Тема №6324 Ответы к задачам по геометрии Нагорнов (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Нагорнов (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Нагорнов (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Тема 4

1. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опи­
рающегося на дугу АВ. Найти каждый из этих углов.
2. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС - дугу в 43°.
Найти угол ВАС.
3. Окружность разделена на три части в отношении 3 : 8 : 4. Найти
величины углов треугольника, вершины которого лежат в точках де­
ления окружности.
4. Хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. Найти ED, если:
а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5;
б) АЕ = 16, ВЕ = 9, СЕ = ED.
5. Вычислить длину окружности, если радиус равен: а) 10 м; б) 35 м.
84
6. Вычислить радиус окружности, если ее длина равна: а) 1 м,
б) 25% см.
7. Найти длину маятника стенных часов, если угол его колебания
составляет 38°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, рав­
на 24 см.
8. В окружности с радиусом, равным 16, определить длину дуги,
содержащей 45°.
9. Определить радиус окружности, если длина дуги равна 6, а гра­
дусная мера 135°.
10. По данной хорде K определить длину ее дуги, если она содер­
жит: а) 60°; б) 90°; в) 120°.
11. По данной длине дуги l определить ее хорду, если дуга содер­
жит: а) 60°; б) 90°; в) 120°.
12. Определить радиус окружности, если она длиннее своего диа­
метра на 107 см.
13. Из двух концентрических окружностей одна равна 167 см, а
другая - 117 см. Определить ширину кольца.
14. Определить площадь круга, если радиус равен: а) 10 м; б) 4 дм.
15. Определить радиус круга, если его площадь равна: а) 2% см2;
б) 50 м2.
16. Найти площадь круга, диаметр которого равен 10 см.
17. Определить:
а) площадь круга, если длина окружности равна 8 см;
б) определить длину окружности, если площадь круга равна 18 см2.
18. Определить площадь сектора, если радиус равен 6, а дуга со­
держит: а) 90°; б) 60°.
19. Определить площадь сегмента, если радиус равен 6, а дуга со­
держит: а) 90°; б) 60°.
20. Радиусы концентрических окружностей относятся как 7 : 4,
а ширина кольца равна 12 см. Определить радиус меньшей
окружности.
21. В большем из двух концентрических кургов проведена хорда
длины 32 см, касающаяся меньшего круга. Определить радиусы
кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.
22. Два кольца между тремя концентрическими окружностями
равновелики. Радиус большей окружности равен 3, радиус меньшей
равен 1. Найти радиус средней окружности.
85
23. Найти острый угол между касательной и хордой,
проведенной в точку касания, если хорда делит окружность в
отношении 1 : 3.
24. Через точку окружности проведены касательная и хорда. Ве­
личина угла между хордой и касательной равна 60°. Найти отношение
длин дуг, на которые хорда делит окружность.
25. Окружность разделена на три части, которые относятся
между собой как 5 : 6 : 7 и через точки деления проведены
касательные. Определить углы треугольника, образованного этими
касательными.
26. Найти длину общей касательной к двум окружностям
радиусов 4 и 9 см, касающихся внешним образом.
27. Точка лежит внтури круга радиуса 6 см и делит проходящую
через нее хорду на отрезки 5 и 4 см. Найти расстояние от этой точки
до центра круга.
28. В окружности по разные стороны от центра проведены
параллельные хорды, равные 36 и 48 см, а расстояние между ними
42 см. Найти радиус окружности.
29. Точка P удалена от центра окружности радиуса 11 на рас­
стояние 7. Через P проведена хорда длины 18. Найти отношение
отрезков, на которые P делит хорду.
30. На хорду AB из центра круга опущен перпендикуляр OC.
Найти AB, если ОС = 12 см, а радиус круга 13 см.
31. Из точки A к окружности проведены касательная AB и
секущая, пересекающая окружность в точках С и D (АС >AD).
Найти длину CD, если АВ = 15 см, AD = 9 см.
32. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной
12 см и касательная, составляющая 2/3 внутреннего отрезка секу­
щей. Найти длину касательной.
33. Через точку A, лежащую на окружности, проведены диаметр
AB и хорда AC, причем длина AC равна 8 и ZBAC = 30°. Найти хорду
CM, перпендикулярную AB.
34. В круге проведены две взаимно перпендикулярные хорды
длины 6, удаленные от центра на расстояние 1. На какие отрезки
точка пересечения хорд делит эти хорды?
35. Хорда CD, перпендикулярная диаметру AB окружности, делит
его в отношении 1 : 3. Найти углы Z CAD и Z CBD .
86
36. Окружность, построенная на катете прямоугольного тре­
угольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1 : 3.
Найти острые углы треугольника.
37. Окружность касается стороны BC треугольника АВС в ее
середине, проходит через точку A, а отрезки AB и AC пересекает в
точках D и E соответственно. Найти косинус Z BAC, если ВС = 12,
9
AD = 3,5, EC = -i=.
л/5
38. В треугольнике АВС стороны АВ = ВС = 6. На стороне AB как
на диаметре построена окружность, пересекающая BC в точке D
так, что BD : DC = 2 : 1. Найти длину стороны AC.
39. В треугольнике АВС длина стороны АВ = 1. На AB как на
диаметре построена окружность, делящая сторону AC точкой D по­
полам, а BC - точкой E в отношении ВЕ : ЕС = 7 : 2. Найти длину AC.
40. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг
друга. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный
треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы
большей и средней окружностей равны соответственно 6 и 4 см.
41. К окружности радиуса 10 м через точку A проведены две
касательные AB и AC, равные 12 м. Найти хорду BC.
42. К окружности через точку A проведены две касательные AB и
AC, равные 12 м. Расстояние между точками касания B и C равно
4 м. Найти радиус окружности.
43. В прямой угол вписан круг радиуса 1 см. Найти площадь
фигуры, заключенной между сторонами угла и круга.
44. Центр окружности радиуса 1 м лежит на стороне угла 60°, а
сама окружность касается другой стороны. Найти площадь кри­
волинейного треугольника, ограниченного сторонами угла и окруж­
ностью.
45. Найти площадь сегмента круга радиуса 1 м, ограниченного
хордой и дугой 90°.
46. Полуокружность радиуса R разделена на три равные части и
точки деления соединены с одним из концов диаметра, стяги­
вающего эту полуокружность. Найти площадь, ограниченную двумя
хордами и заключенной между ними дугой.
47. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг.
Найти отношение площади круга и площади сектора.
87
48. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги 60 и 120°.
Найти отношение площадей большего и меньшего кругов.
49. Из точки, данной на окружности, проведены две взаимно
перпендикулярные хорды. Отрезок, соединяющий середины этих
хорд, равен 6 см. Найти радиус окружности.
50. Из точки, взятой на окружности, проведены взаимно
перпендикулярные хорды с длинами 16 и 30. Найти длину
окружности.
51. В окружности радиуса 17,5 см проведены диаметр AB, хорды
AC и BC, перепендикуляр CD к диаметру AB. Найти длины хорд AC
и BC, если АС : AD = 5 : 3.
52. Точка находится внутри круга радиуса 5 на расстоянии 3 от
центра и делит проходящую через нее хорду в отношении 2 : 3.
Найти длину хорды.
53. Через середину хорды длины 4 проведена хорда длины 5.
Найти длины отрезков, на которые вторая хорда делится первой.
54. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую
через нее хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найти расстояние от точки
до окружности.
55. В окружности, радиус которой 25 см, проведены по одну
сторону от ее центра две параллельные хорды длиной 40 и 30 см.
Найти расстояние между этими хордами.
56. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом.
Найти длину отрезка их общей касательной,заключенного между
точками касания.
57. Два круга радиуса R и r касаются внешним образом. Из
центра одного круга проведена касательная к другому кругу, а из
полученной точки касания проведена касательная к первому кругу.
Найти длину последней касательной.
58. Радиусы двух окружностей равны 27 и 13 см, а расстояние
между их центрами равно 50 см. Найти длину их общей внешней
(окружности лежат по одну сторону от касательной) и внутренней
(окружности лежат по разные стороны от касательной) каса­
тельных.
59. Центр двух окружностей находится на расстоянии V80 .
Радиусы окружностей 4 и 8. Найти длину их общей каса-тельной.
88
60. Радиус одной из двух касающихся окружностей равен 1, а
длина их общей касательной равна 4. Найти радиус второй окруж­
ности.
61. Две окружности радиуса 5 м и 2 м касаются друг друга и
некоторой прямой. Найти радиус окружности, касающейся первых
двух и этой прямой.
62. В угол величины а вписаны две касающиеся друг друга
окружности. Определить отношение радиуса меньшей окружности
к радиусу окружности, которая касается первых двух и одной из
сторон угла.
63. В угол вписана окружность. На окружности взята точка,
удаленная от сторон угла на расстояния 2 см и 8 см. Найти
расстояние от этой точки до прямой, соединяющей точки касания
сторон угла и этой окружности.
64. Через точку O проведены две прямые, касающиеся
окружности в точках M и N. На окружности взята точка K, такая,
что O и K лежат по разные стороны от MN. Расстояние от K до OM и
MN равно p и q соответственно. Найти расстояние от K до ON.
65. Окружность радиуса 9 касается внешним образом другой
окружности в точке M . Общая касательная к этим окружностям,
проведенная через M, пересекается с другой их общей касательной в
точке N. Найти радиус второй окружности, если длина MN равна 6.
66. Окружность с центром в точке P касается диагонали AC
прямоугольника ABCD и продолжения сторон BC и AD. Прямая CD
делит AP на отрезки 6 и 2, считая от вершины A. Окружность
касается прямой AD в точке K. Найти площадь треугольника S^ACK.
67. В окружности радиуса R=2^3проведены хорда AB и диаметр
AK, образующий с хордой угол л/12. В точке B проведена
касательная к окружности, пересекающая продолжение AK в точке
С. Найти длину медианы AM треугольника АВС.
68. Две окружности радиусов 3 и 9 пересекаются в точках А и В.
Через точку А проведены хорды АС и АЕ, касающиеся данных окруж­
ностей (АС > АЕ). Площадь ЬАВЕ равна 1. Найти площадь ЬАВС.


Тема 5

1. Найти сторону равностороннего треугольника, если:
а) радиус описанной около него окружности равен 10 см;
б) радиус вписанной в него окружности равен 10 см.
2. Длины сторон треугольника равны: а) 7, 5, 8 см; б) 13, 15, 20 см.
Найти:
1) радиусы вписанной и описанной около треугольника окружно­
стей и расстояние между из центрами;
2) длину вписанной и описанной окружностей;
3) площадь вписанного и описанного кругов.
3. В прямоугольном треугольнике катеты равны 40 и 42 см. Опре­
делить радиусы вписанной и описанной окружностей и найти расстоя­
ния между их центрами.
4. Найти катеты прямоугольного треугольника, если они относятся
между собой как 20 : 21, а разность меду радиусами описанной и впи­
санной окружностей равна 17 см.
5. Определить относительное положение центра описанной около
треугольника окружности, если длины сторон треугольника равны:
6. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ - диаметр
окружности. Найти углы треугольника, если:
а) ВС = 134° ;
б) АС = 70° .
7. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с осно­
ванием ВС. Найти углы треугольника, если ВС = 102° .
8. В окружность радиусом 5 вписан треугольник, один из углов ко­
торого равнее: а) 30°; б) 45°. Найти противолежащую сторону тре­
угольника.
а) 5, 8, 10;
б) 8, 7, 5;
в) 80, 315, 325.
102
9. Найти площадь треугольника, если радиус описанной окружно­
сти равен 5, а два угла треугольника равны соответственно 45 и 60°.
10. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если
основание равно 10 см, а радиус вписанного круга 3 см.
11. Диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треуголь­
ник, равен 4, диаметр описанной окружности равен 10. Найти площадь
треугольника.
12. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) радиус впи­
санного круга составляет 0,4 высоты BD, а периметр треугольника ра­
вен 40. Найти длину основания АС.
13. Центр окружности, описанной около треугольника, располо-
жен на одной из его сторон. Площадь треугольника 18 л/ГГ
----------, а длина
169 2
меньшей стороны — . Найти длину большей стороны.
14. Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Найти радиус описанной окружности, если сторона, средняя по длине,
равна 4 см.
15. Найти отрезки, на которые точка касания вписанной окружно­
сти делит гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 24 и
7 см.
16. Найти отрезки, на которые точка касания вписанной треуголь­
ник окружности делит сторону АВ, если АВ = 7 см, ВС = 6 см и АС =
= 5 см.
17. В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 см вписана окружность.
К окружности проведена касательная так, что она пересекает две
большие стороны. Найти периметр отсеченного треугольника.
18. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ка­
сания делит один из катетов на отрезки 5 и 10. Найти площадь тре­
угольника.
19. Длины катетов прямоугольного треугольника 15 и 20. Найти
расстояние от центра вписанного круга до высоты, опущенной на
гипотенузу.
20. В прямоугольный треугольник с катетами 13 и 84 см вписан
круг. Найти отношение площади круга к площади треугольника.
21. В равнобедренный треугольник с основанием 6 и боковой сто­
роной 10 вписана окружность. Определить расстояние между точками
касания окружности с боковыми сторонами.
103
22. В прямоугольный треугольник LMN (AL = 90°) вписана окруж­
ность радиуса а, касающаяся катета LN в точке Р. Длина катета LN
равна 6а. Найти длины сторон треугольника LMN и площадь тре­
угольника PMN.
23. В равнобедренном треугольнике угол между высотой, прове­
денной к боковой стороне, и основанием равен а. Площадь треуголь­
ника равна S. Найти радиус окружности, вписанной в этот треуголь­
ник.
24. В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины пря­
мого угла до центра вписанной окружности равно V2 , a радиус впи­
санной окружности равен 2,5. Найти периметр треугольника.
25. Определить углы прямоугольного треугольника, зная, что от­
ношение радиусов вписанного и описанного кругов равно 4 : 13.
26. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
30°, а само основание 3л[3 . Найти радиус описанной окружности.
27. Расстояние от боковой стороны равнобедренного треугольни­
ка, равной 16 см, до центра описанной окружности равно 6 см. Найти
радиус этой окружности.
28. Определить высоту треугольника АВС, опущенную на сторону
ВС, если радиус описанной около треугольника окружности равен
(2-л/3), а величины АВАС и АВСА равны соответственно 30 и 75°.
29. В треугольнике АВС известны стороны АВ = 3, ВС = 6,
cos ААВС = —, AD - биссектриса. Найти радиус R окружности, описан-
4
ной около треугольника AABD.
30. В треугольнике АВС с длинами сторон ВС = 7, АС = V37 , АВ =
= 3 проведена биссектриса AD. Найти длину биссектрисы и радиус
окружности, описанной около треугольника ABD.
31. В треугольнике АВС (АВ = ВС = 6) на стороне АВ как на диа­
метре построена окружность, пересекающая ВС в точке D так, что
BD:DC = 2:1. Найти АС.
32. Длина стороны АВ треугольника АВС равна 1. На АВ как на
диаметре построена окружность, делящая АС точкой D пополам, a BC
- точкой Е в отношении BE : ЕС = 7 : 2. Найти длину АС.
33. В треугольнике АВС угол АС = 60°. Радиус описанной около
треугольника АВС окружности равен 2л[ь . На стороне АВ взята точка
104
D так, что AD = 2DB. Известно, что CD = 2^2 . Найти площадь тре­
угольника АВС.
34. Длины катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС от­
носятся как 1:2. Окружность, центр которой лежит на АВ, проходит
через точку А и касается ВС в точке D. Найти отношение BD : DC.
35. Центр окружности, касающейся стороны ВС треугольника
АВС в точке В и проходящей через А, лежит на стороне АС. Найти
площадь треугольника АВС, если ВС = 6, АС = 9.
36. В треугольник АВС с длиной стороны ВС = 9 вписана ок­
ружность, касающаяся ВС в точке D. Известно, что AD = DC,
2
cos АВСА = —. Найти длину стороны AC.
37. И треугольник со сторонами АВ = 10 и СВ = 20 и углом
АСВ = 30° вписана окружность. Через точку М на АС (АМ = 10) про­
ведена касательная к окружности. Эта касательная пересекается с
прямой, параллельной АС и проходящей через точку В, в точке K.
Найти площадь четырехугольника АВКМ.
38. Вершина В треугольника АВС лежит на окружности, касаю­
щейся стороны АС в точке А. Окружность пересекает сторону ВС
еще в точке D. Найти высоту треугольника АВС, проведенную из вер­
шины А, если известно, что BD = 4, АС = 4л/2 , а площадь S^acD = 6.
39. В треугольнике АВС стороны ВС = 41, АС = 51, АВ = 58. Ок­
ружность проходит через точки А и В, а ее центр лежит на высоте BD.
Найти радиус окружности.
40. На гипотенузе прямоугольного треугольника, площадь
которого равна 9, лежит центр окружности радиуса R = 2, которая ка­
сается катетов. Найти длины катетов.
41. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена ок­
ружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на
большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит
большую сторону.
42. В треугольнике PQL проведена средняя линия АВ, параллель­
ная PL. Длина стороны PL равна V2 , а синус угла PLQ равен 1 .
Окружность, проведенная через А, В и L, касается стороны PQ. Найти
ее радиус.
105
43. В треугольнике АВС стороны АВ = 2, BC = 4 2 , AABC =105°.
Вершины А и С служат центрами кругов радиусов 2 и V2 соответст­
венно. Найти площадь общей части этих кругов.
44. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС впи­
санная окружность касается боковой стороны ВС в точке Q, отрезок
AQ пересекает вписанную окружность в точке Р. Найти площадь тре­
угольника АВС, если известно, что АС = 12, PQ = 5.
45. Сторона АС в треугольнике АВС в 4 раза больше радиуса впи­
санной в треугольник АВС окружности. Найти, в каком отношении
центр этой окружности делит биссектрису угла В, если ААВС = 60°.
46. В остроугольном треугольнике АВС из А и С опущены высоты
AM и CN. Площади SaabC = 56, SANMC = 42. Радиус описанной около
треугольника АВС окружности равен . Найти длину отрезка MN.
V3
47. В треугольнике АВС стороны АВ = 10, ВС = 17, АС = 21. Ок­
ружность касается продолжения сторон АВ и АС в точках М и N
соответственно и стороны ВС. Найти площадь треугольника AMN.
48. Окружность радиуса 1 вписана в треугольник АВС (cosZABC =
= 0,8). Эта окружность касается средней линии, параллельной АС.
Найти длину А С.
49. В остроугольном треугольнике ABC величина меньшего угла
ABC = 40°, точка О — центр описанной окружности, K - центр вписан­
ной окружности, угол OBK = 15°. Найти отношения длин сторон тре­
угольника.
50. В остроугольном треугольнике АВС точка О - центр описанной
окружности. Наибольшая высота BD = 6. Величина наибольшего угла
треугольника АВАС = 80°. Найти длину меньшей стороны треуголь­
ника, если АDВО = 10°.
51. Окружность радиуса 3 вписана в треугольник АВС и касается
стороны ВС в точке D. Окружность радиуса 4 касается продолжения
2%
сторон АС и АВ и стороны ВС в точке Е. Угол BCA = — . Найти ED.


Тема 6

1. Найти длину окружности, вписанной в квадрат с длиной диа­
гонали 16 см.
2. Диаметр круга равен 20. Определить площадь вписанного в не­
го прямоугольника, стороны которого относятся как 3 : 4.
3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырех­
угольника равна 15 см. Найти периметр этого четырехугольника.
4. Сумма двух противоположных сторон описанного четырех­
угольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен
5 см. Найти площадь этого четырехугольника.
117
5. Вершины прямоугольника, вписанного в окружность, делят ее на
4 дуги. Найти расстояние от середины одной из больших дуг до бли­
жайшей вершины прямоугольника, если стороны равны 24 см и 7 см.
6. В равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
Меньшее основание трапеции равно 1, а высота - 3. Найти боковую
сторону.
7. Три стороны описанного четырехугольника, взятые в последо­
вательном порядке относятся, как 3 : 4 : 5, а периметр этого четырех­
угольника равен 48 см. Найти длины сторон этой четырехугольника.
8. Через смежные вершины квадрата со стороной -J10 проходит
окружность так, что касательная к ней, проведенная из третьей вер­
шины квадрата, равна удвоенной стороне квадрата. Найти радиус
этой окружности.
9. В квадрат вписана окружность радиуса R, которая касается сто­
роны CD в точке Е. Найти длину хорды, лежащей на прямой ЛЕ.
10. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность,
равна а. Найти сторону вписанного в окружность квадрата.
11. Длины боковых сторон трапеции 6 см и 10 см. Известно, что в
трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит ее на две
части, отношение площадей которых равно 5 : 11. Найти длины ос­
нований.
12. Окружность вписана в равнобедренную трапецию с основа­
ниями 2 и 8 см. На какие отрезки делит ее боковую сторону точка ее
касания с окружностью.
13. Около круга радиуса 4 описана равнобедренная трапеция, пе­
риметр которой равен 40. Найти ее площадь.
14. Средняя линия равнобочной трапеции, описанной около кру­
га, равна 170. Определить диаметр круга, если нижнее основание тра­
пеции больше верхнего на 160.
15. Трапеция вписана в круг радиуса 24, причем большее основа­
ние трапеции равно большей хорде круга, а все другие стороны
трапеции равны между собой. Найти площадь трапеции.
16. Около круга с диаметром 15 см описана равнобедренная тра­
пеция с боковой стороной 17 см. Найти основания трапеции.
17. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равна 8. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что
острый угол при основании равен л/6.
118
18. Трапеция KLMN (LM\ \KN) вписана в окружность, а другая ок­
ружность вписана в эту трапецию. Отношение LM : KN = 1 : 3. Пло­
щадь трапеции равна
2-/3
3
Найти высоту трапеции.
19. Точка K пересечения диагоналей АС и BD вписанного в ок­
ружность четырехугольника ABCD делит диагональ BD пополам, а
длины отрезков AK = 18 и CK = 8. Найти длину BD.
20. В параллелограмм, одна из сторон которого равна 7л/2 м,
вписана окружность радиуса 3-J3 м. Найти площадь параллелограмма.
21. Вокруг параллелограмма, одна из диагоналей которого равна
7л/8" описана окружность. Найти площадь круга.
22. В ромб с острым углом а вписан круг. Найти отношение пло­
щадей круга и ромба.
23. Высота равнобедренной трапеции равна 14, а оснований 12 и
16. Определить радиус описанной окружности.
24. В равнобедренную трапецию ABCD, обе диагонали которой
равны основанию AD, можно вписать окружность. Найти углы при
основании AD.
25. В трапецию ABCD (основания AD и ВС) можно вписать ок­
ружность. Диагонали трапеции перпендикулярны боковым сторонам.
Найти угол между диагоналями.
26. Около окружности радиуса R описана прямоугольная трапеция
площади S. Вычислить острый угол трапеции.
27. Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапе­
ция, площадь которой равна 5. Найти площадь четырехугольника,
вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.
28. В равнобедренную трапецию с периметром 100 см вписана ок­
ружность. Найти радиус окружности, если расстояние между точками
касания окружности с боковыми сторонами равно 16 см.
29. Трапеция с основаниями ВС = 2 см и AD = 10 см такова, что в
нее можно вписать и около нее можно описать окружности. Найти от­
ношение радиусов вписанной и описанной окружностей.
30. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,
удален от концов боковой стороны на расстояния 8 см и 4 см. Найти
среднюю линию.
31. Около трапеции с основаниями AD и ВС описана окружность
радиуса 6. Центр этой окружности лежит на AD. Определить площадь
трапеции, если длина ВС равна 4.
119
32. Трапеция KLMN с основаниями LM и KN вписана в окруж­
ность, центр которой лежит на KN. Диагональ LN трапеции равна 4 см,
а угол MNK равен 60°. Найти длину LM.
33. В прямоугольной трапеции, высота которой 4 см, на стороне,
перпендикулярной основанию, как на диаметре построена окружность.
Эта окружность касается противоположной боковой стороны трапе­
ции. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого
равны основаниям трапеции.
34. В равнобедренную трапецию с основаниями ВС и AD вписана
окружность с центром в точке О. Найти площадь трапеции, если ОС =
= 2 и OD = 4.
35. Окружность, проходящая через вершину D и касающаяся сто­
рон АВ и НС равнобедренной трапеции ABCD, пересекает стороны AD
и DC и точках М и N соответственно. Известно, что АМ : DM = 1 : 3,
CN : DN = 4 : 1, AB = 7, AD = 6. Найти длину основания ВС.
36. Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, причем KN =
= 3, ZLMN = 120°. Прямые LM и MN являются касательными к ок­
ружности, описанной около треугольника KLN. Найти площадь тре­
угольника KLN.
37. В трапеции ABCD с основанием AD = 40, углами Z BAD =
= ZADC = 60° и боковыми сторонами АВ = CD = 10 см вписана ок­
ружность, касающаяся AD, ВС и АВ. Через точку М, расположенную
на отрезке AD, отстоящей на 10 см от D, проведена касательная к ок­
ружности. Эта касательная пересекает основание в точке K. Найти от­
ношение площадей четырехугольников ABKM и MDCK.
38. Около окружности описаны ромб со стороной 3 и треуголь­
ник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья
параллельна одной из сторон ромба и равна 7. Найти радиус окружно­
сти.
39. В трапеции длины диагоналей 10 и 4>/13", а длины оснований 6
и 12. Найти площадь трапеции. Можно ли в эту трапецию вписать ок­
ружность? Можно ли около этой трапеции описать окружность?
40. Во вписанном в окружность четырехугольнике KLMN сторо­
ны KL = 2, LM = 3, ZKLM = 120°, а диагональ LN является отрезком
биссектрисы угла AKLM. Найти длину LN.
41. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что
ZВAC = a, ZCAD = Р и диагональ BD = а. Найти площадь AbCD.
120
42. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагонали АС и
BD перпендикулярны и пересекаются в точке K. Известно, что AD = 5,
ВС = 10, ВК = 6. Найти площадь четырехугольника ABCD.
43. Диагонали описанного около окружности четырехугольника
взаимно перпендикулярны и обе равны 1 м. Один из углов четырех­
угольника равен 60°. Найти стороны.
44. В выпуклом четырехугольнике диагонали перпендикулярны, а
длина отрезка, соединяющего середины сторон АВ и CD, paвна 1 м.
Найти длину отрезка, соединяющею середины сторон.......и AD.
45. В трапецию вписана окружность. Известна длина а одного из
оснований и отрезки b и d, на которые разделена точкой касания одна
из боковых сторон (b примыкает к а). Найти площадь трапеции.
46. Найти площадь ромба ABCD, если радиусы окружностей, опи­
санных около треугольников АВС и ABD, равны R и г.
47. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали АС и BD
пересекаются в точке Е. Вокруг треугольника АЕВС описана окруж­
ность, а касательная к этой окружности, проведенная через точку Е,
пересекает прямую AD в точке F так, что D лежит между А и F. Найти
длину отрезка EF, если известно, что AF = а, AD = b (a > b).
48. Равнобедренная трапеция описана вокруг окружности. Угол
между ее боковыми сторонами равен р. В каком отношении диагональ
делит площадь трапеции?
49. В окружность радиуса R вписана трапеция с боковой стороной
с и острым углом а. Найти площадь трапеции.
50. Точки А, В, С и D — последовательные вершины прямоуголь­
ника. Окружность проходит через точки А и В и касается стороны CD
в ее середине. Через точку D проведена прямая, которая касается той
же окружности в точке Е, а затем пересекает продолжение стороны АВ
в точке К. Найти площадь трапеции BCDK, если известно, что АВ = 10
и отношение КЕ : КА = 3:2.
51. Найти длину стороны квадрата, две вершины которого лежат
на окружности радиуса R = 4 5 , а две другие - на касательной к этой
окружности.
52. Найти площадь круга, вписанного в правильный шестиуголь­
ник, если площадь шестиугольника равна 60 43 см2.
53. Вычислить площадь правильного двенадцатиугольника, впи­
санного в окружность радиуса 5.
121
54. Периметр описанного многоугольника равен 60 см, а его пло­
щадь - 240 см . Найти радиус окружности.
55. Около окружности, радиус которой равен 25 см, описан мно­
гоугольник, площадь которого 20 дм . Найти его периметр.
56. По данной площади Q правильного вписанного двенадцати­
угольника определить площадь правильного шестиугольника вписан­
ного в ту же окружность.


Тема 7

1. Пусть заданы координаты точек А и В. Найти координаты и
длину вектора А В , если:
а) А (3;-5) и В (-1; -2); б) А (-3; 7) и В (0; 9);
в) А (2; 1; 3) и В ^ - 1 ; 1); г) А (-4^5; 0) и В (1; 3; 1).
2. Даны векторы MN = {6; -10; 2} и PQ = {-3; 0; 6}. Найти ко­
ординаты и длины векторов: a) - P Q ; б) 3 M N; в) MN - P Q ;
г) — MN + - p Q .
2 3
136
3. Дан вектор MN = {4; -1; 3). Найти:
а) координаты точки N, если М (0; -1; 2);
б) координаты точки М, если N (5; -2; 1);
в) координаты середины отрезка MN, если М (1; 1; 2);
г) координаты середины отрезка MN, если N (3; 5; -l);
д) координаты точки С, лежащей на отрезке MN и делящей его в
отношении M CCN = 1:3, если М (0; 0; -1);
е) координаты точки D, лежащей на прямой MN и такой, что
MN:ND = 2:3, если N (2; -3/2; 1/2).
4. Найти длины диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD, ес­
ли А (1; -3; 0); В (-2; 4; -1) и С (-3; 1; 1).
5. Треугольник задан координатами своих вершин А (3; 0; -1);
В (-1; 4; 1) и С (5; 2; 3). Найти длину медианы AD.
6. Известны координаты вершин треугольника А (-2; 8); В (2; 7) и
С (1; 5). Найти координаты точки пересечения медиан этого треуголь­
ника.
7. Известны две вершины треугольника A (2; -3; 5), В (-2; 1; -3) и
точка О (1; 2; 3) пересечения его медиан. Найти координаты вершины
С этого треугольника.
8. Точки Mi и М2 — середины отрезков А1В1 и А2В2. Найти длину
отрезка М М 2, если A1 (0; 1; 2), А2 (1; 2; 1), В1 (-1; -1; 3), В2 (1; 0; 0).
9. Даны точки А (-1; 2; -2) и В (3; -4; 12). Найти расстояние от на­
чала координат О до точки D, лежащей на отрезке АВ и делящей его в
отношении AD:DB = ОА:ОВ. Чем является отрезок OD в треугольнике
АОВ?
10. Даны вершины треугольника А (4; 5; 0), В (3; 3;-2) и С (2; 2; 6).
Найти точку пересечения стороны ВС с биссектрисой угла А.
11. Найти координаты точки С, лежащей на оси абсцисс и одина­
ково удаленной от точек А (1; 2), В (2; 3).
12. Найти координаты точки М, лежащей на оси абсцисс, если
расстояние от М до точки А (1; 2; 1) втрое больше расстояния от М до
точки В (-7; 1; 2).
13. На плоскости даны два вектора р = {2;-3} и q = {4; 2}. Раз­
ложить вектор а = {2; 13} по векторам р и q .
14. На плоскости даны два вектора а = {3; -5} и b = (1; 4). Разло­
жить вектор c = (2; 5) по векторам а и b .
137
15. Даны векторы 5 = {1; 0;-l}; b = {3; 2; 0} и с ={1; 2; 3}. Разло­
жить вектор d = {2; 2; 3} по векторам 5, b и с.
16. Разложить вектор с = {11; - 6; 5} по векторам р = {3; -2;1},
q = {-1; 1; -2}, Г = {2; 1; -3}.
17. Из точки A (0; 6) к графику функции у = -х2 + 2х + 2 проведе­
ны две касательные. Точки касания обозначены В и С. Разложить век­
тор ОА по векторам АВ и АС.
18. К кривой у = 4л/х + 2 проведена касательная в точке A (х0, у0),
где х0 = 2. Эта касательная пересекает ось Ох в точке С, а ось Оу - в
точке В. Разложить вектор СО по векторам АВ и ОА .
19. Вершины пирамиды имеют координаты А (—1;2;3), В (1;2;3),
C (0;5;3) и D (0;3; 10). Разложить вектор d по векторам 5, b и с , где
5 = 2AB + 3BC - CD, b = AC + 4AB, с = 2AD , d = (3; 5;4).
20. Заданы точки А (35; -16; 20); В (-1; -24; -3); С (-20; 16; -4);
D (-1; 4; 2). Разложить радиус-вектор точки, координаты которой удов­
летворяют уравнению 15х + 23у - 17z - 43 = 0 по радиусам-векторам
точек, координаты которых не удовлетворяют этому уравнению.
(Радиусом-вектором точки М называется вектор ОМ, где О — начало
координат.)
21. Даны три последовательные вершины параллелограмма
ABCD: А (1; -2; 3); В (3; 2; 1); C (6; 4; 4). Точка М делит сторону CD
пополам. Требуется: 1) разложить вектор АМ по векторам СВ и ВА ;
2) найти координаты вектора АМ .
22. Точки А, В, С лежат на графике функции у = -х2 + 4х. Точка А
является вершиной этой параболы, абсциссы точек В и С соответст­
венно равны -1 и 3. Разложить вектор СВ по векторам АО и СО , где
О - начало координат.
23. Точки М, N, Р лежат на графике функции у = х2 + 3х - 10. Абс­
циссы точек М, N, Р соответственно равны: - 6; 1; 3. Разложить век­
тор MN по векторам ON и PO , где О - начало координат.
24. Векторы 5, b и с лежат в одной плоскости и образуют по­
парно друг с другом углы 120°. Разложить вектор 5 по векторам b и
с , если | 5 1=3, |b|= 2, |с | = 1.
138
25. В треугольнике АВС дано: А В = а , АС = b , | а | = \b\ = 2,
АВАС = 60°. Выразить через а и b единичный вектор, направленный
по высоте треугольника, проведенной из А.
26. В треугольнике АВС на сторонах ВС и АС выбраны соответст­
венно точки N и M так, что прямые AN и ВМ, пересекаясь в точке О,
делятся в ней в отношении ВО : ОМ = 3:1 и АО : ON = 2:1. Пусть
АВ = b и СО = c . Найти разложение вектора СВ по векторам b и c .
27. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны соответст­
венно точки D и Е так, что ВD : DA = 3:1 и BE : ЕС = 2:1. Прямые CD
и АЕ пересекаются в точке О. Пусть АС = р и OB = q . Найти разло­
жение вектора АВ по векторам р и q .
28. Пусть K и M — середины сторон ВС и CD параллелограмма
ABCD и АK = а, АМ = b . Выразить вектора BD и AD через а и b .
29. Дан правильный пятиугольник A1A2A3A4A5. Разложить вектор
A1A3 по векторам A1A2 и A1A5 .
30. Начало А (х0,у0) вектора АВ лежит на графике у
1 + x

где хо
— точка минимум а этой функции, конец В — на пря^^ой 2х + У + 2 = 0
так, что вектор АВ имеет наименьшую длину. Вектор коллинеа-
рен вектору АВ и в 5 раз длиннее его. Найти координаты вектора
А в[.
31. Начало А (х0,у0) вектора АВ лежит на графике функции
У = -
2
x2 - x + 1
x -1
графике функции у =
где х0 — точка максимума этой функции, конец В — на
1
W3x 3/2
так, что вектор АВ имеет наимень­
шую длину. Вектор А В коллинеарен вектору АВ и в 2>/б раз длин­
нее его. Найти координаты вектора А ^ .
32. При каких значениях а векторы: а) (2; —3) и (а; 1}; б) (а; 1}
и (0; —2}; в) (—2; 5} и (а 2 — 3а; —10} коллинеарны?
33. При каких значениях х и у векторы а и b коллинеарны, где:
а) а = (х; —2; 5}; b = (2; у; —8);
139
б) а = {x; 2x; 1}; b = {у; х2; -4}.
34. Найти значение координаты х, при котором вектор c = (х;0;-2)
раскладывается по векторам а = {1; 3; 4} и b = {-2; 5; 6}.
35. Найти значение у, при котором вектор а = {12; 3; -7) раскла­
дывается по векторам b = {3; у; -2} и С = {-2; 3; 1}.
36. Найти вектор, коллинеарный вектору а = {2; 1; -1}, длина ко­
торого равна 3.
37. Даны векторы и {2у - 2х2; 2у; - 2х2} и v 1+2 v 4 ,
Найти те значения х и у, при которых эти векторы коллинеарны, но не
равны.
38. Даны векторы и = {а2; —b; а2 -b}, V = {b; -b2; 2 + 4b}. Найти
все значения а и b, при которых эти векторы будут коллинеарны, но не
равны.
39. Найти скалярное произведение векторов а и b , если:
- л - 2 а) | а | = 3; | b | = 4; а,b = - п ;
л
б) | а | = V3; |b | = 1; а,b = —;
6
в) й ={3; -1; 5}; b = {1; 2; -3);
г) й ={5; 7; 4}; b = {2; 3; - 8}; _
д) а = 2i - 3 j + 4k ; b = i - 2 j + k ;
е) а = i + 2 j + k ; b = CD, где С (-1; 2; 0) и D (2; 1; 3);
ж) а = p + q - 2r; b = 2p - q + r , где p = {3; 4; 2}, q = {2; 3; 5},
- ={ 3; -2y-4); ^
з) й =АВ, b = CD, где A (-2;-3; 8); B (2; 1; 7); С (1; 4; 5); D (-7;-4; 7).
40. Найти косинус угла между векторами а и b , если:
а) а = {3; 1; -2}, b ={-2; 3; 4};
б) а = { -1; 2 ; -2}, b ={-6; -3; 6);
в) а= 2p - 3q; b = p + 2q, где p = {4; -2; 4}, q = {6; -3; 2};
г) а = А С , b = BD , где A (1;-2; 2), В (1;4;0), С (-4;1;1), D(-5;-5;3).
41. Вычислите внутренние углы треугольника АВС, где А (1; 2; 1),
B (3;-1; 7), С (7; 4;-2). Является ли этот треугольник равнобедренным?
140
42. Найти, при каком значении t векторы p = t • i - 3 j + 2k и
q = i + 2 j - 1 • k перпендикулярны (или ортогональны).
43. Векторы АВ = {3; -2; 2} и ВС = {-1; 0; -2} являются смеж­
ными сторонами параллелограмма. Найти косинус угла между его
диагоналями.
44. Известны вершины треугольника АВС: A (2; -3; 0), B (2; -1; 1),
С (0; 1; 4). Найти угол между медианой BD и основанием АС.
45. При каком значении а векторы а = (1; а; -2} и b = {а; 3; -4)
ортогональны?
46. При каких х и у векторы а = {2; х; 2} и b = {1; -2; у} перпен­
дикулярны и имеют равные длины?
47. Вектор С коллинеарен вектору а = {2; -1; -3}, а вектор а
перпендикулярен (ортогонален) вектору С + 2 b , где b = {-l; 0; 4}.
Найти вектор С.
48. Вектор а = {х; 1; 2} ортогонален вектору b = {2; у; -4}, а дли­
на вектора b в два раза больше длины вектора а . Найти х и у.
49. Даны векторы а = {2; -1; -1} и b = {3; -4; -2}. Найти вектор
С, коллинеарный вектору а и такой, что вектор С —b ортогонален
вектору а.
50. Найти вектор b , коллинеарный вектору а = {2; 1; -1} и удов­
летворяющий условию (b ,С) = 3, где С = {1; 1; -3}.
51. Даны векторы а = {3; -1; 5} и b = {1; 2; -3}. Найти вектор С,
если известно, что он перпендикулярен вектору k и скалярные произ­
ведения ( а , С) = 9 и (b , С) = -4.
Введя подходящим образом систему координат, решите следую­
щие задачи.
52. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС = 8, АС = 12)
точка Е делит боковую сторону АВ в отношении BE : ЕА = 3 : 1. Найти
угол между СЕ и СА.
53. Дан куб ABCDA'B'C'D'. Найти угол между диагональю куба
АС' и диагональю грани DC.
54. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 'B'C'D' Длины ре­
бер АЯ = 2, ВС = 3, АА' = 4. Найти угол между диагоналями боковых
граней АВ' и ВС'.

Ответы к задачам по геометрии Нагорнов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (21.05.2016)
Просмотров: | Теги: Нагорнов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar