Тема №5327 Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 4) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа
7.279.    Длина средней линии трапеции равна 10 см. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность длин которых равна 2 см. Вычислите длины оснований этой трапеции.
7.280.    Длины оснований трапеции равны 4 и 10 см. Найдите длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
7.281.    Докажите, что средняя линия трапеции делит пополам обе ее диагонали.
7.282.    ABCD — трапеция, у которой АВ || CD, а EF — средняя линия (рис. 7.52).
Найдите:
а)    если АВ = 12, DC = 7, то EF = ... ;
б)    если АВ = 14, DC = 14, то EF = ... ;
в)    если DC = 6, EF = 14, то АВ = ... ;
г)    если АВ = 27, EF = 18, то DC = ... .
7.283.    Дан четырехугольник. Середины его сторон последовательно соединены отрезками. Определите вид полученного четырехугольника, если данный четырехугольник: а) не трапеция и не параллелограмм; б) трапеция; в) параллелограмм (отличный от ромба и прямоугольника); г) прямоугольник (отличный от квадрата); д) ромб (отличный от квадрата); е) квадрат.
7.284.    Постройте трапецию ABCD (АВ || ВC) по следующим элементам: а) AD = 12 см, АВ = 6 см, CD = 8 см, ZA = 35°; б) AD = 10 см, АВ = 5 см, CD = 6 см, BD = 8 см; в) А_0 = 12 см, BC = 2,8 см, ZD = 35°, ZA = 40°; г) А_0 = <, BC = Ь, AC = >, АВ = ?.
7.285.    Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
7.286.    Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
7.287.    Постройте равнобедренную трапецию ABCD (AD || BC) по следующим элементам: 1) AD, AB, ZA; 2) AD, ВС, AC; 3) AD, AB, AC; 4) AD, AC и высоте i.
7.288.    Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения продолжений боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.
7.289.    В трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 4 см. Через вершину В проведена прямая, параллельная стороне CD. Периметр образовавшегося треугольника равен 12 см. Вычислите периметр трапеции.
7.290.    В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 24 см, а сумма оснований равна 44 см. Вычислите длины оснований трапеции.
7.291.    Вычислите периметр равнобедренной трапеции, если известно, что один из ее углов равен 60°, а основания равны 15 и 49 см.
7.292.    В трапеции боковые стороны равны меньшему основанию, диагональ составляет с основанием угол 30°. Вычислите углы трапеции.
7.293.    Концы отрезка, расположенного по одну сторону прямой, удалены от нее на 8 и 15 см. На каком расстоянии от прямой находится середина этого отрезка?
7.294.    В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам. Периметр трапеции равен 132 см, а основания относятся как 2 : 5. Вычислите длину средней линии трапеции.
7.295.    В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1 : 8. Вычислите меньшую боковую сторону трапеции.
7.296.    Основания трапеции равны а и =, сумма углов при основании а равна 90°. Вычислите длину отрезка, соединяющего середины оснований.
7.297.    Основания трапеции равны а и =. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей этой трапеции.
7.298.    Докажите, что если отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник — трапеция (или параллелограмм).
7.299.    Основания трапеции равны а и =. Отрезок длиной >, параллельный основаниям, имеет концы на боковых сторонах этой трапеции. В каком отношении этот отрезок делит боковые стороны трапеции (а < > < =)?
7.300.    Построить трапецию по боковым сторонам, углу между ними, а также углу между ее диагоналями.
7.301.    В трапеции ABCD с основаниями 69 и ВС равны углы ABD и ACD. Докажите, что эта трапеция равнобедренная.
7.302.    Докажите, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолжений ее боковых сторон, делит пополам основания трапеции.
7.303.    На плоскости даны две параллельные прямые и точка A. С помощью одной линейки проведите через точку A прямую, параллельную данным.
7.304.    На основании ВС трапеции ABCD взята точка К так, что ВК = ЛВС. Пусть Р — точка пересечения прямых AB и CD, М — точка пересечения AK и BD. Прямая РМ пересекает ВС в
Используя этот результат, покажите, как с помощью одной линейки разделить данный отрезок на п равных частей, если дана прямая, параллельная этому отрезку.
7.305.    Основания трапеции равны а и Ъ. Прямая, параллельная основаниям, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найдите длину отрезка этой прямой внутри трапеции.
7.306.    Разрежьте квадрат на непрямоугольные трапеции.
7.307.    В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно диагонали AC. Известно, что ZCAD = ZCDМ, где М — середина ВС. Найдите углы трапеции.
7.308.    Дана трапеция ABCD (рис. 7.53); AB || CD, К — точка пересечения биссектрис внешних углов A и D трапеции, L — точка пересечения биссектрис внешних углов В и С трапеции. Вычислите периметр трапеции ABCD, если KL = 25 см.
7.309.    Если биссектрисы углов при одном основании трапеции пересекаются на втором ее основании, то длина второго основания равна сумме длин
боковых сторон трапеции. Докажите.
7.310.    Докажите, что длина от
резка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности длин ее оснований.
7.311.    По одну сторону отрезка AB длины а построены два квадрата AMNP и MBKL, точка М принадлежит отрезку АВ (рис. 7.54). Какой фигурой является множество середин (точка 9) всех отрезков, соединяющих центры квадратов AMNP и MBKL?
7.312.    В трапеции ABCD каждое из оснований AD и BC продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов А и В трапеции пересекаются в точке K, а внешних углов C и D — в точке Е. Найдите периметр трапеции, если КЕ = 2а.
7.313.    Найдите величину угла между боковыми сторонами трапеции, если длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна полуразности их длин.
7.314.    В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям, диагонали взаимно перпендикулярны и
\. Найдите отношение BD
AC
7.315.    Длины оснований трапеции равны а и =. Через точку пересечения ее диагоналей проведена прямая параллельно основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции.
7.316.    Диагонали трапеции с основаниями а и = взаимно перпендикулярны. Какие значения может принимать высота трапеции?
7.317.    Основания равнобедренной трапеции — 4 и 8 см, ее площадь — 21 см2. Какую сторону пересекает биссектриса угла при большем основании: меньшее основание или боковую сторону трапеции?
7.318.    Как разрезать трапецию: 1) на две части, чтобы из них можно было сложить параллелограмм; 2) на две части, чтобы из них можно было сложить треугольник; 3) на три части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник?
7.319.    Периметр четырехугольника ABCD равен 10, его стороны AB и CD параллельны. Найдите длины всех сторон четырехугольника, если известно, что биссектрисы углов A и B четырехугольника делят сторону BD на три равные части, а биссектрисы углов C и D делят сторону AB на три равные части.
8.1.    Назовите известные вам многоугольники.
8.2.    Сколько диагоналей можно провести из одной вершины: а) четырехугольника; б) пятиугольника; в) шес
тиугольника; г) яугольника?
8.3.    Сколько диагоналей имеет: а) четырехугольник; б) пятиугольник; в) шестиугольник; г) яугольник?
8.4.    Принадлежат ли точки D и К и точки Е и Т одной и той же (внутренней или внешней) области многоугольника (рис. 8.1, а—в)?
8.5.    Какие из фигур, изображенных на рисунке 8.2, а—д, являются многоугольниками?
8.6.    Какие из фигур, изображенных на рисунке 8.3, а—з, являются шестиугольниками? Какие из них являются выпуклыми шестиугольниками?
8.7.    Объясните, почему фигура на рисунке 8.4 не является выпуклым многоугольником.
8.8.    Является ли выпуклой фигурой треугольник?
8.9.    Является ли выпуклой фигурой четырехугольник?
8.10.    Всякий ли многоугольник имеет диагонали?
8.11.    Верно ли, что любой многоугольник содержит все свои диагонали?
8.12.    Сколько вершин может иметь многоугольник, если он является пересечением:
а)    двух углов; б) двух треугольников?
8.13.    Какие из следующих фигур — выпуклые: а) угол; б) прямая; в) луч; г) отрезок;
д)    полуплоскость; е) плоскость; ж) треугольник; з) четырехугольник?
8.14.    а) Сколько треугольников изображено на рисунке 8.5?
б)    Назовите несколько многоугольников, изображенных на рисунке 8.6.
8.15.    Какая фигура является объединением: а) треугольников ABC и ACD; б) треугольников AED и ACD; в) пятиугольника ABCDE и треугольника АВС; г) четырехугольников ABCD и ACDE (рис. 8.7)?
8.16.    Какая фигура является пересечением: а) треугольников ABC и ADC; б) треугольников ABC и ADE; в) пятиугольников ABCDE и треугольника ACD; г) четырехугольников ABCD и ACDE; д) треугольника ABC и отрезка CD (см. рис. 8.7)?
8.17.    На сколько треугольников разбивается: а) пятиугольник диагоналями, проведенными из одной его вершины; б) яугольник диагоналями, проведенными из одной его вершины?
* * * и 8.18. Начертите: четырехугольник, пяти    •
^ угольник. Выполните необходимые измерения и вычислите периметры построен • ных многоугольников.
8.19.    Начертите выпуклый и невыпуклый многоугольники. Объясните, чем они отличают
Рис. 8.8
ся друг от друга.
8.20.    Соедините отрезками точки, указанные на рисунке 8.8 так, чтобы в результате получился многоугольник.
8.21.    Задана замкнутая ломаная ABCDEF (рис. 8.9, а, б). Проведите какуюнибудь ломаную, концы которой находятся в точках М и C, не пересекающую ломаную ABCDEF.
8.22.    Внутри многоугольника, все стороны которого равны, взята точка М. Докажите, что сумма расстояний от точки М до прямых, на которых лежат стороны многоугольника, есть величина постоянная, не зависящая от положения точки М.
8.23.    Постройте четырехугольник, если даны его стороны а, Ъ, >, d и диагональ I.
8.24.    Постройте четырехугольник, если даны его диагонали т и п, угол а между ними и сторона а, лежащая против этого угла.
8.25.    Существует ли многоугольник, число диагоналей которого: а) в два раза больше числа сторон; б) в два раза меньше числа сторон; в) в три раза меньше числа сторон?
8.26.    Какой вид имеет четырехугольник, если проекции его сторон на каждую из диагоналей равны?
8.27.    Пользуясь данными, указанными на рисунках 8.10, а—в (равные отрезки отмечены одинаковым числом черточек, параллельные прямые — одинаково направленными стрелками), докажите, что: 1) ^ =   (рис. 8.10, а); 2) ^    ^ = 1
гС 2    лг    гС
(рис. 8.10, б); 3)    = 1 (рис. 8.10, в).
СВ 3
8.28.    То, что граница многоугольника (замкнутая ломаная) разбивает точки плоскости на два множества, называемые внутренностью и внешностью многоугольника, кажется довольно очевидным фактом.
Этот факт можно доказать, но доказательство его является весьма трудным. Покажите, что эта теорема играет существенную роль в решении следующей популярной головоломки. Каждый из трех домов 6, В и С нужно соединить с магазинами К, М, Е (рис. 8.11). Предлагается провести пути, ведущие из каждого дома к каждому магазину так, чтобы никакие два из этих путей не пересекались. (Разумеется, все пути должны лежать в одной плоскости.)
8.29.    Никакие два из отрезков, образующих фигуру (рис. 8.12), не имеют общих точек, не являющихся их концами, и никакие два отрезка, имеющие общий конец, не лежат на одной прямой. Тем не менее эта фигура не является многоугольником. Почему? 
8.30.    Сколько треугольников изображено на рисунке 8.13, а—в?
8.31.    На рисунке 8.14, а—в указаны длины стержней, соединенных шарнирами.
8.35.    Одним и тем же способом можно разделить: четырехугольник на 4 треугольника, пятиугольник — на 5 треугольников и вообще любой пугольник на п треугольников. Что это за способ?
8.36.    Покажите на рисунках у себя в тетради, что объединение двух выпуклых фигур может быть как выпуклой фигурой, так и невыпуклой.
8.37.    Докажите, что пересечение двух выпуклых фигур есть фигура выпуклая.
8.38.    Докажите, что в многоугольнике длина любой его диагонали не больше половины периметра многоугольника.
8.39.    Вырежьте из картона квадрат и разрежьте его на три части, как показано на рисунке 8.15. Сложите из полученных трех частей, прикладывая их друг к другу, различные фигуры.
8.40.    Вырежьте из картона квадрат и разрежьте его на три треугольника, как показано на рисунке 8.16, а. Сложите из полученных трех треугольников, прикладывая их друг к другу, фигуры, показанные на рисунке 8.16, б. Придумайте еще фигуры, которые можно сложить из этих трех треугольников.
8.41.    На рисунке 8.17 изображен A
Ф многоугольник ABCDEF. Ответьте на вопросы:    C
1.    Сколько внутренних углов имеет этот многоугольник?
2.    Сколько сторон имеет этот многоугольник?
3.    Какой вывод можно сделать из рассмотренных пунктов а) и б)?
4.    Что можно сказать о величине каждого угла многоугольника?
8.42.    Сколько у каждого угла многоугольника внешних
углов?
8.43.    Чему равен внешний угол: а) квадрата; б) прямоугольника; в) правильного пятиугольника?
8.44.    Может ли внутренний угол многоугольника иметь величину 120о?
8.45.    Может ли внутренний угол невыпуклого многоугольника иметь величину 120о?
8.46.    Назовите углы каждого изображенного многоугольника (рис. 8.18, а, б).
8.47.    Какое наибольшее число острых углов может быть у многоугольника?
8.48.    На рисунке 8.19 изображен пятиугольник ABCDE, ZCDE = 95о. Найдите величину угла CDM.
8.49.    Сколько сторон имеет многоугольник, если каждый угол этого многоугольника равен: 1) 144о; 2) 150о; 3) 1700; 4) 171о?
8.50.    Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его углов равна: 1) 10800; 2) 16200; 3) 39600; 4) 18000; 5) 41400?
8.51.    Может ли сумма углов многоугольников быть равной: 1) 9180°; 2) 3600°; 3) 2040°; 4) lid; 5) 18d?
8.52.    Найдите сумму градусных мер внешних углов: а) пятиугольника; б) шестиугольника.
8.53.    Докажите, что не существует многоугольника, у которого: а) больше четырех прямых внешних углов; б) больше трех тупых внешних углов.
8.54.    Существует ли такой многоугольник, у которого сумма внутренних углов равна: 1) 540°; 2) 1800°; 3) 1080°; 4) 2000°?
8.55.    Существует ли многоугольник с равными углами, у которого один угол равен: 1) 120°; 2) 108°; 3) 80°?
8.56.    Все углы яугольника равны между собой. Найдите величины этих углов, если число сторон равно: а) 3; б) 5; в) 10; г) 12.
8.57.    Вычислите сумму величин углов пятиугольника; шестиугольника.
8.58.    Найдите сумму величин всех углов восьмиугольника; десятиугольника; двенадцатиугольника; пятнадцатиугольника; двадцатиугольника.
8.59.    Вычислите сумму всех внутренних углов: а) невыпуклого четырехугольника; б) невыпуклого пятиугольника.
8.60.    Каково наибольшее число острых углов у многоугольника?
8.61.    Докажите, что в четырехугольнике биссектрисы двух углов, прилежащих к одной стороне, образуют угол, величина которого равна полусумме величин двух других углов.
8.62.    Докажите, что в четырехугольнике биссектрисы двух противоположных углов образуют углы, один из которых составляет с полуразностью двух других углов угол, равный 180°.
8.63.    Многоугольник ABCDE (рис. 8.20) симметричен относительно прямой I, проходящей через вершину C, ZA = 70°,
ZC = 140°. Вычислите величину угла B.
8.64.    Многоугольник KLMNPQ симметричен относительно прямой KN. Вычислите величины его внутренних углов M, P и Q, если ZMNP = 60°, ZLKQ =
= ZKLM = 120° (рис. 8.21). 
8.65.    Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма всех его внутренних углов с одним из внешних равна 2250°?
8.66.    Вычислите число сторон многоугольника, у которого равны все его внутренние углы, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°.
8.67. На рисунке 8.22 изображен правильный пятиугольник. Каким свойством обладают стороны и углы этого многоугольника?
8.68. Дан правильный пятиугольник ABCDE. В какие фигуры перейдут при повороте на 72° по часовой стрелке относительно его центра О: а) вершина C; б) вершина A; в) диагональ AC; г) треугольник ACO; д) треугольник ABC?
***h 8.69. Что надо знать о сторонах и углах многоугольника, чтобы утверждать, что он правильный?
8.70.    Сколько сторон и углов может иметь правильный многоугольник? Обоснуйте ваш вывод.
8.71.    Каждый ли многоугольник, все стороны которого равны и все углы которого прямые, является квадратом?
8.72.    Какой четырехугольник (если он существует) является: а) равносторонним, но не правильным; б) равноугольным, но не правильным?
8.73.    Сторона правильного пятиугольника равна 2 см.
Q Чему равен периметр этого пятиугольника?
8.74.    1. Вычислите углы правильного пугольника (п = у =3, 4, 5, 6, 8, 10, 12).
2. Вычислите внешние углы правильного пугольника (п = = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12).
8.75.    Найдите число сторон правильного многоугольника, если: 1) его угол равен: а) 135°; б) 150°; в) 140°; 2) его внешний угол равен: а) 36°; б) 24°; в) 60°.
8.76.    Докажите, что центральный угол правильного многоугольника равен его внешнему углу. (Центральный угол правильного многоугольника — это угол с вершиной в его центре и со сторонами, проходящими через две смежные вершины.)
8.77.    Постройте правильный яугольник по его стороне (я = 5, 6, 8).
8.78.    Определите величину каждого угла правильного многоугольника: а) с пятью сторонами; б) с девятью сторонами; в) с двенадцатью сторонами; г) с пятнадцатью сторонами; д) с семнадцатью сторонами; е) с двадцатью четырьмя сторонами.
8.79.    Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если величина одного из его углов равна: а) 128°? б) 140°? в) 144°?
г)    160°?
8.80.    Нарисуйте многоугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, но не являющийся правильным.
8.81.    При каких изометриях переходит в себя: а) правильный пятиугольник; б) правильный шестиугольник?
8.82.    1. Сколько осей симметрии имеет правильный яуголь ник?
2.    Сколько существует поворотов, переносящих в себя правильный яугольник?
3.    Каждый ли правильный многоугольник имеет центр симметрии?
8.83.    Вычислите диагонали правильного пятиугольника со стороной а.
8.84.    Докажите, что в правильном шестиугольнике имеются: а) три пары параллельных диагоналей и три диагонали, им перпендикулярные; б) две тройки диагоналей, являющихся сторонами правильного треугольника.
8.85.    Докажите, что диагонали правильного пятиугольника при взаимном пересечении образуют правильный пятиугольник.
8.86.    1. Правильный шестиугольник можно получить из двух бумажных лент одинаковой ширины, как это показано на рисунке 8.23. Докажите, что этот шестиугольник правильный.
2. Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом, как показано на рисунке 8.24. Покажите, что этот узел имеет форму правильного пятиугольника.
8.87.    На рисунке 8.25 изображен правильный звездчатый пятиугольник с острым углом 60°.
1.    Как нужно сложить лист бумаги и как должна быть расположена линия разреза, чтобы получить такую фигуру?
2.    Как должна проходить линия разреза, чтобы вырезанный пятиугольник оказался бы правильным?
8.88.    1. Стороны правильного треугольника продолжены, как указано на рисунке 8.26, AAi = BBi = CCi. Докажите, что точки Ai, Bi, Ci — вершины правильного треугольника.
2. Стороны правильного шестиугольника продолжены, как показано на рисунке 8.27, на одно и то же расстояние. Докажите, что Ai, Bi, Ci, 9i, _i, Li — вершины правильного шестиугольника.
8.89.    Докажите, что пятиугольник правильный, если равны все его стороны и три последовательных угла. 
8.90.    1. На сторонах правильного шестиугольника ABCDEF, вне его, построены квадраты (рис. 8.28). Докажите, что треугольник BBiB2 правильный.
2. На каждой стороне правильного шестиугольника ABCDEF, вне его, построены квадраты и их вершины соединены отрезками, как показано на рисунке 8.29. Докажите, что двенадцатиугольник A1A1B1B2...F1F2 правильный.
8.91.    Найдите отношения сторон правильных многоугольников, которыми можно покрыть без просветов и перекрытий всю плоскость, если этими многоугольниками являются:
а)    квадрат и шестиугольник;
б)    шестиугольник, квадрат и треугольник;
в)    шестиугольник и треугольник;
г)    восьмиугольник и квадрат;
д)    двенадцатиугольник и треугольник.
Для каждого задания рассмотрите какойлибо один вариант и сделайте соответствующий чертеж.
8.92.    Самый простой из правильных паркетов — это разбиение плоскости на квадраты (рис. 8.30). Сколько существует паркетов с таким условием: к каждой вершине паркета примыкают четыре правильных многоугольника и все вершины устроены одинаково (последнее означает, что паркет можно сдвинуть так, что любая его заданная вершина перейдет в любую другую заданную вершину и все линии совпадут)? Это вполне практическая
8.93.    Известно, что существуют паркеты из правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников.
1.    Можно ли составить паркет из какихнибудь других многоугольников?
2.    Можно ли в паркете заменить правильный треугольник на произвольный?
3.    Можно ли в паркете квадрат заменить любым параллелограммом?
4.    Можно ли составить паркет из любого четырехугольника?
5.    Существует ли паркет из невыпуклых многоугольников с произвольным числом сторон?
Попробуйте составить такие паркеты.
9.1. Заполните пропуски.
Ф Множество всех точек находящихся на данном положительном расстоянии от данной точки, называется ... . 9.2. Заполните пропуски.
Множество всех точек ..., расстояние от которых до данной точки не превосходит данного положительного расстояния, называется ... .
• • • и 9.3. 1. Принадлежит ли окружности ее центр? 2. Принадлежит ли кругу его центр?
9.4.    Укажите, верны ли следующие утверждения:
а)    все радиусы данной окружности равны;
б)    радиус окружности является ее хордой;
в)    хорда окружности содержит ровно две ее точки;
г)    диаметр круга является его хордой;
д)    хорда круга является его диаметром;
е)    расстояние между двумя точками, лежащими на окружности, равно длине диаметра этой окружности.
9.5.    Радиус окружности равен 5 см. Чему равен диаметр окружности?
9.6.    Запишите с помощью знаков € и $: а) точка А не принадлежит окр. (О; г); б) точка D принадлежит окр. (О; г);
в)    точка L не принадлежит окр. (О; г).
9.7.    Постройте на листе бумаги окружность радиусом 3 см. Можно ли найти на этой окружности такие точки М и N, для которых: а) MN = 2 см; б) MN = 3 см; в) MN = 6 см; г) MN = 7 см?
Отметьте на выполненном рисунке эти точки.
9.8.    Нарисуйте окружность.
1.    Отметьте на ней точку. Сколько можно провести через нее диаметров; хорд? Какая из этих хорд будет наибольшей; наименьшей?
2.    Отметьте точку внутри нарисованной окружности. Сколько можно провести через нее диаметров? хорд?
9.9.    Нарисуйте окружность с центром О. Пусть точка X движется по этой окружности. Какую фигуру «заметит» радиус ОХ, если точка X прошла по окружности: а) некоторую дугу; б) полуокружность; в) всю окружность?
9.10.    Нарисуйте окружность.
1.    Какую фигуру образуют середины всех ее радиусов?
2.    Пусть А — ее центр, а В — точка на окружности. Какую фигуру образуют все точки X, такие, что АХ = 2АВ?
9.11.    Отметьте некоторую точку. Нарисуйте фигуру, все точки которой удалены от этой точки на расстояние d (2 см < d < 3 см). Как бы вы ее назвали?
9.12.    Дана окр. (О; г). Какую фигуру образует множество всех таких точек X плоскости, в которой лежит данная окружность, для которых: а) ОХ < г; б) ОХ > г; в) ОХ > г;
г)    0 < ОХ < г?
9.13.    На окружности отмечены 10 точек
(рис. 9.1). За один ход играющий проводит отрезок с концами в какихлибо двух из этих точек, но так, чтобы он не пересекал ранее проведенных отрезков. Играют двое, поочередно делая ходы. Тот, кто не может сделать ход, считается проигравшим. Кто выиграет при пра    Рис. 9.1
вильной игре: тот, кто делает первый ход, или
второй играющий?
9.14.    Условимся считать «расстоянием» между точками А и В окружности длину дуги АВ этой окружности, которая не превосходит полуокружности. Выполняются ли для таких «расстояний» на окружности основные свойства расстояний?
9.15.    Аккуратно вырежьте из листа бумаги круг. Попробуйте, не перегибая его, найти центр круга.
9.16.    Сколько различных сфер можно провести: а) через две данные точки; б) через три данные точки?
9.17. Как могут быть расположены по отношению друг к другу окружность и прямая; круг и прямая? Постарайтесь рассмотреть все возможные случаи расположения этих фигур. В каждом случае ответьте на вопросы:
8.    Какой фигурой является пересечение указанных фигур?
2.    Какой фигурой является объединение фигур?
9.18.    Верны ли следующие утверждения?
8. Две окружности могут пересекаться ровно в трех точках.
2.    Прямая может иметь с окружностью ровно одну общую точку.
9.19.    Дана окр. (О; г). Какую фигуру образует множество всех таких точек X плоскости, для которых:
а)    ОХ < г;    б) ОХ > г;
в)    ОХ > г;    г) 0 < ОХ < г?
9.20.    Каково взаимное расположение двух окружностей, если расстояние между их центрами равно 4 см, а радиусы соответственно равны: а) 8 и 3 см; б) 3 и 5 см; в) 2 и 8 см;
г)    3 и 7 см; д) 8 и 4 см; е) 4 и 4 см?
9.21.    Отметьте на листе бумаги такие точки 6 и 7, что 67 = 5 см. Постройте точку X, если известно, что: а) 6Х = 3 см, 7Х = 4 см; б) 6Х = 2 см; 7Х = 2 см; в) 6Х = 6 см, 7Х = 8 см.
9.22.    Начертите окружность с центром в точке О и радиусом г и постройте точки, принадлежащие этой окружности и находящиеся на данном расстоянии ?: а) от данной вне этой окружности точки М; б) от данной на этой окружности точки 7. Сколько решений может иметь каждая из этих задач?
9.23.    Постройте две окружности, каждая из которых проходит через центр другой. Сколько общих точек имеют эти окружности? Чему равно расстояние между их центрами?
9.24.    Постройте точки, находящиеся на расстоянии а от данной точки 6 и на расстоянии Ъ от другой данной точки 7. При каком условии задача: а) имеет решение; б) не имеет решения?
9.25.    Постройте окружность, которая касается данной окружности с центром в точке О и радиусом 2 см в данной точке и имеет радиус, равный: а) 1 см; б) 2 см; в) 3 см. Сколько окружностей можно построить в каждом из этих случаев?
9.26.    Постройте окружность, которая: а) касается данной окружности с центром в точке О и радиусом г в данной на ней точке М; б) имеет радиус г и касается данной окружности с центром в точке Oi, и радиусом г в данной на ней точке М. Сколько решений может иметь эта задача?
9.27.    Даны1 две окружности: окр. (О8; г8) и окр. (О2; г2), такие, что гi > Каким может быть расстояние между их центрами (точками Oi и OF), если известно, что: а) у этих окружностей есть общая точка; б) у этих окружностей есть две общие точки; в) эти окружности не имеют общих точек?
9.28.    Прямая а пересекает окр. (О; г) в точках А и В. Какую фигуру образует множество всех точек Х этой прямой, для которых: а) ОХ = г; б) ОХ < г; в) ОХ < г; г) ОХ > г; д) ОХ > г; е) ОХ Ф г?
9.29.    Круга радиусом г внешним образом касаются три одинаковые окружности, касающиеся попарно между собой. Найдите сумму площадей трех криволинейных треугольников, образованных указанными окружностями.
9.30.     Окр. (О8; г8) и окр. (О2; г2) пересекаются в точках А и В (^ Ф TF). Покажите на рисунке множества точек плоскости:
а) окр. (О8; г2) и окр. (О2; г2);
б) окр. (Ор ri) п окр. (О2; г2);
в)    кр. (Ор Ri) и кр. (О2; Г2);
г) кр. (О; Ri) п кр. (О2; Г2);
д)    кр. (Оp гi) и окр. (О2; г2).
9.31.    Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую так, чтобы отрезки, отсекаемые на этой прямой окружностями, были равны.
9.32.    Окр. (Ор г8) и окр. (О2; г2) имеют две общие точки C и g (Г Ф Г2). Покажите на рисунке, выполненном в тетради, множество всех таких точек Х плоскости, для которых: а) ОХ < г, О2Х < г2; б) О8Х > г, О2Х > г2; в) О8Х + О2Х > О8О2.
• • • и 9.33. Даны две окружности с центрами в точках О и О2 ^ и радиусами г и Г2, такими, что г > Г2. Каким может ^ быть расстояние ОО2, если известно, что у этих окружностей: а) есть общая точка; б) есть две общие точки; в) нет общих точек?
9.34.    Расстояние от пункта А до пункта В равно 20 км, а от пункта В до пункта С — 12 км. Каким может быть расстояние от пункта А до пункта С? Для случаев, когда это расстояние принимает наибольшее или наименьшее из возможных значений, сделайте рисунок, приняв расстояние в 1 км за 1 см.
9.35.    Три походные радиостанции поддерживают между собой связь, если расстояние между ними не превышает 10 км. Две из этих радиостанций расположились в пунктах А и В, расстояние между которыми равно 9 км. Приняв расстояние в 1 км за 1 см, сделайте рисунок, отметьте точки А и В. Определите на рисунке точки, в которых может расположиться третий пункт с радиостанцией так, чтобы поддерживать связь: а) с каждой из радиостанций; б) хотя бы с одной из этих радиостанций.
9.36.    Две окружности радиусом г касаются. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиусом R в точках А и В соответственно. Вычислите радиус г, если АВ =12 см, R = 8 см.
9.37.    Через общую точку А двух окружностей с центрами О1 и О2 проведена прямая, пересекающая эти окружности в точках М и N. Докажите, что АО1МВ = АО2МВ, где В — вторая общая точка окружностей.
9.38.     Даны три окружности: окр. (О1; г1), окр. (О2; г2), окр. (О3; г3). Выразите расстояния О1О2, О2О3 и О1О3 через радиусы г 1, г2, г3.
9.39.    Известно, что шесть кругов имеют общую точку. Докажите, что хотя бы один из них содержит центр некоторого другого круга.
9.40.    Из пяти окружностей каждые четыре имеют общую точку. Докажите, что все пять окружностей имеют общую точку.
9.41.     Докажите, что если окр. (О1; г1) и окр. (О2; г2) касаются друг друга, то точка касания принадлежит прямой, проходящей через центры этих окружностей.
9.42.    Постройте окружность, которая касается двух данных концентрических окружностей. Какой фигурой является множество центров всех таких окружностей?
9.43.    Дан треугольник АВС. На сторонах его взяты точки: 9 и Е на АВ, L на АС, G на ВС. При этом А9 = АС, ВЕ = ВС, АЕ = А9, ВМ = В9. Докажите, что точки С, 9, Е, L, G лежат на одной окружности.
9.44.    В плоскости даны угол, окружность с центром О и две не принадлежащие ей точки А и В. Постройте такую хорду AJBJ окружности, чтобы прямыеА^А и В^В были параллельны, а угол А^ОВ^ равен данному.
9.45.    Прямая а касается окружности с центром О и радиусом г. Найдите расстояние от точки О до прямой а, если диаметр окружности равен 10 см.
9.46.    Радиус окружности с центром О равен 2 см. Расстояние от точки А до центра О равно 4 см. Найдите длину отрезка АВ, касательного к окружности, где В — точка касания.
9.47 Докажите, что если отрезки АВ и АВ1 являются касательными к окружности с центром О и радиусом г, В и В1 — точки касания, то АВ = АВ1 и ДВАО = ДВ^АО.
9.48.    Постройте окружность данного радиуса г, которая касается данной прямой а в данной на ней точке М.
9.49.    Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку этой окружности.
9.50.    1. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла.
2.    Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них в данной точке.
9.51.    Найдите множество центров окружностей, касающихся сторон данного угла.
9.52.    Две окружности касаются друг друга в точке А. Существует ли прямая, касающаяся обеих этих окружностей и проходящая через А?
9.53.    Постройте окружность, касающуюся всех сторон данного треугольника.
9.54.    Известно, что АО — наименьшее из всех расстояний от точки А до точек прямой р (А € р). Докажите, что прямая ОА перпендикулярна прямой р.
9.55.    Две окружности радиусом 3 и 5 см касаются внешним образом. Вычислите длину отрезка их внешней общей касательной, заключенной между точками касания.
9.56.    К окр. (О; г) проведена из точки М касательная. Найдите формулу, выражающую зависимость между расстояниями ОМ, МА = т (А — точка касания) и радиусом г.
9.57.    Расстояние между центрами окружностей радиусами 6 и 2 см равно 10 см. Вычислите длину отрезка: а) общей внешней касательной; б) общей внутренней касательной.
9.58.    Окружность касается трех сторон треугольника АВС (рис. 9.2), ВС = а,
СА = Ь, АВ = >. Выразите длины отрезков касательных х, у, z через а, Ь, >.
9.59.    Постройте окружность данного радиуса R, которая касается данной прямой I и данной окр. (О; г).
9.60.    Окр. (О8; г8) и окр. (О2; г2) касаются внешним образом. Постройте окружность данного радиуса R, которая касается каждой из данных окружностей.
9.61.    Через данную точку М проведите прямую, которая находится на данном расстоянии I: а) от данной точки А; б) от данной окружности.
9.62.    Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой.
9.63.    Докажите, что касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую этой хордой, на две равные дуги.
9.64.    К окружности проведена касательная. Докажите, что сумма расстояний от концов любого диаметра до этой касательной равна диаметру этой окружности.
9.65.    Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.
9.66.    Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, причем одной из них — в данной точке.
9.67.    Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой и проходящую через данную точку, не лежащую на этой прямой.
9.68.    Докажите, что диаметр круга, вписанного в прямоугольный треугольник, равен разности суммы катетов и гипотенузы.
9.69.    К окружности радиусом 4 см с центром в точке О проведена из точки А касательная. Вычислите площадь треугольника АВО, где В — точка касания, если АВ = 8 см.
9.70.    На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах вне его построены полуокружности, к этим полуокружностям проведены касательные, параллельные катетам прямоугольного треугольника и не пересекающие фигуру. Докажите, что четырехугольник, стороны которого лежат на этих касательных, — квадрат.
9.71.    На данной прямой найдите такую точку, чтобы отрезки касательных, проведенных из нее к данной окружности, имели бы данную длину.
9.72.    Центры двух окружностей, радиусы которых R и г, лежат на гипотенузе прямоугольного треугольника. Одна окружность касается двух катетов, другая касается катета и первой окружности. Найдите стороны треугольника.
9.73.    Как разделить хорду окружности пополам?
9.74.    Внутри круга дана точка. Какая из всех хорд круга, проходящих через эту точку, имеет наименьшую длину и какая — наибольшую?
9.75.    В окружности радиусом г проведена хорда.
\r 1. Найдите ее расстояние от центра окружности, если ** длина хорды равна а. Произведите вычисления, если:
а)    г =14 см, а = 8 см; б) г = 8 см, а = 14 см.
2.    Выразите длину хорды через ее расстояние h от центра.
9.76.    Радиус круга равен 25 см. В этом круге проведены две параллельные хорды длиной 14 и 4 см. Вычислите расстояние между хордами.
9.77.    Докажите, что в одном круге (или в равных кругах):
а)    хорды равной длины равноудалены от центра; б) из двух неравных хорд хорда большей длины ближе к центру.
9.78.    Каждая из двух равных окружностей радиусом г проходит через центр другой. Выразите через г длину их общей хорды.
9.79.    Две равные и взаимно перпендикулярные хорды окружности точкой их пересечения делятся каждая на отрезки в 10 и 16 мм. Вычислите радиус окружности.
9.80.    Две окружности имеют общий центр, АВ — хорда окружности меньшего радиуса, С и D — точки пересечения прямой АВ с окружностью большего радиуса. Докажите, что: а) АВ = BD;
б)    ВС = AD.
9.81.    Постройте хорду данной окружности, серединой которой является данная точка.
9.82.    Докажите, что диаметр, который делит пополам хорду, не проходящую через центр, перпендикулярен этой хорде.
9.83.    Докажите, что две хорды окружности, пересекающиеся в точке, отличной от центра окружности, не могут обе делиться в точке пересечения пополам.
9.84.    Докажите, что диаметр окружности есть наибольшая из хорд этой окружности.
9.85.    Центр окружности, пересекающей стороны данного угла, лежит на биссектрисе этого угла (рис. 9.3). Есть ли на этом рисунке равные отрезки?
9.86.    Как разделить дугу данной окружности пополам?
9.87.    Дан квадрат. Постройте окружность так, чтобы стороны этого квадрата были хордами данной окружности.
9.88.    Из точки А окружности проведены две взаимно перпендикулярные и равные хорды, удаленные от центра на расстояние 4 см. Вычислите длину каждой хорды.
9.89.    Докажите, что диаметр, который делит пополам хорду, не проходящую через центр, перпендикулярен этой хорде.
9.90.    Фигура L является объединением двух окружностей. Докажите: 1) если фигура L имеет бесконечно много осей симметрии, то центры этих окружностей совпадают; 2) если фигура L имеет в точности две оси симметрии, то радиусы этих окружностей равны.
9.91.    Хорда, равная 8 см, отсекает от окружности дугу в 90°. Найдите расстояние от центра окружности до хорды.
9.92.    В окружности проведены две параллельные хорды, отсекающие от нее дуги в 90°. Вычислите расстояние между хордами, если длина одной из хорд равна 12 см.
9.93.    Докажите, что хорда окружности, перпендикулярная другой хорде той же окружности и проходящая через ее середину, является диаметром окружности.
9.94.    Дана окружность. Через середину ее радиуса проведена перпендикулярная ему хорда. Докажите, что эта хорда видна из центра окружности под углом 120°.
9.95.    Заполните пропуски:
Если прямая пересекает окружность, то их пересечение есть или ..., или ... .
9.96.    Заполните пропуски:
Если прямая пересекает круг, то их пересечение есть или ..., или ... .
9.97 На сколько частей два радиуса окружности делят круг? Как называются эти части?
9.98.    Дана окружность. Сколько можно провести сфер, содержащих эту окружность?
9.99.    На окружности поставили две точки. Сколько дуг окружности при этом получилось?
9.100.    Круг пересекают две параллельные хорды. Какие фигуры при этом получились?
9.101.    Сколько дуг заданной окружности определяют: а) два луча с началом в ее центре; б) две прямые, проходящие через центр этой окружности?
9.102.    Постройте окружность с центром в данной точке, которая делила бы данную окружность на две полуокружности.
* * * и 9.103. Докажите, что параллельные хорды, проведенные ^ через концы диаметра окружности, равны.
* II 9.104. Из точки, данной на стороне угла, как из центра опишите окружность, которая от другой стороны угла отсечет хорду данной длины.
9.105.    В окружности проведены две равные хорды АВ и CD. Докажите, что либо иВС = uAD, либо uBD = иАС.
9.106.    Хорда АВ окружности с центром О разделена точками С и D на три равных отрезка, и точки А, В, С и D соединены с точкой О. Докажите, что лучи ОС и OD не разделят угол АОВ на равные углы.
9.107.     Дана окр. (О; г). Через точку А, ОА < г, проведите хорду так, чтобы разность отрезков, на которые эта хорда делится точкой А, была бы равна данному отрезку ?.
9.108.    Даны две концентрические окружности > и >8 радиусами а и 2а соответственно, их центр — точка О. Точка С лежит между этими окружностями. Из точки С как из центра радиусом ОС проведена окружность, пересекающая окружность >8 в точке М. Докажите, что перпендикуляр, проведенный через точку С к прямой ОМ, касается окружности >.
9.109.    В сектор с радиусом R и центральным углом а вписан круг. Вычислите его радиус.
10.1. На рисунке 80.8, а изображено несколько примеров взаимного расположения окружности и углов. Назовите: а) вписанные углы, изображенные на рисунке;
б)    вершины и стороны этих углов.
10.2. Посмотрите на рисунок 10.1, б.
1.    Назовите дугу, на которую опирается: угол В; угол С; угол CAD.
2.    Назовите угол, который опирается: а) на дугу ВС; б) на дугу BCD.
10.3. На рисунке 10.2 луч AK касается данной окружности, а лучи AM и AC пересекают окружность. Назовите все вписанные углы на этом рисунке. Какие дуги высекает на окружности угол 1 ? угол 2? угол 31
* * * и 10.4. Углы AMC и АТС вписаны в одну и ту же окружность. Что можно сказать о величине этих углов?
10.5.    Окружность разделена точками А, В, С, D и Е на пять равных дуг: иАВ = иВС = uCD = uDE = иЕА. Найдите величины вписанных в эту окружность углов ВАС, ВА9, ВАЕ, САЕ и DAE.
10.6.    Хорда делит окружность на две дуги, отношение длин которых равно 4 : 5. Под каким углом видна эта хорда из точек окружности? Рассмотрите точки, принадлежащие обеим дугам.
10.7.    Окружность разделена тремя точками на дуги, длины которых относятся как числа 2, 3 и 4, и точки деления соединены отрезками. Вычислите углы полученного треугольника.
10.8.    Данная хорда видна из некоторой точки окружности под углом 41°15'. Вычислите угловую величину дуг, на которые данная хорда делит окружность.
10.9.    Точки A, В, C и D, взятые последовательно, принадлежат окружности, uAD = 68°, иВС = 140°, uDC = 50°. Вычислите: а) иАВ; б) ZBDC и ZRAC; в) ZABD; г) ZABC; д) ZBCA.
10.10.    На окружности даны точки А, В, C, D, являющиеся вершинами квадрата ARCD, и точка М, принадлежащая меньшей дуге AD. Докажите, что угол AMD делится лучами MC и МВ на три равных угла.
10.11.    Центральный угол на 35° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Вычислите величину каждого из этих углов.
10.12.    Хорда делит окружность на две дуги. Под какими углами видна хорда из точек окружности, если угловые величины этих дуг относятся как: а) 5 : 4; б) 7 : 3?
10.13.    Равные углы ABC и ADC опираются на отрезок AC, и их вершины лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что точки A, В, C и D принадлежат одной окружности.
10.14.    На рисунке 10.3 AB = CD. Докажите, что uAC = uBD.
10.15.    На рисунке 10.4 у окружности с центром О имеем ОМ = ОК, причем отрезки ОМ и ОК соответственно перпендикулярны хордам AB и CD. Докажите, что AB = CD.
10.16.    Лучи ОМ и ОЫ касаются окружности в точках М и N (рис. 10.5). Найдите zNОM и zNMО, если величина большей дуги ЫКМ равна 242°.
10.17.    Почему на рисунке 10.5 для задачи 10.16 ZКMN = = ZКNM?
10.18.     Докажите, что если на рисунке 10.5 zО = 60°, то величина большей дуги МКЫ равна удвоенной величине меньшей дуги МЫ.
10.19.    Докажите, что если две касательные к окружности пересекаются, то вместе с хордой, соединяющей точки их касания, они образуют равнобедренный треугольник.
10.20.    Докажите теорему: «Если две дуги окружности равны, то любой угол, вписанный в одну из них, равен любому углу, вписанному в другую».
10.21.    Точка Р на рисунке 10.6 является центром окружности. Найдите АА и АР, если АВ = 35°.
10.22.     На рисунке 10.7 АМ = 75°, u МК = 90° и u CD = 70°. Найдите величину всех остальных дуг и углов.
10.23.    Точки C, В и А лежат на окружности с центром О (рис. 10.8). Докажите, что АО ± СО, если ААВС = 45°.
Рис. 10.7
10.24.    Дан угол с вершиной на окружности, образованный лучом секущей и лучом касательной. Докажите, что середина высекаемой им дуги равноудалена от сторон угла.
10.25.    На рисунке 10.9 РК и OS — касательные, а РО — диаметр данной окружности. Найдите радиус этой окружности, если дано, что u МО = 120° и КО = 8.
10.26.    Докажите теорему: «Величина угла, образованного двумя секущими окружности, пересекающимися в точке, лежащей внутри окружности, равна полусумме величин дуг, высекаемых этим углом и углом, ему вертикальным».
10.27.    На рисунке 10.10:
а)    u DB = 40° и иАС = 90°. Найдите ААКС;
б) иА9 = 100° и u ВС = 170°. Найдите АВКС;
в) uАC = 130° и А9КВ = 75°. Найдите u 9В;
г)    uАС9 = 310° и uBC = 200°. Найдите ААКС;
д)    uBАC = 180° и А9КВ = 75°. Найдите uDB.
10.28.    Докажите теорему: «Величина угла, образованного двумя секущими окружности, пересекающимися в точке, лежащей вне окружности, равна полуразности величин высекаемых этим углом дуг».
10.29.    На рисунке 10.11:
а)    и BD = 70° и иАС = 30°. Найдите ZK;
б)    и BD = 126° и иАС= 18°. Найдите ZK;
в)    иАС = 50° и ZK = 22°. Найдите и BD;
г) иАВ = 80°, иBD = 80° и CD = 190°.
Найдите ZK;
д) ZK = 28°, UABD = 166° и иАВС =
= 290°. Найдите и CD.
10.30.    Проверьте, что теорема, помещенная в задаче 10.28, остается верной, если слова «двумя секущими» заменить словами «секущей и касательной» или же словами «двумя касательными».
10.31.    Две касательные к окружности образуют угол 72°. Какую величину имеет каждая из высекаемых ими дуг?
10.32.    Прямая KN касается окружности в точке М, а секущая KD проходит через центр окружности О (рис. 10.12). Найдите и СМ и ZNMD, если ZK = 35°.
10.33.    Даны две касательные к окружности, пересекающиеся в точке K. Чему равна величина ZK, если величина одной из высекаемых этим углом дуг в 4 раза больше величины другой?
10.34.    Равные углы АBC и АDC опираются на отрезок АС, и их вершины лежат по одну сторону от прямой АС. Докажите, что точки А, B, С и D принадлежат одной окружности.
10.35.    Отрезок АB на рисунке 10.13 является диаметром меньшей из двух концентрических окружностей. Отрезки АР и BQ касаются меньшей окружности соответственно в точках А и B. Докажите, что АB и PQ пересекаются в центре окружностей.
10.36.    Две равные окружности внешне касаются в точке М. Диаметр АB одной из них параллелен диаметру CD другой, причем точки С и Q лежат по противоположные стороны от прямой АD. Докажите, что четырехугольник АBCD — ромб.
10.37.    Две равные окружности касаются в точке М. Секущая I, проходящая через М, пересекает бОльшую окружность в точке А и меньшую в точке В. Докажите, что касательные в точках А и В параллельны.
3 а м е ч а н и е. Возможны два случая: а) окружности касаются внутренне; б) окружности касаются внешне.
10.38.     На рисунке 10.14 иВ9 = 70° и ZDMB = 4ZK. Найдите иАС и ZK.
10.39.    Посмотрите на рисунок 10.15. Найдите отношение k к у, при котором ZDMB = 2ZK.
Рис. 10.15
10.40.    Даны окружность и точка P, лежащая вне ее. Прямая, проходящая через точку P, касается окружности в точке K. Секущая, содержащая точку P, пересекает окружность в точках С и D, причем точка С лежит между точками D и P. Биссектриса ZCKD пересекает хорду DC в точке S. Докажите, что PK = PS.
10.41.    Даны диаметры равных касающихся окружностей — AD и DB; ВС — касательная в точке С (рис. 10.16). Докажите, что иАС = и DC + и DE.
10.42.    В полуокружность диаметра AD с центром О вписана ломаная ABCD; АВ = ВС = а, CD = b (рис. 10.17). Докажите, что ОВ У CD.
10.43.    Некоторая прямая пересекает окружность с центром в точке О в двух точках А и В, не лежащих на одном диаметре, причем точка В не помещается на чертеже (рис. 10.18). Постройте отрезок диаметра, проходящего через эту точку.
10.44.    Докажите, что середина дуги АВ не одинаково удалена от касательной МА и секущей МВ, иАВ < 180° (рис. 10.19).
10.45.    На рисунке 10.20 лучи КА и КВ касаются окружности в точках А и В соответственно. Длины полученных дуг относятся как 1 : 4. Вычислите углы треугольника АКВ.
10.46.    Постройте треугольник по медиане, биссектрисе и высоте, исходящим из одной вершины.
10.47.    Докажите, что из всех медиан равнобедренного треугольника с основанием а и углом при вершине а медиана, проведенная к стороне а, наибольшая при а < 90°.
10.48.    Докажите, что из всех медиан равнобедренного треугольника с основанием а и углом при вершине а медиана, проведенная к стороне а, наименьшая при а > 90°.
10.4. Докажите, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются на третьей стороне или на ее продолжении (рис. 10.21, а, б).
10.50.    АС и BD — взаимно перпендикулярные и пересекающиеся хорды окружности. Из точек А и B проведены к прямой DC перпендикуляры АМ и BK, М принадлежит прямой BD, а K — прямой АС. Докажите, что четырехугольник АМКВ — ромб.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (01.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 5.0/1


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar