Тема №5329 Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 6) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа
11.226.    Прямая, параллельная диагонали AC четырехугольника ABCD и проходящая через середину его диагонали BD, пересекает сторону AD в точке Е. Докажите, что прямая СЕ делит площадь четырехугольника ABCD пополам.
11.227.    Через середину каждой диагонали четырехугольника проведена прямая, параллельная другой его диагонали. Точка О пересечения этих прямых соединена отрезками с серединами сторон четырехугольника. Докажите, что эти четыре отрезка делят площадь четырехугольника на четыре равные части.
11.228.    Все внутренние углы шестиугольника ABCDEF равны; AB = CD = EF = 4а, BC = DE = FA = За. Вычислите его площадь.
11.229.    Вычислите площадь многоугольника ABCDEFG, в котором AB = BC = CD = DE = EF = FG = 1 и ZABC = ZACD = = ZADE = ZAEF = ZAFG = 90°. Какую закономерность вы заметили при вычислении длин диагоналей AC, AD, AE, AF и стороны AG этого многоугольника?
11.230.    Отрезок AB точками C и D разбит на три равных отрезка, AC = CD = DB. На этих отрезках, как на сторонах по одну сторону отрезка AB, построены равносторонний треугольник ACE, квадрат CDGF и прямоугольный треугольник DBH (ZB = 90°), в котором BH = 0,5 DB. Точки E и F и точки G и H соединены отрезками. Вычислите площадь многоугольника AEFGHB, если AB = З=.
11.231.    На сторонах треугольника ABC вне его построены квадраты ABEF, BCPQ, CAMN. Какую наибольшую площадь может иметь шестиугольник EFMNPQ, если BC = а, CA = =?
11.232.    Две прямые делят каждую
из двух сторон четырехугольника на три равные части (рис. 11.42). Докажите, что между этми прямыми заключе


11.233.    Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что треугольники ACE и BDF равновелики. 
11.234.    Дан пятиугольник, в котором проведены пять отрезков, соединяющих вершины пятиугольника с серединами противолежащих им сторон. Докажите, что если четыре из этих отрезков имеют общую точку, то она принадлежит и пятому отрезку.
11.235.    В пятиугольнике ABCDE углы АВС и CDE равны по 90°, стороны ВС, CD и AE равны по 1 и сумма сторон АВ и DE равна 1. Докажите, что площадь пятиугольника равна 1 (см. рис. 11.43).
11.236.    Покажите, что на рисунке 11.44 закрашена ровно половина площади правильной пятиконечной звезды.
11.237.    Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образуемых парами сторон и диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.
11.238.    Докажите, что если соединить середины последовательных сторон выпуклого яугольника (рис. 11.45), то у полученного многоугольника:
а)    периметр не меньше половины периметра М (я > 3);
б)    площадь не меньше половины площади М (я > 4).
11.239.    Два квадрата АКВМ и CNDL расположены на плоскости так, что ABCD — выпуклый четырехугольник, причем точки К и L лежат внутри этого четырехугольника. Докажите, что площадь этого четырехугольника равна (MN2 KL2)/4.
11.240.    Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырехугольник.
1.    Могут ли площади всех четырех частей быть равными?
2.    Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвертой части?
12.1.    Два квадрата расположены внутри полукруга так, как показано на рисунке 12.1. Докажите, что площадь большего квадрата в четыре раза превосходит площадь меньшего квадрата.
12.2.    Все стенки и дно картонной коробки (без крышки) представляют собой квадраты площадью 1 ед.2. Разрежьте коробку на три части так, чтобы из них можно было сложить квадрат площадью 5 ед.2.
12.3.    ABCD — квадрат со стороной а. Вычислите площадь звезды AKBLCMDN, если все ее стороны равны, а точки К, L, М, N удалены от сторон AB, BC, CD AD соответственно на расстояние b (рис. 12.2).
12.4.    От каждой вершины квадрата со стороной а на его сторонах отложены отрезки, равные половине его диагонали. Полученные восемь точек последовательно соединены (рис. 12.3).
Определите вид затемненного восьмиугольника и вычислите его площадь.
12.5.    Вычислите отношения площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, если периметры этих фигур равны.
12.6.    Сумма стороны а и высоты i равностороннего треугольника равна \. Выразите через k площадь этого треугольника.
12.7.    Разность стороны равностороннего треугольника и его высоты равна т. Выразите через т площадь этого треугольника.
12.8.    Две противоположные стороны правильного восьмиугольника и перпендикулярные к ним диагонали образуют прямоугольник. Выразите площадь прямоугольника через сторону а восьмиугольника.
12.9.    Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению наибольшей и наименьшей его диагоналей.
12.10.    1. Правильный восьмиугольник можно разрезать на конечное число параллелограммов (например, как на рис. 12.4). Попробуйте выполнить другие возможные разрезания и докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.
2.    Правильный 4\угольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы k прямоугольников.
3.    Найдите суммарную площадь прямоугольников из пункта 2, если длина стороны 4\угольника равна 1.
12.11.    Как изменится площадь круга, если: а) диаметр уменьшить в 4 раза; б) радиус увеличить в 3 раза? 
* * *

12.13.    Выразите площадь круга через длину его окружности.
12.14.    Чему равна площадь круга, если длина окружности равна: а) 4; б) 2л; в) 10л?
12.15.    Вычислите площадь сечения провода, если его диаметр равен: а) 3 мм; б) 0,2 мм.
12.16.    Вычислите площадь поперечного сечения дерева, если его обхват (длина окружности) равен: а) 88 см; б) 4 дм.
12.17.    Произведите необходимые измерения и вычислите площади фигур, изображенных на рисунке 12.5, а—е (масштаб 1 : 10).
12.18.    Из квадратного листа жести вырезали круг наибольшей площади. Какая часть листа ушла в отходы?
12.19.    Постройте круг, площадь которого была бы равна: а) 4 см2; б) 16 м2 (построение приближенное).
12.20.    Вычислите площадь круга, описанного около: а) равностороннего треугольника со стороной 10 см; б) правильного шестиугольника со стороной 10 см; в) правильного восьмиугольника со стороной 10 см.
12.21.    Вычислите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.
12.22.    Вычислите площадь круга, вписанного в правильный восьмиугольник со стороной 10 см.
12.23.    Стороны треугольника АВС равны1 3, 4 и 5 см. Найдите площади четырех кругов, касающихся прямых АВ, ВС, СА (рис. 12.6).
12.24.    В Древнем Египте площадь круга считалась равной площади квадрата, сторона
8
которого равна 22 диаметра этого круга. Каким значением числа л пользо
вались египетские математики?    Рис 126
12.25.    Докажите, что отношение площадей двух кругов равно квадрату отношения их радиусов.
12.26.    Два круга имеют радиусы 3 и 12. Чему равно отношение площадей этих кругов?
12.27.    Постройте круг (построение приближенное), площадь которого равна: а) сумме площадей двух данных кругов; б) их разности.
12.28.    Постройте окружность, которая делила бы данный круг на две равновеликие фигуры — кольцо и круг.
12.29.    Вычислите площадь сектора, радиус г которого
* * *
равен 6 см, а величина угла равна: 1) 24°; 2) 30°; 3) % .
5
12.30.    Докажите, что сумма пло
щадей двух затемненных луночек (рис. 12.7) равна площади прямоугольного треугольника.
12.31.    Докажите, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, как на диаметрах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе.
12.32.    Вычислите радиус окружности, которая делит круг радиуса г на две равновеликие фигуры — кольцо и круг.
12.33.    Докажите, что площадь кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна площади круга, диаметр которого равен хорде большей окружности, касающейся меньшей окружности.
12.34.    В прямой угол вписана окружность радиусом 5 см. Вычислите площадь фигуры, заключенной между сторонами этого угла и дугой окружности, ограниченной точками касания окружности сторон угла.
12.35.    На катете АВ (АВ = 2а) равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (ZB = 90°), как на диаметре, построена полуокружность так, как это указано на рисунке 12.8, и из точки А, как из центра, проведена дуга окружности радиусом 2а, пересекающая гипотенузу АС в точке Е. Вычислите площади фигур S, S2, S3 и S4.
12.36.    1. Диаметр АВ окружности разделен на 4 равных отрезка, на которых построены полуокружности, как показано на рисунке 12.9. Вычислите площадь каждой из затемненных фигур, если АВ = ?. 
2. Решите эту же задачу для случая, когда отрезок АВ разделен на п равных отрезков.
12.37.    Окружность радиусом R проходит через центр другой окружности. Точки пересечения этих окружностей лежат на диаметре первой окружности. Выразите через R площадь затемненной части (рис. 12.10).
12.38.    Из каждой вершины равностороннего треугольника радиусом, равным его стороне, проведена дуга, концами которой служат две другие вершины треугольника. Вычислите площадь затемненной фигуры (рис. 12.11).
12.39.    Три равных круга радиусом г попарно касаются. Вычислите площадь затемненной фигуры (рис. 12.12).
12.40.    Найдите периметр и площадь фигуры (рис. 12.13, а, в) или ее затемненной части (рис. 12.13, б, г, 5). Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Какие из фигур имеют центр симметрии? Назовите изометрии, с помощью которых каждая фигура может перейти в себя.

13.1.    Назовите предметы в окружающем мире, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры.
13.2.    Назовите всегда подобные друг другу фигуры.
13.3.    Приведите примеры подобных фигур.
13.4.    Подобны ли две любые равные фигуры?
13.5.    Равны ли две подобные фигуры? При каком условии подобные фигуры равны?
13.6.    О двух фигурах Lj и L2 известно, что Lj ™ L2 и L2 ™ Можно ли по этим данным найти значение коэффициента подобия?
13.7.     Дано: ААВС = ЛА1В1С1. Следует ли из этого, что ААВС ™ ЛА1В1С1? Почему?
13.8.    Нарисуйте какиенибудь две подобные, но неравные фигуры.
13.9.    Стороны одного (меньшего) треугольника — 4 дм, Q 3,6 дм и 2,5 дм. Вычислите стороны другого треугольника, подобного данному, если отношение их сходственных сторон равно 1,6.
13.10.    План земельного участка начерчен в двух видах: первый план имеет масштаб 1 : 10, а второй — 1 : 100. Чему равны коэффициенты подобия этих планов?
13.11.    Нарисуйте две неравные «правильные» пятиугольные звезды и найдите коэффициент подобия этих фигур.
13.12.     На рисунке 13.1 ДАВС ш Д DEF, длины сторон указаны. Найдите х и у.
 
Рис. 13.1

13.13.    С одного и того же негатива отпечатаны две фотографии: одна без увеличения, а вторая с увеличением. На первой фотографии некоторый объект имеет ширину 2 см и высоту 2,3 см. На второй фотографии ширина этого объекта равна 7,5 см. Какова его высота?
13.14.    В двух подобных треугольниках АВС и А1В1С1 стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 20, 18 и 15 см. Сторона А1С1 треугольника А1В1С1 равна 10 см. Чему равны стороны
А 1 В1 и В1 С1?
13.15.    Треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС соответственно равны 20, 15 и 12 см. Коэффициент подобия треугольников равен 2,5. Вычислите периметр треугольника А1В1С1.
13.16.    Стороны данного треугольника равны 8, 6 и 5 см. Меньшая сторона второго треугольника, подобного данному, — 2,5 см. Определите другие стороны второго треугольника.
13.17.    Стороны данного треугольника равны 3,5 см, 4 см, 8 мм. Большая сторона второго треугольника, подобного данному, — 6 см. Определите другие стороны второго треугольника.
13.18.    Стороны данного треугольника — 12,6 м, 16,5 м и 18 м. Вычислите стороны треугольника, подобного данному, если меньшая сторона этого треугольника равна большей стороне данного треугольника.
13.19.    В треугольнике АВС АВ = 16,2 см, ВС = 24,3 см и АС =32,7 см. Вычислите стороны треугольника А1В1С1, подобного данному, если сторона А1В1 этого треугольника соответствует стороне АВ первого треугольника и если: а) больше этой стороны на 10,8 см, б) меньше этой стороны на 5,4 см.
13.20. Докажите, что два треугольника, подобные одно Т му и тому же третьему треугольнику, подобны.

13.21.    Подобны ли треугольники АВС и КРТ, если в них АА = 50°, АВ = 60°, АР = 60°, АТ = 70о?
13.22.    Острый угол одного прямоугольного треугольника равен 30°, а другого — 60°. Подобны ли эти треугольники?
13.23.    Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют по равному тупому углу?
13.24.    Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по прямому углу; б) равные острые углы.
13.25.    Постройте разносторонний треугольник и проведите прямую, параллельную одной из его сторон так, чтобы коэффициент подобия данного и отсеченного треугольника
был равен: 1) 2 ; 2) 3 ; 3) 3 . 
13.26.    Используя рисунок 13.2 АС || 61С1 || 62С2, напишите пропор начинающиеся с соотношений:
1)
13.27.    На рисунке 13.3, а—, жены геометрические фигуры, лельные прямые на этих рисунках обозначены стрелками (направление стрелок имеет значение). Назовите на этих рисунках подобные треугольники и объясните, почему они подобны. 

13.28.    В прямоугольном треугольнике построены проекции катетов на гипотенузу. Сколько пар подобных треугольников образовалось на этом чертеже?
13.29.    Сколько пар подобных треугольников вы видите на рисунке 13.4?
13.30.    В треугольнике проведены все средние линии. Сколько образовалось треугольников, подобных данному?
13.31.    Подобны ли два треугольника, если их стороны имеют длины:
а) 2 см, 3 см, 4 см и 3 см, 4 см, 5 см;    с
б) 3 см, 4 см, 6 см и 9 см, 14 см, 18 см;
в)    2 см, 4 см, 3 см и 10 мм, 15 мм, 20 мм?    Рис. 13.4 
13.32.    По данным, указанным на рисунке 13.5, а—г, найдите подобные треугольники и оъясните, почему они подобны.
13.33.    На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки А9 = 8 см и AF = 10 см. Будут ли подобны треугольники АС9 и AВF? Ответ обоснуйте.
13.34.    Докажите, что если через точку, взятую внутри окружности, проведены две хорды, то произведение длин отрезков одной из них равно произведению длин отрезков другой.
13.35.    Из двух пересекающихся хорд первая точкой пересе
т
чения разделилась на отрезки а и Ъ, а вторая — в отношении — .
п
Найдите вторую хорду. Произведите вычисления для случаев:
1)    т x п = 1:2, а = 2, Ъ = 3;
2)    т : п = 4:5, а = 3, Ъ = 4.
13.36.    Докажите, что если из какойлибо точки вне окружности провести к ней секущую и касательную, то отрезок касательной (от данной точки до точки касания) есть среднее пропорциональное между всей секущей и ее внешней частью.
13.37.    Из одной и той же точки проведены к окружности касательная и секущая. Найдите длину секущей, если касательная равна l, а внешний и внутренний отрезки секущей находятся в отношении р : q. Произведите вычисления для случаев:
1)    1 = 7, р x q = 1:2;    2) l = 16, р x q = 0,5.
13.38.    Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если их катеты пропорциональны.
13.39.    Докажите, что прямоугольные равнобедренные треугольники подобны.
13.40.    Из точки D, лежащей на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, опущен перпендикуляр DE на катет ВС. Докажите, что треугольники DBE и АВС подобны.
13.41.    Прямая, паралельная стороне АВ треугольника АВС, делит его сторону АС в отношениии 3:5. В каком отношении эта прямая делит сторону ВС?
13.42.    На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены точки К и Р так, что ААКР = АВ. Докажите, что треугольники АКР и АВС подобны.
13.43.    Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных: 1) высот; 2) биссектрис; 3) медиан.
13.47.    На рисунке 13.7, а—в показано, как можно разными способами определить ширину реки АВ, построив на местности подобные треугольники. Обоснуйте в каждом из изображенных на рисунке случаев: какие построения выполнены; чем мы пользуемся для определения ширины реки в нашем случае. Выполните необходимые измерения и определите ширину реки (масштаб рисунков 1 : 1000).
13.48.    Наблюдатель, находящийся в точке А (рис. 13.8), видит конец шеста С и точку D верхней части мачты DF расположенными на одной прямой. Какова высота мачты, если AF = 60 м, АВ = 6 м, ВС = 3 м?
13.49.    Найдите расстояние между двумя недоступными точками путем построения на местности подобных треугольников.
13.50.    Можно ли две стороны треугольника пересечь прямой, параллельной третьей стороне, чтобы отсеченный треугольник был подобен данному?
13.51.    Может ли прямая, не параллельная ни одной стороне треугольника, отсечь от него треугольник, подобный данному?
13.52.    Может ли медиана треугольника рассечь его на два разных подобных треугольника?
13.53.    Мальчик хочет измерить высоту дерева, восполь ^ зовавшись линейкой, длина которой 15 см (рис. 13.9).
На стволе он отмечает точку, находящуюся в 1,5 м от земли. Отойдя от дерева на 30 см, мальчик вытягивает перед собой руку с линейкой (линейка расположена вертикально) и устанавливает линейку таким образом, чтобы она закрывала собой дерево от верхушки до выбранной ранее на стволе отметки. Затем мальчик измеряет расстояние АВ от глаза до линейки (например, с помощью веревки) и вычисляет высоту дерева по следующей формуле:
i    = 3015 + 1,5.
АВ
Почему можно воспользоваться этой формулой? В каких единицах будет измерена высота дерева? Какой будет высота дерева, если АВ = 20 см?
13.54.    Докажите, что любой остроугольный или тупоугольный треугольник, не имеющий равных сторон, нельзя рассечь прямой, проходящей через вершину, на два подобных треугольника.
13.55.    Пользуясь признаками подобия треугольников, докажите, что две медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1.
13.56.    Дан треугольник АВС. При каком условии можно провести через вершину С прямую р, пересекающую отрезок АВ в точке С1 так, чтобы треугольники АСС1 и ВСС1 были подобны?
13.57.    Определите углы равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании этого треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному.
13.58.    Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). Проведены неравные высоты АМ и BN. Докажите, что треугольники АМС и ABN подобны.
13.59.    Дан треугольник АВС. Проведены высоты АА и ВВ. Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику ВАС.
13.60.    Докажите, что если стороны одного треугольника соответственно перпендикулярны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
13.61.    Дан остроугольный треугольник АВС. Проведены высоты АА и ВВ. Подсчитайте, сколько образовалось при этом подобных друг другу треугольников.
13.62.    Дан треугольник АВС. Проведены высоты АА и ВВ, пересекающиеся в точке Н. Докажите, что АН • АА = ВА • СА,
В8Н • ВВ = СВ • АВ1.
13.63.    На продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С взята точка 9 так, что АВ9С = ААВС. Известно, что АВ = !3, ВС = 8, В9 = Ю. Найдите АС.
13.64.    Измерьте высоту какоголибо сооружения (мачты, высокого здания, фабричной трубы и т. п.), находящегося в окрестностях школы.
13.65.    Отряд туристов А идет по маршруту в направлении АВ (рис. НЛО). В каком направлении должна двигаться группа С, чтобы пересечь шоссе MN в том же месте, что и отряд А?
13.66.    Из пункта В к месту пересечения двух дорог АС и А9 требуется провести узкоколейную дорогу. Как на местности наметить трассу дороги ВА, если место пересечения дорог А окружено лесом?
13.67.    Через лес требуется прорубить просеку в направлении, заданном двумя доступными точками А и В, между которыми находится лес. Как это сделать?
13.68.    Две параллельные плоскости а и Р пересекают сторону АВ угла АВС в точках 9 и 9, а сторону ВС соответственно в
точках Е и Е. Найдите длину отрезка 9Е,    рИс. 13.10
если В9 = Н см, В9 = Н см, 9Е = 54 см.
14.1.    Даны два подобных многоугольника. Как найти их коэффициент подобия?
14.2.    Объясните, почему: а) все равные многоугольники подобны, б) все квадраты подобны.
14.3.    Верно ли, что:
1)    все параллелограммы с равными углами подобны;
2)    все ромбы подобны?
14.4.    Могут ли два подобных, но не равных многоугольника иметь: а) по равной стороне; б) равные периметры?
14.5.    Как разбить подобные многоугольники на одинаковое число подобных треугольников на рисунке 14.1? Возможны ли различные способы разбиения подобных многоугольников на одинаковое число соответственно подобных треугольников? Приведите пример.
14.6.    Постройте два подобных прямоугольника с коэффи
2
циентом подобия, равным: а) 1,5; б) .
3
14.7.    Докажите справедливость следующих предложений:
1)    два прямоугольника подобны, если их стороны соответственно пропорциональны;
2)    два ромба подобны, если они имеют по равному углу;
3)    два ромба подобны, если их диагонали соответственно пропорциональны;
4)    два параллелограмма подобны, если они имеют по равному углу и их стороны соответственно пропорциональны.
14.8.    В ящик плотно вложены коробки, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. (На рисунке 14.2 показан вид сверху.)
Будут ли подобны показанные на этом рисунке малые прямоугольники прямоугольнику ABCD?
14.9.    Разрежьте тетрадный лист бумаги на несколько равных частей прямоугольной формы так, чтобы полученные после разрезания малые прямоугольники были подобны взятому листу.
14.10.    В прямоугольнике ABCD АВ = а и ВС = Ь. Отрезок EF проведен так, что полученный прямоугольник BCEF подобен данному. Определите стороны прямоугольника ADEF.
Проведите вычисления для случаев:
1) а = 8, Ь =6; 2) а = 6,4, Ь = 4,8.
14.11.    Дан прямоугольник, длины сторон которого а и Ь. Постройте прямую, пересекающую прямоугольник так, чтобы один из образовавшихся прямоугольников был подобен данному.
14.12.    Дан прямоугольник, длины сторон которого а и Ь. Постройте прямую, пересекающую прямоугольник так, чтобы образовавшиеся два прямоугольника были подобны.
14.13.    Дан прямоугольник, длины сторон которого а и Ь. Какова зависимость между а и Ь, если средняя линия прямоугольника отсекает от него прямоугольник, подобный данному?
14.14.    Стороны одного пятиугольника относятся как 2,5 : 1 : 2 : 1,5 : 3. Большая сторона подобного ему пятиугольника равна 27 см. Определите стороны второго пятиугольника.
14.15.    Диагональ АС параллелограмма ABCD образует со сторонами АВ и AD такие же углы, как диагональ А1С1 параллелограмма A1B1C1D1 со сторонами А1С1 и A1D1. Докажите, что эти параллелограммы подобны.
14.16.    Докажите, что трапеции подобны, если соответствующие стороны этих трапеций пропорциональны.
14.17.    Диагональ трапеции делит ее на два подобных треугольника. Найдите зависимость между длиной d этой диагонали и длинами а и Ь оснований трапеции.
14.18.    Через точку пересечения двух окружностей проведены четыре прямые, пересекающие первую окружность в точках Ар Bp С1 и Dp вторую — в точках AF$ B2, С2 и D2. Докажите, что точки Ар Bp С1, D1 и точки А2, B2, С2, D2 — вершины подобных четырехугольников.
14.19.    Опытный земельный участок, прилегающий к пойме реки, на плане изображен в виде многоугольника в масштабе 1 : 10 000 (рис. 14.3). Выполните необхо 
димые измерения и вычислите: а) длину границы участка; б) площадь участка; в) валовый сбор зерна со всего участка, если средняя урожайность пшеницы 45 ц с 1 га.
14.20.    Как прямоугольник со сторонами 2 и 5 см рассечь на два подобных прямоугольника?
14.21.    Стороны параллелограмма имеют длины а и =. Постройте прямую, отсекающую от данного параллелограмма подобный ему.
14.22.    В данный параллелограмм впишите ромб так, чтобы стороны ромба были параллельны диагоналям параллелограмма, а вершины ромба лежали на сторонах параллелограмма.
14.23.    Даны два подобных ромба ABCD и A1B1C1D1 (ZA = ZA1). Докажите, что AC • A1C1 + BD • B1D = 4AB • A1B1.
14.24.    Как изменится площадь многоугольника, если каждая из его сторон: 1) увеличится в п раз; 2) уменьшится в k раз?
14.25.    Найдите отношение площадей двух квадратов, если отношение сторон этих квадратов равно:
а) 1:2; б) 2:3; в) Д : Д ; г) 1:1,5; д) k : I.
14.26.    Как относятся стороны двух квадратов, если отношение площадей этих квадратов равно:
а) 4:9; б) 3:4; в) 0,5 : 2; г) р : t?
* * * и 14.27. Стороны одного треугольника равны 1,2, 2,4 и у 3 м. Периметр подобного ему треугольника— 11 м. Оп II ределите стороны второго треугольника.
14.28.    Отношение периметров двух треугольников равно 0,625. Стороны меньшего из этих треугольников — 4, 5 и 7 дм. Определите стороны большего треугольника.
14.29.    Меньшие стороны двух подобных многоугольников — 35 и 21 см, а разность их периметров — 40 м. Определите периметр каждого многоугольника.
14.30.    Наименьшие стороны двух подобных многоугольни
многоугольников, если периметр меньшего из них равен 42 см.
14.31.    Периметр параллелограмма 24 мм. На продолжениях его диагоналей от вершин отложены отрезки, равные соответствующим диагоналям. Вычислите периметр четырехугольника, вершинами которого служат конечные точки отложенных отрезков.
14.32.    Одна из сторон треугольника разделена на три части и через точки деления проведены прямые, параллельные другой стороне треугольника. Найдите отношение площади данного треугольника к площади каждого треугольника, отсеченного построенными прямыми.
14.33.    Сходственные стороны двух подобных многоугольников относятся как < . Площадь первого многоугольника равна S.
Ъ
Найдите площадь второго многоугольника.
Вычислите эту площадь при S = 24 см2 для случаев:
14.34.    Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его боковую сторону в отношении т : п (считая от основания). В каком отношении находится площадь отсеченного треугольника к площади полученной трапеции?
Вычислите для случаев: 1) т : п = 1:2; 2) т x п = 2 : 3.
14.35.     Площади двух подобных треугольников равны    и S2 Основание первого из них — аг. Найдите высоту первого треугольника, основание и высоту второго. Вычислите при S1 = 64 см2, S2 = 25 см2, <8 = 4 см.
14.36.    Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3 : 5. Площадь большего многоугольника равна 40 м2. Определите площадь второго многоугольника.
14.37.    В треугольник АВС вписан квадрат, как показано на рисунке 14.4. Определите площадь квадрата, если основание АС = а и высота В9 = i.
Произведите вычисления для случаев:
1) а =6 см, i = 12 см; 2) а = 4,5 см, i =9 см; 3) а =15 дм, i = 3 м.
14.38.    План земельного участка снят в масштабе 1 : 1000. Во сколько раз площадь этого участка больше площади плана?
14.39.    При снятии плана участка расстояние в 20 м на местности изображалось в плане отрезком в 1 см. Во сколько раз площадь участка на плане будет меньше площади участка на местности?
14.40.    На рисунке 14.5 дан план участка, выполненный в масштабе 1 : 5000. Произведите необходимые измерения на плане и вычислите площадь участка.
14.41.    Даны два подобных многоугольника. Найдите коэффициент подобия, если их площади: а) S1 = 25 см2 и S2 = 81 см2; б) S1 = 0,04 м2 и S2 = 0,09 м2.
14.42.    На рисунке 14.6 изображен план школы. Узнайте, какую площадь в гектарах занимает здание школы, если план начерчен в масштабе 1 : 3000, а длина стороны клетки равна 0,5 см.
14.46.    В треугольник, основание которого Рис‘ 14‘7 равно а и высота, опущенная на это основание,
равна i, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Определите площадь вписанного треугольника.
Произведите вычисления для случая: а =30 см; i = 10 см.
14.47.    Основания трапеции равны а и Ъ. Прямая, параллельная основаниям, делит ее на две подобные трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой внутри трапеции.
14.48.    Какие четырехугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырехугольника?
15.2.    Есть ли у поворота неподвижные точки? неподвижные прямые?
15.3.    Назовите фигуры, которые при любом повороте переходят в себя.
15.4.    Укажите центры и углы поворота, при которых переходят в себя: а) прямая; б) луч; в) отрезок; г) окружность;
д)    треугольник; е) четырехугольник.
* * * ь 15.5. Даны точка А и точка О — центр поворота. В какую точку может перейти точка А при повороте вокруг точки О на углы: 30°; 45°? Постройте точки, в которые при указанных поворотах перейдет точка А.
15.6.    В какую фигуру переходит прямая при повороте на некоторый угол вокруг точки О?
15.7.    В какую фигуру переходит окружность (круг) при повороте вокруг точки О на угол 25°? Отдельно рассмотрите случай, когда центр поворота совпадает с центром окружности (круга).
15.8.    Постройте фигуру, в которую перейдет прямой угол при повороте вокруг вершины на угол 45° против часовой стрелки. Заштрихуйте объединение и пересечение данного и построенного углов.
15.9.    На рисунке 15.2, а—ж изображены различные фигуры, состоящие из двух, трех и четырех полукругов. В каждом случае определите поворот, при котором данные фигуры переходят сами в себя.
15.10.    Нарисуйте отрезок АВ. Постройте фигуру, в которую перейдет этот отрезок при повороте: а) вокруг точки А на угол 120° по часовой стрелке; б) вокруг точки В на угол 60° против часовой стрелки; в) вокруг середины отрезка на угол 45° по часовой стрелке.
15.11.    Докажите, что если при повороте отрезок АВ переходит в отрезок А1В1, то угол этого поворота равен углу между прямыми АВ и А1В1.
15.12.    Каким поворотом можно перевести пару пересекающихся прямых в себя?
15.13.    Три прямые пересекаются в одной точке, при которой образованы шесть углов по 60°. Какими поворотами можно перевести данные прямые в себя?
15.14.    Даны две равные окружности. Каким поворотом одну из них можно перевести в другую?
15.15.    Нарисуйте квадрат ABCD. Постройте фигуру, в которую переходит этот квадрат при повороте по часовой стрелке: а) вокруг точки А на угол 135°; б) вокруг точки D на угол 90°; в) вокруг точки C на угол 45°; г) вокруг точки D на угол 30°;
д)    вокруг центра квадрата на угол 45°.
Для случаев в), г), д) найдите объединение исходного и полученного квадратов.
15.16.    Нарисуйте равносторонний треугольник ABC. Постройте фигуру, в которую перейдет этот треугольник при повороте против часовой стрелки: а) вокруг точки C на угол 30°; б) вокруг середины отрезка AC на угол 90°; в) вокруг центра треугольника на угол 30°; г) вокруг центра треугольника на угол 90°.
Для каждого случая найдите объединение исходного и полученного треугольников.
* * * и 15.17. Сколько существует поворотов, переводящих: Т а) точку в точку; б) окружность в равную ей окружность; * в) отрезок в отрезок?
15.18.    Каким поворотом можно преобразовать правильную пятиконечную звезду в себя?
15.19.    Даны две окружности. Поворотом на угол 45° одна окружность преобразуется в другую. Постройте центр этого поворота.
15.20.    Даны два равных отрезка АВ и АВ. Постройте центр М поворота, при котором точка А перйдет в точку А, а точка В — в точку В. Всегда ли можно найти центр такого поворота?
15.21.    На прямой а дана точка А, а на прямой Ъ — точка В. Поворотом преобразуйте прямую а в прямую Ъ так, чтобы точка А перешла в точку В.
15.22.    Даны две равные окружности с центрами в точках О и О2 и на каждой из них по точке А и А2. Каким поворотом можно преобразовать одну окружность в другую так, чтобы при этом точка А перешла в точку А2?
15.23.    Докажите, что поворот ЕМ плоскости однозначно определяется заданием угла ф поворота и парой соответственных точек А и А2.
15.24.    В окружность вписан правильный яугольник. При повороте EQ , где О — центр окружности, а ф А 180°, многоугольник переходит в новый многоугольник. Докажите, что соответствующие при повороте стороны многоугольников (или их продолжения) пересекаются в точках, являющихся вершинами правильного яугольника. Вычислите длину его стороны, если длина стороны данного яугольника равна а.
15.25.    При повороте ЕМ треугольник АВС перейдет в треугольник АВС. Докажите, что если точки C, Q, S (C — точка пересечения прямых АВ и АВ, Q — точка пересечения прямых ВС и ВС, Е — точка пересечения прямых СВ и СВ, S — точка пересечения прямых ВА и ВА) принадлежат одной прямой, то центр М поворота есть общая точка окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АВС.
15.26.    Даны два одинаково ориентированных квадрата MCQE и MUVO. Докажите, что отрезки CU и ЕО равны и перпендикулярны.
15.27.    На рисунке 15.3 изображены два квадрата ABCD и ABCD, симметричные друг другу относительно точки О. Ответьте на вопросы:
Какая точка является их центром симметрии?
2. В какие точки перейдут при этой симметрии вершины квадрата ABCD?
3.    Какие точки симметричны точкам Аг и квадрата
AlВlСlDl‘?
4.    Назовите равные отрезки на этом рисунке.
5.    Назовите равные фигуры на этом рисунке.
15.28.    1. Какая точка при центральной симметрии переходит в себя?
2. Какие прямые при центральной симметрии переходят
в себя?
3. Как найти центр симметрии, если центральная симметрия задана парой соответствующих точек А и Ai?
15.29.    В какую фигуру переходят: а) луч ОС при симметрии относительно центра О; б) угол АВС при симметрии относительно точки В?
15.30.    Какие из фигур на рисунке i5.4, а—в имеют центр симметрии? При повороте на какой угол эти фигуры переходят в себя?
15.31.    Сущестствуют ли фигуры, имеющие несколько центров симметрии?
15.32.    Задает ли центральную симметрию одна пара соответственных точек? Как найти в этом случае центр симметрии?
15.33.    Имеет ли центр симметрии: а) отрезок; б) прямая; в) луч; г) куб; д) шар; е) треугольная пирамида?
15.34.    Существуют ли многоугольники, имеющие центр симметрии? не имеющие центра симметрии?
15.35.    Постройте отрезок, симметричный отрезку АВ относительно данного центра О?
15.36.    Постройте прямую, симметричную данной прямой АВ относительно данного центра О (О принадлежит _ АВ).
15.37.    Постройте фигуры, центральносимметричные фигурам, изображенным на рисунке 15.5, а—г. В каждом случае выберите центр симметрии.
15.38.    Треугольник АВС при симметрии относительно центра О переходит в треугольник А1В1С1. Постройте эти симметричные треугольники и найдите стороны А1В1, В1С1,
С1А1 треугольника А1В1С1, если АВ = 4 см, ВС = 10 см, СА =
= 12 см. В какую точку перейдет при этой симметрии точка М — середина стороны ВС? Чему равно расстояние В1М1?
15.39.    Постройте центр симметрии следующих фигур: а) пары точек; б) двух равных углов (в каких случаях решение этой задачи возможно?); в) двух равных окружностей (рассмотрите все возможные случаи); г) двух равных треугольников (в каких случаях они могут быть центрально симметричны?).
15.40.    На прямой даны два равных отрезка АВ и А1В1. Постройте центр симметрии фигуры Ф, где Ф является объединением отрезков АВ и А1В1.
15.41.    Можно ли считать, что любые два отрезка центральносимметричны? Рассмотрите разные случаи.
15.42.    В круге с центром О и радиусом R взята точка А, удаленная от центра на 2. Постройте фигуру, в которую данный круг перейдет при симметрии относительно точки А. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного кругов.
15.43.    Постройте треугольник, цетральносимметричный равностороннему треугольнику относительно его центра. Пусть сторона данного треугольника равна 1. Вычислите периметр объединения и пересечения исходного и полученного треугольников.
15.44.    Фигура LF симметрична фигуре L относительно центра О. Будет ли центральносимметричным объединение этих фигур? их пересечение?
15.45.    Через точку, лежащую внутри круга, проведите хорду, чтобы она делилась данной точкой пополам.
15.46.    Постройте центральносимметричный шестиугольник.
15.47.    Дан параллелограмм, вершины которого не поместились на чертеже. Постройте центр симметрии этого параллелограмма.
15.48.    Около окружности описан восьмиугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Докажите, что противоположные стороны восьмиугольника попарно равны.
16.2.    Какие точки при симметрии относительно оси I переходят в себя? Какие прямые при симметрии относительно оси I переходят в себя?
16.3.    Назовите фигуры, имеющие: ось симметрии; две оси симметрии.
16.4.    Сколькими парами соответствующих точек определяется осевая симметрия?
16.5.    Сколько осей симметрии имеют: а) луч; б) прямая; в) плоскость?
16.6.    Сколько осей симметрии имеет окружность?
16.7.    Нарисуйте отрезок и постройте отрезок, симметричный ему относительно прямой: а) содержащей его; б) проходящей через его конец; в) проходящей через точку внутри его. Изобразите такие треугольники.
16.8.    В каком случае треугольник имеет одну ось симметрии? Может ли треугольник иметь более одной оси симметрии?
16.9.    Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, он имеет и третью ось.
16.10.    Сколько осей симметрии может иметь четырехугольник?
16.11.    Нарисуйте равносторонний треугольник. Постройте треугольник, симметричный ему относительно средней линии. Назовите объединение исходного и полученного треугольников. Вычислите периметр фигуры, являющейся объединением, если сторона исходного треугольника равна 2.
16.12.    Дан прямоугольник. Постройте фигуру, симметричную этому прямоугольнику относительно прямой, проходящей через его диагональ. Назовите объединение исходного и полученного прямоугольников.
16.13.    На рисунке 16.2, а—, изображены различные фигуры. Имеют ли эти фигуры оси симметрии? Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Постройте эти оси симметрии.
16.14.    На рисунке 16.3, а—, фигуры переходят в себя при некоторых осевы1х симметриях. Укажите оси этих симметрий. Постройте их.
16.15.    Четырехугольник ABCD симметричен относительно прямой AC. Найдите длины сторон BC и AD, если AB = 3 см, CD = 2 см.
16.16.    Дан отрезок AB и две точки C и D, такие, что CA = CB, DA = DB. Докажите, что точки A и B симметричны относительно прямой CD.
16.17.    На плоскости задана прямая I. Пользуясь только циркулем, постройте фигуру, в которую при симметрии относительно оси I переходит: а) точка М, не принадлежащая оси I; б) окружность с центром О и радиусом г.
16.18.    Во внутренней области прямого угла BOD взята точка X и построены точки Xi и XF, симметричные точке X относительно сторон данного угла. Докажите, что точки О, X1 и X2 лежат на одной прямой.
16.19.    Как проверить, лежат ли три данные точки на одной прямой, пользуясь только циркулем?
16.20.    Докажите, что если две точки одной прямой симметричны двум точкам другой прямой относительно некоторой оси, то и все точки первой прямой симметричны точкам второй прямой относительно этой оси.
16.21.    Дан угол, вершина которого не поместилась на чертеже. Постройте угол, величина которого в два раза больше величины данного угла.
16.22.    Даны угол, вершина D которого не поместилась на чертеже, и произвольная точка М (в пределах чертежа). Проведите через точку М прямую так, чтобы она проходила через вершину D.
16.23.    Как измерить расстояние между недоступными вершинами двух углов, пользуясь осевой симметрией.
16.24.    Докажите, что углы между прямыми а и Ъ и симметричными им прямыми аг и =8 относительно оси I имеют равные величины.
16.25.    Даны прямая р и точки А и В по разные стороны от нее. На прямой р найдите такую точку М, чтобы разность расстояний ее от точек А и В была наибольшей.
16.26.    Постройте пятиугольник, имеющий: а) одну ось симметрии; б) две оси симметрии.
16.27.    Даны две пересекающиеся прямые.
8.    При какой осевой симметрии одна из них переходит в другую?
2. При какой осевой симметрии одна из двух параллельных прямых переходит в другую?
16.28.    Могут ли две осевые симметрии иметь общие пары соответствующих точек?
16.29.    Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные прямые под углами равной величины.
16.30.    Постройте треугольник по стороне, разности двух других сторон и углу, заключенному между первой стороной и большей из двух других сторон.
16.31.    Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.
16.32.    Внутри острого угла дана точка М. Постройте треугольник МАВ наименьшего периметра, вершины А и В которого лежат на сторонах угла.
16.33.    Постройте фигуру, которая является объединением двух неравных отрезков и имеет две оси симметрии.
16.34.    Постройте фигуру, которая является объединением двух равных отрезков без общих точек и имеет две оси симметрии.
16.35.    Сколько осей симметрии имеет фигура, которая является: а) объединением двух окружностей, каждая из которых проходит через центр другой; б) объединением круга (О; г) и окружности, центр которой лежит на окружности (О; г)?
16.36.    Постройте четырехугольник ABCD, имеющий только одну ось симметрии — прямую BD.
16.37.    Постройте невыпуклый четырехугольник ABCD, симметричный относительно оси BD. 
16.38.    Сколько осей симметрии может иметь фигура, которая является объединением окружности и прямой?
16.39.    Даны две точки А и В. Какую фигуру образует множество всех таких точек Х, для которых:
1)     АХ < ВХ;    3) ВХ < АХ;    5) АХ * ВХ?
2)     АХ < ВХ;    4) ВХ < АХ;
16.40.    Дана ось симметрии F и окр. (О; г), такая, что О t F. Постройте при помощи одного циркуля окр. (Oi; г), такую, что окр. (О8; г) = SF (окр. (О; г)).
16.41.    Даны ось симметрии F, точка А и точка В = SF (А), А * В. Отметьте на плоскости точку С t F и постройте точку 9 = SF (С) при помощи одной линейки.
16.42.    Даны ось симметрии F и точки А = SF^), Х t F, Y = S^), С принадлежит прямой АУ, [ = SFfC). Какие из указанных фигур лежат в одной полуплоскости с границей F: луч CY; отрезок АС; луч А[; отрезок АХ; отрезок [Х, отрезок CY?
16.43.    Постройте фигуру, которая является объединением четырех разносторонних треугольников с общим основанием и имеет две оси симметрии. Каким многоугольником является общая часть этих треугольников и сколько осей симметрии имеет этот многоугольник?
16.44.    Докажите, что в многоугольнике с нечетным числом вершин и имеющем оси симметрии ни одна из диагоналей не может лежать на оси симметрии.
16.45.    На плоскости нарисованы три равных отрезка. Сколько осей симметрии может иметь объединение этих отрезков?
16.46.    Постройте фигуру, которая является объединением:
а)    четырех равных окружностей и имеет четыре оси симметрии;
б)    трех окружностей и имеет бесконечное множество осей симметрии; в) трех окружностей и имеет только две оси симметрии.
16.47.    Постройте фигуру, которая является общей частью взаимно пересекающихся кругов и имеет четыре оси симметрии.
16.48.    Покажите, что равносторонний шестиугольник, описанный вокруг данной окружности, имеет три оси симметрии.
16.49.    Докажите, что равноугольный шестиугольник, вписанный в данную окружность, имеет три оси симметрии.

16.50.    На рисунке 16.4 квадратABCD при параллельном переносе перешел в квадрат А^^С^р Ответьте на вопросы:
1.    В какую точку перейдет вершина А квадрата?
2.    В какую фигуру перейдет сторона ВС квадрата?
3.    Какие равные фигуры вы видите на этом рисунке?
16.51.    В какую фигуру переходит фигура F при параллельном переносе? Почему?
16.52.    На рисунке 16.5 изображен параллелограмм АВС9. Существует ли параллельный перенос, переводящий: а) отрезок АВ в отрезок DC; б) отрезок AD в отрезок ВС?
16.53.    Пусть нам задан параллельный перенос, переводящий точку А в точку Ар Как построить точку, в которую при этом параллельном переносе перейдет точка В?
16.54.    Докажите, что параллельный перенос есть изометрия. В какую фигуру параллельный перенос переводит прямую?
16.55.    Сколько различных параллельных переносов задают:
а)    две точки; б) три точки; в) четыре точки?
16.56.    Какой параллельный перенос переводит окружность в равную ей окружность? В каком случае отрезок можно перевести в отрезок с помощью параллельного переноса?
16.57.    Какие фигуры можно перевести в себя при параллельном переносе?
16.58.    Пусть даны точки А, и В. Постройте точку Вр в которую переходит точка В при параллельном переносе, переводящем точку А в точку Ар
16.59.    Даны отрезок АВ и точка К. Выполните параллельный перенос отрезка АВ так, чтобы его середина переместилась в точку К.
16.60.    Постройте фигуру, в которую переходит данный треугольник АВС при параллельном переносе, переводящем точку А в точку С.
16.61.    Постройте фигуру, в которую переходит данный параллелограмм АВС9 при параллельном переносе, переводящем точку А в точку С.
16.62.    Выполните параллельный перенос данной прямой АВ так, чтобы ее точка А перешла в данную точку С. Рассмотрите два случая: а) точка С принадлежит прямой АВ; б) точка С не принадлежит прямой АВ.
16.63.    Выполните параллельный перенос данной окружности так, чтобы ее центр О перешел в данную точку Ор
16.64.    В результате параллельного переноса окружности радиуса г получили окружность, касающуюся данной. На какое расстояние перенесена окружность?
16.65.    Даны угол В и прямая I. Пост ^ ройте отрезок АВ данной длины а так, чтобы он был параллелен пря
мой I и чтобы его концы принадлежали сторонам угла В.
16.66.    В каком месте следует строить мост КС, перпендикулярный берегам канала, чтобы путь АКРВ между пунктами А и В был кратчайшим (рис. 16.6)?

17.1.    Сколько различных векторов изображено на рисунке 17.1?
17.2.    Даны два равных вектора АВ
и CD. Какими свойствами обладают эти векторы? 
17.3.    Сколько различных векторов изображено на рисунке 17.2, а—в?
17.4.     При каком условии две пары точек {А, А1} и {В, В1} задают равные векторы?
17.5.    Определяют ли пары точек, составленные из несмежных вершин равнобедренной трапеции, один и тот же вектор?
17.6.    Определяют ли пары точек, составленные из вершин ромба, равные векторы?
17.7.    Известно, что АВ = CD . Можно ли на основании этого утверждать, что |АВ | = |CD |?
17.8.     Известно, что \АВ | = |CD | и |CD | ^ 0. Можно ли на основании этого утверждать, что АВ = CD ?
17.9.    Могут ли быть различными два вектора, изображаемые направленными отрезками равной длины, расположенными на одной прямой?
17.10.    Можно ли один и тот же вектор изобразить направленными отрезками, расположенными на: а) двух пересекающихся прямых; б) на различных параллельных прямых; в) на одной прямой?
17.11.    Могут ли пары точек, первая из которых — центр окружности, а вторая — точка окружности, определять один и тот же вектор?
17.12.    Могут ли пары точек, одна из которых — центр круга, а другая — точка круга, определять один и тот же вектор?
17.13.    Возможно ли равенство двух векторов АВ и ВА ?
17.14.    Какую фигуру образуют концы равных векторов, отложенных от всех точек: а) прямой; б) отрезка?
17.15.    Можно ли утверждать, что из равенства АВ = CD следует равенство АВ = CD?
17.16.    Можно ли утверждать, что из равенства АВ = CD следует равенство АВ = CD ?
17.17.    Даны два вектора а и Ъ . От данной точки О отло У жите: а) вектор ОА = а , а от точки А — вектор АВ = Ъ ;
б)    данные векторы а и Ъ .
17.18.    Середины двух отрезков АВ и CD совпадают. Введите векторные обозначения и выпишите возможные векторные равенства.
17.19.    Сколько различных векторов задает: а) множество точек {А, В}; б) множество точек {А, В, C}; в) множество вершин равностороннего треугольника; г) множество вершин параллелограмма; д) множество точек {А, В, C, D}?
17.20.    Могут ли одновременно выполняться равенства
XC = CD и АD = DC ?
17.21.    Дана равнобедренная трапеция. Выпишите все кол линеарные векторы, определяемые вершинами трапеции.
17.22.    Для четырехугольника MNPQ векторы: а) MN и PQ
коллинеарны, а NP и MQ неколлинеарны; б) NP и QP , NP и
QM коллинеарны. Какую фигуру представляет в каждом из этих случаев четырехугольник MNPQ?
17.23.    Векторы АВ и АВ равны. Докажите, что если точки А, В, А и В|_ не лежат на одной прямой, то четырехугольник АВВА — параллелограмм.
17.24.    Даны два параллелограмма АВCD и АВ^^. Докажите, что АА =
= CC.
17.25.    Запишите на «языке векторов», что четырехугольники АВCD и MNPQ — параллелограммы.
17.26.    Даны треугольник АВC, ВM медиана этого треугольника и MN = ВM (рис. 17.3). Докажите, что АВ = NC . 
Основное теоретическое содержание
Пусть даны векторы а и b ; отложим вектор а от произвольной точки А и от его конца отложим вектор b , тогда получится вектор с , который не зависит от выбора точки А. Операция получения этого вектора с называется сложением векторов по правилу треугольника.
Пусть даны векторы а и b, которые неколлинеарны, т. е. не лежат на одной прямой. Отложим эти вектора от некоторой точки А, т. е. АВ = а и AD = b . Тогда суммарный вектор изобразится диагональю параллелограмма ABCD, построенного на векторах АВ = а и А9 = b :
АВ W А9 = АС .
Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.
Термины и обозначения
Сумма векторов а и b обозначается а W b . Запись АВ W ВС читают так: «сумма векторов АВ и ВС ».
17.27.    Какой вектор является суммой векторов а и b на рисунке 17.4?
17.28.    Какой вектор является суммой векторов АВ и А9 на рисунке 17.5?
17.29.    Какой вектор является суммой векторов а , b и с на рисунке 17.6? 
17.30.    Может ли длина суммы двух векторов одинаковой длины быть: а) меньше длины каждого вектора; б) равна длине каждого вектора; в) больше длины каждого вектора; г) больше суммы длин векторов; д) равна сумме длин векторов?
17.31.    Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?
17.32.    При каком условии из трех векторов можно образовать замкнутую ломаную?
17.33.    Сложите два вектора по правилу параллелограм у ма. При каком условии сумма векторов направлена по биссектрисе угла параллелограмма?
17.34.    Даны два вектора а и b (рис. 17.7). Найдите сумму этих векторов по правилу треугольника.
17.35.    На тело действуют две взаимно перпендикулярные силы Li и F2 , |Li | = 8,5 Н,
F2 | = 3,6 Н. Найдите их сумму.
17.36.    Запишите вектор АВ в виде суммы двух векторов, одним из которых является вектор АМ .
17.37.    Даны два вектора а и b. Постройте вектор > , такой, что а + > = b.
17.38.    Найдите сумму следующих векторов:
а)    АВ + ВС + CD ;
б)    MN + NP + PQ + QT;
в)    XY + YZ + ZX.
17.39.    Упростите суммы:
а)    АВ + MN + DC + СА + PQ + NM;
б)    FK + MQ + KP + АМ + QK + PF;
в)    KM + DF + АС + FK + CD + РА + MP ;
г)    АВ + ВА + CD + MN + DC W NM.
17.40.    Как найти сумму трех и более векторов? Сформулируйте правило сложения. Сделайте рисунок.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (01.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 5.0/1


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar