Тема №5330 Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 7)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 7) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Гусев (Часть 7), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа
17.41.    Упростите векторные выражения:
а)    Dj + 9^А + В^С;
б)    АВ + DJCJ + ВхВ + BJAJ + ВВХ + D^A^ ;
в)    А^В^ + АхDj + СВг + СDj + АхС ;
г) Dj С j + ВА. ***
17.42.    Даны векторы а, Ь и d. Постройте вектор > , такой, что а + Ь + > = d .
17.43.    Какому условию должны удовлетворять три вектора а, Ь и >, чтобы можно было построить треугольник АВС, такой, что АВ = а , ВС = Ь , СА = > ?
17.44.    В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Докажите, что АМ + АМ = АВ + АС .
17.45.    Дан треугольник АВС. Докажите, что если М — точка пересечения его медиан, то МА + МВ + МС = 0.
17.46.    В треугольнике АВС проведены медианы ААр ВВj и ССр
Докажите, что АА8 + ВВ8 + СС8 = 0 .
17.47.    Дан треугольник АВС. От произвольной точки О отложены векторы ОАj, ОВj и OCj такие, что ОАj = ВС,
ОВj = СА и ОС8 = АВ . Докажите, что точка пересечения медиан треугольника А1В1С1 совпадает с точкой О.
17.48.    Дан параллелограмм АВС9 с центром О. Упростите суммы векторов: а) (АВ + О9) + СО ; б) (ВС + ОА) + О9 .
17.49.    Дан параллелограмм АВС9. М — точка пересечения его диагоналей. Докажите, что МА + МВ + МС +
+ М9 = 0 .
17.50.    В трапеции АВС9 основания А9 и ВС имеют соответственно длины а и Ь (а > Ь). Постройте направленный отрезок,
задающий вектор: а) А9 + ВС ; б) А9 + СВ ; в) АВ + С9 . Вычислите длину каждого из этих векторов. 


17.51.    На рисунке 17.8 изображен вектор АВ . Назовите вектор, противоположный вектору АВ .
17.52.    На рисунке 17.9 изображены два вектора О А и ОВ . На
зовите вектор, равный ОА ОВ .
• • • и 17.53. Разность каких векторов изображена на рисунке 17.10?
17.54.    Известно, что т + п = d . Какой из этих векторов можно назвать разностью двух других?
17.55.    Как расположены векторы а и Ь , если векторы а W Ь
и а Ь коллинеарны?
17.56.    Может ли выполняться равенство
|СА + СВ | = |СА СВ |?
17.57.    Могут ли длины векторов АВ + АС и АВ АС быть
больше длины каждого из векторов АВ и АС ? Приведите примеры.
17.58.    Даны векторы АВ и CD . Найдите сумму векторов АВ и вектора, противоположного вектору CD .
17.59.    Даны векторы АВ и CD . Найдите разность вектора CD , и вектора, противоположного вектору АВ .
17.60.    Запишите вектор MN в виде разности двух векторов.
17.61.    Запишите вектор АВ в виде разности двух векторов, один из которых равен вектору ОА.
17.62.    Запишите вектор CD в виде разности двух векторов,
один из которых равен вектору KD .
17.63.    Представьте вектор АВ в виде суммы и разности следующих векторов:
а) AC , DC , В9 ; б) DA , CD , BC , в) DА , DC , CB.
17.64.    Упростите выражения:
а)    ОР ЕР + KD В9;
б)    АЪ + МР + ЕК ЕР MD ;
в)    AC BC + МР РА + МВ .
17.65.     Докажите, что |АВ AC | < |АВ | |AC |. В каком случае имеет место знак равенства?
17.66.    Сравните длины |а + = | и |а | + |= |, если: а) а и = сонаправлены; б) а и ? неколлинеарны. Чему равна длина |а + = |,
если а и Ъ противоположно направлены?
17.67.    Даны четыре точки А, В, C и D. Выразите вектор
АВ в виде разности двух векторов, определяемых данными точками. Сколькими способами это можно сделать?
17.68.    Для любых четырех точек А, В, C, D докажите справедливость следующих равенств: а) АВ + CD = AD + BC;
б) AC + BD = AD + BC ; в) AB + BC = AD + DC . Изобразите эти соотношения на рисунке.
17.69.    Рассматривая параллелограмм, определяемый векторами а и Ъ , проверьте правильность такого соотношения:
(а Ъ) + Ъ = а . 
17.70.    Даны параллелограмм ABCD и точка О. Выразите
вектор OD через векторы ОА = т , ОВ = п , ОС = в .
17.71.    ABCD — параллелограмм. Какому условию должны
удовлетворять векторы ВА и ВС , чтобы вектор AD АВ образовывал с ними равные углы?
17.72.    При каждой вершине треугольника АВС построены ромбы, стороны которых равны и направлены по сторонам треугольника; ААг, ВВг, СС8 — диагонали этих ромбов. Докажите,
что АА8 + ВВ8 + ССг = 0 .
17.73.    Докажите, что четырехугольник АВС9 является параллелограммом тогда и только тогда, когда для любой точки Q
выполняется равенство ОА + QC = QB + QD.
17.74.    Докажите, что если точки О, А, В не принадлежат одной прямой и ОС = ОА ОВ , то четырехугольник ОВАС — параллелограмм.
17.75.    Докажите, что если в треугольнике АВС угол АВС
прямой, то | С А + СВ | = | СА СВ |. Верно ли обратное утверждение?
17.76.    Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ОА + ОС = = ОВ + OD , где О — произвольная точка пространства.
17.77.    Даны два вектора а и За . Каково направление этих векторов и их длины?
17.78.    Даны векторы а и ka . При каких значениях k эти векторы: а) сонаправлены; б) противоположно направлены?
17.79.    Выразите вектор MN через векторы а и b в случаях, изображенных на рис. 17.11, а—д.
17.80.    При каком значении k справедливо следующее соотношение: АВ + CD + ВС = k(ЕА + СЕ)?
17.81.    В треугольнике АВС CM — медиана и СВ = а , СА = b . Выразите вектор CM через векторы а и b.
17.82.    Докажите, что в параллелограмме АВС9 выполняется равенство АС + В9 = 2ВС .
17.83.    В трапеции ABCD длины оснований составляют AB = а
и CD = = . Выразите вектор CD через вектор АВ .
17.84.    Точка Р — середина стороны AD параллелограмма
ABCD. Выразите вектор PC через векторы АВ и AD .
17.85.    В параллелограмме ABCD точки М и N — соответственно середины сторон CD и AD. Выразите вектор MN через векторы CB = а и DC = =.
17.86.    ABCD — параллелограмм, О —точка пересечения его диагоналей, Q — произвольная точка плоскости. Выразите вектор QO через векторы QA = а, CD = = и AD = >.
17.87.    A, B, C, D — четыре точки плоскости, М и N — соответственно середины отрезков AD и BC. Выразите вектор MN через: а) AB = а и DC = =; б) AC = > и DB = ?.
17.88.    Дано: а и Ь — ненулевые и неколлинеарные векторы. Докажите, что если числа а и Р удовлетворяют условию
а а + Р = = 0, то а = 0 и Р = 0.
17.89.     Пусть A8, B8, C8 — середины сторон треугольника ABC, Q — произвольная точка плоскости. Докажите, что
QA8 + QBj + QC = QA + QB + QC.
17.90.    В треугольнике ABC точка D взята на стороне AC так, что AC : DC = т : я. Выразите векторы BA и BC через AC = а и BD = =.
17.91.    В треугольнике ABC AAX — медиана и М — ее середина. Выразите для произвольной точки Q плоскости вектор QM через векторы QA , QB , QC .
17.92.    В треугольнике ABC проведены медианы AAX, BBX, CC8 и Q — произвольная точка плоскости. Выразите векторы
QB, QC, QA8 через векторы QA = а, QBX = =, QCX = > .
17.93.    Точки К и O служат соответственно серединами сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Полагая AK = т и AO = я , выразите векторы BC и CD через т и я.
17.94.    В трапеции ABCD основание AD в k раз больше основания ВС. Для произвольной точки Q выразите вектор QD через векторы QA = а, QB = Ъ, QC = > .
18.1.    Даны два неколлинеарных вектора а и Ъ . Докажите, что векторное равенство ka + 1Ъ = ра + q= влечет за собой два равенства: k = р, I = q.
18.2.    От точки О отложены три попарно неколлинеарных
вектора ОА, ОВ и ОС . Докажите, что если вектор ОС колли неарен вектору ОА + ОВ и вектор ОВ коллинеарен вектору
ОС + ОА, то вектор ОА коллинеарен вектору ОВ + ОС .
18.3.    От точки О отложены четыре попарно неколлинеарных вектора ОА, ОВ , ОС и О9 . Докажите, что если вектор ОА коллинеарен вектору ОВ + ОС + О9, вектор ОВ коллинеарен вектору О9 + ОА + ОС и вектор ОС коллинеарен вектору О9 + ОА + ОВ , то вектор О9 коллинеарен вектору ОА +
+ ОВ + ОС.
18.4.    Даны два ненулевых вектора а и Ъ равной длины. Докажите, что направления векторов а + Ъ и а Ъ взаимно перпендикулярны. 
18.5.    Даны два неколлинеарных вектора а и b. Докажите, что если |2а + b | = |а + 2b |, то |а | = |b |.
18.6.    Даны два неколлинеарных вектора а и b. Следует ли из равенства |а + kb | = |b + \а |, что |а | = |b |?
18.7.    Даны два перпендикулярных вектора а и b. Докажите, что |а + b | = |а b |.
18.8.    Даны два перпендикулярных вектора ОА и ОВ . Из точки О к отрезку АВ проведен перпендикуляр ОС. Докажите, что
ОС = а 2 О В + b 2 ОА , Где а = |ОА|, b = |ОВ|.
а2 + b2
18.9.    Даны три точки А, В и С, такие, что АВ = 2ВС . Докажите, что для любой точки имеет место равенство
ОВ = 8 ОА + 2 ОС.
3    3
Выразите вектор ОА через векторы ОВ и ОС, а вектор ОС через векторы ОА и ОВ .
18.10.    Даны три точки А, В и С, такие, что АС = Л СВ . Докажите, что для любой точки О имеет место равенство
ОС   ОА + Л О В
1 + Л
18.11.    На прямой даны три различные точки А, В и С. Докажите, что существует значение k, для которого
ОС = \ОА + (1 k) ОВ ,
где О — произвольная точка плоскости.
Докажите обратное утверждение: если выполняется для трех различных точек указанное выше равенство, то точки А, В и С принадлежат одной прямой.
18.12.    На прямойв даны три точки А1, Bi и Ci, а на прямой
B2 — три точки А2, В2 и С2, причем А1В1 = @BiCi, А2В2 = = тВ2С2 . Отрезки АгА2, В1В2 и С8С2 разделены точками А0, В0 и С' в равных отношениях. Докажите, что эти точки принадлежат одной прямой или совпадают.
18.13.    Даны четыре точки А, В, С и 9. Докажите, что отрезки, соединяющие середины пар отрезков АВ и С9, АС и В9, А9 и ВС, имеют общую середину.
18.14.    Симметрия с центром S переводит точку А в точку В.
Докажите, что ОВ = 20S ОА, где О — произвольная точка плоскости.
18.15.     Пусть А, А2, А3 — три не принадлежащие одной прямой точки плоскости и а, «2, аз, Р, Р2, Р3 — данные числа. Если для некоторой точки М выполняются соотношения QM = а ©А + «2 ©А2 + «з ©А3, QM = Р©А + Р2 ©А2 W + Р3©А3, независимо от выбора точки ©, то а = Р, «2 = Р2, аз = Рз.
18.16.    Точки М и М2 делят отрезок АВ на три равные части. Для произвольной точки © выразите векторы ©М и ©М2
через векторы ©А = а и ©В = =.
18.17.    Отрезок АВ разделен точками М3 и М& в отношении
3 : 5 и 5 : 3 (от точки А). Выразите векторы ©М3 и ©М5 через векторы ©А = а и ©В = =.
18.18.    Для того чтобы точка С делила отрезок АВ в отношении АС : СВ = т : A, необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки © плоскости выполнялось равенство
©С = п— ©А + т— ©В .
т + п    т + п
Докажите.
18.19.     Известно, что а + = + с = 0. При каких \, ^, ^3
верно равенство а + ^ = + ^3с = 0 (а, =, с попарно некол линеарны)?
18.20.    Докажите, что любой вектор т может быть представлен, и притом единственным образом, в виде т = а а + Р Ъ, где
а, Р — числа, а а и Ъ — неколлинеарные векторы. Можно ли обобщить задачу на случай большего числа слагаемых?
18.21.    Пусть вектор т представляет собой линейные комбинации векторов аг    и    =8,    а2    и Ъ2,    где    а^    и =8    неколлинеарны,
а а8 и а2 , =8 и Ъ2 соответственно коллинеарны. Докажите, что соответствующие слагаемые этих линейных комбинаций равны. (Линейной комбинацией векторов а8,    , ..., ап называется выражение вида ^а8 +    + ... + \пап , где ^, ^2, $$$, \п —
числа.)
Д1.1. Даны две пары точек {А, В} и {С, D}. Сколько различных преобразований одной пары в другую можно построить? Обратимы ли полученные преобразования? Д1.2. Сколькими способами можно преобразовать множество, состоящее из двух точек, в множество, состоящее из одной точки. Обратимо ли полученное преобразование. Приведите примеры необратимых преобразований фигур.
Д1.3. Преобразуйте какимлибо способом: а) окружность в ей концентрическую; б) хорду в стягиваемую ею дугу окружности; в) луч в параллельный ему луч (рассмотрите различные случаи расположения лучей); г) прямую в параллельную ей прямую; д) катет в гипотенузу прямоугольного треугольника. Обратимы ли полученные преобразования?
Д1.4. Даны треугольник АВС и ломаная АК9МВ (рис. Д1.1), причемАК А АВ и ВМ А А АВ. Ответьте на вопросы:
1. Можно ли преобразовать треугольник АВС в объединение отрезков KD и DM? Обратимо ли полученное преобразо    D
вание?    

2.    Можно ли тем же способом преобразовать треугольник АВС в ломаную AKDMB?
Д1.5.    1. Сколькими различными
способами можно преобразовать множество, состоящее из трех элементов, в множество, состоящее из 1, 2, 3 элементов? 2. Можно ли преобразовать это множество в множество, состоящее из четырех элементов?
Д1 .6. На рисунке Д1.2 задано преобразование f ломаной AXBCD в отрезок AiDp каждой точке X ломаной соответствует та точка отрезка, которая лежит на луче OX. Ответьте на вопросы:
1.    Какая точка является образом точки А? точки X? точки O?
2.    Какая точка ломаной переходит в точку Mi? в точку Oi? в точку Di?
3.    Образом какой точки является точка A1? точка X1? точка С1?
4.    Является ли преобразование f обратимым?
Д1.7. На рисунке Д1.3 задано преобразование квадрата ABCD в отрезок A1D1: каждой точке X квадрата соответствует основание перпендикуляра, проведенного через точку X к прямой A1D1. Ответьте на вопросы:
1.    В какую точку перейдет точка С? точка D? точка А?
2.    Образом какой точки является точка Н1? точка C1?
3.    Обратимо ли это преобразование?
Д1 .8. Постройте образы нескольких точек при преобразовании:
1)    отрезка АВ в отрезок CD (рис. Д1.4, а), если соответствующие точки отрезков лежат на лучах с началом M;
2)    луча OM в луч ON (рис. Д1.4, б), если соответствующие точки этих лучей лежат на окружности с центром O и точка O переходит в O; 

 
3)    замкнутой ломаной АВС в окр. (О; г) (рис. Д1.4, в), если соответствующие точки лежат на лучах с началом О. Обратимы ли эти преобразования?
 

Д1.9. Две окружности касаются: 1) внешним образом; 2) внутренним образом. Покажите, выполнив рисунки, как можно перевести одну из этих окружностей в другую.
Д1.ю. На данной окружности отметьте точку М. Укажите образ этой точки при: а) тождественном преобразовании этой окружности; б) симметрии относительно центра окружности.
Д1.11. Задайте (выполните рисунок) преобразование, отличное от тождественного, при котором переходят в себя: а) отрезок АВ; б) замкнутая ломаная АВС; в) квадрат АВС9; г) окружность (О; г).
Д1 .12. На рисунках Д1.5, а, б заданы преобразования ломаных в отрезки. Ответьте на вопросы:
Д1 .25. Даны две пары точек (А, Аг) и (В, В8), причем АВ ^ АВ. Постройте неподвижные точки двух преобразований подобия, в которых А переходит в А, В — в В.
Д1 .26. Даны три полосы (а, а), (Ь, Ь), (с, с) одинаковой ширины d. Прямые а, Ь, с задают треугольник АВС, а прямые а, Ьр с — треугольник АВС, содержащийся в первом. Зная площадь S и периметр 2р первого треугольника, вычислите площадь S и периметр 2р второго.
Д1 .27. Дан четырехугольник АВС9. Постройте второй четырехугольник PQRS, чтобы его стороны и диагонали были параллельны сторонам и диагоналям четырехугольника АВС9.
Д1 .28. Найдите зависимость между длинами сторон а, Ь, с треугольника АВС, если треугольник АВС (G — точка пересечения медиан треугольника АВС) подобен треугольнику, длины сторон которого равны длинам медиан данного треугольника.
Д1 .29. Через точку P к двум пересекающимся в точке Q прямым проведены перпендикуляры РА и РВ. Пусть Н — ортоцентр треугольника QАВ. Докажите, что преобразование, переводящее Р в Н, есть преобразование подобия, и найдите коэффициент преобразования подобия. (Угол ф между прямыми отличен от прямого.)
Д1 .30. Дан четырехугольник АВС9, А и С — ортогональные проекции вершин А и С на диагональ В9; В и 9 — ортогональные проекции В и 9 на диагональ АС. Докажите, что четырехугольник А1В1С191 подобен данному и вычислите коэффициент подобия. (Диагонали АС и В9 не перпендикулярны.)
Д1 .31. В окружность с центром О вписан треугольник АВС. Поворот около О на угол а, отличный от 180°, переводит треугольник АВС в треугольник АВС: точка А перешла в точку А, точка В — в точку В, точка С — в точку С. Соответствующие в повороте прямые ВС и ВС, СА и СА, АВ и АВ пересекаются в точках А0, В0, С0. Докажите, что треугольник А0В0С0 подобен треугольнику АВС. Найдите коэффициент подобия.
Д1 .32. Квадрат АВС9 со стороной а повернут около своего центра на угол а, причем точка А перешла в точку А, точка В — в точку В, точка С — в точку С, точка 9 — в точку 9. Докажите, что точки пересечения прямых АВ и А^В^, ВС и В^С^, CD и C^Dj, DA и D^A^ являются вершинами квадрата. Выразите его сторону через а и а.
Д1 .33. При повороте около своего центра квадрат ABCD перешел в квадрат A1B1C1D1. Докажите, что прямые АА1, ВВ8, CCj и DDj пересекаются в точках, являющихся вершинами квадрата. Вычислите сторону aj этого квадрата, если угол поворота равен а, а сторона данного квадрата равна а.
Д1 .34. Докажите, что серединные перпендикуляры сторон неравнобокой трапеции определяют трапецию, подобную данной. Вычислите коэффициент подобия.
Д1 .35. Дан треугольник ABC. На прямых BC, СА и АВ найдите соответственно точки А^ В1 и Cj, чтобы треугольник А^^! был подобен треугольнику АВС и одинаково с ним ориентирован.
Д1 .36. Даны два подобных и одинаково ориентированных треугольника ABC и А^^р Докажите, что если О — произвольная точка и четырехугольники АА1ОА0, ВВ1ОВ0, CC1OC0 — параллелограммы, то треугольник AoBoCo подобен данным и с ними одинаково ориентирован.
Д1 .37. Постройте треугольник, подобный и одинаково ориентированный данному, чтобы одна его вершина совпала с данной точкой, а две другие принадлежали двум данным: а) окружностям; б) прямым.
Д1 .38. Даны две концентрические окружности. Постройте квадрат ABCD, чтобы вершины А и В принадлежали одной окружности, а вершины C и D — другой.
Д2.1. 1. Докажите, что каждой прямой при данном пово ^ роте принадлежит только одна пара соответствующих при повороте точек при условии, что поворот отличен от центральной симметрии.
2. Выясните, как обстоит дело в случае центральной симметрии.
Д2.2. Найдите множество М всех точек X, которые при данном повороте переходят в такие точки X', что прямые XX': а) проходят через данную точку S; б) параллельны данной прямой I.
Д2.(. Постройте такой равносторонний треугольник, чтобы одна его вершина совпала с данной точкой Q, а две другие принадлежали двум данным окружностям.
Д2.4. На сторонах ВС, СА и АВ равностороннего треугольника АВС даны соответственно точки М, N и С. Известно, что ВМ : МС = CN : NA = АС : СВ = k.
1.    Докажите, что MNC — равносторонний треугольник.
2.    Вычислите MN, если ВС = a, k = 2.
Д2.5. Даны равносторонний треугольник АВС и его центр Q. При повороте около центра Q на угол а треугольник АВС переходит в треугольник А1В1С1.
1.    Докажите, что точка С2 пересечения прямых АВ и А1В1, точка А2 пересечения прямых ВС и В1С1, точка В2 пересечения прямых СА и С1А1 являются вершинами равностороннего треугольника.
2.    Вычислите А2В2, если АВ = @.
Д2.6. Даны два равных равносторонних одинаково ориентированных треугольника АВС и А1В1С1. Докажите, что центры трех поворотов, переводящих соответственно вершины А, В, С в А1, В1, С1; А, В, С в В1, С1, А1; А, В, С в С1, А1, В1, принадлежат одной прямой.
Д2.7. Через данную внутри круга точку проведите хорду данной длины. 
Д2.8. На двух пересекающихся в точке М прямых даны два отрезка АВ и АВ одинаковой длины. Докажите, что окружности ААМ и ВВМ пересекаются в точке, являющейся центром поворота, переводящего А в А и В в В.
Д2.9. Постройте квадрат ABCD по его центру О и точкам М и N, если известно, что М принадлежит АВ, N принадлежит ВС, ОМ A ON.
Д2.10. На сторонах ВС, CD, DA и АВ квадрата ABCD даны соответственно точки Р, Q, R и S. Известно, что
ВР : PC = CQ : QD = DR : RA = AS : SB = k.
1.    Докажите, что PQRS — квадрат.
2.    Вычислите PQ, если АВ = a, k = 3.
В
Д2.11. Докажите, что композиция двух поворотов RA и ЕВ , где A A В, 0° < а < 360°, 0° < В < 360°, есть поворот RC + Р (или
RC + р 360 з, если а + В A 360°, или же перенос, если а + В = 360°.
Д2.12. На сторонах АВ и BC треугольника ABC как на основаниях построены одинаково ориентированные квадраты ABМN и BCQP. Обозначим их центры О и OF, середину стороны AC — через К, середину отрезка МР — через L. Докажите, что четырехугольник OLOFK — квадрат.
Д2 .13. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены разносторонние треугольники ACB и BCA. Найдите углы треугольника МАО, где М — середина стороны АВ, О — центр треугольника ACB.
Д2.1). Дан четырехугольник ABCD, у которого диагонали перпендикулярны и равны. Пусть точка М — центр поворота, переводящего А в В и C в D, а точка N — центр поворота, переводящего А в D и C в В.
Докажите, что середина отрезка МN есть точка пересечения средних линий четырехугольника ABCD.
Д2.15. Боковые стороны BC и AD трапеции ABCD повернуты около своих середин на угол + 90°, после чего они заняли положения BC и AD.
1.    Докажите, что D1C1 = А1В1.
2.    Выразите длину отрезка CD через длины оснований трапеции.
Д2.16. Даны две пересекающиеся прямые а и Ъ. Постройте прямую с, параллельную третьей данной прямой d, чтобы отрезок АВ, где А = а п с, В = Ъ п с, имел данную длину.
Д2.17. Даны четыре различные точки А, В, С и 9. Проведите через них соответственно четыре параллельные прямые а, Ъ, с и d, чтобы ширина полосы с границей (а, Ъ) была равна ширине полосы с границей (с, d).
Д2.18. Постройте трапецию по ее диагоналям, углу между ними и одной из сторон.
Д2.19. Докажите, что если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, образует равные углы с прямыми, содержащими ее боковые стороны, то трапеция равнобедренная.
Д2.20. Две равные окружности касаются внешним образом в точке К. Секущая, параллельная линии центров, пересекает окружности последовательно в точках А, В, С, 9. Докажите, что величина угла АКС не зависит от выбора секущей.
Д2.21. Определите площадь трапеции, все стороны которой известны.
Д2 .22. На окружности с центром О даны такие три точки А, В и С, что ZАОВ = ZВОС = 60°. Докажите, что расстояние от точки В до произвольного диаметра окружности равно или сумме, или модулю разности расстояний от точек А и С до этого диаметра.
Д2 .23. Через точку М, лежащую вне окружности ю, проведите прямую т, пересекающую ю в двух точках А и В так, чтобы АМ = ВМ.
Д2 .24. Постройте пятиугольник (семиугольник) по заданным серединам его сторон.
Д2 .25. Четыре равные окружности юг, ю2, ®з, ®4 проходят через точку М и вторично пересекаются в шести точках:
А12 = ю8    п    ю2,    А23    = ю2 п    юз,    ..., А43 =    ю4    п    юз.
Докажите, что отрезки А12А43, А23А14, А13А24 имеют общую середину.
6.    Композиции осевых симметрий и других изометрий
Д2.26. Даны два равных отрезка АВ и С9. Последова ^ тельное выполнение каких двух осевых симметрий переводит отрезок АВ в отрезок С9?
Д2.27. Даны две перпендикулярные прямые т, п и точки М = S@ (М) и М2 = Yn (М). Докажите, что точки М и М2 центрально симметричны.
Д2 .28. В треугольнике АВС проведены три его биссектрисы, принадлежащие трем прямым 1А, 1В и 1с$ Докажите, что композиция Si ° Si ° Si есть симметрия, ось которой проходит через центр вписанной в треугольник окружности перпендикулярно к стороне АС.
Д2 .29. В треугольнике АВС проведены серединные перпендикуляры т, п, р его сторон ВС, СА и АВ. Докажите, что композиция Sp ° Sn ° Sm трех осевых симметрий есть симметрия с осью ОВ, где О — центр описанной около данного треугольника окружности.
Д2 .30. Дан равносторонний треугольник АВС. Пусть ВС = р, СА = q, АВ = г. Докажите, что композиция Sr ° Sq ° Sp переводит прямую, содержащую среднюю линию треугольника АВС, параллельную АС, в себя.
Д2 .31. Дан треугольник АВС. Точки А, В, С — основания его высот. Докажите, что прямая АС переходит в себя при композиции симметрии с осями ВС, СА и АВ.
Д2 .32. Постройте треугольник АВС по трем данным серединным перпендикулярам р, q, г к его сторонам.
Д2.33. В данную окружность впишите треугольник, стороны которого параллельны трем данным прямым.
Д2 .34. Докажите, что прямая, проведенная через точку пересечения высот треугольника АВС, переходит при симметриях с осями ВС, СА, АВ в три прямые, пересекающиеся в одной точке.
Д2.35. На диаметре АВ полукруга дана точка Р, а на его полуокружности — точки М, М8 и N, N, такие, что АМРА = АМРВ, ANPA = ANРВ. Докажите, что точка Q пересечения хорд М^ и МN принадлежит перпендикуляру, проведенному к диаметру АВ через точку Р.
Д2 .36. Около треугольника АВС описана окружность, пересекающая биссектрису вс угла С в точке М. Из ортоцентра Н треугольника проведен перпендикуляр HD к биссектрисе так, что D е вс. Докажите, что CD : СМ = cos АС.
Д2 .37. Дан четырехугольник АВС9. Докажите, что если АА = АВ и АС = AD, то четырехугольник имеет ось симметрии.
Д2.38. В окружность с центром O вписан четырехугольник ABCD. Построены лучи ОМ, ON, ОР и OQ, где М, N, Р, Q — середины хорд AB, BC, CD, DA. Докажите, что ZMON + ZPOQ = = 180° или же ZMON = ZPOQ.
Д2 .39. Около окружности с центром O описан четырехугольник ABCD. Докажите, что ZAOB + ZCOD = 180°.
Д2.40. В плоскости треугольника ABC дана точка Р, не принадлежащая AB, BC, CA. Прямые PA, PB, PC преобразуются в симметриях относительно осей, содержащих биссектрисы соответствующих углов треугольника. Докажите, что полученные прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
Д2.41. Дан треугольник ABC. Докажите, что композиция шести осевых симметрий Sa, S=, Sc, Sa, Sb, Sc, где a = BC, b = CA, c = AB, есть параллельный перенос, отличный от тождественного преобразования.
Д2.42. В данную окружность впишите пятиугольник, стороны которого параллельны пяти данным прямым.
Д2 .43. На бильярдном столе прямоугольной формы лежит шар. В каком направлении необходимо произвести удар по шару, чтобы, отразившись от всех бортов, шар прошел через свое первоначальное положение?
Д2 .44. Докажите, что композиция трех симметрий, оси которых имеют общую точку (параллельны), есть симметрия, ось которой проходит через эту точку (параллельна данным осям).
Д2 .45. Докажите, что композиция трех симметрий, оси которых определяют треугольник, не есть осевая симметрия.
Д2 .46. Докажите, что композиция любого нечетного числа центральных симметрий есть центральная симметрия.
Д2.47. На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты с центрами D и Е, причем точки C и D расположены по одну сторону от AB, а точки A и Е — по разные стороны от BC. Докажите, что угол между прямыми AC и DE равен 45°.
Д2 .48. Три равные окружности имеют общую точку. Докажите, что окружность, проведенная через вторые точки пересечения данных трех окружностей, равна данным.
Д2.49. На плоскости даны четыре равные окружности, проходящие через одну точку и пересекающиеся вторично в шести точках. Докажите, что четыре окружности, проходящие через каждые три из этих шести точек, взятых по одной на каждой из данных окружностей, пересекаются в одной точке.
Д3.37. Постройте фигуру, гомотетичную данной окружности, приняв за центр гомотетии центр окружности, а коэффициент гомотетии: а) k = 1; б) k = 2.
Д3.38. Постройте фигуру Li, гомотетичную окружности L, приняв за центр гомотетии точку, принадлежащую окружности. Докажите, что Li есть окружность, касающаяся окружности L в центре гомотетии. Рассмотрите два случая: коэффициент гомотетии положителен и отрицателен.
Д3.39. Докажите, что если общая точка двух окружностей служит центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую, то окружности в этой точке касаются.
Д3.40. Окружности ©i и ©2 пересекаются в точках А и В. Проведите через точку А прямую р так, чтобы отношение длин хорд М^А и MFA, высекаемых окружностями на прямой р, было равно данному числу k: М^А : MFA = k.
Д3.41. Через точку М, принадлежащую открытому кругу, проведите хорду АВ, чтобы она точкой М делилась в данном отношении.
Д3.42. Дана трапеция ABCD, основания которой АВ и С9, М — точка пересечения ее диагоналей АС и BD. Докажите, что окружности, описанные около треугольников А7М и CDM, касаются в точке М.
Д3.43. В треугольнике АВС проведена средняя линия MN (М — середина стороны АС, N — середина стороны ВС). Докажите, что окружности, описанные около треугольников АВС и MNC, касаются в точке С. Найдите отношение радиусов этих окружностей.
Д3.44. Дана окружность. Проведены все хорды, имеющие общий конец. Найдите множество точек, делящих эти хорды в равных отношениях, считая от их общего конца.
Д3.45. Через точку, принадлежащую кругу, проведены все хорды, отрезки которых разделены в равных отношениях, считая от общей точки. Найдите множество точек деления.
Д3.46. Средние линии данного треугольника определяют другой треугольник, около которого описана окружность. Докажите, что радиус этой окружности вдвое меньше радиуса окружности, описанной около данного треугольника.
Д3.47. Даны две гомотетии с коэффициентами k и и
k
различными центрами. Какое преобразование представляет собой последовательное выполнение этих гомотетий?
Д3.48. Какое преобразование представляет собой последовательное выполнение двух гомотетий, если их коэффициенты
k и 8 ?
k
Д3.49. Докажите, что последовательное выполнение переноса и гомотетии есть гомотетия с тем же коэффициентом. Постройте центр этой гомотетии.
Д3.50. Даны две гомотетии с различными центрами. Какие прямые переходят в себя при последовательном выполнении этих гомотетий?
Д3.51. Даны две гомотетии. Постройте общую пару точек этих двух гомотетий.
Д3 .52. Даны две параллельные прямые а и Ъ, Найдите множество центров гомотетий с коэффициентом k = 3, переводящих прямую а в прямую Ъ.
Д3 .53. Даны два угла, стороны которых — соответственно сонаправленные лучи. Найдите множество центров гомотетий, переводящих один угол в другой (углы отличны от развернутых).
Д3 .54. Через точку М, принадлежащую стороне АВ треугольника АВС, проведены прямые, параллельные прямым АС и ВС. Образовавшиеся треугольники гомотетичны данному. Вычислите сумму коэффициентов гомотетий.
Д3 .55. Через внутреннюю точку М треугольника проведены секущие, параллельные его сторонам. Каждые две секущие и сторона определяют треугольник, гомотетичный данному. Вычислите сумму коэффициентов полученных трех гомотетий.
дз .56. Даны три гомотетии плоскости. Постройте такую прямую, которая при всех трех гомотетиях переходят в одну и ту же прямую.
дз .57. Даны две неравные полосы (а, Ь) и (а8, Ь8) с параллельными краями. Найдите множество всех гомотетий, переводящих первую полосу во вторую.
дз .58. Докажите, что композиция двух гомотетий есть либо гомотетия, либо перенос, либо тождественное преобразование.
Д3.59. При каком условии две различные гомотетии имеют общую пару соответственных точек? Постройте такую пару точек, если она существует.
Д3.60. Докажите, что гомотетия с любым центром и любым коэффициентом переводят окружность в окружность.
Д3.61. Докажите, что одну из двух неравных окружностей можно перевести в другую посредством двух гомотетий.
Д3.62. На прямой I даны две пары точек А, В и Аp Вр причем АВ ^ АJBJ. Постройте центр гомотетии, переводящий А в А^ и В и Вр
Д3 .63. Даны угол и принадлежащая ему точка. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся сторон угла.
Д3.64. Две окружности    и ю2 различных радиусов касают
ся в точке М. Построены произвольные перпендикулярные хорды МАг, точкаА|_ принадлежит окружности    и МЛ2, точка А2 —
окружности ©2. Докажите, что множество прямых А^А^ содержится в центральном пучке прямых.
Д3 .65. Даны три окружности, которые попарно касаются внешним образом. Постройте посредством одной линейки центры этих окружностей (точки касания окружностей заданы).
Д3.66. Дан треугольник АВС и некоторая точка X. Постройте параллелограмм BXCY, а затем другой параллелограмм YXАZ. Докажите, что существует гомотетия, переводящая X в Z, и найдите ее коэффициент и центр.
Д3.67. Докажите, что медиана треугольника есть множе ^ ство середин отрезков с концами на двух сторонах треугольника и параллельных третьей стороне, к которой проведена медиана.
Д3.68. Две пересекающиеся прямые а и Ъ пересечены тремя параллельными прямыми соответственно в точках А и В, А2 и В2, А3 и В3. Докажите, что середины отрезков АВ, А2В2 и А3В3 принадлежат одной прямой.
Д3.69. Прямая, проведенная через точку пересечения S диагоналей АС и В9 трапеции АВС9 параллельно основаниям, пересекает ее боковые стороны ВС и А9 соответственно в точках М и N. Докажите, что NS = SM.
Д3.70. Докажите, что если середины М и N двух противоположных сторон АВ и CD четырехугольника АВС9 и точка S пересечения прямых ВС и А9 принадлежат одной прямой, то четырехугольник — трапеция.
Д3.71. Прямая, параллельная основаниям АВ и CD трапеции АВС9, рассекает ее на две гомотетичные трапеции АВMN и MNDC. Вычислите MN, если АВ = а, С9 = Ъ.
Д3.72. В параллелограмме АВС9 проведены диагонали АС и В9. Прямая, параллельная стороне АВ, пересекает отрезки А9, АС, ВС и В9 соответственно в точках C, Q, R и S. Докажите, что CQ = RS.
Д3 .73. Докажите, что если прямая, проходящая через середины противоположных сторон четырехугольника, проходит через точку пересечения его диагоналей, то четырехугольник — трапеция или параллелограмм.
Д3.74. Через точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВС9 проведена прямая, параллельная одной из его сторон. Докажите, что если пересечение этой прямой и четырехугольника есть отрезок, который делится точкой О пополам, то АВС9 — трапеция.
Д3 .75. В треугольнике АВС проведена медиана СС8. Докажите, что если прямая I такая, что она пересекает отрезок АС в точке C, отрезок СС в точке Q, отрезок ВС в точке R и CQ = QR, то I || АВ.
Д3.76. Через точку М, принадлежащую стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные сторонам АВ и АС и пересекающие отрезки АС и АВ соответственно в точках
C и Q. Докажите, что    = 1.
АС АВ
Д3.77. Дан параллелограмм АВС9. М — середина стороны А9, N — середина отрезка С9. Отрезок АN пересекает отрезок
СМ в точке Р; отрезок ВМ пересекает отрезок АС в точке Q. Докажите, что 1) PQ II А9, 2) PQ = 1 А9.
Д3.78. В данный четырехугольник АВС9 впишите параллелограмм PQRS так, чтобы точка Р принадлежала АВ, а точка Q принадлежала ВС, точка R принадлежала CD, точка S принадлежало 9А и чтобы стороны параллелограмма были параллельны диагоналям данного четырехугольника.
Д3.79. В трапеции АВС9 проведены диагонали АС и BD. Постройте прямую, параллельную основаниям трапеции, чтобы ее отрезок, принадлежащий трапеции, делился диагоналями на три равные части.
Д3.80. В параллелограмме АВС9 проведены диагонали АС и В9. Постройте прямую, параллельную стороне АВ параллелограмма, чтобы ее отрезок, принадлежащий параллелограмму, делился диагоналями на части, длины которых пропорциональны числам 1, 2, 4.
Д3.81. Прямые АА8, ВВ8, СС8, проходящие через соответствующие вершины треугольников АВС и А1В1С1, параллельны. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения медиан данных треугольников, параллельна прямой АА1.
Д3.82. Через точку пересечения медиан G треугольника АВС проведена прямая р так, что вершины А и В расположены по одну сторону от р, а вершина С — по другую сторону. Докажите, что сумма расстояний от вершин А и В до прямой р равна расстоянию от вершины С до прямой р.
Д3 .83. В параллелограмме АВС9 проведена диагональ В9. На стороне А9 дана точка Р, через которую проведена прямая F, параллельная прямой АВ, пересекающая отрезок В9 в точке Д,
а отрезок ВС — в точке Q. Вычислите |РД| : |^Q |, если
|АР| : |PD| = \.
Д3.84. На прямой а даны три точки Р, Q и Д, а на прямой <1 — три точки Р1, Q1 и Д1, причем PQ : QE = P1Q1 : Q^^ Через точки Р, Q и Д проведены три параллельные прямые р, j и г, а через точки Р1, Q1 и Д1 — три параллельные прямые Р1, j

 

 

 

Д3.90. Даны три различные параллельные прямые а, Ъ, с и еще две параллельные прямые а^ и Ъг. Постройте прямую >8, параллельную а1; чтобы фигура, состоящая из прямых а, Ъ, с, была подобна фигуре, состоящей из прямых ai, Ъ1, >1
Д3.91. Даны три различные параллельные прямые а, Ъ, с и треугольник А0В0С0. Постройте треугольник АВС, подобный треугольнику А0В0С0, чтобы А € а, В € Ъ, С € с.
Д3.92. На прямой даны две пары точек М, N и C, Q. Проведите через точки Ми N две параллельные прямые, а через точки C и Q — также две параллельные прямые, чтобы обе пары параллельных прямых своим пересечением образовали квадрат.
Д3.93. На сторонах угла С указаны точки А и В, через которые проведены перпендикуляры к сторонам, пересекающиеся в точке C. Найдите множество М точек C, если перпендикуляры к сторонам угла проведены через точки этих сторон, являющиеся концами отрезков, параллельных отрезку АВ.
Д3.94. Через внутреннюю точку М треугольника АВС проведены прямые, параллельные его сторонам. Докажите, что площади треугольников Si, S2, S3, отсекаемых от данного треугольника этими прямыми, и площадь данного треугольника S
связаны соотношением VS1 W TSF W Js3    ^7S.
Д3 .95. Через точку G пересечения медиан треугольника АВС проведены два луча, параллельные сторонам АС и ВС и пересекающие сторону АВ в точках А1 и В1. Докажите, что площадь треугольника А^В^ составляет 1 площади данного треугольника.
Д3.96. Вершины треугольников, имеющих общее основание, принадлежат некоторой прямой. Найдите множество М точек пересечения медиан этих треугольников.
Д3.97. На стороне АВ треугольника АВС от его вершин отложены равные отрезки, через концы которых проведены пря 
мые, параллельные сторонам ВС и АС. Докажите, что построенные прямые пересекаются на прямой, которой принадлежит медиана СМ треугольника.
Д3.98. Постройте треугольник по трем его высотам.
Д3.99. Постройте треугольник по данной высоте, углу при вершине и отношению длин отрезков, на которые высота делит основание.
Д3.100. Через точку К пересечения биссектрис АА и ВВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая прямые АС и ВС соответственно в точках D и Е.
Докажите, что DE = с ^< + Ъ , где а, Ъ, с — длины сторон тре
а + Ъ + с
угольника.
Д3.101. Биссектриса АА треугольника АВС пересекает биссектрису СС в точке К. Докажите, что точка К делит биссектрису СС в отношении СК : КС, равном отношению (а + Ъ) : с, где а, Ъ, с — длины сторон треугольника.
Д3.10'. Биссектрисы АА и ВВ треугольника АВС в точке их пересечения делятся в равных отношениях, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
Д3.103. Через основание С8 биссектрисы СС8 треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой АС и пересекающая прямую ВС в точке D. Выразите длину отрезка С9 через длины а, Ъ и с сторон треугольника.
Д3.104. Дан треугольник АВС, у которого АВ = 90° + АА. Найдите зависимость между длинами а, Ъ и с сторон этого треугольника.
Д3.105. Два треугольника А'В'С' и АВС, площади которых равны Y' и Y, расположены так, что лучи А'В' и АВ, В'С' и ВС, СоА' и СА параллельны, но противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков А0А1, В0В8, С0С8.
Д3.106. Постройте прямую, параллельную стороне АС данного треугольника АВС и пересекающую его стороны АВ и ВС в таких точках D и Е соответвтенно, что А9 = ВЕ.
Д3.107. Докажите признаки подобия треугольников с использованием гомотетии и ее свойств.
Д3.108. Дан треугольник АВС, у которого ZB = 2 ZA. Найдите зависимость между длинами сторон а, Ъ и > этого треугольника.
Д3.109. Угол С равнобедренного треугольника АВС, в котором СА = СВ, равен 36°. Найдите зависимость между длиной боковой стороны а и длиной основания > в этом треугольнике.
Д3.110. В треугольник АВС вписан квадрат PQRS, где точки Р и Q принадлежат отрезку АВ, точка R — отрезку ВС, точка S — отрезку СА. Зная, что АВ = > и СС8 = i>, где СС8 — высота треугольника, вычислите длину стороны квадрата.
Д3.111. Постройте прямоугольник по стороне и отношению другой стороны к диагонали.
Д3.112. Постройте четырехугольник по четырем его сторонам, если известно, что сумма двух противоположных углов равна 180°.
Д3.113. Используя гомотетию, докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции принадлежат одной прямой.
Д3.114. Через точку М, принадлежащую диагонали АС параллелограмма АВС9, проведены две прямые, параллельные его сторонам. Докажите, что при этом образовались два параллелограмма, гомотетичные данному, причем JS1 +    = л/S,
где S1, S2, S — площади образовавшихся и данного параллелограммов.
Д3.115. В трапеции АВС9 проведены диагонали АС и В9, пересекающиеся в точке М (АВ и С9 — основания трапеции). Докажите, что площади треугольников АВМ и С9М, равные соответственно Si и SF, и площадь S трапеции связаны соотношением Vs! W 7^ = 7S .
Д3.116. Две окружности радиусами Ri и RF, пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через А, пересекает окружности вторично в точках М и N соответственно. Докажите, что ВМ : ВN = R8 : R2. 
Д3.117. К окружности проведены две параллельные касательные а и Ъ. Третья касательная пересекает а и Ъ соответственно в точках А и В и касается окружности в точке С. Вычислите расстояние между а и Ъ, если АС = т, ВС = п.
Д3.118. Даны два подобных прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1 (ZC = ZC8 = 90°). Докажите, что аа8 + ЪЪ8 = сс8, где а, Ъ, с — соответственно катеты и гипотенуза первого треугольника, а <I, Ц, >1 — второго.
Д3.119. Около треугольника АВС описана окружность, к которой в точке А проведена касательная. Через вершину В проведена прямая, параллельная касательной и пересекающая отрезок АС в точке 9. Докажите, что треугольники АВ9 и АВС подобны и АВ2 = А9 • АС.
Д3.120. Докажите, что расстояние d от точки А окружности радиуса R до ее хорды ВС вычисляется по формуле
d = АВАС .
2    E
Д3.121. Касательные в точках А и В к окружности пересекаются в точке S. Докажите, что расстояние любой точки окружности до прямой АВ есть среднее пропорциональное ее расстояний до прямых АS и ВS.
Д3.122. На окружности даны четыре точки А, В, С, 9. Докажите, что произведения расстояний от любой точки М окружности до пар прямых АС и В9, ВС и А9, С9 и АВ равны.
Д3.123. В данный сегмент впишите квадрат так, чтобы две вершины принадлежали дуге, а две другие — основанию сегмента.
Д3.12). Дан треугольник АВС. Постройте квадрат так, чтобы две его вершины принадлежали прямой АВ, а две другие — соответственно прямым АС и ВС.
Д3.125. В данный сектор впишите квадрат так, чтобы две вершины принадлежали дуге, а две другие — радиусам.
Д3.126. В данный сектор впишите квадрат, чтобы одна вершина принадлежала дуге, вторая — радиусу, две другие — второму радиусу.
Д4.11. На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что если одна из четырех прямых параллельна медиане треугольника, определяемого тремя другими, то аналогичными свойствами обладает каждая из трех остальных данных прямых.
Д4.12. Через вершины А, В и С треугольника АВС проведены соответственно прямые I, т и п, пересекающиеся в точке S. Докажите, что прямые F, т и п, проходящие соответственно через середины А0, В0 и С0 сторон ВС, СА и АВ параллельно I, т и п, также пересекаются в одной точке.
Д4 .13. Даны треугольник АВС и точка М; точки А, В и С — середины его сторон ВС, СА и АВ. Через вершины А, В и С проведены прямые, параллельные прямым МА, МВ и МС соответственно. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
Д4.14. На сторонах треугольника АВС вне его построены равносторонние треугольники АВС, ВСА, САВ. Докажите,
что АА + ВВ + СС = 0.
Д4.15. На сторонах треугольника АВС вне его построены правильные треугольники АВС, ВСА, САВ. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников АВС и АВС совпадают.
Д4.16. На продолжениях высот АА и ВВ треугольника АВС за его вершины А и В отложены отрезки АА2 и ВВ2, причем АА2 = ВС и ВВ2 = АС. Докажите, что СА2 = СВ2 и СА2 ± СВ2.
Д4.17. Даны треугольник АВС и центр О вписанной в него
окружности. Докажите равенство аОА + ЬОВ + с АС = 0 , где а, Ъ и с — длины отрезков ВС, СА и АВ соответственно. 
1)    Докажите, что СС < 2 (СА + СВ).
2)    Прямая }, параллельная прямой СС1, пересекает прямые АВ, ВС и СА соответственно в точках С0, А0, В0. Докажите, что
сумма А' В' + А'С' не зависит от выбора прямой }.
3)    Прямая р пересекает отрезки АС, ВС и СС8 соответственно
в точках Р, Q и М. Докажите, что 11 I + |В= = ^ 1 .
2 IРС    QO J МС
Д4.19. Дан треугольник АВС. Докажите, что ОМ < (ОА +
3
+ ОВ + ОС), где ) — точка пересечения медиан треугольника, О — произвольная точка плоскости.
Д4.20. В треугольнике АВС проведена биссектриса СС. Докажите, что СС1 = <СА + =СВ, где а и Ъ — длины отрезков СВ 1    а + Ъ
и СА соответственно.
Д4.21. В окружность с центром О вписан треугольник АВС.
Докажите, что О] = ОА + ОВ + ОС , где Н — точка пересечения высот треугольника.
Д4 .22. Дан треугольник АВС, в котором проведены медианы. Докажите, что если А, В, С — середины медиан, то для любой точки Q плоскости выполняется равенство + QВ + QС = = ^^ + QВl + QСl.
Д4 .23. Докажите, что медианы произвольного треугольника АВС пересекаются в одной точке М, которая обладает следующим свойством: расстояние от точки М до каждой вершины
треугольника равно длины соответствующей медианы. 3
Д4 .24. Существует ли в плоскости треугольника АВС точка Q,
удовлетворяющая равенству    + 2 QВ + 3 QС = 0?
Д4 .25. Из точки М, лежащей внутри треугольника АВС, проведены перпендикуляры на стороны ВС, АС, АВ и на этих перпендикулярах отложены отрезки МА, МВ, МС, равные соответствующим сторонам треугольника. Докажите, что М — центр масс треугольника АВС. 
Д) .26. На сторонах треугольника АВС вне его построены квадраты, имеющие центры1 соответственно в точках А1; В^ и Сг.
Докажите, что АА8 + ВВ8 + СС8 = 0 .
Д) .27. На сторонах СА и СВ треугольника АВС вне его построены квадраты САА1С1 и СВВ1С8. Докажите, что медиана
треугольника СС1С1, проведенная через вершину С, перпендикулярна стороне АВ и равна ее половине.
13.    Задачи на параллелограммы
Д) .28. Дан параллелограмм АВС9. Точка О — его центр. Докажите, что РА + РВ + РС + PD = 4СО, где Р — любая точка плоскости.
Д4.29. Дан параллелограмм АВС9. На прямой АВ взята такая точка М, что АМ = \АВ . Прямая DM пересекает прямую
АС в точке N, для которой АЫ = 1АС. Вычислите I.
Д) .30. Через вершину С параллелограмма АВС9 проведена прямая I, пересекающая прямые АВ и А9 соответственно в
точках М и N. Докажите, что если 9С = \АМ , ВС = /АЫ , то
k + F = 1.
Д) .31. Дан параллелограмм АВС9. Найдите на плоскости такую точку Q, чтобы выполнялось равенство QА + QВ + QС + + QD = 0 . Сколько существует таких точек?
Д) .32. Дан параллелограмм АВС9. Докажите, что ОА + ОС =
= ОВ + OD , где О — произвольная точка пространства.
Д) .33. АВС9 — параллелограмм, О — его центр, Q — произвольная точка плоскости. Выразите вектор QO через векторы QА = а , С9 = = , А9 = > .
Д) .3). Два параллелограмма АВС9 и АВ1С191 имеют общую вершину А. Докажите, что СС1 < ВВ1 + DD1.
Д) .35. Даны два параллелограмма ОАВС и ОА1В1С1. Докажите, что каждый из трех отрезков АА^ ВВ^ СС1 не больше суммы двух других отрезков.
Д4 .36. ABCD и ACEF — два параллелограмма с центрами О и D. Выразите векторы AC , BF , ЕО , FO , AF , BE через векторы ЕС = а и FD = =.
Д4 .37. Докажите, что если в четырехугольнике ABCD точки М и N — соответственно середины сторон AB и CD и для построенного параллелограмма ABDD' точка О — середина отрезка CD', то MN = AO и MN II AO.
Д4 .38. На стороне AB четырехугольника ABCD построен параллелограмм ABCC и взята точка О — середина отрезка CD. Докажите, что если М и N — соответственно середины сторон AB и CD, то отрезок AO равен отрезку MN по длине и параллелен ему.
Д4 .39. Даны два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1. Докажите, что в общем случае середины отрезков AAi, BBi, CCi, DDi являются вершинами параллелограмма A^B'C'D'. Постройте два таких параллелограмма, чтобы точки A0, B0, C0, D0 совпали или принадлежали одной прямой.
Д4.40. Докажите, что если A, B, C, D, Е, F — соответственно середины последовательных сторон шестиугольника, то
AB + CD + EF = 0.
Д4.41. ABCD и BDCF — два параллелограмма и О — центр первого из них. Выразите векторы AD , ВО , CF, OF, DF, CD через векторы BF = а и CO = =.
Д4 .42. Даны четыре компланарных вектора ОА, ОВ, OC, OD одинаковой длины. Докажите, что если ОА + ОВ +
+ OC + OD = 0, то четырехугольник ABCD — прямоугольник.
Д4.43. При каждой вершине треугольника ABC построены ромбы, стороны которых равны и направлены по сторонам треугольника; АА^ BBi, CCi — диагонали этих ромбов. Докажите,
что AAi + BBi + CCi = 0.
Д4 .44. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда для любой точки Q
выполнялось равенство QA + QC = QB + QD.
Д4 .45. Докажите, что если точки О, А, В не принадлежат одной прямой и ОС = ОА ОВ , то четырехугольник ОВАС — параллелограмм .
Д4 .46. В четырехугольнике АВС9 точки М, N, Р, Q — соответственно середины последовательных сторон. Докажите, что MNPQ — параллелограмм.
Д4 .53. Дан четырехугольник ABCD. Построен второй четырехугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников BCD, CDA, DAB, ABC. Докажите, что средние линии обоих четырехугольников пересекаются в одной точке.
Д4 .54. На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD даны соответственно точки М и N, такие, что AM = kAB , DN = kDC . Докажите, что середины отрезков BC, MN и AD принадлежат одной прямой.
Д4 .55. В пятиугольнике ABCDE точки М, Р, Q — соответственно середины четырех последовательных сторон, начиная от AB. Найдите зависимость между векторами MN, PQ и AE.
Д4.56. В окружность с центром O вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются
в точке М. Выразите вектор ОМ через векторы OA, OB,
OC и OD.
Д4 .57. Дан правильный яугольник A^^2 ... An с центром О.
A      _
Докажите, что X OA = 0.
~ = 1
Д4 .58. Даны правильный яугольник A^^2 ... AA с центром O
A          
и точка М. Докажите, что X MA~ = я • MO .
~ = 1
Д4 .59. Даны два произвольно расположенных правильных яугольника AIA2 ... AA и BiB2 ... BA с центрами Oi и O2. Дока
A          
жите, что X AiB~ = я • O8O2 .
~ = 1
Д4.60. Дан правильный пятиугольник Ai AF A3 A4A5 с центром O. Выразите векторы OA3, OAC и OA& через OA8 и ^^2 .
Д4.61. На сторонах четырехугольника ABCD вне его построены квадраты ABBiAi, BCC1B1, CDDiCi и DAAiDi с центрами Р, Q, R, S соответственно. Докажите, что отрезки PR и QS равны и перпендикулярны.
Д4 .62. Дан четырехугольник ABCD. Найдите на плоскости такую точку Q, чтобы выполнялось равенство QA + QB + QC + + QD = 0 . Сколько существует таких точек?
Д4 .63. Пусть S — точка пересечения средних линий четырехугольника ABCD и Q — произвольная точка плоскости.
Докажите, что имеет место равенство QA + QB + QC + QD =
= 4 OS.
Д4 .64. Дан четырехугольник ABCD. Его средние линии пересекаются в точке M. Построена ломаная MAUV, где AU = MB , UV = MC . Докажите, что М — середина отрезка VD.
Д4 .65. Пусть A^AF ... AA — произвольный многоугольник, а B, B2, ... , BA — середины его сторон. Докажите, что для произвольной точки Q справедливо соотношение QA + QA2 + ... ... + QAA = QB + QB2 + ... + QBA .
Д4 .66. Точки Ми N являются соответственно серединами диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD. Докажите, что
MN = 8 (AB + CD ) и MN = 88(AD + CB ).
Д4.67. Проведены четыре радиуса OA, OB, OC и OD окружности с центром O. Докажите, что если OA + OB + OC + + OD = 0, то ABCD — прямоугольник.
Д4 .68. На окружности с центром O даны точки A и B. Касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке C.
Выразите вектор OC через векторы OA и OB , если: а) ZAOB = = 60°; б) ZAOB = 90°; в) ZAOB = 120°.
Д4 .69. Дана окружность с центром O; A и B — точки этой окружности. Биссектриса угла AOB пересекает окружность в точке C. Выразите вектор OC через векторы OA и OB, если: а) ZAOB = 60°; б) ZAOB = 90°; в) ZAOB = 120°.
Д4.70. Дана окружность с центром О. Проведены две равные хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Докажите, что сумма векторов ОА, ОВ, ОС, OD коллинеарна вектору ОМ.
Д4.71. Дана окружность с центром О. Проведены две перпендикулярные хорды АВ и CD. Хорды или их продолжения пересекаются в точке М.
1.    Докажите, что ОМ = F (ОА + ОВ + ОС + О9).
2.    Докажите, что середины хорд АС и BD, точка М и центр О данной окружности являются вершинами параллелограмма.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (01.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar