Тема №6675 Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 1) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§  1. Прямая линия.

1. На чертеже 1  изображена часть станка.   Измерить,   пользуясь   данным масштабом,   отрезки,   обозначенные   на чертеже  размерными  линиями, и записать полученные числа в тетради.

2. Сращены впритык три деревянные балки: длина первой 4,8 м, второй 3,4 м и третьей 5,8 м. Найти их общую длину арифметический построением, изображая 1 м отрезком в 1 см.

3. Ель имела 20,25 м длины; от неё отпилили снизу отрезок („лапу") длиной в 3,75 м, а затем бревно в 7,40 м. Какую длину имеет оставшаяся часть ели?

4. На отрезке АВ длиной в 20 м от конца А отложена часть AС=5,1 м, от конца В часть BD=7,9 м. Определить длину отрезка СD.

5. Решить задачу 4, изменив числа так: АВ = 4,8 м, АС= 2,8 м, ВD=3 м.

6. Начертить отрезок, равный 3а + 2b, где а и b — длины данных отрезков.

7. Начертить отрезок, равный 4m—3n, где т и n — длины данных отрезков (т > n).

8. От точки М отложены на одной прямой и в одном направлении два отрезка: 
МN=100 см и МР=160 см. Найти расcтояние между серединами этих отрезков.

9. Отрезок АВ разделён на две неравные части. Расстояние между серединами этих частей равно 2,75 м. Найти длину АВ.

10. Объяснить по чертежу (черт. 2), как по данной сумме 5 двух отрезков и их разности d найти построением оба отрезка (S = 7 см; d = 1,5 см).

 

Пропорциональное деление в применении к отрезкам.

11. Отрезок АВ равен 2,8 м. Найти расстояние между серединой этого отрезка и точкой, которая делит его в отношении  2/3 : 4/15

12. Отрезок АВ продолжен на длину ВС так, что АС в т раз более АВ (т = 5). Найти отношение АВ : ВС.

13. Отрезок АВ разделён на три части в отношении 2:3:4. Расстояние между серединами крайних частей равно 5,4 м. Определить длину АВ.

14. Отрезок АВ делится точкой С в отношении 5:7, а точкой D в отношении 5:11; расстояние между С и D равно 10 м. Определить длину АВ.

Длина ломаной.

15. Дана ломаная ABCDE (черт. 3). Найти сумму отрезков ломаной, измерив каждый отрезок. Выпрямив ломаную (построением), измерить длину получившегося отрезка. Сравнить оба полученных  ответа.

16. На чертеже 4 дана карта воздушных сообщений. Сравнить (посредством выпрямления ломаных) расстояния от Москвы до Киева, Свердловска и Ташкента. Найти, пользуясь масштабом, каждое из этих расстояний.

Точки и прямые, их взаимное расположение.

17. Узнать, лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если расстояния между ними таковы: 
1)АВ=20м,  АС=13м, ВС=7м. 
2)AВ=4м,    АС=7м, ВС = 3м. 
3)АВ=1,8м, АС=1,3м, ВС = 3м.

18. 1.) Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько различных прямых линий можно провести через эти точки, беря их попарно?

2) Сколькими прямыми можно соединить попарно 4 точки, из которых никакие 3 не расположены на одной прямой? Тот же вопрос относительно 5 точек, 20 точек, п точек.

§  2  Углы .

Построение и измерение углов и действия над ними.

1. Построить угол,  равный данному углу.

2. При   помощи   транспортира   построить углы в 60°;  75°;  125°; 150°.

3. Построить на глаз углы в 30°; 45°; 120° и 135°. Проверить построенные углы транспортиром.

Задачи №4—16 решать сначала геометрическим построением при помощи транспортира, а затем проверить решение арифметически.

4. Построить угол, равный сумме двух данных углов.

5. Найти сумму трёх данных углов.

6. Найти сумму углов: 1) 45°36' и 78°57'; 2) 26°16'45" и 117°52'30";  3)  15°40', 37°50'30", 88°45" и 20°30'40".

7. Построить угол, равный разности двух данных углов.

8. Найти разность   углов:   1) 96°35'15"  и  48°45'45";

2) 71°10' и 29°52'30"; 3) 153°17'42" и 68°29'.

9. Найти дополнение до прямого угла к следующим острым углам: 1) 70°; 2) 34°23'; 3) 22°42'38".

10. По данным сумме и разности двух углов построить эти углы.

11. Данный острый угол увеличить в 3 раза.

12. Найти произведение:  1) 35°42'•5; 2) 17°23'45"•4;

3) 55°32'30"•3.

13. Разделить данный угол на 2, 4, 8, 16 равных частей.

14. Найти частное: 1) 93°15' : 3; 2) 147°45' : 2; 3) 98°21'50" : 4; 4) 161°40" : 8.

15. Начертить острый и тупой углы. Узнать, сколько раз острый угол содержится в тупом.

16. Найти частное: 1) 105° : 30°; 2) 66°55' : 24°20'; 3) 28°35' : 4'0°50'.

Прилежащие углы.

17. Внутри тупого угла восставлены из его вершины перпендикуляры к его сторонам; угол между этими перпендикулярами равен 4/7 d. Определить тупой угол.

Сделать точный чертёж, пользуясь транспортиром.

18. Даны два прилежащих угла: острый и тупой. Прямая, проведённая через их вершину перпендикулярно к их общей стороне, отклонена от другой стороны острого угла на  5/7 d, а от другой стороны тупого угла на 3/7 d. Найти сумму данных углов и сделать точный чертёж.

Смежные углы.

19. Запасной путь на железнодорожной станции отходит от главного пути под углом в 20°. Начертить расположение путей.

20. Начертить угол, который в сумме с данным углом ABC составляет два прямых угла

21. На прямой АВ взята точка С и из неё проведён луч CD так, что угол ACD в 4 раза более угла BCD. Определить величину этих углов.

22. Определить 2 смежных угла, из которых один на  2/9 d более другого.

23. Определить угол, который равен 3/7 своего смежного.

24. Из двух прилежащих углов ABC и CBD первый равен 108°, а второй меньше его в 1 1/2 раза. Составляют ли стороны ВА и BD одну прямую линию?

25. Отношение двух прилежащих углов равно 7:3, а разность их равна 72°. Будут ли эти углы смежными?

26. Углы ABC и CBD смежные, угол CBD = 0,375 d. Определить угол между перпендикуляром, проведённым из точки В к прямой АВ, и биссектрисой угла ABC. Сделать чертёж.

27. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.

28. Определить два прилежащих угла АОВ и ВОС, зная, что их сумма равна 216° и что продолжение стороны АО (за вершину) делит угол ВОС пополам. Сделать точный чертёж.

29. Из четырёх прилежащих углов АОВ, ВОС, COD, DOE  каждый  следующий больше предыдущего на 1/9d; стороны АО и ОЕ составляют одну прямую. Вычислить и построить эти углы.

30. Верхняя часть окна имеет вид, показанный на чертеже 5. Определить, сколько градусов содержит угол между двумя соседними лучами.

 

Углы с общей вершиной, расположенные по обе, стороны прямой.

31. Сколько градусов содержит угол между двумя соседними спицами колеса, которое имеет 18 спиц? 16 спиц?

32. Угол ABC равен 6/11d; из вершины В проведён вне угла ABC луч BD, равноотклонённый от прямых ВА и ВС. Вычислить величину этого отклонения.

33. Четыре угла, образуемые четырьмя лучами, выходящими из одной точки, таковы, что каждый следующий угол вдвое больше предыдущего. Найти величину каждого из них и построить эти углы.

Противоположные (вертикальные) углы.

34. Один из четырёх углов, образуемых  двумя  пересекающимися  прямыми, равен  3/5d. Как велик каждый из остальных углов?

35. C помощью одной линейки начертить угол, равный данному углу и имеющий с ним общую вершину.

36. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Сумма углов AOD и СОВ равна 220°. Определить угол АОС.

37. Данный  угол  и  два  смежных с  ним  составляют в сумме 23/8 d.  Определить данный угол.

§  3. Треугольники и многоугольники. Перпендикуляр и наклонные. 
         Осевая симметрия .

 

Равнобедренный треугольник.

1.   Построить   равнобедренный   треугольник:

 1) по основанию и боковой стороне;
 2) по основанию и углу при основании;
 3) по боковой стороне и углу при вершине;
 4) по боковой стороне и углу при основании.
 

2. На боковой стороне равнобедренного треугольника построен равносторонний треугольник; периметр этого второго треугольника равен 45 м, а периметр первого треугольника 40 м.  Определить основание заданного треугольника.

Построение треугольников и равенство их.

3. Построить треугольник:

 1) по стороне и двум прилежащим углам;
 2) по двум сторонам и углу между ними;
 3) по трём сторонам.
4. В  равнобедренном   треугольнике биссектрисы углов при основании равны. Доказать.

5. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.

6. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти с мерной цепью (черт. 6), выбирают такую точку С, из которой были бы видны как точка А, так и В и из которой можно было бы к ним пройти. Провешивают ( То есть отмечают направление шестами-вехами.)АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD = AC и ЕС = СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию АВ. Почему?

 

7. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ (черт. 7) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок BE. Выбирают на местности точку D, из которой можно было бы видеть точку А и пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDG и EDF и отмеряют FD = DE и DG=BD. Затем идут по прямой FG, смотря на точку А, пока не найдут такую точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда HG равно искомому расстоянию. Доказать.

 

8. На каждой стороне равностороннего треугольника ABC отложены отрезки 
АВ1 = ВС1 = СА1. Точки А1, В1 и С1 соединены прямыми. Доказать, что треугольник 
А1В1С1 тоже равносторонний.

9. Каждая из сторон равностороннего треугольника ABC продолжена: АВ—за вершину В; ВС—за вершину С; СА — за вершину А; на продолжениях отложены отрезки одинаковой длины, и концы их соединены между собой. Определить вид полученного треугольника.

10. 1) Построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против большей из них.

2) Доказать теорему: если две стороны и угол против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против большей из них другого треугольника, то треугольники равны.

11. 1) Построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против меньшей из них.

2) Показать, что если две стороны и угол против меньшей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против меньшей из них другого треугольника, то треугольники могут быть как равными, так и неравными.

12. Доказать теорему: если две стороны и медиана одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. Рассмотреть 2 случая: 1) медиана проведена к одной из данных сторон; 2) медиана  проведена  между данными  сторонами.

Зависимость между   сторонами треугольника.

13. Может ли быть треугольник с такими сторонами: 1) 5 м, 10 м, 12 м; 2) 1 м, 2 м, 3,3 м; 3) 1,2 м, 1 м, 2,2 м?

14. Могут ли стороны треугольника относиться, как: 1) 1:2:3; 2) 2:3:4?

15. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая — 0,7 м. Определить третью сторону, зная, что она выражается в целых метрах.

16. Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Определить длину боковой стороны.

17. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 м, а другая —10 м. Какая из них служит основанием?

18. Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части длиной в 15 см и 6 см. Определить стороны треугольника.

19. Доказать, что в треугольнике каждая сторона менее половины периметра.

20. Доказать, что сумма расстояний какой-нибудь точки внутри треугольника до его вершин более половины периметра.

21. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников АВС и ABD равны 37м и 24 м. Определить длину АС.

22. В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота BD. Периметр треугольника АВС равен 50 м, а периметр треугольника ABD равен 40 м. Определить высоту BD.

Перпендикуляр и наклонные.

23. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ равна 14 см; из её середины D проведён к ней перпендикуляр DE до пересечения со стороной ВС, и точка Е соединена с А; периметр треугольника АЕС равен 24 см. Определить длину АС.

24. Из одной точки проведены к данной прямой две равные наклонные; расстояние между их основаниями равно 16 м. Определить проекцию каждой наклонной на данную прямую. .

Построение и равенство прямоугольных треугольников.

25.  Построить   прямоугольный   треугольник:

 1) по двум катетам;
 2) по катету и гипотенузе;
 3) по катету и острому углу;
 4) но гипотенузе и острому углу.

26. Чтобы измерить расстояние между пунктами А и В, расположенными на разных берегах реки, при помощи эккера провешивают перпендикулярно к АВ отрезок BD произвольной длины (черт. 8). Делят BD в точке Е пополам. Проводят перпендикуляр DC к BD в точке D; идут по DC, смотря на А,  до той точки С, которая лежит на прямой АЕ. Длина DC равна АВ. Доказать.

 

27. 1) Доказать, что прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла, отсекает от его сторон равные отрезки.

2) Через точку, данную внутри или вне угла, провести такую прямую, которая отсекла бы от сторон угла равные части.

28. 1)  Доказать,  что  в  равнобедренном   треугольнике высоты, опущенные на боковые стороны, равны.

2) Составить обратную теорему и доказать её.

29. Три селения А, В и С не лежат на одной прямой. Указать на чертеже, как провести из А прямую дорогу между селениями В и С на равных расстояниях от них.

30. По одну сторону прямой АВ даны две точки М и N. Найти на прямой АВ такую точку С, чтобы прямая АВ составляла равные углы со сторонами ломаной MCN.

Геометрические места точек.

31. Дан треугольник ABC. На биссектрисе угла А найти точку, равноудалённую от вершин В и С.

32. Найти точку, равноудалённую от всех вершин   треугольника.   Всегда ли эта точка будет внутри треугольника?

33. Даны угол и точка М внутри угла. Найти такую точку, которая была бы одинаково удалена от обеих сторон угла и отстояла бы от точки М на данное расстояние а.

34. Найти на стороне треугольника точку, равноудалённую от двух других сторон.

35. В треугольнике найти точку, равноудалённую от всех трёх сторон.

36. Дан угол А и точки В и С, расположенные одна на одной стороне угла, другая на другой. Найти:

1) точку М, равноотстоящую от сторон угла и удовлетворяющую условию, что МС= MB;

2) точку N, расположенную на стороне угла, причём так, чтобы NC = CB;

3) точку Р такую, чтобы каждая из точек В и С одинаково отстояла от A и Р.

37. Дан угол А и точка В на одной из его сторон. Найти на другой стороне такую точку С, чтобы сумма СА + СВ была равна данной длине l.

Четырёхугольники.

38. Определить стороны четырёхугольника, если они относятся между собой, как 2:5:4:8, а периметр четырёхугольника равен 76 м.

39. Могут ли стороны четырёхугольника относиться, как 2:3:4:10?

40. 1) Построить четырёхугольник, стороны которого 1 см, 2 см, 3 см и 4 см, а диагональ, проходящая между первой и четвёртой сторонами, равна 2,6 см.

2) То же по четырём сторонам, равным 1,2 см, 1,8 см, 2.4 см и 3,0 см, и углу между второй и третьей сторонами, содержащему 102°.

41. Четырёхугольник разделён диагональю на 2 треугольника, периметры которых равны 25 м и 27 м; периметр четырёхугольника равен 32 м. Найти длину проведённой диагонали.

Многоугольники.

42. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины: 1) пятиугольника; 2) десятиугольника; 3) n-угольника?

43. Сколько получится треугольников, если провести все диагонали из одной вершины: 1) шестиугольника; 2) восьмиугольника; 3)  n-угольника?

44. Сколько всего диагоналей можно провести 1) в пятиугольнике; 2) в десятиугольнике; 3) в n-угольнике?

45. Сколько сторон в многоугольнике, если число их в т раз больше числа диагоналей, проведенных из одной вершины? (т = 2; 4; 5.)

46. Сколько сторон имеет многоугольник, если число всех его диагоналей в т раз больше числа сторон? (т = 0,5; 1;2; 2,5.)

Осевая симметрия.

47. Построить отрезок, симметричный данному относительно данной оси симметрии.

48. Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно: 1) одного катета; 2) другого катета; 3) гипотенузы.

49. Даны ось симметрии и окружность. Начертить симметричную ей окружность.

50. Даны ось симметрии и ломаная линия. Начертить другую ломаную, симметричную данной.

§   4. Параллельные прямые. 
Сумма углов треугольника и многоугольника .

 

Углы при параллельных и секущей.

1. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Один из полученных восьми углов равен 72°. Чему равен каждый из остальных?

2. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой; при этом один из внутренних углов равен 13/8 d. Под каким углом его биссектриса пересекает другую параллель?

3. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Сумма трёх углов: данного внутреннего, внутреннего одностороннего с ним и накрест лежащего с первым углом равна 3 2/7 d. Определить угол, соответственный с первым внутренним.

4. Прямые АМВ и CND пересечены прямой EMNF, / CNF = 3/16d   и   / NMB = 3/4d.   Параллельны ли данные прямые? Как надо изменить величину угла NMB, чтобы прямые сделались параллельными?

5. Прямые AMNB и CRSD пересечены прямыми EMRF и GNSH. 
Дано, что / АME =15/24 d,  / ANS = 13/8d и / MRS = 19/24d. Определить / DSH.

Углы с параллельными и перпендикулярными сторонами.

6. Дан / АВС = 43°. Из точки Р, лежащей внутри этого угла, проведены две прямые параллельно его сторонам до пересечения с ними. Определить углы образовавшегося четырёхугольника.

7. Даны два угла с параллельными сторонами; один из них на 90° больше другого. Чему равен каждый угол?

8. Даны два угла с перпендикулярными сторонами; один из них в 4 раза меньше другого. Найти величину каждого угла.

9. Через концы основания треугольника проведены два перпендикуляра к боковым сторонам; пересекаясь, эти перпендикуляры образуют угол в 130°. Вычислить угол при вершине треугольника.

Сумма углов треугольника.

10. В треугольнике один угол равен 11/6 d, а другой 3/8 d. Чему равен третий угол?

11. Определить углы треугольника, если они относятся, как 1:2:3.

12. Два угла треугольника относятся, как 5:7, а третий угол на 4/19d больше первого. Определить третий угол.

13. В треугольнике два угла равны: 110°23'60" и 24°36'40". Определить третий угол.

14. В прямоугольном треугольнике  один  острый угол равен 58°20'. Определить другой острый угол.

Равнобедренный треугольник.

15. В средней полосе СССР обычно приняты следующие размеры угла между стропильными ногами АС и АВ (черт. 9):

 

для железных крыш 120° (приблизительно) 
 „   толевых         „    145° 
„   черепичных   „    100° 
„   тесовых          „     90°

Определить для каждой крыши тот угол, который стропильные ноги составляют с горизонтальной линией СВ.

16. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 105°27". Определить угол при основании.

17. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 70°43'. Определить угол при вершине.

18. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 12/7 d. Определить угол при основании.

19. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен  5/9 d. Определить угол при вершине.

20. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30°; на боковую сторону опущена высота. Найти угол между этой высотой и основанием.

21. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°; найти угол между одной боковой стороной и высотой,  опущенной на другую боковую сторону.

22. В равнобедренном треугольнике угол между высотой и боковой стороной на 1/7d меньше угла при основании. Определить углы этого треугольника.

Прямоугольный треугольник.

23. Для того чтобы измерить высоту дерева BD, приготовили прямоугольный треугольник АВ1С1 с углом А = 45° (черт. 10) и, держа его вертикально, отошли на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ1, увидели верхушку дерева В. Какова высота дерева, если расстояние АС =5,6 м, а высота человека 1,7 м ?

 

24. 1) В прямоугольном  треугольнике   один острый угол равен 1/2d. Определить катеты, если их сумма равна 36 см.

2) В прямоугольном треугольнике острый угол равен 1/2 d. Определить гипотенузу, если в сумме с опущенной на неё высотой она составляет 12 см.

Катет, лежащий против угла в 30°.

25. Доказать теорему: если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 30°, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы.

26. Обратная теорема (см. задачу 25): если катет вдвое меньше гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°. Доказать.

27. С помощью циркуля и линейки разделить прямой угол на 3 равные части.

28. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 2/3 d, а сумма гипотенузы с меньшим катетом равна 1,8 м. Определить гипотенузу.

Внешний угол треугольника.

29. В треугольнике ABC внешний угол при вершине В в три раза больше угла А и на  4/9 d больше угла  С.   Определить углы треугольника.

30. В равностороннем треугольнике проведены две медианы; найти острый угол между ними.

31. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен d/3  . Найти острый угол между гипотенузой и биссектрисой прямого угла.

32. В равнобедренном треугольнике сумма внутренних углов вместе с одним из внешних равна 21/8 d.     Определить углы этого треугольника.

33. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Применение теоремы о сумме углов треугольника 
к решению разных задач на треугольники.

34. Один из углов треугольника равен 2/3 d; как велик острый угол, образованный биссектрисами двух других углов треугольника?

35. Дан угол А; от его вершины А откладываем на стороне отрезок АВ; из точки В проводим прямую, параллельную второй стороне данного угла; на этой прямой откладываем внутри угла отрезок BD, равный ВА, и соединяем точку D с вершиной А. Доказать, что прямая AD делит данный угол пополам.

36. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых?

37. В треугольнике ABC угол В прямой; М—точка пересечения биссектрис углов А и С. Определить угол АМС.

38. В треугольнике ABC биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Определить угол ABC, если он равен половине угла АМС.

39. В треугольнике ABC угол В прямой; AD и СЕ — продолжения гипотенузы АС. Углы BAD и ВСЕ разделены пополам; М—точка пересечения их биссектрис (продолженных за вершины). Определить угол АМС.

40. В равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, опущенной на боковую сторону, равен  8/15 d. Определить углы этого треугольника.

41. В равнобедренном треугольнике ABC высота AD, опущенная на боковую сторону ВС, образует с боковой стороной АВ угол BAD = 1/5 d. Определить углы этого треугольника:
 1) предполагая, что высота AD проходит внутри треугольника, и 
 2) предполагая, что AD проходит вне треугольника.

42. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

43. Доказать теорему: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

44. Если на гипотенузе ВС равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отметить две точки Е и D так, что ВЕ = ВА и CD = CA, то / DAE = 1/2 d, Доказать.

45. ABC—равнобедренный треугольник с основанием АС; CD—биссектриса угла С;    / ABC = 5/3d. Определить / В.

46. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 36°. Доказать, что биссектриса угла при основании, продолженная до пересечения с противоположной стороной, делит равнобедренный треугольник на два других тоже равнобедренных треугольника.

47. В треугольнике ABC сторона АС продолжена за точку С на длину СЕ = СВ и за точку А на длину AD = AB; точки Е и D соединены с В. Определить углы треугольника DBE, если углы треугольника ABC известны.

48. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ; М—точка их пересечения. Определить / АМС, если дано, что / BAC= 1/4 d и / ВСА = 5/6 d.

49. В равнобедренном треугольнике ABC высоты AD и СЕ, опущенные на боковые стороны, образуют / AМС = 8/15 d . Определить углы треугольника ABC.

50. В треугольнике ABC из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов; первая биссектриса образует со стороной АВ угол, равный 6/17 d. Какой угол образует с продолжением стороны АВ вторая биссектриса?

51. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2:5 (меньшая часть — при гипотенузе). Определить этот угол.

Сумма углов многоугольника.

52. Определить сумму внутренних углов: 1) семиугольника; 2) десятиугольника; 3) двадцатипятиугольника.

53. Определить утлы пятиугольника, зная, что величины их относятся между собой, как 1 : 1,5 : 2 : 2,5 : 3.

54. Как изменится сумма углов многоугольника, если число его сторон увеличить на 5?

55. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов равна: 
1) 30d; 2) 48d; 3) 57d?

56. В каком многоугольнике сумма внутренних углов равна сумме внешних углов?

57. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов вместе с одним из внешних равна 23 d?

58. Определить число сторон многоугольника, если сумма его внутренних углов в т раз больше суммы внешних углов (т = 1, 2, 3).

59. Определить углы четырёхугольника, если из них,первые  два относятся,  как 5:7,  третий равен их разности, а четвёртый меньше третьего на  4/11d.

§  5. Параллелограммы и трапеции .

 

Углы и стороны параллелограмма.

1, Один  из  углов  параллелограмма равен 3/7d. Определить остальные углы.

2. Определить углы параллелограмма, если один из них больше другого на 3/11 d.

3. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 9 см и составляет  3/10   всего периметра. Определить другие стороны этого параллелограмма.

4. Две стороны параллелограмма относятся, как 3 : 4, а периметр его равен 2,8 м. Определить стороны.

5. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Определить отрезки BE и ЕС, если AВ=9 см и AD = 15 см.

6. На чём основано устройство чертёжных инструментов, называемых „параллельными линейками" (черт. 11)?

 

7. Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы двух  углов   параллелограмма, прилежащие к большей   стороне,   делят   противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них.

Диагонали параллелограмма.

8. Одна из сторон параллелограмма равна 5 м. Могут ли его диагонали выражаться следующими числами: 1) 4 м и 6 м; 2) 4 м и 3 м; 3) 6 м и 7 м?

9. Доказать, что всякий четырёхугольник, диагонали которого взаимно делятся пополам, есть параллелограмм.

10. Может ли диагональ параллелограмма равняться его стороне?

11. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Доказать, что отрезок её между параллельными сторонами делится в этой точке пополам.

12. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и AD отрезки BE = 2 м и AF=2,8 м. Определить стороны ВС и AD.

13. В параллелограмме ABCD высота, которая проведена из вершины В, делит основание AD пополам. Определить диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма содержит 3,8 м и превышает периметр треугольника ABD на 1 м.

Построение параллелограмма.

14.  Построить  параллелограмм, стороны которого даны, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

15. Построить параллелограмм:

1) по двум сторонам длиной в 2 см и 3 см и углу между ними, содержащему 110°;

2) по двум сторонам, равным 2,1 см и 3,2 см, и одной из диагоналей, равной 4,0 см;

3) по двум диагоналям, равным 6,0 см и 5,0 см, и одной из сторон, равной 4,5 см;

4) по двум диагоналям, равным 5 см и 4 см, и углу между ними, равному 135°;

5) по основанию, равному 2,0 см, высоте, равной 1,5 см, и диагонали, равной 3,2 см.

Разные задачи на   параллелограммы.

16. Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 5 дм. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислить периметр получившегося параллелограмма.

17. В параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен 15/11d. Определить углы параллелограмма.

18. Середины Е и F параллельных сторон ВС и AD параллелограмма ABCD соединены прямыми с вершинами D и В (черт. 12). Доказать, что эти прямые делят диагональ  АС на три равные части.

 

19. Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр получившегося параллелограмма не зависит от положения точки и равен сумме боковых сторон треугольника.

Прямоугольник.

20. В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол,  равный 2/5 d. Определить угол между диагоналями, обращенный к меньшей стороне.

21. В прямоугольнике определить угол между меньшей стороной и диагональю, если он на 1/3d меньше угла между диагоналями, опирающегося на ту же сторону.

22. Существует ли внутри прямоугольника точка, одинаково удалённая: 1) от всех его сторон? 2) от всех его вершин?

23. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на  4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.

24. В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом в 2/3d. Сумма обеих диагоналей и обеих меньших сторон равна 3,6 м. Определить длину диагоналей.

25. ABCD— данный прямоугольник; М — середина стороны ВС. Дано, что прямые МА и MD взаимно перпендикулярны и что периметр прямоугольника ABCD равен 24 м. Определить его стороны.

26. Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3:1. Найти угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

27. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол.  Найти периметр прямоугольника.

28. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Определить стороны прямоугольника, если известно, что они относятся, как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.

29. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит её в отношении 1:3. Определить длину диагонали, если известно, что точка её пересечения с другой диагональю удалена от большей стороны на 2 м.

30. Построить прямоугольник:

1) по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см;

2) по диагонали, равной 4,2 см, и углу между диагоналями, равному 135°;

3) по основанию, равному 3,2 см, и углу между диагоналями, равному 120°.

Геометрическое место точек, равноудалённых от прямой.

31. Найти на данной прямой АВ точку, которая находится на расстоянии т ( = 2 см) от другой данной прямой CD.

32. Найти точку, находящуюся на равном расстоянии от двух данных точек и на расстоянии а ( = 6 см) от данной прямой.

33. Внутри данного угла найти точку, находящуюся на расстояниях т ( = 1 см) и n ( = 2 см) от сторон угла.

34. 1) Внутри данного угла построен другой, одноимённый угол, стороны которого параллельны сторонам данного и равно отстоят от них. Доказать, что биссектрисы обоих углов совпадают.

2) Разделить пополам угол, вершина которого не помещается на чертеже.

35. Между сторонами данного острого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он был перпендикулярен к   одной   стороне   угла.

Ромб.

36. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Определить углы ромба.

37. Доказать, что:

1) всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, есть ромб;

2) всякий параллелограмм, у которого диагональ делит угол пополам, есть ромб.

38. Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна 3/17 d. Определить углы ромба.

39. Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся, как 5:4. Определить углы ромба.

40. Определить углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

41. Периметр ромба равен 8 см, высота 1 см. Найти тупой угол ромба.

42. Построить ромб:

1) по стороне, равной 2,7 см, и диагонали, равной 6,0 см;

2) по двум диагоналям, равным 4 см и 3 см;

3) по высоте, равной 2,2 см, и диагонали, равной 4,2 см;

4) по углу, содержащему 70°, и диагонали, проходящей через вершину этого угла и равной 3,7 см;

5) по диагонали, равной 5 см, и противолежащему углу, равному 120°.

Квадрат.

43. Построить квадрат по диагонали, равной 3,8 см.

44. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные части: AA1 = BB1 = CC1 = DD1. Точки A1, B1, C1, D1 соединены последовательно прямыми. Доказать, что A1B1C1D1 есть также квадрат.

45. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найти периметр квадрата.

46. В прямоугольном треугольнике прямой угол разделён пополам; из точки пересечения биссектрисы и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Доказать, что четырёхугольник, образованный этими прямыми и катетами, есть квадрат.

47. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Определить сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.

48. Дан квадрат, сторона которого 1 м; диагональ его служит стороной другого квадрата. Найти диагональ последнего.

49. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его служит диагональю другого  квадрата. Найти сторону последнего.

50. 1) Доказать, что биссектрисы углов прямоугольника своим пересечением образуют квадрат.

2) Стороны прямоугольника 1 см и 3 см. Определить диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов.

51. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определить стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое более другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

52. На катетах прямоугольного треугольника ABC построены два квадрата (черт. 13). Из вершин D и Н этих квадратов на продолжение гипотенузы опущены два перпендикуляра: DK и НМ. Доказать, что: 1.) данный треугольник ABC можно составить из двух   заштрихованных треугольников; 2) сумма перпендикуляров НМ и DK равна   гипотенузе.

 

Средняя линия треугольника.

53. На половине длины стропильных ног, концы которых раздвинуты на 5 м, устроена затяжка (ригель). Определить её длину.

54. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найти стороны треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника.

55. Периметр треугольника равен 12 см; середины сторон соединены последовательно. Найти периметр полученного треугольника.

56. Стороны треугольника относятся, как 3:4:6. Соединив середины всех сторон, получим треугольник с периметром в 5,2 м. Определить стороны данного треугольника.

57. По разные стороны от данной прямой MN даны две точки А и В на расстояниях 10 дм и 4 дм от неё. Найти расстояние середины О отрезка АВ от данной прямой.

58. Высота равностороннего треугольника равна 6 дм. Найти проекцию данной высоты на другую высоту.

59. Через вершину тупого угла тупоугольного треугольника проведена вне его прямая;, проекции прилежащих к тупому углу сторон на эту прямую равны 4 см и 2 см. Определить проекции всех медиан на ту же прямую.

60. Внутри произвольного угла взята точка М. Провести через точку М прямую так, чтобы отрезок её, заключённый между сторонами угла, делился в точке М пополам.

Трапеция.

61. В трапеции ABCD из вершины В проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с бoльшим основанием AD. Периметр треугольника ABE равен 1 м, и длина ED равна  3 дм. Определить периметр трапеции.

62. Боковая сторона трапеции разделена на 6 равных частей, и из точек деления проведены к другой боковой стороне отрезки, параллельные основанию. Определить длины этих отрезков, если основания трапеции равны 10 см и 28 см.

63. В трапеции ABCD (AD — большее основание) дано: 
AC_|_CD; АВ = ВС;  /  CAD = 2/7d.   Определить   углы этой трапеции.

64. В трапеции ABCD (AD -большее основание) диагональ АС перпендикулярна к стороне CD и делит /  ВАD пополам; /  CDA = 60°; периметр трапеции равен 2м. Определить AD.

65. Пусть AD означает большее основание трапеции ABCD. Могут ли углы А, В, С и D относиться между собой, как 2:5:6:3?

Средняя линия трапеции.

66. Основания трапеции относятся, как 7:3, и разнятся на 3,2 м. Найти длину средней линии этой трапеции.

67. Основания трапеции равны 2,4 м  и 3 м. Внутри этой, трапеции проведена между боковыми сторонами прямая, параллельная основаниям, которая равна 2,8 м. Одинаково ли удалена эта прямая от обоих оснований и если нет, то к какому основанию она ближе?

68. В трапеции ABCD из середины Е боковой стороны АВ проведена прямая, параллельная основаниям, до встречи в точке F с боковой стороной CD; из вершины В проведена прямая, параллельная стороне CD, до встречи в точке G с бoльшим основанием AD. Определить длину оснований, если EF=12 см и АG = 1 см.

69. В трапеции ABCD из середины Е боковой стороны АВ проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке G с бoльшим основанием AD. Определить основания трапеции, если AG = 5 дм и GD = 2,5 м.

70. Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 дм. Определить основания трапеции.

71. Найти отношение между параллельными сторонами трапеции, в которой средняя линия делится двумя диагоналями на 3 равные части.

Равнобедренная трапеция.

72. Доказать, что  в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

73. В данной равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр содержит 24 м. Определить боковую сторону.

74. Определить углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противоположных углов равна 8/13d.

75. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Определить углы трапеции.

76. ABCD — равнобедренная трапеция, причём AD — большее основание. Разность между периметрами треугольников ACD и ВАС равна 6 дм, а средняя линия трапеции равна 12 дм. Определить основания.

77. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам; периметр этой трапеции равен 4,5 м, а большее основание равно 1,5 м. Определить меньшее основание.

78. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки в 6 см и 30 см. Определить основания этой трапеции.

79. ABCD — равнобедренная трапеция, причём AD—большее основание; СЕ — высота, проведённая на AD. Зная, что DE равно 1,25 м и что средняя линия трапеции равна 2,75 м, определить  основания.

80. В равнобедренной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними равен 60°. Определить меньшее основание.

81. В равнобедренной трапеции острый угол равен 45°, высота её равна h метрам, а средняя линия равна т метрам. Определить основания трапеции.

82. В равнобедренной трапеции высота равна 10 см, а диагонали  взаимно  перпендикулярны.  Найти среднюю линию.

Прямоугольная трапеция.

83. Прямоугольная трапеция делится диагональю на два треугольника: равносторонний со стороной а и прямоугольный. Определить   среднюю   линию   трапеции.

84. В прямоугольной трапеции ABCD острый угол ADC = 1/2d и сторона AD = a. Из середины E стороны CD проведён к ней перпендикуляр, который встречает продолжение стороны ВА в точке F. Требуется определить длину BF.

Построение трапеции.

85. Построить трапецию: 1) по двум боковым сторонам, равным 1,5 см и 2 см, и основаниям, равным 5 см и 2,3 см;

2) по одному из оснований, равному 4,8 см, высоте, равной 3,2 см, и двум диагоналям, равным 4,2 см и 5 см;

3) по основанию, равному 4 см, боковой стороне, равной 2,4 см, углу между ними, содержащему 72°, и другой боковой стороне, равной 3 см.

86. Построить трапецию:

1) по четырём сторонам (всегда ли построение возможно?);

2) по двум основаниям и по двум диагоналям (условие возможности построения?).

Смешанные задачи на параллелограммы и трапеции.

87. Определить вид четырёхугольника, вершинами которого служат середины сторон данного: 1) произвольного четырёхугольника; 2) параллелограмма; 3) прямоугольника; 4) ромба; 5)квадрата; 6)трапеции.

88. В четырёхугольнике диагонали равны 1 м и 8 дм и пересекаются под углом в 56°25'. Определить стороны и углы четырёхугольника, который получим, соединяя середины сторон данного.

89. В треугольнике ABC биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D; прямая, проведённая из D параллельно СА, пересекает АВ в точке Е; прямая, проведённая из Е параллельно ВС, пересекает АС в F. Доказать, что ЕА = FC.

90. 1) На основании равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что сумма расстояний этой точки от обеих боковых сторон равна высоте, опущенной на боковую сторону.

2) На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки от боковых сторон равна высоте, опущенной на боковую сторону.

Центральная симметрия.

91. Найти наименьший угол поворота, при котором совмещаются сами с собой: 1) квадрат; 2) ромб; 3) прямоугольник; 4) пятиконечная звезда.

92. Доказать, что прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей прямоугольника (черт. 14), делит прямоугольник на два центрально-симметричных четырёхугольника.

 

93. Рассмотреть чертёж (черт. 15) и доказать, что точки М и N, К и L центрально-симметричны, т. е. находятся на одинаковом расстоянии от центра. Каким построением получаются в параллелограмме центрально-симметричные точки?

§  6. Окружность .

 

Окружность, её положение. 
Диаметр, хорда и её расстояние от центра. Секущая.

1. На сторонах угла ABC, равного 120°, отложены отрезки АВ = BС = 4 см. Провести окружность через точки А, В и С и найти, чему равен её радиус.

2. Найти геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус и проходящих через данную точку.

3. Провести окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой.

4. Построить окружность, проходящую через две данные точки А и В так, чтобы угол между радиусом круга, проведённым в точку А, и хордой АВ был равен 30°.

5. 1) Радиус окружности равен 10 см, данная точка удалена от центра на 15 см. Найти её наименьшее и наибольшее расстояния от окружности.

2) Радиус окружности равен 10 см, данная точка удалена от центра на 3 см. Найти её наименьшее и наибольшее расстояния от окружности.

6. Наименьшее расстояние данной точки от окружности равно а, наибольшее равно b. Определить радиус (два случая).

7. Доказать, что кратчайшее расстояние между двумя окружностями, лежащими одна вне другой, есть отрезок линии центров, заключённый между окружностями.

8. Из точки, данной на окружности, проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найти угол между ними.

9. Из точки, данной на окружности, проведены две хорды; каждая из них равна радиусу. Найти угол между ними.

10. В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая из них делится другой на два отрезка в 3 см и 7 см. Найти расстояние каждой хорды от центра.

11. В круге на расстоянии 1 см от центра даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая из них равна 6 см. Найти, на какие части одна хорда делится другой.

12. В круге радиуса R даны два взаимно перпендикулярных диаметра; произвольная точка окружности спроектирована на эти перпендикуляры. Найти расстояние между проекциями точки.

13. Хорда пересекает диаметр под углом 30° и делит его на два отрезка в 2 см и 6 см. Найти расстояние хорды от центра.

14. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и на 10 см. Определить их длину.

15. Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м и на 0,6м . Определить длину диаметра.

16. В круге с центром О проведена хорда АВ и продолжена на расстояние ВС, равное радиусу. Через точку С и центр О проведена секущая CD (D — точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка СО). Доказать, что угол AOD равен утроенному углу ACD.

17. 1.) Дан круг, радиус которого равен 2 см. Провести в нём хорду длиной в 1,5 см. Определённая ли эта задача? Сколько решений будет иметь задача, если хорда данной длины должна проходить через данную точку окружности?

2) Показать, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой другой окружности.

18. 1) Доказать, что из всех хорд, проходящих через точку А, взятую внутри круга, наименьшей будет та, которая перпендикулярна к диаметру, проходящему через А.

2) Через данную в круге точку провести хорду, которая делилась бы этой точкой пополам.

19. Описать окружность с центром в данной точке на стороне данного угла, которая надругой стороне угла отсекла бы хорду данной длины.

20. В данном круге проведены две равные параллельные между собой хорды, расстояние между которыми равно радиусу данного круга. Найти острый угол между прямыми, соединяющими концы хорд.

Касательная. Сопряжение прямых и окружностей.

21. 1) Из внешней точки проведены к кругу две взаимно перпендикулярные касательные; радиус круга R=10 см. Найти длину каждой касательной.

2) Дан круг радиуса R=1 дм; из внешней точки М к нему проведены две взаимно перпендикулярные касательные МА и MB (черт. 16). Между точками касания А и В на дуге АВ взята произвольная точка С и через неё проведена третья касательная KL, образующая с касательными МА и MB треугольник KLM. Найти периметр   этого   треугольника.

 

22. Дан сектор, равный четверти круга радиуса R. Определить длину касательной, проведённой в середине его дуги до пересечения с продолжениями крайних радиусов сектора.

23. В прямой угол вписан круг;  хорда, соединяющая точки касания, равна 2 дм. Найти расстояние этой хорды от центра круга.

24. АВ и АС — касательные к одной окружности; / ВАС равен 60°; ломаная линия ВАС равна 1 м. Определить расстояние между точками касания В и С.

25. Окружность круга равна 18,84 см ; круг катится по прямой AB (черт. 17). На сколько передвинется центр круга, если круг из положения I перейдёт в положение II? В положении I хорда CD || АВ, а в положении II хорда C1D1 _|_ АВ.

 

26. Окружность круга равна 18,84 см. Круг катится по прямой АВ; на сколько передвинется его центр О, если хорда его из первоначального положения CD || АВ перейдёт в положение C1D1|| AB (черт. 18)?

 

27. Радиусы двух кругов равны 2 см и 4 см; их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны. Найти длину каждой из них.

28. Даны два круга,  их  общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны; хорды, соединяющие точки касания, равны 3 см и 5 см. Определить расстояние между центрами.

29. Даны два круга радиусов R и r, один вне другого; к ним проведены две общие внешние касательные. Найти их длину  (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол (R > r).

30. Дан угол в 30°. Построить окружность радиуса 2,5 см, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Вычислить расстояние центра окружности от вершины угла.

31. Начертить выпуклую фигуру из двух параллельных прямых, сопрягаемых полуокружностью. Такая фигура называется в архитектуре „валиком", если диаметр полуокружности вертикален, и „аркой", если он горизонтален (черт. 19).

 

32. Соединить две непараллельные прямые сопрягающей их дугой. Рассмотреть три случая: 1) когда точки соединения (точки касания) и радиус дуги не даны; 2)когда дан только радиус дуги; 3) когда дана точка соединения, а радиус не дан (примеры такого соединения прямых дугами представляют закругления железнодорожного пути).

33. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных данным радиусом  и касающихся данной прямой.

34. Данным радиусом описать окружность, которая касалась бы данной прямой в данной точке.

35. Описать окружность, которая проходила бы через данную точку А и касалась бы данной прямой в данной на ней точке В.

36. Описать окружность, которая касалась бы сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.

37. Между двумя параллельными прямыми дана точка; провести окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых.

38. Даны две параллельные прямые и секущая. Провести окружность, касающуюся всех трёх прямых.

39. Данным радиусом описать окружность, проходящую через данную точку и касательную к данной прямой.

40. Две прямые исходят из одной и той же точки М и касаются окружности в точках А и В. Проведя радиус ОВ, продолжают его за точку В на расстоянии ВС = ОВ. Доказать, что / АМС = 3 / ВМС.

Относительное положение двух окружностей.

41. Какое относительное положение занимают две окружности, если:

 1) расстояние между центрами 10 см, а радиусы 8 см и 2 см?
 2) расстояние между центрами 4 см, а радиусы 11 см и 7 см?
 3) расстояние между центрами 12 см, а радиусы 5 см и 3 см?
 

42. Радиусы двух окружностей относятся, как 5:3; при внутреннем их касании расстояние между центрами равно 6 дм. Узнать относительное положение тех же окружностей, если расстояние между  центрами будет: 1) 24 дм;   2) 5 дм; 3) 28 дм; 4) 20 дм.

43. Даны два круга—один внутри другого; через их центры проведён в большом круге диаметр, который окружностью меньшего круга делится на три части: 5 см, 8 см, 1 см. Найти расстояние между центрами.

44. Наименьшее расстояние между двумя концентрическими окружностями равно 2 см, а наибольшее 16 см. Определить радиусы этих окружностей.

45. Даны два концентрических круга; в большем круге даны две взаимно перпендикулярные хорды, касательные к меньшему; каждая из хорд делится другой на две части: 3 см и 7 см. Найти радиус меньшего круга.

46. Радиусы двух концентрических окружностей относятся, как 7:4, а ширина кольца равна 12 см. Определить радиус меньшей окружности.

47. Если пересечь два концентрических круга секущей, то части секущей, лежащие между окружностями, равны между собой. Доказать.

48. Одна окружность находится внутри другой; радиусы их равны 28 см и 12 см, а кратчайшее расстояние между ними равно 10 см. Определить расстояние между центрами.

49. 1) Три равных круга радиуса R касаются друг друга извне.   Определить   стороны   и углы   треугольника,   вершинами которого служат точки касания.

2) Вписать в данный круг три равных круга, которые касались бы попарно между собой и данного круга.

50. Два. равных круга внутрeнно касаются третьего круга и касаются между собой. Соединив три центра, получим треугольник с периметром в 18 см. Определить радиус большего круга.

51. В данный круг, радиус которого  равен  3  дм,   вписано шесть равных кругов (черт. 20), из которых каждый касается данного круга и двух соседних кругов. Найти их диаметры. Сделать чертёж.

 

52. Около круга радиуса 1 дм проведены с наружной стороны шесть равных кругов, из которых каждый касается данного круга и двух соседних. Найти их радиусы. Сделать чертёж.

Построение окружностей и дуг.

53. 1) Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке.

2) Провести окружность, которая проходила бы через данную точку и касалась бы данной окружности в данной точке.

54. 1) Найти геометрическое место центров окружностей, описанных данным радиусом и касающихся данной окружности.

2) Данным радиусом провести окружность, которая касалась бы данной прямой и данного круга.

55. Соединить данную прямую и данную дугу сопрягающей дугой данного радиуса; точки соединения (точки касания) не даны.

56. Соединить две данные дуги сопрягающей дугой данного радиуса; точки касания не даны.

57. Описать окружность, которая касалась бы двух данных параллельных прямых и круга, находящегося между ними.

58. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую так, чтобы часть её, заключённая внутри окружностей, имела данную длину.

Ответы к задачам по геометрии Рыбкин from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (25.07.2016)
Просмотров: | Теги: Рыбкин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar