Тема №6532 Решение задач по физике Кронин, Гринберг (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по физике Кронин, Гринберг (Часть 2) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по физике Кронин, Гринберг (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

3.43. Электрон движется в зависящем от времени ак­
сиально симметричном магнитном поле с Во = 0. Каким
условиям должен удовлетворять лагранжиан
L = — тс2 ^ 1 ~ у /г + -J- A ( B = v x A)>
чтобы электрон двигался по фиксированной в пространстве
круговой орбите с постоянным по времени радиусом? Ка­
ковы угловая частота и энергия электрона на такой орбите?
Исследовать устойчивость круговых орбит. Предпола­
гать, что форма поля вблизи орбиты может быть представ­
лена выражением Вг — B0(r0/r)tt, где Вг— мгновенное зна­
чение поля на равновесной орбите ' = г0, г — ось симмет­
рии, п — положительное число, а В(г, г, t) = B(r, z)T(t).
Считать, что внешнее поле мало меняется за время одного
оборота электрона по орбите.
а. Показать, что если п > 1 , то орбита неустойчива по
отношению к радиальным колебаниям.
б. Показать, что сумма квадратов частот радиальных
и вертикальных колебаний равна квадрату частоты обра­
щения по равновесной орбите.
3.44. Найти ковариантное обобщение а) силы Лоренца
F = е(Е + [vB]) и б) уравнения движения частицы со
спином S
dS
dt
ML
2 т
[SB],
где g — гиромагнитное отношение.
2—403 33
Рис. 25
Рис. 27
4. ЭЛЕКТРОНИКА
4.1. Электронная лампа и LC-цепь используются обыч­
ным способом как радиочастотный генератор. Каков поря­
док величины верхней граничной частоты такого генерато­
ра, если к электродам приложена разность потенциалов
200 в, а расстояние между электродами около 1 мм?
4.2. Показать, что бесконечная цепь индуктивностей L
и емкостей С (рис. 25) действует как фильтр низких частот.
Выразить граничную частоту согр через собственную час­
тоту со о— VVLC.
4.3. Необходимо ослабить сигнал, вырабатываемый
электронной схемой, с минимальными искажениями формы
сигнала (максимальной шириной полосы). Использовать
для этого показанную на рис. 26 высокоомную схему ослаб­
ления, дополнив ее необходимыми элементами. Опреде­
лить величины этих элементов.
4.4. Триод в схеме генератора с настроенным анодом
(рис. 27) имеет коэффициент усиления р и внутреннее со­
противление Rp. На какой частоте будет работать генератор?
При каких условиях произойдет срыв генерации?
Указание. Предполагать, что сеточный ток триода ра­
вен нулю.
4.5. На вход А диодной схемы (рис. 28,а) подается пе­
риодический сигнал (рис. 28,6). Предполагая, что в на­
чальный момент конденсаторы не заряжены, нарисовать
зависимость напряжения от времени в точках В и D в те­
чение трех периодов входного сигнала. Считать, что диоды
представляют собой идеальные ключи. Каково предельное
значение напряжения в точке В?
а 6
Рис. 28
2* 35
5. 1. Тонкая линза с показателем преломления п и ра­
диусами кривизны Ri и R2 расположена на границе разде­
ла двух сред с показателями преломления пх и пг (рис. 29).
Пусть Sj и S2— соответственно расстояния от объекта до
линзы и от изображения до линзы, a f x и / 2— соответствую­
щие фокусные расстояния. Показать, что в этом случае
справедливо соотношение f i/S 1 + f 2/S 2 — I.
5. ОПТИКА
Рис. 29
5.2. На поверхность раздела двух сред под прямым уг­
лом падает свет так, что волна с единичной амплитудой в
среде 1 отражается от поверхности раздела с амплитудой г,
а в среду 2 проходит волна с амплитудой t. Аналогично
волна с единичной амплитудой в среде 2 отражается от
поверхности раздела с амплитудой г'и проходит в среду 1
с амплитудой t'. Используя принцип суперпозиции и ин­
вариантность по отношению к обращению времени, вывести
соотношения Стокса r2+ tt' = 1 и г = —г'.
5.3. Полубесконечный диэлектрик, покрытый пленкой
толщиной d, помещен в вакуум; на него нормально падает
плоская электромагнитная волна. Предполагается, что
р = 1 для обеих сред и что пленка и диэлектрик имеют
показатели преломления, равные соответственно пг и п2.
Выразить амплитуду отраженной в вакуум волны через
показатели преломления пх и п2 и длину волны в вакууме X.
При каких условиях амплитуда отраженной волны обра­
тится в нуль?
5.4. Метод цветной фотографии был предложен Липпма-
ном в 1881 г. Сущность этого метода заключается в сле­
дующем. Фотопластинка состоит из слоя чрезвычайно мел­
козернистой эмульсии, нанесенной на стеклянную плас­
тину. Эмульсию, в свою очередь, покрывают тонким сло-
36
ем ртути, образующим отражающую поверхность. При
экспонировании фотопластинка обращена к свету стеклян­
ной поверхностью (рис. 30). После проявления пластина,
по-прежнему покрытая слоем ртути, освещается белым
светом, и в отраженном свете наблюдается цветное изобра­
жение. Объяснить, как это происходит.
Свет
111
Стекло
Эмульсия
Ид~
Рис. 30
5.5. В камере с малым отверстием расстояние от от­
верстия до фотопластинки равно 10 см. Необходимо полу­
чить изображение Солнца в видимом спектре (Я, = 5000 А).
Какого диаметра должно быть отверстие, чтобы разреше­
ние было наилучшим?
5.6. Для анализа спектра натрия используется дифрак­
ционная решетка шириной 5 см. Свет падает на эту решет­
ку нормально. Определить минимальное число линий,
необходимое для того, чтобы разрешить в первом порядке
дублет D натрия, компоненты которого имеют длину волны
соответственно 5890 А и 5896 А. Каково в этих условиях
угловое расстояние между двумя компонентами дублета?
5.7. Микроволновый детектор расположен на берегу
озера на высоте 0,5 м над уровнем воды. При медленном
восхождении над горизонтом радиозвезды, излучающей
микроволны с X — 21 см, детектор регистрирует череду­
ющиеся максимумы и минимумы интенсивности сигнала.
При каком угле 0 над горизонтом находится радиозвезда
в момент регистрации первого максимума?
5.8. Две очень узкие параллельные щели в непрозрач­
ном экране разделены расстоянием d. Экран освещается
длинной прямой светящейся металлической лентой 1 шири­
ной W, расположенной на расстоянии L перед экраном 3
(рис. 31). Цветной стеклянный светофильтр 2 пропускает
свет длиной волны %. Прошедший свет дает интерференци­
онную картину на экране 4, расположенном на большом
37
расстоянии за непрозрачным экраном. При увеличении
расстояния между щелями оказалось, что при значении
d = d0 интерференционные полосы исчезают. Определить
ширину W светящейся ленты.
1
В
L
Рис. 31
5.9. В дифракционной решетке N щелей; длина каждой
щели равна половине длины предыдущей. Расстояние между
щелями d. Каково угловое распределение интенсивности
света с длиной волны X?
5.10. Рассмотрим отражающую решетку, бороздки ко­
торой хотя и расположены на равном расстоянии, но имеют
следующую чередующуюся отражательную способность:
1 + а, 1 — а, 1 + а, 1 — а и т. д. Как будет изменяться
дифракционная картина, если а увеличивать от 0 до неко­
торой величины, значительно меньшей единицы?
5.11. Черный экран с круглым отверстием радиусом а
расположен в плоскости ху так, что центр отверстия сов­
падает с началом координат. На экран падает плоская вол­
на ф = е* 1 *3, k = 2л/Х. Найти точки на положительной
оси (г а), где интенсивность приблизительно рав­
на нулю.
5.12. Свет проходит через ряд идеальных поляризато­
ров. Плоскости поляризации выстроены в фиксированном
направлении, но имеются случайные отклонения в направ­
лении двух соседних плоскостей поляризации, подчиняю­
щиеся гауссовому распределению Ве~а0\ где 0 — относи­
тельный угол отклонения. Найти средний коэффициент
38
ослабления системы в расчете на один поляризатор для
пучка света, прошедшего первый поляризатор. Предпола­
гается, что а 1.
5.13. Плоская монохроматическая волна падает на не­
совершенную линейную дифракционную решетку с N иден­
тичными щелями. Несовершенство решетки обусловлено
тем, что апертуры щелей независимо друг от друга колеб­
лются в плоскости решетки. Среднее положение щелей соот­
ветствует идеальной линейной решетке с расстоянием между
щелями d. Время фотографирования дифракционной карти­
ны очень велико по сравнению с периодами колебаний.
Распределение вероятности для отклонения апертуры от ее
среднего положения является гауссовым, причем средне­
квадратическое отклонение одинаково для всех апертур.
Показать, что распределение интенсивности (т. е. ин­
тенсивность как функция угла между направлением падения
и направлением наблюдения) на фраунгоферовой дифрак­
ционной картинедля такой решетки может быть представ­
лено в виде
/ = ф/0 + iV (1 — ф)г0,
где / 0— распределение интенсивности для идеальной ре­
шетки, образуемой щелями, когда они находятся в своих
средних положениях, t0— распределение интенсивности
на дифракционной картине для одной щели. Выразить ср
через среднеквадратическое отклонение.
5.14. Свет с частотой /, излучаемый источником Р
(рис. 32), проходит через показанную на рисунке систему.
По верхнему трубопроводу со скоростью и течет жидкость,
39
имеющая показатель преломления п, а в нижнем трубопро­
воде та же жидкость покоится. Каково минимальное зна­
чение скорости и, при которой в точке Р ’ будет происходить
деструктивная интерференция?
Рис. 33
5.15. Для того чтобы наблюдать Солнце в монохромати­
ческом свете, французский астроном Лио изобрел двояко-
преломляющий фильтр, состоящий из ряда двоякопрелом-
НапраВление
оптических
осей
кристаллов
Плоскость
поляризации
Рис. 34
ляющих кристаллов С (рис. 33).
Каждый последующий кристалл в
два раза толще предыдущего. На
концах системы и между кристал­
лами установлены поляризующие
пленки. Все кристаллы смонтиро­
ваны так, что их оптические оси
параллельны и составляют прямой
угол с направлением распростра­
нения света. Оси поляризации пле­
нок также параллельны друг другу
и составляют угол 45° с направлением оптических осей
кристаллов (рис. 34). Через такую систему может пройти
свет лишь в определенном интервале частот.
Вычислить пропускание фильтра, состоящего из S
элементов, для света с длиной волны X. Найти ширину ДХ
полосы частот, которые могут пройти через фильтр, а
также расстояние между такими полосами.
6 . КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
6.1. Пусть квантовомеханические операторы В и С
антикоммутируют
(В, С)+ = ВС + СВ = о
и пусть ф — собственное состояние обоих операторов В
и С. Что можно сказать о соответствующих собственных
значениях? Если В является оператором барионного числа,
40
а С — зарядового сопряжения, то имеют место соотноше­
ния {В, С}+ = 0 и С2~ 1. Применить к этому случаю по­
лученный результат.
6.2. Три матрицы Мх, Му, Мг, каждая из которых
состоит из 256 строк и столбцов, подчиняются коммута­
ционным правилам [Мх, Му] = iМг (с циклической пере­
становкой х, у, г). Собственные значения одной матрицы,
скажем Мх, равны ± 2 (одно значение); ± 3/2 (8 значений);
±1 (28 значений); ±V 2 (56 значений); 0 (70 значений).
Определить 256 собственных значений матрицы М2 =
= М* + М\ + М\.
6.3. Найти собственные значения матрицы
\ ь = [xt, [L2, xh] ]; L3 = [rp]2 (t, k = 1,2,3).
6.4. При рассмотрении систем, способных испускать
частицы с полуцелым спином, приходится иметь дело с
оператором U, подчиняющимся коммутационным соотно­
шениям
[U,jt] = - L u , (1)
[[{/, J2], J2] = ±-{U P + P U ) + (2)
где J — момент количества движения испускающей систе­
мы. Найти из соотношений (1) и (2) правила отбора в мат­
ричном представлении, в котором J г и J2 диагональны;
собственные значения этих операторов равны соответст­
венно т и /(/+ 1). Другими словами, какие из матричных
элементов (m'j'\U\mj) отличны от нуля?
Указание. Использовать Xj = /()+ 1).
6.5. Доказать, что все волновые функции, соответст­
вующие максимальному собственному значению квадрата
оператора полного спина системы из N электронов, сим­
метричны по отношению к спиновым координатам отдель­
ных электронов.
6.6. Доказать правило сумм Томаса — Рейха — Куна
^ ^ м 1 {е п- е 0) = \.
п
Сумма берется по полному набору собственных состояний
с энергией Еп частицы массой т, движущейся в потен­
циальном поле; ф0— связанное состояние.
6.7. Показать, что уравнения Максвелла в отсутствие
источников поля могут быть представлены в дираковской
4!
форме
{р — оператор импульса) введением вектора Крамерса F =
= Е + iH, F* = Е — iH и подходящим выбором матри­
цы S. Использовать это представление электромагнитного
поля, чтобы показать, что спин фотона равен единице.
6.8. Использовать правило квантования Бора — Зом-
мерфельда, чтобы вычислить допустимые энергетические
уровни мяча, упруго подпрыгивающего в вертикальном
направлении.
6.9. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор
имеет собственные значения энергии //со (п -f- 3/2), где п —
— О, 1, 2,... Какова степень вырождения квантового со­
стояния л?
6.10. Три материальные точки с одинаковой массой т
движутся по кругу радиусом г. Взаимное расстояние между
ними фиксировано и одинаково, так что они образуют равно­
сторонний треугольник. Эти материальные точки подчи­
няются статистике Бозе и не имеют спина. Исследовать вра­
щательные энергетические уровни системы.
6.11. Вывести выражение для энергии диполь-диполь-
ного магнитного взаимодействия между протоном и анти­
протоном, находящимся на фиксированном расстоянии а,
в зависимости от полного спина системы, используя зна­
чение магнитного момента протона ju, 0. Энергия взаимодей­
ствия двух магнитных диполей определяется выражением
6.12. Найти и классифицировать собственные значения
гамильтониана
где alt <У2— спиновые матрицы Паули соответственно для
частиц 1 и 2 (принцип Паули во внимание не принимать).
6.13. Система состоит из двух различных частиц со
спинами 1/2. Спин-спиновое взаимодействие частиц опре­
деляется выражением где J — постоянная. К си­
стеме приложено внешнее магнитное поле Н. Магнитные
моменты частиц соответственно равны и (За2. Найти
точные собственные значения энергии этой системы.
Н — A [olz -j- o2z] -f- Вога2,
42
6.14. Внутри сферы радиусом R имеется электрон. Ка­
ково давление Р, оказываемое на поверхность сферы, если
электрон находится а) в наинизшем s-состоянии? б) в наи-
низшем р-состоянии?
6.15. Частица массой т движется в потенциальном поле
V(r) = l - V o Д™ г<а,
\ 0 для г> а .
Найти наименьшее значение V0, при котором имеется свя­
занное состояние с нулевой энергией и нулевым моментом
количества движения.
6.16. Для одномерного уравнения Шредингера с по­
тенциалом
V(x) =
Ч)2х2 для х > 0
+ ОО для х<.0
найти собственные значения энергии.
6.17. Электрон движется в вакууме под действием од­
нородного магнитного поля В. Найти энергетические уров­
ни. Показать, что для больших орбит магнитный поток
через электронную орбиту квантуется. Спин электрона
не учитывать. Показать также, что, зная энергетические
уровни в нерелятивистском приближении, можно опре­
делить релятивистские поправки к этим уровням.
6.18. Кзантовомеханическая система, когда возмущений
нет, может находиться в одном из двух состояний: 1 или 2 с
энергиями соответственно Ег и Ей. Предположим, что на
систему действует возмущение, не зависящее от времени,
V =
О
К21
V12
О
причем V2i — V12. Пусть в момент t = 0 система находится
в состоянии 1. Определить амплитуды обоих состояний в
любой последующий момент времени t.
6.19. Использовать вариационный принцип для оценки
энергии основного состояния частицы, находящейся в по­
тенциальном поле
V =
ОО
сх
для х < О,
для х > 0.
В качестве волновой функции взять функцию хе~ах.
43
6.20. Электрон с зарядом е и массой т может двигаться
по окружности радиусом г. Движение его возмущено одно­
родным электрическим полем F, направленным параллель­
но плоскости окружности. Найти возмущение энергети­
ческих уровней вплоть до членов порядка F2. Обратить
внимание, в частности, на аномальное поведение первого
возбужденного состояния.
6.21. Если приложенное электрическое поле F в эф­
фекте Штарка для основного состояния слабое, то энерге­
тический уровень смещается на величину, пропорциональ­
ную квадрату напряженности приложенного поля F, т. е.
ДЕ = —(aF2)/2, где а — поляризуемость атома. Получить
выражение для поляризуемости атома водорода в основном
состоянии, используя теорию возмущений. Приблизи­
тельно оценить верхний и нижний пределы для поляризуе­
мости, показав, что 4а3 < а < (16/3)а3, где а — радиус
воровской орбиты.
6.22. Две тождественные частицы со спином 1/2 подчи­
няются статистике Ферми. Они заключены в куб со сторо­
ной 10~8 см. Между парой частиц действует потенциал
притяжения 10~3 эв, если расстояние между части­
цами меньше 10'10сл<. Используя нерелятивистскую теорию
возмущений, вычислить энергию и волновую функцию ос­
новного состояния (массы тождественных частиц считать
равными массе электрона).
6.23. Пусть атом с одним 2/?-электроном помещен в
электрическое поле с ромбической симметрией. Потенциал
поля равен V = Ах2 + By2 — {A -f B)z2. Показать, что
среднее значение Lz равно нулю. Спин электрона не учи­
тывать. Предполагать, что V мал по сравнению с атомным
потенциалом.
6.24. Два идентичных плоских ротатора с координатами
0 1( 0 2 связаны так, что гамильтониан системы имеет вид
н = А ( р\ + pi) — В cos (0Х — 02),
где А и В — положительные константы (заметим, что
0;+ 2я эквивалентно 0,). Определить из уравнения Шре-
дингера собственные значения энергии и собственные функ­
ции для В С АН2 (учитывать лишь члены, линейные по
В, остерегаться вырождений) и для В > Ah2 (свести задачу
к задаче об осцилляторе, малые колебания).
6.25. Частица массой т движется в двухмерной потен­
циальной яме
44
V(*,y) = \ 0дл” isi и Ш < ‘
I <х> в остальной области.
Определить средние значения операторов х, у для основного
состояния, когда приложено малое возмущение V =
= Fxx + Fvij (Fj и F2 — константы). Учесть члены только
в первом порядке по Fl и F2. Матричные элементы вычис­
лять не надо, достаточно их выразить в интегральном виде
и указать, какие из них отличны от нуля.
6.26. Рассмотреть два идентичных линейных осцилля­
тора с коэффициентами упругости k. Потенциал взаимодей­
ствия задан выражением Н' = сх^х^, где х% и хг — осцилля-
торные переменные.
а. Найти точные значения энергетических уровней.
б. Считая, что с k, определить в первом порядке тео­
рии возмущений два нижних возбужденных состояния.
(Энергии уровней определить в первом порядке, а соб­
ственные функции — в нулевом порядке теории возму­
щений.)
6.27. Гамильтониан двумерного осциллятора равен
Н = - у ( р\ + pi) + — 0 + Ьху) (х2 + у2),
где Л = 1, а б < 1 • Определить волновые функции для трех
нижних уровней энергии в случае 8 0. Вычислить сме­
щение этих уровней для б Ф 0 в первом порядке теории
возмущений.
6.28. В однородном магнитном поле, параллельном
оси z, находится электрон. Измерения показали, что в мо­
мент времени / = 0 спин электрона был направлен по оси х.
Провести квантозомеханический расчет вероятности того,
что электрон в момент / > 0 будет в состоянии
a ) c S x = - L ; 6 ) c S , = - i ; B) c S * = - i - .
6.29. Тритий 3Н спонтанно распадается с излучением
электрона, максимальная энергия которого примерно рав­
на 17 кэв. Остаточным ядром является 3Не. Вычислить ве­
роятность того, что единственный электрон этого иона ос­
тается в состоянии с главным квантовым числом 2. Отдачей
ядра пренебречь. Атом трития до распада находился в ос­
новном состоянии.
6.30. Атом с J = V2, rrij — V2 находится в однородном
магнитном поле. Поле мгновенно поворачивается на угол
Ф = 60°. Вычислить вероятность того, что сразу же после
45
изменения направления поля атом окажется в одном из
подсостояний с ту = ±1/2 относительно нового направ­
ления поля.
6.31. Каково физическое обоснование правила отбора,
согласно которому переход с излучением одного фотона из
одного состояния с нулевым моментом количества движения
в другое состояние с нулевым моментом количества движе­
ния запрещен? Имеется ли какая-либо другая возможность
перехода 0 ->0 с излучением света? Какова физическая при­
чина того, что радиационный переход, при котором не­
обходимо большое изменение спина, происходит медленно?
6.32. Показать, что сечение фотопоглощения атома с
отрывом электрона с /(-оболочки изменяется как Z5 при
больших по сравнению с энергией связи /(-электрона энер­
гиях фотона. Использовать теорию возмущения. Отдачей
можно пренебречь.
6.33. Трехмерная прямоугольная яма имеет глубину Ко
и радиус а. Частица с положительной энергией Е и мас­
сой т захватывается в состояние с орбитальным момен­
том L Ф 0. Пренебрегая орбитальным моментом внутри
ямы, вычислить время жизни т частицы.
6.34. Квантовомеханическая система находится в со­
стоянии с орбитальным моментом L1= 0 . Система распа­
дается с излучением электрического дипольного фотона,
переходя в более низкое состояние с орбитальным момен­
том L2 = 1. Это состояние спустя некоторое короткое вре­
мя, в свою очередь, распадается также с излучением элект­
рического дипольного фотона, переходя в основное состояние
системы с орбитальным моментом L3 = 0. Оба фотона
регистрируются детекторами. Вычислить вероятность W
того, что направления квантов образуют угол ф. Зависит
ли результат от того, является система атомом или ядром?
Указание. Использовать теорию возмущений во втором
порядке.
6.35. Проанализировать рассеяние частицы на простой
кубической решетке с периодом й. Взаимодействие частицы
с узлами решетки имеет вид
v - — ^ 2 i 8( r - r‘>-
i
Анализ провести з борновском приближении. С помощью
полученного результата показать, что рассеяние имеет
место лишь тогда, когда выполняется условие Вульфа —
Брэгга.
46
6.36. Выражение
J = J£ — [ф*уф — фуф*]
2mi
определяет вероятность того, что через единичную поверх­
ность, перпендикулярную к направлению J, в единицу
времени пройдет одна частица. Пучок частиц с одинаковой
скоростью v попадает в некоторую область, в которой часть
частиц поглощается. Это поглощение можно описать введе­
нием в волновое уравнение постоянного комплексного по­
тенциала Vr— \Vt. Показать, что сечение поглощения на
атом равно а = 2Vt/flNv, где N — число поглощающих ато­
мов в единице объема.
6.37. Частица рассеивается полностью поглощающей
(«черной») сферой, радиус которой больше длины волны
де Бройля Х/2я — Ilk. Какова зависимость параметров rj/
и б; амплитуды рассеяния
от /? Вычислить сечение упругого рассеяния, сечение по­
глощения и полное сечение.
6.38. Вычислить дифференциальное и полное сечения
рассеяния бесспиновой частицы с массой т, падающей на
бесконечно тяжелую и бесконечно жесткую сферу радиу­
сом а. Рассмотреть случай, когда частица движется доста­
точно медленно, чтобы можно было пренебречь сдвигом
фазы D-волны. Ответ представить в виде полинома от ka
и оставить лишь члены более низкого, чем a\ka)4 порядка.
Можно воспользоваться следующим рекуррентным соот­
ношением, справедливым как для регулярного, так и для
нерегулярного решения: если Ft удовлетворяет урав­
нению
6.39. Пучок бесспиновых частиц рассеивается на жест­
кой сфере радиусом а с потенциалом
00
/(0) = ITT S (2/ + 1} {ri! ^ Pl (cos0)
то
F] (х) + ± F t (х) + F[(x)\ 1 - = О,
х L х 1
Ft+i (х) = - х 1-%- [F, (х) х-‘\.
ах
О для г > а.
ОО для г < а,
47
Для случая а < % найти полное сечение, если % = I/к.
Рассмотреть случай а > %. Показать, что в направле­
нии вперед различные парциальные волны дают когерент­
ный вклад в амплитуду рассеяния /(0), создавая тем самым
дифракционную картину фраунгоферовского типа.
Полезные формулы:
Рп (cos 0) « J0 (пВ) для больших п и малых б,
J ~ [ z ^ J n+1( z ) ] = z ^ J n (z),
dz
/(0) = т г 2 ( e2i5" - 0 p n (cos 0)- П=0
6.40. Определить связанные состояния для случая одно­
мерного притягивающего потенциала в виде б -функции.
Предполагается, что слева на яму падает поток частиц.
Определить относительные интенсивности рассеянного и
прошедшего пучков.
7. ТЕРМОДИНАМИКА
7.1. Вывести следующие соотношения (уравнения Макс­
велла):
TdS = Cv dT + T [ - ^ - \ dV
v \ д Т jv
7.2. Вычислить коэффициент Джоуля — Томсона
для газа Ван дер Ваальса, для которого
Р =
R T
V — B
а
у Г '
7.3. Замечено, что в определенных фазовых переходах
энтальпия Н или объем V не претерпевают скачкообразных
48
изменений, в то время как их первые производные по тем­
пературе изменяются скачком. Вывести два термодинами­
ческих соотношения, которые заменяют собой уравнение
Клапейрона — Клаузиуса. Фазы обозначить индексами
1 и 2.
7.4. Для воды при Г = 27°С = 0,00013 град~1.
Определить изменение температуры большой массы воды
при Т = 27° С, если она течением перенесена на глубину
1 км.
7.5. Рассмотреть диаграмму зависимости давления от
объема для данной массы вещества, на которой приведено
семейство адиабатических кривых. Показать, что ни одна
пара кривых из этого семейства не может пересекаться.
7.6. Один моль Н20 охлаждается от температуры 25° С
до 0° С и замерзает. Все тепло, полученное охлаждающей
машиной, работающей с максимальной теоретически до­
пустимой эффективностью (энтропия не увеличивается),
передается другому молю Н20 при 25° С, в результате чего
его температура повышается до 100° С.
а. Сколько молей Н20 переходит в пар при 100° С?
Теплота испарения К' при 100° С равна 9730 кал/моль.
Теплота плавления льда К при 0° С равна 1438 кал!моль.
б. Какую работу должен произвести рефрижератор?
7.7. Две колбы объемами 1Д и ]/2 наполнены одинаковым
идеальным газом, находящимся при одном давлении Р, но
при различных температурах T t и Т 2. Число частиц N в
обеих колбах одинаково. Определить изменение энтропии
после того, как колбы соединены и система пришла в рав­
новесие.
7.8. Газонепроницаемый поршень с малой теплоем­
костью скользит без трения внутри термически изолиро­
ванного цилиндра. Объемы А и В (соответственно под и
над поршнем) наполнены одинаковым количеством идеаль­
ного одноатомного газа. Предположим, что в начальный
момент температура газа в объеме А равна Т 0, а в объеме
В — 3Т0. Пусть система все время находится в состоянии
механического равновесия и с течением времени она при­
ходит в тепловое равновесие.
Каково отношение объемов Л и Б в начальный момент и
при t = оо? Как изменится энтропия системы в целом в
расчете на один моль газа за время от t = 0 до t = оо?
Какую полезную работу могла бы совершить система (при
подходящем переходе) в расчете на один моль газа при
49
условии, что передача тепла от одного объема к другому
полностью обратима?
7.9. Выразить изменение температуры свободно расши­
ряющегося одноатомного газа через начальный и конечный
объемы и константы уравнения Ван дер Ваальса для га­
за. Оценить приблизительно изменение энтропии и эн­
тальпии.
7.10. Один грамм воды, находящейся при температуре
20° С, выдавливается через изолированную пористую
пробку под давлением 104 атм в большой сосуд, где давле­
ние равно 1 атм. Определить состояние, в котором находит­
ся вода, вытекающая из пробки. Плотность воды предпо­
лагается неизменной как при давлении 10* атм, так и
при давлении 1 атм.. Теплота испарения равна 540 кал/г.
7.11. Колба наполнена газообразным гелием при тем­
пературе 10° К (выше критической точки) и термоизоли­
рована. Газ может медленно вытекать через капиллярную
трубку до тех пор, пока давление в колбе не станет рав­
ным 1 атм, а температура 4,2° К (точка кипения гелия).
Предполагая, что газ идеальный, найти начальное давле­
ние газа в колбе Pt, если в конце процесса колба оказыва­
ется полностью наполненной жидким гелием. Удельная
теплота испарения для Не при температуре 4,2° К рав­
на 20 кал/моль. Для газообразного гелия Су =
= 3 кал!(моль-град).
7.12. Тонкий длинный металлический стержень колеб­
лется с основной частотой продольных колебаний. В какой
области частот колебания будут изотермическими? Модуль
Юнга для материала, из которого изготовлен стержень,
Е = 1012 дин!см2, плотность р = 10 г/см3, удельная тепло­
проводность К = 1 кал/(см-град-сек) и удельная теплоем­
кость С =0,1 кал/(г-град).
7.13. Две колбы одинакового объема V соединены труб­
кой (рис. 35) длиной L и малым поперечным сечением А
(LA V). Первоначально одна из колб наполнена смесью
Рис. 35
50
газов СО и N2 с парциальными давлениями соответственно
Р0 и Р — Ро, в то время как другая колба наполнена N3
при давлении Р. Коэффициент диффузии СО в N2 или N2
в СО равен D. Определить зависимость парциального дав­
ления СО в первой колбе от времени.
7.14. Стальной шар радиусом 20 см равномерно нагре­
вается до температуры 100° С, а затем температура поверх­
ности шара поддерживается постоянной и равной 0° С
Определить температуру в центре шара спустя 15 мин после
того, как началось охлаждение. Отношение удельной'теп-
лопроводности к удельной теплоемкости на единицу объема
К/Ср =0,185 в единицах СГС (р — плотность шара).
7.15. Шар радиусом R погружен в бесконечно протяжен­
ную жидкость с температурой Т 0. В начальный момент вре­
мени t = 0 температура шара Т 1 > Т0 и поддерживается
таковой в дальнейшем. Теплопроводность жидкости рав­
на К, удельная теплоемкость С, плотность р.
Выразить температуру в любой точке среды вне шара в
момент времени / > 0 в виде определенного интеграла.
Найти в явной форме предельное распределение темпера­
туры в среде при t -> оо.
7.16. Найти зависимость плотности электромагнитной
энергии Е от температуры в резонаторе с идеально отра­
жающими стенками, воспользовавшись термодинамичес­
кими соображениями.
7.17. Шарообразный спутник радиусом г, окрашенный
в черный цвет, вращается по круговой орбите вокруг Солн­
ца. Расстояние между спутником и центром Солнца равно D
(г <^D). Солнце представляет собой шар радиусом R, из­
лучающий подобно черному телу при температуре Т0 =
= 6000° К. Угол, под которым Солнце видно со спутника,
составляет 2а = 3 2 '. Какова равновесная температура
спутника?
7.18. Можно предположить, что свободная энергия F
(функция Гельмгольца) ферромагнетика в отсутствие внеш­
него поля зависит от намагниченности следующим об­
разом:
+ « ( Т - Т К)М* + £Ш\ (1)
где Т — температура ферромагнетика, близкая к темпе­
ратуре Кюри Тк ; а и (3 — положительные величины, почти
не зависящие от температуры; F0— свободная энергия в
ненамагниченном состоянии, может приближенно рассмат­
риваться как не зависящая от температуры. Вывести зависи­
51
мость от температуры средней намагниченности М(Т), ко­
торая следует из уравнения (1), если флуктуациями пре­
небречь. Как влияют флуктуации на М(Т)? Определить
также магнитную восприимчивость выше точки Кюри.
7.19. Скорость звука v в парамагнитном газе изменяется
под воздействием приложенного магнитного поля Н. Вы­
числить [v(H) — и(0)]/и(0) в предположении, что намагни­
ченность одного моля газа в низшем порядке по у равна
М — fH/T. Удельную теплоемкость газа (для Н —0)
можно считать не зависящей от температуры.
7.20. Согласно Мейсснеру, в сверхпроводнике В = 0.
В нормальном состоянии намагниченность М пренебрежимо
мала. При фиксированной температуре Т < Т к, если внеш­
нее поле Н уменьшает-
Н ся до значения, меньше­
го критического значе­
ния НК(Т) = Н0[1 —
— (77ГК)2], нормальное
состояние (фаза 1 на
рис. 36) претерпевает
фазовый переходе сверх­
проводящее состояние
(фаза 2). Показать, что
эта точка зрения пра­
вильна. Для этого оп­
ределить разность функ­
ций Гиббса (функция
Гиббса при наличии ма­
гнитного поля опреде­
ляется выражением G = U — TS — НМ) для- нормаль­
ного и сверхпроводящего состояний металла при Т<^ТК,
т. е. вычислить величину Ga(T, Н) — GC(T, Н). Определить
теплоту перехода L из нормального состояния в сверхпро­
водящее при Н = 0 и скачок удельной теплоемкости при
таком переходе. Является ли этот фазовый переход пере­
ходом первого или второго рода?
7.21. Определить, пользуясь термодинамическими прин­
ципами, давление пара Р, для капли жидкости с очень ма­
лым радиусом г, выразив его через давление пара Р„ боль­
шой массы той же жидкости, для которой отношение по­
верхности к объему пренебрежимо мало.
- Указание. Для очень малых количеств вещества отно­
шение поверхности к объему растет и, следовательно, по­
верхностные явления старювятся доминирующими.
52
7.22. В космическое пространство запущена ракета
массой 1000 кг. В предположении, что все звездные тела
в среднем имеют массу порядка 1030 кг и движутся в среднем
с произвольно направленной скоростью 10 км1сек, опреде­
лить среднюю скорость ракеты спустя достаточно долгое
время после запуска (вероятность падения ракеты на ка­
кую-либо звезду мала).
7.23. Имеется газообразный водород при температуре Т
(близкой к температуре жидкого азота) и давлении Р (при­
мерно 1 см pm. cm.) с концентрацией ортоводорода х. Вы­
вести уравнения а) для молярной удельной теплоемкости
этого газа и б) для теплопроводности К этого газа. Кроме
величин Т, Р, х и фундаментальных констант выведенные
выражения должны содержать только три параметра, ха­
рактеризующих молекулу Н2: массу молекулы М, межатом­
ное расстояние R и сечение столкновения а. Можно пред­
положить, что при температуре жидкого азота число мо­
лекул, находящихся во вращательном состоянии (J > 2),
пренебрежимо мало.
7.24. Вычислить отношение теплопроводности газооб­
разного гелия при давлении Р =0,1 атм и температуре
300° К к его теплопроводности при давлении Р = 0,5 атм
и той же температуре. Вычислить также отношение вязкос­
тей при этих давлениях.
7.25. Определить среднюю векторную скорость молекул
газа, выходящих через малое отверстие в полости, поддер­
живаемой при температуре Т. Число частиц в единице объе­
ма полости равно N.
7.26. Небольшое круглое отверстие радиусом а (радиус
мал по сравнению со средней длиной свободного пробега
молекул ртути) просверлено в стенке очень тонкостенного
прямоугольного сосуда, содержащего пары ртути при тем­
пературе Т и очень низком давлении Р. На расстоянии h
Рис. 37
53
над отверстием параллельно стенке сосуда расположена
металлическая собирающая пластина (рис. 37), охлаждаемая
до такой температуры, что попадающие на нее атомы ртути
конденсируются. Вывести выражение для поверхностной
плотности ртути на собирающей пластине в момент времени t
как функцию полярного угла Э^между нормалью к плоскости
отверстия и радиусом-вектором точки на собирающей плас­
тине.
8. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
/7=4
8.1. Сколькими различными маршрутами можно пройти
от пункта А к пункту В, расположенному на т кварталов
восточнее и на п кварта­
л о в севернее пункта А
(рис. 38), если никогда не
идти в направлении, про­
тивоположном направле­
нию к пункту В?
8.2. Согласно зако­
ну Стефана — Больцмана,
энергия излучения полос­
ти (черного тела) зависит
от температуры Т как ТК,
где К = 4 . Заменить обыч­
ную трехмерную полость
ЛСмерной (N — целое). По­
лучить показатель степе­
ни К в зависимости энер­
гии от температуры для
фотонного газа, заключенного в /V-мерную полость.
8.3. Если предположить, что Солнце подобно черному
телу с диаметром 10е км и температурой 6000° К, то какова
будет мощность микроволнового излучения с длиной вол­
ны 3 см при ширине полосы 1 Мгц.
8.4. Три частицы со спином 1/2 расположены по углам
равностороннего треугольника. Гамильтониан спин-спино-
вого взаимодействия трех частиц определяется выражением
Н = - у (<тд<т2 + + ®2®3)-
Составить систему энергетических уровней для такой си­
стемы с указанием значений полного спина и степени вы­
рождения. Определить функцию распределения Z.
ш=з
Рис. 38
54
8.5. В объеме V имеется газ, находящийся при темпе­
ратуре Т. Он состоит из N различных частиц с массой по­
коя, равной нулю; энергия и импульс частицы связаны
соотношением Е = рс. Число одночастичных энергетичес­
ких состояний в интервале импульсов (р, р -f- dp) равно
4nVp2dp/h3. Вывести уравнение состояния и найти внут­
реннюю энергию газа. Сравнить результат с соответствую­
щими параметрами для обычного газа.
8.6. Слабовзаимодействующиебесспиновые идентичные
частицы (масса каждой частицы равна массе электрона) под­
чиняются классической статистике. Частицы заключены
в куб со стороной, равной 10'в сж. Каждая из частиц ис­
пытывает потенциальное взаимодействие двух типов с
кубом. Первый тип взаимодействия характеризуется при­
тяжением и приводит к связанному состоянию с энергией
— 1 эв, локализованному вблизи центра куба. Второй тип
взаимодействия — это сильное отталкивание, которое пре­
пятствует выходу частиц через стенки. Определить темпе­
ратуру, при которой давление в кубе равно 1 атм.Число
частиц равно 1010.
8.7. Металлическая поверхность нагрета до темпера­
туры 800° С. Сталкиваясь с нею, атомы натрия испаряются
и с вероятностью 0,99 ионизируются. Атомы же хлора при
столкновении с той же поверхностью превращаются в от­
рицательные ионы лишь с вероятностью 10"®. Потенциал
ионизации Na равен ср =5,1 эв. Определить электронное
сродство хлора.
8.8. Атомы гелия могут адсорбироваться поверхностью
металла, работа выхода из которой для атома гелия равна ср.
Движение атомов гелия по двухмерной поверхности метал­
ла происходит совершенно свободно, без взаимодействия.
Сколько атомов гелия в среднем адсорбируется единицей
площади поверхности металла, если такую поверхность
привести в контакт с газообразным гелием, находящимся
при давлении Р? Равновесная температура для всей систе­
мы в целом равна Т. Ответ должен быть выражен через при­
веденные в задаче величины и фундаментальные конс­
танты.
8.9. LC-контур используется в качестве термометра.
При этом измеряется возникающее в цепи шумовое напря­
жение на индуктивности и емкости, включенных параллель­
но. Вывести соотношение, связывающее среднеквадра­
тичное значение шумового напряжения с абсолютной тем­
пературой Т.
55
8.10. Твердое тело состоит из N не взаимодействующих
между собой ядер со спином 1. Каждое ядро, следовательно,
может находиться в одном из трех квантовых состояний,
характеризуемых квантовым числом т (т = 0, ±1).
Вследствие электрического взаимодействия с внутренними
полями, имеющимися в твердом теле,, состояния с т = ±1
вырождены, т. е. имеют энергию е > 0, в то время как
энергия состояния с т — 0 равна нулю. Вывести выраже­
ние для энтропии N ядер как функцию температуры Т и
выражение для теплоемкости в пределе el КТ 1.
8.11. Рассмотреть систему трехмерных ротаторов (с дву­
мя степенями свободы, но без поступательного движения),
находящихся в тепловом равновесии в соответствии со
статистикой Больцмана. Учесть квантование энергии. Вы­
числить свободную энергию, энтропию, энергию и тепло­
емкость (приходящуюся на один ротатор) для случая высо­
кой температуры. Использовать в расчетах аппроксима­
ционную формулу Эйлера:
_________ СО
(J + т ) = Jf (х) dx + 1Г (0) ~ г (оо)] + -
m о
8.12. Средняя энергия системы, находящейся в тепло­
вом равновесии, равна < Б > . Доказать, что среднеквадра­
тичное отклонение энергии от < Е > , < ( £ — < Б > ) 2>
дается выражением < ( £ — < Б > ) 2> = kT 2Cv , где Cv —
теплоемкость системы в целом при постоянном объеме.
Используя полученный результат, показать, что энергию
макроскопической системы обычно можно считать постоян­
ной, если система находится в тепловом равновесии.
8.13. Ансамбль из N частиц со спином 1/2 выстроен по
прямой линии. Взаимодействуют лишь соседние частицы.
Это взаимодействие равно J, если спины соседних частиц
параллельны, и — J, если антипараллельны. (На языке
квантовой механики это означает, что энергия взаимодей­
ствия двух соседних частиц i и j равна J а) а!). Опреде­
лить функцию распределения Z ансамбля, находящегося
при температуре Т.
8.14. Согласно сильно упрощенной теории, температур­
ная зависимость молярной удельной теплоемкости С, обу­
словленной переходом ионов со спином s = 1/2 из пара­
магнитного состояния в ферромагнитное, определяется
56
функцией, график которой приведен на рис. 39, т. е. С =
= СМакс(2777’0— 1) для 7'о/2<Г<Т'о и С = 0 при всех
других значениях Т. Выразите Смакс через фундаменталь­
ные константы.
8.15. Показать, ка­
ким образом из соот­
ветствующих функций
распределения можно
получить статистику
Ферми—Дирака и ста­
тистику Бозе — Эйн­
штейна. Найти также
распределение, вытека­
ющее из «парастатисти­
ки», при которой не бо­
лее двух частиц могут характеризоваться данным набором
квантовых чисел.
8.16. Как бы изменилась теория Дебая удельной тепло­
емкости твердых тел, если бы фононы (кванты звука) под­
чинялись статистике Ферми — Дирака (вместо статистики
Бозе — Эйнштейна)? При этом предположении найти за­
висимость удельной теплоемкости от температуры для слу­
чаев очень высокой и очень низкой температуры по срав­
нению с дебаевской. (Постоянные множители можно опус­
тить.)
8.17. Предположим, что электроны внутри металла
можно представить как находящиеся в прямоугольной по­
тенциальной яме. Исходя из принципа Паули, получить
зависимость распределения электронов по скоростям от
температуры. Вывести формулу для тока в вакуумном диоде
с плоскими электродами при отрицательном анодном напря­
жении.
8.18. Показать, что нейтринную звезду, если она доста­
точно плотная, можно рассматривать как вырожденный
газ релятивистских фермионов. Вывести выражение, свя­
зывающее массу и радиус такой звезды при равновесии.
8.19. Вывести выражение для магнитной восприимчи­
вости слабого раствора постоянных диполей, магнитный
момент каждого из которых равен М, в предположении, что
диполи а) ориентированы произвольно относительно на­
правления слабого магнитного поля и б) ориентированы
лишь вдоль поля или против него.
8.20. Если к газу из незаряженных частиц, подчиняю­
щихся статистике Ферми — Дирака, со спином 1/2 и маг­
57
нитным моментом р, приложено магнитное поле Н, то спи­
ны выстраиваются, создавая удельный магнитный момент
(магнитный момент, приходящийся на единицу объема).
Вывести общие выражения для удельного магнитного мо­
мента при произвольных Т и Н. Затем определить магнит­
ную восприимчивость газа в пределе, когда магнитное поле
стремится к нулю, справедливом для достаточно низкой
температуры вплоть до членов порядка Т2. Заметим, что
 

Решение задач по физике Пинский from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (23.07.2016)
Просмотров: | Теги: Гринберг, Кронин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar