Тема №6323 Ответы к задачам по геометрии Нагорнов (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Нагорнов (Часть 1) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Нагорнов (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Тема 1

1. Найти угол, смежный с углом ЛВС, если: а) АЛВС = 110°;
б) АЛВС = 16°.
2. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
3. Найти в треугольнике ЛВС АС, если: а) АЛ = 60°; АВ = 71°;
б) АЛ = 50° + а; б) АВ = 50° - а.
4. В треугольнике ЛВС АЛ : АВ : АС = 1 : 2 : 3. Найти углы в тре­
угольнике ЛВС.
5. Один из внутренних углов равнобедренного треугольника равен
100°. Найти внутренние углы треугольника.
6. Найти внутренние углы треугольника, если внешние углы при
двух его вершинах равны 120° и 150°.
7. У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а один из
внешних - 40°. Найти остальные внутренние углы треугольника.
20
8. В AKDM разность углов KDM и DKM в два раза меньше угла
DMK, а угол DMK в 2 раза меньше суммы углов KDM и DKM. Найти
эти углы.
9. В APKC биссектрисы углов KPC и PKC пересекаютя в точке
O. Известно, что угол POK равен 110°, а угол C в 3 раза меньше угла
KPC. Найти внутренние углы APKC.
10. В AABC высоты, проведенные из вершин A и B, пересекаются
в точке O. Известно, что угол AOB равен 108°, а угол АСВ в 1,5 раза
больше угла АВС. Найти углы ААВС.
11. Биссектриса угла A и высота, опущенная из вершины B
AABC, пересекаются под углом 75°. Найти величины внутренних
углов AABC, если известно, что угол АВС в 2 раза больше угла ВАС.
12. В APQR /Q PR = 75° и /P RQ = 40°. Найти угол между:
а) высотами PK и QL; б) высотой PK и биссектрисой PM.
13. В AABC / ВАС = 110° и /ВСА = 30°. Найти угол между:
а) биссектрисами внешнего угла A и внутреннего угла C;
б) высотой BD и биссектрисой AN.
14. Определите угол между медианой и высотой прямоугольного
треугольника, проведенными из вершины прямого угла, если острые
углы треугольника равны 37° и 53°.
15. Прямая, проходящая через вершину A AABC, пересекает сто­
рону BC в точке M. При этом ВМ = АВ, /В А М = 35° и /С А М = 15°.
Найти углы AABC.
16. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр до
пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом
другого катета отрезком, который делит угол треугольника в
отношении 2 : 5 (меньшая часть - при гипотенузе). Найти этот угол.
17. Пусть A, B и C - три последовательно лежащие точки на
прямой. Найти:
а) BC, если АВ : ВС = 3:2; АС = 70 см;
б) АС, если АВ : ВС = 2:5; ВС = 70 см;
в) BC, если АС : ВС = 7:3; АВ = 16 см;
г) BC, если АВ : АС = 2:5; АС = 30 см.
18. Пусть A, B, C и D - четыре последовательно лежащие на
одной прямой точки. Найти:
а) BC, если АВ : ВС : CD = 7 : 8 : 5; АD = 40 см;
21
б) AD, если АВ : ВС : CD = 3 : 4 : 8; BC = 16 см;
в) AD, если АС : CD : BD = 7 : 3 : 8; АВ = 12 см.
19. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если:
а) основание равно 17 см, а периметр 67 см; 6) разность между
основанием и боковой стороной равна 8 см, а периметр 71 см.
20. На боковой стороне равнобедренного треугольника построен
равносторонний треугольник, периметр которого равен 45 м, а пери-
мет первого треугольника 40 м. Найти основание равнобедренного
треугольника.
21. Медиана, проведенная к одной из боковых сторон равнобед­
ренного треугольника, делит периметр треугольника на части длиной
15 и 6 см. Найти длины сторон треугольника.
22. Периметр равнобедренного треугольника РААВС = 110, (АВ =
= ВС), а отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен 15.
Найти длину боковой стороны.
23. Треугольник АВС - прямоугольный, АС = 90°. Найти:
а) АВ, если АС = 8, ВС = 6;
б) АС, если АВ = 20, ВС = 7.
24. В треугольнике ОМК AK = 90°. Найти:
1) ОМ, если: а) OK = 12 см, MK = 5 см; б) OK = 6 см, MK = 8 см;
2) MK, если: а) OK = 15 см, ОМ = 17 см; б) OK = 12 см, ОМ = 13 см.
25. Найти катет прямоугольного треугольника, если известны ги­
потенуза и второй катет: а) 8 и 4; б) 6 и 3.
26. В треугольнике АВС высота СН делит сторону АВ на отрезки
АН и ВН. Найти:
а) стороны ААВС, если АН = 9 см, ВН = 16 см, СН = 12 см;
б) сторону АВ, если АС = 17 см, ВС = 10 см, СН = 8 см.
27. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 45,
cos ААВС = —. Найти: а) катеты; б) площадь ААВС.
28. В прямоугольном треугольнике АВС длина катета равна 84, си­
нус прилегающего к нему острого угола имеет величину -20. Найти
площадь треугольника.
29. Даны стороны треугольников: а) 7, 18, 12; б) 28, 35, 21. Какой
треугольник является прямоугольным?
22
30. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов А и В
прямоугольного ДАВС, если АВ = 13 см, ВС = 12 см.
31. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов А и В
прямоугольного ДАВС, если АВ = 7 см, ВС = 24 см.
32. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сум­
ма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найти стороны тре­
угольника.
33. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а раз­
ность гипотенузы и меньшего катета равна 4 см. Найти стороны тре­
угольника.
34. Найти отношение длины гипотенузы прямоугольного тре­
угольника к длине большего катета, если длины катетов относятся
как 1 : 3.
35. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла
делит катет на отрезки 4 и 5 см. Найти длину гипотенузы.
36. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
делит гипотенузу на отрезки 600 и 175 см. Найти длину большего
катета.
37. Гипотенуза AC прямоугольного треугольника ABC на 8 больше
катета BC, а катет AB на 1 меньше катета BC. Найти AB.
38. Катет прямоугольного треугольника равен
л/281
2
. Найти его площадь.
5
2
а гипотенуза
39. В прямоугольном треугольнике катеты АВ = 5 см, ВС = 12 см.
На какие отрезки делит гипотенузу высота, проведенная к ней?
40. Высота равнобедренного треугольника равна 10, а боковая
лДвГ „
стороная------ . Найти его площадь.
41. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12. Найти
его периметр, если отношение катетов 3 : 4.
42. В прямоугольном треугольнике катеты равны между собой.
Площадь треугольника 12 см2. Найти длину биссектрисы прямого
угла.
43. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника
равна 3-J3 . Найти его площадь.
23
44. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан
квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две
другие - на катетах. Найти длину стороны квадрата, если длина
гипотенузы 6 см.
45. В прямоугольном треугольнике один катет вдвое длиннее
другого, а гипотенуза равна 3^Jl0 см. Найти длину биссектрисы
прямого угла.
46. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Один из
катетов составляет 75 % другого. Найти больший из катетов.
47. В равнобедренном треугольнике длина основания равна а, а
длина высоты, опущенной на основание, равна h. Найти расстояние от
середины основания до боковой стороны.
48. Найти длину основания равнобедренного треугольника,
боковая сторона которого равна -Jv? , а площадь 4.
49. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а
высота, проведенная к этому основанию, - 20 см. Найти длину
высоты, опущенной на боковую сторону.
50. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота,
опущенная на основание, равна 10 см, а высота, опущенная на
боковую сторону, - 12 см.
51. В треугольнике длина основания на 4 см меньше длины
высоты, опущенной на это основание. Площадь треугольника равна
96 см2. Найти длину основания.
52. Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 36 см2.
Стороны АВ = ВС, BD - высота. Найти длину стороны AC, если:
а) BD = 12 см; б) ВС = V97 см; в) ВС : DC = 4 l .
53. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см.
Найти длину медианы, проведенной из прямого угла.
54. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из
прямого угла, равна одному из катетов. Найти меньший угол
треугольника.
55. Найти периметр и площадь прямоугольного треугольника
ABC, если АС = 90°; АС = 2 см; sin ZB = .
л/5
56. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипоте­
нузу, делит ее на отрезки 9 и 4 см. Найти произведение длин катетов.
24
57. Дан треугольник АВС (см. рис.). Найти:
а) а, b, bc, hc, если ас = 1, с = 4;
б) а, b, с, hc, если ас = 6, bc = 2.
58. Гипотенуза прямоугольного треуголь­
ника равна 13, один из катетов равен 5. Найти t а°_____ fy-_______
второй катет, высоту, проведенную из верши- с
ны прямого угла, и отрезки, на которые эта высота делит гипотенузу.
59. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треуголь­
ника, равна 5, а один из катетов 13. Найти гипотенузу, второй катет и
отрезки, на которые эта высота делит гипотенузу.
60. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а проведен­
ная к ней высота 2. Найти катеты и отрезки, на которые эта высота
делит гипотенузу.
61. Найти площадь прямоугольного треугольника, один из катетов
которого равен 13, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 12.
62. В прямоугольном треугольнике сумма сторон 70, а сумма
квадратов сторон 1682. Найти квадрат разности катетов.
63. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 17 см, а
гипотенуза - 13 см. Найти катеты и площадь тре-угольника.
64. Найти площадь прямоугольного треугольника, периметр
которого равен 24, а стороны образуют арифметическую прогрессию.
65. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к
гипотенузе, равна 6,5. Определить катеты, если сумма гипотенузы и
меньшего катета равна 18.
66. Высота равностороннего треугольника равна бд/з . Найти
периметр этого треугольника.
67. В прямоугольный треугольник с катетами 10 и 15 см вписан
квадрат, имеющий с ним общий угол. Найти периметр квадрата.
68. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного
треугольника с катетами, равными 18 и 24 см.
69. В равнобедренном треугольнике основание равно 20, а синус
угла при основании равен 12 . Найти площадь треугольника.
70. В равнобедренном треугольнике основание равно 18 см,
боковая сторона равна 15 см. В треугольник вписан квадрат так, что
две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие
вершины - на боковых сторонах. Найти длину стороны квадрата.
25
71. Может ли существовать треугольник со сторонами:
а) 5 м, 10 м, 12 м;
б) 1 см, 2 см, 3,3 см;
в) 1,2 см, 1 см, 2,2 см?
72. Могут ли стороны треугольника относиться как: а) 1 : 2 : 3;
б) 2 : 3 : 4?
73. В равнобедренном треугольнике одна сторона 25 см, другая 10
см. Какая из них служит основанием?
74. Найти косинусы углов треугольника ABC, если:
а) АВ = 3 см; ВС = 4 см; АС = 5 см;
б) АВ = 12 см; ВС = 13 см; АС = 10 см;
в) АВ = 10 см; ВС = 8 см; АС = 3 см;
75. Найти длину стороны AC треугольника ABC, если:
а) АВ = 5; ВС = 8; cosZВАС = 7/8;
б) ВС = 7; АВ = 10; соъААСВ = -5/8.
76. В треугольнике основание равно 12, один из углов в нем равен
120°, сторона против этого угла равна 28. Найти третью сторону.
77. В треугольнике АВС стороны АС =л/2, ВС = 1, ААВС = 45°.
Найти угол ВАС.
78. Одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны
соответственно 30 и 45°. Найти все возможные значения периметра
треугольника.
79. Определить тип треугольника (остроугольный, тупоугольный
или прямоугольный), если:
а) АВ = 2; ВС = 3; АС = 4;
б) АВ = 14; ВС = 50; АС = 48;
в) АВ = 1; ВС = 2; АС = 3;
г) АВ = 6; ВС = 7; АС = 9;
д) АВ = 68; ВС = 119; АС = 170.
80. В треугольнике ABC стороны АС 6
5
см, ВС = 1 см; его
12 2
площадь равна — см . Найти длину стороны AB, если угол ВАС
острый.
81. В треугольнике ABC точки М и K - середины строн АВ и ВС
соовтетственно, МВ = 6 см, МК = 5 см, ВС = 14 см. Найти периметр
треугольника ABC.
26
82. В прямоугольном треугольнике с углом 30° и меньшим кате­
том, равным 6 см, проведены средние линии. Найти периметр тре­
угольника, образованного средними линиями.
83. В прямоугольном треугольнике с углом 45° и гипотенузой,
равной 8 см, проведены средние линии. Найти периметр треугольника,
образованного средними линиями.
84. В треугольнике со сторонами 25, 25 и 14 найти расстояния от
точки пересечения медиан до вершин треугольника.
85. В равнобедренном треугольнике расстояния от точки пересе­
чения медивн до вершин треугольника равны 25, 14 и 25 см. Найти
стороны треугольника.
86. В треугольнике со сторонами 15, 15 и 24 см найти расстояния
от точки пересечения медиан до сторон треугольника.
87. Длины сторон треугольника 11, 12 и 13 см. Найти длину
медианы, проведенной к большей стороне.
88. Стороны AABC равны АВ = 18, ВС = 12, АС = 14. Найти длину
медианы BM.
89. Длина медианы BD треугольника ABC равна 1, АВ = 3, угол
BDC = 60°. Найти площадь треугольника ABC.
90. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 9,
катет ВС = 3. На гипотенузе взята точка M так, что АМ : МВ = 1:2.
Найти CM.
91. В прямоугольном треугольнике ABC катеты АС = 15 и ВС =
= 20. На гипотенузе AB отложен отрезок AD = 4. Найти CD.
92. Сторона треугольника равна 2^/7, а две другие образуют угол
в 30° и относятся как 1: 2д/3. Найти эти стороны.
93. В AABC известно, что АС = 13, АВ = 14, ВС = 15. На стороне
BC взята точкаM так, что СМ : МВ = 1:2. Найти AM.
94. В AABC точка D на стороне AB. Найти CD, если ВС = 37, АС =
15, АВ = 44, AD = 14.
95. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с острым
углом 30°, если известно, что биссектриса, проведенная из вершины
прямого угла, равна а.
96. В равнобедренном треугольнике основание и боковая
сторона равна соответственно 5 и 20. Найти биссектрису угла при
основании треугольника.
27
97. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника
образует с его стороной угол 60°. Найти высоту треугольника, прове­
денную из той же вершины, если его боковая сторона равна 25 м.
98. В треугольнике ABC стороны АВ = 3, ВС = 5, АС = 7. Найти
длину биссектрисы ААВС треугольника.
99. Вычислить биссектрису АА треугольника ABC со сторонами
ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.
100. В треугольнике ABC со стороной АВ = 45 из вершины B к
стороне AC проведены медиана ВМ = 242 и высота ВН = 2. Найти
сторону BC, если известно, что ААВС + ААСВ < 90°.
101. В треугольнике ABC стороны АВ = 4, ВС = 5. Из вершины B
проведен отрезок BM (точка М лежит на стороне АС), причем ААВМ
= 45° и АМВС = 30°. Найти: а) отношение, в котором точка M делит
сторону AC; б) отрезки AM и MC.
102. В равнобедренном треугольнике основание равно -/2 !, угол
при основании 30°. Найти длину медианы, проведенной к боковой
стороне.
103. В треугольнике ABC с острым углом A стороны АВ = 3 см,
АС = 2 см, AH - биссектриса. Расстояние от H до сторон равно 1.
Найти BC.

Тема 2

1. Найти площадь треугольника со сторонами:
а) 7, 24, 25; б) 5, 12, 13.
2. Найти высоту KP треугольника KLM, если:
а) KL = 10 см, LM = 6 см, KM = 8 см;
б) KL = 12 см, LM = 5 см, KM = 9 см.
3. В треугольнике величины внутренних углов относятся как
3 : 4 : 5, а длина стороны, лежащей против меньшего угла, равна 42
см. Найти длины сторон и площадь треугольника.
4. Две стороны треугольника равны 242 и 3, площадь треуголь­
ника равна 3. Найти третью сторону.
5. Длина стороны правильного ААВС равна 4. Найти:
а) длину высоты BK;
б) площадь ААВС;
в) длину медианы АЕ;
г) расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины тре­
угольника;
д) длину отрезка EK;
е) длину трезка KF, где точка F делит отрезок АВ в тоношении 3:1;
ж) площадь AEFK;
з) расстояние от точки F до прямой EK;
и) отношение площадей ААВС и АКЕС.
6. В ААВС АВ = 3, ВС = 4, АС = 5. Найти:
а) площадь ААВС;
б) длину высоты BK;
в) длины биссектрис ВЕ и AF;
д) длины медиан ВР и CQ.
7. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°.
Найти:
а) отношение площадей, на которые делит треугольник высота,
опущенная на гипотенузу;
б) отношение площадей, на которые делит треугольник биссектри­
са прямого угла.
8. В ААВС АВ = 13, ВС = 14, АС = 15. Найти:
а) площадь ААВС;
б) длину высоты BK;
45
в) cos ААВС;
д) длину медианы ВР.
9. В ДАВС АВ = 6, ВС = 4, ААВС = -0,25. Найти:
а) длину стороны АС;
б) smZВАС;
в) площадь ДАВС;
г) длину медианы AK;
д) длину биссектрисы AL.
10. Найти площадь треугольника NOP, если ON = 5, высота
PK = W 2 .
11. Площадь треугольника BCD равна 48 см2. Найти сторону ВС,
если ысота DM = 9 см.
12. Найти площадь треугольника, если две его стороны равны 13 и
15 см, а высота, проведенная к третьей стороне, равна 12 см.
13. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.
Найти площадь данного треугольника, если угол между боковыми
сторонами равен 120°.
14. Найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуголь­
ника, если его площадь равна 36 см2.
15. Площадь прямоугольного треугольника равна 6 см2, а длина
одного из катетов 4 см. Найти периметр этого треугольника.
16. Дан ДАВС, в котором угол при вершине B - тупой, сторона AB
= 3 см, а sin АВ = ^ ^ . Найти периметр треугольника, если его пло-
4
щадь равна см2.
17. В ДАВС угол при вершине A - острый; стороны АВ = 12 см;
V7 АС = 8 см. Площадь треугольника равна умноженному на ---- про-
8
изведению сторон AB и AC. Найти периметр треугольника.
18. В ДАВС сторона АС = 5 см; АВ - ВС = 2 см; АВСА : АВАС =
= 2 : 1. Найти длины сторон ДАВС.
19. Найти площадь треугольника, если его высоты равны 12, 15 и
20.
20. Точка C делит отрезок AB в отношении АС : СВ = 2 : 3. Точка
D делит отрезок CB в отношении CD : DB = 2 : 5. Найти отношение
АС : CD.
46
21. Точка P делит отрезок MN в отношении МР : PN = 3 : 5.
Точка Q делит отрезок MP в отношении MQ : QP = 4 : 3. Найти
отношение QP : PN.
22. На отрезке АВ взяты точки С и D так, что АС : СВ = 2 : 11,
AD : DB = 5 : 4. Найти отношение длин отрезков СВ и CD.
23. На отрезке АВ взяты точки С и D так, что АС : СВ = 3 : 8,
AD : DB = 7 : 5. Найти отношение длин отрезков АС и CD.
24. В AABC стороны АВ = 10 см; ВС = 8 см; АС = 9 см. На
какие отрезки делит сторону AC биссектриса BL?
25. На какие отрезки делит катет MP прямоугольного AMNP
биссектриса NB, если NP = 14 см, MN = 50 см?
26. В каком отношении делятся медианы треугольника точкой их
пересечения? (Использовать теорему V.)
27. На стороне ВС в ААВС взята точка D, такая, что BD : DC = 2:5,
а на стороне АС - точка Е так, что АЕ = 1 АС . В каком отношении
делятся отрезки ВЕ и AD точкой Q их пересечения. (Использовать тео­
рему V.)
28. В ААВС отрезки AD и ВС, проведенные из вершин А и В к сто­
ронам ВС и АС соответственно, делятся между собой в отношении
AQ 3 BQ 4 „ —— = —; —— = — (Q - точка пересечения отрезков AD и ВС). В каком
QD 2 QE 5
отношении точки Е и D делят стороны треугольника? (Использовать
теорему VI.)
29. Каждая из сторон ААВС разделена на три равные части так, что
точки деления D, E, F, лежащие на сторонах АС, ВА, и СВ соответст­
венно, отсекают по 3 длины каждой стороны ( АD = 3 АС, ВЕ = 3 ВА,
CF = 3 СВ). Вершины ААВС соединены с точками деления отрезками
прямых AF, BD и СЕ, которые, пересекаясь, образуют APQR. Какую
часть площади ААВС занимает APQR?
30. Стороны ААВС равны АВ = 3; АС = 4; ВС = 5. В каком отно­
шении точка пересечения биссектрис O делит биссектрису угла B?
31. В ААВС на стороне AB взята точка D, которая делит сторону в
отношении AD : DB = 3 : 8. В каком отношении CD делит медиану
AM?
47
32. Две биссектрисы в треугольнике делятся в точке пересечения
2 : 1 и 3 : 1 (считая от вершины). Найти, в каком отношении делится
точкой пересечения третья биссектриса.
33. В каком отношении делит сторону AB треугольника АВС
прямая, проходящая через точку D, лежащую на стороне BC, и
через середину медианы BM, если известно, что BD : DC = 3 : 2?
34. На продолжении стороны BC треугольника АВС взята точка
D, такая, что ВС = 2CD. В каком отношении сторону AC делит
прямая, проходящая через точку D и точку M , лежащую на AB, если
ЗАМ=МВ?
35. Точка K делит сторону AC треугольника АВС в отношении
KC : KA = 1:3; точкаM делит сторону BC в отношении СМ : МВ = 2:5.
Точка D - точка пересечения отрезков AM и BK. В каком отношении
точка D делит отрезок AM?
36. Точка M делит сторону AB ААВС в отношении АМ : МВ = 1:2.
Точка N лежит на стороне AC и отрезок BN делится отрезком MC в
отношении 5:2, считая от вершины B. В каком отношении точка N
делит сторону AC?
37. Точка P делит сторону BC ААВС в отношении ВР : РС = 2 : 3.
Точка Q делит отрезок AP в отношении AQ : QP = 4 : 3. В каком
отношении прямая BQ делит сторону AC?
38. Точки Сь В1 и А1 делят стороны AB, AC, BC ААВС в отноше­
нии АС1 : С1В = 1 : 4, СВ1 : В А = 2 : 1, ВА1 : А1С = 1 : 1. Пусть P - точ­
ка пересечения отрезков АА1 и ССЬ а Q - точка пересечения АА1 и
ВВь В каком отношении точки P и Q делят отрезок АА1?
39. Точки С\, В\ и А1 делят стороны AB, AC, BC треугольника АВС
в отношениях АС1 : С1В = 1 : 2, СВ1 : В\А = 1 : 2, ВА1 : А1С = 1 : 1.
Пусть P - точка пересечения АА1 и ССЬ а Q - точка пересечения АА1
и ВВь В каком отношении точки P и Q делят отрезок АА1?
40. В ААВС на стороне BC взята точка D так, что BD : DC = 3 : 5.
Найти отношение площадей А ABD и А ADC .
41. В ААВС на сторонах BC и AC взяты точки M и N так, что
ВМ : МС = 1 и АN : NC = 2 : 5. Найти отношение площадей ААВС и
АBMN.
42. На сторонах AB и BC ААВС взяты точки M и N так, что:
а) AM : MN = 2 : 3; BN : NC = 1 : 1;
48
б) AM : MN = 3 : 5; B N : NC = 2 : 3;
в) A M : MN = 7 : 3; B N : NC = 5 : 4.
Площадь NMBN равна 1. Найти площадь АЛВС.
43. Точки F и N делят стороны АЛВС в отношениях A F : FC =
= 3 : 1 и CN : NB = 2 : 3. Прямые AN и BF пересекаются в точке M.
Найти отношение площадей AAMB и AANB.
44. В АЛВС точка L делит пополам сторону BC, точка K делит
пополам отрезок BL. На прямых AK и AL вне АЛВС отложены
отрезки LD = AL и KF I
3
AK . Найти отношение площадей АЛВС и
четырехугольника KLFD.
45. Точки P, Q и R лежат соответственно на сторонах AB, BC и
AC треугольника ЛВС, причем ЛР : РВ = BQ : QC = AR : RC = 1 : 2.
Найти отношение площадей APQR и AABC.
46. В условиях предыдущей задачи проведены отрезки AQ, BR и
CP, которые пересекаются в точках M, N и K. Найти отношение
площадей AMNK и AABC.
47. В AABC точка M - середина стороны BC, точка K лежит на
стороне AC, причем ЛС = 4AK. Прямые AM и BK пересекаются в
точке O. Найти длину MK, если известно, что AM = 5 см, BK = 10 см,
AAOB = 135°.
48. В AABC точка D - середина стороны AB, точка E лежит на
стороне BC, причем BC = 3BE. Отрезки AE и CD пересекаются в
точке O. Найти AB, если известно, что AE = 5 см, OC = 4 см, AAOC =
= 120°.
49. В АЛВС стороны ЛС = 5, ЛВ = 6, ВС = 7. Биссектриса АС
пересекает сторону AB в точке D. Найти площадь AADC.
50. В АЛВС стороны ЛВ = 4, ВС = 6, АЛВС = 30°. Биссектриса угла
B пересекает сторону AC в точке D. Найти площадь AЛВD.
51. Периметр треугольника равен 25, а его биссектриса делит про­
тивоположную сторону на отрезки, равные 7,5 и 2,5. Найти стороны
треугольника.
52. В прямоугольном АЛВС с прямым углом B биссектриса угла
A пересекает сторону BC в точке D. Известно, что BD = 4, DC = 6.
Найти площадь AADC.
49
53. В AABC проведены биссектрисы BD и AF. Найти отношение
площадей AABC и ACDF, если AB = 6, BC = 4 и AC = 3.
54. В AABC биссектриса ABAC пересекает сторону BC в точке M.
Известно, что AB = BC = 2AC, AM = 4. Найти площадь AABC.
55. В AABC биссектриса AABC пересекает сторону AC в точке K.
Известно, что BC = 2, KC = 1, BK —зУ2
2
. Найти площадь AABC.
56. Найти косинус угла при вершине равнобедренного
треугольника, если биссектриса угла при основании делит боковую
сторону в отношении 3 : 2, считая от вершины.
57. В AABC стороны AC = 4 см, BC = 3 см, SAABC -
зЛ ?
2
см
Медиана, проведенная к стороне AB, меньше ее половины. Найти
отношение отрезков, на которые сторона AB делится биссектрисой.
58. Длина основания AC равнобедренного AABC равна 5 см, а
длина биссектрисы AD равна 6 см. Найти длину боковой стороны
AB.
59. В AABC со сторонами AB = 15 см, BC = 17 см и АС = 10 см
проведен отрезок А С параллельно AC, причем точка А лежит на
AC, а С - на BC. Найти:
а) АВ, если ВС = 13 см;
б) А'С', если С С = 3 см.
60. Стороны первого треугольника равны 71, 84 и 105 см. Найти
стороны пободного ему треугольника, если известно, что его
периметр больше периметра первого треугольника на 156 см.
61. Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6. Найти стороны
треугольника, подобного данному, если меньшая сторона второго тре­
угольника равна 0,8 м.
62. Стороны треугольника относятся как 2 : 5 : 4. Найти стороны
треугольника, подобного данному, если его периметр равен 55.
63. Известно, что в AABC и AA\B\C\ АА =ААЬ АВ =АВ\, АВ = 5 м,
ВС = 7 м, А1В1 = 10 м, AjCj = 8 м. Найти неизвестные стороны тре­
угольников.
64. Известно, что в AABC и AA\B\C\ АВ = АВ\, стороны АВ и ВС в
2,5 раза больше сторон А1В1 и В1С1. Найти АС и А1С1, если их сумма
равна 4,2 м.
50
65. В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат так.
что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другои -
на боковых сторонат. Найти сторону квадрата.
66. В AABC проведена прямая DE параллельно стороне АС (точка
D лежит на стороне АВ, точка Е - на стороне ВС). Найти отношение
AD : DB, если известно, что АВ = 16 м, АС = 20 м, DE = 15 м.
67. В AABC сторона АВ = 15 м, АС = 10 м, AD - биссектриса угла
А. Из точки D проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая АС
в точке Е. Найти АЕ, ЕС и DC.
68. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 12 см. Найти
гипотенузу треугольников, подобных данному, если:
а) один из катетов равен 10 см;
б) разность катетов равна 20 см;
в) площадь равна 21 см2.
69. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) отношение
сторон АВ : АС = 5 : 4. Найти площадь AMBN, где CM и AN - биссек­
трисы, если площадь треугольника АВС равна 162 см2.
70. Прямые, параллельные основанию AC ААВС, делят сторону
AB на три равные части. Найти отношение площадей, отсекаемых
фигур.
71. Прямые, параллельные основанию AC ААВС, разбивают его
на три равновеликие фигуры. В каком отношении эти прямые
разбивают сторону AB (считая от вершины B)?
72. Точки K и M лежат на сторонах AB и BC треугольника АВС,
причем AK : КВ = 3 : 2; ВМ : МС = 3 : 1. Через точку B проведена
прямая l, параллельная AC. Прямая KM пересекает прямую l в точке
P, а прямую AC - в точке N. Найти BP и CN, если АС = а.
73. Дан ААВС. На продолжении стороны AC за точку C взята
точка N так, что АС = 2CN. Точка M находится на стороне BC, при­
чем ВМ : МС = 1 : 3. В каком отношении прямая MN делит сторону
AB?
74. Точки К и M расположены на сторонах AB и BC треугольника
АВС, причем BK : KA = 1 : 4; ВМ : МС = 3 : 2. Прямая MK пересекает
прямую AC в точке N. Найти отношение АС : CN.
75. В остроугольном ААВС проведены высоты AE и CD. Найти
AB, если BD = 18; ВС = 30; АЕ = 20.
51
76. В остроугольном АЛВС проведены высоты AP и CQ. Пери­
метр АЛВС равен 15, периметр ABPQ равен 9, а радиус описанной
около ABPQ окружности равен 9/5. Найти длину AC.
77. В AABC стороны AB = BC = 6. На стороне AB как на диаметре
построена окружность, пересекающая сторону BC в точке D так, что
BD : DC = 2 : 1. Найти длину AC.
78. В АЛВС, углы которого образуют арифметическую прогрес­
сию с разностью 15°, проведены высоты AN, BP и CM. Найти пло­
щадь AMNP, если SAABC = 1.

Тема 3

1. Длина стороны квадрата ABCD равна 4. Найти:
а) площадь квадрата;
б) длину диагонали квадрата;
в) расстояние от точки пересечения диагоналей до точки, делящей
одну из сторон квадрата на части в отношении 1 : 2.
64
2. Найти площадь квадрата, если его диагональ равна 4 м.
3. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону уве­
личить в 3 раза?
4. Как изменится площадь квадрата и его периметр, если диагональ
квадрата уменьшить в три раза?
5. Длины сторон прямоугольника равны 4 и 8. Найти:
а) площадь прямоугольника;
б) длину диагонали прямоугольника;
в) синус угла между диагональю и большей из сторон;
г) синус угла между диагоналями прямоугольника.
6. Как изменится площадь прямоугольника, если одну из сторон
увеличить на 50 %?
7. Определить периметр прямоугольника, если его диагональ равна
2-\/Г0 м, а площадь 12 м2
8. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а
площадь 3 м2?
9. Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как
4 : 9, а его площадь 144 м2?
10. Площадь прямоугольника, одна из сторон которого в 1,5 раза
больше другой, составляет 2^д9 площади квадрата со стороной
175 см. Найти диагональ прямоугольника.
11. Площадь прямоугольника со сторонами х и у составляет 30 %
от площади квадрата со стороной х и 120 % от площади круга радиуса
-3 . Найти х.
л/л
12. В прямоугольнике ABCD, площадь которого равна 30, на сто­
ронах AB и AD выбраны соответственно точки E и F так, что АЕ : ЕВ =
= 5 : 1, AF : FD = 2 : 3. Найти площадь AFOD, где O - точка пересе­
чения отрезков DE и CF.
13. Вычислить длину изгороди вокруг прямоугольного участка
площадью 266 см2, одна сторона которого на 5 см больше другой.
14. Сторона квадрата ABCD равна 4. Через вершину D проведена
прямая l, пересекающая сторону BC и проходящая на расстоянии 2
от середины стороны AB. В каком отношении прямая l делит сторо­
ну BC?
65
15. Точка M делит диагональ AC квадрата ABCD со стороной а в
отношении АМ : МС = 3 : 1, точка N лежит на AB, причем ZNMD -
прямой. Найти длину AN.
16. Площадь прямоугольника равна 16 см , а величина одного из
углов, образованного диагоналями, равна 150°. Найти стороны пря­
моугольника.
17. В прямоугольник со сторонами 3 и 4 м впи­
сан другой прямоугольник, стороны которого отно­
сятся как 1 : 3. Найдите площадь вписанного пря­
моугольника.
18. Сторона ромба равна 8 м, а острый угол равен
30°. Найти: а) площадь и б) диагонали ромба.
19. Найти площадь ромба, если его высота равна 10 м, а острый
угол 30°.
20. Найти площадь ромба, если его диагонали 24 и 7 м.
21. Периметр ромба равен 20 см, сумма длин диагоналей равна
14 см. Найти площадь ромба.
22. Высота ромба в 2 раза меньше большей диагонали. Найти
отношение меньшей диагонали к стороне.
23. Диагонали ромба равны 28 и 21. Найти высоту ромба.
24. Высота ромба равна 12 см, а меньшая диагональ - 15 см.
Найти площадь ромба.
25. Найти площадь ромба, если его сторона имеет длину 4 см, а
острый угол равен 45 °.
26. Найти длину стороны ромба площадью 12 см2, если длины
его диагоналей относятся как 3 : 4.
27. Найти углы ромба, если высота, проведенная из вершины
тупого угла, делит противоположную сторону пополам.
28. Периметр ромба равен 8, высота равна 1. Найти тупой угол
ромба.
29. Стороны параллелограмма равны 7 и 9 м, а площадь его равна
126 м2. Найти обе высоты.
30. Стороны параллелограмма равны 5 и 8 м, а один из углов ра­
вен 150°. Найти площадь параллелограмма.
31. Диагонали параллелограмма, равные 5 и 12, пересекаются под
углом 30°. Найти площадь параллелограмма.
32. Площадь параллелограмма равна 96 м2, а высоты его равны 6 и
8 м. Найти периметр параллелограмма.
66
33. Площадь параллелограмма равна 64 м2, а расстояние от точки
пересечения диагоналей до сторон равны 2,5 и 5 м. Найти стороны
параллелограмма.
34. Площадь параллелограмма ABCD равна 4, угол D равен 45°,
сторона ВС равна W 2 . Найти диагональ АС.
35. Площадь параллелограмма ABCD равна 21, угол ABD равен
45°, диагональ BD равна Зл/2. Найти сторону ВС.
36. Периметр параллелограмма равен 48 см, а его высоты
относятся как 5 : 7. Определить длины сторон параллелограмма.
37. Найти синус острого угла параллелограмма, если длины его
высот равны З и 4, а периметр равен 28.
38. Диагонали параллелограмма равны 25 и 15 см. Угол между
сторонами равен 45°. Найти площадь параллелограмма.
39. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом 45 ° и
имеют длины 6 и -Jl2 . Найти длину большей высоты параллело­
грамма.
40. Отношение сторон параллелограмма равно 5 : 8, угол между
ними равен 60°. Площадь параллелограмма равна 80 V3. Найти пе­
риметр параллелограмма.
41. Диагонали параллелограмма равны 17 и 19 см. Одна из
сторон 2 см. Найти другую сторону параллелограмма.
42. В параллелограмме ABCD диагональ BD равна 5 см, синус
тупого угла ADB равен 4/5. Найти площадь параллелограмма, если
сторона AB равна V?! см.
43. Угол В параллелограмма ABCD - тупой. Длина сторон АВ =
= З см, ВС = 8 см. Площадь параллелограмма составляет V5/3 от
произведения сторон АВ-ВС. Найти диагональ AC.
44. Площадь параллелограмма ABCD равна 5д/3 см2, а угол при
вершине A равен 60°. Высота BH, проведенная к стороне AD, равна
V3 см. Найти диагональ BD.
45. Периметр параллелограмма равен 90 см, острый угол 60°.
Диагональ параллелограмма делит тупой угол в отношении 1 : 3.
Найти стороны параллелограмма.
46. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого
угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый
67
угол параллелограмма 30°. Найти диагональ, проведенную из верши­
ны тупого угла.
47. Стороны параллелограмма равны 8 и 3. Биссектрисы двух
углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят
противоположную сторону на три части. Найти каждую из них.
48. Биссектриса угла параллелограмма делит сторону параллело­
грамма на отрезки, равные а и b. Найти стороны параллелограмма.
49. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сто­
рону CD в точке Т и прямую AD в точке М. Найти периметр треуголь­
ника СВТ, если АВ = 21, ВМ = 35, MD = 9.
50. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, точка
K - пересечение отрезка АМ и диагонали BD. Известно, что ВМ : МС =
= 1 : 4, а площадь АБМК = 1. Найти площадь четырехугольника
KMCD.
51. На диагоналях АС и BD параллелограмма ABCD взяты соответ­
ственно точки Р и Q так, что АР : РС = 1 : 5, DQ : QB = 2 : 7. Площадь
APQC = 1. Найти площадь параллелограмма.
52. На сторонах AB, BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки
К, M, L так, что AK : KB = 2 : 1, BM : MC = 1 : 1, AL : LD = =1 : 3.
Найти отношение площадей треугольников: S&KBL : S^BML.
53. В некоторой равнобедренной трапеции длина боковой
стороны равна длине средней линии. Периметр трапеции равен 48.
Найти длину боковой стороны.
54. Диагонали трапеции равны 6 и 8, а ее площадь 24. Найти сред­
нюю линию трапеции.
55. Диагонали трапеции равны 30 и 40, а ее средняя линия равна
25. Найти площадь трапеции.
56. В прямоугольной трапеции длина диагонали равна длине боко­
вой стороны. Найти длину средней линии трапеции, если длины ее
высоты и боковой стороны равны соответственно 2 и 4.
57. В трапеции ABCD отношение оснований AD : BC = 5 : 3.
Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Площадь ABOC равна
12. Найти площади AAOD и ACOD.
58. Основания трапеции равны а и b. Определить длину отрезка
прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей
параллельно основаниям.
59. Основания трапеции равны а и b. Определить, как относятся
площади частей, на которые трапеция делится средней линией.
68
60. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины
меньшего основания, делит ее большее основание на отрезки 4 и 8
см. Найти основания трапеции.
61. В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали
взаимно перпендикулярны. Найти среднюю линию трапеции.
62. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 3,
а большая образует угол 30° с одним из оснований. Найти нижнее
основание, если на нем лежит точка пересечения биссектрис углов
при другом основании.
63. Найти площадь равнобочной трапеции, если длины ее
диагоналей равны 8 см и они взаимно перпендикулярны.
64. Диагональ равнобочной трапеции равна 10, а площадь 48.
Найти высоту трапеции.
65. Найти площадь трапеции с основанием 7 и 13 см и боковыми
сторонами 8 и 10 см.
66. Найти площадь равнобедренной трапеции, основания кото­
рой имеют длины 12 и 20 см, а диагонали взаимно перпендику­
лярны.
67. Большее и меньшее основания равнобедренной трапеции
равны соответственно 15 и 9, а диагонали взаимно перпендику­
лярны. Найти площадь трапеции.
68. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендику­
лярны, равна 4. Найти площадь трапеции, если известно, что длина
одной из диагоналей равна 5.
69. Найти отношение большего основания трапеции к меньше­
му, если средняя линия делится диагоналями на три равные части.
70. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол
пополам. Меньшее основание равно 8 см, периметр трапеции равен
112 см. Найти площадь трапеции.
71. Найти площадь трапеции с основаниями 5 и 9 см и
диагоналями 12 и 12 см.
72. Основания трапеции ABCD равны ВС = 3 см и AD = 5 см.
Угол при вершине A равен 60°, а угол при вершине D равен 30°.
Найти площадь трапеции.
73. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O.
Основание AD = 18 см, АО = 10 см, ОС = 5 см. Найти длину основа­
ния BC.
69
74. Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD
и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длины АС = а, ВС = b.
Найти площадь трапеции ABCD.
75. В трапеции углы при одном из оснований имеют величины
20° и 70°, а длина отрезка, соединяющего середины оснований,
равна 2. Найти меньшее основание, если длина средней линии
трапеции 4.
76. Основания трапеции ABCD равны ВС = 1, AD = 2. Парал­
лельно основаниям проведена прямая, пересекающая AB в точке P,
AC в точке L, BD в точке R и CD в точке Q, причем PL = LR. Найти
PQ.
77. В трапеции ABCD основания AD = 1 0 и ВС = 6. Точка E -
середина CD. Найти отношения площадей SA B C E : S^A E D .
78. В трапеции ABCD точки F и G делят боковые стороны
AF : FB = 1 : 2 и CG : GD = 1:1. Основания AD = 12, BC = 5. Найти
отношение площадей SFBCG : SAFGD.
79. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3д/39 , ВС = V39 ,
ZBAD = 30°, ZADC = 60°. Через точку D проходит прямая, делящая
трапецию на две равновеликие фигуры. Найти длину отрезка этой
прямой, находящейся внутри трапеции.
80. В трапеции ABCD основания AD = 12, BC = 3. На продол­
жении BC взята точка M так, что AM отсекает от трапеции
треугольник, площадь которого равна 3/4 площади трапеции. Найти
длину CM.
81. В трапеции ABCD точка E лежит на боковой стороне CD.
Отрезки BD и AE пересекаются в точке O. Найти площадь SFDOE,
если DE : EC = 1 : 2, AO = 2-OE, а площадь S^aOB = 1.
82. В трапеции ABCD точка M лежит на боковой стороне AB,
отрезки BD и CM пересекаются в точке O. Известно, что АМ = МВ,
СО = 4ОМ, S^ ^ OM = 1. Найти площадь SECOD.
83. Точка M лежит на боковой стороне AB трапеции ABCD.
Отрезки CM и BD пересекаются в точке O. Известно, что площадь
Sadco = 7, АМ = 2МВ, СО = 2ОМ. Найти площадь SдВMО.
84. В трапеции ABCD точки F и E делят основание AD в
отношении AF : FE : ED = 1 : 4 : 1. Прямые BE и FC пересекают
диагонали AC и BD в точках M и N, при этом DC = 60 и AD = 24.
Найти длину MN.
70
85. В трапеции ABCD основания AD = 30, BC = 24, сторона AB =
= 3, ZBAD = 60°. Диагонали пересекаются в точке E. Найти площадь
s &c e d .
86. В трапеции ABCD основание BC = 3, боковые стороны AB =
= CD = 3. Диагонали образуют угол 60°. Найти длину AD.
87. В трапеции ABCD основание AD = -J7 . Диагонали AC и BD
пересекаются в точке K. Известно, что AK = 1, KD = 2,
Z BAC = Z DAC . Найти площадь S m b c .
88. В прямоугольной трапеции ABCD ZBAD = ZADC = л/2, осно­
вание AB = 1,5AC, ZDCA = ZBCA, AD = 4. Найти площадь SABCD.
89. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD
пересекаются в точке O. Найти отношение площадей:
а) ААОВ и ДВОС, если АО : ОС = 3 : 5;
б) ^ C D и ДЛОВ, если AO : OC = 1 : 2 и BO : OD = 3 : 1.
90. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали перпен­
дикулярны, а длина отрезка, соединяющего середины AB и CD,
равна 1 м. Найти длину отрезка, соединяющего середины BC и AD.
91. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 м
и 2 м. Найти площадь этого четырехугольника, зная, что длины
отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны.
92. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны.
Найти величину угла при вершине А четырехугольника, если углы
DBC и CDB равны соответственно 57° и 63°.
93. Величины углов выпуклого многоугольника относятся как
1 : 3 : 4 : 5 : 7. Найти величину меньшего угла.
94. Найти углы правильного и-угольника, если: а) п = 6, б) п = 10.

Ответы к задачам по геометрии Нагорнов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (21.05.2016)
Просмотров: | Теги: Нагорнов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar