Тема №7821 Ответы к задачам по геометрии 5 тем (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии 5 тем (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии 5 тем (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

93. Через конец радиуса шара проведена плоскость под углом

60° к нему. Площадь полученного сечения равна 11. Найти площадь

поверхности шара.

94. Конус и шар имеют равные объемы. Радиус основания

конуса равен радиуса шара. Во сколько раз высота конуса больше

радиуса шара?

95. Металлический шар радиуса V2 переплавлен в конус,

площадь боковой поверхности которого в 3 раза больше площади

основания. Найти высоту конуса.

96. Радиус шарового сектора R, угол в осевом сечении 120°.

Найти объем.

97. Определить объем шарового сегмента, радиус окружности

его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

98. Найти объем шарового сегмента, если радиус окружности

его равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

99. Радиусы оснований шарового пояса 20 и 24 м, а радиус шара 25 м. Определить поверхность шарового пояса. (Два случая.)

Сечения многогранников

Задачи для самостоятельного решения

А. Сечения кубов, параллелепипедов, призм

1. Найти площадь сечения куба ABCDA'B'C'D', ребро которого

равно 1, плоскостью, проходящей через ребро АВ и составляющим с

плоскостью основания ABCD угол: а) 30°; б) 60°; в) arctg3; г) а.

2. Найти объемы частей, на которые разбивает куб ABCDA'B'C'D'

(АВ = 1) сечение, проходящее через АВ и составляющее с плоскостью

основания ABCD угол: а) 30°; б) arcsin 2

; в) а.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, длины ребер которого АВ, ВС и АА1 равны соответственно 1, 3 и 2, через ребро

АВ проведено сечение. Найти площадь сечения, если оно составляет с

плоскостью основания угол: а) 30°; б) 45°; в) а.

4. В условиях предыдущей задачи найти объемы частей, на которые плоскость сечения разбивает параллелепипед.

5. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1Dl плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер В1С1 и D1C1. Ребро куба

равно а.

6. Дан куб ABCDA1В1C1D1. Точка K - середина ребра C1D1. Точка М

делит ребро DD, в отношении DM : D,M = 2. Найти площадь сечения

куба плоскостью, проходящей через А, K, М, если ребро куба равно а.

7. Дан куб ABCDA,B1C1D1. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через центр куба и середины ребер АВ и ВС, если

ребро куба равно 1.

8. Дан куб ABCDA'B'C'D' с длиной ребра 1. Найти площадь сечения, проходящего через диагональ основания АС и составляющего с

плоскостью основания угол: а) 30°; б) 60°; в) а (а е (0; %/2)).

9. В условиях предыдущей задачи найти объемы частей, на которые плоскость сечения делит куб.

10. В основании прямой призмы лежит треугольник, длины сторон которого 5, 6 и 7. Известно, что плоскость сечения пересекает все

три боковых ребра и составляет с плоскостью основания угол, равный

arcsin —. Найти площадь сечения.

11. В основании призмы лежит треугольник ABC, у которого длины сторон АВ и АС равны 3 и 4, а угол ВАС = 30°. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найти площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру, если известно, что оно пересекает все три боковых ребра.

12. В правильной треугольной призме АВСА'В'С' все ребра равны

1. Точка М лежит на ребре В 'С', причем ~~М = ~ . Точка D - середина

АВ. Найти площадь сечения, перпендикулярного плоскости основания,

проходящего через точку М и а) перпендикулярного CD; б) параллельного CD; в) проходящего через D.

13. В правильной треугольной призме ABCA'B'C' длина ребра при

основании АВ равна 1. Длина бокового ребра АА' равна 2.Точка М лежит на ребре В'С, причем В'М = 1/3. Через точки А, В и М проведено

сечение. Найти: а) площадь сечения; б) объемы частей, на которые

сечение делит призму.

14. В правильной треугольной призме АВСА 'В'С' (АВ = 1, АА' = 2)

на ребрах ВВ' и СС' взяты соответственно точки М и N, причем ВМ =

= 1/2 и CN = 1. Через точки А, М и N проведено сечение. Найти:

а) площадь сечения; б) объемы тел, на которые плоскость сечения разбивает призму.

15. В правильной треугольной призме АВСА 'В'С' (АВ = 1, АА' = 5).

На ребрах АА' ВВ', СС' взяты точки М, N, Р так, что АМ = 1, BN = 2,

CP = 4. Найти объемы частей, на которые плоскость сечения разбивает призму.

16. Высота правильной треугольной призмы равна Н. Через одно

из ребер нижнего основания и противоположную ему вершину верхнего основания призмы проведена плоскость. Найти площадь сечения,

если угол образовавшегося в сечении треугольника при заданной вершине призмы равен а.

17. Через вершину А основания куба ABCDA\B\CiDi со стороной 1

проведено сечение параллельно диагонали основания BD, составляющее угол а с плоскостью основания. Найти площадь сечения.

18. Через ребро основания правильной треугольной призмы проведено сечение под углом а к основанию. Найти площадь сечения,

если сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2.

19. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 служит

равнобедренный треугольник ABC (AB = BC, угол В равен ф, радиус

описанной окружности равен R). Длина ребра ВВ1 равна Н. Через ребро АС проведена плоскость под углом Р к плоскости основания призмы. Найти площадь полученного сечения.

20. Высота правильной треугольной призмы равна 0,5. Плоскость,

проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего

основания угол величиной 30°. Найти площадь сечения, образованного этой плоскостью.

21. Через сторону основания правильной треугольной призмы

проведена плоскость под углом а к плоскости основания. Определить

площадь образовавшегося сечения, если объем пирамиды, отсеченной

плоскостью от призмы, равен V.

22. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб

ABCD со стороной основания 1 см, угол BAD равен 45°, боковое ребро

CC1 равно 2 см. Через ребро основания АВ и середины боковых ребер

СС1 и DD1 проведена плоскость. Найти ее угол наклона к плоскости

основания.

23. Плоскость делит боковые ребра правильной треугольной призмы в соотношении 1:2, 2:3, 5:2, считая от нижнего основания. В каком

отношении она делит объем призмы?

24. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 ребро основания равно высоте призмы и равно 4. Точка М делит диагональ А 1В в

отношении А 1М : MB = 1 : 2. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точку М, вершину В1 и середину диагонали

АС!.

25. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона нижнего основания АВ = 12 и боковое ребро ВВ1 = 18. На боковых ребрах

ВВ1 и СС1 взяты соответственно точки Е и F, такие, что BE : ЕВ1 = 1 : 2

и CF : FC1 = 2 : 7. Через точки А, Е и F проведена плоскость. Найти

объемы многоугольников, на которые секущая плоскость разбивает

призму.

26. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длина ребра АВ равна 4, длина AD равна 6, длина АА\ равна 8. На ребрах АА1,

DDj и В С взяты точки К, L и M соответственно, причем АК = 4, LD =

= 2, МС = 2В\М. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через К, L и М.

27. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длины сторон основания равны АВ = 3 м, ВС = 8 м, длина бокового ребра АА\ =

= 5 м. На ребре ВС взята точка М так, что ВМ : МС = 3:1. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку

М и ребро АА1.

28. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с боковыми ребрами АА1, ВВ1, СС1 и

DD1. На продолжении ребер АВ, АА1, AD отложены соответственно

отрезки ВР, AQ , DR длиной 1,5АВ (АР = AQ = AR = 2,5АВ). Через

точки Р, Q, R проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость

делит объем куба?

29. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с боковыми

ребрами АА1, ВВ1 и СС1. На продолжении ребра А1В1 взята точка М

1 3

так, что В1М = ~ А 1В1 (А1М = — А1В1). Через М и середины ребер А1С1

и ВХВ проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит

объем призмы?

30. Дан куб ABCDA1B1C1DX с длиной ребра, равной 1. Серединой

ребра А1В1 является точка М, а серединой В1С1 - точка N. На прямой

DDj расположена точка К так, что отношение KD : KD1 = 1:3. Найти

площадь сечения куба плоскостью, проходящей через М, N и К.

31. В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 (АА\ ||

||ВВх || СС1 ) лежит правильный треугольник, имеющий площадь S. Через среднюю линию нижнего основания призмы проведена плоскость,

пересекающая ребро АА 1 и составляющая угол а с плоскостью нижнего основания призмы. Найти радиус окружности, описанной около

получившегося в сечении треугольника.

Б. Сечения пирамид

32. В правильной треугольной пирамиде SABC (АВ = ВС = АС = 1,

SA =SB = SC = 3) на ребре AS взята точка М (АМ = 1). Найти площадь

сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и а) параллельной плоскости АВС; б) параллельной плоскости SBC.

33. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (АВ = 2,

SA = 3) через середины ребер АВ и AD и через вершину S проведено

сечение. Найти: а) площадь сечения; б) объемы многогранников, на

которые сечение делит пирамиду.

34. В правильной пирамиде SABC с вершиной S через ребро ВС

основания проведено сечение перпендикулярно ребру SA. Плоский

угол при вершине S равен 60°, а высота пирамиды равна 2^2 . Найти

площадь сечения.

35. Найти площадь сечения правильной треугольной пирамиды

плоскостью, проходящей через центр основания параллельно одной из

боковых граней, если боковая грань наклонена к плоскости основания

под углом а, а длина ребра основания пирамиды равна а.

36. Дана правильная треугольная пирамида, сторона основания

которой а и боковое ребро b. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, равно уделенной от всех вершин.

37. В правильной треугольной пирамиде SABC ребро основания

АВ равно а, а боковое ребро SA равно b. Пирамиду пересекает плоскость, параллельная ребрам АВ и SC, причем расстояние от этой плоскости до точек А и В втрое меньше, чем расстояние до точек S и С.

Найти: а) площадь сечения; б) объемы частей, на которые сечение делит пирамиду.

38. В правильной треугольной пирамиде SABC длина высоты SO

равна h, а угол между этой высотой и боковой гранью ASB равен у.

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной ребрам АВ и SC,

причем точки А и В удалены от указанной плоскости на расстояние

вдвое больше, чем точки В и С. Определить: а) площадь сечения;

б) объемы многогранников, на которые сечение разбило пирамиду.

39. Правильная треугольная пирамида со стороной основания а и

боковым ребром b пересечена плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Найти его сторону.

40. На ребрах SA, SB и SC треугольной пирамиды взяты точки М,

N и Р так, что SM : MA = 2:3, SN : NB = 4:1 и SP : PC = 5:2. В каком

отношении сечение, проходящее через точки М, N и Р делит объем

пирамиды?

41. Через диагональ BD основания правильной четырехугольной

пирамиды SABCD проведено сечение BDK под углом 45° к плоскости

основания. Точка K делит боковое ребро AS пополам. Найти объем

пирамиды KABD, если ребро AS равно 15л/2 .

42. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через диагональ основания BD перпендикулярно ребру SC проведено сечение.

Найти объем пирамиды SABCD, если плоскость сечения образует с

плоскостью основания угол arcsin7 7 , а площадь сечения равна 189.

43. В правильной треугольной пирамиде SACD боковые ребра составляют с основанием угол р. Через сторону основания CD проведено

сечение, перпендикулярное ребру SA. Найти площадь полученного

сечения пирамиды, а также отношение объемов многогранников, на

которые делит пирамиду это сечение, если радиус окружности, описанной около основания, равен 6.

44. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SB, причем FB:SB = 2:5.

Найти отношение объемов многогранников, на которые разбивает пирамиду плоскость, проходящая через точки A, D, F.

45. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка Е принадлежит ребру SC, причем SC : ЕС =

= 5 : 1. Найти отношение объемов многогранников, на которые разбивает пирамиду плоскость, проходящая через точки А, В, Е.

46. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна 2. Через сторону основания ВС проведено сечение, которое пересекает ребро SA в точке М. Известно, что SM : MA =

= 1:3, а высота пирамиды равна у/Л

Найти площадь полной поверх-

ности пирамиды и площадь сечения.

47. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом ф, ребро основания равно а. Найти площадь боковой поверхности пирамиды и площадь сечения, проходящего через ребро основания и середину противолежащего ему

бокового ребра.

48. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной

S сторона основания АВ равна 1, высота пирамиды равна V 2. Через

ребро основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол при основании. Найти площадь сечения.

49. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания равна 8, верхнего - 5, а высота - 3. Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего проведена

плоскость. Найти площадь сечения и двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

50. В основании пирамиды SABCD - квадрат ABCD со стороной а.

Ребро SA перпендикулярно ABCD и равно А. Проведено сечение через

точку А параллельно BD, делящее SC на отрезки, относящиеся как 2:1,

считая от вершины S. Найти площадь сечения.

Вписанные и описанные сферы. Комбинации

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти объем куба, вписанного в сферу радиуса V3.

2. В конус вписан цилиндр, высота которого в 2 раза меньше высоты конуса. Образующая конуса равна l и образует с плоскостью основания угол л/3. Найти объем тела, ограниченного основанием конуса и боковыми поверхностями цилиндра и конуса.

3. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найти величину угла между осью конуса и его образующей, зная, что площадь полной поверхности цилиндра относится к

площади основания конуса как 2 : 1.

4. Конус и цилиндр имеют общее основание, а вершина конуса

находится в центре другого основания цилиндра. Найти величину угла

между осью конуса и его образующей, если известно, что площадь

полной поверхности цилиндра относится к площади полной поверхности конуса как 7:4.

5. Найти радиусы вписанного в конус и описанного около конуса

шаров, если образующая конуса равна l, а угол при вершине осевого

сечения равен а.

6. Найти объем конуса, радиус основания которого равен 3, а радиус вписанного в конус шара равен 1.

7. Найти объем конуса, если известно, что его образующая наклонена к плоскости основания под углом а, а радиус вписанного шара

равен г.

8. Объем шара, вписанного в конус, равен W 3

Угол при вершине осевого сечения равен 60°. Найти площадь боковой поверхности

конуса.

9. Шар радиуса R вписан в конус. Из центра шара образующая

видна под углом ф. Найти объем конуса.

10. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под

углом ф. Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через

центр вписанного шара параллельно основанию, равна Q. Найти объем конуса.

11. Найти радиус шара, описанного около конуса, если радиус

основания конуса равен R и образующая равна l.

12. В шар вписан конус, объем которого в 4 раза меньше объема

шара. Высота конуса равна Н. Найти объем шара.

13. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего основания которого в 4 раза больше площади верхнего основания. Найти

отношение объема усеченного конуса к объему шара.

14. В конус вписан шар. Плоскость, содержащая окружность касания шаровой и конической поверхности, делит объем шара в отношении 1 : 7. Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания.

15. Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него

шара равно — . Найти отношение объема шара к объему конуса.

16. Вершина конуса находится в центре шара, а основание касается шара. Объемы у конуса и шара равны. Вычислить отношение площади поверхности шара к площади боковой поверхности конуса, расположенной внутри шара.

17. В конус объемом 2V вписан шар объемом V. Найти высоту

конуса.

18. Вокруг конуса объемом V и высотой H описан шар. Найти радиус шара.

19. В усеченный конус вписан шар радиуса R. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ф. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса и его объем.

20. В конус вписан полушар так, что большой круг полушара лежит в плоскости основания конуса, а шаровая поверхность касается

поверхности конуса. Найти площадь полной поверхности полушара и

его объем, если образующая конуса равна l и составляет с плоскостью

основания угол р.

21. Сфера с центром в вершине конуса делит конус на две равновеликие части. Найти радиус этой сферы, если радиус основания конуса равен а, а величина угла при вершине его осевого сечения равна а.

22. В конус, у которого угол осевого сечения при вершине равен

а, вписан шар радиуса R. Найти объем части конуса, расположенного

над шаром.

23. Определить площадь боковой поверхности конуса, зная длину

R радиуса описанного около него шара и угол а, под которым из центра шара видна образующая конуса.

24. Около шара радиуса R описан прямой круговой конус, в котором угол между образующей конуса и плоскостью основания равен а.

Определить площадь полной поверхности и объем конуса.

25. В шар радиуса R вписан конус, в этот конус вписан цилиндр с

квадратным осевым сечением. Найти площадь полной, поверхности

цилиндра, если угол между образующей конуса и плоскостью основания равен а.

26. Найти радиусы вписанной и описанной сфер у правильной

треугольной пирамиды, все ребра которой равны а.

27. Найти радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна b, a угол между боковыми ребрами равен а.

28. Найти радиусы вписанной и описанной сфер у правильной

треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а боковое

ребро - b.

29. Найти радиусы вписанной и описанной сфер у правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а боковое ребро - b.

30. Найти радиус шара, вписанного в правильную треугольную

пирамиду, высота которой равна Н, а угол между боковым ребром и

плоскостью основания равен а.

31. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Боковая грань составляет с плоскостью, основания

угол а. Найти радиус описанного шара.

32. Длина стороны основания правильной треугольной пирамиды

равна а, плоский угол при вершине пирамиды равен а. Найти длину

радиуса вписанного в пирамиду шара.

33. Вокруг правильной четырехугольной пирамиды объема V и

ребром основания а описана сфера. Найти радиус сферы.

34. Около правильной четырехугольной пирамиды описан шар.

Центр шара делит высоту пирамиды в отношении 9 : 7, считая от вершины. Найти тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.

35. Высота правильной четырехугольной пирамиды и радиус

описанной сферы равны соответственно h и R (R < h). Найти площадь

основания пирамиды.

36. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при

вершине равен а, а радиус вписанного шара г. Найти объем пирамиды.

37. В сферу радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида. Найти объем пирамиды, если угол наклона бокового ребра

пирамиды к плоскости основания равен а.

38. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине а, длина бокового ребра - l. Найти площадь поверхности сферы,

описанной около пирамиды.

39. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной

пирамиды, равен 1, радиус вписанного шара равен V2 - 1. Найти

длины ребер пирамиды.

40. Шар касается основания и трех боковых ребер правильной

треугольной пирамиды, боковые грани которой - прямоугольные треугольники. Найти радиус шара, если известно, что объем пирамиды

равен 1.

41. В треугольную пирамиду, все ребра которой имеют длину а,

вписан шар. В один из трехгранных углов пирамиды вновь вписан шар

так, что он касается первого шара. Найти объем второго шара.

42. В правильную четырехугольную пирамиду вписан цилиндр с

радиусом основания г. Высота цилиндра в два раза меньше высоты

пирамиды. Плоский угол при вершине пирамиды равен а. Найти объем пирамиды.

43. В правильную треугольную пирамиду, ребро основания которой равно а, а высота - h, вписан цилиндр, осевое сечение которого -

квадрат. Нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания

пирамиды, а верхнее основание касается боковых граней пирамиды.

Найти объем цилиндра.

44. В основании пирамиды лежит ромб со стороной а и острым

углом а. Каждый из двугранных углов при основании равен ф. Найти

объем шара, вписанного в эту пирамиду.

45. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 5 см и АС = 12 см. Боковое ребро SC

перпендикулярно плоскости основания и равно 8 см. Найти радиус

описанного около пирамиды сферы.

46. В конус вписана правильная треугольная пирамида, боковое

ребро которой наклонено к плоскости основания под углом а. Определить объем конуса, если сторона основания пирамиды имеет длину а.

47. В конус, образующая которого равна l и которая наклонена к

плоскости основания под углом а, вписана пирамида, в основании ко83

торой прямоугольник с острым углом 2а между диагоналями. Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. Найти расстояние от основания высоты конуса до боковой грани пирамиды, проходящей через меньшую сторону основания.

48. Объем конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом а между боковыми сторонами. Найти объем пирамиды.

49. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом а, вписана пирамида. Основанием пирамиды служит

прямоугольный треугольник с катетами а и b. Найти объем пирамиды.

50. Определить площадь боковой поверхности конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду, если длина бокового ребра

пирамиды равна l и боковая грань пирамиды образует с плоскостью

основания угол а.

51. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со

стороной а. Одна из боковых граней представляет собой такой же треугольник, при этом она перпендикулярна плоскости основания. Найти

радиус шара, описанного вокруг пирамиды.

52. В пирамиде ABCD длины ребер АВ = 6, CD = 8, остальные

ребра равны V74 . Найти радиус описанного шара.

53. В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся ребер

равны 12 и 4, а остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана

сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра наибольшей длины.

53. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона

квадрата, лежащего в основании, равна а, а величина угла между боковым ребром BS и плоскостью основания равна р. Найти расстояние

от центра описанной около этой пирамиды сферы до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, BS и CS.

54. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через

вершину А квадрата ABCD, лежащего в основании и середину Е ребра

SC проведена плоскость, параллельная диагонали BD. Определить

расстояние от этой плоскости до центра вписанного в пирамиду шара,

если длина бокового ребра пирамиды равна l, а каждая боковая грань

составляет с плоскостью основания угол ф.

56. В прямой круговой конус помещена бесконечная последовательность шаров так, что первый шар касается основания конуса и

всех его образующих, а каждый последующий шар касается предыдущего шара (внешним образом) и всех его образующих. Найти угол

наклона образующей конуса к плоскости его основания, если известно, что объем конуса в 13 раз больше суммы объемов всех шаров.

57. В правильной треугольной пирамиде центры вписанной и

описанной сфер совпадают. Найти объем пирамиды, если длина ее

бокового ребра равна l.

58. В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанной и

описанной сфер совпадают. Найти объем пирамиды, если длина ребра

ее основания равна а.

Геометрические задачи на нахождение

Задачи для самостоятельного решения

12. Рассматриваются всевозможные трапеции, вписанные в окружность радиуса R, такие, при которых центр окружности лежит

внутри трапеции, а одно из оснований равно ^ 3

. Найти боковую

сторону той трапеции, которая имеет наибольшую площадь.

13. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол ф. При каком значении ф объем конуса будет наибольшим? Чему равен этот объем?

14. В полушар радиуса R вписан конус так, что вершина его находится в центре полушара. Найти радиус основания конуса, при котором его объем будет максимальным.

15. Конус объема V описан около шара. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен а. Найти объем шара. При

каком значении а объем будет наибольшим?

16. В прямой круговой конус с радиусом основания R вписан

шар радиуса г. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая этот шар. Найти площадь сечения конуса этой плоскостью,

если известно, что эта площадь имеет наибольшее из всех возможных

значений.

17. В правильной треугольной пирамиде сторона основания

равна а, боковое ребро равно с. Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной: а) двум скрещивающимся ребрам этой пирамиды; б) стороне основания и скрещивающейся с ней апофеме. Найти

площадь сечения, если известно, что она имеет наибольшее возможное

значение.

18. В правильную треугольную пирамиду с высотой Н и плоским

углом при вершине а вписана правильная треугольная призма так, что

вершины нижнего основания лежат на основании пирамиды, а вершины верхнего - на боковых ребрах пирамиды. Найти высоту той призмы, которая имеет наибольший объем.

19. В шар радиуса R вписан конус: а) наибольшего возможного

объема; б) наибольшей площади полной поверхности. Найти высоту

этого конуса.

20. В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, вписан цилиндр наибольшего объема. Найти отношение высоты этого цилиндра к радиусу основания цилиндра.

21. Периметр осевого сечения конуса равен Р. Найти угол при

вершине осевого сечения конуса, при котором объем конуса максимален.

22. Дан цилиндр объема V. Определить его высоту и радиус основания, при котором периметр осевого сечения цилиндра имеет наименьшее значение.

23. Найти наименьшее значение объема четырехугольной пирамиды, радиус вписанного шара у которой равен R.

24. Найти наибольшее возможное значение, которое может

принимать объем правильной четырехугольной пирамиды, вписанной

в сферу радиуса R.

25. В правильной треугольной пирамиде ее высота образует с

одной из боковых граней угол р. Радиус шара, вписанного в эту пирамиду равен 3. Определить площадь боковой поверхности пирамиды и

то значение р, при котором эта площадь имеет наименьшее возможное

значение.

26. Основанием пирамиды SKLMN является квадрат KLMN. Известно, что LN = 2л/2 . Расстояния SE и SF (Е и F - середины ребер KN

и LM) равны 3, а проекция вершины 5 на плоскость основания пирамиды находится внутри квадрата KLMN. Найти объем пирамиды, если

известно, что вершина удалена от середины MN на расстояние т. При

каком значении т этот объем наибольший?

27. Внутри правильной четырехугольной пирамиды с ребром основания 4 и высотой 6 расположена треугольная пирамида так, что

вершины ее основания лежат на сторонах квадрата основания четырехугольной пирамиды. Известно, что в основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом 45° при его вершине. Найти наименьшее возможное в этих условиях значение объема

треугольной пирамиды, если ее высота не меньше 3.

28. Внутри правильной четырехугольной пирамиды расположена

треугольная пирамида так, что плоскости их оснований совпадают.

Ребро основания четырехугольной пирамиды равно 9, а ее высота равна 9л/2 + 3. Найти наибольшее возможное при этих условиях значение

объема треугольной пирамиды, если одна из сторон треугольника ее

основания равна 6.

29. Внутри правильной треугольной пирамиды с ребром основания а и высотой V2 а расположены два шара так, что их центры лежат

на высоте пирамиды. Первый шар касается внешним образом второго

шара и основания пирамиды, а второй шар касается боковых граней

пирамиды, при этом сумма площадей поверхностей шаров имеет наименьшее возможное значение. Найти расстояние между центрами шаров.

30. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит

квадрат со стороной 5. Высота пирамиды равна 1. Через вершину пирамиды параллельно диагонали основания проведено сечение, площадь которого принимает максимально возможное значение. Найти

объем отсекаемой этой плоскостью треугольной пирамиды.

31. Боковая грань RSP правильной треугольной пирамиды составляет с плоскостью основания PQR угол а, высота SO пирамиды

имеет длину h. На ребре SQ взята точка В так, что сумма расстояний

от нее до точек Р, Qy R и вершины S пирамиды имеет наименьшее

возможное значение. Найти длину отрезка BS.

32. Внутри правильной четырехугольной пирамиды с ребром

основания 1 и высотой 18 расположена треугольная пирамида так, что

вершины ее основания лежат на сторонах квадрата основания четырехугольной пирамиды. Известно, что в основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом 30° при вершине.

Найти наибольшее возможное при этих условиях значение объема

треугольной пирамиды.

33. В основании треугольной пирамиды SABC с высотой 1V30

лежит правильный треугольник ABC со стороной 8. Вершина пирамиды S проектируется на основание в точку D, расположенную на середине ребра АВ. Через вершину S проводятся сечения пирамиды плоскостями, параллельными АВ. Найти наибольшее возможное значение

площади сечения.

34. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна 3, а высота - V78 . В пирамиде SABC параллельно ребрам АС и SB проведена секущая плоскость. Найти максимально

возможное при этих условиях значение объема пирамиды, основанием

которой служит данное сечение, а вершина расположена в точке А.

Ответы к задачам по геометрии from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (24.08.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar