Тема №6676 Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§  7. Измерение углов дугами .

Центральный угол.

1.. 1) Большее колесо зубчатой передачи имеет 72 зубца. Сколько градусов окружности колеса занимает один зубец колеса вместе со впадиной?

2) Меньшее колесо зубчатой передачи имеет 24 зубца. Сколько градусов содержит дуга, занимаемая одним зубцом колеса вместе со впадиной?

3) Какую часть оборота сделает большее колесо с 72 зубцами, когда сцепленное с ним, меньшее, имеющее 24 зубца, сделает один полный оборот?

2. Выразить в градусах, минутах и секундах следующие части  окружности:  1) 1/72; 2) 1/81;  3) 0,001;  4) 1/14;  5)  5/11.

3. Найти, какую часть окружности составляют дуги: 1) 15°; 2)22°30'; 3) 108°; 4) 24'; 5) 18"; 6) 18°45'; 7) 2°30"; 8) 10°40".

4. Определить угол между стрелками на часах, когда часы показывают: 1) 5 час; 2) 3 часа 25 мин.; 3) 4 часа 50 мин.

5. Хорда стягивает дугу в 90° и равна 16 см. Определить её расстояние от центра.

6. В окружности, радиус которой 1,4 м, определить расстояние от центра до хорды, стягивающей  дугу в 120°.

7. Угол между двумя радиусами содержит 102°37". Определить угол между касательными, проведёнными через концы этих радиусов.

8. Дуга AB содержит 73°27'; из её конца в проведена касательная до встречи в точке С с продолжением радиуса OA. Определить / ACB.

Вписанный угол.

9. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведённый в конец её, составляет с её хордой угол в 37°23'?

10. Дуга содержит 117°23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведённого в конец дуги.

11. AВС—секущая; BD—хорда;  BD содержит 43°;   BDC содержит 213°41' Определить /  ABD.

12. Вычислить угол,  вписанный в дугу, составляющую  17/32  окружности.

13. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37°21'?

14. Дуга содержит 84°52'. Под каким углом из точек этой дуги видна её хорда?

15. Хорда делит окружность в отношении 5:11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.

16. AB и AC— две хорды: AB содержит 110°23'; AC содержит 38°. 
Определить /  BAC. (Два ответа.)

17. Хорда AB делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130°, а большая делится хордой AC в отношении 31:15 (начиная отA). Определить  /  BAC.

18. Хорды AB и AC лежат по разные стороны центра и заключают  /  BAC равный 72°30'; AB : AC = 19 : 24. Определить эти дуги.

19. Окружность разделена в отношении 7:11:6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.

20. Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведённый к хорде из её конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2.

21. Если в треугольнике медиана равна половине соответствующей стороны, то угол против этой стороны прямой. Доказать это с помощью вспомогательной окружности.

22. Точки A и B соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: ACB содержит 117°23' и ADB содержит 42°37'; середины их C и D соединены с A. Определить /  CAD.

23. Доказать, что всякая трапеция, вписанная в круг,— равнобочная.

24. В сегмент AMB вписана трапеция ACDB, у которой сторона AC=CD и
/  CAB= 51 °20'. Сколько градусов содержит дуга AMB?

25. AB—диаметр; C, D и E —точки на одной полуокружности ACDEB. 
      На диаметре AB взяты: точка F так, что / CFA = / DFB, и точка G так, что
/ DGA = / EGB. Определить / FDG, если AC содержит 60° и BE содержит 20°.

26. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три части (черт. 21). Найти эти части.

 

27. Основание равностороннего треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность—сторонами     треугольника?

28. Построить  несколько  точек  окружности,   имеющей данный диаметр, пользуясь лишь чертёжным треугольником.

. 29. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе C =5 см и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.

30. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.

31. Найти геометрическое место середин всех хорд, пересекающихся в одной точке. Рассмотреть два случая: 1)   точка   на   окружности;   2) точка внутри окружности.

32. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Радиусы и касательные, проведённые через концы образовавшихся хорд, параллельны. Доказать.

33. На радиусах OA и ОВ четверти круга АОВ построены (как на диаметрах) полукруги АСО и ОСВ (черт. 22).

 

Доказать, что: 1) прямая ОС делит угол АОВ пополам; 2) точки А, С и В лежат на одной прямой; 3) дуги АС, СО и СВ равны между собой.

34. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная. Определить острый угол   между   хордой  и  касательной.

35. АВ   и   АС — равные   хорды, MAN—касательная; BC, на которой не лежит точка А, содержит 213°42'. Определить углы МАВ и NAC.

36. С—точка на продолжении диаметра АВ; CD — касательная; / ADC= 114°25'. Сколько градусов и минут содержит BD?

37. АВ—диаметр окружности; ВС—касательная. Секущая АС делится окружностью (в точке D) пополам. Определить /  DAB.

38. М—середина высоты BD в равнобедренном треугольнике ABC; точка М служит центром дуги, описанной радиусом MD между сторонами ВА и ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что /   ВАС = 62°17'.

Угол с вершиной внутри круга и вне круга. Описанный угол.

39. Окружность разделена точками А, В, С и О так, что 
AВ: BC: CD: DA  = 2:3:5:6. Проведены хорды АС и BD, пересекающиеся в точке М. Определить / АМВ.

40. Диаметр АВ и хорда CD пересекаются в точке М; /  СМВ=73°; BC содержит 110°. Сколько градусов содержит BD?

41. Хорды АВ и CD пересекаются в точке M; /  АМС= 40°; AD более CB на 20°54'. Определить AD.

42. Из концов AB, содержащей т°, проведены хорды АС и BD так, что /  DMC, образуемый их пересечением, равен / DNC, вписанному в CD. Определить эту дугу.

43. В четырёхугольнике ABCD углы В и D—прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40°, а со стороной AD — угол в 30°. Определить острый угол между диагоналями АС и BD.

44. Окружность разделена точками А, В, С и D так, что
AB: BC : CD : DA = 3:2:13:7. Хорды AD и ВС продолжены до пересечения в точке М. Определить /  АМВ.

45. Дана окружность с хордой и касательной, причём точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.

46. Секущая ABC отсекает BC, содержащую 112°; касательная AD точкой касания D делит эту дугу в отношении 7:9. Определить /  BAD.

Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол, полезно помнить следующее: тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180° к углу между радиусами, проведёнными в точке касания.

47. Из концов дуги в 200°30' проведены касательные до взаимного пересечения.  Определить угол между ними.

48. Описанный угол содержит 73°25'. Определить дуги, заключённые между его сторонами.

49. Хорда делит окружность в отношении 11:16. Определить угол между касательными, проведёнными из концов этой хорды.

50. Внутри данной окружности (черт. 23) помещается другая окружность. ABC и ADE—хорды большей окружности, касающиеся в точках В и D меньшей окружности; BMD — меньшая из дуг между точками касания; CNE— дуга между концами хорд. Определить CNE, если BMD содержит 130°.

 

51. Внутри данной окружности (черт. 24) находится другая окружность, CAE и DBF—две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружностив точках А и В; АМВ — меньшая из дуг между точками касания; CND и EPF—дуги между концами хорд. Сколько градусов содержит CND, если   AMB содержит 154°  и EPF = 70°?

52. Окружность разделена в отношении 5:9:10, и через точки деления проведены касательные. Определить больший угол в полученном треугольнике.

53. АВ и АС—две хорды, образующие /  ВАС в 72°24'. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Определить /  ВМС.

54. Определить величину описанного угла, если расстояние (кратчайшее) от его вершины до окружности равно радиусу.

55. Дуга АВ содержит 40°24'. На продолжении радиуса OA отложена часть АС, равная хорде АВ, и точка С соединена с В. Определить / АСВ.

56. В треугольнике ABC угол С—прямой. Из центра С радиусом АС описана  ADE, пересекающая гипотенузу в точке D, а катет СВ—в точке Е. Определить дуги AD и DE, если /  B=37°24'.

Сегмент, вмещающий данный угол.

57. Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону АС; стороны AD и ВС пересекаются в точке М. Углы В и D равны между собой и содержат по 40°. Расстояние между вершинами В и D равно стороне АВ; /  АМС=70°. Определить углы треугольников ABC и ADC.

58. На данной прямой MN найти точку,  из которой данный отрезок АВ был бы виден под данным углом.

59. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и высоте.

60. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведённой к основанию.

61. Даны по величине и положению два отрезка: а и b. Найти такую точку, из которой отрезок а был бы виден под данным углом А, отрезок b — под данным  углом В.

62. Построить параллелограмм по его углу и диагоналям.

Вписанный и описанный треугольники.

63. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Определить радиус описанной окружности.

64. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см; угол при вершине равен 120°. Определить диаметр описанной окружности.

65. Пусть будет О—центр круга, описанного около треугольника ABC. 
Определить / ОАС: 1) если /  B=50°; 2) если /  B=126°.

66. Один из острых уг.лов прямоугольного треугольника равен 25°. Под каким углом виден каждый его катет из центра описанной окружности?

67. Два угла треугольника равны 100° и 50°. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра вписанной окружности?

68. Треугольник ABC—равнобедренный; радиус описанного круга OA образует с основанием АС угол ОАС, равный 20°38'. Определить /  BАС. (Два случая.)

69. Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанного круга.

70. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найти отношение боковой стороны к основанию.

71. В прямоугольном равнобедренном треугольнике обозначим радиус вписанного круга через r, а половину периметра— через р. Требуется определить гипотенузу.

72. Около данного круга описать равнобедренный прямоугольный треугольник.

73. Около круга, радиус которого равен 4 см, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26 см. Найти периметр треугольника.

74. В данный круг вписать треугольник,   у   которого даны два угла.

75. Около данного круга описать треугольник, у которого   даны    два    угла.

Вписанный и описанный четырёхугольники.

76. Меньшая сторона прямоугольника равна 1 м; острый угол между диагоналями равен 60°. Найти радиус описанного круга.

77. В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол в 12°35'. На какие четыре части делится вершинами этого прямоугольника описанная около него окружность?

78. Вписать круг в данный ромб.

79. Сторона ромба равна 8 см; острый угол его содержит 30°. Определить радиус вписанного круга.

80. В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37°?

81. В равнобедренной трапеции угол при основании равен 50°, а угол между диагоналями, обращенный к боковой стороне, равен 40°. Где лежит центр описанной окружности: внутри или вне трапеции?

82. Около круга описана трапеция, периметр которой равен  12  см.  Определить  среднюю линию этой трапеции.

83. Около круга описана равнобедренная трапеция с углом 30°. Средняя линия её равна 1 м. Определить радиус круга.

84. Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ АС перпендикулярна к диагонали. BD и делит её пополам. Определить углы этого четырёхугольника, 
если  /  BAD = = 70°23'42". ,

85. Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого по порядку относятся: 1)как 2:4:5:3; 2)как 5:7:8:9?

86. Центральный угол сектора равен 60°, а радиус равен R. Определить радиус круга, вписанного в этот сектор.

87. В четырёхугольнике ABCD дано: / АВС=116°; / ADC=64°; / САВ = 35° и / СAD=52°. Определить угол между диагоналями, опирающийся на сторону АВ.

88. 1) Три стороны описанного четырёхугольника относятся   (в  последовательном порядке), как   1:2:3. Определить стороны, если известно,  что периметр его равен 24 м.

2) Три угла вписанного четырёхугольника (в последовательном порядке) относятся, как 1:2:3. Определить углы четырёхугольника.

§  8. Пропорциональные отрезки. 
Свойство биссектрисы в треугольнике.

 

Пропорциональные отрезки.

1. Найти при помощи последовательного откладывания отношение отрезка АВ к отрезку CD (черт. 25).

 

2. Найти (с точностью до 0,01) отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне.

3. 1) Точка М делит отрезок АВ в отношении АМ : МВ= 1:2. 
Найти отношение АМ : АВ и МВ : АВ.

2) Точка K делит некоторый отрезок АВ в отношении т : п. Найти отношение АК : АВ и КВ : АВ.

4. На отрезке AB длиной 6 см дана точка С, расстояние которой от А равно 3,6 см  на продолжении отрезка АВ за точку В найти такую точку D, чтобы расстояние её от А относилось к расстоянию её от В, как АС : СВ.

5. Двe параллельные улицы пересечены двумя улицами, выходящими из одной точки А. Части параллельных улиц, заключённые между лучевыми улицами, равны 0,75 км и 1,25 км. Трамвай идёт по одной из лучевых улиц от точки А до первой параллельной улицы 15 мин. Сколько времени он при той же скорости будет идти по той же лучевой улице от первой до второй параллельной улицы?

6. Стороны угла А пересечены двумя параллельными прямыми ВС и DE (через В и D обозначены точки на одной стороне угла). Требуется:

1) Определить АЕ, если AB = 8 м, AD = 12 м  и  АС = 10 м;

2) определить АВ, если AB + AD=21 м, АС =12 м и АЕ = 16 м;

3) определить AD, если АС : АЕ = 3/11 : 0,6  и  BD  = 12 дм.

7. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD продолжены до взаимного пересечения в точке М. Требуется:

1) определить отрезок СМ, если АВ= 1 м, CD = 15 дм и ВМ = 8 дм;

2) определить отрезок ВМ, если сторона АВ = 1,2 м и СD : СМ = 1/6: 0,25;

3) определить CD, если АВ : BМ= 17 : 9 и CD—CM  = 1,6 м.

8. ВА и BD — отрезки одной стороны угла В; ВС и BE — отрезки другой стороны его. Узнать, параллельны ли прямые АС и DE:

1) если BA : AD = 3 : 4,  BС =1,2 м  и BE = 2,8 м;

2) если BD : AD= 11 : 8,5 и ВС = 5/17 СЕ;

3) если BA = 7/13 BD,  BС = 2,8 м и CE = 2 м.

9. 1) Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. Основание равно 20 см. Определить отрезки параллельных прямых, заключённые между боковыми сторонами.

2) В трапеции боковая сторона разделена на восемь равных частей, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию, до пересечения с другой боковой стороной. Основания трапеции равны 50 см и 30 см. Найти длины отрезков параллельных прямых между боковыми сторонами.

10. Основания трапеции 1,8 м и 1,2 м; боковые стороны её длиной 1,5 м и 1,2 м продолжены до взаимного пересечения. Определить, на сколько продолжены боковые стороны.

11. Чтобы измерить высоту дерева (черт. 26), провешивают (то есть отмечают шестами-вехами) на некотором расстоянии от ствола прямую и на ней в некоторых точках её втыкают в землю два кола так, чтобы их концы A1 и В1 и верхушка дерева М находились на одной прямой. Найти высоту дерева, если известны расстояния AD = m, АВ = п и высота кольев а и b (т  = 22,5 м,   n =1,25 м, а = 1,75 м и b = 2,55 м).

 

12. На чертеже 27 АВ|| CD, FE _|_ АВ, OA = 4,8 см, OE = 4,5 см, OB = 5,4 см, 
OF =1,5 см, AB = 4,8 см. Найти OD, ОС и DC.

13. Короткое плечо шлагбаума (черт. 28) имеет длину 0,75 м, а длинное плечо 3,75 м. Как высоко поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого опускается на 0,5 м? (Сделать чертёж.)

 

14. В треугольнике проекции боковых сторон на основание равны 15 м и 27 м, а бoльшая боковая сторона равна 45 м. На какие части она делится (считая от вершины) перпендикуляром к основанию, проведённым из его середины? (Два случая.)

15. Через точку Р, данную внутри или вне угла MAN, провести прямую так, чтобы части её, заключённые между этой точкой и сторонами угла, имели данное отношение 
т : п. (Рассмотреть особо, случай т = п.)

16. 1) Найти геометрическое место точек, расстояния которых от сторон данного угла имеют одно и то же отношение т : п.

2) Найти в треугольнике такую точку, чтобы перпендикуляры, опущенные из неё на стороны, находились в данном   отношении  т : п : р.

Свойство   биссектрисы в треугольнике.

17. BD—биссектриса   угла    в   треугольнике ABC.  Требуется  определить: 
1) отрезки AD и DC, если АВ= 10 м, ВС=15 м и AС= 20 м;

2) сторону ВС, если AD:DC= 8:5 и AВ=16 м;

3) сторону АС, если АВ:ВС=2:7 и DC—AD = 1 м.

18. Угол треугольника, заключённый между сторонами в 9 см и 6 см, разделён пополам. Один из отрезков третьей стороны оказался равным однoй из данных сторон. Определить третью сторону.

19. D — точка на стороне ВС в треугольнике ABC. Узнать, делит ли прямая AD угол А пополам:

1) если АВ=12 см, AС = 15 см, BD = 8 см и DС=10 см;

2) если AВ=12 м, AС= 56 м и BD:DC= 14:3;

3) если AВ= 5/11 AC,  BD = 2 м,  DC= 4,5 м;

4) если АВ = 6 м, АС = 28 м и BD = 3/17 ВС.

20. В треугольник AВС вписан ромб ADEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС. Определите отрезки BE и ЕС, если AВ=14 см, ВС= 12 см и AС= 10 см.

21. Стороны треугольника равны 51 см, 85 см и 104 см. Проведена окружность, которая касается обеих меньших сторон, а центр имеет на большей стороне. На какие части ббльшая сторона делится центром?

22. В равнобедренном треугольнике высота равна 20 см, а основание относится к боковой стороне, как 4:3. Определить радиус вписанного круга.

23. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 12:5, а боковая сторона равна 60 см. Определить основание.

24. В равнобедренном треугольнике радиус  вписанного круга составляет 2/7 высоты, а периметр этого треугольника равен 56 см. Определить его стороны.

25. Хорда АВ = 15 м, хорда АС = 21 м и хорда ВС = 24 м. Точка D — середина дуги СВ. На какие части BE и ЕС делится хорда ВС прямой AED ?

26. В треугольнике ABC даны стороны а, b и с. ВО — биссектриса угла В; О—точка пересечения BD и биссектрисы угла С. Требуется определить отношение OD:OB.

27. В треугольнике ABC сторона AВ=15 см и АС = 10 см; AD—биссектриса угла А; из точки D проведена прямая, параллельная АВ, до пересечения с АС в точке Е. Определить АЕ, ЕС и DE.

28. В равнобедренном треугольнике ABC сторона АС = b, сторона ВА = ВС= а; AN и СМ — биссектрисы углов А и С. Определить длину MN.

§  9. Подобие треугольников и многоугольников.

 

Подобные треугольники.

1. Стороны треугольника относятся, как 4:5:6; меньшая сторона подобного ему треугольника равна 0,8 м. Определить другие  стороны   второго   треугольника.

2. Стороны треугольника относятся, как 2:5:4; периметр подобного ему треугольника равен 55 м. Определить стороны второго треугольника.

3. Длина тени, отбрасываемой фабричной трубой, равняется 35,8 м; в то же время вертикально воткнутый в землю кол длиной в 1,9 м даёт тень длиной в 1,62 м. Найти высоту трубы.

4. В треугольниках ABC и A1B1C1 дано: /  А = /  А1 и /  B = / B1 .Решить для этих треугольников следующие задачи:

1) дано: а = 10; b = 14; а1 = 25; с1 = 20. Определить с и b1;

2) дано: а = 35; а1 = 21; с — с1 = 8. Определить с.

5. В треугольниках ABC и DEF  /  А = /  Е и /  В = /  D. Сторона AB=16 см; ВС=20 см; DE=12 см; АС—EF=6 см. Определить AC, EF и DF.

6. В двух равнобедренных треугольниках углы при вершине равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см; основание другого равно 8 см. Определить его боковую сторону.

7. В треугольниках AВС и A1B1C1 дано: /  B = / B1и стороны первого треугольника, заключающие угол B, в 2,5 раза более сторон второго треугольника, заключающих угол 
В1. Определить AС и A1C1, если их сумма равна 4,2 м.

8. В треугольнике ABC и DEF имеется: /  B = /  D, AB = 4/3 DE и DF = 0,75 ВС. Определить AC и EF, если их разность равна 5 см.

9. Узнать, подобны ли треугольники, если стороны их таковы:

1)1 м, 1,5 м и 2 м; 10 см, 15 см и 20 см;

2) 1 м, 2 м и 15 дм; 12 дм, 8 дм и 16 дм;

3) 1 м, 2 м  и 1,25 м; 10 см, 9 см и 16 см.

10. 1)В /\ AВС сторона AВ= 15 м и АС= 20 м; на стороне АВ отложен отрезок АD=10м, а на стороне ФС отрезок АЕ=12 м. Подобны ли треугольники ABC и ADE ?

2) В предыдущей задаче, сохранив длину сторон AВ и АС, взять AD = 9 м и АВ = 12 м. Будут ли тогда подобны треугольники АВС и ADE ?

11. АВ—диаметр одной окружности; АС—хорда.  Описана другая окружность на диаметре DE, равном 13/17 АВ, и в ней проведена хорда  DF, равная 13/17AC. Определить EF, если известно, что ВС = 3,4 м.

12. 1) Стороны одного треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м; периметр подобного ему треугольника равен 5,5 м. Определить стороны второго треугольника.

2) Периметр одного треугольника   составляет 11/13  периметра подобного ему треугольника. Разность двух сходственных сторон равна 1 м. Определить эти стороны.

13. При устройстве мостов на козловых устоях (черт. 29) для лучшего распределения давления веса моста на грунт к подошвам ног козел А и В прибивают доску АВ, а ноги каждой пары связывают схваткой DE. Найти длину схватки DE, если известно, что высота козел h = 3 м, длина доски АВ=1,5 м, а также, что схватка укрепляется на расстоянии 0,5 м от доски АВ.

 

14. Дан треугольник ABC и внутри него отрезок DE, параллельный AC (D на АВ, Е на ВС). Определить длину DE:

1) если АС= 20 см, AB = 17 см и BD =11,9 см;

2) если AС= 18 дм, АВ=15 дм и AD= 1 м.

15. Дан треугольник ABC и внутри него отрезок DE, параллельный AC (D на АВ и Е на ВС). Требуется:

1) определить AD, если AB = 16 см, АС=2 дм и DE= 15 см;

2) определить отношение  AD : BD,  если известно, что AС : DE = 5/7 : 4/11

16. Открытый участок дороги находится в полосе АВ шириной в 50 м (черт. 30); неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22 м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску KB на расстоянии 500 м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

 

17.В треугольнике ABC, стороны которого a, b и с даны, проведена параллельно АС прямая MN так, что AM=BN. Определить MN.

18. В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что /  BDC = /  АВС; на стороне АС получаются отрезки AD = 7 см и DC = 9 см. Определить сторону ВС и отношение 
BD : BA.

19. В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что /  ABD = /  ВСА. Определить отрезки AD и DC, если АВ=2 м и АС= 4 м.

20. Построить треугольник, подобный данному, периметр которого равняется данной длине.

21. Построить треугольник по углу, одной из сторон, прилежащих к нему, и отношению этой стороны к третьей стороне.

22. Построить треугольник по высоте, углу при вершине и отношению отрезков основания.

Пропорциональные отрезки в трапеции и параллелограмме.

23. ABCD—данная трапеция, причём BC || AD; О — точка пересечения диагоналей; 
AО = 8 см, ОС = 1 дм и BD = 27  см.   Определить  ОВ и OD.

24. Дана трапеция ABCD, причём стороны ВС и AD параллельны; О — точка пересечения диагоналей; ВО:OD = 0,3 : 2/3; средняя линия трапеции равна 29 см. Определить основания и отношение АО : ОС.

25. В трапеции ABCD (где BC || AD) с диагональю BD углы ABD и BCD равны. 
Дано: BС=10 см, DC= 15 см и BD = 20 см. Определить АВ и AD.

26. В трапеции ABCD с диагональю АС углы ABC и ACD равны. Определить диагональ АС, если основания ВС и AD соответственно равны 12 см и 27 см.

27. Основания трапеции относятся, как 5 : 9, а одна из боковых сторон равна 16 см. На сколько надо её продолжить, чтобы она встретилась с продолжением другой боковой стороны?

28. В параллелограмме ABCD сторона АВ = 420 м. На стороне ВС взята точка Е так, что ВЕ : ЕС = 5 : 7, и проведена прямая DE, пересекающая продолжение АВ в точке F. Требуется определить BF.

29. ABCD—данный параллелограмм; F—точка на продолжении стороны АВ; Е — точка пересечения DF и АС. Определить BF, если АЕ : ЕС = т : п и АВ = а.

30. ABCD—данный параллелограмм. Через точку пересечения его диагоналей проведена  перпендикулярная к ВС прямая, которая пересекает ВС в точке Е, а продолжение  АВ — в точке F. Определить BE, если АВ = а, ВС =  b  и  BF = c.

Разные задачи.

31. В треугольник вписан параллелограмм, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 20 см и 25 см, а параллельные им стороны параллелограмма относятся, как 6:5. Определить стороны параллелограмма.

32. В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Определить сторону ромба, если АВ = с и АС = b.

33. Прямая, проведённая через вершину ромба вне его, отсекает на продолжениях двух сторон отрезки р и q. Определить сторону ромба.

34. Вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы одна его сторона лежала на хорде, а концы противоположной стороны — на дуге.

35. Вписать квадрат в данный треугольник так, чтобы одна его сторона лежала на стороне треугольника, а вершины противолежащих углов — на двух других сторонах треугольника.

36. В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислить сторону квадрата.

37. В данный треугольник вписать прямоугольник, у которого стороны относились бы, как т : п.

38. В треугольник, основание которого равно 48 см, а высота 16 см, вписан прямоугольник с отношением сторон 5:9, причём бoльшая сторона лежит на основании треугольника. Определить стороны прямоугольника.

39. В треугольник, у которого основание равно 30 см, а высота 10 см, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Определить гипотенузу.

40. В треугольник вписан полукруг, у которого полуокружность касается основания, а диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию. Определить радиус, если основание треугольника paвно а, а высота h.

41. В треугольнике ABC угол С—прямой; АС = 6 см, ВС = 12 см. На стороне ВС взята точка D так, что /  ADC  = 90° — /  В .На какие части точка D делит сторону ВС?

42. В треугольнике ABC даны две стороны: ВС=16 м и АС=12 м и сумма соответствующих высот AD + BE = 14 м. Определить AD и ВE.

43. Стороны параллелограмма равны 2 м  и 16 дм; расстояние между большими сторонами равно 8 дм. Определить расстояние между меньшими сторонами.

44. Периметр параллелограмма равен 48 см, а его высоты относятся, как 5:7. Определить соответствующие им стороны.

45. Определить длину хорды, если  дан радиус r и расстояние а от одного конца хорды до касательной, проведённой через другой её конец.

46. Две окружности внешне касаются. Прямая, проведённая через точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна равна 13/5 другой. Определить, радиусы, если расстояние между центрами равно 36 см.

47. ABC—данный  треугольник; CD—биссектриса угла С; точка Е лежит на ВС, причём DE || AC. Определить DE, если ВС = а и АС = b.

48. ABC—данный треугольник; BD — высота; АЕ—биссектриса угла A; EF—перпендикуляр на АС. Определить EF, если BD = 30 см и АВ : АС= 7 : 8.

49. В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Определить сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны l и т.

50. Четыре параллели, между которыми последовательные расстояния относятся, считая сверху, как 2:3:4, пересечены двумя сходящимися над ними прямыми. Из полученных четырёх параллельных отрезков крайние равны 60 дм  и  96 дм. Определить средние отрезки.

51. В треугольнике ABC проведён от ВА к ВС отрезок DE, параллельный АС. 
Дано: AB =24 м, ВС =32 м, АС = 28 м  и  AD + CE =16 м.  Требуется  определить  DE.

52. AD и BE—высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке О. 
Дано: AD + BE =35 дм, АО = 9 дм  и  ВО=12 дм. Требуется определить ОЕ и OD.

53. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100 дм, а основание 60 дм, вписан круг.Определить расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.

54. Радиус сектора равен r, а хорда его дуги равна а. Определить радиус круга, вписанного в этот сектор.

Подобные многоугольники.

55. Стороны одного пятиугольника равны 35 см, 14 см, 28 см, 21 ели 42 см; меньшая сторона подобного ему пятиугольника равна 12 см. Определить остальные стороны его.

56. Стороны одного четырёхугольника относятся между собой, как. 1 : 1/2  : 2/3  : 2; периметр подобного ему четырёхугольника равен 75 м. Определить стороны второго четырёхугольника.

57. Стороны одного четырёхугольника равны 10 дм, 15 дм, 20 дм и 25 дм; в подобном ему четырёхугольнике сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 28 дм. Определить стороны второго четырёхугольника.

58. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 м 14 м, а разность их периметров равна 60 м. Определить периметры.

59. Завод, изготовляющий цементные плиты для пола, установил у себя нормальную форму (стандарт) для прямоугольных плит такую, чтобы половина BCFE плиты была подобна целой плите ABCD. Найти отношение сторон таких плит (черт. 31).

 

60. В параллелограмме ABCD сторона АВ = а и ВС = b. Прямая EF отсекает параллелограмм ABEF, подобный ABCD. Определить отрезок BE.

§ 10. Числовая зависимость между линейными элементами 
треугольников и некоторых четырёхугольников.

 

В прямоугольном треугольнике обозначают: а и b — катеты; с — гипотенуза; 
ас и bс—проекции катетов а и b на гипотенузу; h — высота из вершины прямого угла. Предполагается, что отрезки измерены одной и той же единицей.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1. Вычислить гипотенузу, если даны оба катета: 1) 12 см и 35 см; 2) 56 см и 33 см; 
3) 4 м и 9 дм; 4) 60 см и 91 см;   5) 21 и 31/4; 6)  3/2 и 7/16;  7) 16,8 и 2,6; 8) 5 и 6.

В задаче 2 и во многих других случаях выгодно при вычислении разность квадратов заменять произведением суммы на разность

2. Вычислить второй катет, если даны гипотенуза и первый катет:

1) 289 и 240; 2) 269 и 69; 3) 145 и 143; 4) 42,5 и 6,5; 5) 17 и 152/5; 6) 10 и 7.

3. По двум данным элементам прямоугольного треугольника вычислить остальные четыре:

1) a = 15, b = 20;    2) a = 24, b = 7;    3) a = 4, b = 5; 
4) a = 100, с = 125;    5) b = 65, с = 169;    6) а = 600, с = 625; 
7) a = 6,  ас = 3,6;      8) b = 7, bс= 1,96;
9) с = 29, ас= 15 6/29 ;    10) с = 3, bс = 2;
11) ас= l 1/2, bс = 2 2/3;    12) ас = 2, bс= 18; 
13) а = 136, h = 120;    14) b = 9, h = 8  32/41? .

4. По данной сумме двух отрезков и среднему пропорциональному этих отрезков построить отрезки.

5. По данной разности двух отрезков и среднему пропорциональному этих отрезков построить отрезки.

6. Доказать, что в прямоугольном треугольнике ab = ch.

7. Катеты относятся, как 5:6, а гипотенуза равна 122 см. Найти отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.

8. Катеты относятся, как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 м больше другого. Определить гипотенузу.

9. Катеты относятся, как 3:7, а высота, проведённая на гипотенузу, равна 42 см. Определить отрезки гипотенузы.

10. Доказать, что диаметр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, есть средняя пропорциональная между параллельными сторонами трапеции.

11. Доказать, что отношение квадратов катетов равно отношению их проекций на гипотенузу.

12. 1) Построить два отрезка, квадраты которых относятся, как т : п.

2) Построить два отрезка, которые относились бы, как квадраты двух данных отрезков.

Теорема Пифагора.

13. Узнать, какими тремя последовательными целыми числами могут выражаться стороны прямоугольного треугольника.

14. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый жёлоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы жёлоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землёй. Определить длину жёлоба.

15. 1) Точка внутри прямого угла удалена от его сторон на расстоянии а и b. Найти её расстояние от вершины.

2) Стороны прямоугольника равны 60 см  и  91 см. Чему равна его диагональ?

16. Требуется выфрезовать квадратную головку со стороной 32 мм. Чему должен быть равен наименьший диаметр круглого железа, годного для этой цели?

17. 1) Сторона квадрата равна а. Чему равна его диагональ?

2) Определить сторону квадрата, если она меньше диагонали на 2 см.

18. Диаметр бревна 12 см. Можно ли из этого бревна вытесать квадратный брус со стороной 10 см?

19. 1) Стороны прямоугольника равны а и b. Определить радиус описанного круга.

2) В круг вписан прямоугольник, стороны которого относятся, как 8:15. Определить эти стороны, если радиус круга равен 34 см.

20. 1) Катеты прямоугольного треугольника равны 8 дм и 18 см. Определить радиус описанного круга.

2) Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. Определить медиану гипотенузы.

21. 1) В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 см, а основание 16 см. Определить высоту.

2) Определить стороны равнобедренного треугольника, если его высота равна 35 см, а основание относится к боковой стороне, как 48:25.

3) В равнобедренном треугольнике основание равно 4 см, а угол при нём равен 45 . Определить боковую сторону.

22. Стропильная ферма (черт. 32) имеет ноги АВ и СВ по 9 м и пролёт АС в 15 м. Определить высоту фермы BD.

 

23. 1) Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на части, равные 21/7 м   и  2 6/7 м. Определить катеты.

2) Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла проведены высота и биссектриса. На какие отрезки разделилась гипотенуза?

24. 1) В равностороннем треугольнике определить высоту по данной стороне а.

2) В равностороннем треугольнике определить сторону по данной высоте h.

3) В равностороннем треугольнике высота меньше стороны на т. Определить сторону.

4) В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, а больший катет равен 6 см. Определить две другие стороны этого треугольника.

25. 1) Боковые стороны треугольника равны: а = 25 см и b = 30 см, а высота hс = 24 см. Определить основание с.

2) В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на части в 20 см и 21 см. Определить бoльшую боковую сторону.

3) Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определить длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 cм и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся, как 3:10.

26. 1) Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Определить сторону.

2) Определить диагонали ромба, если они относятся, как 3:4, а периметр равен 1 м.

27. 1) В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Определить высоту трапеции.

2) В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 41 см, высота равна 4 дм и средняя линия 45 см. Определить основание.

28. Параллельно прямой дороге, на расстоянии 500 м от неё, расположена цепь стрелков; расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули равна 2,8 км. Какой участок дороги находится под обстрелом этой цепи?

29. На чертеже 33 изображена заклёпка ОСТ 302 (ОСТ —общесоюзный стандарт) с потайной головкой. Угол α  = 60°. 


Вычислить:

1) D, если d = 16,5 мм и h = 7,5 мм;

2) d, если D = 30 мм и h = 9,5 мм;

3) h, если D = 35 мм и d = 22 мм.

Написать формулу, связывающую между собой D, d, h.

30. 1) В треугольнике ABC проведена высота AD. 
Доказать, что AB2—AC2 = BD2 — CD2

2) Если М—некоторая точка высоты AD треугольника ABC, 
то АВ2 — AС2 =  ВM2 — СМ2. Доказать.

31. 1) Доказать, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна  разности  квадратов  оснований.

2) В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна наклонной боковой стороне. Определить бoльшую диагональ, если наклонная боковая сторона равна а, а меньшее основание равно b.

32. Из листа железа требуется выштамповать круглые шайбы, диаметром в 28 мм. Найти расстояние между прямыми, на которых следует расположить центры шайб (черт. 34).

 

33. 1) Радиус круга равен 89 дм, хорда 16 м. Определить её расстояние от центра.

2) О—центр; АСВ—хорда; OCD—радиус, перпендикулярный к ней, ОС=9 см и 
CD = 32 см. Определить хорду.

3) Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 см  и 15 см, а общая хорда равна 24 см. Определить расстояние между центрами.

4) АВ и CD—две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра О окружности радиуса R= 15 см. Хорда АВ= 18 см, хорда CD = 24 см. Определить расстояние между хордами.

5) Две параллельные хорды АВ и CD расположены по одну сторону от центра О окружности радиуса R = 30 см. Хорда АВ = 48 см, хорда CD = 36 см. Определить расстояние между хордами.

34. Чтобы измерить диаметр большого шкива, установили штангенциркуль так, как показано на чертеже 35.

 

Длина ножек штангенциркуля s = 25 мм, расстояние между концами ножек l =  200 мм.

1) определить длину диаметра D;

2) вывести формулу, выражающую зависимость D от s и l.

35. В сегменте хорда равна а, а высота h. Определить радиус круга.

36. Радиус круга равен 25 см; две параллельные хорды равны 14 см и 40 см. Определить расстояние между ними.

37. Расстояния от одного конца диаметра до концов параллельной ему хорды равны 13 см и 84 см. Определить радиус круга.

38. 1) К окружности радиуса, равного 36 см, проведена касательная из точки, удалённой от центра на 85 см. Определить длину касательной.

2) Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11 см, а сумма касательных равна 120 см. Определить расстояние от центра до исходной точки касательных.

3) К окружности радиуса, равного 7 см, проведены две касательные из одной точки, удалённой от центра на 25 см. Определить расстояние между точками касания.

39. Два круга радиусов R и r внешне касаются. Из центра одного круга проведена касательная к другому кругу, а из полученной точки касания проведена касательная к первому кругу. Определить длину последней касательной.

40. 1) Два круга касаются извне. Определить длину их общей внешней касательной (между точками касания), если радиусы равны 16 см и 25 см.

2) Радиусы двух кругов равны 27 см и 13 см, а расстояние между центрами равно 
50 см. Определить длину их общих касательных.

41. Касательная и секущая, проведённые из общей точки к одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12 м, а внутренняя часть секущей равна 10 м. Определить радиус окружности.

42. АВ и CD—параллельные прямые. АС—секущая, Е и F— точки пересечения прямых АВ и CD с биссектрисами углов С и А. Дано: AF = 96 см и СЕ =110 см. Требуется определить АС.

43. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABC основание АС =32 м, а боковая сторона 20 м. Из вершины В проведён перпендикуляр к боковой стороне до пересечения с основанием. На какие части он делит основание?

44. Катет АС= 15 см; катет СB = 8 см. Из центра С радиусом СВ описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD, которую и требуется определить.

45. Дуга, описанная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника радиусом, равным меньшему катету, делит гипотенузу на отрезки в 98 см и 527 см (начиная от меньшего катета). Определить катеты.

46. АВ—диаметр круга; ВС—касательная; D—точка пересечения прямой АС с окружностью. Дано: AD = 32 см и DC = 18 см. Требуется определить радиус.

47. АВ—диаметр; ВС и CD А — касательная и секущая. Определить отношение 
CD : DA, если ВС равна радиусу.

Биссектриса в прямоугольном треугольнике.

48. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 7:9. В каком отношении (считая части в том же порядке) делит её высота?

49. Определить катеты, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части в 
15 см и 20 см.

50. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет равен а. На какие части делит его биссектриса противолежащего угла?

51. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки 
т и п (т > п). Определить другой катет и гипотенузу.

52. В прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 15 дм и 2 м, проведены: высота из вершины прямого угла и биссектрисы обоих углов, образуемых высотой с катетами. Определить отрезок гипотенузы, заключённый между биссектрисами.

53. В прямоугольном треугольнике ABC катет ВС = 6 см и гипотенуза АВ =10 см. Проведены биссектрисы угла ABC и угла с ним смежного, пересекающие катет АС и его продолжение в точках D и Е. Определить длину DE.

54. В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона АВ = 10 м и основание 
АС =12 м. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке D. Требуется определить BD.

55. 1) В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.

2) В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 17:15. Основание равно 60 см. Найти радиус этого круга.

Высота и стороны в прямоугольном треугольнике, ромбе и трапеции.

56. Из точки В проведены к данной прямой перпендикуляр ВС и наклонная ВА. На АС взята точка D, и прямая BD продолжена до пересечения в точке Е с прямой АЕ, перпендикулярной к АС. Определить АЕ, если ВА = 53 дм, AD = 8 дм и DC = 20 дм.

57. 1) В равнобедренном треугольнике основание равно 80 дм, а высота 20 дм. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.

2) В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 3 дм, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 4 дм. Определить стороны этого треугольника.

3) Диагонали ромба равны 14 дм. и 48 дм. Определить его высоту.

58. 1) Гипотенуза АВ = 34 см; катет ВС =16см. Определить длину перпендикуляра, восставленного к гипотенузе из её середины до пересечения с катетом АС.

2) Радиус круга равен r. Определить длину хорды, проведённой из конца данного диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса.

59. В прямоугольном треугольнике ABC катет AС= 16 дм и катет BC=12 дм. Из центра В радиусом ВС описана окружность и к ней проведена касательная, параллельная гипотенузе (причём касательная и треугольник лежат по разные стороны гипотенузы). Катет ВС продолжен до пересечения с проведённой касательной. Определить, на сколько продолжен катет.

60. Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 
156 дм, а расстояние между точками касания равно 120 дм. Определить радиус круга.

61. В прямоугольной трапеции основания равны 17 дм и 25 дм, а бoльшая боковая сторона равна 10 дм. Из середины этой стороны проведён перпендикуляр к ней до встречи с продолжением другой боковой стороны. Определить длину этого перпендикуляра.

Смешанные задачи на прямоугольный треугольник.

62. АС и СВ — катеты; CD — высота; DE || BC. Определить отношение АЕ : ЕС, если AС : СB = 4 : 5.

63. АС и СВ — катеты; CD — высота; DE_|_AC и DF_|_CB. Определить DE и DF,  если AС=75 дм и ВС=100 дм.

64. В двух равнобедренных треугольниках боковые стороны имеют одинаковую длину, а сумма углов при вершинах равна 180°. Основания относятся, как 9:40, а длина боковой стороны равна 41 дм. Определить основания.

65. 1) В треугольнике основание равно 60 м, высота 12 м и медиана основания  13 м. Определить боковые  стороны.

2) В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40 : 41.

66. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны: 1) 6 дм и 5 дм; 
2) 24 м и 13 м.

67. В прямоугольном треугольнике катеты равны 13 дм и 84 дм. Определить радиус вписанного круга.

68. Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно  65 дм; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63 дм, длина их общей внутренней касательной равна 25 дм. Опоедeлить радиус окружностей.

69. Длины двух параллельных хорд равны 40 дм и 48 дм, расстояние между ними равно 22 дм. Определить радиус круга.

70. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, основания равны 36 см и 1 м. Определить радиус круга.

71. Около круга, радиус которого равен 12 см, описана равнобедренная трапеция с боковой стороной в 25 см. Определить основания этой трапеции.

72. Около круга радиуса r описана равнобедренная трапеция, у которой параллельные стороны относятся, как  т : n . Определить стороны этой трапеции.

73. АВ и АС—касательные к одному кругу с центром О, M—точка пересечения прямой АО с окружностью; DME — отрезок касательной, проведённой через М между АВ и АС. Определить длину DE, если радиус круга равен 15 дм, а расстояние AО=39 дм.

74. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 дм и 20 дм. Определить расстояние от центра вписанного круга до высоты, проведённой на гипотенузу.

75. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла опущен перпендикуляр на гипотенузу, и на нём, как на диаметре, описана окружность, которая на катетах СА и СВ даёт внутренние отрезки т и п. Определить катеты (т =12; n = 18).

76. В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 дм и 100 дм. На отрезках гипотенузы, образуемых высотой, построены полукруги по одну сторону с данным треугольником. Определить отрезки катетов, заключённые внутри этих полукругов.

77. Если два  круга имеют внешнее касание, то их общая внешняя касательная есть средняя пропорциональная между их диаметрами. Доказать.

78. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна к основаниям AD и ВС; сумма острых углов А и С  равна 90°. Основание AD = a и ВС = b. Определить боковые стороны   АВ и CD.

Косоугольный треугольник.

79. На чертеже 36 показан план помещения, которое желают разгородить по линии АС. Ввиду препятствий, встречающихся вдоль прямой АС, вместо неё измерены: 
AB=50 м, ВС = 35 м и / ABC = 60°. Вычислить по этим данным длину АС.

 

80. На чертеже 37 изображён кран, у которого стойка а = 10 м и плечо b = 13 м. Угол между а и b равен 120°. Определить длину тяги с.

81. В треугольнике определить вторую боковую сторону, если следующими числами соответственно выражаются первая боковая сторона, основание и проекция второй боковой на основание: 1) 6; 5; 3,8;    2) 2; 3; 2;    3) 12; 8; 11;   4) 2; 2; 3.

82. Определить вид треугольника (относительно углов), если даны три стороны или отношения их: 1) 2; 3; 4;   2) 3; 4; 5;   3) 4; 5; 6;   4) 10; 15; 18;   5) 68; 119; 170.

83. В треугольнике ABC пусть будут: b — основание, а и с —боковые стороны,  
р и q — их проекции на основание, h —высота. Определить р, q и h, если даны три стороны:

1) а =13,  b =14,   с =15;  2) а = 37,  b =30,   с =13;

3) а = 25,  b =12,  с = 17;  4) а = 2,    b = 4,    с = 3.

84. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 60° и соответственно равны: 1) 5 см  и 8 см; 2) 8 см и 15 см; 3) 63 см и 80 см.

85. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 120° и соответственно равны: 1) 3 см и 5 см; 2) 7 см и 8 см; 3) 11 см и 24 см.

86. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 45° и соответственно равны: 1) 2 и 3; 2) √8 и 5;. 3) √18 и 7.

87. Определить стороны треугольника, зная, что средняя по величине сторона отличается от каждой из двух других на единицу и что проекция большей стороны на среднюю равна 9 единицам.

88. Сторона треугольника равна 21 см, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся, как 3:8. Определить эти стороны.

89. В треугольнике боковая сторона равна 16 м и образует с основанием угол в 60°; другая боковая сторона равна 14 м. Определить основание.

90. Основание треугольника равно 13 см; угол при вершине равен.60°; сумма боковых сторон равна 22 см. Определить боковые стороны и высоту.

91. В треугольнике основание равно 12 см; один из углов при нём равен 120°; сторона против этого угла равна 28 см. Определить третью сторону.

92. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ продолжена на длину BD, равную ВС, и точка D соединена с С. Определить стороны треугольника ADC, если катет ВС = а.

93. Определить хорду половинной дуги, если хорда целой дуги равна а, радиус равен   r (r =25; а = 48).

94. 1) В прямоугольном треугольнике ABC катет АС = 15 см и катет ВС = 20 см. На гипотенузе АВ отложена часть AD длиной в 4 см, и точка D соединена с С. Определить длину CD.

2) Треугольник ABC—прямоугольный при С. На продолжении гипотенузы АВ отложен отрезок BD, равный катету ВС, и точка D соединена с С. Определить длину CD, если ВС= 7 см и AС = 24 см.

95. В треугольнике ABC проведены высоты BD и СЕ, и точки D и Е соединены. Найти отношение площади /\  ADE к площади /\  ABC: 1) если /  А = 45°; 2) если /   А = 30°.

96. В треугольнике ABC дана точка D на стороне АВ; определить длину CD, если известно, что а = 37, b = 15, с = 44 и AD= 14.

97. В тупоугольном треугольнике большая сторона равняется 16 см, а высоты, проведённые из обоих её концов, отстоят от вершины тупого угла на 2 см и на 3 см. Определить две меньшие стороны треугольника.

98. Стороны равнобедренного треугольника суть: АВ = BC=50 см и AС= 60 см. Проведены высоты АЕ и CD, и точки D и Е соединены. Определить стороны треугольника DBE.

99. В треугольнике ABC из конца С стороны АС проведён перпендикуляр к ней до пересечения в точке D с продолжением стороны АВ. Определить BD и CD, если АВ = 45, ВС = 39 и AС = 42.

100. В треугольнике ABC даны стороны: АВ= 15, АС = 14 и BC = 13. Биссектриса угла В продолжена за его вершину до пересечения в точке Е с перпендикуляром к АС, проведённым из точки С. Определить длину СЕ.

101. Данного круга касаются два равных меньших круга: один изнутри, другой извне, причём дуга между точками касания содержит 60°. Радиусы меньших кругов равны r, радиус большего круга равен R. Определить расстояние между центрами меньших кругов.

Параллелограмм и трапеция.

102. 1) Стороны параллелограмма равны 23 см и 11 см, а диагонали относятся, как 2:3. Определить диагонали.

2) Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см, а стороны относятся, как 2:3. Определить стороны.

103. 1) Диагонали параллелограмма равны 12 см и 14 см, а разность сторон равна 4 см. Определить стороны параллелограмма.

2) Определить стороны и диагонали параллелограмма, если бoльшая сторона равна меньшей диагонали, разность сторон равна 3 см и разность диагоналей равна 2 см.

104. 1) Стороны треугольника: 16, 18 и 26. Вычислить медиану большей стороны.

2) Две стороны треугольника 7 и 11; медиана к третьей стороне равна 6. Определить третью сторону.

3) Стороны треугольника а, b и с. Определить медианы.

105. Определить высоту параллелограмма, у которого основание равно 51 см, а диагонали 40 см и 74 см.

106. В равнобедренной трапеции определить длину диагоналей: 
1) если основания равны 4 м и 6 м, а боковая сторона равна 5 м; 
2) если одна сторона равна 5 см, а другие три равны каждая 4 см.

107. Определить высоту и диагонали трапеции, если основания а и с и боковые стороны b и d выражаются следующими числами:

1) а = 25, b =13,  c =11,   d =15; 
2) а = 28, b = 25, с = 16, d = 17; 
3.) а = 6,   b = 3,   с = 1,   d = 4.

108. В треугольник вписан параллелограмм так, что одна его сторона лежит на основании треугольника, а диагонали соответственно параллельны боковым сторонам треугольника. Основание треугольника равно 45 см, а боковые стороны 39 см и 48 см. Определить стороны параллелограмма.

109. Доказать, что в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату боковой стороны, сложенному с произведением оснований.

110. Доказать, что во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

111. Доказать, что во всяком четырёхугольнике сумма квадратов диагоналей вдвое более суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

112. Определить острый угол ромба, в котором сторона есть средняя пропорциональная между диагоналями.

 

Ответы к задачам по геометрии Рыбкин from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (25.07.2016)
Просмотров: | Теги: Рыбкин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar