Тема №5325 Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа
4.10.    В плоскости дана прямая КН. Постройте в этой плоскости ломаную, состоящую из п звеньев (п = 2, 3, 4, ...), так, чтобы прямая КН рассекала каждое из ее звеньев на два отрезка.
4.11.    В полуплоскости с границей I даны две точки. Можно ли построить ломаную, соединяющую эти две точки и не пересекающую прямую I? Покажите это на чертежах.
4.12.    В различных полупространствах, задаваемых плоскостью а, даны две точки. Можно ли построить ломаную, соединяющую эти точки и не пересекающую плоскость а?
4.13.    Какое наименьшее число звеньев может иметь ломаная, два звена которой лежат на одной прямой? Начертите такую ломаную.
4.14.    1. Сколько существует двухзвенных ломаных, вершинами которых являются точки, изображенные на рисунке 4.5, а—в, а сторонами — отрезки с концами в этих точках?
2. Сколько таких трехзвенных ломаных?
4.15.    Дан квадрат ABCD.
1.    Покажите, что существуют 5 простых замкнутых ломаных, все вершины которых — вершины этого квадрата.
2.    Покажите, что существуют 20 простых незамкнутых ломаных, все вершины которых являются вершинами квадрата ABCD.
4.16.    Дан куб ABCDA1B1C1D1. Как из точки А, следуя вдоль ребер, можно попасть в точку C1, не проходя два раза через одну и ту же вершину?
4.17.    Жук ползает по ребрам куба. Сможет ли он последовательно обойти их, проходя по каждому ребру ровно один раз?
4.18.    Нарисуйте квадрат. Отметьте на нем 9 точек: вершины, середины сторон и точку пересечения диагоналей. Сколько ломаных соединяют две противоположные вершины квадрата? При этом надо учесть, что каждая ломаная имеет вершинами только отмеченные точки, а ее звенья лежат на сторонах квадрата или параллельны им.
4.19.    Сможете ли вы нарисовать: а) замкнутую семизвенную ломаную, которая пересекает свое звено два раза; б) замкнутую шестизвенную ломаную, которая каждое звено пересекает два раза; в) замкнутую ломаную, которая каждое звено пересекает один раз?
4.20.    Какое наибольшее число точек самопересечения может быть у замкнутой ломаной из пяти звеньев? из семи звеньев? из любого нечетного числа звеньев? А если ломаная будет незамкнутой, изменится ли результат? Попробуйте решить задачу для ломаной, у которой четное число звеньев.
4.21.    О некоторой ломаной известно: а) она замкнутая; б) каждое свое звено она пересекает ровно один раз; в) у нее шесть звеньев. Есть ли противоречие в этих данных? Если есть, то какое изменение нужно внести в исходную информацию, чтобы избежать противоречия?
4.22.    Сможете ли вы1 сделать из гибкой проволоки замкнутую пятизвенную ломаную, имеющую: а) одну точку самопересечения; б) две точки самопересечения; в) три точки пересечения; г) четыре точки пересечения; д) пять точек пересечения?
4.23.    У Димы есть кусок фанеры, расчерченный на 64 клетки (рис. 4.6). Он хочет сделать из этой фанеры шахматную доску. Как это можно сделать? (При этом хотелось бы, чтобы фанеру пришлось разрезать на небольшое количество частей, лучше всего на две.)
4.24.    Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая язвенная плоская ломаная, если:
а) я нечетно; б) я четно? (Предполагается, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и что никакие три звена не пересекаются в одной точке.)
4.25.    Каждая грань кубика разбита на 4 квадрата. Всякий отрезок, являющийся общей стороной двух из 24 полученных квадратов, окрашен в синий или красный цвет. Известно, что красных отрезков 26. Докажите, что на поверхности кубика найдется замкнутая ломаная линия, состоящая только из красных отрезков.
4.26. О свойствах ломаных с равным количеством точек самопересечения на каждом звене.
4.27.    На рисунке 4.8 изображена ломаная ABCDE и указаны длины ее звеньев. Каким может быть расстояние между точками А и Е?
4.28.    Постройте ломаную ABCD, выполните необходимые измерения и вычислите ее длину.
4.29.    На рисунке 4.9 изображен куб
Пусть длина ребра этого куба равна 1 см.
1.    Постройте на этом кубе трехзвенную ломаную, составленную из ребер куба. Чему равна длина этой ломаной?
2.    Постройте на этом кубе четырехзвенную ломаную, составленную из ребер куба.
Чему равна длина этой ломаной?
4.30.    Звенья ломаной ABCD имеют длиныи АВ = 1 см, ВС = = 2 см, CD = 3 см. Может ли расстояние AD оказаться равным: а) 0,5 см; б) 6 см; в) 1 см; г) 7 см? Постройте такую ломаную, если это возможно.
4.31.    Какую длину может иметь отрезок АВ, концы которого соединены ломаной, имеющей звенья длиной: 1) 3 см, 2 см и 5,5 см; 2) 3 см, 4 см и 5 см? Ответ запишите в виде двойного неравенства.
4.32.    Существует ли замкнутая ломаная, длины звеньев которой равны: 1) 2 см, 3 см,
4    см, 10 см; 2) 3 см, 3 см, 4 см, 4 см; 3) 4 см,
5    см, 0,5 см?
4.33.    Докажите, что существует трехзвенная ломаная длиной 3а, содержащая все вершины квадрата со стороной а. Докажите, что число звеньев и длину такой ломаной нельзя уменьшить.
4.34.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 4.9).
Длина его ребра 2 см. Может ли ломаная состоять из ребер куба и иметь пять звеньев? Всегда ли длина такой ломаной равна 10 см?
4.35.    Докажите, что существует трехзвенная ломаная длиной 7а, содержащая все вершины куба с ребром а. Докажите, что число звеньев и длину такой ломаной нельзя уменьшить.
4.36.    Докажите, что длина ломаной АВС меньше длины ломаной АМС (рис. 4.10).
4.37.    Докажите, что длина ломаной АВС меньше длины ломаной АМТС (рис. 4.11).
4.38.    Докажите, что длина ломаной АМС
больше длины ломаной АТКС (рис. 4.12).    рис. 4.12
4.39.    Квадратный участок земли, сторона которого равна ^    40 м, состоит из 16 грядок. Для орошения участка меж
ду некоторыми грядками надо проложить трубу длиной
100 м. Эта труба должна разделить участок на две равные части. Покажите, как надо проложить трубу.
4.40.    Из одного куска проволоки, не разрезая его, надо сделать каркас: а) треугольной пирамиды; б) четырехугольной пирамиды; в) куба. Предположим, что длина каждого ребра равна 1 см. Какова в этом случае наименьшая длина такой проволоки?
4.41.    Внутри квадрата отмечены 9 точек (рис.
4.13). Постройте четырехзвенную ломаную, проходящую через все точки. Сколько можно еще добавить точек, чтобы перечеркнуть все точки четырехзвенной ломаной при условии, что на каждом звене ломаной лежат не более четырех точек?
5.1.    На прямой АВ имеется точка С (рис. 5.1). Какие гео
Ф метрические фигуры вы видите на этом рисунке?
5.2.    На прямой отмечены три точки М, А, К (рис. 5.2).
Сколько лучей с началами в этих точках вы можете назвать на этом рисунке?
Рис. 5.2
5.3.    Даны две точки. Сколько различных направлений задают эти точки?
5.4.    Сколько различных направлений существует на плоскости?
5.5.    Как на прямой получить две полупрямые: а) с общим началом; б) с различными начальными точками?
5.6.    Как могут быть расположены: а) два луча с общим началом; б) три луча с общим началом?
5.7.    Всегда ли два луча лежат в одной плоскости?
5.8.    Всегда ли три луча лежат в одной плоскости?
5.9.    Сколько различных направлений можно задать в пространстве? Чем определяются эти направления?
5.10.    О каких лучах можно сказать, что они: а) сонаправленные; б) противоположно направленные?
5.11.    Могут ли вершины куба задавать одинаковые направления? Сколько различных направлений задают вершины куба?
5.12.    Могут ли вершины прямоугольного параллелепипеда задавать одинаковые направления?
5.13.    На прямой MN отмечена точка О (рис. 5.3). Назовите дополнительные лучи на этом рисунке.
5.14.    На прямой CD отмечены две точки А и В (рис. 5.4). Сколько лучей с началами в точках А и В изображено на этом рисунке? Назовите их.
M    O    ^    C A B D
Рис.5.3    Рис.5.4
5.15.    Какой фигурой является пересечение лучей АК и КА?
5.16.    Какой фигурой может являться: а) пересечение двух лучей, не лежащих на одной прямой; б) объединение двух лучей, лежащих на одной прямой? 
5.17.    Начертите в тетради прямую и отметьте на ней две точки А и В, находящиеся на расстоянии 5 см друг от друга. Сколько на луче АВ находится точек, расположенных от точки А на расстоянии 3 см? Сколько на этом луче находится точек, расположенных от точки В на расстоянии 3 см? 6 см?
5.18.    Запишите в принятых обозначениях: а) точка А принадлежит лучу а; б) луч I является частью луча р; в) точка М не принадлежит лучу а.
5.19.    Сколько различных направлений задают на плоскости:
а)    две точки; б) три точки; в) четыре точки? Рассмотрите все возможные случаи расположения этих точек.
5.20.    Отметьте на прямой последовательно четыре точки А, М, Р, В. Сколько на прямой АВ получилось лучей с началом в точках А, М, Р и В? Запишите эти лучи. Какие лучи являются противоположно направленными друг другу?
5.21.    На прямой отмечены пять точек (рис. 5.5). Сколько различных лучей с началами в этих точках вы здесь видите?
A B C D E
Рис. 5.5
5.22.    Дан куб ABCDA^B^C^D^. Какие вершины этого куба задают сонаправленные лучи, т. е. определяют одно направление? Могут ли вершины куба задавать противоположные направления? Приведите примеры.
5.23.    Дана треугольная пирамида РАВС. а) Есть ли пары вершин этой пирамиды, которые задают сонаправленные лучи? б) Сколько различных лучей определяют пары вершин этой пирамиды?
5.24.    Луч света отражается от плоского зеркала АВ таким образом, что угол падения MNA равен углу отражения BNP (рис. 5.6).
Докажите, что если на плоскости имеются два взаимно перпендикулярных зеркала, то любой луч, направленный внутрь образованного этими зеркалами прямого угла (не проходящий через вершину угла), отразившись по одному разу от каждого зеркала, изменит свое направление на противоположное.
5.25.    На рисунке 5.7 изображены два луча с общим началом. Сколько при этом получилось углов? Какой фигурой является объединение и пересечение получившихся углов?
5.26.    На рисунке 5.8 изображены три луча а, Ь и с, имеющие общее начало. Сколько различных углов, образованных данными лучами, получилось? Укажите для каждой пары получившихся углов их пересечение и объединение. Объединение каких углов дает каждый угол?
5.27.    Посмотрите на треугольную пирамиду (рис. 5.9). Сколько различных углов задают лучи, которым принадлежат ребра этой пирамиды?
5.28.    У куба есть восемь вершин. Сколько различных углов определяют лучи, исходящие из этих вершин, которым принадлежат ребра куба?
5.29.    Как надо расположить два луча, чтобы образовался угол? Сколько при этом образуется углов?
5.30.    Сколько следует взять лучей с общим началом, чтобы получить: один угол? два угла? три угла?
5.31.    «Развернутым углом называется угол, стороны которого являются полупрямыми одной прямой». Объясните, почему в определении развернутого угла два последних слова обязательны?
5.32.    1. Нарисуйте угол с вершиной А. Из точки А внутри угла проведите: а) два луча; б) три луча. Сколько углов вы теперь видите на каждом рисунке?
2. Решите задачу для большего числа лучей.
5.33.    Нарисуйте: а) два угла с общей вершиной; б) два угла с общей стороной; в) два угла, стороны которых лежат на двух данных прямых; г) два угла, лежащие так, что стороны одного пересекают стороны другого; д) углы АВС и ABD; е) углы АВС и ВСМ; ж) углы КМО, OMD и DMK.
5.34.    Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. При этом условии выполните рисунок и запишите в принятых обозначениях образовавшиеся углы.
5.35.    Нарисуйте два угла так, чтобы: а) их пересечением и объединением были углы;
б)    угол получился только в пересечении;
в)    угол получился только в объединении;
г)    угол не получился ни в их пересечении, ни в их объединении.
5.36.    Покажите на рисунке 5.10 объединение и пересечение углов: а) АОВ и COD; б) АОВ и АОС.
5.37.    Какие фигуры могут получиться: а) при пересече ^ нии двух углов, отличных от развернутого; б) при объединении таких углов?
5.38.    Во внутренней области угла АОВ дана точка М. Какой фигурой является множество таких точек X, что отрезок МХ имеет общую точку хотя бы с одной стороной угла?
5.39.    На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбить плоскость угол и окружность?
5.40.    Сколько углов, равных 60°, можно отложить от данной полупрямой?
5.41.    Сколько минут содержит величина угла, равного 4°, 20°1', 22°, 36°20', 100°?
5.42.    Сколько секунд содержит величина угла, равного 1°, 10°, 10°10', 2°20"?
5.43.     Курс судна равен: а) 90°; б) 0°; в) 180°. Что означает эта информация?
5.44.    Может ли луч ОС проходить между сторонами угла Ж АОВ, если: а) Z АОС = 30°, Z СОВ = 80°, Z АОВ = 50°; б) Z АОС = 100°, z СОВ = 90°; в) А АОС < ААОВ?
5.45.    Объясните, из чего следует, что биссектриса неразвернутого угла образует с каждой его стороной острый угол.
5.46.    Луч ОВ является биссектрисой неразвернутого угла МОК. Может ли угол МОВ быть прямым или тупым?
5.47.    На рисунке 5.11 ОР — биссектриса угла КОМ, а ОМ — биссектриса угла РОА.
Будет ли угол КОР равен углу АОМ? Объясните ответ.
5.48.    Может ли человек в карманном зеркальце увидеть себя во весь рост?
5.49.    При каком условии вы можете увидеть: а) в озере отражение облака; б) в горизонтальном зеркале вертикальный предмет целиком?
5.50.    Как можно определить направление на предмет?
5.51.    Как можно понять слова: направление на предмет изменилось со 110° до 40°?
5.52.    Самолет движется значительно быстрее поезда. Почему же мы, глядя в иллюминатор, видим медленно перемещающиеся под самолетом облака?
5.53.    Самолет взлетает. Когда он разгоняется по взлетной полосе, за иллюминатором все быстрее и быстрее мелькают столбики, постройки, деревья. Вот самолет отрывается от поверхности земли — и почти сразу все эти постройки и деревья замедляют свое кажущееся перемещение. Неужели скорость самолета уменьшается?
5.54.    Между сторонами угла АОВ, равного 78°, проходит луч ОС. Найдите величину угла АОС, если АВОС = 18°.
5.55.    Между сторонами угла МОК проходит луч ОА. АМОА = 45°, а ААОК = 16°. Найдите величину угла МОК.
5.56.    Луч ОМ проходит между сторонами угла АОК. Найдите угол АОК, если: а) ААОМ = 35°, АМОК = 75°; б) ААОМ =
= 57°, АМОК = 62°; в) ААОМ = 94°,
АМОК = 85°.
5.57.    На рисунке 5.12 изображена биссектриса ОМ угла АОВ. ААОМ = 20°. Чему равна величина угла АОВ?
а) 25°36'24" + 36°24'40";    б) 48°26' + 28°36'34";
в)    48°48'48" 24°36'36";    г) 3 • 84°36';
д)    5 • 18°36'18";    е) 144°50'22" : 3.
5.62.    Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают: а) 18 ч; б) 13 ч; в) 15 ч?
5.63.    Найдите угол между часовой и минутной стрелками часов, если они показывают: а) 18 ч 15 мин; б) 9 ч; в) 9 ч 15 мин.
5.64.    Между сторонами угла АОВ, равного 60°, проходит луч ОС. Найдите углы ВОС и АОС, если: а) угол АОС на 30° больше угла ВОС; б) угол АОС в два раза больше угла ВОС;
в)    луч ОС делит угол АОВ пополам; г) градусные меры углов АОС и ВОС относятся как 2 : 3.
5.65.    Из вершины развернутого угла проведен луч, образующий с одной из его сторон угол 50°. Какой угол образует этот луч с другой стороной развернутого угла? Обоснуйте ответ.
5.66.    Из вершины развернутого угла АОА1 в одну полуплоскость проведены лучи ОВ и ОС. Чему равен угол ВОС, если: а) ZAOB = 50°, ААОС = 70°; б) ZA^B = 70°, ААОС = 70°; в) ZAOB = 60°, ZA^ОС = 30°?
5.67.    Из вершины развернутого угла АОА1 в одну полуплоскость проведены лучи ОВ и ОС. Известно, что ZAOB = 60°, zAOС = 30°. Найдите углы A1OB, А1ОС, ВОС.
5.68.    Судно движется по меридиану в направлении на юг из точки А в точку В. Определите курс судна.
5.69.    Из точки А маяк виден точно на востоке. Чему равен пеленг маяка?
5.70.    Известно, что судно движется с запада на восток по прямой АВ. Определите курс судна.
5.71.    В результате повышения давления на 1 ат  стрелка манометра отклоняется вправо, описывая угол, равный 6°. Какой угол опишет стрелка манометра при увеличении давления на 8 ат?
5.72.    Азимутом данного объекта называется угол между направлениями на север магнитной стрелки компаса и на объект. Азимуты отсчитываются от направления на север по часовой стрелке от 0 до 360°.
Например, азимут направления на маяк М — острый угол в 70°, а азимут ели Е — угол в 260° (рис. 5.13).
На рисунке 5.14 дана схематичная карта Подмосковья.
1.    Определите азимуты направлений от Москвы на: а) Клин; б) Воскресенск; в) Каширу; г) Серпухов; д) Крюково; е) Можайск.
2.    Чтобы определить по карте маршрут перехода, необходимо найти азимуты каждого из направлений этого маршрута. Сделайте это карту Подмосковья (см. рис. 5.14), для маршрутов:
а) Кубинка — Малоярославец; б) Кубинка — Волоколамск;
в) Крюково — Пушкино; г) Барыбино — Подольск.
5.73.    С помощью транспортира по рисунку 5.15 определите азимут строения В из точки М.
5.74.    На карте луч АВ изображает направление движения судна, луч АВ есть направление на маяк С (рис. 5.16).
Найдите курсовой угол судна.
5.75.    Из точки М определили пеленг маяка А, равный 75°.
Курс судна равен 140°. Определите курсовой угол.
5.76.    Из точек А и В ученик определил азимуты озера С. Азимут из точки А равен 130°, а из точки В равен 75°. Определите местоположение озера на плане, если даны точки А и В плана, лежащие на одном меридиане, причем В южнее А.
5.77.     На судне (точка М) штурман увидел маяк (точка А) и определил пеленг этого маяка. Нанесите на карту направление МА на маяк А, если пеленг маяка равен 120°. Точка М на карте дана.
5.78.    Мальчику, стоящему у мельницы (точка М), известно, что азимут школьного лагеря равен 130°, а расстояние до него 800 м. Найдите местоположение лагеря (точка А).
5.79.     Разделите величины углов 45°; 90°; 75°; 148° на три равные части.
5.80.    Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного: а) 30°; б) 52°; в) 172°?
5.81.    Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный: а) 60°; б) 75°; в) 89°.
5.82.    Докажите, что полупрямая, дополнительная к биссектрисе угла, образует с его сторонами равные углы.
5.83.     Равные тупые углы со сторонами а, Ъ и а, с соответственно отложены от полупрямой а в разные полуплоскости. Докажите, что луч а не является биссектрисой угла со сторонами Ъ и с.
5.84.    От полупрямой АВ отложены два различных угла ВАС и BAD с одной и той же градусной мерой. Пересекает ли прямую АВ отрезок CD?
5.85.    Однажды Феде понадобилось построить десять равных углов. Конечно, ему хотелось сделать это скучное задание побыстрее. Что бы вы ему посоветовали?
5.86.    Как построить на земле угол, равный данному, если у вас в руках один кусок веревки?
5.87.    Углы, которые образует биссектриса угла с его сторонами, не являются острыми. Что можно сказать о данном угле?
5.88.     Даны три луча ОА, ОВ, ОС с начальной точкой О. Известно, что ZAOB = ZAOC = ZBOC = 120°.
Ответьте на вопросы:
1.    Проходит ли какойнибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами?
2.    Может ли прямая пересекать все три данных луча? Объясните ответ.
5.89.    Нарисуйте отрезок АВ. Пусть из точки С он виден под некоторым углом АСВ. Постройте другие точки, из которых он виден под таким же углом.
5.90.    Отрезок АВ виден из точки С под некоторым углом АСВ. Нарисуйте отрезки, которые видны из точки С под тем же углом.

5.91.    На рисунке 5.17 угол СОА выделен дужкой. Назовите угол, смежный с этим углом.
5.92.    На рисунке 5.18 на прямой АВ отмечена точка О, из которой проведены два луча ОМ и ОК. Назовите пары смежных углов, которые вы видите на этом рисунке.
 

5.93.    Можно ли углы АВС и CBD (рис. 5.19) назвать смежными?
5.94.    О двух углах известно, что сум
ма их равна 180°. Можно ли утверждать, что эти углы смежные?
5.95.    Верны ли такие утверждения: а) если два угла смежные, то один из них острый, а другой тупой; б) если один из двух углов острый, а другой тупой, то они смежные?
5.96.    Могут ли два смежных угла быть: а) острыми; б) тупыми; в) прямыми?
* * *
5.97.    Даны два угла. Равны ли смежные с ними углы?
Q 5.98. Угол а, смежный с углом Р, равен 30°. Найдите угол Р.
* * *
5.99.    Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображенным на рисунке 5.20. Какими свойствами обладают смежные углы?
5.100.    Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?
5.101.    Нарисуйте луч I. Нарисуйте еще    Рис. 5.20
два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы.
5.102.    Найдите угол, смежный с углами: 30°, 45°, 90°, 15°30', 82°2'.
5.103.    Являются ли два угла смежными, если: а) их объединением является полуплоскость; б) их пересечением является луч; в) их объединением является полуплоскость, а пересечением — луч? Сделайте соответствующие рисунки.
5.104.    Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?
5.105.    Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 50°; в) один в 5 раз меньше другого; г) они равны.
5.106.    Найдите смежные углы, если градусные меры относятся как: а) 2 : 3; б) 3 : 7; в) 11 : 25; г) 22 : 23.
5.107.    Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100°? 
5.108.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 5.21). Постройте угол, смежный: а) с углом BCD? б) с углом CiCD? в) с углом B8BD. Какова градусная мера построенных углов?
5.109.    Найдите величину угла между биссектрисами смежных углов.
5.110.    Даны два неравных угла.
Докажите, что большему углу отвечает меньший смежный угол, а меньшему — больший смежный угол.
5.111.    Докажите, что если смежные углы равны, то они прямые.
5.112.    Почему при двойном складывании листа бумаги получается прямой угол?
5.113.    Докажите, что если два различных прямых угла имеют общую сторону, то они смежные.
5.114.    От полупрямой а в одну полуплоскость отложены углы (ab) и (ас). Докажите, что если угол (ab) прямой, то угол (bc) острый.
5.115.    От луча АВ в разные полуплоскости отложены углы ВАС и BAD. Пересекает ли прямую АВ отрезок CD? Почему?
5.116.    Углы (ab) и (ас) отложены от полупрямой а в одну полуплоскость, причем угол (аЪ) больше угла (ас). Докажите, что Z(bc) = Z(ab) Z(ac).
5.117.    Углы ВАС и BAD отложены от полупрямой АВ в разные полуплоскости. Докажите, что угол CAD равен сумме этих углов или дополняет ее до 360°, а именно, если сумма градусных мер данных углов не превосходит 180°, то ZСАD = = zBAC + ZBAD, а если она больше 180°, то zСАD = = 360° (ZBAC + ZBAD).
5.118.    Точки А, В и С не лежат на одной прямой и точка Р не принадлежит прямым АВ, АС и ВС. Докажите, что по крайней мере одна из прямых РА, РВ и РС пересекает соответственно отрезок ВС, АС или АВ.
5.119.    Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами обладают эти углы?
5.120.    Сколько пар вертикальных углов
,    Рис. 5.22
и сколько пар смежных углов изображено
на рисунке 5.22?
5.121.    Сколько углов, меньших 180°, получается при пересечении трех прямых, проходящих через одну точку?
5.122.    Могут ли при пересечении двух прямых образоваться равные углы? Как они называются? Сколько их?
5.123.    Могут ли вертикальные углы быть: а) прямыми; б) тупыми; в) один острым, а другой тупым?
5.124.    Верно ли утверждение, что если два угла равны, то они вертикальные? Проиллюстрируйте ответ рисунком.
5.125.    Какими (острыми, прямыми или тупыми) являются вертикальные углы, если их сумма: а) меньше 180°; б) больше 180°; в) равна 180°?
5.126.    Верно ли следующее утверждение: «Два угла с общей вершиной, объединение сторон которых есть две прямые, являются вертикальными углами»?
5.127.    Через какие вершины куба можно провести прямые, чтобы при их пересечении образовались вертикальные углы?
5.128.    Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
5.129.    С помощью транспортира найдите величины всех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых. Нужно ли измерять все углы? Сколько углов достаточно измерить, чтобы ответить на этот вопрос?
5.130.    Докажите, что если один из четырех углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, имеет величину 90°, то величины трех остальных углов также равны 90°.
5.131.    Сумма величин двух вертикальных углов равна 120°. Найдите величину каждого из них.
5.132.    Установите, верно ли следующее предложение: «Два угла, сумма которых есть развернутый угол, являются смежными углами.»
5.133.    Запишите, пересечением каких полуплоскостей, заданных на рисунке
5.23,    является: 1) каждый из вертикальных углов: а) А1 и АЗ, б) А2 и А4;
2) каждый из смежных углов: а) А1 и А2, б) Ад и А4.
5.134.    Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если один из них равен 110°.
5.135.    Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если: а) один из них на 20° больше другого; б) один из них составляет половину другого; в) сумма величин двух из них равна 100°.
5.136.    Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы.
5.137.    Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
5.138.    Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трех углов равна 270°.
5.139.    Дан угол со сторонами а и Ъ. Проведите полупрямую ai, дополнительную к полупрямой а, и полупрямую =i, дополнительную к Ъ. Чему равен угол со сторонами ai и =i? Какими являются углы со сторонами ai и =i?
5.140.    На рисунке 5.24 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов Ai +
+ А2 + A3.
5.141.     На рисунке 5.25 АЛОВ = 50°, AFOE = 70°. Найдите углы АОС, BOD, СОЕ и COD.
5.142.    Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.
5.143.    На плоскости расположены 4 прямые (рис. 5.26). Известны углы между некоторыми из них: а = 110°; Р = 60°; у = 80°.
Найдите углы между остальными парами прямых.
5.144.    Даны дополнительные полупрямые ai и 02$ От этих полупрямых в разные полуплоскости отложены углы а и Р$ Докажите, что если углы а и Р равны, то они вертикальные.
5.145.    Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
6.1.    Сколько вершин и сторон имеет треугольник?
6.2.    Сколько треугольников изображено на рисунке 6.1?
6.3.    Назовите все треугольники на рисунке 6.2.
б)
6.5.    Назовите боковые стороны и основания у равнобедренных треугольников АВС и MNK (рис. 6.4, а, б).
6.6.    Всегда ли вершины треугольника лежат в одной плоскости? Обоснуйте ваш ответ.
6.7.    Каким может быть взаимное расположение треугольника и некоторой прямой?
6.8.    Каким может быть взаимное расположение треугольника и некоторой плоскости?
6.9.    Является ли равносторонний треугольник равнобедренным? Вывод обоснуйте.
6.10.    Может ли равнобедренный треугольник быть равносторонним?
6.11.    Посмотрите на рисунок 6.5.
Можно ли утверждать, что точки А, В,
С и D обязательно лежат в одной плоскости? Проиллюстрируйте ваши выводы с помощью реальных моделей.
* * *
6.12.    Стороны треугольника равны 6, 7 и 9 см. Найдите периметр этого треугольника.
6.13.    С помощью масштабной линейки постройте три таких отрезка, которые не могут быть сторонами одного и того же треугольника.
6.14.    Известно, что длины всех сторон некоторого треугольника равны целому числу сантиметров. Две стороны этого треугольника имеют длины 4 и 7 см. Какую длину может иметь третья сторона этого треугольника?
6.15.    Одна из сторон треугольника равна 8 см, другая — 10 см. Третья сторона длиннее второй на 2 см. Найдите периметр треугольника.
6.16.    Сторона АВ треугольника АВС равна 5 см, сторона ВС вдвое больше стороны АВ, а сторона АС на 2 см меньше стороны ВС. Найдите периметр треугольника.
6.17.    В треугольнике АВС АВ + ВС = 9 см, АС + ВС = 13 см, АВ + ВС + АС = 17 см. Найдите стороны треугольника.
6.18.    Сумма первой и второй сторон треугольника равна 10 см. Сумма второй и третьей сторон равна 12 см. Сумма первой и третьей сторон равна 8 см. Найдите периметр треугольника.
6.19.    Периметр треугольника равен 36 см. Стороны треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите длины его сторон.
6.20.    Периметр треугольника равен 28 см, а одна из его сторон — 10 см. Найдите длины двух других его сторон, если их разность равна 2 см.
6.21.    Периметр треугольника АВС равен 35 см; АВ больше АС на 2 см, ВС меньше АС на 3 см. Найдите стороны треугольника.
6.22.    Периметр равнобедренного треугольника равен 10 см, а основание — 4 см. Найдите длину боковой стороны.
6.23.    Периметр равнобедренного треугольника равен 3 дм. Найдите длину каждой стороны треугольника, если одна из них равна 8 см.
6.24.    В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите длины сторон треугольника.
6.25.    Периметр равнобедренного треугольника равен 13 см. Найдите длины его сторон, если основание меньше боковой стороны на 2 см.
6.26.    Основание равнобедренного треугольника в 3 раза меньше боковой стороны, а его периметр равен 21 см. Найдите длины сторон треугольника.
6.27.    Из металлического прута нужно сделать деталь, имеющую форму равнобедренного треугольника. Одна из сторон треугольника должна иметь длину 250 см, а другая — длину 100 см. Какой должна быть длина I прута, чтобы это можно было сделать?
6.28.    Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1.
1.    Постройте сечения куба в форме равностороннего треугольника.
2.    Решите эту задачу, чтобы в сечении куба получить равнобедренные треугольники.
* * * и 6.29. Можно ли из шести спичек составить фигуру, со ^ стоящую из четырех равносторонних треугольников со стороной, равной длине спички?
6.30.    Внутри треугольника АВС взята точка М. Докажите, что длина ломаной АМВ меньше длины ломаной АСВ.
6.31.    Докажите, что расстояние между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной не больше половины суммы длин ее звеньев.
6.32.    На рисунке 6.6 изображены десять точек на сторонах и внутри равностороннего треугольника. Сосчитайте, сколько этих точек определяют треугольники с вершинами в этих точках.
6.33.    Сколько треугольников изображено на рисунке 6.7?
6.34.    Сколько треугольников изображено на рисунке 6.8, а, б?
6.35.    Сколько треугольников содержит фигура, изображенная на рисунке 6.9?
6.36.    Можно ли треугольник разбить на более мелкие треугольники так, чтобы никакие два треугольника разбиения не имели общих (полностью совпадающих) сторон?
6.37.    К треугольнику, изображенному на рисунке 6.10, пристроили равнобедренный треугольник так, что получился новый треугольник. Сколькими способами это можно сделать?
6.38.    Можно ли двумя прямыми разбить треугольник: а) на 5 треугольников; б) на 8 треугольников?
6.39.    Докажите, что сумма медиан любо
го треугольника меньше его периметра, но больше полупериметра этого треугольника.    Рис. 6.10
* * * и 6.40. На прямой а лежат 3 точки, точка В лежит вне TJ прямой. Точку В соединили отрезками с точками на прямой. Сколько треугольников получилось на чертеже? Сколько будет треугольников, если на прямой взять 4, 5, ..., п точек (п — натуральное число)?
6.41.    Можно ли расположить на плоскости несколько треугольников так, чтобы две вершины каждого из них лежали на сторонах (но не в вершинах) других треугольников?
6.42.    Каждые две из п точек (никакие три из них не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник АВС с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях АВ, ВС, СА или АС, СВ, ВА.
1.    Объясните, как расставить стрелки, чтобы не получилось ни одного ориентированного треугольника.
2.    Какое наибольшее число ориентированных треугольников возможно (для каждого п)? (Нарисуйте соответствующие примеры для п = 4, 5 и 6.)
6.43.    Сколько углов имеет треугольник?
6.44.    Назовите все стороны и углы треугольника, изображенного на рисунке 6.11.
6.45.    В треугольнике АВС (см. рис. 6.11) для каждого угла назовите противолежащую сторону и для каждой стороны назовите противолежащий угол и прилежащие углы.
6.46.    В треугольнике РКМ угол Р — прямой (рис. 6.12). Назовите: а) стороны, лежащие против углов Р, К, М; б) углы, лежащие против сторон РК, КМ, РМ; в) углы, прилежащие к сторонам РК, КМ, РМ.
6.47.    Сколько у каждого треугольника внешних углов?
6.48.    Чему равен внешний угол равностороннего треугольника?
6.49.    Может ли точка лежать вне треугольника и вне каждого из его углов?
6.50.    Может ли у прямоугольного треугольника быть: а) два прямых угла; б) два тупых угла?
6.51.    Объясните, почему механизм из трех звеньев, изображенный на рисунке 6.13, будет жестким даже в том случае, когда все три его звена соединены шарнирами.
6.52.    Величина одного из углов треугольника равна а. Какую величину может иметь один из других углов этого треугольника?
6.53.    Может ли внешний угол треугольника быть больше угла треугольника?
6.54.    Могут ли у треугольника быть два острых внешних угла? два прямых внешних угла? два тупых внешних угла?
6.55.    Сколько острых внешних углов может иметь треугольник? (При каждой вершине мы берем лишь один внешний угол.)
6.56.    На рисунке 6.14 ZBCD =
= 100°. Найдите величину угла ВСА данного треугольника.
6.57.    Нарисуйте треугольник АВС. Почему его можно считать пересечением:
а)    трех углов, отличных от развернутого?
б)    трех полуплоскостей? в) двух углов, отличных от развернутого?
6.58.    Начертите произвольный отрезок АВ.
1.    Постройте с помощью транспортира треугольник АВС, если: а) ZA = 45°, ZB = 75°; б) ZA = 30°, ZB = 60°. Измерьте угол С.
2.    Найдите, сколько различных треугольников можно построить по этим данным?
6.59.    Укажите наибольший угол треугольника АВС, если: а) а = 15 см, b = 15 см, с = 7 см; б) а = 10 см, b = 8 см, с = 8 см;
в)    а = 15 см, b = 3 см, с = 4 см.
6.60.    Укажите наибольшую сторону треугольника АВС, если: а) ZA = 45°, АВ = 67°; б) ZA = 57°, АВ = 74°; в) ZA = 80°, АВ = 68°.
6.61.    Запишите стороны треугольника АВС в порядке убывания их длин, если: а) АА = 10°, АС = 78°; б) АС = 178°, АА = 1°.
6.62.    Запишите стороны треугольника АВС в порядке возрастания их длин, если АВ = 67°, АС = 78°.
6.63.    По данным на рисунке 6.15 величинам углов треугольника АВС: а) выясните, какая из его сторон, АВ или АС, больше; б) запишите углы этого треугольника в порядке возрастания их величин.
6.64.    Дан треугольник АВС (рис. 6.16). Через середину М стороны АС к ней проведен перпендикуляр MN, точка N принадлежит стороне АВ, ZCAN = 40°, ZNCB = 30°.
1.    Вычислите периметр треугольника BCN, если АВ = а, ВС = с.
2.    Определите вид треугольника АВС.
6.65.    Докажите, что если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи их углы равны.
6.66.    Один угол равнобедренного треугольника равен 45°. Найдите остальные его углы.
6.67.    Вычислите углы равнобедренного треугольника, если угол при его основании в два раза меньше угла при вершине.
6.68.    Какие углы образуются при пересечении двух биссектрис равностороннего треугольника?
6.69.    Какие углы образуют биссектрисы двух углов треугольника, если третий угол этого треугольника равен: а) 48°; б) 126°?
6.70.    1. Какой вид имеет треугольник, если сумма двух любых углов его больше 90°?
2.    Существует ли треугольник, сумма двух любых углов которого меньше 120°?
3.    Какой вид имеет треугольник, если любой его угол меньше суммы двух остальных?
6.71.    Вычислите величины углов треугольника, если известно, что они пропорциональны числам: а) 1, 2, 3; б) 3, 7, 8; в) 1, 1, 3.
6.72.    У треугольника АВС АС = 90°. Постройте внешний угол этого треугольника при вершине С и найдите его величину.
6.73.    Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°.
6.74.    Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°. Найдите третий внешний угол.
6.75.    У треугольника один угол равен 30°, а один из внешних углов равен 40°. Найдите остальные углы треугольника.
6.76.    Внешний угол треугольника равен 160°. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если: а) они относятся как 3:5; б) один из них составляет 3/5 другого; в) один из них больше другого на 20°; г) их разность равна 40°.
6.77.    В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине А равен 150°. Найдите углы при основании.
6.78.    Чему равны внешние углы равностороннего треугольника?
6.79.    Найдите сумму внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой его вершине.
6.80.    Определите угол А треугольника АВС, если сумма внешних углов, смежных с углами В и С, в 3 раза больше угла А.
6.81.    Каким будет треугольник, если один из его углов:
а)    равен сумме двух других углов; б) больше суммы двух других углов; в) меньше суммы двух других углов?
6.82.    Какой вид имеет треугольник, если сумма двух любых углов его больше 90о?
6.83.     Два угла треугольника равны 60о и 72о. Вычислите меньшие из углов, образованных двумя прямыми, содержащими биссектрисы треугольника.
6.84.    Какой вид имеет треугольник, если один из его внешних углов: а) острый; б) равен внутреннему углу?

6.85.    Даны два равных треугольника АВС и А1В1С1.
1)    АВ = 5 см, АА = 90о. Чему равна сторона А1В1? Чему
равен угол А1?
2)    АВ = 2 см, ВС = 4 см, СА = 8 см. Найдите стороны треугольника А1В1С1;
3)     АА = 34о, АВ = 56о. Найдите угол С и углы треугольника А1В1С1;
4)     А61 = 7бо, А1В1 = 10 см, С^ = 5 см. Найдите АА, АВ, СА.
6.86.    Гранями треугольной пирамиды являются равные треугольники ОАВ и ОВС. Известно, что ОА = 4 см, АВ = 8 см, ВО = 10 см. Найдите стороны треугольника ОВС.
6.87.    Даны два равных треугольника АВС и DEM.
1.     Известно, что АВ = DE, АС = DM. Укажите углы треугольника АВС, равные углам D, E, M.
2.    Докажите, что каждая биссектриса (медиана) треугольника АВС равна некоторой биссектрисе (медиане) треугольника DEM, равного треугольнику АВС.
6.88.    Дано: ААВЕ = ADCF (рис. 6.17). Заполните пропуски:
Z6 = ZD; АВ = ... ; ZE = ... ;
АВ = ... ; АЕ = ... ; ВЕ = ... .
Рис. 6.17
6.89.    Дано: AMQP = ANQP (рис. 6.18). Перечислите шесть пар равных друг другу элементов (сторон, углов) этих двух треугольников.
6.90.    Как можно узнать, равны ли: а) два отрезка; б) два угла?
6.91.    Какие вы можете предложить способы, чтобы выяснить, что два треугольника равны?
6.92.    Определите, верны ли следующие утверждения:
1.    Треугольник, равный равнобедренному треугольнику, является равнобедренным.
2.    Треугольник, равный остроугольному треугольнику, является тупоугольным.
3.    Существуют два равных треугольника, один из которых является прямоугольным, а другой — тупоугольным.
4.    В правильной пирамиде одна грань — остроугольный треугольник, а другая — тупоугольный треугольник. 

^^7
ж)
Рис. 6.19
6.94. Для какой из фигур, изображенных на рисунке 6.20, а—з, нельзя на этом же рисунке подобрать равную ей фигуру?
6.96. Посмотрите на фигуры, изображенные на рисунке 6.22. Выпишите равные между собой фигуры.
6.97.    Ответьте на вопросы:
1.    Равна ли любая фигура самой себе?
2.    Если каждая из двух фигур равна третьей, то равны ли они между собой?
3.    Равны ли стороны квадрата?
4.    Равны ли стороны прямоугольника? 
  
 
5.    Равны ли противоположные грани куба?
6.    Равны ли две смежные грани куба?
7.    Равны ли две противоположные грани прямоугольного бруса, имеющего форму кирпича?
8.    Равны ли две смежные грани кирпича?
6.98.    Треугольники каждой из пар треугольников, изображенных на рисунке 6.23, а—з, равны. Выпишите равенства для каждой из этих пар.
6.99.    При каких условиях следующие пары фигур будут равны: а) два отрезка; б) две прямые; в) два угла; г) две окружности; д) два квадрата; е) два треугольника?
6.100.    Рассмотрите треугольник АВС. Ответьте на вопросы:
1.    Какой угол заключен между сторонами ВС и АВ?
2.    Какая сторона прилежит к углам А и В?
3.    Между какими сторонами заключен АС?
4.    К каким углам прилежит сторона ВС?
6.101.    Рассмотрите треугольник МНК. Придумайте простой метод, позволяющий, не делая чертежа, определить, какие стороны и углы заключены между какими углами и сторонами. Ответьте на вопросы:
1.    Заключен ли АН между МН и НК?
2.    Прилежит ли сторона МК к углам М и К?
3.    Какой угол заключен между МН и МК?
4.    Какая сторона прилежит к углам М и Н?
6.102.    Какие из изображенных на рисунке 6.24, а—е фигур равны?
 

6.103.    Всегда ли можно построить треугольник по трем сторонам, если известно, что одна из них меньше суммы двух других? Приведите примеры.
6.104.    На рисунке 6.25 изображена треугольная пирамида ОАВС. Ребро ОА равно ребру ОС, а ребро АВ равно ребру СВ. Докажите, что грани АОВ и СОВ равны.
6.105.    Дано: АВ = ВС, AD = DC (рис. 6.26). Докажите, что ЛABD = ACDB.
6.106.    Дана треугольная пирамида ОАВС. Грани ОАВ и ОВС равны между собой. На ребре ОВ взята точка Р и соединена с вершинами А и С (рис. 6.27). Докажите, что ЛАРВ = ЛСРВ.
6.107.    Можно ли построить треугольник, стороны которого равны: а) 3 см, 4 см, 5 см; б) 3 см, 4 см, 7 см; в) 3 см, 4 см, 8 см?
6.108.    На рисунке 6.28 АВ = ВС, AD = = CD. Докажите, что ZBАD = ZВCD, т. е. BD — биссектриса углов АВС и ADC.
6.109.    Пользуясь одной лишь линейкой, постройте треугольник, любые две стороны которого не равны. Затем постройте второй треугольник, равный первому, и опишите действия, которые вы сделали. Ответьте на вопросы:
1.    Существует лишь один способ построения второго треугольника по первому или несколько?
2.    Сколькими из шести элементов первого треугольника вы воспользовались при построении второго?
3.    Каково наименьшее число попарно равных элементов, необходимое, чтобы гарантировать равенство самих треугольников?
6.110.    Постройте треугольник RST, у которого RS = 5 см, RT = 3 см и ZR = 35°.
6.111.    Постройте треугольник АВС, у которого АВ = 4 см, ZA = 45° и ZB = 60°. Если построить несколько треугольников АВС с теми же данными, то как будут соотноситься эти треугольники?
6.112.     Постройте треугольник АВС, у которого ZA = 40°, АС = 6 см и СВ = 4 см. Затем постройте треугольник DEF, у которого ZD = 40°, DF = 6 см и FE = 4 см. Обязательно ли ААВС и ADEF равны?
6.113.     В задаче 6.111 вы1 должны1 быьли прийти к заключению, что все треугольники АВС, меры некоторых элементов (сторон, углов) которых известны, равны между собой, т. е. все соответствующие их элементы равны. В случае, когда это верно, мы будем говорить, что три данных элемента определяют треугольник. В задаче 6.112 вы должны были найти два неравных треугольника, три элемента которых имеют заданные меры. Допускает ли задача 6.110 один треугольник в качестве решения или больше? В задаче 6.112 можно ли указать такие меры углов и отрезков, которые не задавали бы ни одного треугольника?
6.114.    Постройте треугольник, определяемый каждой системой заданных ниже элементов:
а) ZM = 30°, МО = 2, ZO = 90°;
б)    ZB = 55°, АВ = 5, ВС = 3;
в)    ZG = 35°, GH = 6, HJ = 4;
г)    АВ = 5, ВС = 3, АС = 4;
д)    ZM = 80°, МО = 2, ZO = 120°;
е)    DE = 8, EF = 3, DF = 4;
ж)    DE = 4, DF = 8, ZD = 60°;
з)    = 70°, ZB = 60°, ZС = 50°.
Если заданные числа допускают два треугольника, то постройте оба. Если можно построить больше двух треугольников или нельзя построить ни одного, то объясните почему.
6.115.    В треугольной пирамиде ОАВС АВ = ОС, Z1 = Z2. Докажите, что грани ОСА и ВСА равны.
6.116.    Даны два равных треугольника АВС и А1В1С1. На сторонах АВ и А1В1 отмечены точки Р и %1 так, что АР = А1%1.
Докажите, что ААРС = АА1Р1С1.
6.117.    Дано: ВС = AD, Z1 = Z2 (рис. 6.29). Докажите, что ААВС = AADC.
6.118.    Дано: AD — биссектриса угла RAC, АВ = АС (рис. 6.30). Докажите, что AABD = ЛАОС.
6.119.    Прямая, проходящая через вершину треугольника, разбивает его на два равнобедренных треугольника. Верно ли, что данный треугольник равнобедренный?
6.120.    У треугольников АВС и АВС ZA = ZAX, АС = АС и АВ + ВС = АВ + ВС. Докажите, что AАВС = ^1В1С1.
6.121.     У треугольников АВС и АВС ZA = ^А, АС = АС и АВ ВС = АВ ВС. Докажите, что ЛАВС = ЛАВС.
6.122.     Отрезки АВ и АВ имеют общую середину О. Докажите, что: а) отрезки АА и ВВ, АВ и АВ равны;
б)    середины отрезков АА и ВВ лежат на одной прямой с точкой О.
6.123.    По преданию древнегреческий математик Фалес первым решил задачу на вычисление расстояния от берега до корабля. Для этого он измерил расстояние АВ и угол АВС (рис. 6.И), а затем, произведя на суше некоторые построения и измерения, вычислил расстояние АС. Какие построения и измерения мог провести Фалес для решения этой задачи? На чем основывалось это решение?
6.124.    На рисунке 6.32 отрезки AD и ВС пересекаются в точке Е, ВЕ = ЕС, АЕ = ED. Докажите, что AABE = ACED.
6.125.    На рисунке 6.33 BD — биссектриса ZMBN, BM = BN. Докажите, что МК = KN.
6.126.    На рисунке 6.34 ВС = AD, ZDAC = ZBCA. Что можно доказать, исходя из данных задачи?
6.127.    На рисунке 6.35 точка О является пересечением отрезков АВ и CD, АО = ОВ, СО =
= OD, АС = BD. Докажите, что ZCOD развернутый.
6.128.    На рисунке 6.36 AD = AF, DE =
= FK. Докажите, что: а) DK = EF; б) АО — биссектриса ZВAС.
6.129.    Пользуясь одной масштабной линейкой, разделите данный угол пополам.
6.130.    На рисунке 6.37 АВ = ВС, Zl = Z2.
Докажите, что AD = EC.
6.131.    Дано: АЕ = DС, DA = EC (см. рис. что Zl = Z2.
6.132.     Дано: DA = ЕС, Zl = Z2 (см. рис. 6.37). Докажите что AE = ВC. 
6.133.    На рисунке 6.38 отрезки АВ и А1В1 пересекаются в точке С, ВС = СА,
ZA = ZB. Докажите, что АСВВг = АСААг.
6.134.    На рисунке 6.39 Zl = Z2, Z3 =
= Z4. Докажите, что ZB = ZD.
6.135.    На рисунке 6.40 Zl = Z2, Z3 =
= Z4, ED — продолжение АЕ, BDC — отрезок. Что можно доказать исходя из данных этой задачи? 


6.136.    Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и гипотенузе; в) по катету и прилежащему к нему острому углу; г) по катету и противолежащему ему острому углу; д) по гипотенузе и острому углу.
6.137.    На рисунке 6.4l B"i Е AB, AAi Е AB, ВС = СА. Докажите, что ДСВВ1 = ДСАА^ Что следует из равенства этих треугольников?
6.138.    Для измерения длины озера на местности выполнили построение, показанное на рисунке 6.42 (АС Е BD, С9 = ВС). Какое расстояние нужно измерить на местности, чтобы узнать длину озера? 

6.139.    Докажите, что две высоты, проведенные из концов основания равнобедренного треугольника, равны. Верно ли аналогичное свойство для медиан и биссектрис?
6.140. Дан ДАВС. Если ДАВС = ДВАС и ДАВС = = ДАСВ, то какое заключение можно сделать относительно ДАВС? Как доказать, что ваше заключение справедливо?
6.141.    Если ДАВС = Д9ВЕ и Д9ВЕ = ДСЫК, то какое заключение можно сделать относительно ДАВС и ДСЫК? Как доказать, что ваше заключение справедливо? Сформулируйте теорему, обобщающую эту ситуацию.

6.142. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 Q и 4 см. Найдите гипотенузу этого прямоугольного      треугольника.
* * * и 6.143. Заполните пустые клетки таблицы, в которой ука УТ заны длины катетов и гипотенузы прямоугольного тре J угольника:
Катет    3 см        3 см    6,2 дм    
Катет    4 см    4 см        4,3 дм    3,1 м
Гипотенуза        5 см    5 см        7,2 м


6.144.    1. На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой 9 м, чтобы верх¬ний конец ее оказался на высоте 7 м?
2.    Лестница длиной 9 м прислонена к стене дома так, что нижний ее конец отстоит от стены на 3 м. На какой высоте находится верхний конец этой лестницы?
6.145.    Установите вид треугольника (по углам), если один из его углов: а) равен сумме двух других углов;
б)    больше ее; в) меньше ее.
6.146.    Докажите: 1) i = — ; 2) — = — ; 3) i2 = асЪс.
с    ас    Ъс    с с
6.147.    Постройте среднее пропорциональное между отрезками, длины которых: а) 2 см и 3 см; б) 15 мм и 24 мм.
6.148.     Дано: ас = 3 см, Ъс = 2 см. Вычислите с, a, b, i.
6.149.    Выразите длины проекций катетов на гипотенузу че¬рез длины катетов.
6.150.    Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 9 м и 12 м; б) 12 см и 16 см;
в)    3а и 4а.
6.151.    Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите другой катет.
6.152.    Биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении р : j. В каком отношении делит гипотенузу основание проведенной к ней высоты?
6.153.     Постройте отрезок н, если: 1) н = Jab; 2) н = 42Ъс; 3) Х = //<2=, где а, Ъ — данные отрезки.
6.154.    Сформулируйте и докажите теорему, обратную теоре¬ме Пифагора.
6.155.    1. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 6.43, а—в) а = 38 см, Ъ = 16 см. Вычислите площадь каждого из затемнен¬ных прямоугольников.
2.    В прямоугольном треугольнике АВС а = 36 см, с = 45 см. Вычислите площадь каждого из затемненных треугольников, изображенных на рисунке 6.44.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (01.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar