Тема №5118 Ответы к задачам по геометрии
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

3114.    Впишите окружность в данный ромб.
3115.    В прямоугольнике ABCD отрезки АВ и BD равны соответственно 2
и Jl (рис. 120). Точка М делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки С, К — середина AD. Что больше: ВК или AM?
3116.    В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 2^7 , боковая сторона равна 8. Точка К делит высоту BD треугольника в отношении 2 : 3, считая от точки В. Что больше: С К или АС?
3117.    Площадь треугольника АВС равна S, А ВАС = а, А ВСА = у. Найдите АВ.
3118.    Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что BD\\AE и A CAE = 2А СЕА, A CBD - — A CDB = а. Найдите отношение периметра треугольника АСЕ к радиусу описанной около него окружности.
3119.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины А прямого угла опущена высота АН на гипотенузу ВС.
Известно, что АС = 5, НС = 3. Найдите площадь треугольника АВС.
3120.    Основание АС равнобедренного треугольника АВС является хордой окружности. Эта окружность касается прямых АВ и ВС в точках А и С соответственно. Известно, что А АВС = = 120°, АС = а. Найдите площадь той части треугольника, которая лежит в круге, ограниченном данной окружностью.
3121.    На высоте СЕ, опущенной из вершины С прямоугольного треугольника АВС на гипотенузу АВ, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет ВС в точке К. Найдите площадь треугольника ВКЕ, если катет ВС равен а и А ВАС = а.
3122.    Около трапеции АВСН с основаниями АН и ВС описана окружность радиуса 5. Центр описанной окружности лежит на основании АН. Основание ВС равно 6. Найдите диагональ АС данной трапеции.
3123.    В треугольнике АВС угол ВАС — прямой, стороны АВ и ВС равны соответственно 4 и 8. Биссектриса угла АВС пересекает сторону АС в точке L, G — точка пересечения медиан треугольника АВС. Что больше: BL или CG?
3124.    В прямоугольном треугольнике АВС с равными катетами АС и ВС на стороне АС как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке М. Найдите расстояние от вершины В до центра этой окружности, если ВМ = J2 .
3125.    Дан треугольник АВС, в котором угол В равен 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Найдите площадь тре-угольника ABD.
3126.    Точка С лежит на стороне MN ромба KLMN, причем CN = 2СМ и угол MNK равен 120°. Найдите отношение косинусов углов CKN и CLM.
3127.    В равнобедренном прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2. Найдите расстояние от вершины острого угла до точки, в которой вписанная окружность касается противолежащего этому углу катета.
3128.    Пусть О — центр правильного треугольника АВС, сторона которого равна 10. Точка К делит медиану ВМ треугольника ВОС в отношении 3:1, считая от точки В. Что больше: длина ВО или длина ВКЧ
3129.    На сторонах AD и DC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки К и М так, что DK : КА = = 2 : 1, a DM : МС =1:1. Найдите отношение площади треугольника DKM к площади четырехугольника BCDK.
3130.    Дан треугольник АВС, в котором АВ = 6, ВС = 7, АС = 5. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Найдите площадь треугольника ADC.
3131.    В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А биссектриса угла В пересекает сторону АС в точкеD. Известно, чтоАВ = 6, ВС = 10. Найдите площадь треугольника DBC.
3132.    В прямоугольный треугольник вписана окружность. Один из катетов делится точкой касания на отрезки длиной 6 и 10, считая от вершины прямого угла. Найдите площадь треугольника.
3133.    На высоте CD, опущенной из вершины С прямоугольного треугольника АВС на гипотенузу АВ, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет АС в точке Е, а катет ВС — в точке F (рис. 121). Найдите площадь четырехугольника CFDE, если катет АС равен Ь, а катет ВС равен а.
С
 

3134.    Диагональ BD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырехугольника. Вычислите диагональ АС, если BD = 2, АВ = 1, A ABD : A BDC =4:3.
3135.    Диагональ АС четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырехугольника. Вычислите диагональ BD, если АС = 4, CD = 2 J2, А ВАС : A CAD =2:3.
3136.    В прямоугольный треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе АВ, а две другие — на катетах. Радиус круга, описанного около треугольника АВС, относится к стороне квадрата, как 13:6. Найдите углы треугольника.
3137.    В окружность радиуса 3 + 2 л/3 вписан правильный шестиугольник ABCDEK. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник BCD.
3138.    Средняя линия равнобедренной трапеции равна 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей
7    о
которых равно —. Найдите высоту
1 О
трапеции.
3139.    В круге с центром О проведена хорда АВ. Вычислите площадь по-лучившегося сегмента, если А АОВ = = а, а радиус круга равен г.
3140.    Пусть EFGH — выпуклый четырехугольник, а К, L, М, N — середины отрезков соответственно EF, FG, GH, НЕ; О — точка пересечения отрезков КМ и LN. Известно, что A LOM = 90°, КМ — 3LM, а площадь четырехугольника KLMN равна S. Найдите диагонали четырехугольника EFGH.
3141.    В треугольнике АВС угол В — прямой, медианы AD и BE взаимно перпендикулярны. Найдите величину угла С.
3142.    В прямоугольном треугольнике АВС расположен прямоугольник ADKM так, что его сторона AD лежит на катете АВ, сторона AM — на катете
AC,    а вершина К — на гипотенузе ВС. Катет АВ равен 5, а катет АС равен 12. Найдите стороны прямоугольника
ADKM, если его площадь равна — , а
3
диагональ меньше 8.
3143.    В треугольнике PQR сторона PR равна 3, сторона QR равна 4, а угол при вершине Q равен 45°. Найдите площадь треугольника, если расстояние от вершины Q до прямой PR меньше, чем 2 л/3 .
3144.    В треугольнике АВС проведена биссектриса CD, при этом углы ADC и CD В относятся, как 7:5. Найдите
AD,    если известно, что ВС = 1, а угол ВАС равен 30°.
3145.    В треугольнике АВС угол АСВ — прямой, CD — биссектриса, угол BDC равен 75°. Найдите BD, если
известно, что АС = JZ .
3146.    Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 25.
3147.    Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника АВСН, площадь которого равна 28, пересекаются в точке О. Найдите площади треугольников АОВ, ВОС, COD и DOA, если известно, что площадь треугольника АОВ в 2 раза больше площади треугольника COD, а площадь треугольника ВОС в 18 раз больше площади треугольника DOA.
3148.    Точка D лежит на стороне АВ треугольника АВС, точки Е и F — на стороне ВС этого треугольника, а точка Р — на стороне АС. Отрезок AD составляет две трети стороны АВ, отрезок BF составляет три пятых стороны ВС, отрезок BE составляет одну пятую стороны ВС, а точка Р делит сторону АС пополам. Найдите отношение площади четырехугольника DEFP к площади треугольника АВС.
3149.    А, В, С, D — последовательные вершины параллелограмма (AD || ВС). Точка Е лежит на стороне
АВ, причем отрезок АЕ составляет ^
6
этой стороны. Точка F лежит на стороне ВС, причем отрезок BF составляет
| этой стороны. На стороне AD лежит точка Р, причем отрезок АР составляет | этой стороны. Найдите отноше-
О
ние площади треугольника EFP к площади параллелограмма.
3150.    Точка D лежит на стороне АС прямоугольного треугольника АВС (АС = 90°), причем АВ = 6, A BDC =
= arccos — , AD = J6 . Найдите пло-
Л
щадь треугольника АВС.
3151.    В треугольнике АВС известны стороны: АВ = 3, ВС = 6, cos А В =
= - , AD — биссектриса. Найдите ра- 4
диус R окружности, описанной около треугольника ABD. Выясните, что больше: R или 1,65.
3152.    Сторона АВ треугольника АВС равна 24. Около треугольника описана окружность радиуса 13. Найдите стороны АС и ВС треугольника, если известно, что радиус ОС окружности делит сторону АВ на два равных отрезка. 
3153.    Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС (AD > ВС) равна 128, а площадь треугольника ВОС, где О — точка пересечения диагоналей трапеции, равна 2. Найдите площадь треугольника AOD.
3154.    В треугольнике PQR со стороной PQ — 3 из вершины Р к стороне QR
проведены медиана РМ = ^14 и высота PH = ./б . Найдите сторону PR, если известно, что Z. QPR + A PRQ < 90°.
3155.    Прямая, параллельная стороне LM треугольника KLM, пересекает сторону KL в токе А, а сторону КМ — в точке В. Площадь трапеции ALMB в три раза меньше площади треугольника АВК. Найдите МВ : МК.
3156.    В треугольнике BCD известно, что ВС = 3, CD = 5. Из вершины С проведен отрезок CM (М е BD), причем А ВСМ = 45° и Z. MCD = 60°.
а)    В каком отношении точка М делит сторону BD?
б)    Найдите отрезки ВМ и MD.
3157.    В параллелограмме ABCD точки Р и Q лежат соответственно на сторонах ВС и CD, М — точка пересечения прямых АР и BQ, причем AM = = 3МР, MQ = ЗВМ. Найдите отношение BP : PC.
3158.    В окружность радиуса 6 с центром в точке О вписан четырехугольник ABCD. Его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке К (рис. 122). Точки Е и F являются соответственно серединами АС и BD. Отрезок ОК равен 5, а
 

площадь четырехугольника OEKF равна 12. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
3159.    Даны две непересекающиеся окружности радиусов R и 2R. К ним проведены общие касательные, которые пересекаются в точке А отрезка, соединяющего центры окружностей. Расстояние между центрами окружностей равно 2RJZ . Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных, заключенными между точками касания и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.
3160.    Через вершины В и С треугольника АВС проведена окружность, которая пересекает сторону АВ в точке К и сторону АС в точке Е. Найдите АЕ, зная, что АК = КВ = а, А ВСК = а, А СВЕ = р.
3161.    Дан угол в 120° с вершиной С. Вне угла, на продолжении его биссектрисы, взята точка О так, что ОС = — .
Л
С центром в точке О построена окружность радиуса 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.
3162.    Внутри прямого угла с вершиной С, на его биссектрисе, взята
точка О так, что ОС = J2 . С центром в точке О построена окружность радиуса 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.

3163.    В параллелограмме PQRS угол при вершине Q равен 110°, а биссектриса угла при вершине Р пересекает сторону RS в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезка PQ и лучей QR и PL, если известно, что PQ = 9.
3164.    На плоскости даны две окружности радиусов 8 и 6 с центрами в точках и S2, касающиеся некоторой прямой в точках А! иА2 и лежащие по 
одну сторону от этой прямой. Известно, что -S1S2 : АгА2 = JS : 1. Найдите
зд.
3165.    На плоскости даны две окружности радиусов 5 и 2 с центрами в точках Si и S2, касающиеся некоторой прямой в точках А1 иА2 и лежащие по разные стороны от этой прямой. Известно, что А]А2 : <S1S2 = J2 : 2. Найдите АгА2.
3166.    В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, сторона АВ равна 1, а угол ОАВ равен 60°. Найдите площадь общей части кругов, описанных около треугольников АОВ и ВОС.
3167.    Дан треугольник АВС. Известно, что АВ = 4, АС — 2 и ВС = 3. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС в точке К. Прямая, проходящая через точку В параллельно АС, пересекает продолжение биссектрисы АК в точке М. Найдите КМ.
3168.    Дан квадрат ABCD, сторона которого равна а, и построены две ок-ружности. Первая окружность целиком расположена внутри квадрата ABCD, касается стороны АВ в точке Е, а также касается стороны ВС и диагонали АС. Вторая окружность имеет центром точку А и проходит через точку Е (рис. 123). Найдите площадь общей части двух кругов, ограниченных этими окружностями.
 

3169.    В треугольнике АВС косинус угла ВАС равен |, АВ = 2, АС = 3. Точка D лежит на продолжении стороны АС так, что С находится между А и D, CD = 3. Найдите отношение радиуса окружности, описанной около треугольника АВС, к радиусу окружности, вписанной в треугольник ABD.
3170.    В треугольнике АВС косинус
углаАСВ равен - , АС = 3, ВС = 9. Точ-
3
ка D лежит на стороне ВС так, что CD = 3. Найдите отношение площади круга, описанного около треугольника ACD, к площади круга, вписанного в треугольник ABD.
3171.    В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны соответственно точки А1 и Cj так, что АгВ : АВ = 1:2 и BCi : ВС =1:4. Через точки Аъ В и Ci проведена окружность. Через точку Ах проведена прямая, пересекающая отрезок BCi в точке D, а окружность — в точке Е. Найдите площадь треуголь- никаА1С1£, если BCi = 6,ВП = 2,DE = = 3, а площадь треугольника АВС равна 32.
3172.    Четырехугольник АВСН вписан в окружность. Продолжение стороны АВ за точку В пересекается с продолжением стороны DC за точку С в точке Е. Найдите угол BAD, если АВ =
= 2, BD = 2 V6 , CD = 5, BE : ЕС = 4:3.
3173.    В выпуклом четырехугольнике KLMN точки Е, F, G, Н — середины сторон соответственно KL, LM, MN, NK. Площадь четырехугольника EFGH равна Q, Z. HEF = 30°, A EFH = = 90°. Найдите диагонали четырехугольника KLMN.
3174.    В окружности проведены хорды АВ иАС, причемАВ = 2, АС = 1, Z САВ = 120°. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол САВ пополам.
3175.    В прямоугольнике ABCD сторона АН равна 2. На продолжении стороны AD за точку А взята точка Е, причем ЕА = 1, А ВЕС = 30°. Найдите DE.
3176.    В трапеции ABCD A BAD = = 90°, A ADC = 30°. Окружность, центр которой лежит на отрезке AD, касается прямых АВ, ВС и CD. Найдите площадь трапеции, если известно, что радиус окружности равен R.
3177.    В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла АВС пересекает сторону AD в точке N так, что ВМ = МС, 2AN = = ND и AM перпендикулярно BN. Найдите стороны и площадь четырехугольника ABCD, если его периметр равен 14, a A BAD = 60°.
3178.    В равнобедренном треугольнике KLM (KL = LM) угол KLM равен ф. Найдите отношение радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника KLM.
3179.    Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Разность сторон AD и ВС равна разности длин сторон АВ и CD. Докажите, что диагональ АС — диаметр описанной окружности.
3180.    На боковой стороне AD трапеции ABCD взята такая точка М, что AM : DM =3:2. На противоположной стороне ВС взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади вдвое больше другой. Найдите отношение CN : BN, если АВ : CD = 3:2.
3181.    На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС — точка Е так, что отрезок АЕ равен отрезку BD и равен 2. Прямые BE и CD пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ВОС, если каждая из сторон АВ и ВС равна 5, а сторона АС равна 6.
3182.    На продолжении стороны АВ за точку В треугольника АВС отложен отрезок AD так, что AD : АВ = а. На продолжении медианы BE отложен отрезок ЕЕ так, что ЕЕ : BE = )3. Найдите отношение площадей треугольников BDE и АВС.
3183.    В треугольнике АВС проведены биссектрисы DB и АЕ. Найдите отношение площадей треугольников АВС и BDE, если АВ = 5, ВС = 8, АС = 7.
3184.    Точка D лежит на стороне АВ равнобедренного треугольника АВС
(АВ = СВ), причем AD = ^ АВ, А ВАС =
5
= arccos — , CD = 7. Найдите площадь
Л
треугольника АВС.
3185.    Диагонали четырехугольника PQRS, вписанного в окружность, пересекаются в точке D. На прямой PR взята точка А, причем A SAD — 50°, Z PQS = 70°, A RQS = 60°. Где расположена точка А: на диагонали PR или на ее продолжении? Ответ обоснуйте.
3186.    В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали АС и AD являются биссектрисами углов при вершинах С и D соответственно, А В = 25°, А Е = = 155°, а площадь пятиугольника ABCDE равна 12. Найдите площадь треугольника ACD.
3187.    В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали АС и ЕС являются биссектрисами углов при вершинах А и Е соответственно, А В = 125°, A D = = 55°, а площадь пятиугольника ABCDE равна 14. Найдите площадь треугольника АСЕ.
3188.    В ромб, одна из диагоналей которого равна 20, вписан круг радиуса 6. Вычислите площадь части ромба, расположенной вне круга. Будет ли эта площадь больше 36? (Ответ обосновать.)
3189.    В треугольнике MNP угол N — прямой, MN = 6, NP = 3. Точка К лежит на стороне МР, А и В — точки пересечения медиан соответственно в треугольниках MNK и KNP. Найдите площадь треугольника NAB.
3190.    Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD (рис. 124). Перпендикуляр, опущенный из точки С на прямую AD, равен 9; ВС в два раза меньше AD. Найдите площадь треугольника АОВ.
 

3191.    В треугольнике АВС с периметром 2р острый угол АВС равен а и АС = а. В треугольник вписана окружность с центром в точке О. Найдите площадь треугольника АОС.
3192.    В окружность радиуса 10 вписан четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны
12 и 10л/3 . Найдите стороны четырехугольника.
3193.    В параллелограмме ABCD сторона AD равна 6. Биссектриса угла ADC пересекает прямую АВ в точке Е. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны АЕ в точке К и стороны AD в точке Т; КТ = 3. Найдите угол BAD.
3194.    Окружность с центром в точке О проходит через вершины А и В треугольника АВС и пересекает сторону АС в точке М и сторону ВС в точке N. Углы АОМ и BON равны 60°. Расстояния от точки N до прямой АВ равно 5 л/3 . Длина отрезка MN в четыре раза меньше длины отрезка АВ. Найдите площадь треугольника АВС.
3195.    В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причем точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.
3196.    В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 проведена высота CD из вершины С прямого угла. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD.
3197.    В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка Р, а на стороне АС взята точка М. Отрезки АР и ВМ пересекаются в точке О. Известно, что треугольники ВОР, АОМ и ВОА подобны. ВМ = 1, косинус угла АВС равен 0,6. Найдите площадь треугольника АВС.
3198.    В треугольник АВС со стороной ВС, равной 11, вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке D. Известно, что АС = CD и косинус угла ВАС равен - . Найдите сторону АС.
6
3199.    В треугольнике PQR на стороне PR взята точка S так, что отрезок PS в три раза больше отрезка SR, а сумма углов QPR и QRP равна углу PSQ. Найдите периметр треугольника PQS, если сторона PR равна 8, а коси-
99
нус угла PQR равен — ^ .
3200.    В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса BE прямого угла В делится центром О вписанной окружности в отношении ВО : ОЕ =
= V3 : л/2 . Найдите острые углы треугольника.
3201.    На сторону ВС ромба ABCD опущена высота DE. Диагональ АС ромба пересекает высоту DE в точке F так, что DF : FE = 5. Найдите сторону ромба, если известно, что АЕ — 5.
3202.    На сторону ВС ромба ABCD опущена высота DK. Диагональ АС пе- 
ресекает высоту DK в точке М так, что DM : МК = 13 : 7. Найдите DK, если известно, что АК =17.
3203.    В прямоугольном треугольнике АВС (Z. С = 90°) проведены высота CD и медиана СЕ. Площади треугольников ACD и ЕСВ равны соответственно 4 и 10. Найдите АВ.
3204.    В треугольнике АВС биссектриса АЕ относится к радиусу вписанной окружности, как Л :(Л - 1). Найдите углы В и С, если известно, что
угол А равен |.
О
3205.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведены биссектриса CL = а и медиана СМ = Ъ. Найдите площадь треугольника АВС.
3206.    В треугольник со сторонами АВ = 8, ВС = 6, АС = 4 вписана окружность. Найдите отрезок DE, где D и Е — точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно.
3207.    Вне прямоугольного треугольника АВС на его катетах АС и ВС построены квадраты ACDE и BCFG (рис. 125). Продолжение высоты СН
Е    А
2
С    
к\    3
F    G


Рис. 125
треугольника АВС пересекает прямую DF в точке К. Найдите НК, если катеты равны 2 и 3.
3208.    В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD относятся, как 1 : 4, а угол между ними равен 60°. Чему равен больший из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, если
меньший равен 726?
3209.    Около треугольника АВС описана окружность. Продолжение биссектрисы AD треугольника АВС пересекает эту окружность в точке Е, причем АЕ — диаметр данной окружности. Найдите отношение отрезков ЕС и
AB,    если косинус угла АВС равен * .
О
3210.    Около треугольникаАВС описана окружность. Продолжение биссектрисы ВМ треугольника АВС пересекает эту окружность в точке N, причем BN — диаметр данной окружности. Найдите отношение отрезков ВС и
AN, если косинус угла АСВ равен \.
5
3211.    В треугольнике АВС сторона АВ = 24, А ВАС = 60°, радиус описанной окружности равен 13. Найдите сторону АС.

3212.    Точки К иЬ расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что ВК : КС = 1 : 3 и BL : LC =1:2. Точки М и N расположены на стороне АС этого же треугольника, причем AM = MN = NC. Найдите отношение площади четырехугольника KLPQ к площади треугольника АВС, если Р и Q являются точками пересечения прямой BN с прямыми ML и АК соответственно.
3213.    В трапеции ABCD даны основания AD = 12 и ВС = 3. На продолжении стороны ВС выбрана такая точка
M,    что прямая AM отсекает от трапеции треугольник, площадь которого составляет три четверти площади трапеции. Найдите СМ.
3214.    В трапеции ABCD даны основания AD = 16 и ВС = 9. На продолжении ВС выбрана такая точка М, что СМ =3,2. В каком отношении прямая AM делит площадь трапеции ABCD?
3215.    Прямая СЕ пересекает сторону АВ треугольника АВС в точке Е, а прямая BD пересекает сторону АС в точке D. Прямые СЕ и BD пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОЕ, ВОС, COD равны соответственно 15, 30, 24. Найдите угол DOE, если известно, что ОЕ = 4, OD = 4 Уз , а угол ВОЕ — острый.
3216.    В треугольнике АВС сторона ВС равна 2, высота, опущенная из вершины С на сторону АВ, равна J2 , а радиус окружности, описанной около
треугольника АВС, равен J5 . Найдите стороны АВ и АС треугольника, если известно, что угол АВС — острый.
3217.    В треугольнике АВС сторона АВ равна 5, угол АВС равен 60°, а радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен . Найди-
О
те стороныАС и ВС треугольника АВС.
3218.    В треугольник KLM вписана окружность, которая касается стороны КМ в точке А. Найдите отрезок AL, если известно, что отрезок АК равен 10, отрезок AM равен 4, а угол KLM равен 60°.
3219.    Окружности радиусов 3 и 2 касаются друг друга внешним образом. К этим окружностям проведены общие касательные АВ и CD таким образом, что точки А и D принадлежат окружности большего радиуса, а точки В и С принадлежат окружности меньшего радиуса. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков АВ, ВС и CD.
3220.    Касательная, проведенная через вершину М вписанного в окружность треугольника KLM, пересекает продолжение стороны KL за вершину L в точке N. Известно, что радиус окружности равен 2, КМ = J8 и A MNK + + A KML = АА LKM. Найдите касательную MN.
3221.    Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен стороне АВ этого треугольника. Найдите высоту треугольника АВС, проведенную из точки С, если
она меньше |, а две другие стороны
треугольника равны ,/3 и 2.
3222.    В треугольнике АВС угол С равен 120°, а биссектриса угла С равна 3. Длины сторон АС и СВ относятся, как 3 : 2 соответственно. Найдите тангенс угла А и сторону ВС.
3223.    Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение стороны АВ за точку В пересекается с продолжением стороны CD в точке Е. Найдите угол ADE, если CD = 2BE, АВ : ЕС =
п
= 7 : 2 и косинус угла EAD равен ^ .
О
3224.    В трапеции ABCD боковая сторона AD перпендикулярна основаниям и равна 9. Основание CD равно 12, а отрезок АО, где О — точка пересечения диагоналей трапеции, равен 6. Найдите площадь треугольника ВОС.
3225.    Медиана AM и высота СН равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если СК = 5, КН = 1.
3226.    В окружность вписан четырехугольник MNPQ, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке F (рис. 126). Прямая, проходящая через точку F и середину стороны MN, пересекает сторону PQ в точке Н. Докажите, что FH — высота треугольника PFQ, и найдите ее длину, если MN = 4, MQ =7 u A MPQ = а.
 

 
3227.    Медиана AD и биссектриса СЕ прямоугольного треугольника АВС (А В = 90°) пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если СМ = 8, ME = 5.
3228.    Из вершины В равнобедренного треугольника АВС на его основание АС опущена высота BD. Каждая боковая сторона АВ и ВС треугольника АВС равна 8. В треугольнике BCD проведена медиана DE. В треугольник BDE вписана окружность, касающаяся стороны BE в точке К и стороны DE в точке М. Известно, что КМ = 2. Найдите угол ВАС.
3229.    Окружность радиуса 3, вписанная в треугольник АВС, касается стороны ВС в точке D. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон АВ и АС и касается стороны ВС в точке Е. Найдите ED, если Z. ВСА = 120°.
3230.    В треугольнике АВС расположены три окружности равных радиусов так, что каждая из окружностей касается двух сторон треугольника. Одна из этих окружностей (с центром 02) касается двух других (с центрами 01 и 03 соответственно) и Z. 010203 = = 120°. Установите, что больше: площадь круга, ограниченного окружно-стью с центром 01У ИЛИ шестая часть площади треугольника АВС.
3231.    Первая из двух окружностей проходит через центр второй и пересекает ее в точках А и В. Касательная к первой окружности, проходящая через точку А, делит вторую окружность в отношении т : га (гаг < га). В каком отношении вторая окружность делит первую?
3232.    Две окружности с центрами Ог и 02 пересекаются в точках А и В. Первая окружность проходит через центр второй и ее хорда BD пересекает вторую окружность в точке С и делит дугу АС В в отношении АС : СВ = га. В каком отношении точка D делит дугу ADB?
3233.    Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, описанной вокруг него. Найдите углы треугольника.
3234.    В равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся основания, одной из боковых сторон треугольника и вписанной в него первой окружности. Найдите радиус второй окружности.
3235.    В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся нижнего основания AD в точке Е. Верхнее основание ВС равно а, Z. BAD = 60°. Вторая окружность, целиком расположенная внутри трапеции, касается внешним образом первой (вписанной) окружности в точке К, касается основания AD в точке М и боковой стороны DC. Найдите площадь фигуры КЕМ, ограниченной меньшей из дуг КЕ, меньшей из дуг МК и отрезков ЕМ.
3236.    В треугольнике АВС биссектриса АН делит медиану BE в отношении ВК : КЕ = 2, а угол АС В равен 30°. Найдите отношение площади треугольника ВСЕ к площади описанного около этого треугольника круга.
3237.    В треугольнике АВС высота ВН делит сторону АС в отношении АН : НС = 4, а угол НВС вдвое меньше угла ВАС. Биссектриса АЕ угла ВАС пересекается с ВН в точке М. Найдите отношение площади треугольника АВМ к площади описанного около этого треугольника круга.
3238.    Точки А, В, С делят стороны выпуклого четырехугольника KLMN в отношении АК : AL = ВМ : BL = = СМ : CN =1:2. Площадь KLMN
равна 9 J3 , АВ = ВС = 2^/2. Каков радиус описанной окружности треугольника АВС, если известно, что АС> АВ? 
3239.    Площадь треугольника АВС
равна 2 УЗ , сторона ВС равна 1, угол ВАС равен 60°. Точка D стороны АВ удалена от точки В на расстояние, равной 3, М — точка пересечения CD с медианой BE. Найдите отношение ВМ: ME.
3240.    Точка D лежит на стороне ВС треугольника АВС, а точка О расположена на отрезке AD так, что АО : OD = = 9:4. Прямая, проходящая через вершину В и точку О, пересекает сторону АС в точке Е, причем ВО : ОЕ = 5:6. Найдите отношение, в котором точка £ делит сторону АС.
3241.    В трапеции ABCD углы А и D при основании AD соответственно равны 60° и 90°. Точкам лежит на основании ВС, причем BN : ВС = 2:3. Точка М лежит на основании AD, прямая MN параллельна боковой стороне АВ и делит площадь трапеции пополам. Найдите АВ : ВС.
3242.    Основание AD трапеции ABCD (AD II ВС, AD > ВС) является диаметром окружности, которая касается прямой CD в точке D и пересекает сторону АВ в точке L так, что АВ =
= 4 Уз AL. Радиус окружности равен R, /L CAD = 45°. Найдите площадь трапеции.
3243.    В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К, а биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке N. Площадь четырехугольника, образованного пересечением биссектрис АК и CN с отрезками BN и KD, равна 4. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если ВС = ЗАВ.
3244.    В окружность радиуса 5 вписан четырехугольник ABCD, у которого угол D прямой, АВ : ВС = 3:4. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если его площадь равна 44.
3245.    ПустьА, B,C,D — последовательные вершины квадрата, а точка О расположена внутри квадрата. Известно, что ОС = OD = УТО и ОВ =
= У26 . Найдите площадь квадрата.
3246.    В правильном треугольнике АВС со стороной а точки DnE — середины сторон АВ и ВС соответственно. Точка F лежит на отрезке DB. Точка К лежит на стороне АС. Отргзки FK и DE пересекаются в точке М. Найдите длину отрезка FM, если известно, что DM : ME = 2 : 3, а площадь четырехугольника МЕСК составляет
п
- площади треугольника АВС.
5
3247.    В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СН и AHV Известно, что АС = 2, площадь круга, описанного около треугольника
НВН1, равна - . Найдите угол между 3
высотой СН и стороной ВС.
3248.    Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке К. Вокруг треугольника ВСК описана окружность, а касательная к этой окружности, проведенная в точке К, пересекает прямую AD в точке L (рис. 127). Известно, что LK = a, AD = Ъ. Найдите AL, если ВС < AD.
 

3249.    В трапеции MNPQ даны основания MQ = 4, NP = 2 и углы М и Q при основании, равные соответственно arctg 5 и arctg i . Найдите радиус
окружности, касающийся диагоналей МР и NQ трапеции и основания MQ.
3250.    В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, диагонали АС и BD перпендикулярны и пересекаются в точке Q. Отрезок, соединяю- 
щий вершину С серединой отрезкаAD, равен 3. Расстояние от точки Q до отрезка ВС равно 1, сторона AD равна 2. Найдите AQ.
3251.    В окружность радиуса R вписан четырехугольник KLMN, Q — точка пересечения его диагоналей, KL = MN. Высота, опущенная из точки L на сторону KN, равна 6, KN + + LM = 24, а площадь треугольника LMQ равна 2. Найдите стороны четырехугольника и радиус окружности R.

3252.    В прямоугольном треугольнике АВС точки D и Е лежат соответственно на катетах ВС и АС так, что CD = СЕ = 1. Точка О есть точка пересечения отрезков AD и BE. Площадь треугольника АОЕ меньше площади
треугольника BOD на |. Кроме того,
известно, что BE = J17 . Найдите площадь треугольника АВС.
3253.    В прямоугольном треугольнике АВС точки D и Е лежат соответственно на катетах ВС и АС так, что CD — СЕ = 1. Точка О есть точка пересечения отрезков AD и BE. Площадь треугольника BOD больше площади
треугольника АОЕ на i. Кроме того,
известно, что АВ = 5. Найдите катеты треугольника АВ С.
3254.    В трапеции KLMN известны
боковые стороны KL = 27, MN =28, верхнее основание LM =    5 и
о
cos Z. LMN = — -. Найдите диагональ КМ.
3255.    В треугольнике АВС точка О — центр описанной окружности, точка L лежит на отрезке АВ и AL = LB. Описанная около треугольника ALO окружность пересекает АС в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если Z. LOA = 45°, ЬК=8,АК=7.
3256.    В треугольнике АВС известно, что АВ = 10, ВС = 12, АС = 8. На стороне АВ взята точка К так, что
АК : КВ = 2 : 3, а на стороне ВС — точка М так, что ВМ : МС = 2:1. На отрезке КМ взята точка О так, что КО : ОМ = 4:5. Площадь какого из треугольников ABO, BCOv.ACO является наименьшей?
3257.    Точки Р и Q на стороне ВС треугольника АВС выбраны так, что
BP : PQ : QC = | : 1 : 1. Точка R на
продолжении стороны АВ этого треугольника выбрана так, что В принадлежит отрезку AR и АВ : BR =1:2. Найдите отношение площади четырехугольника PQSR к площади треугольника АВС, если S и Т являются точками пересечения прямых AQ и АР с прямой CR соответственно.
3258.    В трапеции ABCD отрезки АВ и CD являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника AKD, если АВ = 27, DC = 18, AD = 3,
BC = 6j2.
3259.    В треугольнике АВС на стороне АС взята точка К так, что АК = 1, RC = 3, а на стороне АВ взята точка L так, чтоАВ : LB = 2:3. Пусть Q — точка пересечения прямых ВК и CL. Площадь треугольника AQC равна 1. Найдите высоту треугольника АВС, опущенную из вершины В.
3260.    Дана трапеция PQRN с основаниями PN = 8 и QR = 4, боковой стороной PQ = V28 и углом RNP, равным 60°. Через точку R проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, находящейся внутри трапеции.
3261.    В треугольнике АВС из вершины А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке D, лежащей между точками В и С, причем BD : ВС = а (а < 1). Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторонуАС в точке Е. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ECD. 
3262.    Выпуклый четырехугольника ABCD вписан в окружность. Сторона АВ равна стороне ВС, а угол ADC равен 60°. Диагональ АС = 7. Диагонали АС и BD пересекаются в точке Р. Площади треугольников ADP и CDP относятся, как 3:1. Найдите все стороны четырехугольника ABCD.
3263.    В треугольнике АВС точка М делит сторону ВС пополам, а точка К лежит на стороне АС, причем отрезок АК в 4 раза меньше стороны АС. Отрезки AM и ВК пересекаются в точке О. Отрезок AM равен 5, отрезок ВК равен 10. Найдите отрезок МК, если угол АОВ равен 135°.
3264.    В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма боковой стороны АВ и диагонали ВО равна 40, угол CBD равен 60°. Отношение площадей треугольников АВО и ВОС, где О — точка пересечения диагоналей, равно 2. Найдите площадь трапеции.
3265.    В прямоугольном треугольнике АВС угол С — прямой, а угол А равен 30°. Высота ССг, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу
АВ, равна 5 J2 . Из точки С] проведены биссектрисы углов ССХА и ССХВ, пере-секающие стороны АС и ВС в точках В1 и Aj соответственно. Найдите длину отрезка А-^В-у. Укажите ее приближенное значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
3266.    В окружность с центром О вписана трапеция ABCD, в которой АВ параллельна DC, АВ = 5, DC = 1, А АВС = 60°. Точка К лежит на отрезке АВ, причем АК = 2. Прямая СК пересекает окружность в точке F, отличной от С. Найдите площадь треугольника OFC.
3267.    В окружность с центром О вписана трапеция KLMN, в которой KN параллельна LM, KN = 6, LM — 4, A KLM = 135°. Точка А лежит на отрезке KN, причем АК = 4. Найдите расстояние от точки О до прямой BN.
3268.    Отрезок АВ является диаметром некоторой окружности. Через его концы проведены две прямые, пересекающие окружность в точках С и D, лежащих по одну сторону от прямой АВ. Точка О, в которой пересекаются эти прямые, равноудалена от концов диаметра АВ. Найдите радиус окружности, если CD = 1 и A OCD = = 60°.
3269.    В треугольнике АВС угол ВАС равен 30°. Через вершины А и С проведены перпендикуляры к сторонам ВС и АВ соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров находится от вершин А и С на расстоянии, равном 1. Найдите стороны треугольника АВС.
3270.    В окружности проведены хорды KL, MN, PS. Хорды KL и PS пересекаются в точке С, хорды KL и MN пересекаются в точке А, а хорды MN и PS пересекаются в точке В, причем AL = СК, AM = MN, BA = 5, ВС = 4. Найдите радиус окружности, если
А ВАС= 5 .
4
3271.    Диаметр MN и хорда PQ окружности пересекаются в точке R, причем MN перпендикулярен PQ. Касательные к окружности в точках N и Р пересекаются в точке L. Отрезки ML и PR пересекаются в точке S. Найдите диаметр окружности, если площадь треугольника PLS равна 2 и MR = 1.
3272.    Точка F лежит на продолжении стороны ВС параллелограмма ABCD за точку С. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке Е, а сторону CD — в точке G. Известно, что АЕ = 2 и GF = 3. Найдите отношение площадей треугольников ВАЕ и EDG.
3273.    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается основания КМ в точке N и боковой стороны KL в точке Р. Точка Q — середина стороны KL, а точка R — точка пересечения окружности и отрезка QN, отличная от N. Касательная к окружности, проходящая через точ- куЛ, пересекает сторону .КХ в точке Т. Найдите угол LMK, если известно, что QT : ТР = 3 : 2.
3274.    В равнобедренном треугольнике АВС равные стороны АВ и СВ продолжены за точку В и на этих продолжениях взяты соответственно точки Du Е. Отрезки АЕ, EDи DC равны между собой, a A BED Ф A BDE. Найдите угол АВЕ.
3275.    В треугольнике KLM проведена биссектриса КР. Окружность, вписанная в треугольник KLP, касается стороны KL в точке Q, причем LQ = = а. На сторонах KL и LM выбраны точки Е и R соответственно так, что прямая ER проходит через центр окружности, вписанной в треугольник KLM (рис. 128). Найдите длину биссектрисы КР, если известно, что EL + + LR = Ь, а отношение площадей треугольников KLP и ELR равно а.
 

3276.    В четырехугольнике ABCD сторона AD равна 6, сторона CD равна
5, косинус угла ADC равен i , синус угла ВСА равен |. Найдите сторону ВС,
если известно, что окружность, описанная около треугольника АВС, проходит также и через точку D.
3277.    В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть К — точка пересечения его диагоналей. Известно, что ВС > АВ >ВК, КС =
= л/7 - 1, cos А КВС =    * 1 , а пери-
4
метр треугольника ВКС равен 2 Jl +4. Найдите DC.
3278.    В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть К — точка пересечения его диагоналей. Известно, что АВ > ВС > ВК, ВК =
=    + 2, cos A ВСК =    2 , апери-
6
метр треугольника ВКС равен 2./14 + + 6. Найдите DC.
3279.    В треугольнике PQL проведена средняя линия АВ, соединяющая стороны PQ и QL. Сторона PL равна
Л, а синус угла PLQ равен i . Окруж-
О
ность, проведенная через точки А, В и L, касается стороны PQ. Найдите ее радиус.
3280.    Вокруг треугольника KLM, у которого KL = LM, LN — высота, описана окружность радиуса 10. Найдите
LN, если LN = i КМ.
4
3281.    В треугольнике АВС известно, что АВ = 4, А ВАС = 60°, радиус
описанной окружности равен 2 Л . Найдите среднюю линию, параллельную стороне АС, и расстояние между точками, в которых прямая, содержащая эту среднюю линию, пересекает описанную окружность.
3282.    Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, пересекающая стороныАС и ВС в точках D и Е соответственно. Площадь треугольника CDE в 11 раз меньше площади четырехугольника ABED. Найдите АВ и радиус окружности, если DE = 1 и А С = 30°.
3283.    В треугольнике АВС точка О — центр описанной окружности, точка L лежит на отрезке АВ и AL = = LB. Описанная около треугольника ALO окружность пересекает АС в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если A LOA = 45, ХЙГ = 8, АХ = 7.
3284.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена медиана CD. В треугольник ACD вписана окружность, а около тре-
угольника BCD описана окружность. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около треугольника АВС
окружности равен

3285.    Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD, равны 3 и 4. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
3286.    Сторона ромба ABCD равна 4. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ACD и ABD, равно 3. Найдите радиусы этих окружностей.
3287.    Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и BCD, равны 1 и 2. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
3288.    Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей внутри треугольника, расположена точка К так, что расстояния от нее до сторон АС и ВС равны 6 и 24 соответственно. Найдите расстояние от точки К до стороны АВ.
3289.    В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС расположены точки С и В соответственно так, что CD — биссектриса треугольника ABC, DE — биссектриса треугольника ACD, ЕС =
= ED = ~ , ВС = 1. Найдите CD и площадь треугольника АВС.
3290.    Около окружности описаны ромб со стороной 3 и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 7. Найдите радиус окружности.
3291.    В треугольнике АВС с периметром 2р острый угол ВАС равен а. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках К и L соответственно. Точка D лежит внутри отрез 
ка АК, AD = а. Найдите площадь треугольника DOK.
3292.    Две окружности внутренне касаются. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках А и В, а меньшую — в точках В и С. Найдите отношение радиусов окружностей, если АВ : ВС : CD = 2:4:3.
3293.    В прямоугольном треугольнике АВС угол С — прямой, АС : АВ = = 3:5. Окружность с центром на продолжении катета АС за точку С касается продолжения гипотенузы АВ заточку В и пересекает катет ВС в точке Р так, что BP : PC =1:4. Найдите отношение радиуса окружности к катету ВС.
3294.    Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Меньшее основание ВС касается окружности в точке М, боковая сторона CD — в точке N. Высота СЕ пересекает отрезок MN в точке Р так, что МР : PN = 2. Найдите отношение AD : ВС.
3295.    Около треугольника АВС описана окружность. Пусть AD и BE — параллельные хорды. Известно, что отрезки ВС и AD пересекаются, A ECD = а и Z. ВАС = 2Z. АВС. Найдите отношение периметра треугольника АВС к радиусу вписанной в него окружности.
3296.    В равнобедренном треугольнике МРК с основанием РМ угол Р раС
вен arctg — . Окружность, вписанная в угол К, касается стороны КР в точке А и отсекает от основания отрезок НЕ. Известно, что центр окружности уда-
1S
лен от вершины К на расстояние ~ и
АР = - . Найдите площадь треугольни- 5
к&НАЕ.
3297.    В прямоугольном треугольнике АВС угол С — прямой, а сторона СА = 4. На катете ВС взята точка D так, 
что CD = 1. Окружность радиуса
проходит через точки С и D и касается в точке С окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АВС.
3298.    Дан треугольник АВС, у которого стороныАВ = Vl7 , ВС = 5, АС = 4. На стороне АС взята точка D так, что BD является высотой треугольника АВС. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и D и касающейся в точке D окружности, описанной около треугольника BCD.
3299.    В окружности радиуса R= Jb проведены хорда MN и диаметр МР. В точке N проведена касательная к окружности, которая пересекает продолжение диаметра МР в точке Q под углом 60°. Найдите медиану QD треугольника MQN.
3300.    Точка О делит отрезок АВ на отрезки длиной ОА = 6 и ОВ — 4. С центром в точке О проведена окружность, из А и В к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке М, причем точки касания лежат по одну сторону от прямой АВ. Найдите радиус окружности, если ОМ =12.
 

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 4.5/2


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar