Тема №6051 Решение задач по математике Романовский (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике Романовский (Часть 1) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике Романовский (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа


1.1.1. На совещание явились 10 человек, и все они обме­
нялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
1.1.2. В шахматном турнире были сыграны 66 партий,
причём каждый из участников сыграл с каждым по одной
партии. Сколько было участников турнира?
1.1.3. Старинные часы с боем каждый час отбивают
столько ударов, сколько показывает часовая стрелка, и ещё
один удар по истечении получаса после каждого полного
часа.
а) Сколько ударов отобьют часы за сутки?
б) Сколько времени прошло с начала суток, если часы
успели отбить 35 ударов?
1.1.4. Числа от 1 до 10 записаны по окружности произ­
вольным образом. Доказать, что существуют три соседних
числа, сумма которых не менее 17.
1.1.5. Для нумерации страниц рукописи понадобились
534 цифры. Сколько страниц в рукописи?
1.1.6. Из повреждённой книги выпала часть сшитых
вместе листов. Номер первой выпавшей страницы—143.
Номер последней записан теми же цифрами, но в ином
порядке. Сколько страниц выпало из книги?
1.1.7. Трасса эстафеты разбита на три участка разной
длины. Сумма длин первого и второго участков —100 м,
ЗАДАЧИ 9
второго и третьего — 200 м, первого и третьего — 180 м. Най­
ти общую протяжённость трассы и длину каждого участка.
1.1.8. В квадратную таблицу размерами 8 х 8 = 64 клет­
ки записаны подряд числа от 1 до 64. Доказать, что сумма
восьми чисел, выбранных из таблицы — различными спосо­
бами, но по одному из каждой строки и по одному из каж­
дого столбца — величина постоянная. Найти эту сумму.
1.1.9. Можно ли занумеровать рёбра куба числами
1, 2,3,..., 12 так, чтобы для каждой вершины сумма
номеров выходящих из неё рёбер была одинаковой?
1.1.10. Разместить в вершинах куба цифры 1,2,3, ... ,8
так, чтобы обеспечить равенство сумм цифр по всем граням.
1.1.11. В клетках квадрата 3 x 3 расставить 9 последова­
тельных натуральных чисел так, чтобы суммы чисел в 3 клет­
ках по строкам, столбцам и диагоналям составляли 27.
1.1.12. Расставить цифры 1,2,3, ... ,8 в клетках непол­
ного квадрата (рис. 1) так, чтобы получить одинаковые
суммы по горизонталям, вертикалям и боль­
шой диагонали.
1.1.13. Расставить вдоль сторон треуголь­
ника цифры 1,2,3, .... 9 так, чтобы сумма
цифр вдоль каждой стороны равнялась 20
(цифра, стоящая в вершине треугольника,
принадлежит каждой из сторон, выходящих
из этой вершины). Рис. 1
1.1.14. Расставить вдоль сторон треугольника цифры
1,2, ..., 9 так, чтобы суммы цифр по сторонам были равны
и: а) минимальны; б) максимальны.
1.1.15. Для группы натуральных чисел от 1 до 99 опре­
делить, что больше —сумма чётных или сумма нечётных
чисел, и найти разность этих сумм.
1.1.16. Какие 3 целых числа при их сложении и при пе­
ремножении дают один и тот же результат?
1.1.17. В записи 88888888 расставить знаки сло­
жения так, чтобы в сумме получить 1000 (цифры, между
которыми не поставлен знак “+ ” , следует читать как одно
число).
1.1.18. Цифра 5 записана в строку подряд 20 раз. По­
ставить между некоторыми цифрами знаки сложения так,
чтобы в сумме получить 1000.
1.1.19. Вычислить: 3 9 -3 7 + 3 5 -3 3 + 3 1 -2 9 + ... +3 — 1.
10 ГЛ. 1.1. СЛОЖЕНИЕ
1.1.20. Вычислить: S = 9 9 -1 + 9 8 -2 + 9 7 — 3+ .. .+ 5 1 -4 9 .
1.1.21. Выписаны в строку цифры от 1 до 9. Можно ли
расставить между всеми цифрами знаки “+ ” и так,
чтобы в результате получить: а) 21? б) 36?
1.1.22. Выписаны в строку цифры 1,2,3, .... 9. Требует­
ся расставить знаки “ + ” между некоторыми из цифр таким
образом, чтобы получить в результате сложения 99.
1.1.23. Два школьника, возвращаясь домой, увидели ве­
сы и взвесили на них свои портфели. Весы показали 3 кг
и 2 кг. Когда же школьники положили на весы оба порт­
феля, весы показали 6 кг. Осмотрев весы, друзья замети­
ли, что стрелка весов сдвинута. Каковы же истинные массы
портфелей?
1.1.24. Три друга решили купить одну книгу. Первому
для покупки книги не хватало 14 руб., второму—37 руб.,
третьему — 25 руб. Когда они сложили все деньги, получен­
ной суммы также оказалось недостаточно. Сколько стоит
книга (предполагается, что цена книги выражается целым
числом рублей)?
1.1.25. С помощью двух песочных часов, проградуиро­
ванных соответственно на 3 мин и на 10 мин, отмерить про­
межутки времени 8 мин и 14 мин.
1.1.26. В ряд стоят 12 слонов, каждый из которых имеет
массу, равную целому числу тонн. Если взять любого сло­
на, кроме крайнего справа, и прибавить к его массе удвоен­
ную массу его правого соседа, то получится 15 т (для каж­
дого из 11 слонов). Найти массу каждого из 12 слонов.
1.1.27. Представить число 2004 в виде суммы последова­
тельных натуральных чисел (дать все решения).
1.1.28. На деревянной линейке отмечены три деления:
0, 7 и 11 см. Как отложить с её помощью отрезок длиной:
1) 8 см? 2) 5 см?
1.1.29. Сколько страниц в рукописи, если для их нуме­
рации потребовалось цифр вдвое больше, чем страниц?

1.2.1. Представить число 203 в виде суммы нескольких
натуральных чисел так, чтобы их произведение также было
равно 203.
1.2.2. Представить число 231 в виде произведения на­
туральных чисел так, чтобы сумма квадратов этих чисел
также равнялась 231. Можно ли выполнить аналогичную
операцию для числа 187?
1.2.3. Из прямоугольных полосок со сторонами 1 см и
5 см сложен прямоугольник. Доказать, что длина одной из
сторон этого прямоугольника кратна пяти.
1.2.4. Найти три последние цифры произведения 1 х 2 х
х 3 х 4 х ... х 17 х 18.
1.2.5. Составить из цифр 1,2,3, .... 8,9 три трёхзначных
числа так, чтобы их произведение оказалось максимально
возможным.
1.2.6. Составить из цифр 0,1,2,3, ... , 8,9 пять двузнач­
ных чисел так, чтобы их произведение оказалось макси­
мально возможным.
1.2.7. Доказать, что произведение цифр двузначного чи­
сла меньше самого числа.
1.2.8. Доказать, что произведение цифр любого числа
меньше самого числа.
1.2.9. Двузначное число, умноженное на 3 или на мно­
житель, кратный 3, но не превышающий некоторого числа,
даёт произведение, составленное из трёх одинаковых цифр.
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 29
При сложении этих цифр получается множитель. Какое это
число и каков наибольший множитель, удовлетворяющий
условию задачи?
1.2.10. В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру
и получили число, в 6 раз меньшее исходного. Найти ис­
ходное трёхзначное число.
1.2.11. В трёхзначном числе зачеркнули первую цифру
слева, затем полученное двузначное число умножили на 7 и
получили исходное трёхзначное число. Найдите это число.
1.2.12. Пятизначное число преобразовано в шестизнач­
ное двояко: первый раз единица дописана справа, второй
раз —слева. Первое шестизначное число втрое больше вто­
рого. Найти исходное число.
1.2.13. В следующих примерах заменить буквы циф­
рами, обеспечив верность равенств: а) АВ х BA = BDB;
б )АВ х А = ССС(АВ = 10А + В ;Ш В = 100В+ 10D + B).
1.2.14. Авиалинию, связывающую пункты А и В, обслу­
живают самолёты трёх типов. Каждый самолёт первого,
второго и третьего типов может принять на борт соответ­
ственно 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5
контейнеров. Все самолёты, используемые на линии, могут
принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контей­
неров. Найдите количества используемых на линии само­
лётов каждого типа, если их общее число не превосходит 8.
1.2.15. “Произведение трёх натуральных чисел рав­
но 36,— сказал Петя.—Что это за числа?” Коля, подумав,
ответил: “Данных недостаточно” . Тогда Петя сообщил сум­
му этих чисел. “Всё равно данных недостаточно” — ответил
Коля. Чему была равна сумма, сообщённая Петей?
1.2.16. Несколько факультетов решили провести сорев­
нование, поделив затраты поровну. Перед соревнованиями
оказалось, что 4 факультета отказались от участия. Поэто­
му остальным факультетам пришлось дополнительно вне­
сти по 4 тыс. руб. Найти общий объём затрат S тыс. руб.,
если 20 ^ S ^ 30.

000, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
1.3.2. Сколько существует целых чисел, меньших 100,
которые:
а) делятся одновременно на 2 и на 3?
б) делятся на 2, но не делятся на 3?
в) делятся на 3, но не делятся на 2?
г) делятся на 3 или на 2 (по меньшей мере на одно из
этих двух чисел)?
д) не делятся ни на 2, ни на 3?
44 ГЛ. 1.3. ДЕЛЕНИЕ И ДЕЛИМОСТЬ
1.3.3. Известно, что число 34*5*, в котором две утерян­
ные цифры заменены звёздочками, делится на 396, но не
делится на 792. Восстановить утерянные цифры.
1.3.4. Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа
и слева, чтобы полученное число делилось на 27?
1.3.5. Дано пятизначное число 25762. Какую цифру и на
каком месте надо дописать, чтобы полученное число дели­
лось на 36?
1.3.6. Определить наибольшее возможное отношение
трёхзначного числа к сумме его цифр.
1.3.7. Используя цифры 1,2,3, ...,9,0 (каждую по од­
ному разу), написать наибольшее целое число, которое де­
лится на одно из следующих чисел: 4, 6, 8, 9, 11, 12 (для
каждого делителя подобрать соответствующее делимое).
1.3.8. Сумма двух чисел равна 40, а их наименьшее об­
щее кратное — 84. Найти эти числа.
1.3.9. Наименьшее общее кратное двух чисел равно 120,
а разность этих чисел — 9. Найти эти числа.
1.3.10. Найти наибольший общий делитель чисел 221
и 247.
1.3.11. Наибольший общий делитель двух чисел ра­
вен 12, а наименьшее общее кратное —120. Одно из чисел
равно 24. Найти второе число.
1.3.12. Наибольший общий делитель двух чисел ра­
вен 12, наименьшее общее кратное — 420. Найти эти числа,
если известно, что их отношение — дробное число.
1.3.13. Найти два трёхзначных числа, наибольший об­
щий делитель которых равен 13, а наименьшее общее крат­
ное —1989.
1.3.14. Натуральное число N при делении на 1981 даёт в
остатке 35, при делении на 1982 — также 35. Каков остаток
от деления N на 14?
1.3.15. Найти число, квадрат которого — четырёхзначное
число, составленное из цифр 0, 2, 3, 5.
1.3.16. Если от задуманного числа отнять 7 и разность
разделить на 10, получим число, которое на 34 меньше ис­
ходного. Найти задуманное число.
1.3.17. Произведение натурального числа и числа, запи­
санного теми же цифрами в обратном порядке, равно 2430.
Найти эти числа.
ЗАДАЧИ 45
1.3.18. Произведение двух чисел, записанных теми же
цифрами, но в иной последовательности, равно 2268. Най­
ти эти числа.
1.3.19. Произведение четырёх последовательных нату­
ральных чисел равно 3024. Найти эти числа.
1.3.20. Делимое в шесть раз больше делителя, а дели­
тель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, де­
литель и частное?
1.3.21. Найти частное от деления двух чисел, если оно
в два раза больше одного из чисел и в шесть раз меньше
другого.
1.3.22. Каково наибольшее количество взаимно простых
трёхзначных чисел, каждое из которых имеет три простых
делителя?
1.3.23. Определить, сколько разных делителей имеет ка­
ждое из следующих чисел: 210, 64, 108. Проделать вычис­
ления, не выписывая все делители числа, а лишь разложив
число на простые множители.
1.3.24. Найти наименьшее натуральное число, которое
при делении на 7 даёт в остатке 6, а при делении на 9 оста­
ток равен 8.
1.3.25. Найти наибольшее трёхзначное число, которое при
делении на 6 даёт остаток 5, а при делении на 4 — остаток 3.
1.3.26. Найти остаток от деления на 5 числа 21980.
1.3.27. В выражении 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10 рас­
ставить скобки так, чтобы полученный результат оказался:
а) максимальным; б) минимальным; в) равным 7.
1.3.28. Может ли быть полным квадратом число, состав­
ленное из 300 единиц и 300 нулей?
1.3.29. Найти наименьшее натуральное число, которое
после умножения на 2 становится квадратом, а после умно­
жения на 3 — кубом натурального числа.
1.3.30. Найти трёхзначное число, которое является ква­
дратом одного числа и кубом другого числа.
1.3.31. 7, 5 и 3 — простые числа, для которых выполня­
ется равенство: 7 — 5 = 5 — 3 = 2.
а) Существуют ли другие тройки простых чисел, связан­
ных такой же зависимостью?
б) Существуют ли тройки простых чисел, размещённых
на числовой оси с равными интервалами (иными словами,
каждое последующее число больше предыдущего на одну и
ту же величину)?
46 ГЛ. 1.3. ДЕЛЕНИЕ И ДЕЛИМОСТЬ
1.3.32. Найти два простых числа, сумма и разность ко­
торых тоже являются простыми числами.
1.3.33. Натуральные числа от 1 до 1965 выписаны под­
ряд в произвольном порядке. Доказать, что полученное чи­
сло не является точным квадратом.
1.3.34. Сколько последовательных натуральных чисел
нужно взять (произвольным образом), чтобы их произведе­
ние обязательно делилось на 120?
1.3.35. Доказать, что если к произвольному числу с
нечётным количеством цифр приписать такое же число,
то получим число, кратное 11.
1.3.36. Доказать, что если к произвольному числу при­
писать число, записанное теми же цифрами, но в обратном
порядке, то получим число, кратное 11.
1.3.37. Доказать, что сумма любых 12 последовательных
натуральных чисел не делится на 4.
1.3.38. Доказать, что полусумма двух последовательных
простых чисел, не меньших 3, — составное число.
1.3.39. Доказать, что для любого трёхзначного числа
всегда справедливо по меньшей мере одно из трёх утвер­
ждений:
а) это число делится на 3;
б) одна из цифр этого числа делится на 3;
в) одно из двузначных чисел, образованных двумя сосед­
ними цифрами этого числа, делится на 3.
1.3.40. Доказать, что среди шести натуральных чисел
всегда найдутся два числа, разность которых делится на 5.
1.3.41. Доказать, что из пяти натуральных чисел можно
выбрать три числа, сумма которых делится на 3.
1.3.42. Найти целое число, которое в 7 раз больше числа
его единиц.
1.3.43. При делении натурального числа а на натураль­
ное число Ъ в частном получается с и в остатке d. Могут ли
все четыре числа быть нечётными?
1.3.44. Для каких натуральных чисел п выражение
Зп + 4 кратно 5?
1.3.45. Найти все числа, на которые можно сократить
дробь 5ft + 6
8ft+ 7 ’
1.3.46. Доказать, что число 111 ... 11 (всего 81 единица)
делится на 81.
ЗАДАЧИ 47
1.3.47. Сколькими нулями оканчивается произведение
100! = 1 х 2 х З х 4 х ... х99х 100?
1.3.48. Найти число, равное удвоенной сумме своих
цифр.
1.3.49. Новая модель шариковой ручки продавалась в
магазине за 50 центов, но покупателей было мало. Когда
же магазин снизил цену, то весь запас оставшихся ручек
был продан за 31 доллар 93 цента. Какой стала цена ручки
после снижения?
1.3.50. В магазин привезли 223 л масла в бидонах по 10 л
и 17 л. Сколько бидонов масла привезли в магазин?
1.3.51. Расстояние между двумя городами А и В равно
89 км. Каждый километр шоссе, связывающего эти города,
обозначен столбиком. На одной стороне столбика указано
расстояние до А, на другой —до В. Доказать, что два числа
на столбике — всегда взаимно простые.
1.3.52. Куплены картофель по цене 13 руб. за килограмм
и морковь по цене 5 руб. за килограмм. Сколько картофеля
и сколько моркови куплено, если стоимость покупки —
85 руб. (обе покупки выражаются целыми числами кило­
граммов)?
1.3.53. Два года назад сестра была младше брата во
столько раз, сколько лет было тогда брату. Сколько лет
сестре?
1.3.54. Незнайка хвастал своими выдающимися способ­
ностями умножать числа “в уме” . Чтобы его проверить,
Знайка предложил ему написать какое-нибудь число, пере­
множить его цифры и назвать результат. “ 2310” — немед­
ленно выпалил Незнайка, лишь успев записать число. “Ты
неправ” , — спустя мгновение ответил Знайка. Как он сумел
так быстро обнаружить ошибку, даже не зная исходного
числа?
1.3.55. 1 марта из порта одновременно отправились
4 теплохода. Первый возвращается в порт каждые 3 дня,
второй — каждые 4 дня, третий — каждые 6 дней и четвёр­
тый — каждые 9 дней. Какого числа все теплоходы впервые
снова сойдутся в этом порту?
1.3.56. Вы пришли в магазин купить 8 одинаковых авто­
ручек, несколько карандашей по 4 коп., линейку за 9 коп.,
2 общие тетради по 18 коп. и 12 тонких тетрадей. Продавец
подсчитал общую стоимость товаров и попросил Вас упла­
тить 5 руб. 27 коп. Не ошибся ли продавец?
48 ГЛ. 1.3. ДЕЛЕНИЕ И ДЕЛИМОСТЬ
1.3.57. Покупатель взял в магазине пакет молока сто­
имостью 3,45 руб., творожный сырок стоимостью 3,6 руб.,
6 пирожных и 3 килограммовых пакета сахара. Когда кас­
сир пробил чек на 29,6 руб., покупатель потребовал прове­
рить расчёт и исправить ошибку. Как покупатель опреде­
лил, что счёт неверен?
1.3.58. Женщина несла на базар корзину яиц. Прохожий
нечаянно толкнул женщину, корзина упала, и яйца разби­
лись. Виновник несчастья, желая возместить потерю, поин­
тересовался, сколько всего яиц было в корзине. “Точно не
помню, — ответила женщина, — но знаю, что, когда я выни­
мала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 яиц, в корзине
оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по 7, в корзине
ничего не оставалось” . Сколько яиц было в корзине?
1.3.59. Маугли попросил обезьян принести ему орехов.
Обезьяны набрали орехов поровну и понесли их Маугли.
По дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в
каждую по ореху. В результате Маугли достались лишь
33 ореха. Сколько орехов собрала каждая обезьяна (извест­
но, что каждая принесла больше одного ореха)?
1.3.60. В вазе лежат конфеты. Если делить их поровну
между тремя друзьями, одна конфета окажется лишней.
При делении же на 4 равные части одной конфеты не хва­
тит. Сколько конфет в вазе? Найти все возможные решения
при условии, что конфет в вазе не более 50, и пояснить
закономерность.
1.3.61. Дядька Черномор каждый вечер назначает на де­
журство 9 из 33 богатырей. Через какое наименьшее число
дней может оказаться, что каждый из богатырей выходил
на дежурство одинаковое число раз?
1.3.62. Было взято 10 листов бумаги. Некоторые листы
разрезаны на 10 частей, затем некоторые из получившихся
кусков вновь разрезаны на 10 частей, и т. д. На каком-то
этапе подсчитали общее количество получившихся листов
бумаги. Оказалось, что их всего 1386. Правильно ли под­
считано количество листов?
1.3.63. В вершинах правильных конгруэнтных треуголь­
ников записаны в произвольном порядке числа 1, 2 и 3.
Треугольники наложены один на другой так, чтобы их вер­
шины совместились. Может ли случиться, что суммы чисел
в совмещённых вершинах будут равны 25? (Конгруэнтны­
ми называются фигуры, которые совмещаются при нало­
жении).
ЗАДАЧИ 49
1.3.64. Детский сад приобрёл для праздничных подар­
ков детям 26 пачек печенья, 117 конфет, 65 яблок и 52 ман­
дарина. Сколько детей в детском саду, если известно, что
все они получили одинаковые подарки, а купленные для
подарков продукты распределены без остатка?
1.3.65. Для поездки с учениками за город школа заказа­
ла несколько одинаковых автобусов. 115 человек поехали
на озеро, 138 —в лес. Все места в автобусах были заняты,
и всем хватило мест. Сколько было заказано автобусов, и
сколько мест в каждом автобусе?
1.3.66. Автобусный билет для ребёнка стоит на 2 руб.
меньше, чем для взрослого. Водитель автобуса насчитал
10 детей и 15 взрослых, зашедших в автобус, и получил от
них 105 руб. Какова цена билета для взрослого?
1.3.67. Половину имеющихся конфет разложили в ко­
робки, по 10 конфет в каждую, вторую половину —в паке­
ты, по 8 штук в каждый. Сколько получилось коробок, ес­
ли их оказалось на 4 меньше, чем пакетов?
1.3.68. Пекарь замесил тесто, из которого можно вы­
печь 20 одинаковых калачей или 25 одинаковых булочек.
Сколько теста в замесе, если известно, что на один калач
идёт теста на 10 г больше, чем на одну булочку?
1.3.69. В классе число отсутствовавших учеников соста­
вляло пятую часть от числа присутствовавших. После того,
как из класса вышел один ученик, число отсутствующих
стало равно четверти числа присутствующих. Сколько уче­
ников в классе?
1.3.70. Коля и Вася живут в одном многоподъездном до­
ме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Ко­
ля живёт на 5-м этаже в квартире 83, а Вася — на 3-м этаже
в квартире 169. Сколько этажей в доме?
1.3.71. В парламенте некоторой страны две палаты, со­
стоящие из равного числа депутатов. В голосовании по важ­
ному вопросу приняли участие все депутаты, причём воз­
державшихся не было. Когда председатель сообщил, что ре­
шение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппози­
ции заявил, что результаты голосования сфальсифицирова­
ны. Почему он это утверждает?
1.3.72. Рабочий изготовил некоторое количество деталей
двух видов — А и В, причём деталей А он изготовил больше,
чем деталей В. Если бы деталей А было изготовлено вдвое
больше, то общее число деталей было бы менее 32; если бы
50 ГЛ. 1.3. ДЕЛЕНИЕ И ДЕЛИМОСТЬ
было изготовлено удвоенное количество деталей В, то об­
щее число деталей оказалось бы более 28. Сколько деталей
каждого вида изготовил рабочий?
1.3.73. В кружках, расположенных в вершинах квадра­
та и в его центре (рис. 6), расставить 5 натуральных чисел
так, чтобы любые 2 числа, соединенные
отрезком, имели общий делитель, отлич­
ный от единицы, а любые 2 числа, не со­
единенные отрезком, были взаимно про­
сты.
1.3.74. Разместить по окружности чи­
сла от 1 до 10 так, чтобы ни одна сумма
двух соседних чисел не была кратна чис­
лам 3, 5 или 7.
1.3.75. В шахматном турнире, который прошёл в не­
сколько кругов, были сыграны 224 партии. В каждом круге
каждый участник сыграл с каждым из соперников по одной
партии. Во сколько кругов был проведен турнир?
1.3.76. Цифру десятков данного двузначного числа
уменьшили на 1 и перемножили данное число с полу­
ченным. Произведение — трёхзначное число, записанное
одинаковыми цифрами. Найти исходное двузначное число.
1.3.77. Разность между двузначным числом и произведе­
нием его цифр равна 12. Число единиц двузначного числа
втрое больше числа десятков. Найти это число.
1.3.78. Старинная задача. Покупают буйвола сообща.
Если каждые 7 семей вносят по 190, то недостаток ра­
вен 330. Если каждые 9 семей вносят по 270, то избыток
равен 30. Сколько было семей, и сколько стоит буйвол?
1.3.79. Сочинение писали 108 экзаменующихся. Им раз­
дали 480 листов бумаги, причём каждая девушка получила
на 1 лист больше каждого юноши, а все девушки получили
столько же листов, сколько все юноши. Сколько было деву­
шек и сколько юношей?
1.3.80. Площадь прямоугольника равна 425 см2, а раз­
ность его сторон — 8 см. Найти стороны прямоугольника.
1.3.81. Если данное двузначное число умножить на сум­
му его цифр, то получится 405. Если число, записанное те­
ми же цифрами, но в обратном порядке, умножить на сум­
му его цифр, то получится 486. Найдите это число.
1.3.82. Найти 2 целых положительных числа, разность
которых равна 66, а наименьшее общее кратное — 360.
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 51
1.3.83. Является ли произведение всех натуральных чи­
сел от 2 до 100 точным квадратом?
1.3.84. Двузначное число в 7 раз больше суммы своих
цифр. Найти число, если известно, что его цифра единиц
равна 3.
1.3.85. Доказать, что среди 18 последовательных трёх­
значных чисел найдётся по меньшей мере одно, кратное
сумме своих цифр.
1.3.86. Можно ли разрезать квадрат 14 х 14 клеток на
прямоугольники 2 х 5 и 3 х 9 клеток?
1.3.87. Ввиду неисправности поезд отправился с опозда­
нием 1 ч. Чтобы наверстать потерянное время, поезд на
перегоне 200 км двигался со скоростью, превышающей
плановую на 10 км/ч. Найти плановую скорость поезда,
если известно, что она выражена целым числом километров
в час.
1.3.88. Двое часов начали и кончили бить одновременно.
Первые бьют через каждые 2 с, вторые —через каждые 3 с.
Всего было насчитано 13 ударов (сливающиеся удары вос­
принимаются как один). Сколько времени на первых часах?
1.3.89. На доске написано число 10. К этому числу при­
бавили сумму его цифр и занисали на доске новый резуль­
тат. Можно ли, повторив эту операцию несколько раз, по­
лучить число 123 456?
1.3.90. В числе 82003 подсчитали сумму цифр и записа­
ли полученный результат. Затем в новом числе подсчитали
сумму цифр и записали новый результат. Операцию повто­
ряли до тех пор, пока не получили однозначное число. Най­
ти это число.

1.5.1. На вступительном экзамене по математике 15%
поступающих не решили ни одной задачи, 144 человека ре­
шили задачи с ошибками, а число решивших верно все за­
дачи относится к числу не решивших ни одной, как 5 :3 .
Сколько человек экзаменовалось по математике?
1.5.2. Расстояние между Москвой и Смоленском по же­
лезной дороге равно 415 км. На этом пути расположены
города Можайск и Вязьма. Расстояние между Москвой и
Можайском относится к расстоянию между Можайском
и Вязьмой, как 7 : 9, а расстояние между Можайском и
Вязьмой составляет 27/35 расстояния между Вязьмой и
Смоленском. Найти расстояния между каждыми двумя
соседними городами.
1.5.3. Длина Дуная относится к длине Днепра, как
19/3: 5, а длина Дона относится к длине Дуная, как 6,5: 9,5.
Найти протяжённость каждой из рек, если Днепр длиннее
Дона на 300 км.
1.5.4. Сумма первых трёх членов пропорции равна 58. Вто­
рой и третий члены составляют соответственно 3/4 и 2/3 пер­
вого члена. Найти четвёртый член пропорции и записать её.
1.5.5. Найти три числа, если первое составляет 80% вто­
рого, второе относится к третьему, как 0,5 : 9/20, а сумма
первого и третьего на 70 больше второго числа.
1.5.6. Три числа относятся между собой, как ^ \ : т^г. 5 о 20
а четвёртое число составляет 15% второго. Найти эти чис­
ла, если известно, что второе число на 8 больше суммы трёх
остальных.
1.5.7. Тракторист вспахал три участка земли. Площадь
первого равна 2/5 площади всех трёх участков, а площадь
3 4
второго относится к площади третьего, как — : —. Сколь- Li О
104 ГЛ. 1.5. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
ко гектаров земли было вспахано, если площадь первого
участка на 16 га больше площади третьего?
1.5.8. За первый квартал автозавод выполнил 25% годо­
вого плана выпуска автомашин. Количества машин, выпущен­
ных за второй, третий и четвёртый кварталы, пропорцио­
нальны числам 11,25, 12 и 13,5. Определить перевыполне­
ние годового плана в процентах, если во втором квартале
автозавод дал продукции в 1,08 раза больше, чем в первом.
1.5.9. Площади трёх участков земли находятся в отно-
3 5 3 шении 2— : 1— : 1 -. Известно, что с первого участка собра-
4 6 8
но зерна на 72 ц больше, чем со второго. Найти общую пло­
щадь всех трёх участков, если средняя урожайность на всех
участках одинакова и составляет 18 ц с гектара.
1.5.10. Из пункта А по реке отправляется плот, плыву­
щий относительно берегов со скоростью течения реки. Од­
новременно навстречу ему отправляется катер из пункта В,
расположенного ниже по течению относительно пункта А.
Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по те­
чению. Какую часть пути от А до В пройдёт плот к моменту
возвращения катера в пункт В, если скорость катера в сто­
ячей воде вчетверо больше скорости течения?
1.5.11. Два поезда, двигаясь в одном направлении с
постоянной скоростью 50 км/ч, миновали полустанок с
интервалом 12 мин. Поезд, идущий в противоположном
направлении, эти поезда повстречали с интервалом 5 мин.
Какова скорость встречного поезда?
1.5.12. Города А и В расположены на берегу реки, причём
город В лежит ниже по течению. В 9 ч утра из А в В отпра­
вляется плот. Одновременно с плотом из В в А отправляется
моторная лодка, которая встречается с плотом через 5 ч. Доп­
лыв до города А, лодка немедленно отправляется в обратный
путь и прибывает в город В одновременно с плотом. Успели
ли лодка и плот прибыть в В к 9 ч вечера того же дня?
1.5.13. Передние колёса автомобиля выходят из строя
через 25000 км, задние —через 15000 км. Когда нужно
поменять колёса местами, чтобы пробег машины до замены
колёс (полной или частичной) оказался максимальным?
Какова величина этого пробега?
1.5.14. От двух сплавов массами 7 кг и 3 кг с разным про­
центным содержанием магния отрезали по куску одинако­
вой массы. Затем остаток первого сплава сплавили с куском,
отрезанным от второго сплава, а остаток второго сплава —
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 105
с куском, отрезанным от первого сплава. Определите массу
каждого из отрезанных кусков, если новые сплавы получи­
лись с одинаковым процентным содержанием магния.
1.5.15. Канат разрезали на два куска, отношение длин
которых составило 13 : 18. От меньшего куска отрезали
1,5 м; оставшаяся часть оказалась вдвое короче большего
куска. Найти длину исходного каната.
1.5.16. Два стрелка выстрелили по 56 раз из лука по
мишеням, причём вместе они сделали 22 промаха. Сколько
раз поразил мишень каждый из них, если известно, что
отношение числа попаданий к числу промахов у первого
вдвое больше, чем у второго?

1.6.1. На трёх полках стоят книги. На нижней полке в
два раза меньше книг, чем на остальных двух, на средней
втрое меньше, чем на остальных, на верхней 30 книг.
Сколько всего книг на трёх полках?
1.6.2. Масса рыбы составляет 8 кг и ещё половину её
массы. Сколько стоит рыба, если каждый килограмм её
стоит 10 руб. плюс 1/36 стоимости всей рыбы?
1.6.3. Четверо товарищей купили вместе лодку. Первый
внёс половину суммы, внесённой остальными, второй —
третью часть суммы, внесённой остальными, третий —чет­
верть суммы, внесённой остальными, а четвёртый внёс
130 руб. Сколько стоит лодка?
1.6.4. Майкл, Боб и Джерри купили вскладчину фут­
больный мяч. Сумма денег, вложенных каждым из них, не
превышает половины суммы, вложенной двумя другими.
Сколько денег вложил Боб, если мяч стоит 12 долларов?
1.6.5. У троих друзей в сумме 700 руб. Сумма денег пер­
вого составляет 2/5 от суммы денег второго и 3/7 от суммы
денег третьего. Сколько денег у каждого из друзей?
1.6.6. Найти три числа, если половина первого числа
равна двум третям второго и трём четвертям третьего, а
сумма этих чисел равна 116.
1.6.7. Разделить 5 пирогов между 6 гостями так, чтобы
ни один пирог не делить на 6 частей.
1.6.8. Бабушка делила пирог между тремя внуками.
Старший внук получил 3/7 пирога, а средний — вдвое боль­
ше младшего. Какие части пирога получили средний и
младший внуки?
1.6.9. Имеются 3 ведра, каждое из которых вмещает
целое число литров. Если наполнить водой первое ведро
ЗАДАЧИ 125
и перелить воду во второе, то второе ведро заполнится на
2/3 своего объёма. Если же воду из первого ведра перелить
в третье, то третье ведро занолнится на 3/4 своего объёма.
Если вылить три полных ведра в бочку ёмкостью 30 л,
то бочка окажется неполной. Сколько литров воды нужно
долить в бочку, чтобы наполнить её?
1.6.10. От полного стакана чёрного кофе я отпил полови­
ну и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть
получившегося кофе с молоком и долил столько же молока.
Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с моло­
ком, долил стакан молоком доверху и выпил всё до конца.
Чего в итоге я выпил больше: молока или чёрного кофе?
1.6.11. Отложить из комплекта домино все кости, обе по­
ловины которых содержат по одинаковому количеству оч­
ков (дубли), и кости, не содержащие очков на одной поло­
вине (бланши). Оставшиеся 15 костей можно рассматривать
как дроби. Считая все дроби правильными, распределить
15 костей домино на 3 группы таким образом, чтобы суммы
дробей во всех группах были одинаковы.
1.6.12. Среди учащихся школы занимаются спортом по­
ловина мальчиков и третья часть девочек. Какая часть всех
учеников занимается спортом, если число девочек в школе
равно числу мальчиков?
1.6.13. Восемь лет назад мой возраст составлял 3/7 ны­
нешнего моего возраста. Сколько мне лет?
1.6.14. В 1979 г. мой возраст составлял 1/4 нынешнего
моего возраста; в 1982 г. мой возраст составил 1/3 нынеш­
него моего возраста. В каком году я родился?
1.6.15. Найти два числа, если известно, что половина од­
ного из них равна 2/3 другого, а разность этих чисел рав­
на 11.
1.6.16. Из чисел от 1 до 9 составить две дроби, дающие
в сумме 1. Разрешается использовать только знак “+ ” и,
разумеется, дробную черту.
1.6.17. Если к числу прибавить 2, то треть получившей­
ся суммы будет равна половине этого числа. Чему равно
число?
1.6.18. Как от куска материи длиной 2/3 м отрезать
50 см, не имея мерительного инструмента?
1.6.19. Если к числителю и знаменателю правильной
Дроби прибавить одно и то же число, дробь увеличится.
Доказать справедливость этого утверждения.
126 ГЛ.1.6. ПРОСТЫЕ ДРОБИ
1.6.20. Какое число (одно и то же) нужно прибавить
к числителю и знаменателю дроби 2/17, чтобы получить
дробь, равную 1/ 2?
1.6.21. Дана дробь 13/21. Какое число (одно и то же)
следует прибавить к числителю и знаменателю этой дроби,
чтобы превратить её в 3/4?
1.6.22. Превратить данную дробь в дробь 3/5, прибавив
к числителю и знаменателю одно и то же число т: а) 3/13;
б) 9/17; в) 5/23.
1.6.23. Если к числителю и знаменателю дроби 1/3 при­
бавить её знаменатель, дробь увеличится вдвое. Найдите та­
кую дробь, которая от прибавления знаменателя к числите­
лю и знаменателю увеличилась бы: а) втрое; б) вчетверо.
1.6.24. Определить несократимую дробь, величина кото­
рой не изменяется, если к числителю прибавить 21, а к зна­
менателю 28.
1.6.25. Двузначное число делят на сумму его цифр. Ка­
кое наибольшее и какое наименьшее частное можно полу­
чить в результате такого деления?
1.6.26. На одной яблоне росли зелёные яблоки, на дру­
гой — красные. Собрав все яблоки с обоих деревьев и пере­
считав их, дети увидели, что на каждые 4 зелёных яблока
приходится 5 красных. После того, как были съедены
16 зелёных и 16 красных яблок, их соотношение изме­
нилось: теперь на каждые 2 зелёных яблока приходилось
3 красных. Сколько яблок было на каждой из яблонь?
1.6.27. Найти сумму: i + I + i + ± + i +
1.6.28. Найти сумму: 1 + i + ^ + i i +
42 + 56'
48'
1.6.29. Числители трёх дробей пропорциональны чи­
слам 1, 2 и 3, а обратные величины соответствующих
знаменателей пропорциональны числам 1, 1/3 и 0,2. Найти
эти дроби, если их среднее арифметическое равно 136/315.
1.6.30. Год назад отношение возрастов сына и отца со­
ставляло 2:9. Сегодня это отношение равно 1:4. Сколько
лет отцу?
1.6.31. Дед сказал внучке: “Как ты быстро растёшь! Три
года назад я был вчетверо старше тебя, а сегодня я старше
тебя всего лишь в 3,5 раза” . Сколько лет внучке?
ЗАДАЧИ 127
1.6.32. Отцу 43 года, сыну 9 лет. Через сколько лет отец
будет старше сына: а) вдвое? б) втрое?
1.6.33. В первой коробке находилось некоторое коли­
чество красных шаров, а во второй — синих, причём число
красных шаров составляло 15/19 от числа синих. Когда из
коробок удалили 3/7 красных шаров и 2/5 синих, в первой
коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй —более
1000 шаров. Сколько шаров первоначально было в каждой
коробке?
1.6.34. Плывя по реке из А в В, теплоход покрывает
всё расстояние в полтора раза быстрее, чем катер. При
этом каждый час катер отстает от теплохода на 8 км. При
движении в обратном направлении теплоход проходит весь
путь вдвое быстрее катера. Определить собственные скоро­
сти теплохода и катера (скорости движения в стоячей воде)
и направление течения.
1.6.35. Пассажир, ехавший из А в В, половину затрачен­
ного на поездку времени ехал автобусом, а вторую полови­
ну—на автомашине. Воспользовавшись на обратном пути
автобусом, он потратил на возвращение в А в полтора раза
больше времени, чем на дорогу в В. Во сколько раз быстрее
автобуса пройдёт машина весь путь от А до В?
1.6.36. Найти правильную дробь, величина которой не
изменится, если к числителю прибавить некоторое целое
число, а знаменатель умножить на это же число.
1.6.37. В двух бочках 300 л вина. После того, как из пер­
вой бочки во вторую перелили 2/7 имевшегося там вина,
вина в бочках стало поровну. Каково первоначальное коли­
чество вина в каждой бочке?
. „ 00 ТЛ Л 12345678 1234578 1.6.38. Какое из чисел больше: или ———
12345679 1234579
1.6.39. На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех
женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в
браке (предполагается, что островитяне вступают в брак
только между собой и что полигамия на острове запре­
щена)?
1.6.40. Старинная задача. Офеня1 купил на оптовом
рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну
ручку за 5 руб., либо три ручки за 10 руб. От каждого
1 Продавец в разнос, коробейник.
128 ГЛ.1.6. ПРОСТЫЕ ДРОБИ
покупателя офеня получает одинаковую прибыль. Какова
оптовая цена ручки?
1.6.41. В траве влага составляет 7/10 от общей массы, а
в сене 1/10. Сколько нужно скосить травы, чтобы загото­
вить 1 т сена?
1.6.42. Расположить следующие дроби в порядке возра-
111110 222221 333331
стания: ш ш ; 222223; 333334’
1.6.43. Отец завещал наследство в 1320 луидоров трём
своим сыновьям и больнице. Если бы первый сын получил
свою долю и долю больницы, то его доля равнялась бы доле
двух других сыновей, вместе взятых. Если бы второй сын
получил свою долю и долю больницы, то его доля была бы
вдвое больше доли двух других сыновей, вместе взятых. Ес­
ли бы третий сын получил свою долю и долю больницы, то
его доля была бы втрое больше доли двух других, вместе
взятых. Какова доля каждого?
1.6.44. В момент, когда два бассейна были пустыми,
4 трубы одинаковой пропускной способности были подклю­
чены для заполнения первого бассейна. Когда первый бассейн
был заполнен на 1/6 его объёма, одну трубу переключили
для заполнения второго бассейна. Когда первый бассейн
был заполнен на 1/2 его объёма, ещё 2 трубы переключили
для заполнения второго бассейна. Бассейны наполнились
водой одновременно. Найти отношение объёмов бассейнов.
1.6.45. Числитель некоторой дроби на 3 меньше зна­
менателя. Если эту дробь сложить с дробью, полученной
перестановкой её числителя и знаменателя, то получится
149/70. Найти исходную дробь.
1.6.46. В некоторой дроби знаменатель на единицу боль­
ше удвоенного числителя; если к числителю и знаменателю
этой дроби прибавить по 5 и умножить полученную дробь
на исходную, получим 7/25. Найти исходную дробь.
1.6.47. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна
первая труба заполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая.
За какое время каждая труба, действуя отдельно, может
заполнить бассейн?
1.6.48. Два поезда отправляются навстречу друг другу:
один —из Москвы, другой —из Петербурга. Если поезд из
Москвы выйдет на 1,5 ч раньше, встреча произойдёт на пол­
пути. При одновременном отправлении поездов расстояние
между ними спустя 6 ч составит десятую долю первона-
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 129
чального. Сколько часов тратит каждый поезд на всю доро­
гу, если продолжительность преодоления всего маршрута
каждым из поездов выражается целым числом часов?
1.6.49. Железная руда одного сорта содержит 72% же­
леза, другого 58%. Смешали имеющуюся руду двух сортов
и получили руду, содержащую 62% железа. Если бы для
смеси взяли каждой руды на 15 кг больше, чем было взя­
то, то получилась бы руда с содержанием железа 63,25%.
Сколько руды каждого сорта в смеси?
1.6.50. Мальчик шёл по узкому мосту, на котором не мо­
гут разминуться пешеход и автомобиль. Когда до середины
моста оставалось пройти 1/8 его длины, мальчик услышал
сигнал подъезжавшего к мосту автомобиля. Если мальчик
побежит назад, он встретится с автомобилем в начале мо­
ста, а если вперёд, автомобиль догонит его в конце моста.
Во сколько раз скорость бегущего мальчика меньше скоро­
сти автомобиля?
1.6.51. В классе учится менее 50 учеников. За контроль­
ную работу (на которой отсутствующих не было) получили
оценки 5, 4 и 3 соответственно 1/7, 1/3 и 1/2 учеников.
Остальным ученикам работа не была засчитана. Сколько
учеников в классе? Скольким ученикам поставлена неудо­
влетворительная оценка?
1.6.52. Токарь и его помощник выполнили срочный
заказ и разделили полученную премию в отношении 2 : 1.
В первый день токарь потратил 600 руб., во второй день —
треть оставшейся суммы. Помощник за это время потратил
четверть полученной суммы, после чего у него осталось
на 650 руб. меньше, чем у токаря. Какую сумму получил
каждый из них?

1.7.1. Номинальная зарплата рабочего увеличилась на
20%, а цены на товары снизились на 15%. На сколько про­
центов увеличилась реальная заработная плата рабочего?
1.7.2. а) Товар сначала подорожал на 20%, затем поде­
шевел на 20%. Как изменилась цена товара?
б) Товар сначала подешевел на 20%, затем подорожал
на 20%. Как изменилась цена товара?
1.7.3. В начале года число мужчин, работавших на заво­
де, составляло 40% от общей численности работников заво­
да. После того, как были приняты на работу ещё 6 мужчин,
а 5 женщин уволились, мужчин и женщин на заводе ста­
ло поровну. Сколько человек работало на заводе в начале
года?
1.7.4. На званый ужин пришли 13 мужчин и 17 жен­
щин. Сколько среди них было супружеских пар, если число
холостых мужчин составляет 60 % числа незамужних жен­
щин?
ЗАДАЧИ 161
1.7.5. В двух бидонах находится 70 л молока. Если из
первого бидона перелить во второй 12,5% молока, находя­
щегося в первом бидоне, то в обоих бидонах молока станет
поровну. Сколько молока в каждом бидоне?
1.7.6. Возраст брата составляет 40% возраста сестры.
Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста
брата?
1.7.7. В магазин поступили учебники по физике и мате­
матике. После того, как продали 50% учебников по матема­
тике и 20% учебников по физике (всего 390 книг), учебни­
ков по математике осталось в три раза больше, чем по фи­
зике. Сколько учебников по математике и сколько по физи­
ке поступило в продажу?
1.7.8. Отношение числа мальчиков в классе к числу де­
вочек равно 2 :3 . После того, как четырёх девочек перевели
в другой класс, а на их место пришли четыре мальчика,
мальчиков и девочек в классе стало поровну. Сколько уче­
ников в классе?
1.7.9. После уценки велосипеда на 15%, а затем ещё
на 20% он стал стоить 340 руб. Какова первоначальная
цена велосипеда?
1.7.10. 20% некоторого числа на 20 меньше самого этого
числа. Чему равно число?
1.7.11. Основание прямоугольника увеличили на 60%.
На сколько процентов надо уменьшить его высоту, чтобы
площадь не изменилась?
1.7.12. Влажность купленного арбуза составила 99%.
В результате длительного хранения влажность снизилась
до 98%. Как изменилась масса арбуза?
1.7.13. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие 20%
воды. Сколько сухих фруктов получится из 15 кг свежих?
1.7.14. Объём строительных работ увеличился на 80%.
На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, ес­
ли производительность труда повысилась на 20 %?
1.7.15. Двое путников вышли одновременно из пункта А
по направлению к пункту В. Шаг второго был на 20% коро­
че, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время
сделать на 20% больше шагов, чем первый. Сколько време­
ни потребовалось второму путнику для достижения цели,
если первый прибыл в пункт В спустя 5 ч после выхода из
пункта А1
162 ГЛ.1.7. ПРОЦЕНТЫ
1.7.16. В выборах школьного совета участвовали
900 учащихся. За кандидата А проголосовали 15% девочек
и 20% мальчиков, всего 159 учащихся. Сколько девочек и
сколько мальчиков участвовало в голосовании?
1.7.17. Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг со­
держит 55% олова. Сколько чистого олова нужно доба­
вить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал
60% олова?
1.7.18. Стоимость 60 экземпляров первого тома и 75 эк­
земпляров второго тома составляет 270 руб. В действитель­
ности за все эти книги уплатили только 237 руб., т. к. пер­
вый том уценили на 15%, а второй —на 10%. Найти перво­
начальную цену этих книг.
1.7.19. Клиент банка внёс 1200 руб. на два разных вкла­
да. По одному из них банк выплачивает 8% в год, по другому
10% в год. Через год внесённая сумма увеличилась на 104 руб.
Сколько рублей внёс клиент на каждый из вкладов?
1.7.20. Двое рабочих за смену изготовили 72 детали. По
еле того, как первый рабочий повысил производительность
труда на 15%, а второй —на 25%, они стали изготовлять за
смену 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый рабо­
чий за смену после повышения производительности труда?
1.7.21. В школьной газете сообщается, что процент уче­
ников некоторого класса, повысивших во втором полуго­
дии успеваемость, заключён в пределах от 2,9% до 3,1%.
Определить минимально возможное число учеников в та­
ком классе.
1.7.22. Число техников, работавших на заводе, втрое
превышало число инженеров. После того, как были уво­
лены 20% техников и приняты на работу 40 инженеров,
общая численность персонала (инженеров и техников) воз­
росла на 10%. Сколько техников и сколько инженеров
работает на заводе после указанных изменений?
1.7.23. При проверке качества болтов, изготовленных на
двух станках в течение часа, получены следующие резуль­
таты:
а) часовая производительность первого станка 400 бол­
тов, второго 350 болтов;
б) процент бракованной продукции второго станка на 12
больше аналогичного показателя первого станка;
в) количество бракованных болтов, изготовленных на
втором станке, на 38 больше, чем на первом.
Какой процент брака даёт каждый станок?
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 163
1.7.24. 35% от общего числа работавших на заводе —
женщины. При сокращении с завода уволили 20% женщин
и 18 мужчин. Общее число работавших на заводе умень­
шилось при этом на 16%. Сколько работающих осталось на
заводе после сокращения?
1.7.25. Вследствие неблагоприятных погодных усло­
вий план сбора свёклы на первом поле был недовыполнен
на 20%, а на втором на 15%. Общий урожай с двух полей
составил 328 т свёклы, или 82 % общего плана. Определить
планы сбора свёклы с полей.
1.7.26. В городе N за последний год численность населе­
ния уменьшилась на 4%, а число безработных увеличилось
на 5%. Найти процент безработных жителей города, если
год назад он был равен 8%.
1.7.27. Смешали некоторые количества соляной кисло­
ты двух концентраций: 84% и 42%, причём менее концент­
рированной соляной кислоты было взято на 200 л меньше.
К смеси добавили 400 л дистиллированной воды и получи­
ли раствор соляной кислоты концентрации 48%. Найти ко­
личество полученного раствора.

1.8.1. Найти четыре последовательных чётных числа,
сумма которых равна 68.
1.8.2. Средний рост шести друзей равен 1,2 м. Рост са­
мого низкого из них 1,1 м. Каков средний рост остальных
пяти?
1.8.3. Среднее арифметическое трёх величин равно 5,
двух других 20. Найти среднее арифметическое всех пяти
величин.
1.8.4. Роста пяти игроков баскетбольной команды (в сан­
тиметрах) равны 188, 194, 197, 200 и 201. Найти средний
рост игроков команды.
1.8.5. Средний рост пяти игроков баскетбольной коман­
ды равен 2,04 м. После замены игрока, рост которого ра­
вен среднему, средний рост игроков команды увеличился
до 2,08 м. Каков рост нового игрока?
1.8.6. Средний балл студента на 10 экзаменах равен 80
(по 100-бальной системе). Если не учитывать наибольший и
наименьший баллы, то средний балл равен 82. Каков сред­
ний балл наивысшей и наинизшей оценок?
ЗАДАЧИ 177
1.8.7. В классе 20 учеников. Средняя оценка по мате­
матике равна 80 (по 100-бальной системе). Среди девочек
эта оценка равна 92, среди мальчиков 72. Сколько в классе
девочек?
1.8.8. Средний возраст 11 игроков футбольной команды
равен 22 годам. После удаления одного из игроков средний
возраст оставшихся на поле уменьшился на 1 год. Сколько
лет удалённому игроку?
1.8.9. Средняя масса 26 лилипутов равна 51 кг. Масса
самого маленького из них 26 кг. Какова средняя масса
остальных?
1.8.10. Четыре бегуна пробежали эстафету 4 х 100 м со
средним временем 10,4 с. Первый бегун преодолел свой
этап за 10,7 с. Каково среднее время остальных членов
команды?
1.8.11. Как изменится средняя масса пяти арбузов, если
взамен арбуза, масса которого на 5 кг меньше средней,
добавить арбуз, масса которого превышает эту среднюю
на 10 кг?
1.8.12. Две стороны треугольника равны 17 см и 25 см, а
периметр треугольника втрое больше третьей его стороны.
Определить третью сторону треугольника.
1.8.13. Одно число на 18 больше другого, а их среднее
арифметическое равно 23. Найти эти числа.
1.8.14. Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и
третья бригады в сумме заготовили древесины вдвое боль­
ше, чем вторая, а вторая и третья в сумме — в три раза боль­
ше, чем первая. Какая из бригад победила в соревновании?
1.8.15. Требуется разбить комплект домино на 4 группы
так, чтобы суммы очков в этих группах представляли собой
последовательные простые числа.
1.8.16. Среди жителей некоторой африканской деревни
800 женщин. Три процента из них носят в ушах по одной
серьге, половина женщин, составляющих остальные 97%,
носит по 2 серьги, а остальные вообще не носят серёг.
Сколько серёг можно насчитать в ушах у всего женского
населения деревни?
1.8.17. В двух сосудах имеется вода разной температу­
ры. Из этой воды составляют смеси. Если отношение объ­
ёмов воды, взятой из первого и второго сосудов, равно 1:3,
то температура смеси будет 49°С, а если отношение этих
объёмов равно 2 : 5, то температура смеси будет 48°С. Най­ти температуру воды в каждом сосуде (считать, что плот­ность воды и удельная теплоёмкость не зависят от темпера­
туры).

Решение задач по математике Романовский from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Романовский | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar