Тема №5326 Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 3) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа
6.156.    Стороны треугольника пропорциональны числам 13, 12 и 5. Докажите, что такой треугольник прямоугольный.
6.157.    Вычислите расстояния АС, АЕ и СЕ (рис. 6.45).
A B
Рис. 6.44    Рис. 6.45
6.158.    Из точки А, находящейся вне прямой MN, проведены к этой прямой две наклонные. Одна из них имеет длину 13 см, а ее проекция на эту прямую равна 5 см. Вычислите длину второй наклонной и ее проекцию на прямую MN, если эта наклонная составляет с прямой MN угол: 1) 30°; 2) 45°.
6.159.    Дано: а = 9 см, Ъ = 12 см. Вычислите: с, i, ас, Ъс.
6.160.    Дано: а = 12 см, с = 13 см. Вычислите: Ъ, i, ас, Ъс.
6.161.    Вычислите катеты прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки k и I. Проведите вычисления при k = 12 см и I = 5 см.
6.162.    Могут ли длины всех сторон прямоугольного треугольника выражаться четными числами? нечетными числами?
6.163.    Сколько высот имеет треугольник? Каким свойством обладают высоты треугольника?
6.164.    Сколько осей симметрии имеет равносторонний треугольник?
6.165.    Могут ли все основания высот треугольника быть расположенными на его сторонах? на продолжении сторон? Может ли только одно основание высоты быть расположено на продолжении стороны треугольника?
6.166.    Два угла треугольника равны 60° и 72°. Вычислите меньшие из углов, образованных двумя прямыми, содержащими высоты треугольника.
6.167.    Высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, отсекает от него треугольник, периметр которого равен 18 см. Вычислите длину высоты, если периметр данного равнобедренного треугольника равен: а) 24 см; б) 30 см;
в)    20 см.
6.168.    Найдите длины основания и боковой стороны равнобедренного треугольника, если известно, что две его стороны имеют длины: а) 3 см и 7 см; б) 20 см и 10 см; в) 7 см и 8 см.
6.169.    1. Постройте биссектрисы и медианы данного треугольника.
2. Постройте высоты данного треугольника: а) остроугольного; б) прямоугольного; в) тупоугольного.
6.170.    Постройте угол, осью симметрии которого является данная прямая а.
6.171.    Постройте равнобедренный треугольник, симметричный относительно данной прямой а. Как можно построить равносторонний треугольник, осью симметрии которого является эта прямая?
6.172.    Постройте равнобедренный треугольник: а) по основанию а и боковой стороне Ъ; б) по боковой стороне Ъ и высоте h, проведенной к основанию; в) по основанию а и высоте h, проведенной к основанию.
6.173.    Через внутреннюю точку данного угла проведите прямую, отсекающую от сторон этого угла равные отрезки.
6.174.    Равнобедренные треугольники АВС и ABD имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ.
6.175.    Докажите, что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, то медиана АМ треугольника не является высотой.
6.176.    Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ перпендикулярна прямой АВ.
6.177.    Докажите, что разносторонний треугольник не имеет осей симметрии.
6.178.    Докажите равенство медиан, биссектрис, высот равнобедренного треугольника, проведенных к его боковым сторонам.
6.179.    Дано: АВ = ВС, ZBAD =
= ZBCE (рис. 6.46). Докажите, что треугольник BDE — равнобедренный.
6.180.    Докажите, что если все углы треугольника равны, то этот треугольник равносторонний.
6.181.    Как можно воспользоваться шарнирным механизмом, имеющим звенья равной длины (рис. 6.47), для построения: а) биссектрисы данного угла; б) середины данного отрезка; в) центра данной окружности?
6.182.    Высоты АА8 и ВВ8 равнобедренного треугольника АВС, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
6.183.    Докажите, что в равных треугольниках равны соответственно: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты.
6.184.    Докажите, что высоты в равнобедренном треугольнике пересекаются в одной точке (аналогично докажите это утверждение для медиан и биссектрис).
6.185.    Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
6.186.    Могут ли две биссектрисы одного и того же треугольника быть взаимно перпендикулярны?
6.187.    Возьмите точку М внутри равностороннего треугольника АВС и опустите перпендикуляры МР, MQ и MR на его стороны (рис. 6.48). Оказывается, что сумма этих отрезков не зависит от выбора точки М и равна высоте треугольника. Докажите, что
АР c BQ c CR = BP c CQ + CR,
а также, что    Рис. 6.48
АР2 + BQ2 c CR2 = BP2 c CQ2 c CR2.
6.188.    Докажите, что если треугольник переходит в себя при некотором нетождественном повороте, то этот треугольник равносторонний.
7.1. На рисунке 7.1 изображен квадрат. Сколько у него сторон, углов и вершин? Чему равна величина его углов? Какие стороны квадрата равны между собой?
7.2. Дайте определение квадрата с помощью понятия: 1) «параллелограмм»; 2) «ромб»; 3) «четырехугольник».
A
Рис. 7.2 
7.3.    На рисунке 7.2 изображен прямоугольник. Сколько у него сторон, углов и вершин? Чему равна величина его углов? Какие стороны прямоугольника равны между собой?
7.4.    Является ли диагональ прямоугольника его осью
симметрии?
7.5.    Имеет ли прямоугольник центр (центры) симметрии?
7.6.    Какими симметриями обладает квадрат?
7.7.    Назовите изометрии, при которых прямоугольник переходит в себя.
7.8.    Назовите изометрии, при которых квадрат переходит в себя.
7.9.    Какими особыми свойствами обладает квадрат по сравнению с прямоугольником?
7.10.    Какие изометрии переводят сторону АВ квадрата ABCD в сторону ВС (рис. 7.3)?
7.11.    Какие изометрии переводят треугольник 1 в треугольник 2 (см. рис. 7.3), если ABCD — квадрат?
* * * ь 7.12. Диагонали АС и BD квадрата
ABCD пересекаются в точке О. Через точку О провели две прямые а и Ъ, причем а В Ъ (рис. 7.4). Укажите образ треугольника АВС при симметрии: а) относительно прямой а; б) относительно прямой Ъ; в) относительно точки О.
7.13.    Лист бумаги сложен вчетверо, как это показано на рисунке 7.5, и разрезан по
линии АВ. Определите, не разворачивая лист бумаги, какая фигура отрезана от листа. Как должна проходить линия разреза, чтобы от листа бумаги был отрезан квадрат?
7.14.    Лист бумаги сложен так, как это показано на рисунке 7.6, и разрезан по линии АВ. Какая фигура отрезана от листа бумаги? Может ли эта фигура быть: а) равнобедренным треугольником; б) правильным треугольником?
7.15.    Ответьте на вопросы предыдущей задачи для случая, когда лист согнут так, как показано на рисунке 7.7.
7.16.    Даны два равных прямоугольни
ка. Сколько существует различных изометрий, при которых один из них перехо    рис. 7.7
дит в другой?
7.17.    Укажите свойства, которыми обладает прямоугольник, но не обладает параллелограмм, не являющийся прямоугольником.
7.18.    Верно ли следующее предложение:
«Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны и равны, то этот четырехугольник является квадратом»?
7.19.    Верно ли следующее предложение:
«Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны и точкой их пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом»?
7.20.    Два равных квадрата имеют общую сторону. Назовите изометрии, которые переводят один из этих квадратов в другой.
7.21.    Постройте четырехугольник, имеющий два прямых угла, но не являющийся прямоугольником.
7.22.    Постройте четырехугольник, диагонали которого равны между собой, но он не является прямоугольником.
7.23.    Докажите следующие утверждения:
1.    Прямоугольник, у которого две смежные стороны равны, является квадратом.
2.    Четырехугольник, у которого все стороны равны и один угол прямой, является квадратом.
7.24.    Докажите, что множество всех вершин прямоугольников, имеющих общую диагональ, есть окружность, для которой эта диагональ является диаметром.
7.25.    Докажите следующие утверждения:
1.    Прямоугольник, у которого две смежные стороны равны, является квадратом.
2.    Четырехугольник, у которого все стороны равны и один из углов прямой, является квадратом.
7.26.    Какими особыми свойствами обладает квадрат по сравнению: а) с прямоугольником, не являющимся квадратом; б) с ромбом, не являющимся квадратом?
7.27.    Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна Ъ. Найдите длину диагонали.
7.28.    Постройте квадрат: а) по его стороне; б) по его диагонали.
7.29.    Два равных квадрата имеют общую вершину. Укажите такие изометрии, которыш переводят один из этих квадратов в другой.
7.30.    Докажите, что диагонали квадрата равны.
7.31.    Докажите, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
7.32.    Постройте квадрат: а) по сумме диагонали и стороны; б) по разности диагонали и стороны.
7.33.    Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточно ли такой проверки?
7.34.    Надо убедиться, что кусок материи в форме четыцрех угольника имеет форму квадрата. Для этого материю дважды перегибают сначала по одной, а потом по другой диагонали. Образующиеся треугольники оба раза точно совмещаются. Доказывает ли такая проверка, что этот кусок материи действительно имеет форму квадрата?
7.35.    Сторона квадратной шайбы равна 60 мм. Какой длины должен быть лист стали, чтобы из него можно было сделать 50 шайб? Ширина листа 300 мм.
7.36.    Заготовлены одинаковые по длине и ширине рейки в форме прямоугольников. Как обрезать концы реек под углом в 45°, не используя углоизмерительныш инструмент, чтобы1 из них можно было сложить рамку?
7.37.    Имеется 9 палочек различных длин: 1, 2, ..., 9 см. С какими сторонами и сколькими способами можно составить квадраты из этих палочек?
У к а з а н и е. Все палочки использовать не обязательно; способы составления одного и того же квадрата считаются разными, если использованы разные наборы палочек.
7.38.    Покажите на чертеже, как можно разрезать прямоугольник со сторонами 6 и 2 см на две части так, чтобы из них можно было составить прямоугольник со сторонами 3 и 4 см.
7.39.    Разрежьте квадрат на части, из которых можно составить квадратную рамку.
7.40.    Данную фигуру (рис. 7.8) разрежьте на части так, чтобы из них можно было составить квадратную рамку.
7.41.    Каждая из сторон квадрата KLMN разделена на два отрезка длиной а и b и выполнены построения, указанные на рисунке 7.9. Докажите, что площадь затемненного квадрата (рис. 7.9, а) равна сумме площадей двух затемненных квадратов (рис. 7.9, б).
7.42.    Начертите прямоугольник ABCD, точку пересечения его диагоналей обозначьте через О и отметьте точку P, принадлежащую AC, AP = 2PC. Проведите оси симметрии I и т прямоугольника, т || AB.
Ответьте на вопросы:
1.    На какие точки переходят точки A,
B, C, D, О и P при: а) осевой симметрии относительно прямой I; б) осевой симметрии относительно прямой т; в) центральной симметрии относительно точки О?
2.    Найдите образ треугольника BOC при симметрии: а) относительно прямой I; б) относительно прямой т; в) относительно точки О.
7.43.    Приведите примеры, опровергающие высказывания: а) если диагонали четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм; б) если диагонали четырехугольника равны и образуют с
двумя его параллельными сторонами соответственно равные углы, то такой четырехугольник — параллелограмм.
7.44.    Даны прямоугольник ABCD и его оси симметрии т и п, т || AB, п || BC, прямые т и п пересекаются в точке О.
В какую фигуру перейдет:
а)    отрезок AB при симметрии относительно прямой т;
б)    прямоугольник с диагональю OA и вершинами на сторонах прямоугольника ABCD (кроме вершины О) при симметрии относительно прямой т;
в)    диагональ BD при симметрии относительно прямой п;
г)    прямая т при симметрии относительно прямой п;
д)    прямая п при симметрии относительно прямой т;
е)    прямая т при центральной симметрии относительно точки О?

7.45.    В четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
7.46.    Дан отрезок АВ (рис. 7.10);
М — произвольная точка отрезка АВ.
На отрезках АМ и МВ, как на гипотенузах, по одну сторону прямой АВ построены равнобедренные прямоугольные треугольники АСМ и MDB.
1.    Укажите множества вершин С и D этих треугольников.
2.    Пусть прямые АС и BD пересекаются в точке N; докажите, что прямая MN делит отрезок CD на равные части.
3.    Найдите множество всех центров окружностей, описанных около треугольника АМС.
7.47.    Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки равной длины. Найдите периметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны прямоугольника 15 см.
7.48.    Периметр прямоугольника равен 12 см. Найдите сумму расстояний от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.
7.49.    Постройте прямоугольник: а) по двум сторонам, имеющим общую вершину; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями; г) по диагонали и сумме прилежащих сторон.
7.50.    1. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
2. Сформулируйте и докажите обратную теорему.
7.51.    Какой фигурой является множество вершин прямых углов всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой АВ?
7.52.    Как найти на прямой I такую точку С, чтобы угол АСВ был прямым (А и В — данные точки)?
7.53.    Постройте прямоугольник, все вершины которого лежат на данной окружности, причем две из них — в данных точках.
7.54.    Объясните, на чем основано устройство центроискателя, изображенного на рисунке 7.11.
7.55.    Пользуясь только чертежным
угольником: а) постройте оси симметрии двух данных точек; б) разделите данный отрезок пополам; в) удвойте данный отрезок.    Рис. 7.11
7.56.    Из вершин А и В треугольника АВС проведены высоты. Докажите, что вершины А, В и основания построенных высот принадлежат одной окружности. Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?
7.57.    Точка А лежит вне данного круга (рис. 7.12), ВС — диаметр. С помощью одной линейки постройте перпендикуляр к прямой ВС, проходящий через А.
• A
 
C

Рис. 7.12    Рис. 7.13
7.58.    1. Дан квадрат АВС9, АЕ = ВЕ = СК = DL (рис. 7.13). Докажите, что EEKL — квадрат.
2. Дан квадрат АВС9, АЕ = СЕ (рис. 7.14). Докажите, что ВЕ9Е — ромб.
7.59.    Постройте квадрат: а) по двум данным вершинам; б) по серединам двух противоположных сторон; в) по серединам двух прилежащих сторон; г) по центру и двум точкам на одной из сторон.
7.60.    Постройте квадрат по сумме длин всех его сторон и диагоналей.
7.61.    Четыре селения расположены в вершинах квадрата. Соедините их сетью дорог так, чтобы суммарная длина всех дорог была наименьшей.
7.62.    На трех сторонах треугольника вне его построены три квадрата. Как восстановить (построить) треугольник, если даны только центры этих квадратов?
7.63.    Длина одной стороны прямоугольника равна 9 см, длина другой равна 4 см. Разбейте прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
7.64.    Можно ли из квадрата размером
5 х 5 клеток (рис. 7.15) вырезать одну клетку так, чтобы получившуюся фигуру можно было разрезать по линиям клеток на 8 прямоугольных полосок размером 1 х 3 клетки?    Рис. 7.15
7.65.    Каждую из трех фигур, изображенных на рисунке 7.16, а—в, разрежьте на две части таким образом, чтобы из них можно было составить квадрат.
а)    б)    в)
Рис. 7.16
7.66.    Разрежьте «елочку» (рис.7.17) на 4 части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
АЪ.
АШШ^
АШШЬ.
АШШШШЬ.
Рис. 7.17    Рис. 7.18
7.67.    Разрежьте «квадрат с дыркой» (рис. 7.18, а) двумя прямыми таким образом, чтобы из них и второго квадрата (рис. 7.18, б) можно было сложить новый квадрат.
7.68.    Разрежьте большой квадрат (рис. 7.19, в) на 3 части так, чтобы из них и двух других квадратов (рис. 7.19, а, б) можно было сложить один квадрат.
7.69.    Диагональ квадрата со стороной 2 см служит стороной другого квадрата. Вычислите диагонали второго квадрата.
7.70.    Через вершины квадрата, проведены прямые, параллельные 
его диагоналям. Определите вид четырехугольника, образованного этими прямыми.
7.71.    Вершины четырехугольника KLMN — середины сторон четырехугольника ABCD. Докажите, что четырехугольник KLMN — параллелограмм. В каком случае четырехугольник KLMN будет: а) прямоугольником; б) ромбом, в) квадратом?
7.72.    Дан квадрат ABCD. На стороне AB взята точка K, такая, что AK = KB. Докажите, что точки D, K и C — вершины равнобедренного треугольника.
7.73.    Дан квадрат ABCD. Точки K, L, M и N — середины его сторон AB, BC, CD, AD соответственно. Докажите, что ZKLM = = ZMNK = 90°.
7.7). Дан квадрат ABCD. Точки K и M делят его стороны AB и CD так, что AK : KB = CM : MD. Докажите, что ZDKC = ZBMA.
7.75.    Через центр симметрии квадрата ABCD проведена прямая I, пересекающая сторону AB; A <$. I, B <$. I. Докажите, что сумма расстояний вершин B и C квадрата до прямой равна сумме расстояний вершин A и D до этой прямой.
7.76.    На сторонах квадрата вне его построены квадраты. Докажите, что их центры симметрии являются вершинами квадрата.
7.77.    Около прямоугольника ABCD описан четырехугольник KLMN так, что стороны этого четырехугольника проходят через вершины A, B, C и D прямоугольника, а вершины K, L, M и N лежат на осях симметрии прямоугольника. Докажите, что четырехугольник KLMN — ромб. В каком случае четырехугольник KLMN является квадратом?
7.78.    Квадраты ABCD и LBFK имеют общую вершину B (рис. 7.20). Докажите, что медиана BM треугольника ABL перпендикулярна отрезку CF.
7.79.    Внутри квадрата ABCD взята точка M так, что ZMAD = ZMDA =
= 15°. Докажите, что треугольник BCM равносторонний.
7.80.    На рисунке 7.21 ABCD — квадрат, точка Р принадлежит CD,
РР8 У CB, точка Р8 принадлежит AB, Р8Р2 У AC, точка Р2 принадлежит BC, прямые AC и BD пересекаются в точке О. Докажите, что ZP2OP = 90°.

7.81.    Прямоугольник со сторонами 4 и 9 см разрежьте на два равных многоугольника так, чтобы из них можно было составить квадрат.
7.82.    Из 8 прямоугольников размером 2 х 4 и 6 прямоугольников размером 2 х 3 Лёня сложил квадрат размером 10 х 10 (рис. 7.22). Внимательно посмотрев на получившуюся фигуру, мальчик обнаружил, что в двух случаях стороны прямоугольников образуют отрезки, соединяющие противоположные стороны квадрата. Это показалось Лёне некрасивым, и он попытался сложить квадрат из этих же прямоугольников подругому, но сделать этого не сумел. Помогите Лёне!
7.83.    Можно ли покрыть всю плоскость квадратами с длинами сторон 1, 2, 4, 8, 16 ... (рис. 7.23) без наложений, используя каждый квадрат не более: а) десяти раз; б) одного раза?
16 8
    8    
    4    2    2    8
        1 1 11    2    
    4    4    
        
16 16
Рис. 7.23


7.84.    Если разрезать квадрат, как показано на рисунке 7.24, получится популярная китайская головоломка «Танграм». Суть игры состоит в том, чтобы из 7 частей, на которые разрезан квадрат, составить различные фигуры.

 7.85. Свойства квадрата лежат в основе многих интересных задач с общим названием «Разбиение квадрата на квадраты».
1.    На рисунке 7.27 показано одно из возможных разбиений квадрата. Постарайтесь найти закономерность сложения нечетных чисел. Чему равна сумма нечетных чисел от 1 до 2п 1?
2.    Квадрат можно разбить на квадраты меньших размеров, например, средними линиями, как на рисунке 7.28. На рисунке 7.29 вы видите более сложное разбиение квадрата на меньшие квадраты с целочисленными сторонами. Найдите их размеры, если известно, что длина стороны темного квадратика равна 2. Обратите внимание на то, что не все квадраты имеют разный размер.
3.    Долгое время математики полагали, что разбить квадрат на неравные квадраты невозможно. В 1939 году было впервые построено разбиение квадрата на 55 различных квадратов. В 1940 году были найдены два способа разбиения квадрата на 28 различных квадратов, а затем — на 26 квадратов. В 1948 году было получено разбиение квадрата на 24 различных квадрата. В 1978 году квадрат был разбит на 21 различный квадрат. Разбиение квадрата на меньшее число равных квадратов уже невозможно. Попробуйте повторить достижения ученых по разбиению квадрата.
7.86.    Равносоставленные фигуры. Разрежьте плоскую геометрическую фигуру и составьте из ее частей новую. У вас не возникает сомнения в том, что площади старой и новой фигур равны? Две плоские фигуры называются равносоставленными, если каждую из них можно разбить на части, соответственно равные частям другой фигуры.
7.87.    Дан параллелограмм PQRS. Назовите: а) его стороны; б) его вершины; в) его углы. Сколько сторон, вершин и углов имеет параллелограмм?
7.88.    Дан параллелограмм ABCD. Сколько диагоналей имеет параллелограмм? Назовите их.
7.89.    Дан параллелограмм PQRS. Какие равные стороны и углы имеет этот параллелограмм?
7.90.    В параллелограмме проведена диагональ. На сколько треугольников эта диагональ разбивает параллелограмм?
7.91.    Что надо знать о четырехугольнике, чтобы утверждать, что он является параллелограммом?
7.92.    Чему равна сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне?
7.93.    Могут ли все углы параллелограмма быть: острыми? тупыми? прямыми? Может ли только один из углов параллелограмма быть прямым?
7.94.    Стороны параллелограмма равны 3 и 5 см. Может ли диагональ этого параллелограмма равняться: а) 10 см; б) 8 см; в) 4 см?
7.95.    Может ли один угол параллелограмма быть равен 40°, а другой — 50о? Ответ объясните.
7.96.    Один из углов параллелограмма равен 55°. Найдите остальные его углы.
7.97.    Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 и 4 см. Чему равны расстояния до двух других вершин? Объясните ответ.
7.98.    Сумма двух углов параллелограмма равна 100°. Вычислите углы параллелограмма.
7.99.    Разность двух углов параллелограмма равна 45°. Вычислите углы параллелограмма.
7.100.    Один угол параллелограмма в 4 раза больше второго угла. Найдите все углы параллелограмма.
7.101.    В параллелограмме ABCD ZA относится к ZB как 2 : 3. Найдите все углы параллелограмма.
7.102.    Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы в 30° и 50°. Вычислите все углы этого параллелограмма.
7.103.    В параллелограмме ABCD AB = 5 см, BC = 7 см. Найдите стороны CD, AD и периметр параллелограмма PABCD.
7.104.    Выразите сторону параллелограмма через его периметр р и другую сторону а.
7.105.    Сумма двух смежных сторон параллелограмма равна 40 см. Одна из сторон параллелограмма равна 10 см. Вычислите длину смежной с ней стороны параллелограмма и его периметр.
7.106.    Разность двух смежных сторон параллелограмма равна 10 см. Вычислите вторую из этих сторон и периметр параллелограмма, если одна из них равна: а) 6 см; б) 13 см.
7.107.    Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что ее отрезок, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
7.108.    В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах BC и AD отрезки BE = 2 м и AL = 2,8 м. Найдите стороны BC и AD.
7.109.    Периметр параллелограмма равен 60 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна из сторон параллелограмма равна 13 см; б) одна сторона параллелограмма на 4 см больше другой стороны; в) одна сторона параллелограмма в 3 раза меньше второй стороны; г) разность двух сторон параллелограмма равна 7 см.
7.110.    Периметр параллелограмма равен 48 см, а его стороны относятся как 1 : 3. Найдите стороны параллелограмма.
7.111.    Сумма двух сторон параллелограмма равна 28 см, его периметр — 58 см. Найдите стороны параллелограмма.
7.112.    Найдите углы параллелограмма, если диагональ параллелограмма равна его стороне и перпендикулярна ей.
7.113.    Один из углов параллелограмма равен 45°. Перпендикуляр, опущенный из вершины его тупого угла, равен 4 см и своим основанием делит сторону параллелограмма на два равных отрезка. Найдите углы, которые образует диагональ параллелограмма, проведенная из этой же вершины, со сторонами параллелограмма.
7.114.    В параллелограмме ABCD с острым углом A из вершины B на сторону AD опущен перпендикуляр BK. Со стороной AB он образует угол в 40°. Найдите все углы параллелограмма.
7.115.    Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. Из вершины B опущен перпендикуляр BK к прямой AD, AK = BK. Найдите ZC и ZD.
7.116.    В параллелограмме ABCD с острым углом A из вершины B на сторону AD опущен перпендикуляр BK, равный половине стороны AB. Найдите ZC и ZD.
7.117.    В параллелограмме MNPK проведена высота NE, причем ZNME в 5 раз больше ZMNE. Найдите ZMNP.
7.118.    В параллелограмме ABCD биссектриса AM ZBAD отсекает AABM с ZBAM = 25°. Найдите все углы параллелограмма.
7.119.    В параллелограмме BCEF проведен отрезок BD, отсекающий на стороне CE отрезок CD, равный стороне BC и образующий со стороной BF угол в 30°. Найдите углы параллелограмма.
7.120.    В параллелограмме ABCD DN — биссектриса ZADC. Найдите углы параллелограмма, если: a) ZDNC = 56°; б) ZBND = = 110°.
7.121.    Из вершины одного угла параллелограмма проведены биссектриса этого угла и высота. Угол между ними равен 30°. Найдите углы параллелограмма.
7.122.    Вычислите углы параллелограмма, если угол между его высотами, проведенными из одной вершины, равен 25°.
7.123.    В параллелограмме ABCD проведен отрезок BM, образующий со стороной AB угол в 60° и делящий сторону AD на два отрезка AM и AD. Найдите углы и периметр параллелограмма, если CD = 4 см, AM = 4 см, MD = 4 см.
7.124.    В параллелограмме CDEK из вершины D на сторону EK опущена высота DN; CD = 10 см, ZDEK = 30°, высота DN равна 2 см. Найдите стороны CK и EK.
7.125.    В параллелограмме MNPQ проведен перпендикуляр NH к прямой MQ, причем точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ZMNH = 30°.
7.126.    Периметр параллелограмма ABCD с ZBCD = 30° равен 56 см, а перпендикуляр BK, опущенный на сторону AD, равен 6 см. Найдите стороны параллелограмма.
7.127.    Диагональ параллелограмма делит его на два треугольника со сторонами 2, 3 и 4 см. Найдите периметр этого параллелограмма. Сколько решений имеет задача? Покажите их на чертеже.
7.128.    Параллелограмм одной из его диагоналей делится на два треугольника, периметр каждого из них 6 см. Вычислите длину этой диагонали, если периметр параллелограмма равен 7 см.
7.129.    Периметр треугольника, отсекаемого от параллелограмма его диагональю, равен 25 см, периметр параллелограмма равен 30 см. Вычислите длину этой диагонали.
7.130.    Параллелограмм, периметр которого равен 50 см, разделен диагоналями на четыре треугольника. Разность периметров двух из этих треугольников равна 5 см. Вычислите стороны параллелограмма.
7.131.    Параллелограмм разбивается диагональю на два равнобедренных треугольника; большая сторона параллелограмма  
равна а. Выразите через а высоту параллелограмма, проведенную к этой стороне.
7.132.    В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м.
7.133.    В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны соответственно 20 и 10 см и пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника COD, если AB = 13 см.
7.134.    Дан параллелограмм ABCD. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, сторона AB равна 12 см, периметр ЛCOD равен 24 см, а периметр ЛAOD равен 28 см. Найдите периметр параллелограмма.
7.135.    В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. BC = 9 см, CD = 6 см, периметр ЛAOB равен 17 см. Найдите периметр треугольника AOD.
7.136.    Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Известно, что AB = 4 см, BC = 5 см, AC = 6 см. Найдите периметр параллелограмма, три вершины которого находятся в данных точках. Сколько решений имеет задача?
7.137.    Дан равнобедренный треугольник. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные его боковым сторонам. Докажите, что периметр получившегося параллелограмма не зависит от выбора точки на основании данного треугольника.
7.138.    Биссектриса угла параллелограмма делит одну из его сторон на отрезки, длины которых а и Ъ. Выразите через а и Ъ периметр параллелограмма.
7.139.    Биссектриса одного угла параллелограмма делит пересекаемую ею сторону на отрезки в 4 и 5 см. Вычислите периметр этого параллелограмма.
7.140.    Длины сторон параллелограмма равны 3 и 5 см. На какие отрезки делит большую сторону биссектриса острого угла этого параллелограмма?
7.141.    В параллелограмме ABCD биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BK и KC. Найдите периметр параллелограмма, если известно, что AB = 4 см и BK в 2 раза меньше KC.
7.142.    Стороны параллелограмма равны 8 и 3 см; биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащие к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите каждую из них.
7.143.    Докажите, что если биссектрисы двух углов параллелограмма, противолежащих одной стороне, пересекаются, то они перпендикулярны.
7.144.    Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.
7.145.    ABCD — параллелограмм, DK = ВР. Докажите, что отрезки AC и РК делят друг друга пополам (рис. 7.33)
7.146.    Докажите, что вершины A и C параллелограмма ABCD равноудалены от прямой BD.
7.147.    В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Укажите изометрии, при которых треугольник AOB переходит в треугольник COD.

7.148.    Верно ли утверждение: «Четырехугольник является параллелограммом, если: а) две противоположные стороны его параллельны; б) диагонали точкой пересечения делятся пополам; в) сумма углов, прилежащих к одной из его сторон, равна 180°; г) две его противоположные стороны центральносимметричны; д) его диагонали равны»?
7.149.    Существует ли параллелограмм, две диагонали и сторона которого равны соответственно: а) 4 см, 10 см и 6 см; б) 8 см, 10 см и 9 см; в) 8 см, 10 см и 10 см.
7.150.    Объясните принцип действия механической рейсшины.
7.151.    Для проведения параллельных прямых штурманы используют параллельные линейки. Сделайте такие линейки, покажите, как ими пользоваться, и объясните, на чем основан принцип действия этого прибора.
7.152.    В параллелограмме ABCD отмечены точки: М — на стороне BC и К — на стороне AD, причем МК || AB. Докажите, что ABMK — параллелограмм.
7.153.    Через середины сторон параллелограмма проведены прямые, им перпендикулярные. Укажите вид четырехугольника, определяемого этими прямыми.
7.154.    Докажите, что если в четырехугольнике ABCD ZA + ZB = = ZB + ZC = 180°, то ABCD — параллелограмм.
7.155.    Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: a) ZBAC = ZACD и ZBCA = ZDAC; б) AB | CD, ZA = ZC.
7.156.    Дан параллелограмм ABCD, точка M принадлежит стороне BC, точка N принадлежит стороне CD, O — центр симметрии параллелограмма (рис. 7.34). Проведены прямые МО и NO, пересекающие прямые AD и AB соответственно в точках Р и Q. Докажите, что точки М, N, Р и Q — вершины параллелограмма.
7.157.    Докажите, что объединение данного треугольника и треугольника, ему симметричного относительно середины какойлибо его стороны, является параллелограммом.
7.158.    Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Точки A8, B8, C8 и D8 — середины отрезков AO, BO, CO, DO соответственно. Докажите, что четырехугольник A^B^C^D^ — параллелограмм.
7.159.    DEBF — параллелограмм, AE = CF. Докажите, что и ABCD — параллелограмм (рис. 7.35).
7.160.    ABCD — параллелограмм, AM = CN. Докажите, что MBND — параллелограмм (рис. 7.36).
 
Рис. 7.34    Рис. 7.35    Рис. 7.36

7.161.    ABCD — параллелограмм, AM = CN. Докажите, что MBND — параллелограмм (рис. 7.37).
7.162.    ABCD — параллелограмм, AM F BD, CN F BD. Докажите, что: 1) AM = CN; 2) BN = DM; 3) AMCN — параллелограмм (рис. 7.38).
7.163.    Вне параллелограмма ABCD с острым углом A построены равносторонние треугольники ABM, DCT. Докажите, что AMCT — параллелограмм.
7.164.    На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, Р и Q так, что
 

AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
7.165.    В четырехугольнике ABCD AD = BC, AB = DC. Отрезок MN (M принадлежит DC, N — AB, AN = CM) пересекается с отрезком AC в точке К. Докажите, что MK = KN.
7.166.    Дан параллелограмм ABCD. Через точку пересечения его диагоналей проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны AB и CD в точках Е и F соответственно, а другая — стороны BC и AD в точках G и Н. Докажите, что четырехугольник EGFH — параллелограмм.
7.167.    Постройте параллелограмм, если даны две стороны и угол между ними.
7.168.    Постройте параллелограмм, если даны сторона, диагональ и угол между ними.
7.169.    Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали.
7.170.    Постройте параллелограмм по двум сторонам в 2 и 5 см, если известно, что одна из его диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.
7.171.    Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
7.172.    Постройте параллелограмм, если даны две диагонали и угол между ними.
7.173.    Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям.
7.174.    Постройте параллелограмм по двум сторонам 3 и 5 см и высоте, равной 2 см. (Два решения.)
7.175.    Постройте параллелограмм по двум сторонам 3 и 5 см и высоте, равной 4 см.
7.176.    Постройте параллелограмм по двум сторонам 3 и 5 см и высоте, равной 6 см.
7.177.    Постройте параллелограмм по острому углу и двум высотам.
7.178.    Постройте параллелограмм по высоте и двум диагоналям.
7.179.    Постройте параллелограмм по стороне, прилежащему к ней углу и диагонали, выходящей из вершины другого угла. Сколько решений может иметь задача?
7.180.    Постройте параллелограмм, если даны две высоты, проведенные из одной вершины, и сторона.
7.181.    Постройте параллелограмм по периметру, диагонали и противолежащему ей углу. 
7.182.    Постройте параллелограмм по стороне, сумме длин диагоналей и углу между ними.
7.183.    Две доступные точки А и В разделены препятствием. Найдите расстояние между ними, пользуясь одним из признаков параллелограмма.
7.184.    Найдите расстояние между недоступными точками А и В.
7.185.    Для определения расстояния между недоступными точками А и В, расположенными на другом берегу реки (рис. 7.39), на местности провешивают произвольную прямую MN и отмечают на ней такие точки К и О, что АК A MN и ВО О MN. Разделив полученный таким образом отрезок КО пополам точкой О, провешивают через точку О прямые АО и ВО. Докажите, что полученный таким образом отрезок CD равен искомому отрезку АВ.
7.186.    Докажите, что четырехугольник, у которого диагонали в точке пересечения делятся пополам, — параллелограмм.
7.187.    Докажите, что каждый четырехугольник, имеющий центр симметрии, — параллелограмм.
7.188.    Постройте центр симметрии параллелограмма, вершины которого недоступны.
7.189.    Через внутреннюю точку угла АВС, ZАВC < 180°, проведите прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился этой точкой пополам.
7.190.    Дан шестиугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Докажите, что диагонали этого шестиугольника, соединяющие его «противоположные вершины», пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
7.191.    АВС9 — параллелограмм, АЕ = АО = СК = CN. Докажите, что Е, О, N, К — вершины параллелограмма (рис. 7.40).
7.192.    На сторонах параллелограмма ABCD отложены, как указано на рисунке 7.41, а, б равные отрезки AM, DN, CP, BQ. Докажите, что точки М, N, P и Q являются вершинами параллелограмма.
7.193.    ABCD — параллелограмм. На его сторонах AB и CD равные отрезки AE и CF, а на сторонах BC и AD — равные отрезки BG и DH. Докажите, что четырехугольник EGFH — параллелограмм.
7.194.    При пересечении биссектрис углов параллелограмма образовался четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.
7.195.    Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри параллелограмма, до прямых, на которых лежат его стороны, — величина постоянная для данного параллелограмма. Чему она равна?
7.196.    Докажите, что если каждый угол выпуклого четырехугольника равен противолежащему углу, то этот четырехугольник — параллелограмм.
7.197.    На каждой стороне одного параллелограмма лежит одна из вершин другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей у этих параллелограммов совпадают.
7.198.    1. Даны два параллелограмма. На каждой стороне одного из них лежит одна вершина другого. Докажите, что эти параллелограммы имеют общий центр симметрии.
2. Докажите, что параллелограммы ABCD и DKBL (рис. 7.42) имеют общий центр симметрии.
7.199.    На рисунке 7.43 ABCD — параллелограмм, KL — биссектриса его внешних углов с вершиной A, точка K принадле 
жит прямой ВС, a L — CD. Докажите, что треугольник KCL равнобедренный и сумма его боковых сторон равна периметру параллелограмма ABCD.
7.200.    К сторонам параллелограмма проведены серединные перпендикуляры, пересекающие противоположные стороны или их продолжения в точках K, L, М, N (рис. 7.44). Докажите, что: а) четырехугольник KLMN — параллелограмм; б) центры симметрии параллелограммов ABCD и KLMN совпадают.
7.201.    Докажите, что медиана треугольника, заключенная между его неравными сторонами, образует с меньшей из этих сторон угол больший, чем с другой стороной.
7.202.    Сколько параллелограммов образуется при пересечении: а) трех параллельных прямых другими тремя параллельными прямыми; б) четырех параллельных прямых другими четырьмя параллельными прямыми; в) п параллельных прямых другими п параллельными прямыми?
7.203.    Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько существует параллелограммов, для которых эти точки служат вершинами?
7.204.    На рисунке 7.45 изображен ромб ABCD.
1.    Назовите его равные стороны.
2.    Назовите его равные углы.
3.    Назовите его диагонали.
4.    Назовите его центры симметрии.
5.    Назовите его оси симметрии.
7.205.    Дан ромб ABCD. О — точка пересечения его диагоналей.
На какие точки переходят вершины ромба при симметрии относительно: а) прямой АС; б) прямой BD? в) точки О?
7.206.    Пусть О — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Назовите образ треугольника АВО при симметрии относительно: а) прямой АС; б) прямой BD? в) точки О.
*    * * и 7.207. Какие определения можно дать ромбу?
ф 7.208. Существуют ли изометрии, переводящие ромб в себя?
7.209.    Может ли длина стороны ромба равняться половине длины его диагонали?
7.210.    Может ли диагональ ромба быть: а) перпендикулярна его стороне; б) равна его стороне?
7.211.    Существует ли точка, равноудаленная: а) от всех вершин ромба; б) от всех сторон ромба?
7.212.    В каждом случае выберите тот ответ, при котором утверждение становится верным.
1.    Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то этот четырехугольник есть: а) ромб; б) квадрат; в) параллелограмм; г) прямоугольник.
2.    Фигура, получающаяся при соединении середины смежных сторон произвольного четырехугольника, — это: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб; г) ни первое, ни второе, ни третье.
3.    Биссектрисы противоположных углов параллелограмма, не являющегося ромбом: а) параллельны; б) лежат на одной прямой; в) перпендикулярны.
7.213.    Приведите примеры, опровергающие высказывания:
а)    если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то такой четырехугольник — ромб;
б)    если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны и равны, то такой четырехугольник — ромб.
7.214.    Какое условие должно быть добавлено к условию а) задачи 7.213, чтобы четырехугольник был ромбом?
7.215.    Как проверить, является ли вырезанный из картона четырехугольник ромбом?
7.216.    Швея вырезала из материи четырехугольник, который должен быть ромбом. Как проверить правильность изготовления выкройки (не пользуясь никакими инструментами)?
•    • • h 7.217. Сторона ромба равна 4 см. Вычислите периметр Q ромба.
* * * ь 7.218. Вычислите периметр ромба, один из углов которого равен 60°, а длина меньшей диагонали 8 см.
7.219.    Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.
7.220.    Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если ZMNP = 80°.
7.221.    Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой ZKBM.
7.222.    Сторона ромба ABCD равна 2 см,        7 с
ZD = 120° (рис. 7.46). Найдите расстояния AM, MD, BD. Докажите, что треугольник MBN равносторонний.
7.223.    Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.
7.224.    Периметр ромба равен 16 см, расстояние между противолежащими сторонами 2 см. Найдите углы ромба.
7.225.    Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.
7.226.    Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.
7.227.    Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся 4 : 5. Найдите углы ромба.
7.228.    Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
7.229.    Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, есть ромб.
7.230.    Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
7.231.    Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
7.232.    Докажите, что четырехугольник ABCD, для которого прямые AC и BD являются осями симметрии, — ромб.
7.233.    Докажите, что если каждая диагональ четырехугольника делит пополам два его угла, то этот четырехугольник является ромбом.
7.234.    Верно ли следующее утверждение: «Если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то этот четырехугольник — квадрат»?
7.235.    Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
7.236.    Как проверить, является ли вырезанный из картона четырехугольник ромбом?
7.237.    Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.
7.238.    Точки М8, М2, М3, М4 — середины сторон ромба ABCD (рис. 7.47). Докажите, что четырехугольник М1М2М.3М4 есть прямоугольник.
7.239.    Пусть в ромбе ABCD (см. рис.
7.47) точки М8, М2, М3, М4 — середины его сторон. Докажите, что точки B и D лежат на одной прямой с серединами отрезков: а) МХМ2 и М3М4; б) МхМз и М2МА.
7.240.    В параллелограмме ABCD (AD > AB) биссектрисы углов A и B пересекают стороны параллелограмма BC и AD в точках К и L соответственно. Докажите, что четырехугольник ABKL — ромб.
7.241.    В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону BC и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите угол ANB, если ZAМC = 120°.
7.242.    Докажите, что почтовый конверт (стандартный) склеивается из листа бумаги, имеющего форму ромба (припуски на склеивание не учитывать).
7.243.    Постройте ромб: а) по стороне и диагонали; б) по диагоналям; в) по стороне и углу; г) по диагонали и углу.
7.244.    Постройте ромб, если заданы точка пересечения его диагоналей и две соседние вершины.
7.245.    Постройте ромб, если заданы точка пересечения его диагоналей и середины двух смежных сторон.
7.246.    Постройте ромб: а) по стороне и диагонали; б) по диагоналям; в) по стороне и углу; г) по диагонали и углу; д) по диагонали и высоте.
7.247.    Через три данные точки проведите параллельные прямые так, чтобы две из них были одинаково удалены от третьей. Как должны быть расположены эти точки, чтобы задача имела решение? Сколько различных решений может иметь задача?
7.248.    Вычислите углы ромба, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит противоположную сторону на равные отрезки.
7.249.    Докажите, что перпендикуляры, проведенные через середины сторон ромба к этим сторонам, пересекаются в одной точке или образуют ромб. Каково взаимное расположение осей симметрии этих ромбов?
7.250.    Из одинаковых дощечек формы ромба выкладывают паркет (рис. 7.48), начиная от центра О зала. Возможно ли продолжить дальнейшую укладку паркета такими же дощечками? Если возможно, то укажите углы ромбов и наметьте варианты дальнейшей укладки.
7.251.    С помощью одной двусторонней ли рИс. 7.48 нейки (т. е. линейки с двумя параллельными
краями) постройте: а) ось симметрии двух данных точек А и В (ширина линейки меньше АВ); б) биссектрису угла; в) прямую, перпендикулярную данной прямой.
7.252.    В равнобедренном треугольнике АВС отмечены середины боковых сторон М и К и их проекции на основание Mj и Kj. Через отмеченные точки проведены две прямые МК^ и КМ^ (рис. 7.49). Покажите, как из полученных частей S, 2, 3 и 4 можно сложить ромб.
7.253.    В ромбе АВС9 угол А равен 60°. Докажите, что если один из углов треугольника BMN (рис. 7.50) равен 60°, то и остальные его углы тоже равны по 60°.
7.254.    Разрежьте прямоугольник по прямой, проходящей через его центр так, чтобы из полученных двух кусков можно было составить ромб.
7.255.    Пол в комнате, имеющий форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками в форме ромба со стороной 1 и острым углом 60°. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим (рис. 7.51). Докажите, что из любого расположения плиток такими операциями можно получить любое другое.
7.256.    Сколько у трапеции параллельных сторон?
7.257.    Чему равна сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне?
7.258.    Чему равна сумма всех углов трапеции?
7.259.    Сколько диагоналей имеет трапеция?
7.260.    Могут ли у трапеции быть: а) три прямых угла;
б)    три острых угла?
7.261.    Могут ли у трапеции быть равны: а) две стороны; б) три стороны; в) четыре стороны?
7.262.    Могут ли у трапеции быть равными диагонали?
7.263.    Являются ли следующие утверждения признаком то¬го, что данный четырехугольник: трапеция? параллелограмм? прямоугольник? ромб? квадрат? (Каждую из этих возможнос¬тей рассмотрите отдельно.)
1.    Все четыре стороны равны.
2.    Две его стороны параллельны.
3.    Две его стороны равны.
4.    Его диагонали делят друг друга пополам.
5.    Его диагонали равны и делят друг друга пополам.
6.    Все его углы равны.
7.    Его диагонали равны и перпендикулярны.
8.    Все его стороны равны и все углы равны.
9.    Каждые два его противоположных угла равны.
10.    Каждая диагональ делит пополам два его угла.
• • • и 7.264. Углы при одном основании трапеции равны 68° Л* и 74°. Вычислите остальные углы трапеции.
* * * и 7.265. Диагональ BD трапеции ABCD перпендикулярна Л/ стороне AB, ZBAD = 40°. Вычислите остальные углы трапеции, если меньшее основание трапеции равно дру¬гой боковой стороне.
7.266.    Могут ли величины углов трапеции, взятые в после-довательном порядке, относиться как числа: а) 6, 3, 4, 2; б) 8, 7, 13, 12?
7.267.    Докажите, что в трапеции: а) не может быть трех пря¬мых углов; б) сумма трех углов не может равняться 180°.
7.268.    Докажите следующие утверждения:
1.    Сумма боковых сторон трапеции больше разности осно-ваний.
2.    Сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований.
3.    Разность оснований больше разности боковых сторон.
4.    Диагонали трапеции точкой их пересечения не делятся пополам.
7.269.    В трапеции ABCD меньшее основание BC равно 4 см. Через вершину B проведена прямая, параллельная стороне CD. Периметр образовавшегося треугольника равен 12 см. Найдите периметр трапеции.
7.270.    Докажите, что если обе непараллельные стороны трапеции равны одной из параллельных сторон, то диаго¬нали этой трапеции делят пополам углы при другой па¬раллельной стороне.
7.271.    Докажите, что в равнобедренной трапеции равны: а) ди-агонали; б) углы при основании.
7.272.    Диагонали равнобедренной трапеции ABCD {AD || BC) пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники ABO и CDO равны.
7.273.    Докажите, что трапеция равнобедренная: а) если уг¬лы при ее основании равны; б) если ее диагонали равны.
7.274.    Докажите, что у равнобедренной трапеции сумма противолежащих углов равна 180°.
7.275.    Докажите, что середины сторон равнобедренной тра-пеции являются вершинами ромба.
7.276.    Высота, проведенная из вершины тупого угла равно-бедренной трапеции, делит большее основание на части, имею¬щие длины 5 и 2 см. Вычислите среднюю линию этой трапеции.
7.277.    Докажите, что перпендикуляр, проведенный к осно-ванию равнобедренной трапеции через его середину, является осью симметрии этой трапеции.
7.278.    Меньшее основание трапеции имеет длину 6,2 см, расстояние между серединами диагоналей равно 4 см. Найдите длину большего основания.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (01.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar