Тема №7825 Ответы к задачам по геометрии 7 класс 682 (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии 7 класс 682 (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии 7 класс 682 (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

 311. В равнобедренном треугольнике ABC отрезок BD — медиана,
проведенная к основанию. Найдите периметр треугольника BDC,
если P¬ ABC = 18 см, BD = 5 см.
312. В треугольнике ABC ∠ = A C ∠ , BD — биссектриса треугольника.
Докажите, что AD = CD.
 313. В треугольнике ABC отрезок CD является медианой и высотой. Докажите, что ∠ = A B ∠ .

314. На высоте MP равнобедренного треугольника KMN с основанием KN отмечена точка O (рис. 105). Докажите, что треугольник KON
равнобедренный.
 315. В равнобедренном треугольнике KON с основанием KN на
продолжении биссектрисы OP отмечена точка M (рис. 105). Докажите, что треугольник KMN равнобедренный.
316. Докажите, что медианы равных треугольников, проведенные
к соответственно равным сторонам, равны.
 317. Докажите, что биссектрисы равных треугольников, проведенные из вершин соответственно равных углов, равны.

318. В равнобедренном треугольнике ABC отрезок BD — биссектриса,
проведенная к основанию. Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 28 см, а периметр треугольника ABD равен 20 см.
 319. Докажите, что треугольник, в котором медиана делит периметр пополам, является равнобедренным.
320. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.
 321. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы,
проведенные из вершин при основании, равны.
322. Треугольники ABC и DBC равны (рис. 106). Докажите, что точка
пересечения отрезков AD и BC делит отрезок AD пополам.
 323. Перпендикулярные отрезки AD и BC пересекаются в точ ке O, причем ∠ = ABC D∠ BC (рис. 106). Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

324. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию
и проведенной к нему медиане.
 325. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу,
лежащему против основания, и высоте, проведенной из вершины
этого угла.

330. Даны треугольники ABC и A B1 1C1, в которых AB = A B1 1,
BC = B C1 1, ∠ = A A ∠ 1, ∠ = B B ∠ 1. Какое из четырех данных условий
можно исключить, чтобы оставшихся условий было достаточно для доказательства равенства треугольников по первому признаку; по второму
признаку?
331. Треугольники ABC и AB1C имеют общую сторону AC, причем точки B и B1
 лежат по разные стороны от прямой AC, ∠ = BAC B ∠ 1AC
∠ = BAC B ∠ 1AC. Назовите дополнительное условие, необходимое для доказательства равенства треугольников. Приведите все возможные ответы

332. В треугольниках ABC и A B1 1C1 AC = A C1 1 и BC = B C1 1. Какое
равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство данных треугольников можно было доказать по третьему признаку?
333. Три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника. Равны ли углы между соответственно равными сторонами этих треугольников? Почему?
334. Верно ли, что два равносторонних треугольника равны, если они
имеют одинаковые периметры?
335. Верно ли, что два произвольных треугольника равны, если они
имеют одинаковые периметры? Является ли верным обратное утверждение?

336. Начертите равнобедренные треугольники ABC и ADC с общим
основанием AC.
а) Соедините точки B и D. Выделите цветом равные треугольники,
равенство которых можно доказать по третьему признаку.
б) Назовите углы, биссектрисы которых лежат на прямой BD.
 337. Начертите равные треугольники ABC и A B1 1C1.
а) Проведите медианы BM и B M1 1.
б) Выделите цветом пары равных треугольников, образовавшихся на рисунке. Можно ли доказать их равенство по первому признаку; по второму признаку; по третьему признаку?

338. На рис. 109 AB = CD, BC = AD. Докажите равенство тре угольников ABD и CDB.
 339. На рис. 110 AB = CB, AD = CD. Докажите равенство тре угольников ABD и CDB.

340. Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого
равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите.
 341. Если две стороны и периметр одного треугольника соответственно равны двум сторонам и периметру другого треугольника,
то такие треугольники равны. Докажите.
342. На рис. 111 ¬ ¬ ABC C = DA. Докажите, что ¬ ¬ ABD C = DB.

343. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC и лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что
∠ = ADB C ∠ DB .
344. На рис. 112 AB = CD, AC = BD. Докажите равенство тре угольников ABD и DCA.
 345. На рис. 113 AB = CD, BF = CE, AE = FD. Докажите, что треугольник EOF равнобедренный.
346. На рис. 112 ¬ ¬ AOB D = OC. Докажите равенство тре угольников ABC и DCB. С помощью каких признаков равенства тре угольников
его можно обосновать?
 347. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является
середино

348. Точки A, B, C и D лежат на одной прямой, причем AE AE 1 2 = , BE BE 1 2 = (рис. 114).
Докажите, что треугольники CDE1 и CDE2
равны.
 349. Точки A, B, C и D лежат на одной прямой, причем AE AE 1 2 = , CE CE 1 2 =
(см. рис. 114). Докажите, что треугольники BDE1
 и BDE2
 равны.
350. Докажите равенство треугольников по
двум сторонам и медиане, проведенным из
одной вершины.
 351. Докажите равенство равнобедренных
треугольников по боковой стороне и проведенной к ней медиане.

352. Определите, какие из приведенных утверждений верны:
а) две прямые, перпендикулярные третьей, перпендикулярны;
б) две прямые, параллельные третьей, параллельны;
в) через любую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной;
г) через любую точку плоскости можно провести не больше одной
прямой, параллельной данной.
353. Через точку C, не принадлежащую ни одной из прямых a и b, проведена прямая c. Определите взаимное расположение прямых b и c, если:
а) a b|| , c a|| ; б) a b ⊥ , c a ⊥ .
 Изменятся ли ответы, если точка C лежит на прямой b?

354. На рис. 124 укажите угол, который вместе
с углом 4 составляет:
а) пару внутренних накрест лежащих углов;
б) пару внутренних односторонних углов;
в) пару соответственных углов.
355. По рис. 124 определите, будут ли прямые a
и b параллельными, если:
а) ∠ = 3 6 ∠ ; г) ∠ = 2 6 ∠ ;
б) ∠ = 5 8 ∠ ; д) ∠ + 3 5 ∠ = 180°;
в) ∠ = 1 7 ∠ ; е) ∠ + 2 4 ∠ = 180°.
356. По рис. 124 определите, при каких значениях n будет верным
утверждение:
а) если ∠ = 6 ∠n, то a b¬ ;
б) если ∠ + 6 1 ∠ = n 80°, то a b¬ .
357. Определите, какие из следующих утверждений верны:
а) если при пересечении двух прямых секущей образуются восемь равных углов, то прямые параллельны;
б) если при пересечении двух прямых секущей образуются четыре равных угла, то прямые параллельны;
в) сумма двух углов треугольника может быть равна 180°

358. Начертите прямые a и b и проведите секущую c.
а) Выделите на рисунке одну пару внутренних накрест лежащих
углов красным цветом, а другую пару — синим.
б) Выделите углы, соответственные с «красными» углами, красным цветом, а углы, соответственные с «синими» углами, синим
цветом.
359. Начертите угол ABC, равный 60°.
а) От луча AB отложите угол DAB, равный 120°, так, чтобы
точки C и D лежали по одну сторону от прямой AB.
б) Параллельны ли прямые AD и BC? Почему?

360. Дан треугольник ABC. Прямая l пересекает сторону AB в точ ке D, а сторону BC — в точке E. Назовите внутренние накрест лежащие, внутренние односторонние и соответственные углы при прямых AB и BC и секущей DE.
361. По данным рис. 125, а–в докажите, что a b

362. По рис. 124 определите, параллельны ли прямые a и b, если:
а) ∠ = 4 125°, ∠ = 5 125°;
б) ∠ = 5 115°, ∠ = 3 65°;
в) ∠ = 3 65°, ∠ = 7 65°.
363. На рис. 126 ¬ ¬ ABD C = DB. Докажите, что AD ¬ BC.
 364. На рис. 127 ¬ ¬ AOB C = OD. Докажите, что AB ¬ CD.

367. По рис. 124 определите, параллельны
ли прямые a и b, если:
а) ∠ = 5 135°, а угол 4 втрое больше,
чем угол 3;
б) ∠ = 2 72°, а ∠ ∠ 6 8 : : = 2 3.
368. Отрезки AB и CD пересекаются в точке,
которая является их общей серединой. Докажите, что AC ¬ BD.
369. На рис. 129 AB = BC, CD = DE. Докажите, что прямые AB и DE параллельны.
 370. Известно, что ¬ ¬ ABC C = DA. Назовите параллельные стороны этих треугольников и докажите их параллельность.
371. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На стороне BC отмечена точка K
так, что BK = KL. Докажите параллельность
прямых AB и KL.
 372. В треугольнике ABC AB = BC, ∠ = C 80°.
Прямая l пересекает стороны AB и BC в точках D и E соответственно, причем AD

375. В треугольнике ABC ∠ = A 20°, ∠ = B 80°. Из точки B проведен луч BD так, что BC — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.
 376. В треугольнике ABC ∠ = A 70°, ∠ = B 40°. На луче CB отмечена точка D, не принадлежащая отрезку BC. Луч BE — биссектриса
угла ABD. Докажите, что прямые AC и BE параллельны.

379. Обязательно ли среди углов, которые образовались при пересечении двух параллельных прямых секущей, найдутся:
а) ровно четыре острых угла;
б) не больше четырех острых углов;
в) не меньше четырех тупых углов;
г) не меньше четырех равных углов?
380. При пересечении двух параллельных прямых секущей образовались два угла с градусными мерами 80°. Могут ли эти углы быть:
а) внутренними накрест лежащими;
б) внутренними односторонними;
в) соответственными?
381. Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 120°. Может ли один из остальных семи
углов быть равным 50°? Почему?

382. Внутренние односторонние углы, образованные при пересечении
двух параллельных прямых секущей, равны. Под каким углом секущая пересекает данные прямые?
383. Отрезок AB — расстояние между параллельными прямыми a и b.
Под каким углом секущая AB пересекает прямые a и b?

384. Начертите параллельные прямые a и b и секущую c, не перпендикулярную им.
а) Закрасьте восемь образовавшихся углов красным или синим
цветом так, чтобы сумма любых двух углов разных цветов была
равна 180°.
б) Из точки пересечения прямых a и c проведите отрезок, который является расстоянием между параллельными прямыми a
и b. Под каким углом этот отрезок пересекает прямую b?
 385. Начертите треугольник ABC.
а) Проведите прямую, параллельную стороне AC и пересекающую стороны AB и BC в точках D и E соответственно.
б) Отметьте красным цветом угол треугольника ABC, равный
углу BDE.
в) Отметьте синим цветом угол треугольника ABC, сумма которого с углом DEC равна 180°.

 387. Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 18°. Найдите остальные углы.
388. Угол ABC равен 62°, а угол BCD равен 118°. Могут ли прямые AB и CD:
а) быть параллельными; б) пересекаться?
Ответ обоснуйте.
 389. Угол ABC равен 29°, а угол BAD равен 141°. Могут ли прямые AD и BC быть параллельными? Ответ обоснуйте.
390. На плоскости проведены прямые a, b и c, причем a b¬ , a c ⊥ .
Определите взаимное расположение прямых b и c.
 391. Прямые a и b параллельны. Точки A1 и A2 лежат на прямой a, отрезки A B1 1 и A B2 2 — расстояния между прямыми a и b.
Назовите отрезки, которые являются расстояниями между прямыми A B1 1 и A B2 2. Ответ обоснуйте.

393. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:
а) один из внутренних односторонних углов на 30° больше другого;
б) сумма двух соответственных углов равна 56°.
394. По данным рис. 137, а определите, параллельны ли прямые a и b,
если ∠ − 2 1 ∠ = 54°.
 395. Угол ABC равен 72°. Из точек A и C внутри угла проведены
лучи, параллельные сторонам угла и пересекающиеся в точке D.
Найдите угол ADC

406. Может ли треугольник иметь три тупых угла; два тупых угла;
не иметь ни одного тупого угла?
407. Может ли угол при основании равнобедренного треугольника
быть тупым; прямым?
408. Может ли прямоугольный треугольник быть равнобедренным;
равносторонним?
409. Могут ли быть равными тупоугольный и прямоугольный треугольники; тупоугольный и остроугольный треугольники?
410. Даны три внешних угла треугольника при разных вершинах.
Сколько из них могут быть острыми?

411. Начертите остроугольный треугольник ABC.
а) Измерьте углы треугольника и вычислите их сумму.
б) На луче AC отметьте точку D, не принадлежащую отрез ку AC. Определите градусную меру угла BCD, используя теорему
о внешнем угле треугольника.
в) Определите вид треугольника BCD по величине углов.
 412. Начертите треугольник ABC с тупым углом A.
а) Проведите высоту BD и определите вид треугольника ABD по
величине углов.
б) Измерьте угол BAD. Как связана его градусная мера с градусными мерами углов треугольника ABC?

413. Найдите неизвестный угол треугольника, если два его угла
равны:
а) 65° и 45°; б) 120° и 18°; в) 90° и 64°.
414. Найдите неизвестные углы равнобедренного треугольника, если:
а) угол при его основании равен 40°;
б) угол, противолежащий его основанию, равен 40°.
 415. Найдите неизвестные углы треугольника:
а) прямоугольного, с углом 28°;
б) равнобедренного, с углом при основании 80°.
416. Докажите методом от противного, что угол при основании равнобедренного треугольника не может быть тупым.
 417. Докажите методом от противного, что треугольник не может
иметь больше одного прямого угла.
418. Найдите внутренние углы треугольника, если внешние углы при
двух его вершинах равны 135° и 110°.
 419. Один из внутренних углов треугольника равен 40°, а один из
внешних — 125°. Найдите остальные внутренние и внешние углы.

420. Найдите все углы треугольника, если:
а) один из них вдвое меньше второго и на 20° больше третьего;
б) их градусные меры относятся как 1 : 3 : 5.
421. Один из углов равнобедренного треугольника равен 50°. Найдите
другие углы. Сколько решений имеет задача?
 422. Найдите:
а) углы треугольника, если их градусные меры относятся как
2 : 7 : 9;
б) углы равнобедренного треугольника, если один из них ра вен 100°.
423. Может ли треугольник с углом 40° быть равным треугольнику
с углом 140°? Ответ обоснуйте.

424. Треугольник с углом 120° равен треугольнику с углом 30°.
Докажите, что данные треугольники равнобедренные.
425. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите углы данного треугольника, если
∠ = ADC 150°.
 426. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Найдите
угол A, если ∠ = C 35°, ∠ = BDC 105°.
427. В треугольнике ABC биссектрисы, проведенные из вершин A
и B, пересекаются в точке O. Найдите угол AOB, если ∠ = A 82°,
∠ = B 38°.
 428. В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы, проведенные из вершин при основании AC, пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника, если ∠ = AOC 140°.
429. Один из внешних углов равнобедренного треугольника ра вен 60°. Найдите внутренние углы треугольника.
430. Внешние углы треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Найдите
внутренние углы треугольника.
 431. Найдите внутренние углы треугольника, если сумма двух из
них равна 150°, а один из внешних углов равен 80°.

432. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины угла при основании, равна основанию треугольника. Найдите
его углы.
 433. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из
вершины угла при основании, пересекает боковую сторону под
углом, равным углу при основании. Найдите углы треуголь ника.
434. Биссектриса внешнего угла при основании равнобедренного треугольника пересекает продолжение боковой стороны. Длина отрезка
биссектрисы от начала до точки пересечения равна основанию треугольника. Найдите внутренние углы треугольника.
 435. Биссектриса внешнего угла при основании равнобедренного треугольника пересекает продолжение боковой стороны под углом, равным углу при основании треугольника. Найдите углы треугольника.

436. В треугольнике ABC биссектрисы, проведенные из вершин A и C,
пересекаются в точке O. Найдите угол AOC, если ∠ = B α.
437. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника при
вершине, противолежащей основанию, параллельна основанию треугольника. Докажите.
 438. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи.

439. Известно, что ¬ ¬ ABC D = BC, причем точка C лежит на отрезке AD. Докажите, что данные треугольники прямоугольные.
440. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC (точки B и D лежат по одну сторону от прямой AC). Докажите,
что BD ⊥ AC

441. В прямоугольном треугольнике ABC ∠ + A B∠ = ∠C. Назовите
гипотенузу треугольника.
442. В прямоугольном треугольнике DEF высота EA лежит внутри
треугольника. Назовите катеты треугольника.
443. Прямоугольный треугольник с острым углом α равен прямоугольному треугольнику с острым углом 20°. Каким может быть значение α?
444. В треугольниках ABC и A B1 1C1 ∠ = A A ∠ 1, AB = A B1 1, BC = B C1 1
BC = B C1 1. По каким признакам можно доказать равенство этих треугольников, если:
а) угол A прямой;
б) угол B прямой?
445. Могут ли неравные прямоугольные треугольники иметь две пары
соответственно равных катетов; равные гипотенузы?

446. Начертите прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB.
а) Измерьте угол A и вычислите градусную меру угла B.
б) Отметьте на рисунке наименьший внешний угол треугольника. Какова его градусная мера?
в) Проведите высоты треугольника. Сколько отрезков вы провели?

447. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.
а) Проведите высоту BD. Выделите цветом равные треугольники
и докажите их равенство с помощью разных признаков равенства
прямоугольных треугольников.
б) Назовите высоты треугольника BCD, проведенные к катетам.

448. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
 449. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана AD.
Найдите углы треугольника CAD.
450. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если:
а) один из этих углов в пять раз меньше другого;
б) их разность равна 10°.
451. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если:
а) один из его внешних углов равен 130°;
б) их градусные меры относятся как 2 : 7.
452. На рис. 154 ∠ = A C ∠ , ∠ = ADB C ∠ DB. Докажите равенство треугольников ADB и CDB.
 453. На рис. 155 AD ¬ BC, ∠ = BAC D∠ = CA 90°. Докажите равенство
треугольников BAC и DCA.
454. В треугольнике ABC углы A и C острые, BD — высота треугольника. Какая из точек A, C, D лежит между двумя другими?
 455. В треугольнике ABC угол C тупой, BD — высота треугольника.
Какая из точек A, C, D лежит между двумя другими?
456. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе проведена высота BH. Найдите углы треугольника ABH, если ∠ = C 25°.
457. В треугольнике ABC высота AD делит угол A на два угла, причем ∠ = BAD 38°, ∠ = CAD 42°. Найдите углы треугольника ABC.

458. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC ∠ = A 45°,
катет AB = 8 см. Найдите катет BC.
459. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой
стороне, образует с основанием треугольника угол 35°. Найдите углы
данного треугольника.
 460. В треугольнике ABC ∠ = B 90°. Биссектриса угла A пересекает
катет BC под углом 74°. Найдите острые углы треугольника ABC.
461. Если в треугольнике две высоты равны, то этот треугольник равнобедренный. Докажите.
 462. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи.
463. В треугольнике ABC проведена высота BD. Найдите углы данного
треугольника, если ∠ = ABD 25°, ∠ = CBD 40°. Сколько решений имеет задача?
 464. Биссектриса, проведенная из вершины прямого угла треугольника, пересекает гипотенузу под углом 70°. Найдите углы, которые
образует с катетами высота, проведенная к гипотенузе.
465. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету
и высоте, проведенной к гипотенузе.
 466. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету
и биссектрисе, проведенной к гипотенузе.
467. В равнобедренном треугольнике KMN с основанием KN высо ты KA и NB пересекаются в точке O. Найдите углы данного треугольника, если ∠ = KON 140°.
 468. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высоты AD и BE пересекаются под углом 50°. Найдите углы данного
треугольника.

469 (опорная). Медиана прямоугольного треугольника, проведенная
к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Докажите.
 470 (опорная). Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Докажите.

471. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины
наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 22°. Найдите
острые углы треугольника.
 472. Высота, проведенная из вершины при основании равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием
и биссект рисой угла при основании. Найдите углы данного треугольника.
473. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность между гипотенузой и катетом, прилежащим к данному углу,
равна 6 см. Найдите эти стороны треугольника.
 474. В треугольнике ABC ∠ = B 90°, а внешний угол при вершине C равен 120°. Найдите стороны BC и AC, если их сумма рав на 21 см.
475. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 30°,
равен 18 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведенной
к данному катету.
 476. В треугольнике ABC ∠ = C 90°. Биссектриса BE образует с катетом AC угол 60°. Найдите катет AC, если CE = 4 см.

479. Назовите:
а) наибольшую сторону треугольника DEF, если ∠ < D E ∠ < ∠F;
б) наименьший угол треугольника MNK, если MK > > NK MN.
480. Из одной вершины треугольника проведены медиана, биссектриса и высота, причем никакие два из этих отрезков не совпадают. Какой
из данных отрезков наименьший?
481. Определите:
а) могут ли стороны треугольника быть равными 13 см, 20 см
и 6 см;
б) может ли сторона треугольника составлять половину его периметра;
в) могут ли стороны треугольника относиться как 2 : 3 : 5;
г) может ли основание равнобедренного треугольника быть
втрое больше боковой стороны?
482. В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. Может ли угол B
быть прямым или тупым? Ответ обоснуйте.
483. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 16 см, а другая — 5 см. Найдите длину основания треугольника.

484. Начертите треугольник ABC, в котором ∠ = C 100°.
а) Назовите наибольшую сторону треугольника и проверьте свой
ответ с помощью измерений.
б) Измерьте все стороны треугольника и проверьте, выполняется ли неравенство треугольника для сторон треугольника ABC.
в) Пользуясь результатами измерений, назовите наименьший
угол треугольника.
 485. Начертите остроугольный треугольник ABC.
а) Измерьте углы треугольника и определите его наибольшую
и наименьшую стороны.
б) Проведите медиану BD. Запишите неравенство треугольника
для стороны BD в треугольниках ABD и CBD.

 498. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 м. Найдите
стороны треугольника, если одна из них равна 10 м.
499. Две стороны треугольника равны 1,2 м и 0,4 м. Найдите длину
третьей стороны, если она выражается целым числом метров.
500. Докажите, что медиана треугольника меньше половины его периметра.
 501. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра.

502. В прямоугольном треугольнике ABC отрезок CD — биссектриса,
проведенная из вершины прямого угла. Назовите наименьшую сторону
треугольника, если угол CDA тупой.
 503. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе проведена высота CD. Назовите наименьший угол треугольника, если
AD < BD.
504. Высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины
острого угла, лежит вне треугольника. Докажите.
505. Даны положительные числа a и b. Известно, что существует треугольник со сторонами a b +5 , 5 6 a b + и 3 2 a b + . Какое из чисел больше: a или b?
 506. Две стороны треугольника равны a и b (a b > ). В каких пределах может изменяться:
а) длина третьей стороны;
б) периметр треугольника?
507. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон,
между которыми она проходит.
 508. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.

511. Докажите равенство треугольников ABC и A B1 1C1, если:
а) AB = A B1 1, ∠ = A A ∠ = ° 1 85 , ∠ = B 40°, ∠ = C ° 1 55 ;
б) AB = A B1 1, BC = B C1 1, ∠ = B 30°, ∠ = A ° 1 72 , ∠ = C ° 1 78 .
512. Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные
противолежащим сторонам. Сколько треугольников, равных данному,
при этом образовалось? Докажите их равенство.
513. Угол одного из двух равных треугольников равен сумме двух
углов другого треугольника. Докажите, что данные треугольники прямоугольные.
514. В треугольниках ABC и MNK AB = MN, ∠ = A M∠ , ∠ ≠ B N∠ .
Может ли треугольник ABC быть равным треугольнику с вершинами M, N, K?
515. Треугольник пересекается четырьмя параллельными прямыми.
Докажите, что по крайней мере одна из них не проходит через вершину
треугольника.
516. Стороны треугольника лежат на прямых, углы между которыми
равны 20°, 30° и 50°. Найдите углы треугольника.
517. Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными? Ответ обоснуйте.
518. Докажите, что две высоты треугольника не могут точкой пересечения делиться пополам.
519. Докажите равенство равнобедренных треугольников по боковой
стороне и углу при основании.
520. Треугольники ABC, BCD и DCE равносторонние. Докажите:
а) параллельность прямых AE и BD;
б) равенство треугольников ABD и EDB;
в) равенство треугольников ABE и EDA.
Найдите углы треугольника ABE.

521. Треугольники ABC и AB1C равны, причем точки B и B1 лежат
по разные стороны от прямой AC. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек B и B1 к прямой AC, имеют общее основание.
522. Прямая CD перпендикулярна отрезку AB и проходит через его
середину. Докажите равенство треугольников ACD и BCD.
523. Прямые a и b параллельны, если любая прямая, пересекающая
прямую a, пересекает и прямую b. Докажите.
524. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a на равных расстояниях от нее. Докажите, что AB ¬ a.
525. Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся ею
в отношении AO : : OB CO OD = . Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Докажите, что треугольник DMB равнобедренный.
526. Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, которые содержат высоты, проведенные из вершин двух других
углов.
527. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины
одного из углов треугольника, равен половине разности двух других
углов треугольника. Докажите.
528. Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BL. Найдите BC, если AB = 3 см.
529. Перпендикуляр, проведенный из вершины A треугольни­ка
ABC к медиане BM, делит эту медиану пополам. Найдите AB,
если AC = 10 см.
530. Через вершины A и C треугольника ABC проведены прямые,
перпендикулярные биссектрисе угла ABC и пересекающие лучи BC
и BA в точках K и M соответственно. Найдите длину стороны AB, если
AM = 2 см, BC = 7 см. Сколько решений имеет задача?
531. В треугольнике ABC AB < < BC AC. Один из углов треугольника
вдвое меньше второго угла и на 100° меньше третьего. Найдите угол B.
532. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, лежащими на сторонах треугольника, не превышает его наибольшую сторону.
533. Определите, сколько треугольников можно составить из отрезков
длиной:
а) 2, 3, 4, 5;
б) 2, 3, 4, 5, 6, 7.

534. Даны окружность радиуса R с центром O и точка A. Сравните R с длиной отрезка OA, если точка A:
а) лежит на данной окружности;
б) лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью;
в) не принадлежит кругу, ограниченному данной окружностью.
535. Сколько общих точек с окружностью имеет:
а) луч, началом которого является центр окружности;
б) прямая, проходящая через центр окружности?
536. Точка пересечения двух диаметров окружности соединена с точкой окружности. Какую длину имеет полученный отрезок, если диаметр окружности равен d?
537. Две хорды окружности имеют общий конец. Могут ли обе они
быть диаметрами?

538. Начертите окружность с центром O и радиусом 3 см.
а) Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром. Какой из этих отрезков не проходит через
центр окружности?
б) Выделите на рисунке отрезок, длина которого равна 6 см.
в) Отметьте внутри окружности точку, не совпадающую с точ кой O. Сколько радиусов, диаметров, хорд можно провести через
отмеченную точку?
 539. Начертите окружность. Сотрите изображение центра окружности и вырежьте круг из бумаги. С помощью сгибаний полученного шаблона восстановите центр окружности.

540. Найдите диаметр окружности, если он на 8 см больше радиуса
этой окружности.
 541. Диаметр циферблата часов равен 11 см. Найдите длину минутной стрелки.
542. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O.
а) Докажите равенство треугольников AOB и COD.
б) Найдите периметр треугольника COD, если AC = 14 см,
AB = 8 см.
 543. Отрезки OA и OB— радиусы окружности с центром O, причем
∠ = AOB 60°. Найдите периметр треугольника AOB, если AB = 5 см.

544. Из одной точки окружности проведены диаметр и хорда, равная
радиусу окружности. Найдите угол между ними.
 545. Из одной точки окружности проведены две хорды, равные радиусу окружности. Найдите угол между ними.
546. На рис. 166 отрезки AB и CD — равные
хорды окружности с центром O. Докажите равенство углов AOC и BOD.
 547. Отрезок AB — диаметр окружности
с центром O, AC и CB — равные хорды этой
окружности. Найдите угол COB.
548. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от ее центра.
 549. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению задачи 548.
550. Докажите, что диаметр является наибольшей хордой окружности.

551. Если одна из двух перпендикулярных хорд точкой пересечения
делится пополам, то вторая хорда является диаметром окружности.
Докажите.

552. Расстояние от центра окружности O до хорды AB вдвое меньше
радиуса окружности. Найдите угол AOB.
 553. Расстояние от центра окружности O до хорды AB вдвое меньше хорды AB. Найдите угол AOB.
554. Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите,
что расстояние от центра окружности до точки их пересечения равно
расстоянию между серединами этих хорд.
 555. Хорды, пересекающие диаметр в точках, которые делят эти
хорды пополам, параллельны. Докажите.

562. Начертите окружность с центром O и отметьте на ней точку A.
а) С помощью угольника проведите через точку A касательную
к данной окружности. Какая теорема при этом используется?
б) Проведите хорду AB, не являющуюся диаметром. Проведите
касательную к окружности в точке B. Отметьте точку C — точку пересечения двух касательных — и сравните длины отрезков AC и BC.
563. Начертите окружность с центром O и радиусом 2,5 см.
а) Отметьте на окружности точку A и начертите окружность
с центром K и радиусом 1,5 см, касающуюся данной окружности
в точке A внешним образом.
б) Проведите общую касательную построенных окружностей.
Под каким углом она пересекает прямую OK?

564. Прямая AB касается окружности с центром O в точке A. Найдите:
а) угол OBA, если ∠ = AOB 20°;
б) радиус окружности, если ∠ = AOB 45°, AB = 8 см.
 565. Прямая AB касается окружности с центром O в точке A.
Найдите углы OBA и AOB, если OA = AB.
566. Через точку окружности проведены касательная и хорда, равная
радиусу окружности. Найдите угол между ними.
 567. В окружности с центром O проведена хорда AB, причем
∠ = AOB 120°. Найдите угол между этой хордой и касательной,
проведенной к окружности в точке B.

568. На рис. 170 ∠ = BOC 150°. Найдите угол BAC.
 569. На рис. 170 ∠ = BAC 50°. Найдите угол BOC.
570. Радиусы двух касающихся окружностей равны 14 см и 11 см.
Найдите расстояния между центрами окружностей в случаях внутреннего и внешнего касания.

571. Докажите, что касательные, проведенные к концам диаметра
окружности, параллельны.
 572. Радиус, проведенный в точку касания окружности с прямой a, делит пополам хорду AB. Докажите, что AB || a.
573. Окружность касается сторон неразвернутого угла. Докажите, что
центр окружности лежит на биссектрисе угла.
574. Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите угол ACB.
 575. Прямые AB и AC касаются окружности с центром O в точ ках B и C. Найдите угол BAC, если ∠ = OBC 40°.
576. Две окружности, расстояние между центрами которых равно 8 см, касаются внутренним образом. Радиус одной из окружностей равен 10 см. Какую длину может иметь радиус второй окружности?
 577. Две окружности, расстояние между центрами которых равно 8 см, касаются внешним образом. Найдите диаметры этих
окружностей, если их разность равна 4 см.

587. Даны отрезкиa и b, причем a b < . Постройте отрезок длиной:
а) 3a; б) b a− ; в) a b +2 .

588. Даны острые углы α и β, причем α β < . Постройте угол с градусной мерой:
а) 0 5, β;
б) α β + ;
в) 2β α− .
589. Постройте треугольник ABC по следующим данным:
а) AB = 4 см, BC = 3 см, ∠ = B 45°;
б) AB = 6 см, BC = 10 см, AC = 8 см;
в) AB = 3 см, ∠ = A 30°, ∠ = B 70°.
 590. Постройте треугольник ABC по следующим данным:
а) AC = 5 см, AB = 3 см, ∠ = A 60°;
б) AB = 3 см, BC = 5 см, AC = 6 см;
в) BC = 4 см, ∠ = C 90°, ∠ = B 60°.
591. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник ABC1, равный
данному треугольнику.
592. Дан треугольник. Постройте все его:
а) медианы;
б) биссектрисы;
в) высоты, если данный треугольник остроугольный;
г) высоты, если данный треугольник тупоугольный.
 593. Постройте:
а) отрезок, равный расстоянию между двумя данными параллельными прямыми;
б) касательную, проходящую через данную точку окружности.

594. Постройте угол 60°.
 595. Постройте углы 120° и 30°.
596. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и периметру.
 597. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к основанию.
598. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу
при основании.

599. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
600. Постройте прямоугольный треугольник по катету и углу, противолежащему данному катету.
 601. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу,
противолежащему основанию.

602. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведенной к боковой стороне.
 603. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
604. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу
и высоте, проведенной к этой стороне.
 605. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу
и высоте, проведенной к одной из двух других сторон.
606. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу
и сумме двух других сторон.
 607. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу
и разности двух других сторон.

610. Фигура F — геометрическое место точек, удовлетворяющих условию P. Верно ли, что:
а) на плоскости существуют точки, удовлетворяющие усло­вию
P, но не принадлежащие F;
б) среди точек фигуры F есть точки, не удовлетворяющие условию P;
в) любая точка, удовлетворяющая условию P, принадлежит
фигуре F?
611. Можно ли круг радиуса 5 см считать геометрическим местом
точек, удаленных от центра этого круга на расстояние:
а) равное 5 см;
б) не более 5 см;
в) не менее 5 см;
г) не более 4 см?
612. Отрезок AB равен 4 см. Можно ли считать серединный перпендикуляр к этому отрезку геометрическим местом точек, которые:
а) удалены от A и B на 2 см;
б) удалены от A и B на одинаковые расстояния;
в) являются вершинами равнобедренных треугольников с основанием AB?
613. Луч BD — биссектриса угла ABC. Можно ли считать его геометрическим местом точек, которые равноудалены:
а) от лучей BA и BC;
а) от прямых BA и BC?

614. Начертите треугольник ABC.
а) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от
вершин A и B.
б) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от
сторон AC и AB.
в) Отметьте точку пересечения построенных геометрических
мест и опишите ее свойства.

615. Начертите окружность с центром O и проведите хорду AB, не
являющуюся диаметром.
а) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B. Проходит ли построенная прямая через точку O? Почему?
б) Постройте геометрическое место точек окружности, равноудаленных от сторон угла AOB.

616. Дан отрезок AB. Постройте геометрическое место точек C таких, что треугольник ABC равносторонний.
 617. Дан луч BC. Постройте геометрическое место точек A таких,
что угол ABC прямой.
618. На географической карте Украины постройте точку, равноудаленную от Чернигова, Луцка и Запорожья.
 619. Даны точки A, B, C. Постройте точку, которая равноудалена
от точек A и B и расположена на заданном расстоянии от точки C.
620. Постройте точку, которая равноудалена от сторон данного угла
и лежит на расстоянии d от его вершины.
 621. Точка A лежит на окружности радиуса R. Постройте точки
данной окружности, которые удалены от точки A на расстояние R.

622. Докажите, что геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой a на расстояние d, являются две прямые, параллельные a
и отстоящие от нее на d.
 623. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная этим прямым
и проходящая через середину их общего перпендикуляра. Докажите.
624. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через данные точки A и B.

625. Найдите геометрическое место центров окружностей радиу са R, проходящих через данную точку A.
626. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся сторон данного неразвернутого угла.
 627. Дан отрезок AB. Найдите геометрическое место точек C, которые являются вершинами треугольников с основанием AB и заданной высотой h.
628. Дана прямая AB. Постройте точки, которые равноудалены от
точек A и B и лежат на расстоянии l от прямой AB.
 629. На сторонах неразвернутого угла B отмечены точки A и C,
причем AB ≠ CB. Постройте точку, равноудаленную от сторон данного угла и равноудаленную от точек A и C. Сколько решений
имеет задача, если AB = CB?
630.* Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной
к одной из этих сторон.

631. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, параллельных данной прямой.
 632. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной
окружности, имеющих заданную длину.
633. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности с центром O в данной точке A.
 634. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух
данных пересекающихся прямых.
635. Постройте окружность, касающуюся каждой из двух пересекающихся прямых, причем одной из них — в данной точке.
 636. Постройте окружность данного радиуса, которая проходит через данную точку и касается данной прямой.
637. На рис. 182 изображен угол (ab), вершина
которого недоступна. Постройте биссектрису этого угла.
638.* Постройте треугольник по стороне и двум
высотам, проведенным к другим сторонам.
639.* Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

640. Окружность касается катетов прямоугольного треугольника в точках A и B, а центр окружности O лежит на гипотенузе. Найдите угол
AOB.
641. Вершины A и B треугольника ABC лежат на окружности
с центром O, причем точка O лежит на стороне AC. Докажите, что
касательная к окружности в точке B параллельна прямой AC, если
∠ = BAO 45°.

642. Даны треугольник и окружность. Определите, является ли данная окружность описанной около треугольника или вписанной в него,
если:
а) центр окружности равноудален от всех сторон треугольника;
б) центр окружности равноудален от всех вершин треугольника;
в) все стороны треугольника — хорды окружности;
г) все стороны треугольника касаются окружности.
643. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O. Означает ли это, что:
а) OA OB = ;
б) ∠ = ABO C ∠ BO;
в) точка O может лежать на одной из сторон треугольника?
644. Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
Означает ли это, что:
а) OA OB = ;
б) ∠ = ABO C ∠ BO;
в) точка O может лежать вне данного треугольника?
645. Около треугольника описана окружность и в него вписана
окружность. Могут ли эти окружности иметь равные радиусы; общий
центр?

648. Около равнобедренного треугольника ABC
(AB = BC) описана окружность с центром O
(рис. 189).
а) Докажите, что ∠ = AOB C ∠ OB.
б) Найдите угол AOC, если ∠ = ABC 40°.
649. В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) (AB = BC) вписана окружность с центром O (рис. 190).
а) Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.
б) Найдите угол ABC, если ∠ = AOC 100°.
650. Постройте окружность, вписанную в данный
треугольник.
 651. Постройте окружность, описанную около
данного треугольника.
652. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, OD — расстояние от точки O до стороны AB. Найдите длину отрезка AB,
если AD = 9 см.
 653. Точка O — центр окружности, вписанной
в треугольник ABC. Найдите угол BAO, если
∠ = BAC 100°.

665. Параллельные прямые a и b являются касательными к окружности радиуса R. Найдите расстояние между данными прямыми.
666. Отрезок AB — диаметр окружности, хорды AC и BD параллельны друг другу. Докажите, что отрезок CD также является диаметром
окружности.
667. На плоскости необходимо найти точки, удаленные от каждой из
данных точек A и B на 3 см. Как зависит количество таких точек от
длины отрезка AB?
668. Если прямая пересекает две окружности, имеющие общий центр
(концентрические окружности), то ее отрезки, заключенные между
этими окружностями, равны. Докажите.
669. Прямая, параллельная хорде AB, касается окружности в точке C.
Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
670. Докажите равенство равнобедренных треугольников по боковой
стороне и радиусу описанной окружности.
671. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в равные треугольники, равны.

672. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со
стороной a, проведена касательная, пересекающая две стороны треугольника. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного.
673. На окружности строится последовательность точек: первая точка
выбирается произвольно, а каждая последующая точка удалена от предыдущей на расстояние, равное радиусу окружности. Какое наибольшее
количество разных точек можно построить таким способом?
674. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на одной из
его высот. Найдите углы треугольника, если один из них втрое больше
другого.
675. Центр O окружности, описанной около треугольника ABC,
лежит на медиане BM. Найдите углы треугольника, если ∠ = AOB 140°
∠ = AOB 140°.
676. Известно, что ¬ ¬ ABC A = DC.
а) Докажите, что прямая AC — геометрическое место точек,
равноудаленных от B и D.
б) Всегда ли луч AC является геометрическим местом точек,
равноудаленных от сторон угла BAD? Ответ обоснуйте.
677.* Постройте на катете прямоугольного треугольника точку, одинаково удаленную от гипотенузы и второго катета.
678. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает сторону BC в точке M.
Найдите угол MAC, если ∠ = C 70°.
679. Точки D, E, F — точки касания вписанной окружности со
сторонами треугольника ABC. Докажите, что биссектрисы углов
треугольника ABC перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника DEF.
680. Если две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, то прямые AB и O O1 2 взаимно перпендикулярны. Докажите.
681. Точка A лежит вне окружности с центром O. Постройте касательную к данной окружности, проходящую через точку A.
682. В треугольник ABC ( AB = c, BC = a, AC = b) вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB
и BC в точках K и L соответственно. Найдите периметр треугольника KBL.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (25.08.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar