Тема №6052 Решение задач по математике Романовский (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по математике Романовский (Часть 2) из предмета Физика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по математике Романовский (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа


1.9.1. Один из 9 шариков тяжелее остальных. Найти его
при помощи двух взвешиваний.
1.9.2. Один из 27 шариков тяжелее остальных. Найти
его при помощи трёх взвешиваний.
1.9.3. Один из 9 шариков отличается по массе от осталь­
ных. Найти его при помощи трёх взвешиваний.
1.9.4. Имеются 5 монет, среди них одна фальшивая.
Неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Масса на­
стоящей монеты равна 5 г. Как с помощью двух взвеши­
ваний на рычажных весах можно обнаружить фальшивую
монету, имея одну гирю массой 5 г?
188 ГЛ.1.9. НЕМНОГО ЛОГИКИ
1.9.5. Имеются 5 монет: 3 настоящие и 2 фальшивые.
Одна из фальшивых монет весит больше настоящей, дру­
гая — меньше. За три взвешивания на рычажных весах без
гирь определить обе фальшивые монеты.
1.9.6. Бронзовые монеты достоинством 1, 2, 3 и 5 ко­
пеек имеют массы соответственно 1, 2, 3 и 5 граммов.
Среди четырёх монет (по одной каждого номинала) одна —
фальшивая, отличная по массе от настоящей. С помощью
двух взвешиваний на рычажных весах без гирь определить
фальшивую монету.
1.9.7. Археолог нашел клад, в котором 99 монет. Одна
из этих монет, как записано в древней хронике, — фальши­
вая, более лёгкая. Как за 7 взвешиваний на рычажных ве­
сах без гирь найти фальшивую монету, если ни одну монету
нельзя помещать на весы более двух раз?
1.9.8. Из 60 одинаковых по виду монет одна отличается
от других по массе. Двумя взвешиваниями на рычажных
весах без гирь определить, легче она или тяжелее.
1.9.9. В некотором государстве на монетном дворе 8 ав­
томатов чеканили золотые монеты массой 10 г каждая.
Один из автоматов разладился и стал чеканить монеты
на 1 г легче. Пользуясь весами с набором гирь, определить
за одно взвешивание, какой из автоматов неисправен.
1.9.10. На лабораторных рычажных весах нужно отве­
сить два реактива массами 25 г и 35 г. Рассмотреть два ва­
рианта с различными наборами гирь:
а) по 3 г и по 10 г; б) по 3 г и по 7 г.
1.9.11. Как можно взвесить 2 кг орехов на неуравно­
вешенных рычажных весах, используя килограммовую
гирю? Правильно ли поступил продавец, уравновесив ги­
рю, помещенную на левую чашу весов, орехами на правой
чаше, а при взвешивании второго килограмма орехов —
поместив гирю на правую чашу весов, а орехи — на левую?
1.9.12. Имеется 9 кг крупы и рычажные весы с одной
гирей в 200 г. Отвесить 2 кг крупы за 3 взвешивания.
1.9.13. Какое минимальное число гирь необходимо,
чтобы взвесить любое целое число граммов от 1 г до 120 г?
Задачу решить для двух различных вариантов:
1) разрешается ставить гири только на одну чашу весов
(ограничение, не соответствующее реальным условиям, но
представляющее теоретический интерес);
2) разрешается ставить гири на обе чаши весов.
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 189
1.9.14. Если 1 января 1967 г. пришлось на воскресенье,
какой день недели был: а) 1 января 1965 г.? б) 31 декабря
1963 г.?
1.9.15. В некотором месяце три воскресенья пришлись
на чётные числа. Какой день недели был 20-го числа этого
месяца?
1.9.16. Таня уже опаздывает в кино, но перед выходом
из дома она должна приготовить ужин младшей сестрёнке.
Сколько времени потребуется Тане, если она должна поджа­
рить 3 блина с двух сторон, каждую сторону нужно обжари­
вать 2 мин, а на сковороде помещаются только 2 блина?
1.9.17. Водитель проезжает 5000 км на машине с одним
запасным колесом, время от времени меняя колёса, чтобы
все они износились одинаково. Какой путь проделает каж­
дое колесо к концу поездки? Указать порядок замены ко­
лёс, обеспечивающий их одинаковый износ.
1.9.18. 48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Ка­
кое наименьшее время они затратят на работу, если каж­
дый кузнец тратит на одну подкову 5 мин (лошадь не мо­
жет стоять на двух ногах)?
1.9.19. В парламенте некоторой страны 100 депутатов.
По меньшей мере один из них честен. В каждой паре депу­
татов хотя бы один продажен. Сколько всего честных депу­
татов в парламенте?
1.9.20. Дрожжевые грибки при благоприятных услови­
ях размножаются с большой скоростью, ежеминутно увели­
чиваясь в объёме вдвое. Помещенный в колбу гриб запол­
нил её за 30 мин. За сколько минут заполнят колбу поме­
щенные в неё два гриба?
1.9.21. В магазине установили платный вычислитель­
ный автомат, который за 5 коп. умножает любое введённое
в него число на 3, а за 2 коп. прибавляет к любому числу 4.
Как, начиная с единицы, которую можно ввести в автомат
бесплатно, набрать на автомате число 1981, затратив наи­
меньшую сумму денег?

2.1.1. Двузначное число в сумме с зеркальным даёт пол­
ный квадрат. Найти все такие числа.
2.1.2. Доказать, что разность двузначного числа и зер­
кальному ему кратна 9.
2.1.3. Сумма некоторого числа и зеркального ему —дву­
значное число, кратное 8. Исходное число больше зеркаль­
ного на 18. Найти исходное число.
2.1.4. Найти двузначное число, которое при перестанов­
ке его цифр: а) уменьшается на 9; б) увеличивается на 72;
в) уменьшается на 67.
210 ГЛ. 2.1. ЗЕРКАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА
2.1.5. Ученику надо было найти произведение числа 136
на некоторое двузначное число, в котором цифра единиц
вдвое больше цифры десятков. По рассеянности он поменял
местами цифры двузначного числа, отчего получил произ­
ведение, на 1224 большее истинного. Чему равно истинное
произведение?
2.1.6. Найти двузначное число, первая цифра которого
равна разности между этим числом и зеркальным ему.
2.1.7. Два двузначных простых числа отличаются друг
от друга перестановкой цифр, а их разность — полный ква­
драт. Какие это числа?
2.1.8. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к
этому числу прибавить 36, получится число, зеркальное
данному. Найти это число.
2.1.9. Произведение цифр двузначного числа в 3 раза
меньше самого числа. Если к этому числу прибавить 18,
получим число, зеркальное исходному. Найти это число.
2.1.10. Отношение двузначного числа к произведению
его цифр равно 16/3. Вычтя из этого числа 9, получим
число, зеркальное данному. Найти это число.
2.1.11. Найти двузначное число, если частное от деления
этого числа на произведение его цифр равно 8/3, а разность
между искомым числом и зеркальным ему равна 18.
2.1.12. Найти двузначное число, если известно, что сум­
ма квадратов его цифр равна 113, а само число на 9 больше
зеркального ему.
2.1.13. Трёхзначное число больше зеркального ему
на 396, а сумма цифры сотен и цифры единиц данного
числа в 1,5 раза больше цифры десятков. Найти это число.
2.1.14. Найти трёхзначное число, зная, что число его де­
сятков есть среднее геометрическое чисел сотен и единиц, а
если в его записи поменять местами цифры сотен и единиц
и вычесть новое число из искомого, то разность будет рав­
на 297.
2.1.15. Найти наименьшее трёхзначное число, отноше­
ние которого к зеркальному равно 36/47.
2.1.16. Сложив двузначное число с суммой его цифр, по­
лучим 58. Поменяв местами цифры этого числа, получим
число, на 27 большее исходного. Найти исходное число.
2.1.17. Цифра единиц двузначного числа меньше цифры
десятков на 2. При делении этого числа на зеркальное ему
получаем дробь 7/4. Найти это число.
РЕШЕНИЯ. ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 211
2.1.18. Если некоторое двузначное число умножить на
сумму его цифр, получим 90. Если же умножить на сум­
му цифр обращённое число, получим 306. Найти исходное
число.
2.1.19. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Произ­
ведение этого числа на обращённое равно 1008. Найти эти
числа.
2.1.20. Сумма некоторого двузначного числа с обращён­
ным равна 55, а произведение тех же чисел равно 736. Най­
ти эти числа.
2.1.21. Произведение цифр двузначного числа равно 24,
а сумма этого числа и зеркального ему — полный квадрат.
Найти это число.
2.1.22. Трёхзначное число относится зеркальному, как
7:4. Найти эти числа.
2.1.23. Даны два двузначных зеркальных числа. Нашли
разность этих чисел, затем поменяли местами цифры полу­
ченной разности и сложили два новых зеркальных числа.
Найти полученную сумму.

2.2.1. Двузначное число в результате перестановки его
цифр уменьшилось в 4,5 раза. Найти это число.
2.2.2. Разность двух чисел равна 5, а сумма их квадратов
равна 157. Найти эти числа.
2.2.3. Сумма двух чисел равна 26. Если одно из чисел
уменьшить втрое, их новая сумма составит 16. Найти эти
числа.
2.2.4. Сумма двух чисел равна 12. Если одно из чисел
увеличить втрое, а другое —в 4 раза, то их сумма соста­
вит 43. Найти эти числа.
2.2.5. Сумма двух чисел равна 14. После того, как одно
из чисел увеличили вдвое, их сумма составила 23. Найти
эти числа.
2.2.6. Задуманы два числа. После увеличения вдвое од­
ного из чисел их сумма составила 31. Вслед за тем увеличи­
ли втрое второе число, в результате чего сумма двух новых
чисел составила 45. Какие числа были задуманы?
2.2.7. Сумма двух чисел равна 19. После увеличения
большего из чисел вдвое их разность составила 14. Найти
эти числа.
2.2.8. Разность двух чисел равна 13. После того, как
одно из чисел увеличили вдвое, их разность составила 21.
Найти эти числа.
2.2.9. Разность двух чисел равна 13. После удвоения од­
ного из чисел их новая разность составила 35. Найти эти
числа.
ЗАДАЧИ 229
2.2.10. Найти все трёхзначные числа, каждое из кото­
рых в 12 раз больше суммы своих цифр.
2.2.11. Найти число, которое в 4 раза больше суммы сво­
их цифр и в 3 раза больше их произведения.
2.2.12. Однозначное число увеличили на 10. Если уве­
личить полученное число на столько же процентов, как в
первый раз, то получится 72. Найти первоначальное число.
2.2.13. Сумма двух чисел, одно из которых в 4 раза боль­
ше другого, равна 45. Найти эти числа.
2.2.14. Найти два числа, большие единицы, если извест­
но, что их сумма равна 91, а их отношение — целое число.
2.2.15. Сумма цифр двузначного числа равна 14. При
увеличении этого числа на 46 получаем число, произведе­
ние цифр которого равно 6. Найти это двузначное число.
2.2.16. Даны два двузначных числа, записанных одни­
ми и теми же цифрами, но в обратном порядке. Частное от
деления первого числа на второе равно 1,75. Произведение
первого числа на цифру его десятков в 3,5 раза больше вто­
рого числа. Найти эти числа.
2.2.17. Выбраны произвольным образом три натуральных
числа. Складывая их попарно, получили следующие резуль­
таты: 108; 93; 69. Найти наибольшее из выбранных чисел.
2.2.18. В двузначном числе цифра единиц на 4 боль­
ше цифры десятков. Если в этом числе один раз вписать
нуль между цифрой десятков и цифрой единиц, а другой
раз дописать справа цифру 3, то сумма двух полученных
трёхзначных чисел будет равна 680. Найти это двузначное
число.
2.2.19. Цифра единиц двузначного числа на 2 больше
цифры его десятков, а произведение этого числа на сумму
его цифр равно 144. Найти это число.
2.2.20. Сумма четырёх чисел равна 100. Если от первого
числа отнять 4, ко второму прибавить 4, третье разделить
на 4 и четвёртое умножить на 4, то во всех четырёх случаях
получим один и тот же результат.
2.2.21. а) Сумма двух чисел 19, а их произведение 78.
Найти эти числа.
б) Сумма двух чисел 20, а их произведение 84. Найти
эти числа.
2.2.22. Произведение двух положительных чисел рав­
но 120. Найти эти числа, если известно, что одно из них
на 7 больше другого.
230 ГЛ. 2.2. ОТ РЕЗУЛЬТАТА - К ИСХОДНОМУ ЧИСЛУ
2.2.23. Какое число при удвоении записывается теми же
цифрами, что и его квадрат, но в обратном порядке?
2.2.24. Если двузначное число разделить на число, зер­
кальное ему, то в частном получится 4 и в остатке 3. Найти
это двузначное число.
2.2.26. Если двузначное число сложить с утроенной сум­
мой его цифр, получим 127. Найти это число.
2.2.26. В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру
и получили число, в 6 раз меньшее исходного. Найти это
трёхзначное число.
2.2.27. Трёхзначное число оканчивается цифрой 2. Если
её перенести в начало записи, то полученное число будет
на 18 больше первоначального. Найти это число.
2.2.28. Трёхзначное число начинается цифрой 4. Если
перенести эту цифру в конец числа, то полученное число
составит 3/4 исходного. Найти исходное число.
2.2.29. Задуманное число увеличили на 200000 и утро­
или полученную сумму. Затем приписали к задуманному
числу справа цифру 2 и получили тот же результат. Найти
задуманное число.
2.2.30. В результате умножения некоторого четырёх­
значного числа на 9 порядок его цифр изменился на обрат­
ный. Найти это число.
2.2.31. Если двузначное число разделить на сумму его
цифр, в частном получим 3 и в остатке 7. Найти это число.
2.2.32. Цифра десятков двузначного числа вдвое больше
цифры единиц, а произведение числа на сумму его цифр
равно 252. Найти это число.
2.2.33. Найти двузначное число, цифра десятков кото­
рого на 5 больше цифры единиц, а произведение числа на
цифру единиц равно 376.
2.2.34. Число десятков двузначного числа на 5 больше
числа единиц. Произведение этого числа на сумму его цифр
равно 648. Какое это число?
2.2.35. Разность двух чисел равна 45. Разделив большее
число на меньшее, получим частное 3 и остаток 5. Найти
эти числа.
2.2.36. Разность двух чисел равна 17. Разделив меньшее
из чисел на 8, а большее на 11, получим равные частные,
причём остаток от деления меньшего числа равен 5, боль­
шего числа 4. Найти эти числа.
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 231
2.2.37. Цифра единиц двузначного числа на 1 меньше
цифры десятков. Если поделить число на сумму его цифр,
получим частное 5 и остаток 11. Найти это число.
2.2.38. Найти двузначное число, у которого цифра де­
сятков на 5 меньше цифры единиц, а произведение суммы
цифр на число десятков равно 18.
2.2.39. Найти двузначное число, у которого цифра еди­
ниц на 3 меньше цифры десятков, а удвоенное число десят­
ков на 36 меньше произведения цифр.
2.2.40. Найти двузначное число, которое равно сумме
куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.

2.3.1. Саша собрал коллекцию жуков и пауков. Когда
друзья интересуются, сколько насекомых у него в коллек­
ции, Саша отвечает, что всего насчитывается 19 особей, а
общее число ног 138. Можете ли вы определить, сколько в
коллекции насекомых каждого вида (для тех, кто давно не
держал в руках жука или паука, подсказка: у жука 6 ног,
у паука 8)?
2.3.2. В магазине смешали конфеты по 11 руб. за ки­
лограмм и по 15 руб. за килограмм и получили смесь
по 12 руб. за килограмм. Сколько конфет того и другого
сорта содержится в одном килограмме смеси?
ЗАДАЧИ 257
2.3.3. На экзамене по математике были предложены
20 задач. Каждая решённая задача приносила ученику
5 баллов, за каждую нерешённую с него снимали 3 балла.
Сколько задач решил ученик, набравший 4 балла?
2.3.4. На изготовление двигателя типа “А ” идут 1 кг
свинца и 2 кг меди. На изготовление двигателя типа “В”
идут 2 кг свинца и 3 кг меди. Сколько и каких двигате­
лей изготовлено, если всего израсходовано 80 кг свинца и
130 кг меди?
2.3.5. Требуется разлить 204 л сока в банки ёмкостями
по 7 л и 9 л так, чтобы все банки оказались полными. Ка­
кое минимальное и какое максимальное число банок может
понадобиться?
2.3.6. В фирменный магазин поступил товар первого и
второго сортов на сумму 450 руб. Экспертиза установила,
что весь товар можно продавать только по цене второго сор­
та, в результате чего фирма потерпела бы убыток в сум­
ме 50 руб. Устранив дефекты, фирма довела весь товар до
кондиции первого сорта и продала его по цене первого сор­
та с прибылью 30 руб. В какую сумму оценивался первона­
чально весь товар каждого сорта в отдельности?
2.3.7. Имеется лом стали двух сортов с содержанием ни­
келя соответственно 40% и 5%. Сколько нужно взять ме­
талла каждого сорта, чтобы получить 140 т стали с содер­
жанием никеля 30 %?
2.3.8. Смешали 30-процентный и 10-процентный раство­
ры соляной кислоты и получили 600 г 15-процентного рас­
твора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
2.3.9. Три одинаковые пробирки наполнены до полови­
ны растворами спирта. После того, как содержимое третьей
пробирки разлили поровну в первые две, объёмная концен­
трация спирта в первой уменьшилась на 20% от первона­
чальной, а во второй увеличилась на 10% от первоначаль­
ной. Во сколько раз первоначальная концентрация спирта
в первой пробирке превышала первоначальную концентра­
цию спирта во второй пробирке? •
2.3.10. Имеются 40 красных и 45 синих фишек. Их
раскладывают на плоской поверхности следующим обра­
зом: красные фишки размещают в вершинах правильного
шестиугольника, в центр которого кладётся синяя фишка,
а синие фишки ставятся в вершинах квадрата, центр кото­
рого обозначен красной фишкой (рис. 18). Существует ли
258 ГЛ. 2.3. "ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ" ЗАДАЧИ, ИЛИ СМЕСИ
такой способ раскладки фишек, при котором все они будут
использованы?
2.3.11. Старинная задача. Некто купил 30 птиц за
30 монет. Из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв
заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 мо­
нета и, наконец, за каждого голубя — 2 монеты. Сколько
было куплено птиц каждого вида?
2.3.12. Периметр прямоугольника равен 60 см. Если уве­
личить его длину на 10 см, а ширину на 4 см, то площадь
прямоугольника увеличится на 220 см2. Найти размеры ис­
ходного прямоугольника.
2.3.13. Некоторое количество воды Мёртвого моря с со­
держанием соли 24 % смешали с водой Средиземного моря в
количестве, превышающем на 150 л количество воды Мёрт­
вого моря, и с содержанием соли 4%. Полученная смесь со­
держит 9% соли. Из каких количеств воды двух морей со­
ставлена смесь?
2.3.14. Из ёмкости, содержавшей 25 л спирта концен­
трации 60%, отлили некоторое количество спирта и добави­
ли такое же количество дистиллированной воды. Концен­
трация полученного раствора равна 48%. Сколько литров
спирта заменили водой?
2.3.15. Имеются 20 гирь по 5 г и по 3 г. Найти число
гирь обоих видов для каждой из следующих ситуаций:
а) общая масса гирь равна 90 г; б) суммарная масса гирь
по 5 г превышает на 12 г массу гирь по 3 г.
2.3.16. Магазин получил 180 кг апельсинов второго сор­
та по цене 20 руб. за килограмм и некоторое количество
апельсинов первого сорта по цене 30 руб. за килограмм.
Анельсины смешали и продали по цене 36 руб. за кило­
грамм. Прибыль составила 50%. Сколько апельсинов пер­
вого сорта получил магазин?
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 259
2.3.17. Говядина без костей стоит 90 руб. за килограмм,
говядина с костями 78 руб. за килограмм, а кости без говя­
дины 15 руб. за килограмм. Сколько костей в килограмме
говядины?
2.3.18. В сдаче экзамена на право получения водитель­
ского удостоверения участвовали 400 человек. Они были
разбиты на две группы: в первую группу были записаны
лица в возрасте до 35 лет, во вторую — свыше 35 лет. В пер­
вой группе не выдержали экзамен 30% экзаменующихся,
во второй 60%. В результате в первой группе оказалось
сдавших экзамен на 126 человек больше, чем во второй.
Определить численности групп.
2.3.19. Кусок цинка весом 36 Г в воде весит 31 Г; кусок
свинца весом 23 Г в воде весит 21 Г. Сплав цинка и свинца
весом 292 Г в воде весит 261 Г. Каковы веса цинка и свин­
ца, содержащихся в сплаве?

2.4.1. В одном резервуаре 380 м3 воды, а в другом 1500 м3.
В первый резервуар каждый час поступает 80 м3 воды, а
из второго каждый час выкачивают 60 м3. Через сколько
часов воды в резервуарах станет поровну?
2.4.2. Бассейн может наполняться водой из двух кранов.
Если первый кран будет открыт в течение 10 мин, а вто­
рой — в течение 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если
первый кран будет открыт в течение 5 мин, а второй — в
течение 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна. Определить,
сколько времени нужно для заполнения бассейна каждым
краном в отдельности.
2.4.3. В бассейн подведены пять труб. Первые три тру­
бы, работая вместе, наполняют бассейн за 3 ч, четвёртая и
пятая вместе с первой — за 2 ч, третья и четвёртая — за 6 ч,
вторая и пятая — за 4 ч. Сколько времени понадобится для
заполнения бассейна через пять труб, работающих вместе?
2.4.4. Два крана наполняют бак. Каждому из кранов
достаточно для этого 6 ч. Сколько времени понадобится,
чтобы заполнить бак при совместной работе кранов, если
один из кранов, ввиду неисправности, должен был после
часа работы сделать часовой перерыв?
2.4.5. Лев может съесть овцу за 2 ч, волк — за 3 ч, соба­
ка — за 6 ч. За какое время они вместе съели бы овцу?
2.4.6. Уборщице нужно 6 ч, чтобы вымыть полы во всей
школе, ученики пачкают каждый час 1/18 всех полов.
Сколько времени понадобится уборщице, чтобы привести
полы в порядок, если к началу работы все полы были
грязные?
ЗАДАЧИ 277
2.4.7. Рабочий А подстригает и приводит в порядок тра­
ву на стадионе за 12 ч, рабочий В за то же время может
обработать лишь 75% всего покрытия, а рабочий С 1/4 по­
крытия. Сколько потребуется времени трём рабочим, чтобы
сообща выполнить всю работу?
2.4.8. Три тракторные бригады, работая вместе, могут
вспахать поле за 4 дня. Первой и второй бригадам при
совместной работе требуются для этого 6 дней, а первой
и третьей 8 дней. Во сколько раз производительность труда
второй бригады больше производительности труда третьей
бригады? (Производительность труда —это объём работы,
выполняемой в единицу времени, или, иначе говоря, ско­
рость выполнения работы; в рассматриваемом случае это
площадь территории, обрабатываемой бригадой за 1 день).
2.4.9. Две бригады, работая одновременно, обработали
участок земли за 12 ч. За какое время могла бы обработать
этот участок каждая из бригад в отдельности, если скоро­
сти выполнения работ бригадами относятся как 3:2?
2.4.10. Кошка погналась за мышкой по длинному кори­
дору и догнала её за 12 с. Первоначальное расстояние меж­
ду ними 24 м. Если бы при таком же начальном расстоя­
нии мышка с перепугу побежала не от кошки, а навстре­
чу ей, то она была бы схвачена через 3 с. Найти скорости
обеих.
2.4.11. Из двух городов, находящихся на расстоянии
700 км, отправились одновременно навстречу друг другу
два поезда. Скорость движения одного из них на 20 км/ч
больше скорости другого. Найти скорость движения ка­
ждого поезда, если известно, что поезда двигались без
остановок и встретились через 5 ч после начала движения.
2.4.12. Часы показывают час дня. Найти ближайший
момент времени, когда часовая и минутная стрелки сов­
падут.
2.4.13. Сколько раз за календарные сутки (от 0 до 24 ча­
сов включительно) минутная стрелка обгоняет часовую?
2.4.14. Три машинистки, работая одновременно, за 4 ч
перепечатали 216 страниц. За 1 ч третья машинистка печа­
тает больше, чем вторая, на столько же страниц, на сколь­
ко вторая за то же время печатает больше, чем первая.
За 5 ч третья машинистка печатает столько же страниц,
сколько первая за 7 ч. Сколько страниц в час печатает
первая машинистка?
278 ГЛ. 2.4. СОВМЕСТНАЯ РАБОТА
2.4.15. Два рабочих, работая вместе, выполнили работу
за 6 ч. Один из них может выполнить эту работу за 10 ч.
Сколько времени потребуется второму для выполнения той
же работы?
2.4.16. Теплоход отправился в полдень из Петербурга в
Кронштадт, а в 12 мин пополудни из Кронштадта навстре­
чу ему вышел другой теплоход. Первый теплоход прибыл
в Кронштадт в 1 ч 30 мин пополудни, второй — в Петербург
в 2 ч пополудни.
Когда теплоходы встретились?

2.5.1. Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. На сере­
дине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бро­
сил её на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побе­
288 ГЛ. 2,5. ДВИЖЕНИЕ
жал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься
по встречному эскалатору и вернуть шапку. А Витя побе­
жал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться и успеть
к шапке раньше Пети. Кто успеет к шапке первым, если
скорости ребят относительно эскалатора постоянны, равны
и не зависят от направления движения?
2.5.2. Идя по движущемуся вниз эскалатору, пассажир
спускается в метро за 24 с. Если он идет с той же скоро­
стью по неподвижному эскалатору, спуск занимает 42 с. За
сколько секунд пассажир спустится в метро, стоя на сту­
пеньке движущегося эскалатора?
2.5.3. Спускаясь по движущемуся эскалатору, пассажир
насчитал 50 ступенек. Другой пассажир, идя втрое бы­
стрее, насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек насчитает
первый пассажир, спускаясь по неподвижному эскалатору?
2.5.4. Медленно спускаясь по движущемуся вниз эскала­
тору, математик успел насчитать 50 ступенек. Из любопыт­
ства он взбежал затем по тому же эскалатору и оказался
наверху, преодолев 125 ступенек. Сколько ступенек можно
насчитать в остановленном эскалаторе, если предположить,
что математик взбегает вверх в пять раз быстрее, чем спус­
кается вниз (т. е. за то время, за которое, идя вниз, мате­
матик опускается на одну ступеньку, он успевает, взбегая
наверх, подняться на 5 ступенек)?
2.5.5. Математик шёл домой вверх по ручью со скоро­
стью, в полтора раза большей, чем скорость течения, и дер­
жал в руках палку и шляпу. Он бросил в ручей шляпу,
перепутав её с палкой, и продолжал идти с прежней ско­
ростью. Вскоре он заметил ошибку, бросил палку в ручей и
побежал назад со скоростью, вдвое большей той, с которой
шёл домой. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выло­
вил её из воды, повернулся и пошёл вверх по ручью с пер­
воначальной скоростью. Через 7 мин после того, как он бро­
сил палку в воду, он встретил её, плывущую по ручью. На­
сколько раньше он пришёл бы домой, если бы не заметил
ошибку?
2.5.6. Винни-Пух и Пятачок одновременно отправились
в гости друг к другу. Всю дорогу они считали пролетавших
галок и не заметили друг друга при встрече. Пятачок
подошел к дому Винни-Пуха через 4 мин после встречи, а
Винни-Пух к дому Пятачка — через 1 мин. Сколько минут
был в пути каждый из них, если известно, что скорости
друзей на протяжении всего пути оставались неизмен­
ными?
ЗАДАЧИ 289
2.5.7. На следующий день (см. задачу 2.5.6) рано поутру
друзья вновь оставили свои дома, намереваясь навестить
друг друга. И вновь они не заметили друг друга и прошли
мимо: Пятачок внимательно считал шаги, решив, наконец,
определить расстояние от своего дома до дома Винни-Пуха,
а Винни-Пух мучительно пытался вспомнить, куда он
поставил вчера горшочек с мёдом. Не застав друг друга
дома, друзья тут же повернули обратно и встретились на
расстоянии 50 м от дома Винни-Пуха. Помогите Пятачку
определить расстояние между домами, если известно, что
место первой встречи находится в 120 м от дома Пятачка.
2.5.8. Два поезда вышли одновременно из двух городов А
и В навстречу друг другу. К моменту встречи поезд, вышед­
ший из А, успел пройти на 108 км больше, чем встречный
поезд. Продолжив свой путь, поезд, вышедший из А, при­
был в В через 9 ч после встречи. Поезд, вышедший из В,
завершил свой маршрут в А спустя 16 ч после встречи. Ско­
рости поездов оставались неизменными на протяжении все­
го маршрута. Найти расстояние между городами.
2.5.9. Когда кончик хвоста ползущего по земле Удава
поравнялся с пальмой, на которой сидела Мартышка, она
захотела срочно измерить длину приятеля. Для этого Мар­
тышка пробежала вдоль Удава, быстро положила банан
рядом с его головой, развернулась, с той же скоростью по­
бежала обратно и положила второй банан у кончика хвоста
Удава. Потом ей на помощь пришел Попугай, который
измерил расстояния от пальмы до каждого из бананов,
оказавшиеся равными 48 и 16 попугаям. Определить длину
Удава в попугаях, а также вычислить, во сколько раз
быстрее бегает Мартышка, чем ползет Удав.
2.5.10. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся
по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот
момент, когда мотоциклист поравнялся с велосипедистом,
пешеход был на расстоянии 15 км впереди них. В тот
момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист
отставал от них на 10 км. На какое расстояние удалится
мотоциклист от пешехода к тому моменту, когда пешехода
настигнет велосипедист?
2.5.11. Автомобиль выехал из пункта А в пункт С. Дое­
хав за 1,5 ч до пункта В, расположенного на полпути меж­
ду А и С, автомобиль снизил скорость на 20 км/ч и вто­
рую половину пути проехал за 2 ч. Найти расстояние меж­
ду пунктами А и С и скорости автомобиля на каждом из
Участков.
290 ГЛ. 2.5. ДВИЖЕНИЕ
2.5.12. Для того, чтобы прибыть в пункт Б в назначен­
ное время, автомобиль должен был на протяжении всего
маршрута от А до Б поддерживать скорость 60 км/ч. Про­
ехав с этой скоростью по л пути, автомобиль увеличил ско­
рость на 20 км/ч и прибыл в Б на четверть часа раньше
назначенного времени. Определить, за какое время автомо­
биль должен был доехать от А до Б.
2.5.13. Поезд проходит с постоянной скоростью мимо
светофора в течение 24 с и затрачивает 54 с, чтобы проехать
с той же скоростью вдоль платформы длиной 500 м. Найти
скорость и длину поезда.
2.5.14. Из пункта А в пункт Б в 7.00 выехал велосипе­
дист со скоростью 15 км/ч. В 9.00 вслед за ним выехал вто­
рой велосипедист со скоростью 24 км/ч. В 11.00 вдогонку
отправился мотороллер, который спустя 3 ч догнал второ­
го велосипедиста. Как долго он догонял первого велосипе­
диста?
2.5.15. Катер и теплоход одновременно отправляются от
пристани в плавание по озеру. Скорость катера в 4 раза
больше скорости теплохода. Через 1,5 ч после отплытия
катер разворачивается и движется в обратном направле­
нии. Сколько времени займёт движение катера от момента
разворота до встречи с теплоходом?
2.5.16. От пристани в город отправилась лодка со скоро­
стью 12 км/ч, а через полчаса после неё в том же направ­
лении вышел катер со скоростью 20 км/ч. Каково расстоя­
ние от пристани до города, если катер пришел туда на 1,5 ч
раньше лодки?
2.5.17. Пловец плывёт против течения реки и встреча­
ет по пути плывущую по течению пустую лодку. Он про­
должает плыть против течения ещё 20 мин после момен­
та встречи, а затем поворачивает назад и догоняет лодку
в 2 км от места встречи. Найти скорость течения реки.
2.5.18. За 9 ч теплоход проходит по течению реки тот же
путь, что за 11 ч против течения. Найти собственную ско­
рость теплохода (т. е. скорость теплохода в стоячей воде),
если скорость течения реки равна 2 км/ч.
2.5.19. Прогулочный катер на маршрут по реке к базе
отдыха и обратно затрачивает 2 ч 40 мин. На каком рассто­
янии от начала маршрута находится база отдыха, если из­
вестно, что собственная скорость катера 35 км/ч, скорость
течения реки 5 км/ч и возле базы отдыха катер делает оста­
новку на полтора часа?
ЗАДАЧИ 291
2.5.20. Два приятеля прокатились в лодке по реке про­
тив течения и вернулись обратно по тому же пути через 5 ч
после отплытия. Весь рейс составил 10 км. По подсчётам
друзей получилось, что на каждые 2 км против течения им
требовалось столько же времени, сколько на 3 км по тече­
нию. Найти скорость течения, время движения против те­
чения и продолжительность обратного пути.
2.5.21. Из пункта А по реке отправляется плот. Одновре­
менно навстречу ему отправляется катер из пункта В, рас­
положенного ниже по течению. Встретив плот, катер сразу
поворачивает и идёт вниз по течению. Какую часть пути
от А до В пройдёт плот к моменту возвращения катера в
пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо боль­
ше скорости течения реки?
2.5.22. Теплоход отправился в рейс. Когда он отошёл
от берега на 180 миль, за ним выслали гидросамолёт с
экстренной почтой. Скорость самолёта в 10 раз больше ско­
рости теплохода. На каком расстоянии от берега самолёт
нагонит теплоход?
2.5.23. Два тела движутся равномерно по окружности в
одну сторону. Первое тело проходит окружность на 3 с бы­
стрее второго и догоняет второе тело каждые 1,5 мин. За
какое время проходит окружность каждое тело?
2.5.24. Пассажирский поезд обгоняет товарный, идущий
по параллельному пути. Мимо машиниста товарного поезда
пассажирский проходит за 10 с, а мимо машиниста пасса­
жирского поезда товарный проходит за 40 с. Если бы поез­
да двигались с теми же скоростями навстречу друг другу,
то полное время встречи (от момента встречи локомотивов
до расхождения хвостовых вагонов) было бы равно 16— с.
О
Во сколько раз скорость пассажирского поезда больше ско­
рости товарного?
2.5.25. Два пассажира поднимаются по движущемуся
вверх эскалатору. Скорость первого пассажира вдвое боль­
ше скорости второго. Первый успевает за время подъёма
пройти 60 ступенек, второй 40 ступенек. Сколько ступенек
должен пройти пассажир, поднимаясь по неподвижному
эскалатору?
2.5.26. Два одинаковых бассейна одновременно начали
наполняться водой. В первый бассейн поступает в час
на 30 м3 больше воды, чем во второй. В некоторый момент
292 ГЛ. 2.5. ДВИЖЕНИЕ
в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколь­
ко составляет объём каждого из них. После этого через
2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а ещё через 3 ч
20 мин — второй. Сколько воды поступало в час в каждый
бассейн?
2.5.27. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль, и од­
новременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист.
После встречи они продолжали свой путь. Автомобиль, до­
ехав до пункта Б, тотчас повернул назад и догнал велоси­
педиста через 2 ч после первой встречи. Сколько времени
после первой встречи ехал велосипедист до пункта А, ес­
ли известно, что к моменту второй встречи он проехал 2/5
всего пути от Б до А (скорости автомобиля и велосипедиста
постоянны)?
2.5.28. Два туриста вышли из А в Б одновременно,
причём первый турист каждый километр пути проходил
на 5 мин быстрее, чем второй. Первый, пройдя 1/5 пути,
вернулся в А и, пробыв там 10 мин, снова отправился в Б.
Оба туриста пришли в Б одновременно спустя 2,5 ч после
выхода на маршрут. Найти расстояние от А до Б.
2.5.29. Из А в Б против течения выехала моторная лод­
ка. В пути сломался мотор, и в течение 20 мин, пока его
чинили, лодку сносило обратно к А. На сколько позднее
прибыла лодка в Б, если обычно из А в Б она идет в полтора
раза дольше, чем из Б в А?
2.5.30. Из пунктов А и Б выехали одновременно на­
встречу друг другу два автобуса. Первый, имея вдвое боль­
шую скорость, проехал весь путь на 1 ч быстрее второго.
На сколько минут раньше произошла бы их встреча, если
бы скорость второго автобуса увеличилась до скорости
первого?
2.5.31. Два туриста вышли одновременно из пунктов
А и Б навстречу друг другу. Они встретились в 4 км от Б.
Достигнув А и Б, туристы сразу повернули обратно и
встретились в 2 км от А. Вторая встреча произошла через
час после первой. Найти скорости туристов и расстояние
от А до Б.
2.5.32. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде
равна 15 км/ч, прошла 139— км вниз по течению реки и
О
вернулась обратно. Найдите скорость течения реки, если на
весь путь затрачено 20 ч.
ЗАДАЧИ 293
2.5.33. Автобус выехал из Ростова-на-Дону в Таганрог со
скоростью 72 км/ч. Одновременно из Таганрога навстречу
ему выехал велосипедист со скоростью 20 км/ч. Прибыв в
Таганрог, автобус простоял там 20 мин, после чего отпра­
вился обратно со скоростью 90 км/ч и догнал велосипеди­
ста на полпути от Таганрога до Ростова-на-Дону. Найти
расстояние между городами.
2.5.34. Дорога от дома до школы состоит из двух участ­
ков: 300 м подъёма и 600 м спуска. Дорога от дома до
школы занимает у Дениса 16 мин, а обратный путь 17 мин.
Определить скорости Дениса при подъёме и при спуске.
2.5.35. Я подсчитал, что, идя по лестнице идущего вверх
эскалатора, я поднимаюсь сам на 20 ступенек, и весь подъ­
ём занимает у меня 60 с. Моя жена идет по той же лестни­
це медленней и поднимается всего на 16 ступенек; поэтому
время, затрачиваемое ею на подъём, больше — оно составля­
ет 72 с. На сколько ступенек мне придётся подняться в слу­
чае неисправности эскалатора?
2.5.36. Прогулочный катер в течение 4 ч двигался вниз
по течению реки. Возвращаясь обратно, спустя 4 ч после
разворота он находился на расстоянии 40 км от исходного
пункта. Найти скорость течения.
2.5.37. Лодка проплыла 18 км по течению реки и за та­
кое же время 10 км против течения. Скорость течения рав­
на 2 км/ч. Найти собственную скорость лодки и время дви­
жения вниз по реке.
2.5.38. Теплоход прошёл 100 км по течению реки и
64 км против течения за 9 ч. В другой раз за такое же
время он прошёл 80 км против течения и вернулся обратно.
Определить скорость теплохода в стоячей воде и скорость
течения.
2.5.39. Патрульный самолёт в безветренную погоду лета­
ет со скоростью 220 км/ч. Запас топлива рассчитан на 4 ч
полёта. На какое расстояние может удалиться этот само­
лёт, если ему необходимо будет вернуться к месту вы­
лета и при вылете дует встречный ветер со скоростью
20 км/ч?
2.5.40. Между городами А и В по горной дороге через
перевал регулярно ходит автобус. Скорость автобуса при
подъёме на перевал равна 25 км/ч, при спуске 50 км/ч.
Время движения от А до В составляет 3,5 ч, от В до А 4 ч.
Найти расстояние от А до В.
294 ГЛ. 2.5. ДВИЖЕНИЕ
2.5.41. Из двух городов А и В вышли одновременно
навстречу друг другу два пешехода. После встречи они
продолжили свой путь; первый пешеход прибыл в В спустя
4,5 ч после встречи, второй — в А спустя 2 ч после встречи.
Определить скорости пешеходов, если расстояние между
городами равно 30 км.
2.5.42. Велосипедист выехал из А в В. Проехав часть пу­
ти со скоростью 20 км/ч, он снизил скорость до 15 км/ч и
завершил поездку, двигаясь с этой скоростью. Первый уча­
сток пути велосипедист преодолел на 10 мин быстрее, чем
второй. Найти расстояние от А до В, если известно, что пер­
вый участок на 5 км длиннее второго.
2.5.43. Имея полный бак топлива, рыбак может про­
плыть на моторной лодке 20 км против течения или 30 км
по течению реки. На какое наибольшее расстояние он
может отплыть по реке при условии, что топлива должно
хватить на обратный путь?
2.5.44. Средняя скорость движения мопеда равна 36 км/ч
по асфальтовому шоссе и 12 км/ч по грунтовой дороге.
Мопед проехал 50 км частично по шоссе и частично по
грунтовой дороге со средней скоростью 24 км/ч. Найти
длину участка с асфальтовым покрытием.
2.5.45. Из села в город вышел пешеход. Спустя 5 ч в том
же направлении выехал велосипедист, скорость которого
в 3,5 раза превышает скорость пешехода. Сколько времени
потребуется велосипедисту, чтобы настигнуть пешехода?
2.5.46. Автомобиль преодолел расстояние 370 км. Пер­
вые 3 ч он ехал с некоторой постоянной скоростью, затем
снизил скорость на 15 км/ч и завершил маршрут через 2 ч.
Найти начальную скорость автомобиля.
2.5.47. В 7 ч утра из Москвы в Воронеж отправился мо­
тороллер. Спустя час вслед за ним выехал грузовой авто­
мобиль. В 8 ч 24 мин в том же направлении выехал легко­
вой автомобиль (такси). Такси настигло мотороллер спустя
полчаса после того, как оно перегнало грузовик. Грузовик
догнал мотороллер на расстоянии 180 км от Москвы. Найти
скорости транспортных средств, участвующих в заезде, ес­
ли скорости эти постоянны и составляют арифметическую
прогрессию.
2.5.48. В велогонке из Ярославля в Рыбинск и обратно
Игорь проехал участок Ярославль-Рыбинск со скоростью
25 км/ч, а обратный путь — со скоростью 15 км/ч. Олег про­
делал весь путь со скоростью 20 км/ч и прибыл к финн-
РЕШЕНИЯ, ПОЯСНЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 295
шу на 32 мин раньше Игоря. Найти расстояние между горо­
дами.
2.5.49. От пристани в пункте А отошёл теплоход в на­
правлении пункта В, расположенного ниже по течению на
расстоянии 24 км. Одновременно в том же направлении
из А отправился пешеход со скоростью, равной скорости
течения. Дойдя до В, теплоход повернул обратно и встре­
тился с пешеходом на расстоянии 8 км от А. Продолжив
рейс, теплоход прибыл в А через 0,5 ч после встречи с пе­
шеходом. Найти скорости движения теплохода и пешехода.
2.5.50. Скорый поезд выходит в 13.00 из города А в
город В со скоростью 60 км/ч. Спустя 15 мин из А выхо­
дит вслед за ним пассажирский поезд, идущий со скоро­
стью 40 км/ч. Поезд, вышедший из В, направляется в А со
скоростью 50 км/ч и встречает скорый поезд после 1 ч пу­
ти, а пассажирский — спустя 20 мин после этого. В котором
часу вышел поезд из В?
2.5.51. Два мотоциклиста отправляются одновременно
из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно
600 км. В то время как первый проходит 250 км, второй
проходит 200 км. Найти скорости движения мотоцикли­
стов, если эти скорости постоянны, причём первый прихо­
дит в В на 3 ч раньше второго.
2.5.52. Самолёт вылетел из А в В со скоростью 180 км/ч.
Когда ему оставалось пролететь на 320 км меньше, чем он
пролетел, он увеличил скорость и окончил рейс со скоро­
стью 250 км/ч. Средняя скорость самолёта на маршруте
оказалась равной 200 км/ч. Какое расстояние пролетел
самолёт?

Решение задач по математике Романовский from zoner

Категория: Физика | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Романовский | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar