Тема №5324 Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 1) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа
1.1.    На рисунке 1.1 изображен куб ABCDA^B^C^D^. Назовите грани этого куба. Сколько граней имеет куб?
1.2.    Сколько граней имеет неотточенный шестигранный карандаш? Сколько граней имеет прямоугольный параллеле-пипед?
1.3.    Возьмите глобус, мысленно проведите плоскость через экватор. Назовите столицы стран, расположенных в Северном и Южном полушариях.
1.4.    В пространстве имеется плоскость. На сколько частей эта плоскость разобьет пространство?
1.5.    Что можно сказать об утверждении: «Крышка стола есть плоскость»?
1.6.    Могут ли Москва и Санкт-Петербург располагаться в разных полупространствах, определенных некоторой плоскостью, пересекающей Земной шар?
1.7.    Имеется куб. Ответьте на вопросы:
1.    Как провести плоскость, чтобы1 куб лежал в одном полу-пространстве, задаваемом этой плоскостью?
2.    Как провести плоскость, чтобы в каждом полупространстве, задаваемом этой плоскостью, лежало: а) только по одной грани куба; б) по две грани; в) по три грани?
1.8.    Постройте произвольную плоскость. Как она будет выглядеть?
1.9.    Изобразите плоскость а.
1.    Изобразите несколько фигур, лежащих в этой плоскости.
2.    Существуют ли фигуры, не лежащие в этой плоскости? Изобразите несколько таких фигур.
1.10.    Пусть фигура состоит из двух (трех, четырех) точек. Существует ли плоскость, разделяющая точки этих фигур так, чтобы с каждой стороны от плоскости находилось одинаковое число точек?
1.11.    Сколько различных плоскостей определяются гранями куба?
1.12.    Сколько различных плоскостей могут определять тройки точек, взятых из пяти данных точек?
1.14.    Дана прямая. Сколько точек содержит эта прямая?
1.15.    Посмотрите на рисунок 1.2 и ответьте на вопросы:
1.    Через какие точки проходят прямые а, Ь и с?
2.    Какие точки лежат на прямой Ь?
3.    Какие точки не лежат на прямой с?
1.16.    Какие из вершин куба (рис. 1.3) принадлежат прямым а, Ь, с, ??
1.17.    Даны две точки. Можно ли через них провести пря- ф мую? Сколько прямых можно провести? Почему?
1.18.    Есть прямая и точка. Как они могут быть располо
жены? Как могут быть расположены прямая и две точки?
1.19.    Проведите прямую. Сколько точек для этого нужно иметь?
1.20.    Сколько точек содержит прямая, проходящая через точки А и В?
1.21.    Посмотрите на рисунок 1.4 и Q ответьте на вопросы:
1.    Какие точки принадлежат прямым а и Ъ?
2.    Какие точки не принадлежат этим прямым?
3.    Какие точки принадлежат и прямой а, и прямой Ъ?
*-*-*-ъ 1.22. Вытяните руку перед собой. Рассмотрите точку А, совпадающую с кончиком вашего указательного пальца, и точку В, совпадающую с правым верхним углом вашей комнаты. Сколько прямых одновременно проходит через обе точки А и В? Какая аксиома подтверждает ваш ответ?
1.23.    Дана одна точка. Проведите через эту точку прямую. Сколько можно провести прямых через данную точку? Какую фигуру мы при этом получим: плоскую или пространственную?
1.24.    Перечертите рисунок 1.5 в тетрадь. С помощью линейки проведите все прямые, проходящие через пары этих точек. Сколько прямых вам удалось провести?
1.25.    Даны три точки. Как они могут быть расположены? Сколько через них можно провести прямых? Почему? (Эту задачу можно поставить для любого числа точек: 4, 5, 6, ..., я.)
1.26.    На листе бумаги отметьте пять точек и проведите всевозможные прямые, каждая из которых проходит через какие-либо две из этих точек. Как расположить точки, чтобы оказались проведенными: а) 5 прямых; б) 6 прямых?
1.27.    Прочитайте следующие записи:
А £ а; В € Ъ; С £ т; К € >.
1.28.    Начертите прямую а и отметьте:
а) точки А и В, лежащие на прямой а; б) точки C, Q и R, не лежащие на этой прямой.    D
Запишите с помощью знаков взаимное расположение точек А, В, C, Q, R и прямой а.    Рис. 1.5
1.29.    Запишите с помощью знаков взаимное расположение точек и прямых, изображенных на рисунке 1.6.
1.30.    Перечертите в тетрадь рисунок 1.7 и обозначьте буквами все прямые и точки их пересечения. Запишите с помощью знаков взаимное расположение точек и прямых.
1.31.    На полу классной комнаты отметьте мелом точку А.
1. Сколько прямых задают эта точка А и точки, являющиеся вершинами углов в классной комнате? Сделайте чертежи, обозначьте вершины углов класса и выпишите все получившиеся прямые.
2.    Представьте себе, что на каждой стене класса отмечена точка. Сколько таких точек отмечено? Мысленно соедините эти точки прямыми. Сколько образовалось прямых?
3.    Сколько получится прямых, если добавить к точкам на стенах класса точку А, отмеченную на полу классной комнаты?
1.32.    Сколько нужно отметить точек на плоскости для того, чтобы провести две (три, четыре) прямые? Произойдут ли какие-то изменения в решении этой задачи, если рассмотреть данные точки в пространстве?
1.33.    Сколько различных прямых определяют все пары вершин куба?
1.34.    Сколько различных прямых определяют все пары точек, взятых из шести данных точек?
1.35.    На прямой даны 10 точек. На сколько частей эти точки делят прямую?
1.36.    На листе бумаги отметьте п точек и проведите всевоз-можные прямые, каждая из которых проходит через какие-либо две из этих точек. Оказалось, что проведено 6 прямых. Возможно ли, что п = 3? п = 4? п = 5? п = 6? Для тех случаев, когда это возможно, сделайте чертежи.
1.37.    Точки А, В и С лежат на прямой а. Есть ли среди прямых А", АС и ВС различные? Объясните ответ. 
1.38.    Дано: Р и О — различные точки. Прямая 1г содержит обе точки Р и О, прямая 12 также содержит обе точки Р и О. Что можно сказать о прямых и Z2? Обоснуйте ваш вывод.
1.39.    Дано: ^ и 12 — различные прямые. Точка Р принадлежит и 1-8, и 12. Точка О также принадлежит и 1^, и 12. Что можно сказать о точках Р и О? Обоснуйте ваш вывод.
1.40    (8 точек и 6 прямых). Могут ли 6 прямых пересекаться в 8 точках?
1.41    (7 точек и 7 прямых). Докажите, что 7 прямых и 7 точек нельзя расположить на плоскости так, чтобы через каждую точку проходили ровно 3 прямые и на каждой прямой лежали 3 точки.
1.42    (8 точек и 7 прямых). Могут ли 7 прямых пересекаться в 8 точках? Сколько вообще может быть точек пересечения у 7 прямых?
1.43    (9 точек и 9 прямых). Как расположить 9 точек, которые лежат по три на 9 прямых, причем через каждую точку проходят по три данных прямых? (Конфигурация Паскаля.)
1.44    (10 точек и 10 прямых). Как расположить 10 точек, которые лежат по три на 10 прямых, причем через каждую точку проходят только три такие прямые? (Конфигурация Дезарга.)
1.45    (15 точек и 25 прямых). Можно ли расположить 15 лампочек так, чтобы образовалось 25 рядов по 3 лампочки в каждом? Где лучше решать задачу: в пространстве или на плос-кости?
1.46    (16 точек и 12 прямых). В саду посажено 16 тюльпанов в 12 рядов по 4 луковицы в каждом (рисунок 1.8). Можно ли те же 16 луковиц рассадить не в 12, а в 15 рядов, причем в каждом ряду по-прежнему будут 4 луковицы? Как это сделать?
1.48.    Прямая лежит на плоскости. Что можно сказать о
Ф точках этой прямой?
1.49.    На рисунке 1.9 изображен куб ABCDA1B1C1D1. От-ветьте на вопросы:
1.    В какой из граней не лежит точка А?
2.    В какой грани лежит точка Ci?
3.    Каким плоскостям принадлежит точка D?
4.    Какой грани принадлежит прямая ADi?
5.    Какой грани принадлежит прямая DiC?
6.    Какие прямые не лежат в грани ABB^Ai?
1.50.    На рисунке 1.10 прямая а пересекает квадрат ABCD. Назовите вершины квадрата, лежащие: а) в одной полуплоскости; б) в разных полуплоскостях, определенных этой прямой.
1.51.    Какое минимальное число точек необходимо для определения плоскости? Всегда ли три точки полностью определяют некоторую плоскость?
1.52.    Перечислите различные условия, которые определяют плоскость.
1.53.    Сколько существует плоскостей, содержащих три дан-ные точки, если эти точки не принадлежат одной прямой?
1.54.    Почему у штативов фотоаппаратов, геодезических при-боров по три опорные ножки? Почему стол, имеющий четыре ножки, не всегда устойчив?
1.55.    Предположим, что вершина любого угла вашего пись-менного стола обозначена через Р, выключатель на стене — че- 
рез К и вершина одного из углов комнаты — через С. Существует ли плоскость, содержащая точки Р, К и С?
1.56.    Даны плоскость а и квадрат ABCD. Может ли плоскости а принадлежать: а) только одна вершина квадрата; б) только две вершины квадрата; в) только три вершины квадрата?
1.57.    Определите, какое из следующих утверждений верно (объясните ваш вывод):
1.    Если 3 точки лежат на одной прямой, то они лежат в одной плоскости.
2.    Если 3 точки лежат в одной плоскости, то они лежат на одной прямой.
1.58.    Что нужно знать о прямой а, чтобы утверждать, что она лежит в плоскости а?
1.59.    Две точки М и К, принадлежащие прямой АВ, лежат в плоскости а. Лежит ли прямая АВ в плоскости а? Почему?
1.60.    Какие из вершин куба, изображенного на рисунке
1.11,    принадлежат граням а, Р, у этого куба?
1.61.    На рисунке 1.12 изображен прямоугольный параллеле-пипед ABCDA1B1C1D1. Какой грани параллелепипеда принадле-жат: прямая АВ, прямая BD, прямая DC1, прямая B1D1? Ваши выводы обоснуйте.
1.62.    Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?
1.63.    Посмотрев на рисунок 1.13, изображающий некоторую пространственную фигуру, выясните, являются ли точки множеств:      
Рис.1.13
1.64.    Сколько прямых можно провести через пары различных точек А, В, С и D, если эти точки: а) лежат в одной плоскости; б) не лежат в одной плоскости?
1.65.    Дана прямая l. Сколько плоскостей в пространстве со-держат эту прямую?
1.66.    Укажите, верны или ошибочны следующие утверждения:
1.    Пространство содержит по крайней мере четыре точки.
2.    Каждая полуплоскость имеет свою границу.
3.    Прямая разбивает плоскость на два множества.
4.    Каждая плоскость разбивает пространство на два мно-жества.
5.    Любые две полуплоскости лежат в одной плоскости.
1.67.    Каким общим свойством обладают полуплоскости и по-лупространства?
1.68.    Сколько плоскостей могут содержать: одну данную точку; две данные точки; три данные точки?
1.69.    Возьмите книгу или кусок жесткого картона. Можно ли удержать их на концах двух карандашей? Каково наименьшее число карандашей, необходимых для этого?
1.70.    Даны четыре точки А, В, С, D. Каково взаимное распо-ложение этих точек? Сколько плоскостей могут определять эти точки?
1.71.    Прямая li пересекает плоскость а в точке %, но не при-надлежит а. Прямая IF принадлежит плоскости а, но не содержит точку %. Может ли прямая li пересекать прямую IF? Объясните ваш ответ.
1.72.    Два ученика играют, поочередно отмечая какую-либо вершину куба. Первый игрок стремится к тому, чтобы какие-нибудь три последовательно отмеченные вершины лежали в одной грани, а второй старается не допустить этого. Докажите, что при правильной игре второй всегда может выиграть.
1.73.    Даны плоскость а и прямая а, параллельная этой плос-кости. Расстояние от прямой а до плоскости а равно т. Ответьте на вопросы:
1.    Сколько прямых, расстояние которых от прямой а равно т, лежит в плоскости а?
2.    Сколько прямых, расстояние которых от прямой а равно п (п > т), лежит в плоскости а?
1.74.    Из точки М, которая находится на расстоянии а от плоскости а, проведен к этой плоскости перпендикуляр. Ответьте на вопросы:
1.    Как расположены относительно этого перпендикуляра прямые, лежащие в плоскости а, если расстояние от точки М до этих прямых: а) равно а; б) больше а?
2.    Существует ли в плоскости а прямая, расстояние которой от точки М меньше а?
1.75.    Дополните следующие утверждения:
1.    Две различные прямые могут пересекаться лишь в
2.    У двух прямых может быть ... .
3.    В каждой вершине куба пересекаются ... .
4.    Через одну точку можно провести ... .
5.    В каждой вершине треугольной пирамиды пересекаются ... .
1.76.    Сколько прямых, содержащих ребра прямоугольного
параллелепипеда, пересекаются в его вершинах?
1.77.    Заполните пропуски в следующих предложениях так, чтобы в результате получились истинные утвер-ждения:
1.    Если две прямые в пространстве не имеют общих точек, то они ... .
2.    Если две прямые не принадлежат одной плоскости, то . . . .
3.    Если ABCD — квадрат, то прямые АВ
и CD ... .
4.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 1.14). Прямая ... скрещивается с прямой AA1, прямые AB и CC1 ... , так как ... .
1.78.    На рисунке 1.15 изображен токарный резец. Его кромки — отрезки некоторых прямых. Какие различные виды расположения прямых вы видите на изображении этого резца?
1.79.    Могут ли две пересекающиеся прямые лежать в разных плоскостях?
1.80.    Могут ли через две точки проходить различные пересекающиеся прямые?
1.81.    Верно ли, что две любые прямые в пространстве либо параллельны, либо пересекаются?
1.82.    Могут ли прямые, содержащие ребра треугольной пи-рамиды, быть: а) параллельными; б) скрещивающимися?
1.83.    Могут ли в одной грани прямоугольного параллелепипеда находиться отрезки скрещивающихся прямых?
*-*-*-ъ 1.84. Известно, что прямые а и = пересекаются. Сколько общих точек имеют эти прямые? Изобразите в тетради пересекающиеся прямые.
1.85. Известно, что прямые а и = параллельны. Сколько общих точек имеют эти прямые? Изобразите эти прямые.
*-*-*-ъ 1.86. Соедините два карандаша заточенными концами и зажмите их между большим и указательным пальцами. Что можно сказать о прямых, которым принадлежат эти карандаши? Сколько существует плоскостей, одновременно содержащих обе эти прямые?
1.87.    На листе бумаги изображена прямая а. Проведите пря-мую =, пересекающую прямую а и прямую с, параллельную прямой а.
1.88.    Изучите изображенную на рисунке 1.16 пространственную фигуру (точки А, В,
С, D лежат в одной плоскости) и ответьте на вопросы:
1.    Принадлежат ли одной прямой точки Е, D и F?
2.    Принадлежат ли одной плоскости точ- A ки Е, С, В и F?
3.    Пересекаются ли отрезки АС и BD?
4.    Пересекаются ли отрезки АС и DF?
5.    Принадлежат ли одной плоскости точки Е, В и F?
6.    Принадлежат ли одной плоскости точки F, В, G и D?
1.89.    Прямая АВ пересекает прямую АС в точке А, а прямую ВС — в точке В. Принадлежит ли точка С прямой АВ? Сделайте рисунок.
1.90.     Дана прямая а. Отметьте такие точки А, В, С, чтобы прямые АВ и а пересекались в точке С, лежащей между точками А и В.
1.91.    Начертите три прямые АВ, ВС, АС. На сколько частей разбивается этими прямыми плоскость?
1.92.    Даны а-8 и а2 — различные прямые. Точка Р принадлежит а-8 и а2. Точка О также принадлежит аг и а2. Что можно сказать о точках Р и О? Какая аксиома или теорема подтверждает ваше заключение?
1.93.    На рисунке 1.14 изображен куб. Докажите, что прямая АВ скрещивается с прямыми A1D1, В1С1, AiD, BiC, DCi, DiC.
1.94.    Перечислите все ребра куба (см. рис. 1.14), для которых содержащая их прямая является скрещивающейся с прямой ВВ1.
1.95.    Через данную точку проведите прямую, скрещиваю-щуюся с данной прямой.
1.96.    Установите, верны ли высказывания:
1.    Если две прямые в пространстве не имеют общей точки, то они параллельны.
2.    Если прямые а и Ъ — скрещивающиеся и прямые а и с — скрещивающиеся, то прямые Ъ и с — тоже скрещивающиеся.
1.97.    Можно ли на плоскости начертить три прямые, чтобы число их точек пересечения было равно: 0; 1; 2; 3? Выполните соответствующие рисунки.
1.98.    Можно ли на плоскости начертить такие четыре прямые, чтобы число их точек пересечения было равно: 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0?
1.99.    Можно ли расположить на плоскости пять точек так, что если через каждые две провести прямую, то получится прямых: 1; 2; 3; 4; ... ; 11?
1.100.    Приведите пример трех прямых, каждые две из которых скрещиваются. Сколько можно построить прямых, каждые две из которых будут скрещиваться?
1.101.    Существуют ли две параллельные прямые, каждая из которых пересекает две данные скрещивающиеся прямые?
1.102.    Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Где лежат все точки D, такие, что прямые АВ и С9 скрещиваются?
1.103.    Прямые а и Ъ параллельны. Прямая а скрещивается с прямой с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых Ъ и >?
1.104.    Прямые а и Ъ пересекаются. Прямая а скрещивается с прямой с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых Ъ и с?
1.105.    Дан куб ABCDA^B^C^D^ (см. рис. 1.14). Сколько пря-мых, проходящих через две вершины куба: а) пересекается с ребром АВ; б) параллельны ребру АВ?
1.106.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 1.14). Какие ребра этого куба лежат на прямых, которые скрещиваются: а) с прямой AD; б) с прямыми AD и DD1?
1.107.    В кубе KLMNK1L1M1N1 проведена диагональ KM1 (рис. 1.17). Сколько прямых, скрещивающихся с прямой KM1, проходит через какие-либо две вершины куба?
1.108.    Даны две скрещивающиеся прямые а и Ъ и точка А, не лежащая на этих прямых. Докажите, что существует не более одной прямой, проходящей через точку А и пересекающей обе данные прямые.
1.109.    Даны плоскость а и прямая а, пересекающая эту плоскость. Докажите, что прямая Ъ, лежащая в плоскости а, не параллельна прямой а.
1.110.    Докажите, что через точку М, не лежащую в данной плоскости а, проходит бесконечное множество прямых, парал-лельных плоскости а.
1.111.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 1.14). Сколько раз-личных прямых, проходящих через две из вершин этого куба:
а)    параллельны грани ABB1A1; б) пересекают грань ABB1A1?
1.112.    Находясь в комнате (рис. 1.18), вы видите различ-
Ф
ные случаи взаимного расположения плоскостей (их частей). Ответьте на вопросы:
1. Сколько пар пересекающихся плоскостей вы видите?
2. Сколько пар параллельных плоскостей вы видите?
3.    Сколько всего плоскостей (их частей) вы видите?
1.113.    На рисунке 1.19 изображены две плоскости а и Р. Какие общие точки они имеют?
1.114.    Сколько различных пар параллельных плоскостей определяется вершинами куба?
1.115.    Сколько различных взаимно пересекающихся плос-костей проходит через одну из вершин куба, если каждая из этих плоскостей содержит не менее трех вершин куба?
1.116.    Две плоскости а и р пересекаются по прямой АВ. Каждая из точек Р и О принадлежит обеим плоскостям а и р. Должны ли точки Р и О принадлежать прямой АВ? Ваш вывод обоснуйте.
1.117.    Что нужно знать о двух плоскостях, чтобы утверждать, что они пересекаются? Какая фигура является общей для двух пересекающихся плоскостей?
1.118.    Даны две плоскости, которые пересекаются по прямой ВС, и две прямые а и b (а ^ а, b ^ Р). Возможны ли такие случаи, что прямые а и b: а) параллельны;
б)    пересекаются; в) скрещиваются? К ответам дайте рисунок.
1.119.    Даны две параллельные плоскости а и Р (а У Р) и две прямые а и b (а ^ а, b ^ Р). Возможны ли такие случаи, что прямые а и b: а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются?
1.120.    Обозначим через а и Р плоскости двух смежных граней куба. Укажите, какие из следующих высказываний истинны:
1. Существуют пересекающиеся прямые а ^ а, b ^ Р.
2.    Существуют параллельные прямые а ^ а, Ъ ^ р.
3.    Существуют скрещивающиеся прямые а ^ а, Ъ ^ р.
1.121.    Обозначим через а и Р плоскости двух противополож-ных граней куба. Укажите, какие из следующих высказываний истинны:
1.    Любые прямые а ^ а, Ъ ^ Р являются скрещивающимися.
2.    Существуют прямые а ^ а, Ъ ^ Р, которые являются скре-щивающимися.
1.122.    На рисунке 1.18 изображен разрез обычной комнаты. Плоскости стен, пола и потолка пересекаются по отрезкам прямых. Обозначьте три из этих плоскостей (частей плоскостей) а, Р и у. Какие из них являются пересекающимися, а какие — па-раллельными? Укажите на этом рисунке другие пары парал-лельных и пересекающихся плоскостей.
1.123.    У какого многогранника имеется наименьшее число граней (частей плоскостей)?
1.124.    Может ли многогранник иметь только две параллельные грани (части плоскости)?
1.125.    Докажите, что две различные плоскости не могут иметь две и только две общие точки.

2.1.    На рисунке 2.1, а—, изображены различные случаи взаимного расположения треугольника АВС и прямой I. В каждом случае ответьте на вопросы:
1.     Какой фигурой является пересечение треугольника и прямой?
2.     Какой фигурой является объединение треугольника и прямой?
2.2.    На рисунке 2.2, а, б изображены различные случаи рас-положения двух кубов. Какими фигурами являются их объединение и пересечение?
2.3.    На рисунке 2.3, а, б изображены случаи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей. Ответьте на вопросы:
1. Какой фигурой является пересечение прямой и плоскости на рисунке
2.3,    а?
2.    Какой фигурой является пересечение плоскостей а и Р на рисунке 2.3, б?
3.    Какой фигурой является объединение точки А и плоскости а на рисунке 2.3, а?
Рис. 2.3
2.4.    Может ли пересечение прямой и плоскости быть от-резком?
2.5.    Может ли пересечение двух прямых быть точкой?
2.6.    Может ли объединением точки и прямой быть прямая?
2.7.    Может ли пересечением двух плоскостей быть точка?
2.8.    Может ли объединением прямой и плоскости быть: а) точка; б) прямая; в) плоскость; г) пространство?
2.9.    Как должны быть расположены плоскости, чтобы их объединением было пространство? Как будет при этом выглядеть пересечение этих плоскостей?
2.10.    Как могут быть расположены два куба, чтобы их пере-сечением были: а) точка; б) отрезок; в) квадрат?
2.11.    Изобразите расположение прямой и куба, при котором их пересечением является: а) точка; б) отрезок;
в)    пустое множество точек.
2.12.    Может ли в пересечении двух квадратов получиться отрезок? Изобразите такое расположение квадратов. Какой фи-гурой может быть объединение двух квадратов?
2.13.    Может ли пересечением двух квадратов быть квадрат?
2.14.    На рисунке 2.4 изображен куб, сложенный из 8 маленьких одинаковых кубиков. Сколько прямоугольных парал-лелепипедов содержит данное объединение кубиков?
2.15.    Алеша из маленьких кубиков составляет большой куб. Ответьте на вопросы:
1.    Сколько еще нужно добавить кубиков к изображенным на рисунках 2.5, а, б?
2.    Сколько кубиков на рисунке 2.5, в имеют затемненные грани, а сколько не имеют?
2.16.    Сколько кубиков понадобилось для создания конст-рукций, изображенных на рисунках 2.6, а, б?
2.17.    Какие фигуры могут получиться при пересечении двух четырехугольников? Возможно ли, чтобы при пересечении двух четырехугольников образовались два четырехугольника? три четырехугольника?
2.18.    Нарисуйте две фигуры так, чтобы: а) их объединением был круг, а пересечением — треугольник; б) их объединением был треугольник, а пересечением — круг; в) их объединением и пересечением был куб; г) их объединением и пересечением была пирамида.
2.19.    Нарисуйте два цилиндра (два конуса) так, чтобы их пе-ресечением был цилиндр (конус).
2.20.    Приведите примеры одинаковых геометрических фигур, которые имеют: а) только одну общую точку; б) бесконечное множество общих точек, не лежащих на одной прямой; в) не только одну общую прямую (при этом фигуры не являются плоскостями); г) ровно одну общую плоскость.
2.21.    На какое наибольшее число частей можно разделить фигуру, изображенную на рисунке 2.7, тремя разрезами?
2.22.    Какое наибольшее число частей можно получить при трех разрезах фигуры, изображенной на рисунке 2.8?
2.23.    Деревянный куб снаружи покрасили белой краской, каждое его ребро разделили на 3 (4, 5) равные части, после чего куб разрезали так, что получились маленькие кубики, у которых ребра в 3 (4, 5) раза меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось маленьких кубиков? У скольких кубиков окрашены три грани? только одна грань? Сколько получилось неокрашенных кубиков?
2.24.    Сколько различных фигур можно построить из 3 кубиков, соединяя два соседних кубика только по граням?
2.25.    Сколько различных фигур можно построить из 4 кубиков, соединяя два соседних кубика только по граням? 
2.26.    На какое наибольшее число различных частей, не име-ющих общих точек, кроме своих границ, можно разбить плоскость: а) прямая и окружность; б) три прямые; в) угол и окружность; г) три окружности?
2.27.    Какие я-угольники можно получить как общую часть: а) угла и полуплоскости; б) двух углов; в) двух треугольников;
г)    треугольника и четырехугольника?
2.28.     Даны кр. (08; г8) и кр. (02; г2), причем 0802 < г8 + г2. Докажите, что общая часть этих кругов — выпуклая фигура.
2.29.    Даны две выпуклые фигуры Fj и Докажите, что фигура F8 П F2 выпуклая.
2.30.    На рисунке 2.9, а изображены семь многогранников 1, ..., 7. Из них можно сконструировать различные фигуры. При конструировании предпочтительно сначала использовать наиболее «неправильные» (5, 6, 7), а многогранник 1 желательно использовать при сборке самым последним.
1.    Сделайте из картона каждый из семи многогранников.
2.    Сделайте эти многогранники так, чтобы каждый из кубиков имел ребро 6 см.
3.    Составьте из этих многогранников фигуры, изображенные на рисунке 2.9, б.
2.31.    Среди изображенных на рисунке 2.10 фигур укажите пары, которые дополняют друг друга до куба.
2.32.    На рисунке 2.11 найдите пары фигур, дополняющие друг друга до куба.
2.33.    Назовите известные вам плоские фигуры.
2.34.    Назовите известные вам пространственные (неплос-кие) фигуры.
2.35.    Всегда ли три точки лежат в одной плоскости?
2.36.    Всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?
2.37.    Лежат ли все вершины куба в одной плоскости?
2.38.    Может ли куб лежать (стоять) на плоскости? Какая
фигура в этом случае будет пересечением куба и плоскости?
2.39.    Как провести плоскость сечения куба, чтобы это сечение имело форму квадрата? Сколько можно провести таких сечений? Выполните необходимые построения.
2.40.    При пересечении какой фигуры плоскостью в сечении получается: а) квадрат; б) точка; в) отрезок; г) круг?
2.41.    Какие фигуры могут получиться при пересечении куба плоскостью?
2.42.    Начертите куб, поставьте на каждом из трех ребер, вы-ходящих из одной его вершины, по одной точке. Постройте плоскость, которая пересекает куб и проходит через эти точки. Какая фигура будет пересечением куба и плоскости? 
2.43.    На рисунке 2.12 изображены четыре ряда по три ^ различных «кусочка» куба (каждый из этих «кусочков» в свою очередь получен некоторым сечением куба) и между ними стоит знак объединения. Что получится в результате этого объединения в каждом случае? На рисунке приведен пример результата в наиболее простом случае. Попробуйте получить другие результаты.
 
 
2.44.    Какие из закрашенных на рисунках фигур (рис. 2.13) с вершинами в вершинах куба или серединах его ребер являются сечениями куба плоскостью?
2.45.    Каждая из фигур 1—8 на рисунке 2.14, а является частью куба. Объединением каких трех фигур является каждая из фигур А - 3 на рисунке 2.14, б, если первоначальные кубы совмещать сдвигом? 
2.33.    Назовите известные вам плоские фигуры.
2.34.    Назовите известные вам пространственные (неплос-кие) фигуры.
2.35.    Всегда ли три точки лежат в одной плоскости?
2.36.    Всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?
2.37.    Лежат ли все вершины куба в одной плоскости?
2.38.    Может ли куб лежать (стоять) на плоскости? Какая
фигура в этом случае будет пересечением куба и плоскости?
2.39.    Как провести плоскость сечения куба, чтобы это сечение имело форму квадрата? Сколько можно провести таких сечений? Выполните необходимые построения.
2.40.    При пересечении какой фигуры плоскостью в сечении получается: а) квадрат; б) точка; в) отрезок; г) круг?
2.41.    Какие фигуры могут получиться при пересечении куба плоскостью?
2.42.    Начертите куб, поставьте на каждом из трех ребер, вы-ходящих из одной его вершины, по одной точке. Постройте плоскость, которая пересекает куб и проходит через эти точки. Какая фигура будет пересечением куба и плоскости? 
2.43.    На рисунке 2.12 изображены четыре ряда по три ^ различных «кусочка» куба (каждый из этих «кусочков» в свою очередь получен некоторым сечением куба) и между ними стоит знак объединения. Что получится в результате этого объединения в каждом случае? На рисунке приведен пример результата в наиболее простом случае. Попробуйте получить другие результаты.
 
 
2.44.    Какие из закрашенных на рисунках фигур (рис. 2.13) с вершинами в вершинах куба или серединах его ребер являются сечениями куба плоскостью?
2.45.    Каждая из фигур 1—8 на рисунке 2.14, а является частью куба. Объединением каких трех фигур является каждая из фигур А - 3 на рисунке 2.14, б, если первоначальные кубы совмещать сдвигом? 

2.33.    Назовите известные вам плоские фигуры.
2.34.    Назовите известные вам пространственные (неплос-кие) фигуры.
2.35.    Всегда ли три точки лежат в одной плоскости?
2.36.    Всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?
2.37.    Лежат ли все вершины куба в одной плоскости?
2.38.    Может ли куб лежать (стоять) на плоскости? Какая
фигура в этом случае будет пересечением куба и плоскости?
2.39.    Как провести плоскость сечения куба, чтобы это сечение имело форму квадрата? Сколько можно провести таких сечений? Выполните необходимые построения.
2.40.    При пересечении какой фигуры плоскостью в сечении получается: а) квадрат; б) точка; в) отрезок; г) круг?
2.41.    Какие фигуры могут получиться при пересечении куба плоскостью?
2.42.    Начертите куб, поставьте на каждом из трех ребер, вы-ходящих из одной его вершины, по одной точке. Постройте плоскость, которая пересекает куб и проходит через эти точки. Какая фигура будет пересечением куба и плоскости? 
2.43.    На рисунке 2.12 изображены четыре ряда по три ^ различных «кусочка» куба (каждый из этих «кусочков» в свою очередь получен некоторым сечением куба) и между ними стоит знак объединения. Что получится в результате этого объединения в каждом случае? На рисунке приведен пример результата в наиболее простом случае. Попробуйте получить другие результаты.
 
 
2.44.    Какие из закрашенных на рисунках фигур (рис. 2.13) с вершинами в вершинах куба или серединах его ребер являются сечениями куба плоскостью?
2.45.    Каждая из фигур 1—8 на рисунке 2.14, а является частью куба. Объединением каких трех фигур является каждая из фигур А - 3 на рисунке 2.14, б, если первоначальные кубы совмещать сдвигом? 

2.33.    Назовите известные вам плоские фигуры.
2.34.    Назовите известные вам пространственные (неплос-кие) фигуры.
2.35.    Всегда ли три точки лежат в одной плоскости?
2.36.    Всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?
2.37.    Лежат ли все вершины куба в одной плоскости?
2.38.    Может ли куб лежать (стоять) на плоскости? Какая
фигура в этом случае будет пересечением куба и плоскости?
2.39.    Как провести плоскость сечения куба, чтобы это сечение имело форму квадрата? Сколько можно провести таких сечений? Выполните необходимые построения.
2.40.    При пересечении какой фигуры плоскостью в сечении получается: а) квадрат; б) точка; в) отрезок; г) круг?
2.41.    Какие фигуры могут получиться при пересечении куба плоскостью?
2.42.    Начертите куб, поставьте на каждом из трех ребер, вы-ходящих из одной его вершины, по одной точке. Постройте плоскость, которая пересекает куб и проходит через эти точки. Какая фигура будет пересечением куба и плоскости? 
2.43.    На рисунке 2.12 изображены четыре ряда по три ^ различных «кусочка» куба (каждый из этих «кусочков» в свою очередь получен некоторым сечением куба) и между ними стоит знак объединения. Что получится в результате этого объединения в каждом случае? На рисунке приведен пример результата в наиболее простом случае. Попробуйте получить другие результаты.
 
 
2.44.    Какие из закрашенных на рисунках фигур (рис. 2.13) с вершинами в вершинах куба или серединах его ребер являются сечениями куба плоскостью?
2.45.    Каждая из фигур 1—8 на рисунке 2.14, а является частью куба. Объединением каких трех фигур является каждая из фигур А - 3 на рисунке 2.14, б, если первоначальные кубы совмещать сдвигом? 
2.46.    Расположите перед собой модель куба. Какие грани вы1 видите? Какие грани вы1 не видите? Какие ребра вы1 видите? Какие ребра вы не видите?
2.47.    Посмотрите на модель тетраэдра — треугольной пира-миды с равными ребрами. Сколько граней вы видите? Сколько ребер вы видите?
2.48.    Можно ли расположить куб перед глазами так, чтобы видеть: а) только одну грань куба; б) только две грани куба; в) только три грани куба? Опишите, как в каждом случае вы расположили куб.
2.49.    Решите задачу 2.48, заменив слово «грань» на слово «ребро».
2.50.    На рисунке 2.15, а—д даны различные изображения каркасного куба. Какие из этих изображений правильные?
2.51.    Можно ли расположить перед глазами модель тетраэдра так, чтобы были видны все его ребра?
в)    г)    д) 
* * * и 2.52. Начертите в тетради куб ABCDA^B^C^D^. Как вы У изобразили ребра, которые видите? Как вы изобразили ребра, которые не видите? Какие грани вам не видны? Какие отличия в изображении видимых и невидимых ребер и граней вы видите?
2.53.    Достройте фигуру, изображенную на рисунке 2.16, до куба.
2.54.    Внимательно изучите изображенный на рисунке 2.17 прямоугольный параллелепипед. Закройте книгу и сделайте по памяти чертеж, похожий на этот. Попрактикуйтесь до тех пор, пока не будете довольны своим результатом.
2.55.    На клетчатой бумаге изображены видимые ребра куба (рис. 2.18). Проведите невидимые ребра куба.
2.56.    На клетчатой бумаге изображены видимые грани и ребра пирамиды (рис. 2.19). Проведите невидимые ребра пирамиды.
2.57.    На клетчатой бумаге начали изображать прямоугольный параллелепипед (рис. 2.20). Проведите остальные ребра па-раллелепипеда.
2.58.    На клетчатой бумаге изображены различные много-гранники (видимые грани и ребра) (рис. 2.21). Проведите неви-димые ребра этих многогранников.
2.59.    Возьмите в руки модель куба (желательно не очень маленькую). Посмотрите на нее: а) слева снизу; б) справа снизу; в) справа сверху; г) слева сверху. Отметьте те грани и ребра, которые при этом не видны. Сделайте соответствующие рисунки в тетради.
2.60.    Изобразите куб, у которого видны: а) передняя, правая и верхняя грани; б) передняя, левая и верхняя грани.
2.61.    Можно ли считать, что на рисунке 2.22, а, б помещены верные изображения куба?
2.62.    На рисунке 2.23 фигура не дорисована (верхняя часть изображения закрыта листом бумаги). Дорисуйте ее.
а)    б)
Рис.2.22
2.63.    Объясните, могут ли существовать не на бумаге, а в реаль-ной жизни фигуры, изображенные на рисунке 2.24, а—в?
2.64.    Можно ли сконструировать «многогранник», представ-ленный на рисунке 2.25?
2.65.    Нарисуйте вид справа и спереди многогранников, изо-браженных на рисунке 2.26, а—в.
2.66.    Нарисуйте вид спереди, справа, слева для каждого из многогранников, изображенных на рисунке 2.27, а—в.
2.67.    Нарисуйте вид спереди, справа, слева и сзади изображен-ного на рисунке 2.28 многогранника (он состоит из 11 кубиков).
2.68.    На рисунке 2.29, а изображена некоторая фигура, а на рисунке 2.29, б—д даны изображения этой фигуры с разных сторон. Один из этих рисунков ошибочный. Какой? 
2.69.    Среди кубиков с номерами от 1 до 11 (рис. 2.30) найдите парные кубики для А, В и С. При этом нужно сравнивать цвета граней и их положения.

3.1.    Даны прямая а и на ней три точки (рис. 3.1). Сколько отрезков получилось на прямой? Каким свойством обладают эти отрезки? Решите задачу при условии, что на прямой даны 4 точки; 5 точек.
3.2.    На рисунке 3.2, а, б изображены две фигуры. Сколько отрезков вы видите на этих рисунках (имеются в виду отрезки, соединяющие выделенные жирно точки)?
3.3.    На рисунке 3.3 изображен куб ABCDA^B^C^D^. Ответьте на вопросы:
8. Сколько отрезков (ребер) выходит из каждой вершины куба?
2.    Сколько ребер имеет куб?    Рис 32
3.    Сколько граней имеет куб?
3.4.    На рисунке 3.4 изображен прямоугольный параллелепипед. Ответьте на вопросы:
8. Сколько отрезков (ребер) выходит из каждой вершины параллелепипеда?
2.    Сколько ребер имеет прямоугольный параллелепипед?
3.    Сколько граней имеет прямоугольный параллелепипед?
B    C
^—                
B.I
у
у    D    Ci    ^    
1
1
j_    
1    Di            
Рис. 3.3        Рис.3.4    


3.5.    Даны два отрезка. Как они могут быть расположены относительно друг друга? Сколько у них может быть точек пересечения? Почему?
3.6.    Известно, что два отрезка имеют одну общую точку. Как они могут быть расположены?
3.7.    Что нужно знать, чтобы утверждать, что отрезки пере-секаются?
3.8.    Даны отрезок и прямая. Каково может быть их взаимное расположение?
3.9.    Даны отрезок и плоскость. Каково может быть их взаимное расположение?
3.10.    Что нужно знать, чтобы утверждать, что отрезок: а) пе-ресекает прямую; б) пересекает плоскость; в) не пересекает пря-мую; г) не пересекает плоскость?
3.11.    Как проверить, лежит ли отрезок АВ: а) в одной полуплоскости (в разных полуплоскостях), заданной некоторой прямой а; б) в одном полупространстве (в разных полупространствах), заданном некоторой плоскостью а?
3.12.    На рисунке 3.3 изображен куб ABCDA^B^C^D^. Могут ли вершины куба задавать отрезки, отличные от ребер куба? Назовите эти отрезки.
3.13.    На рисунке 3.5 изображена треугольная пирамида. Су-ществуют ли другие отрезки (кроме ребер пирамиды), соеди-няющие вершины пирамиды?
* * * h 3.14. Даны две (три) различные точки. Как они могут быть расположены? Сколько отрезков с концами в этих точках мы можем при этом получить? Изобразите все возможные случаи.
3.15.    На рисунке 3.6, а—в изображены 3, 4 и 5 точек. Соедините эти точки отрезками. Сколько отрезков вы получите?
3.16.    Даны различные точки А, В, С, D. Сколько существует различных отрезков, оба конца которых принадлежат фигуре, состоящей из точек: а) А, В, С; б) А, В, С и D?
3.17.    Дан куб ABCDA^B^C-^D^. Вершину А куба соедините от-резками с другими его вершинами. Сколько отрезков вы при этом получите?
3.18.    Внутри куба ABCDA^B^C-^D^ взята точка О. Эту точку соедините со всеми вершинами куба. Сколько отрезков при этом получится?
3.19.    1. На прямой нужно получить три отрезка. Сколько для этого следует отметить точек на данной прямой? 2. Решите задачу для случаев, когда надо получить 4, 5, 6 отрезков.
3.20.    На прямой даны 5, 6, 7, 8, ..., п точек. Сколько отрезков при этом имеется на данной прямой?
3.21.    Докажите, что если две точки отрезка АВ принадлежат отрезку CD, то эти отрезки лежат на одной прямой.
3.22.    Расставьте на плоскости шесть точек таким образом, что если соединить первую точку со второй, вторую с третьей и т. д., а шестую вновь с первой, то каждый из шести отрезков ровно один раз пересекается с каким-либо другим отрезком.
3.23.    Дан отрезок АВ. Назовите, какую фигуру образует множество всех таких точек X этого отрезка, для которых:
а)    AX < АВ; б) AX = BX; в) AX < 67 ; г) AX * BX.
3.24.    Даны две точки А и В. Покажите на рисунке множество таких точек X плоскости, для которых: а) BX - AX = АВ;
б)    AX - BX = АВ; в) AX + BX < АВ.
3.25.    В каких многогранниках из одной вершины исходят 3 отрезка (ребра); 4 отрезка (ребра); 5 отрезков (ребер) и т. д.? Изобразите эти многогранники.
3.26.    Начертите многогранник, имеющий: а) 8 ребер; б)9 ребер.
3.27.    Назовите (изобразите) многогранник, имеющий наи-меньшее число ребер. Сколько у него вершин? граней?
3.28.    Постройте многогранник, из каждой вершины которого выходят более трех ребер.
3.29.    Расстояние между двумя точками, измеренное в сантиметрах, равно 12. Чему будет равно это расстояние, если за единицу длины принять миллиметр?
3.30.    Расстояние между двумя точками, измеренное в мил-лиметрах, равно 9. Чему равно это расстояние, выраженное в сантиметрах?
3.31.    Расстояние РК равно 54 см. Чему оно равно в дециметрах? в метрах?
3.32.    Расстояние РС равно 54 дм. Чему оно равно в санти-метрах? в метрах?
3.33.    Даны прямая а и точка А на ней. Сколько отрезков длиной 5 см можно отложить на прямой а от точки А?
3.34.    Пусть Р, С, М — три точки на некоторой прямой. Какое соотношение между отрезками РС, СМ и РМ должно выполняться, если Р лежит между С и М?
3.35.    Как расположены три различные точки А, В, С, если АВ + ВС = АС?
3.36.    Пусть А, В, С — три различные точки. Может ли случиться, что будет выполняться неравенство АВ + ВС > АС? Если нет, то почему? Если да, то как расположены точки А, В, С?
3.37.    Могут ли для трех точек А, В и С одной прямой одновре-менно выполняться равенства: АВ + ВС = АС и АС + СВ = АВ?
3.38.    Точка А лежит на прямой ВС. Лежит ли точка А между точками В и С, если АВ + АС = ВС? Объясните ваш ответ.
3.39.    Точки А, В, С лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими, если АВ = АС? Объясните ваш ответ.
3.40.    Пусть А, В, С — три точки на окружности. Можно ли сказать, что каждая из этих точек лежит между двумя другими?
3.41.    Почему предложение «Точка В называется серединой отрезка АС, если АВ = ВС 6 нельзя считать определением середины отрезка?
3.42.    Посередине доски длиной 2 м, т. е. на расстоянии 1 м от каждого из ее концов, проведена черта. Столяр тщательно распиливает доску по этой черте. Однако ни одна из двух полу-чившихся при этом половин не имеет длины 1 м. Более того, общая длина этих двух половин не равна всей длине доски. Как это объяс-нить?
3.43.    На рисунке 3.7 изображена треугольная пирамида SABC. Ребра SA и SC равны соответственно 3 и 4 см. Какую длину может иметь ребро АС данной пирамиды?
3.44.    В каждом из следующих равенств вставьте пропущенные числа:
а)    2 м = ... см = ... мм; б) ... м = ... см = 1 мм; в) ... м = = 50 см = ... мм.
3.45.    Точка В лежит на прямой между точками А и С; АВ = 2, АС = 5. Найдите расстояние ВС.
3.46.    Если расстояние РС равно х дм, то чему оно равно в сантиметрах?
3.47.    Расстояние АВ, измеренное в сантиметрах, на 15 больше, чем то же самое пятикратное расстояние, измеренное в дециметрах. Чему равно расстояние АВ в дециметрах?
3.48.    Города X, Y и [на карте расположены на одной прямой, но не обязательно в том порядке, в котором перечислены. Расстояние от X до Y равно 12 км; расстояние от Y до [ — 21 км.
1.    Можно ли сказать, какой город находится между двумя другими? Какой город не находится между двумя другими?
2.    Сделайте рисунок и с его помощью определите расстояние от X до Y. Сколько вариантов решения у этой задачи?
3.    Вам дополнительно стало известно, что расстояние от X до [ равно 9 км. Какой город находится между двумя другими?
4.    Расстояние между X и Y равно k км, между X и [ — п км, между Y и [ — (k + п) км. Какой город находится между двумя другими?
3.49.    Пусть Е, Н, К — три точки на прямой. Точки Е и Н отстоят друг от друга на 3 см, а точки Н и К — на 5 см. Сколькими способами можно расположить на прямой эти три точки? Поясните выводы рисунками.
3.50.    Пусть Р, К, М — три точки некоторой прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими, если РК = 12, РМ = 7 и КМ = 5? Обоснуйте вывод.
3.51.    Пусть 9, Н, К — три точки некоторой прямой. Определите, какое из следующих утверждений верно:
1)    точка К лежит между 9 и Н и точка Н лежит между 9 и К;
2)    точка Н лежит между К и 9 и точка Н лежит между 9 и К;
3)    точка 9 лежит между Н и К и точка К лежит между 9 и Н;
4)    точка ( лежит между Н и 9 и точка 9 лежит между К и Н;
5)    точка 9 лежит между К и Н и точка 9 лежит между Н и К.
3.52.    Расстояние от пункта А до пункта 7 равно 20 км, а от пункта В до пункта С — 12 км. Каким может быть расстояние от пункта А до пункта С? Для случаев, когда это расстояние принимает наибольшее или наименьшее из возможных значений, сделайте рисунок, приняв расстояние в 1 км за 1 см.
3.53.    На прямой расположены три
точки А, В и С (рис. 3.8). Найдите рас-    A    B C
стояние АС, если: а) АВ = 6 см, ВС =
= 12 см; б) АВ = 6 м, ВС = 12 м; в) АВ =    Рис 3‘8
= 6 км, ВС = 12 км.
3.54.    Решите задачу 3.53 при условиях: а) АВ = 6 м, ВС = = 12 см; б) АВ = 6 см, ВС = 12 м; в) АВ = 6 км, ВС = 12 см.
3.55.    В задачах 3.53 и 3.54 заданы только числа 6 и 12. Объ-ясните, почему же в ответах задачи 3.53 во всех трех случаях получается одно и то же число, хотя единицы разные, а в задаче 3.54 все ответы различны.
3.56.    Обсудите следующие вопросы:
1.    Почему существует столько различных единиц длины?
2.    Если допустить, что мы можем установить одну универсальную единицу длины, то какие преимущества это
дало бы? какие недостатки?
3.57.    Куб со стороной 1 м распилили на кубы со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд. Чему равна длина ряда?
3.5,. Петя и Вова подсчитали расстояние между одними и теми же точками А, В и С. Петя сказал: «АВ = 1, а ВС = 2,5». Вова сказал: «АВ = 12, а ВС = 30». Если оба мальчика правы, 
то объясните, как они могли для одних и тех же расстояний получить разные числа. Согласуется ли это со свойствами рас-стояний?
3.59.    Можно ли построить три точки X, Y и Z так, чтобы вы-полнялись следующие требования:
а)    XY + YZ = XZ, XZ - XY > YZ;
б)    XZ - XY = YZ, XY + YZ > XZ;
в)    XY + YZ > XZ, XY - XZ > YZ?
Для случаев, когда построение возможно, сделайте рисунки.
3.60.    Сколькими способами из отрезков длиной 7 и 12 см можно составить отрезок длиной 1 м?
3.61.    В озеро впадает река (рис. 3.9). По реке и озеру движется моторная лодка. Ее собственная скорость больше скорости течения реки. На озере течения нет. «Расстояние» между пунктами 6, В, С и D будем оценивать по времени, необходимому для того, чтобы лодка пришла из одного пункта
в другой. Какие из основных свойств расстояний будут выполняться для такого «расстояния» при любом выборе пунктов на берегах реки и озера? Что можно сказать о таком «расстоянии», если пункты выбираются только на берегу озера?
3.62.    При горных переходах расстояние иногда измеряется временем, затраченным при переходе из одного пункта в другой. Будут ли для таких «расстояний» выполняться все свойст-
ва расстояний?
3.63.    Четыре точки А, В, С и D принадлежат некоторой прямой, порядок их расположения таков, что АС > АВ и BD < ВС. Сделайте рисунок, покажите, как расположены эти четыре точки. Сколько способов их расположения существует?

3.65.    Представьте себе две планеты в космосе, диаметр ^ одной из них равен 1 000 000 км, а другой — 10 000 000 км. На сколько километров отличается расстояние между планетами от расстояния между центрами этих планет?
3.66.    Расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн км, а до Луны — 400 тыс. км. Чему равно расстояние от Луны до Солнца во время: а) солнечного затмения; б) лунного затмения?
3.67.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 3.11), точки Т и К — середины ребер CD и AD. Укажите расстояние от точки D: а) до плоскости грани ABB1A1; б) до отрезка СТ; в) до отрезка КТ; г) до ребра AB; д) до ребра ВС; е) до прямой AC1; ж) до прямой A1C1.
4.1.    На рисунке 4.1, а и б изображены две ломаные Аг АгA364А&А). Ответьте на вопросы:
1. Сколько вершин и звеньев имеют эти ломаные?
Какая из этих двух ломаных является простой?
Какие звенья ломаных имеют пересечения?
4.2.    Приведите примеры ломаных из окружающей обстановки.
4.3.    На рисунке 4.2, а—к изображены различные цифры, являющиеся объединением отрезков, т. е. ломаными. Какие из них являются простыми ломаными?
4.4.    Какие из фигур на рисунке 4.2, а—к являются простыми замкнутыми ломаными?
ВЧ56ГВВ
г) д) е) ж) з) и) к)
4.5.    На модели куба покажите ломаные, все звенья которых: а) лежат в одной плоскости;
б)    не лежат в одной плоскости.
4.6.    Какое наименьшее число звеньев может быть у замкнутой ломаной?
4.7.    На рисунке 4.3 изображена замкнутая ломаная. Сколько у нее звеньев? Лежат ли все звенья в одной плоскости? Ответ обо-снуйте.
4.8.    На рисунке 4.4, а—, изображены различные фигуры, являющиеся объединением отрезков. Какие из этих фигур яв-ляются: а) простыми ломаными; б) простыми замкнутыми ло-маными?
4.9.    Отметьте в тетради точки так, как показано на ри- у сунке 4.5, и постройте несколько простых ломаных, вершины которых находятся в этих точках.
Рис. 4.5
4.10.    В плоскости дана прямая КН. Постройте в этой плоскости ломаную, состоящую из п звеньев (п = 2, 3, 4, ...), так, чтобы прямая КН рассекала каждое из ее звеньев на два отрезка.
 


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (01.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 2.0/1


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar