проводящие. Каковы групповая и фазовая скорости
распространения? Показать, что имеется граничная часто­
та и что электромагнитные волны с частотой меньше гранич­
ной не могут распространяться по такому волноводу.
3.23. Предположим, что внутри сверхпроводника вмес­
то закона Ома (J = оЕ) справедливы уравнения Лондона
для плотности тока J:
с rot (X J) = — В, — (X J) = Е
dt
(в гауссовой системе), к мы считаем константой. В остальном
уравнения Максвелла (с е = 1, р = 1) и соответствующие
граничные условия остаются неизменными. Рассмотрим
бесконечную сверхпроводящую пластину толщиной 2d
(—d z -< d), вне которой имеется постоянное магнитное
поле, параллельное плоскости:
Hx — Hz = 0, Ну = Н 0
28
(одинаковые как для г > d , так и для z < —d), и Е = D =
= 0 везде. Вычислить Н и J внутри пластины, если поверх­
ностных токов и зарядов нет.
3.24. Поляризованный свет распространяется вдоль оси
стеклянного цилиндра длиной L, который вращается во­
круг своей оси с угловой скоростью Q. Найти угол, на ко­
торый повернется плоскость поляризации на выходе из
цилиндра. (Предполагается, что показатель преломления
постоянный, а магнитная проницаемость равна единице.)
3.25. Щелевая линза (рис. 20) имеет отверстие, длина
которого значительно превышает его ширину у 0. Слева от
линзы электрическое поле равно £ \, справа Ег. Пучок
заряженных частиц, сфокусированный на расстоянии хг
от щели слева, за щелью вновь фокусируется на расстоя­
нии х2 справа от нее. До щели частицы ускоряются разно­
стью потенциалов W Показать, что
3.26. Ион движется по спиральной траектории вокруг
оси длинного соленоида, намотанного так, что величина
Рис. 20
если
V0» Eixi и V0» Е2х2,
Xi и х2 » у0.
29
поля на траектории иона постепенно возрастает от значения
Bi до значения В2- При каких условиях ион будет отра­
жен?
3.27. На рис. 21 показано сечение цилиндрического
анода (радиусом Ь) и цилиндрического катода (радиусом а)
магнетрона. Катод заземлен, а потенциал анода равен V,
Однородное магнитное поле Н направлено вдоль оси ци­
линдра. Электроны испускаются катодом с нулевой на­
чальной скоростью и под действием приложенных полей
движутся в направлении анода по некоторым криволиней­
ным траекториям. Определить величину потенциала V,
ниже которого ток будет подавляться магнитным полем Н.
3-28. Магнитная квадрупольная линза, сечение которой
показано на рис. 22, обладает свойством фокусировать пу­
чок заряженных частиц, движущихся почти параллельно
оси г. Фокусировка происходит или в плоскости х = О
или в плоскости у = 0 в зависимости от знака заряженных
частиц. Определить простейшее распределение магнитных
«полюсов», которые аналогичным образом фокусируют нейт­
ральные частицы с магнитным моментом р, поляризованные
параллельно (или антипараллельно) оси х.
3.29. Хорошо сколлимированный пучок протонов имеет
форму цилиндра радиусом R. Скорость протонов в пучке
равна v, а их число в единице объема р. Найти силы, дей­
ствующие на протон на расстоянии г от оси пучка. Качест­
венно исследовать стабильность пучка.
30
3.30. Вывести нерелятивистское уравнение движения
электрически заряженной частицы около фиксированного
магнитного монополя с силой Г. Найти интегралы движе­
ния.
3.31. Стандартным методом калибровки орбит заряжен­
ных частиц с импульсом р в статических магнитных полях
является метод эмпирического определения конфигурации
в полях достаточно гибкой проволоки, по которой течет
ток I при натяжении Т. Дать физическое обоснование
этого метода.
Указание. Вывести общие дифференциальные уравнения
для орбиты частицы dar/dsa и для равновесного положения
токонесущей проволоки.
3.32. Атом со сферически симметричным распределе­
нием заряда находится во внешнем магнитном поле Н. По­
казать, что поле на ядре, обусловленное диамагнитным то­
ком, равно АН = —(еН/Зшса)ф(0), где <р(0) — электроста­
тический потенциал, создаваемый на ядре атомными элек­
тронами. Грубо оценить величину ДН/Н для атома с
Z = 50.
3.33. Заряд, распределенный в ограниченном простран­
стве сферически симметрично, пульсирует в радиальном
направлении с некоторой частотой ю. Как можно зарегист­
рировать эти радиальные пульсации? Пояснить ответ.
3.34 Маховик радиусом R, на ободе которого равномер­
но распределен заряд Q, вращается с угловой скоростью <о.
Какова интенсивность излучения энергии?
3.35. Покажите, что, согласно классической теории
излучения, при столкновении нерелятивистских бесспи-
новых тождественных частиц невозможно электрическое
или магнитное дипольное излучение.
3.36. Линейно поляризованная плоская волна электро­
магнитного излучения падает на атом с поляризуемостью а.
Определить в рамках классической электромагнитной тео­
рии электрическое поле рассеянной волны на большом рас­
стоянии и полное сечение рассеяния.
3.37. Тонкое медное кольцо вращается вокруг оси,
перпендикулярной к однородному магнитному полю Н0
(рис. 23). Начальная скорость вращения равна ш„. Вычис­
лить время, за которое частота вращения уменьшится в
е раз, считая, что энергия расходуется на джоулево тепло
(проводимость меди равна о = 5' 1017 СГСЭ, плотность
р = 8,9 г/см:\ Иq—1 200 гс).
31
ч»
СГ1^>
Ось вращения ш
Рис. 23
3.38. Частица массой т и зарядом е подвешена на нити
длиной L. На расстоянии d под точкой подвеса находится
бесконечный плоский проводник. Вычислить частоту коле­
баний маятника при условии, что амплитуда их достаточно
мала, так что применим закон Гука, и потери энергии в
единицу времени на излучение материальной точкой, ко­
леблющейся с малой амплитудой а.
3.39. Семь антенн, излучающих как электрические ди­
поли, поляризованные по направлению оси г, расположе­
ны на оси х в точках х = О, ± У 2, ±Х, ±ЗА,/2. Все антен­
ны излучают волны с длиной К и возбуждаются в фазе.
а. Вычислить угловое распределение излучаемой мощ­
ности как функцию полярного 0 и азимутального <р углов
(пренебрегая постоянными множителями).
б. Начертить примерный график зависимости излу­
чаемой мощности от угла ср в плоскости ху.
в. Определить направление, в котором интенсивность
излучения максимальна 1) для данной конфигурации ан­
тенн и 2) для одной единственной антенны. Каково отно­
шение этих интенсивностей?
3.40. Показать, что потеря энергии на излучение за
один оборот частицы с единичным зарядом пропорциональна
L _ Р3 л .
(1- Р 2)2 ' R ’
где R — радиус орбиты, (3 = vfc, а г0= е2/т0с2.
3.41. Пучок света интенсивностью / 0 и частотой v0,
направленный вдоль положительной полуоси г, отражается
под прямым углом от идеального зеркала, движущегося
вдоль положительной полуоси г со скоростью V, Каковы
интенеивность / и частота v отраженного света, выражен­
ные соответственно через / 0 и v0?
32
3.42. Два тонких параллельных бесконечно длинных
непроводящих стержня, разделенные расстоянием а
(рис. 24) и имеющие одинаковую постоянную плотность
заряда К на единицу длины в системе покоя стержней, дви­
жутся со скоростью v, не обязательно малой по сравнению
со скоростью света. Вычислить силу взаимодействия стерж­
ней, приходящуюся на единицу длины, в покоящейся и
в движущейся системах координат и сравнить их.

Решение задач по физике Пинский from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (23.07.2016)
Просмотров: | Теги: Гринберг, Кронин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar