Тема №5328 Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 5) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

10.58.    Постройте треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см и опишите около него окружность. Измерьте радиус этой окружности.
10.59.     Постройте треугольник АВС, если АВ = 8 см, ВС = 6 см, ААВС = 40°. Опишите около него окружность и измерьте ее радиус.
10.60.     Постройте треугольник АВС, если АВ = 6 см, АА = 45°, АВ = 60°. Опишите около него окружность и измерьте ее радиус.
10.61.    Дан остроугольный треугольник АВС? О — центр описанной около него окружности; А9 ± ВС. Докажите, что АВА9 = = АОАС.
10.62.    Впишите в данную окружность треугольник, подобный данному.
10.63.    1. Докажите, что площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
2. Докажите, что радиус г окружности, описанной около
треугольника, может быть вычислен по формулам: а) г = — ;
abc 4 S '
10.64.    Какой вид имеет треугольник, если: а) центры вписанной и описанной около него окружностей совпадают;
б)    центр описанной окружности лежит на его стороне; в) центр вписанной окружности лежит на одной из его высот; г) центр описанной окружности лежит на одной из его высот или на продолжении высот?
10.65.    В данный треугольник впишите окружность.
10.66.    В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
10.67.    Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, высота которого: а) i = 1 см; б) i = 2,5 см.
10.68.    Докажите, что сумма диаметров вписанной в прямоугольный треугольник и описанной около него окружностей равна сумме его катетов.
10.69.    Постройте окружность, касающуюся трех данных прямых, попарно пересекающихся и не проходящих через одну точку.
10.70.    Вычислите радиусы окружностей, описанной около прямоугольного треугольника и вписанной в него, если его катеты равны: а) 20 и 21 см; б) 40 и 30 см.
10.71.    Вычислите углы треугольника, в котором высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины его угла, делят этот угол на четыре равных угла.
10.72.    В прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из вершины прямого угла, образуют угол в 10°. Вычислите углы данного треугольника.
10.73.    Из вершины прямого угла треугольника проведены лучи через центры вписанной и описанной окружностей. Угол между этими лучами равен 7°. Вычислите острые углы треугольника.
10.74.    Дан остроугольный треугольник АВС; О — центр описанной около него окружности; А9 Д ВС. Докажите, что ZBAD = ZO.AC.
10.75.    В равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 18 см и основание 12 см, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная основанию. Найдите длину отрезка касательной, ограниченного точками пересечения с боковыми сторонами.
10.76.    Медиана CD треугольника АВС, в котором АС > ВС, касается окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, соответственно в точках Е и F. Докажите, что 2EF = АС ВС.
10.77.    Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается прямой АВ в точке D и прямой АС в точке Е. Докажите, что точки пересечения прямой DE с биссектрисами углов В и С треугольника лежат на одной окружности с точками В и С.
10.78.    В треугольник вписана окружность Ср Точки касания ее с двумя сторонами соединены отрезком. Во вновь образовавшийся треугольник вписана окружность с2. Докажите, что центр этой окружности принадлежит окружности O.
10.79.    Вершина А остроугольного треугольника АВС соединена отрезком прямой с центром O описанного круга. Из вершины А проведена высота АН. Докажите, что ZBAH = zOAC.
10.80.    Дан параллелограмм ABCD. В треугольники АВС, ACD, ABD, BCD вписаны окружности. Докажите, что точки касания этих окружностей и диагоналей параллелограмма являются вершинами прямоугольника.
10.81.    В треугольник вписана окружность радиусом г. Параллельно сторонам треугольника к окружности проведены касательные и в образовавшиеся треугольники вписаны окружности радиусов гр г2, г3. Докажите, что г = Ri + Г2 + г3.
10.82.    Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АС в точке М и стороны ВС в точке N. Биссектрисы углов А и В треугольника встречают MN соответственно в точках X и Y. Докажите, что отрезки MX, NY и XY пропорциональны сторонам треугольника АВС.
10.83.    В треугольнике АВС через середину М стороны ВС и центр О вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая МО, которая пересекает высоту АН в точке Е. Докажите, что длина отрезка АЕ равна радиусу вписанной окружности.
10.84.    Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, СА и АВ соответственно в точках К, М и N. Докажите, что ctg ААКС + ctg АВМА + ctg АСNВ = 0.
10.85.    Докажите, что для всякого треугольника АВС имеет место соотношение 2S = ОА2 sin АА + ОВ2 sin АВ + ОС2 sin АС, где О — центр вписанной в треугольник окружности, а S — площадь треугольника.
10.86.    В окружность вписан треугольник АВС, касательные к окружности в точках А и В пересекаются в точке S. Прямая СS пересекает прямую АВ в точке М. Докажите, что АМ : МВ = Ъ2 : а2, где а = ВС, Ъ = АС.
10.87.    В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а. Найдите для этого треугольника отношение радиусов вписанной и описанной окружностей.
10.92.    В окр. (О; г) вписан четырехугольник ABCD. Что можно сказать о вершинах, сторонах и углах этого четырехугольника?
10.93.    Можно ли описать окружность около четырех
угольника ABCD, углы которого соответственно равны: а) 90°, 90°,    60°,    120°; б)    70°,    130°,    110°,    50°;    в)    45°,    75°,
135°, 105°?
10.94.    Можно ли описать окружность около четырехугольника ABCD, углы которого относятся как числа: а) 2, 3, 4, 3; б) 7, 2, 4, 5?
10.95.    На рисунке 10.41 AB = CD. Докажите, что четырехугольник ADBC — равнобедренная трапеция.
10.96.    1. Постройте квадрат: а) вписанный в данную окружность; б) по радиусу вписанной в него окружности.
2. Квадрат ABCD на рисунке 10.42 вписан в окружность и Р — любая точка дуги АВ, отличная от А и В. Докажите, что лучи PC и PD делят ZAPB на три равные части.
10.97.    Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые РА и PD касаются окружности соответственно в точках А и D (рис. 10.43). Найдите величину каждого угла и каждой меньшей дуги на этом рисунке, если uAD = 70°, uBC = 170°, АТАВ = 40°.
10.98.    AB — диаметр окружности, хорда DE которой параллельна касательной CB (рис. 10.44).
1. Дано, что и BD = 64°. Найдите величину каждого угла и каждой меньшей дуги на рисунке 10.44. 
10.102.    Три угла вписанного четырехугольника относятся как числа 2, 3 и 4. Вычислите эти углы.
10.103.    Докажите, что внутренний угол A вписанного четырехугольника ABCD равен его внешнему углу с вершиной С.
10.104.    Докажите, что во вписанном четырехугольнике ABCD биссектриса внутреннего угла А пересекается с биссектрисой внешнего угла с вершиной С в точке, лежащей на окружности, в которую вписан четырехугольник.
10.105.    В каком случае можно описать окружность около выпуклого четырехугольника ABCD, если:
а) AA = 78°, АС = 102°; б) АА = 70°, AB = 102о?
10.106.    Постройте трапецию, три стороны которой равны, и опишите около нее окружность.
10.107.    Докажите, что биссектрисы углов четырехугольника в общем случае образуют четырехугольник, около которого можно описать окружность.
10.108.    Через середину дуги AB окружности проходят две произвольные прямые, пересекающие окружность в точках F и С и хорду AB в точках D и Е соответственно. Докажите, что точки F, С, D и Е лежат на одной окружности.
10.109.    Во всяком треугольнике точки, симметричные точке пересечения высот относительно трех сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника. Докажите это.
10.110.    В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты ВВ1 и СС1, пересекающиеся в точке К (рис. 10.45). Докажите, что точки A, Bi, К и С1 лежат на одной окружности.
10.111.    Докажите, что если четырехугольник имеет оси симметрии, совпадающие с серединными перпендикулярами, проведенными к его сторонам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.
10.112.    В прямоугольнике, вписанном в окружность, стороны равны 15 и 20 см. Вычислите радиус окружности.
10.113.    В данную окружность впишите трапецию с данным острым углом, имеющую наибольшую площадь.
10.114.    Продолжения боковых сторон AD и ВС равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке S. Докажите, что окружности, проведенные соответственно че 
рез точки А, С, S и В, D, S, пересекаются в центре окружности, описанной вокруг данной трапеции.
10.115.    В сектор с радиусом R и центральным углом а вписан круг. Вычислите его радиус.
10.116.    В круг вписаны две трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагонали этих трапеций равны.
10.117.    В окружность вписана трапеция АВС9 с основаниями AD и ВС. Пусть М — произвольная точка дуги ВС. Найдите
ВМ + МС , если АВ = а, АС = Ь, ВС = с.
АМ + MD
10.118.    Около окружности диаметром d описана равнобедренная трапеция. Докажите, что диагональ этой трапеции больше ?л/2 .
10.121.    Около окр. (О; г) описан четырехуголник ABCD. Назовите свойства его вершин, сторон и углов.
10.122.    В каком случае около окружности можно описать четырехугольник?
10.127.    Докажите, что боковая сторона трапеции, описанной около окружности с центром О, видна из точки О под углом 90°.
10.128.    Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению ее оснований.
10.129.    Вычислите площадь четырехугольника, описанного около окружности диаметра г, если три его стороны, взятые по порядку, равны а, Ъ, с.
10.130.    Докажите, что в равнобедренной трапеции, описанной около круга, квадрат высоты равен произведению ее оснований.
10.131.    Вокруг окружности радиусом г описана равнобедренная трапеция ABCD; Е и К — точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием АВ и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что прямая ЕК параллельна прямой AB, и найдите площадь трапеции АВЕК.
10.132.    В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиусом г. Найдите длину стороны ромба.
10.133.    Около круга с радиусом 2 см описана равнобедренная трапеция, площадь которой 20 см2. Найдите длины сторон трапеции.
10.134.    Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определите длину боковой стороны этой трапеции, если известно, что острый угол при ее основании
п
равен .
6
10.135.    Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны тогда и только тогда, когда четырехугольник имеет пару равных противоположных углов.
10.136.    Выразите угол ромба через его площадь Q и площадь S вписанного в него круга.
10.137.    Около окружности диаметром d описана равнобедренная трапеция. Докажите, что диагональ этой трапеции
больше ?42.
10.138.    Около окружности описана трапеция. Докажите, что длины т и п диагоналей трапеции и радиуса г окружности связаны неравенством т2 + п2 > 16г2.
10.139.    Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению ее оснований.
10.140.    Трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности радиусом г. М и N — точки касания, расположенные на AD и ВС. Докажите, что AM • BN = = DM • CN = г2.
10.141.    Основания трапеции равны1 10 и 20 см, а боковые стороны равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, проходящей через концы меньшей боковой стороны трапеции и касающейся противоположной боковой стороны.
10.142.    Основания трапеции равны а и Ъ, углы при основании а равны а и р. Докажите, что для того чтобы в эту трапецию можно было вписать окружность, необходимо и достаточно
выполнения равенства tgа • tg Р = Ъ .
10.143.    Прямые пересекают стороны AD и ВС параллелограмма ABCD и делят параллелограмм на несколько трапеций, в каждую из которых можно вписать окружность. Пусть сторона AD разделена на отрезки а8$ а2$ ...$ ап, а сторона ВС — на отрезки Ъ8, Ъ2, ..., Ъп. Докажите, что а8 • а2 •...• ап = Ъ8 • Ъ2 • Ъп.
10.144.    Трапеция с основаниями AD и ВС описана около окружности; К и М — точки касания на AD и ВС. Найдите ВММ,
AK
если К = а.
АВ — сторона вписанного в круг квадрата, АВ = ВК, ^ О — центр круга. Докажите, что отрезок КМ равен удвоенной стороне вписанного в этот круг правильного десятиугольника.
10.146.    Пятиугольник ABCDE, имеющий ось симметрии, проходящую через вершину В, вписан в окружность с центром О. Стороны АВ и DE видны из центра окружности под углом 50°. Под каким углом видна из центра окружности сторона AE?
10.147.    Около окружности описан шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Докажите, что его противоположные стороны попарно равны.
10.148.    Через середину В радиуса ОА некоторой окружности к нему проведен перпендикуляр, пересекающий окружность в точке К. Отрезок ВК может быть приближенно принят равным стороне правильного семиугольника, вписанного в эту окружность. Найдите допускаемую при этом погрешность.
10.149.    В выпуклом десятиугольнике АВС9ЕА1В1С191Е1, вписанном в окружность, четыре пары противоположных сторон параллельны. Докажите, что стороны, входящие в пятую пару, тоже параллельны.
10.150.    В окружность, радиус которой R, вписан многоугольник, площадь которого больше 2R2, а длина каждой стороны больше R. Найдите число сторон многоугольника.
10.151.    Около окружности описан шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Докажите, что его противоположные стороны попарно равны.

11.1.    Как изменится площадь квадрата, если его сторона: а) удвоится; б) утроится; в) станет вдвое меньше?
11.2.    Как изменится площадь прямоугольника, если:
а)    его высота и основание удвоятся; б) основание и высота уменьшатся в 3 раза; в) основание увеличится в 4 раза, а высота уменьшится в 4 раза; г) основание увеличится в 6 раз, а высота уменьшится в 3 раза?
11.3.    Как изменится площадь прямоугольника, если: а) не изменяя его высоты, увеличить в 3 раза его основание; б) не изменяя его основания, уменьшить в 2 раза его высоту; в) его высоту и основание увеличить в 4 раза; г) его основание увеличить в 4 раза, а высоту уменьшить в 3 раза; д) его основание увеличить в 3 раза, а высоту увеличить в 2 раза?
11.4.    Как изменится площадь прямоугольника, если: а) высота его утроится, а основание останется прежним; б) основание его удвоится, а высота останется прежней; в) удвоятся его высота и основание?
***ъ 11.5. Найдите площадь прямоугольника с основанием а
1    I
и высотой i, если: а) а = 17, i = 12; б) а = 1 , i = 5 ;
3    4
в)    а = 3, i = 5; г) а = 10, i = 15.
11.6.    Вычислите площадь квадрата со стороной а, если:
а)    а = 24; б) а = 333; в) а = 7; г) а = 46.
5
11.7.    Найдите площадь полной поверхности куба, если его ребро равно: а) 1 см; б) 10 см; в) 100 см; г) 1 м.
11.8.    Вычислите площадь боковой и полной поверхностей куба, если его ребро равно: а) 8 см; б) 10 см; в) 12 см.
11.9.    Дан прямоугольный параллелепипед, в его основании лежит прямоугольник со сторонами 2 и 4 см, высота параллелепипеда равна 2 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей этого параллелепипеда.
11.10.    Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны соответственно 12, 8 и 20 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей этого параллелепипеда.
11.11.    Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Чему равна сторона квадрата, если прямоугольник имеет размеры 25 х 16 см?
11.12.    Прямоугольный участок земли засевают травой. Размеры участка 22 х 28 м. Сколько потребуется килограммовых пакетов семян, если содержимого одного пакета хватает, чтобы засеять 70 м2?
11.13.    Докажите, что если два прямоугольника имеют одно и то же основание Ъ, то их площади относятся, как и их высоты.
11.14.    Вычислите площадь прямоугольника, если две его стороны равны: а) 30 см и 2,9 см; б) 34 см и 0,6 дм; в) 4 м и 1 м 4 дм.
11.15.    Вычислите неизвестную сторону прямоугольника, если его площадь и одна из сторон соответственно равны: а) 270 см2 и 15 см; б) 142 м2 и 35 м 50 см; в) 16 км2 и 4000 м; г) 0,096 км2 и 300 м. 
11.16.    1. Площадь земельного участка равна 250 а. Чему равна площадь этого участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах; в) в гектарах?
2.    Площадь земельного участка равна 24 га. Чему равна площадь этого участка: а) в квадратных километрах; б) в квадратных метрах; в) в арах?
3.    Площадь земельного участка равна 350 000 м2. Выразите эту площадь: а) в квадратных километрах; б) в арах; в) в гектарах.
11.17.    Участок прямоугольной формы имеет площадь 400 га. Вычислите периметр этого участка, если: а) длина участка равна 10 км; б) участок имеет форму квадрата.
11.18.    1. Вычислите стороны прямоугольника, если они относятся как 4 : 9, а площадь его равна 36 м2.
2. Вычислите периметр прямоугольника, если его площадь равна 144 см2, а отношение смежных сторон равно 1 : 2.
11.19.    1. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличить на 10% ?
2. На сколько процентов уменьшится площадь прямоугольника, если каждую его сторону уменьшить на 10% ?
11.20.    Вычислите площади фигур, данных на рисунке 11.1, а, б, разбив их на прямоугольники и проведя все необходимые измерения. (Все углы фигур или 90°, или 270°.)
11.21.    Запишите формулы, по которым, зная а, =, си ?, можно вычислить площади фигур, данных на рисунке 11.2, а— в. (Все углы фигур или 90°, или 270°.)
11.22.    Площади фигур на рисунке 11.3, а, б (размеры даны в миллиметрах) равны: а) 550 мм2, б) 1300 мм2. Вычислите х, если все углы фигур или 90°, или 270°.
11.23.    Длина комнаты 5,4 м, а ширина 4,2 м. В комнате два окна шириной 1,2 м и высотой 1,6 м. Освещенность комнаты считается нормальной, если площадь окон (световая площадь) составляет 20% от площади пола. Нормально ли освещение комнаты?
11.24.    Известно, что периметр прямоугольника, каждая из сторон которого измеряется целым числом сантиметров, равен 12 см. Вычислите площадь этого прямоугольника. В каком случае площадь прямоугольника будет наибольшей?
11.25.    Вычислите площади квадратов, изображенных на рисунке 11.4, а—в, предварительно измерив их стороны.
 
Рис. 11.3    Рис. 11.4

11.26.    Вычислите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 256 см2; б) 76,8 м2; в) 14,6 мм2.
11.27.    Вычислите периметр квадрата, площадь которого равна 2,5 м2.
11.28.    Сколько нужно кафельных плиток размером 10 х 10 см, чтобы выложить ими прямоугольный участок стены размером 4 м 70 см х 2 м 10 см?
11.29.    Площадь прямоугольника равна 48 см2, одна из его сторон равна 8 см. Прямая, параллельная одной из сторон прямоугольника, разбивает его на два равных прямоугольника. Вычислите периметры образовавшихся прямоугольников.
11.30.    Основание и высота одного из двух прямоугольников соответственно равны 20 и 60 см, площадь второго прямоугольника равна половине площади первого, и одна из его сторон равна 50 см. Вычислите периметр второго прямоугольника.
11.31.    Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и сложите из них: а) равнобедренный треугольник;
б)    прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Почему площади всех получившихся фигур равны?
* * * ь 11.32. Основание прямоугольника в два раза больше его высоты. Покажите на рисунке, выполненном в
тетради: а) как разрезать этот прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было составить прямоугольный треугольник; б) как разрезать его на две части так, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник; в) как разрезать его на три части так, чтобы из них можно было составить квадрат.
11.33.    На рисунке 11.5 изображены два квадрата, они расположены так, что вершина одного квадрата совпадает с центром другого. Найдите площадь затемненного четырехугольника, если длины сторон обоих квадратов равны а.
11.34.    Докажите, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
11.35.    Докажите, что из всех равновеликих прямоугольников наименьший периметр имеет квадрат.
11.36.    Е, F, К и L — середины сторон квадрата ABCD (рис. 11.6). Сравните площадь четырехугольника MNOP с площадью квадрата ABCD.
11.37.    ABCD — квадрат (рис. 11.7); Е, F, К, L, M, N, O, P — точки, делящие каждую сторону квадрата на три равные части.
2
Докажите, что площадь четырехугольника QRST равна ^ площади квадрата ABCD.
11.38.    Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведенной к гипотенузе.
11.39.    Постройте квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата.
11.40.    Докажите, опираясь на свойства площадей, что при любых положительных рациональных числах р и q прямоугольник с 
11.41.    Через точку внутри квадрата проведены прямые, параллельные его сторонам и диагоналям (рис. 11.9). Докажите, что сумма затемненных площадей равна сумме незатемненных площадей.
11.42.    Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 х 5 х 3 м, если размер одного куска 0,5 х7 м и на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери?
11.43.    Докажите, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
11.44.    Докажите, что из всех равновеликих прямоугольников наименьший периметр имеет квадрат.
11.45.    Вычислите диагональ и площадь прямоугольника, периметр которого равен 14 см, если его вершина удалена от диагонали, не проходящей через эту вершину, на 2,4 см.
11.46.    В квадрат, длина стороны которого а, вписан прямоугольник так, что каждой стороне квадрата принадлежит вершина прямоугольника. Вычислите длину диагонали прямоугольника, если он отличен от квадрата и его площадь равна S.
11.47.    Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
11.48.    В прямоугольном треугольнике АСВ а = 38 см, Ъ = 45 см (рис. 11.10).
Вычислите площадь каждого из затемненных треугольников.
11.49.    В квадрат вписан другой квадрат. Один из острых углов между сторонами квадратов равен а. При ка 
вписанного квадрата составляет
площади описанного.
11.50.    Дан квадрат ABCD; точки Р, Q, R, S — середины его сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что прямые AR, BS, CP, DQ своим пересечением образуют квадрат, площадь которого
составляет площади данного квадрата. 5
11.51.    На рисунке 11.11, а—и укажите равновеликие параллелограммы.
11.52.    В параллелограмме ABCD сторона AB равна 10 см, Q а высота, проведенная к этой стороне, равна 12 см.
Найдите площадь параллелограмма ABCD.
* * * и 11.53. Какие значения может принимать площадь па \f раллелограмма ABCD, если его диагонали равны т и я? J 11.54. Каждая из сторон параллелограмма меньше 2 см. Какие значения может принимать площадь S этого параллелограмма?
11.55.    Какие значения может принимать площадь ромба, если: 1) его сторона равна а; 2) его высота равна i?
11.56.    Нарисуйте параллелограмм, произведите необходимые измерения и вычислите его площадь.
11.57.    1. Вычислите площадь параллелограмма, если его стороны равны 4 и 6 см, а угол между ними равен 30°.
2. Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а один из углов равен 150°.
11.58.    Постройте прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 см и BC = 3 см и равновеликий ему параллелограмм ABEF со стороной BE = 5 см.
11.59.    1. Площадь параллелограмма равна 24 см2. Вычислите расстояние между его сторонами, равными 6 см.
2. В параллелограмме, площадь которого равна 41 см2, стороны равны 5 и 10 см. Вычислите высоты параллелограмма.
11.60.    Стороны параллелограмма 6 и 4 см. Одна из высот равна 5 см. Найдите другую высоту. Сколько решений имеет задача?
11.61.    Постройте параллелограмм, площадь которого 10 см2, а стороны 5 и 3 см.
11.62.    Дан параллелограмм ABCD; AB = 12 см, AC = 16 см. Вершина D удалена от диагонали AC на 4 см. Вычислите расстояние от точки D до прямой AB.
11.63.    Найдите множество вершин параллелограммов, равновеликих данному параллелограмму ABCD и имеющих расстояние между его сторонами, равными 6 см.
11.64.    В параллелограмме, площадь которого равна 41 см2, стороны равны 5 и 10 см. Вычислите высоты параллелограмма.
11.65.    Две полосы шириной 4 и 1 см, пересекаясь, образуют параллелограмм, площадь которого равна 6 см2. Вычислите стороны параллелограмма.
11.66.    Постройте ромб. Выполните необходимые измерения и вычислите его площадь.
11.67.    Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а один из углов равен 150°.
11.68.    Диагонали ромба равны 8 и 14 см. Найдите площадь ромба. 
11.69.    Найдите высоту ромба, стороны которого равны 10 см, а площадь 100 см2.
11.70.    Через вершину ромба проведите две прямые, делящие ромб на три равновеликие части.
11.71.    Площадь параллелограмма равна 24 см2. Точка пересечения его диагоналей удалена от прямых, на которых лежат стороны, на 2 и 3 см. Вычислите периметр этого параллелограмма.
11.72.    Постройте два неравных равновеликих параллелограмма с общей стороной.
11.73.    1. Выведите формулу, выражающую площадь S ромба через его диагонали т и п.
2. Выведите формулу для вычисления площади S квадрата по его диагонали >.
11.74.    1. Вычислите площадь ромба, диагонали которого имеют длины: а) 2,5 и 3,6 дм; б) 8,8 и 9,5 м.
2. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 6,2 см, а один из углов равен 30°.
11.75.    Вычислите диагонали ромба, если известно, что их длины пропорциональны числам 2, 3, а площадь ромба равна 12 см2.
11.76.    1. Параллелограмм (не прямоугольник) и прямоугольник имеют соответственно равные стороны. Вычислите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника.
2. Начертите прямоугольник и параллелограмм (не прямоугольник) с соответственно равными сторонами. Какая из фигур имеет большую площадь?
11.77.    В параллелограмме ABCD вершина A соединена отрезками с серединами сторон BC и CD и вершиной C (рис. 11.12). Докажите, что треугольники S, 2, 3, 4 равновелики.
11.78.    Дано: ABCD — параллелограмм, точка Е принадлежит диагонали BD. Проведены KL У BC и MN У AB (рис. 11.13). Докажите, что AKEN и EMCL — параллелограммы и что
SAKEN = SEMCL.
11.79.    Участок земли имеет форму параллелограмма. Покажите на рисунке, выполненном в тетради, как можно разбить его на два участка так, чтобы1 их площади быкли пропорциональны числам 3 и 4, а линия деления была бы параллельна основанию.
11.80.    Через вершину параллелограмма проведите прямые, разбивающие этот параллелограмм на: а) 4 равновеликие части;
б)    5 равновеликих частей.
11.81.    Докажите, что прямая, проходящая через центр симметрии параллелограмма, разбивает его на две равновеликие части.
11.82.    Найдите площадь S параллелограмма, периметр которого равен т, а точка пересечения диагоналей О находится на расстоянии t от каждой из его сторон.
* * * и 11.83. В параллелограмме ABCD проведены четыре отрезка: вершина B соединена с середи
ной стороны DC, вершина A соединена с серединой стороны1 BC, вершина C соединена с серединой стороны AD, вершина D соединена с серединой
стороны AB (рис. 11.14). Докажите, что четырехугольник, образуемый этими четырьмя отрезками, — параллелограмм и что его площадь в пять раз меньше площади параллелограмма ABCD.
11.84.    Докажите, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда каждая из его диагоналей делит его площадь пополам.
11.85.    Через данную точку проведите прямую, рассекающую данный параллелограмм на две равновеликие части.
11.86.    Через точку, взятую на диагонали AC параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограмм делится ими на четыре параллелограмма. Два из них пересекаются диагональю AC. Докажите, что два другие параллелограмма равновеликие.
11.87.    На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.
11.88.    Дан параллелограмм ABCD, точки М, N, Р, Q — середины его сторон AB, BC, CD, DA. Прямые АР, CM, DN и BQ своим пересечением определяют четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник есть также параллелограмм и его
площадь составляет 8 площади данного параллелограмма.
5
11.89.    Точки М и N — середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Прямые DM и BN пересекаются в точке Р. Какую часть площади данного параллелограмма составляет площадь четырехугольника AMPN1
11.90.    Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB и AD даны соответственно точки М и N, причем AM : MB = \, AN : ND = l. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р. Какую часть площади данного параллелограмма составляет площадь четырехугольника AMPN1
11.91.    Середина каждой стороны параллелограмма соединена с вершинами, принадлежащими противолежащей стороне. Докажите, что площадь образовавшегося восьмиугольника составляет 88 площади параллелограмма.
11.93.    Две стороны треугольника равны 5 и 6 см. Может ли его площадь быть равна: а) 10 см2; б) 15 см2;
в)    20 см2?
11.94.    Можно ли площадь прямоугольного треугольника вычислить по формуле площади треугольника?
11.95.    Какую фигуру образуют вершины равновеликих треугольников, имеющих общее основание АВ?
11.96.    Треугольник и параллелограмм имеют равные основания и высоты. Как относятся их площади?
11.97.    Длины двух сторон треугольника равны 4 и 3 см. Какой может быть его площадь?
11.98.    Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 и 7 см; б) 1,2 и 35 дм.
11.99
проведенную к стороне, равной
11.100. Дайте несколько различных доказательств теоремы о вычислении площади треугольника.
11.101.    Найдите зависимость между площадью S данного треугольника и площадью $1 треугольника, отсеченного от него любой из средних линий.
11.102.    Вычислите площадь, занятую школьным садом и огородом (рис. 11.16). Произведите необходимые построения и измерения. Масштаб 1 : 5000.
11.103.    Выведите формулу для вычисления площади равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе с.
11.104.    Вычислите площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см.
11.105.    Дан треугольник АВС (рис. 11.17); А = 90°, А9 ± СВ. Найдите: а) площадь треугольника АВС; б) отношение площадей треугольников АВ9 и АС9; в) длину отрезка А9.
11.106.    Дан треугольник АВС; АВ =
= ЗАС. Чему равно отношение высот, проведенных из вершин В и С?
11.107.    Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8 см, гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведенную к гипотенузе.
11.108.    Основание одного треугольника 10 см, его высота 4 см. Основание другого треугольника 20 см. Какова должна быть его высота, проведенная к этой стороне, чтобы треугольники были равновелики?
11.109.    Стороны прямоугольника 5 и 6 см. Постройте равновеликий ему треугольник с основанием 7,5 см. Сколько решений имеет задача?
11.110.    В треугольнике высоты, проведенные к сторонам а и Ъ,
равны    и i=.
1.     Докажите, что а : Ъ =    : i<.
2.     Докажите, что если в треугольнике а < Ъ, то    < i<.
11.111.    1. Докажите, что во всяком треугольнике высоты обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены.
2. Существует ли треугольник, высоты которого равны: а) 5 см, 4 см, З см; б) 1 см, 1 см, З см; в) 5 см, 10 см, 12 см?
11.112.    1. Вычислите площади фигур, изображенных на рисунке 11.18, а, б.
2. Напишите формулы для вычисления площадей фигур, изображенных на рисунке 11.19, а, б.
11.113.    Площадь фигуры, изображенной на рисунке 11.20, равна 805 мм2. Вычислите неизвестный размер х.
11.114.    Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два треугольника одинаковой площади.
11.115.    У одного треугольника длина каждой стороны меньше 1 см, а у другого треугольника длина каждой стороны больше 10 м. Может ли площадь второго треугольника быть меньше площади первого?
11.116.    Докажите, что диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.
11.117.    Постройте параллелограмм, равновеликий данному треугольнику.
11.118.    Найдите площадь фигуры, которая является объединением равностороннего треугольника, имеющего площадь S, и его образа при повороте на 60° вокруг центра этого треугольника.
11.119.    Площадь равнобедренного треугольника равна S. Найдите площадь фигуры, которая является пересечением этого треугольника и его образа при симметрии относительно оси, параллельной основанию и делящей высоту, проведенную к этому основанию, в отношении 1 : 2, считая от основания.
11.120.    Через точку Е, расположенную внутри угла ВАС, проведите прямую так, чтобы она отсекала от угла ВАС треугольник наименьшей площади.
11.121.    Отрезок данной длины движется так, что концы его скользят по сторонам прямого угла. При каком положении этого отрезка площадь отсекаемого им треугольника будет наибольшей?
11.122.    Постройте равнобедренный треугольник, равновеликий данному треугольнику так, чтобы основание построенного треугольника было равно одной из сторон данного треугольника.
11.123.    В параллелограмме АВСО точка К принадлежит 9С и ВС, ВК = КО = ОС. Найдите отношение площадей: а) треугольников DLK и DO С; б) треугольников 9АС и 9СК; в) треугольника 9АС и четырехугольника А9ОВ: г) треугольника 9СО и четырехугольника А9КВ; д) четырехугольников АВК9 и АВО9.
11.124.    Через вершину треугольника проведите прямую, разбивающую его: а) на два равновеликих треугольника; б) на два треугольника, площади которых относятся как 2 : 3.
11.125.    Через вершину треугольника проведите две прямые, разбивающие его на три равновеликих треугольника.
11.126.    Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма АВС9.
1.    Докажите, что если точка О находится внутри параллелограмма, то сумма площадей треугольников АВО и С9О равна сумме площадей треугольников ВСО и 9АО.
2.    Сохранится ли это равенство, если точка О находится на стороне параллелограмма?
3.    Сохранится ли это равенство, если точка О находится в вершине параллелограмма?
11.127.    Даны точки А, В, С и D такие, что А9 = ВС, В9 = = АС, АВС9 — многоугольник. Докажите, что: а) ^ВА9 = = ^АВС; б) ^АС9 = ^В9С.
11.128.    Постройте равнобедренный треугольник, равновеликий данному треугольнику, так, чтобы основание построенного треугольника было равно одной из сторон данного треугольника.
11.129.    Постройте треугольник, равновеликий данному треугольнику, так, чтобы основание построенного треугольника совпадало с одной из сторон данного треугольника, а один из углов при основании был равен 45°.
11.130.    Укажите наиболее рациональный способ вычисления площадей фигур, изображенных на рисунке 11.21, а, б.
11.131.    Через центр симметрии квадрата ABCD со стороной а проведена прямая I, пересекающая сторону AB; A и B не принадлежат прямой I. Выразите сумму расстояний от вершин квадрата до прямой I через а и длину Ъ отрезка прямой I, затемненного внутри квадрата.
11.132.    Каждая сторона треугольника разделена на три равных отрезка и точки деления соединены с вершинами (рис. 11.22).
Найдите отношение площадей данного треугольника и затемненного.
11.133.    Дан треугольник, площадь которого равна 6 см2. Стороны его разделены пополам, и точки деления последовательно соединены отрезками. Стороны получившегося треугольника вновь разделены пополам, и также построен треугольник. Вычислите площадь последнего треугольника.
11.134.    Какой вид должен иметь треугольник со сторонами а и Ъ, чтобы его площадь была наибольшей? Вычислите площадь такого треугольника.
11.135.    Через точку М, принадлежащую треугольнику ABC, проведены прямые, параллельные его сторонам. Каждые две из этих прямых и сторона данного треугольника определяют новый треугольник. Докажите, что если эти треугольники имеют площади S^ SF, S3, а площадь данного треугольника равна S, то
VS Js1 + TS2 + Js3.
11.136.    В прямоугольном треугольнике АВС (Z АСВ = 90°) проекции точки М пересечения медиан на стороны ВС, АС, АВ обозначим Ма,
Мь, М> (рис. 11.23). Докажите, что
= S2 + S3, где Sp S2, S3 — соответственно площади треугольников ММаМь, ММьМ>, ММаМ>.
11.137.    Точка О — точка пересечения отрезков АС и BD (рис. 11.24).
Докажите, что площади треугольников АОВ и DOC равны тогда и только тогда, когда прямые ВС и А9 параллельны.
11.138.    В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А и делящая медиану ВМ в отношении 1 : 2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников АВК и АВС.
11.139.    Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие ее с вершинами основания (рис. 11.25). Какую часть площади составляет каждая из частей, на которые эти две прямые разрезают треугольник?
11.140.    Дан треугольник АВС. Продолжим его сторону АВ за вершину В отрезком ВР = АВ, сторону АС — за вершину А отрезком АМ = СА, сторону ВС — за вершину С отрезком КС = = ВС. Во сколько раз площадь треугольника РКМ больше площади треугольника АВС?
11.141.    Внутри треугольника АВС лежит точка М. Докажите, что площади треугольников АВС и СВМ равны тогда и 
только тогда, когда точка М находится на медиане ВК (К € АС) (рис. 11.26).
11.142.    Как в треугольнике АВС провести ломаную BDEFG (рис. 11.27), чтобы все пять полученных треугольников имели одинаковые площади?
11.143.    На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены произвольные параллелограммы АСМЫ и ВСРЯ, стороны MN и PQ которых пересекаются в точке S. Докажите, что площадь параллелограмма АВиЫ, где Ви || SС и Ви = SС, равна сумме площадей параллелограммов АСМЫ и BСPQ.
11.144.    Прямой, проходящей через данную точку, взятую на стороне треугольника, разделите этот треугольник на две равновеликие части.
11.145.    Через точку пересечения медиан треугольника проведена прямая. Докажите, что отношение площади образовавшего
ся треугольника к площади оставшейся части не меньше
11.146.    На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС даны точки А1, В1, Ср причем ВА1 : А1С = СВ1 : В^А = АС1 : С1В = 2. Прямые ААр ВВ1, СС1 попарно пересекаются в точках М, N, Р: М — точка пересечения прямых ВВ1 и ССр N — точка пересечения прямых СС1 и АА1, Р — точка пересечения прямых АА1 и ВВр До
ди данного треугольника.
11.147.    В треугольник АВС вписан треугольник А1В1С1 и около него же описан треугольник А2В2С2, причем соответствующие стороны построенных треугольников параллельны. Докажите, что
2
SАBС = SА1B1С1 ' SА2В2С2 .
11.148.    Из основания высоты треугольника проведены к двум другим его сторонам перпендикуляры. Докажите, что если основания этих перпендикуляров расположены на одной прямой с центром описанной около треугольника окружности, то эта прямая делит треугольник на равновеликие части.
11.149.    В квадрате ABCD точка М одинаково отстоит от вершин A и B, а также от стороны CD (рис. 11.28). Какую часть площади квадрата составляет площадь треугольника ABM?
11.150.    Можно ли по формуле площади трапеции вычислить: площадь прямоугольного треугольника? площадь прямоугольника?
11.151.    Можно ли площади треугольника и трапеции вычислить по формуле S = ch, где с — средняя линия, а h — высота треугольника или трапеции соответственно?
11.152.    Вычислите площадь трапеции, основания которой 12 и 16 см, а высота 15 см.
11.153.    Вычислите площадь трапеции, большее основание которой 38 см, высота 14 см, а проекции боковых сторон на основание равны высоте трапеции.
11.154.    Верно ли, что площадь трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна половине произведения длин диагоналей?
11.155.    Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 3,6 дм, 6 дм. Вычислите площадь этой трапеции. 
11.156.    Докажите, что прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая основания, делит эту трапецию на две равновеликие части.
11.157.    Покажите, как можно разделить трапецию прямыми на п равновеликих частей (п = 3; 4).
11.158.    Вычислите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 2 см и 4 см, а один из углов 45°.
11.159.    По данным на рисунке 11.29, а—, размерам постройте трапеции и найдите их площади, проведя необходимые измерения.
11.160.    По размерам, проставленным на рисунке 11.30, а, б, вычислите площади трапеций.
а)    б)
Рис. 11.30
11.161.    Площади многоугольников (рис. 11.31, а, б) равны: а) 12 110 мм2; б) 3375 мм2. Вычислите размер k.

 

11.162.    Середины оснований трапеции соединены отрезком. Докажите, что полученные две трапеции равновелики.
11.163.    Дана трапеция ABCD; АВ || CD, М принадлежит отрезку АВ, АМ = МВ, Р принадлежит отрезку MD. DP = СМ, Q принадлежит отрезку MC, CQ = MQ. Докажите, что треугольники APD и BQC равновелики.
11.164.    Дан треугольник ABC; АВ = AC = BCJ5 = а. Выразите через а площадь треугольника ABC.
11.165.    От участка земли, имеющего форму трапеции, нужно отделить треугольный участок так, чтобы его площадь была равна площади оставшейся части. Как это можно сделать?
11.166.    Участок земли, имеющий форму трапеции, требуется разделить на четыре равновеликие части, каждая из которых должна быть трапецией. Как это можно сделать?
11.167.    Дано: ABCD — трапеция,
CK = KD, КЕ ± AB (рис. 11.32). Докажите, что: 13 SABK = 22 SABCD; 2) SABCD =
= АВ • ЕК.
11.168.    Вычислите площадь треугольника, две медианы которого взаимно перпендикулярны и равны та и т=.
11.169.    Внутри равнобедренного треугольника ABC (АВ = BC) дана точка М. Найдите множество точек М, для которых площади треугольников АМВ и BMC равны.
11.170.    Вычислите площадь трапеции CDEF, если CD || EF, ZF = 45°, FE = 2CD = 5CF = 5 см.
11.171.    Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую длину может иметь большая диагональ этой трапеции?
11.172.    Вычислите площадь трапеции с основанием 1 см, боковой стороной 3 см, составляющей с большим основанием угол 30°, если другой угол при большем основании равен 45°.
11.173.    Диагональ AC равнобокой трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне BC, AC = 4а, AD = 3а. Выразите площадь трапеции через а.
* * * и 11.174. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на нее из середины другой боковой стороны.
11.175.    В трапеции ABCD (BC II AD) точка К (середина AB) соединена с вершинами С и D (рис. 11.33). Найдите отношение площади треугольника KCD к площади трапеции.
11.176.    В данной трапеции ABCD (ВС I AD) проведена диагональ AC (рис. 11.34). На какой высоте нужно пересечь трапецию прямой, параллельной основаниям, чтобы сумма площадей треугольников AKL и LMC была наименьшей (К, L, M — точки пересечения прямой с отрезками AB, AC и CD соответственно)?
11.177.    В трапеции ABCD длина боковой стороны CD равна а, а расстояние от середины AB до CD равно Ъ. Найдите площадь трапеции.
11.178.    Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что если стороны AD и BC параллельны, то треугольники AOB и COD равновелики. Докажите так же, что если AOB и COD равновелики, то AD и BC параллельны.
11.179.    Основания трапеции равны а и Ъ, боковые стороны равны > и d. Постройте эту трапецию. Найдите площадь трапеции.
11.180.    Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны т и п, а средняя линия равна I.
11.181.    Диагонали трапеции равны 6 и 8, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 5. Найдите площадь трапеции.
11.182.    Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны 4 и 9. Найдите площадь трапеции.
11.183.    Основания трапеции равны а и Ъ. Прямая, параллельная основаниям, делит трапецию на две равновеликие части. Найдите длину отрезка этой прямой внутри трапеции.
11.184.    Основания трапеции равны а и Ъ. Прямая, параллельная основаниям трапеции, пересекает боковые стороны. Отрезок этой прямой внутри трапеции равен > (а < > < Ъ). В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
11.185.    Основания трапеции равны а и Ъ, угол между диагоналями а (угол, под которым видны основания из точки пересечения диагоналей). Боковые стороны при продолжении пересекаются под углом р. Найдите площадь трапеции. 
11.186.    Е — середина стороны АВ трапеции ABCD (ВС || AD). Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции ABCD.
11.187.    Дана прямоугольная трапеция ABCD, DA Е АВ, СВ Е АВ. Из двух точек М и N, расположенных на стороне АВ, противоположная сторона CD видна под прямым углами. Докажите, что SABCD = SMCD W SNCD$
11.188.    На основании АВ трапеции ABCD дана точка М. Постройте на стороне CD такую точку N, чтобы площадь четырехугольника, полученного при пересечении прямых AN, BN, CM и DM, была наибольшей.
11.189.    Вокруг окружности радиуса г описана равнобокая трапеция ABCD; Е и К — точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием АВ и боковой стороной АВ трапеции равен 60°. Докажите, что прямая ЕК параллельна прямой АВ, и найдите площадь трапеции АВЕК.

11.192.    Разметьте на местности участок земли, имеющий форму многоугольника, произведите необходимые измерения и вычислите площадь этого участка.
11.193.    Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику.
11.194.    Постройте равновеликие: а) прямоугольники; б) треугольник и четырехугольник; в) ромб и прямоугольник (отличные от квадрата).
11.195.    Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон другого четырехугольника, имеющего площадь S.
11.196.    Выведите формулу для вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке 11.37, если известно, что АВ || DE || CF, АВ = DE, AF = FE и CF ± АЕ.
11.197.    Докажите, что площадь фигуры, изображенной на
рисунке 11.38, равна 1 (BD • CK + АЕ • ОК), если известно, что BD || АЕ и CK ± АЕ.
11.198.    Докажите, что если точки Р, Q, R и S — середины сторон четырехугольника АВС9, то SAВCD = FSPQRS.
11.199.    Докажите, что если средняя линия четырехугольника делит его на две равновеликие части, то четырехугольник есть трапеция.
11.200.    Средние линии четырехугольника разбивают его на четыре четырехугольника. Докажите, что сумма площадей двух неприлежащих четырехугольников составляет половину площади четырехугольника.
11.201.    Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, равны 3 и 4 см, одна из его диагоналей — 5 см. Вычислите площадь этого четырехугольника.
11.202.    Докажите, что если два четырехугольника расположить так, что середины их сторон совпадают (рис. 11.39), то их площади равны.
11.203.    В четырехугольнике соединены середины соседних сторон. Какой четырехугольник образуют проведенные отрезки? Найдите отношение площади этого четырехугольника к площади исходного.
11.204.    Середины сторон BC и AD (точки М и N) четырехугольника ABCD соединены с его вершинами, как показано на рисунке 11.40. Докажите, что SAMD = YABN W YNCD.
11.205.    Дан четырехугольник ABCD. Его средние линии пересекаются в точке М. Построена ломаная MAUV, где AU = МВ, MU = МС. Докажите, что М — середина отрезка VD. Найдите отношение площади четырехугольника ABCD к площади четырехугольника MAUV.
11.206.    На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD даны точки М и N, такие, что АМ : MB = CN : ND. Пусть отрезки AN и DM пересекаются в точке Р, а отрезки CM и BN — в точке Q. Докажите, что площадь четырехугольника MQNР равна сумме площадей треугольников APD и BCQ.
11.207.    Дан четырехугольник ABCD. Точки Ми N делят сторону AB на три равных отрезка, точки М1 и N1 делят противоположную сторону DC также на три равных отрезка. Докажите, что площадь четырехугольника MNN1М1 составляет
площади данного четырехугольника.
11.208.    Дан четырехугольник ABCD. Каждая его сторона разделена на три равных отрезка и точки деления, расположенные на противоположных сторонах, соединены отрезками, разделяющими данный четырехугольник на 9 четырехугольников. Докажите, что тот из них, который не имеет общих точек со
угольника. 
11.209.    На сторонах четырехугольника ABCD взяты точки М, Р, К, Н так, что AM : MB = 3 : 5; BP : PC = 1 : 3, CK : KD = = 4 : 5; DH : HA = 1 : 8. Найдите отношение площади шестиугольника MBPKDH к площади четырехугольника ABCD. Подумайте, при любых ли отношениях AM к MB, BP к PC и так далее можно решить эту задачу.
11.210.    Дан четырехугольник ABCD, обладающий следующими свойствами: прямая, проходящая через точку C параллельно прямой AD, и прямая, проходящая через точку D параллельно прямой BC, пересекаются на стороне AB в точке M. Докажите, что SCMD = *JSAMD ’ SBMC $
11.211.    Точка М принадлежит четырехугольнику ABCD. Будет ли этот четырехугольник параллелограммом, если треугольники AMB, BMC, CMD, DMA равновелики?
11.212.    Диагонали четырехугольника площадью 45 ед2 делятся точкой их пересечения в отношении 2 : 3 и 4 : 5. Вычислите площадь каждого из четырех треугольников, на которые эти диагонали разбивают данный четырехугольник.
11.213.    Выразите площадь затемненного многоугольника через длину т отрезка ON, если прямая MN перпендикулярна оси Ox (рис. 11.41, а—г).
11.214.    Внутри выпуклого четырехугольника, площадь которого S, дана точка A. Определите вид и вычислите площадь
четырехугольника, вершинами которого являются точки, симметричные точке А относительно середин сторон данного четырехугольника.
11.215.    На продолжении стороны BC четырехугольника ABCD найдите такую точку О, чтобы площадь четырехугольника ABCD равнялась площади треугольника АВО.
11.216.    Докажите, что если внутри четырехугольника ABCD существует такая точка О, что отрезки АО, ОВ, ОС, OD делят его на четыре равновеликие части, то хотя бы одна из диагоналей делит другую диагональ пополам. Сформулируйте и докажите обратную теорему.
11.217.    Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD перпендикулярны. Вычислите площадь этого четырехугольника, если АВ = 2 см, ВС = 7 см, CD = 4 см, DA = 5 см.
11.218.    Докажите, что если длины диагоналей четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин средних линий четырехугольника.
11.219.    Длины диагоналей четырехугольника равны а, а сумма длин его средних линий равна Ъ. Вычислите площадь четырехугольника.
11.220.    Найдите площадь четырехугольника ABCD, если его диагонали взаимно перпендикулярны и равны 4,5 и 6,5 см.
11.221.    В четырехугольнике KLMN диагональ КМ делит диагональ NL на два равных отрезка. Докажите, что YKLM = YKNM.
11.222.    Диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника с общей вершиной в точке пересечения диагоналей. Площади трех из этих треугольников равны 1 см2, 2 см2 и 3 см2. Какова площадь четвертого треугольника?
11.223.    Прямые, проведенные через вершины четырехугольника параллельно его диагоналям, ограничивают параллелограмм. Докажите, что площадь параллелограмма вдвое больше площади четырехугольника.
11.224.    Докажите, что если у двух четырехугольников диагонали соответственно равны и пересекаются под равными углами, то четырехугольники равновелики.
11.225.    Дан четырехугольник ABCD^, BD — его диагональ. Через вершины C и D проведены прямые, параллельные соответственно прямым BD и BC, М — точка их пересечения. Докажите что БАCM = БАВCD.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (01.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 1.0/1


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar