Тема №6677 Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 3) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 11. Пропорциональные отрезки в круге.

 

1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38); высота фермы MK= h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта R = 8,5 м. Вычислить длину АВ пролёта моста.

 

2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждую на одинаковом расстоянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.

3. 1) Из точки окружности проведён перпендикуляр на диаметр. Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 12 см и3 см; 2) 16см и 9 см, 3)2 м и 5 дм.

2) Из точки диаметра проведён перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 см, а проведённый перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 см.

4. Диаметр разделён на отрезки: АС= 8 дм и СВ=5 м, и из точки С проведён к нему перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD равняется: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.

5. АСВ—полуокружность; CD — перпендикуляр на диаметр АВ. Требуется:

1) определить DB, если AD = 25 и CD =10;

2) определить АВ, если AD: DB= 4 : 9 и CD=30;

3) определить  AD,  если CD=3AD,  а радиус равен r;

4) определить AD, если AВ=50 и CD= 15.

6. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на радиус, равный 34 см, делит его в отношении 8:9 (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра.

2) Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если ОA = 25 см и AD=10 см.

3) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм; хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.

7. С помощью сравнения отрезков доказать, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше их среднего геометрического.

8. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками 3 см и 5 см.

9. Построить отрезок, равный: √15; √10; √6; √3.

10. ADB—диаметр; АС—хорда; CD—перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если АВ=2 м и AD = 0,5 м; 2) если AD = 4 см и DB = 5 см; 3) если AB=20 м и DB= 15 м.

11. АВ—диаметр; АС—хорда; AD—её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить AD, если АB=18 см и АС=12 см;

2) определить радиус, если AС=12 м и AD=4 м;

3) определить DB, если AС=24 см и DB = 7/9 AD.

12. АВ—диаметр; АС—хорда; AD—её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить АС, если АВ = 35 см и AC=5AD;

2) определить АС, если радиус равен r и AC=DB.

13. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из отрезков другой хорды равен 28 см. Определить второй её отрезок.

14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 38); длина моста АВ= 6 м, высота А =1,2 м. Определить радиус дуги (OM= R).

 

15. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М так, что МА =7 см, MB=21 см,
МС = 3 см и MD = 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?

16. Длина маятника MA = l = 1 м (черт. 39), высота подъёма его, при отклонении на угол α, CA = h= 10 см. Найти расстояние ВС точки В от МА  (ВС = х).

 

17. Для перевода железнодорожного пути шириной b = 1,524 м в месте АВ (черт.  40) сделано закругление; при    этом    оказалось, ; что   BС= а = 42,4   м. Определить   радиус  закругления OA = R.

 

18. Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличился  в  2 1/2  раза. Как изменился отрезок MB?

19. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, а другая — пополам. Определить длину второй хорды.

2) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая— в отношении 3:8. Определить длину второй хорды.

20. Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны 
12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.

21.  Секущая   ABC   повёрнута   около внешней   точки  А   так,  что  внешний   её отрезок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?

22. Пусть ADB и AЕС—две прямые, пересекающие окружность: первая —в точках D и В, вторая —в точках E и С. Требуется:

1) определить АЕ, если AD = 5 см, DB=15 см и АС=25 см;

2)определитьBD, если АВ = 24 м, АС= 16 м и ЕС=10м;

3) определить АВ и АС, если АВ+АС=50 м, a AD : AE = 3:7.

23. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удалённой от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.

24. МАВ и MCD—две секущие к одной окружности. Требуется:

1) определить CD, если МВ= 1 м, MD = 15 дм и CD = MA;

2) определить MD, если MA =18 см, АВ=12 см и MC:CD = 5:7;

3) определить АВ, если АВ= МС,  МА = 20 и CD= 11.

25. Две хорды продолжены до взаимного пересечения. Определить длину полученных продолжений, если хорды равны а и b, а их продолжения относятся, как т : п.

26. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.

27. Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.

28. Секущая больше своего внешнего отрезка в 21/4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?

29. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.

30. На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: AВ=6 см и ВС =8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, касается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка D первой (считая от A) или второй точкой пересечения.

31. Пусть будет: АВ—касательная и ACD—секущая той же окружности. Требуется:

1) определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см;

2) определить AD, если  AC:CD = 4:5 и АВ=12 см;

3) определить АВ, если AB = CD и АС = а.

32. 1) Как далеко видно с воздушного шара (черт. 41), поднявшегося на высоту 4 км над землёй (радиус земли равен = 6370 км)?

 

2) Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5 600 м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?

3) М — наблюдательный пункт высотой А метров над землёй (черт. 42); радиус земли R, МТ= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что d = √2Rh + h2  

Замечание. Так как h2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то можно пользоваться приближённой формулой d ≈  √2Rh .

33. 1) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.

2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 см и 8 см, а секущая удалена от центра на 
12 см.

34. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а, а её внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.

36. Из одной точки проведены к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить длину секущей.

36. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.

37. 1) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

38. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности. К отрезку АС в точке В проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать, что CD = СК.

39. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Радиус есть средняя пропорциональная между отрезками третьей касательной. Доказать.

40. Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 дм одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через точку М проведена окружность, касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.

41. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.

42. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника: 1) если основание равно 16 см, а высота 4 см; 2) если боковая сторона равна 12 дм, а высота 9 дм; 3) если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.

43. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.

44. Радиус равен r, хорда данной дуги равна а. Определить хорду удвоенной дуги.

45. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В—хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.

46. Точка А удалена от прямой MN на расстояние с. Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания  и данной точкой А.

§ 12. Правильные многоугольники .

 

Обозначения: 
п—число сторон правильного многоугольника; 
аn —сторона правильного вписанного многоугольника; 
bn — сторона правильного описанного многоугольника; 
kn—апофема правильного вписанного многоугольника; 
R—радиус описанной окружности;
r — радиус вписанной окружности.

1. 1) Вычислить центральный угол правильных 24-угольника и 16-угольника.

2) Какой правильный многоугольник имеет центральный угол, равный 30°? 12°?

2. Центральный угол правильного многоугольника и угол при вершине в сумме составляют 180°. Доказать.

3. Определить величину угла правильного n-угольника (n = 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 25).

4. 1) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135°?   150°?

2) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внешних углов которого равен 36°? 24°?

5. Конец валика диаметром в 4 см опилен под квадрат. Определить наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.

6. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трёхгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр в 2 см?

7. Вычислить, какой размер отверстия ω должен иметь ключ для правильной шестигранной гайки, если ширина грани гайки а  = 2,5 см. Величина зазора между гранями гайки и ключа равна 0,5 мм (черт. 43).

 

8. 1) Вписать в окружность правильный 12-угольник. 15-угольник.

2) Описать около круга правильный 8-угольник, 10-угольник.

3) По данной стороне а построить правильный 8-угольник, 12-угольник.

9. 1) Хорда, перпендикулярная к радиусу в его середине, равна стороне правильного вписанного треугольника. Доказать.

2) Показать, что k6 = 0,5a3.

10. 1) В правильном треугольнике апофема равна 1/3 высоты и 1/2 радиуса описанного круга. Доказать.

2) Разность между радиусами окружностей, описанной около правильного треугольника и вписанной в него, равна т. Определить сторону треугольника.

11. 1) Сторона правильного многоугольника равна а; радиус круга, описанного около этого многоугольника, равен R. Определить радиус вписанного круга.

2) Сторона правильного многоугольника равна а; радиус вписанного в него круга равен r. Определить радиус описанного круга.

3) R—радиус описанного около многоугольника круга. r — радиус вписанного круга. Определить сторону этого многоугольника.

12. В окружность радиуса R = 4 см вписан правильный   6-угольник. Найти проекции его сторон на каждую диагональ.

13. Доказать, что: l) 

14.Доказать,что:1)

15. По данному аn = а определить R, если п равно; 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 12.

16. По данному а определить: 1) k3; 2) k4; 3) k6.

' 17. По данному kn= k определить R, если п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8.

18. По данному R определить:  1) b3; 2) b4; 3) b6.

19. По данному радиусу круга R и данной стороне аn правильного вписанного n-угольника определить сторону bn правильного описанного  n-угольника.

20. В круг радиуса R=50 см вписать правильный 7-угольник, воспользовавшись тем, что сторона правильного вписанного 7-угольника равна приблизительно половине стороны правильного вписанного треугольника.

21. Определить длину диагоналей правильного 8-угольника:  1) по данному радиусу R; 2) по данной стороне а.

22. Определить длину диагоналей правильного 12-угольника: 1) по данному радиусу R; 2) по данной стороне а.

23. Построить правильный пятиугольник по диагонали.

24. Самое простое мансардное покрытие образует в вертикальном сечение половину правильного 8-угольника (черт. 44).

 

Найти ширину перекрытия BD, сторону 8-угольника и высоту мансардной комнатки ABDE. Дано: AE = 6 м.

25. В окружность вписан и около неё описаны правильные n-угольники. Найти отношение сторон этих n-угольников (n = 3; n = 6).

28. В окружность радиуса R вписан правильный n-угольник, и середины его сторон последовательно соединены. Определить сторону нового n-угольника, если n равно: 
1) 6; 2) 8.

27. 1) В правильном 8-угольнике со стороной а соединены середины четырёх сторон, взятых через одну так, что получился квадрат. Определить сторону квадрата.

2) В правильном 12-угольнике со стороной а соединены середины шести сторон, взятых через одну так, что получился правильный 6-угольник. Определить его сторону.

28. Построить правильный 8-угольник отсечением углов данного квадрата.

 

Чтобы превратить данный квадрат отсечением его углов в правильный 8-угольник, засекаем стороны (черт. 45) квадрата дугами, имеющими радиусами половину диагонали квадрата, а центрами — вершины квадрата. Доказать, что полученный 8-угольник будет правильным.

29. Путём срезывания углов превратить данный правильный треугольник со стороной а в правильный 6-угольник и определить его сторону.

30. В окружность радиуса R вписан правильный многоугольник со стороной аn. Удвоить число сторон этого многоугольника и доказать, что .

31. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна b. Найти радиус круга и сторону вписанного в окружность квадрата.

32. В окружность, радиус которой равен 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Определить радиус окружности, описанной около квадрата.

33. 1) В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписан круг, а в этот круг вписан квадрат. Определить сторону этого квадрата.

2) Около правильного треугольника со стороной а описана окружность; около этой окружности описан квадрат, а около него — окружность. Определить радиус окружности, описанной около квадрата.

34. 1) Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Определить расстояние между центрами окружностей.

2) Центры двух пересекающихся окружностей лежат по одну сторону от их общей хорды, имеющей длину а и стягивающей в одной окружности дугу в 60°, а в другой — дугу в 30°. Определить расстояние между центрами.

35. ABC—вписанный правильный треугольник; AD — треть стороны АВ; BE—треть стороны ВС. Доказать, что отрезок DE равен радиусу.

36. Каждая сторона правильного треугольника, равная а, разделена на три равные части, и соответственные точки деления (считая в одном направлении) соединены между собой, отчего получился новый треугольник. Определить радиус вписанного в него круга.

37. Вписать в данный квадрат другой с данной стороной. Всегда ли разрешима задача?

38. В ромб вписать квадрат, стороны которого параллельны диагоналям ромба.

39. Один из двух квадратов со стороной а, наложенных друг на друга, повёрнут около центра на 45°. Определить периметр образовавшейся при этом звезды.

40. 1) Диагонали правильного пятиугольника в свою очередь образуют правильный пятиугольник. Доказать.

2) Если стороны правильного пятиугольника продолжить до взаимного пересечения, то получается звёздчатый пятиугольник с равными сторонами (пентаграмма). Доказать.

41. 1) Окружность радиуса R разделена на шесть равных частей, и точки деления соединены хордами через одну. Определить сторону полученной шестиугольной звезды.

2) Окружность радиуса R разделена на восемь равных частей, и точки деления соединены хордами через одну. Определить сторону восьмиугольной звезды.

42. По данному радиусу R определить хорду дуги, которая содержит: 1) 135°; 2) 150°.

43. Определить отношение между сторонами треугольника, если его углы относятся, как 1:2:3.

44. Середина полуокружности соединена с концами диаметра, и, через середины соединяющих отрезков проведена хорда. Каждый из боковых отрезков хорды равен с. Определить радиус круга.

45. В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник, у которого основание в 4 раза больше высоты. Определить высоту прямоугольника.

46. n равных кругов, касающихся между собой, касаются данного круга,  радиус которого равен R. Определить радиус этих кругов, если число их п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.

47. На каждой из двух половин данного отрезка построены, как на- диаметрах, два круга, и из каждого конца этого отрезка проведены касательные к кругу, построенному у другого конца. Доказать, что отрезок, соединяющий точки пересечения касательных, равен стороне квадрата, вписанного в один из построенных кругов.

§ 13. Площади прямолинейных фигур .

Квадрат.

1. Вычислить площадь сечения дорожной трубы; изображённой на чертеже 46 (размеры даны в метрах).

 

2. Железная проволока с сечением в 1 мм2 разрывается от груза в 40 кг. Какой нагрузкой разорвётся железный стержень, поперечное сечение которого — квадрат со стороной в 24 мм ?

3. Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м. Определить сторону квадратного участка земли, равновеликого обоим.

4. 1) Определить площадь квадрата   по его  диагонали  l.

2) Определить площадь квадрата, вписанного в круг радиуса R.

3) Во сколько раз площадь описанного квадрата больше площади вписанного (в тот же круг)?

б) 1) Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза? уменьшить в 1,5 раза?

2) Как надо изменить каждую сторону квадрата, чтобы площадь его увеличилась в 4 раза? уменьшилась в 25 раз?

6. Площадь плана квадратного участка земли (масштаб 1:10 000) равна 552,25 см2. Найти площадь участка в натуре.

Прямоугольник.

7. Танк лёгкого типа весит 6 880 кг, ширина   его   гусениц   0,35   м,   длина части гусениц, соприкасающихся с грунтом, 2,05 м (с каждой стороны). Какой вес приходится на 1 дм2 рабочей площади гусениц?

8. Заводское здание прямоугольной формы имеет длину в 82,5 м и ширину 26,5 м. Определить в арах площадь застроенного участка земли.

9. Прямоугольный участок земли содержит 400 га; длина участка 8 км; найти длину границы  участка (периметр).

10. 1) Определить стороны прямоугольника, если они относятся, как 4:9, а площадь равна 144 м2.

2) Определить стороны прямоугольника, если его периметр равен 74 дм, а площадь 
3 м2.

11. Стороны прямоугольника равны 72м и 8 м. Определить сторону равновеликого ему квадрата.

12. Вычислить площадь поперечного сечения равнобокого углового железа (черт. 47, размеры даны в миллиметрах).

 

13. Вычислить площадь поперечного сечения трубы на чертеже 48 (размеры даны в миллиметрах).

14. Диагональ прямоугольника равна 305 см, а площадь равна 37 128 см2. Определить периметр этого прямоугольника.

Параллелограмм.

15. Через поле, имеющее форму прямоугольника   ABCD   (черт.   49),   должна пройти железная дорога. Известно, что АВ = 125 м,   ВС = 72,5 м,  AL = KC = 114,6 м. Вычислить площадь отчуждаемой полосы BLDK.

 

16. Площадь параллелограмма содержит 480 см2; его периметр равен 112 см; расстояние между большими сторонами равно 12 см. Определить расстояние между меньшими сторонами.

17. Определить площадь параллелограмма по двум высотам его h1, и h2, и 
периметру 2р.

18. Определить площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними: 
1) а, b, 30°; 2) а, b, 45°; 3) а, b, 60°.

19. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найти острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

20. Начертить квадрат и ромб, периметры которых одинаковы.  Площадь которой из этих фигур больше? почему?

21. Определить площадь ромба, если его высота равна 12 см, а меньшая диагональ 
13 см.

22. В параллелограмме ABCD сторона AB = 37 см, а перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей на сторону AD, делит её на отрезки: АЕ = 26 см и ED = 14 см. Определить площадь параллелограмма.

23. 1) В параллелограмме ABCD (черт. 50) проведена диагональ АС, и на ней взята произвольная точка М. Через М проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма: EF||BC и GH||CD. Доказать, что образовавшиеся при этом параллелограммы DHMF и EBGM, через которые диагональ не проходит, равновелики.

 

2) Параллелограмм имеет стороны а = 8 см и b = 4 см. Превратить его в равновеликий ему параллелограмм с таким же углом и с основанием b = 6 см.

24. В данном квадрате каждая вершина соединена с серединой стороны, лежащей между двумя следующими вершинами (считая вершины в одинаковом порядке). Соединительные прямые образуют своим пересечением внутренний квадрат. Доказать (вычислением), что его площадь составляет 1/5 площади данного квадрата.

25. В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны т и п. Определить площадь этого квадрата.

26. Из каждой вершины данного квадрата проведена в следующую вершину внутренняя дуга в 120°, и точки пересечения дуг соединены между собой, отчего получился внутренний квадрат.  Найти отношение площадей квадратов.

27. Из точки, взятой на гипотенузе, проведены перпендикуляры на оба катета. Определить площадь прямоугольника, образованного этими перпендикулярами, если отрезки катетов при гипотенузе равны т и п.

28. В треугольник, у которого основание равно 30 см, а высота 10 см, вписан прямоугольник с площадью в 63 см2. Определить стороны этого прямоугольника.

Треугольник.

29. Воздух давит с силой 1,03 кг на каждый квадратный сантиметр. Найти давление воздуха на треугольную площадку, основание которой равно 0,13 м,  высота 0,18 м.

30. Определить площадь треугольника, если его основание  и высота соответственно равны: 1) 32 см и 18 см; 2) 5 дм и 4 м; 3) √5 и √20.

31. 1) Построить треугольник, равновеликий треугольнику ABC, сохраняя сторону ВС, но заменяя угол АBС данным углом α .

2) Построить равнобедренный треугольник с основанием ВС, равновеликий данному треугольнику ABC.

32. 1) Разделить данный треугольник на три равновеликих треугольника прямыми, выходящими из одной вершины.

2) Данный параллелограмм разделить на четыре равновеликие  части  прямыми,  выходящими из одной вершины.

3) Данный параллелограмм разделить на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.

33. Определить площадь треугольника по сторонам а и b и углу между ними: 
1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.

34. Если две стороны треугольника равны 3 см и 8 см, то может ли его площадь быть равна: 1) 10 см2; 2) 15 см2; 3) 12 см2?

35. 1) Определить площадь прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна 313 см, а один из катетов 312 см.

2) Площадь прямоугольного треугольника равна 720 см2, а катеты относятся, как 9:40. Определить гипотенузу.

3) По данным катетам а и b определить высоту, проведённую на гипотенузу.

36. Определить площадь равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе с.

37. Определить площадь равнобедренного треугольника, если его основание и боковая сторона соответственно равны: 1) 56 см и 1 м; 2) b и с; 3) 20 см и 11 см.

38. Через точку К, данную на стороне АВ треугольника ABC, провести прямую так, чтобы она разделила площадь треугольника пополам.

39. 1) Определить площадь равностороннего треугольника по его стороне а.

2) Определить сторону равностороннего треугольника по его площади Q.

3) Определить площадь равностороннего треугольника по его высоте h.

40. 1) Определить площадь правильного треугольника, вписанного  в круг радиуса R.

2) Определить площадь правильного описанного треугольника, если радиус круга равен r

41. Определить площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки в 32 см и 18 см.

42. Определить площадь треугольника, если его высота равна 36 см, а боковые стороны 85 см и 60 см.

43. Определить катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2.

44. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а площадь равна 
48 см2. Определить основание.

45. 1) Определить площадь ромба, диагонали которого равны 72 см и 40 см.

2) Определить высоту ромба, если его диагонали равны 16 м и 12 м.

46. Определить сторону ромба, если его диагонали относятся, как т : п, а площадь равна Q.

47. Из середины основания треугольника проведены прямые, параллельные сторонам. Доказать, что площадь полученного таким образом параллелограмма равна половине площади треугольника.

48. Если какую-нибудь точку внутри параллелограмма соединить со всеми его вершинами, то сумма площадей двух противолежащих треугольников равна сумме площадей двух других. Доказать это.

49. Превратить треугольник в равновеликий ему параллелограмм.

50. Превратить данный многоугольник в равновеликий ему многоугольник, число сторон которого на одну меньше, чем у данного многоугольника.

51. Ширина полотна дороги а = 6,74 м (черт. 51), стрела  (h)  подъёма  полотна  над  насыпью должна составлять 2% ширины полотна, высота насыпи H =1,5 м и откосы наклонены к линии горизонта под углом в 45°. Вычислить площадь поперечного профиля дороги.

 

52. Определить площадь треугольника, если основание равно а, а углы при основании 30° и 45°.

53. Равные прямоугольные треугольники АСВ и ADB находятся по одну сторону общей гипотенузы АВ; при этом AD = BC=12 см и AС=ВD=16 см. Определить площадь общей части данных треугольников.

54. На сторонах равностороннего треугольника построены квадраты, и свободные вершины их соединены. Определить площадь полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна а.

55. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника.

56. Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 1,05; разность между радиусами описанного и вписанного кругов 17 дм. Определить площадь треугольника.

55. В ромбе, диагонали которого равны 150 см и 200 см, проведены из вершины тупого угла высоты и концы их соединены. Определить площадь получившегося таким образом треугольника.

58. АВ и CD—два параллельных отрезка; М—точка пересечения линий AD и ВС (соединяющих концы отрезков накрест). Отрезок АВ = 8 см, отрезок CD = 12 см, расстояние между ними равно 10 см. Определить сумму площадей треугольников АВМ и MCD.

Формула Герона.

59.   Определить  площадь  треугольника по трём данным сторонам:

1) 13; 14; 15. 2) 29; 25; 6. 3)5; 6; 9.

4) 3; 5; 7. 5) 6; 5; 2,2. 6) 5;  82/3; 121/3 .

7) 5;  4; √17. 8) 5; √58; √65. 9) √5; √10; √13.

60. 1) Определить меньшую высоту треугольника, стороны которого равны: 
25 дм; 29 дм; 36 дм.

2) Определить большую высоту треугольника со сторонами: 15; 112; 113.

61. Определить стороны треугольника: 1) если они относятся, как 26:25:3, а площадь треугольника равна 9 м2; 
2)если стороны относятся, как 9:10:17, а площадь равна 144 см2.

62. Определить площадь четырёхугольника по диагонали, равной 17 см, и сторонам: 10 см и 21 см, лежащим по одну сторону диагонали, 8 см и 15 см — по другую сторону диагонали.

63. Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 17 см и 39 см, а расстояние между центрами 44 см. Определить длину общей хорды.

64. Определить площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51 см, а диагонали равны 40 см и 74 см.

65. Определить площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 
27 см и 29 см, а медиана третьей стороны равна 26 см.

66. В треугольнике по данным двум сторонам и площади определить третью сторону. 1) а=17, b=28, S=210; 2) а = 7, b= 11, S = √1440.

67. В треугольнике ABC даны три стороны: АВ=26, ВС = 30 и АС= 28. Определить часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины В.

68. Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Определить радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон.

69. Вершины данного треугольника соединены с центром вписанного круга. Проведёнными прямыми площадь треугольника разделилась на три части: 28 м2, 60 м2 и 80 м2. Определить стороны данного треугольника.

70. В четырёхугольнике ABCD дано: АВ=26 см, ВС=30 см, CD=17 см, AD = 25 см и диагональ АС= 28 см. Определить   площадь   четырёхугольника и  диагональ BD.

Площадь трапеции.

71. 1) Основания трапеции равны 35 см и 29 см, а площадь 256 см2. Определить высоту трапеции.

2) В трапеции высота равна 8 см, а площадь 2 дм2. Определить длину средней линии.

3) Площадь трапеции равна 144 см2, основания относятся, как 4:5; высота равна 16 см. Определить основания.

72. Определить площадь поперечного сечения окопа (черт. 52). Размеры даны в метрах.

 

73.   Вычислить   площадь  поперечного сечения   реки,   данного   на чертеже 53 (площадь  „живого сечения"), по данным в таблице размерам глубины.

 

74. Чертёж 54 представляет собой план столовой в рабочем клубе; размеры даны в метрах. Определить площадь столовой.

 

75. Для изготовления костюма военной маскировки пользуются выкройкой, указанной на чертеже 55; размеры даны в сантиметрах. Вычислить площадь выкройки.

76. 1) Площадь трапеции ABCD разделена пополам прямой EF, проведённой параллельно боковой стороне АВ. Определить отрезок AF, если AD=28 см и ВС=12 см.

2) Площадь трапеции делится диагональю в отношении 3:7. В каком отношении она делится средней линией (начиная от меньшего основания)?

77. В равнобедренной трапеции основания равны 51 см и 69 см, а боковая сторона 
41 см. Определить площадь.

78. Определить площадь равнобедренной трапеции, в которой основания равны 42 см и 54 см, а угол при большем основании равен 45°.

79. В прямоугольной трапеции острый угол при основании равен 30°, сумма оснований равна т и сумма боковых сторон равна п. Определить площадь трапеции.

80. Определить площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные 13 см и 37 см.

81. В равнобедренной трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона равна 17 м и диагональ равна 39 м. Определить площадь этой трапеции.

82. 1) Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 
12 см и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны, а высота равна h.

83. Определить площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна с и образует с большим основанием угол в 45°.

84. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 см и 26 см, а диагонали перпендикулярны к боковым сторонам.

85. Определить площадь трапеции, у которой основания равны 142 см и 89 см, а диагонали 120 см и 153 см.

86. В круге радиуса R по одну сторону центра проведены две параллельные хорды, стягивающие дуги в 60° и 120°, и концы их соединены. Определить площадь полученной трапеции.

87. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, боковая сторона равна а, а острый угол при основании равен 30°. Определить площадь этой трапеции.

88. 1) Основание треугольника равно 75 см, а боковые стороны 65 см и 70 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить площадь получившейся при этом трапеции.

2) Диагонали трапеции 20 м и 15 м; высота равна 12 м. Определить площадь трапеции.

89. Основания и боковая сторона равнобедренной трапеции относятся, как 10:4:5. Площадь её равна 112 см2. Найти периметр трапеции.

Площадь многоугольника.

90. На чертеже 56 дан план участка земли в масштабе 1:10 000. На плане измерены его диагонали d1 и d2 и высота h1, h2, h3. Дано: d1 = 44 мм; d2 = 50 мм.
h1 = 7 мм; h2 = = 20,4 мм и h3 = 21,6 мм. Выразить площадь участка в гектарах.

 

91. Вычислить площадь участка земли, план которого дан на чертеже 57; размеры даны в метрах.

 

92. Определить площадь четырёхугольника, если его диагонали равны k и l и 1) взаимно перпендикулярны, 2) образуют угол в 30°.

93. На сторонах прямоугольника построены вне его равносторонние треугольники и свободные вершины их соединены. Определить площадь получившегося четырёхугольника, если стороны данного прямоугольника равны а и b.

94. На отрезке АЕ взята точка С так, что АС = а и СЕ = b. На отрезках АС и СЕ построены по одну сторону равносторонние треугольники ABC и CDE, и вершины В и D соединены. Определить площадь четырёхугольника ABDE.

95. Пусть М будет середина стороны AD в четырёхугольнике ABCD. Дано: МB _|_ АВ; МС _|_CD; AD = 50 см, АВ = 15 см и CD = 7 см. Требуется определить площадь ABCD.

96. На окружности радиуса r последовательно взяты дуги: AВ = 30°, ВС =60°, CD = 90° и DE=120° и составлен пятиугольник ABCDE. Определить площадь этого пятиугольника.

97. 1) Периметр описанного многоугольника равен 60 см, а площадь содержит 
240 см2.  Определить  радиус круга.

2) Около окружности радиуса, равного 25 см, описан многоугольник, площадь которого равна 20 дм2. Определить его периметр.

98. Определить площадь правильного треугольника, описанного около окружности радиуса r.

99. Сторона правильного шестиугольника равна 84 см; вычислить сторону равновеликого ему правильного треугольника.

100. Пол в комнате желают выстлать паркетом в форме правильного шестиугольника со стороной в 12 см. Предполагаемая к покрытию таким паркетом площадь пола имеет следующие размеры: 7,48 м в длину и 3,25 м в ширину. Определить нужное число паркетных плиток.

101. Комната длиной 5,6 м и шириной 4,5 м имеет балкон в форме половины правильного шестиугольника со стороной 1,6 м. Определить площадь пола комнаты и балкона.

102. 1) По данному радиусу R определить площадь правильного вписанного шестиугольника.

2) По данному радиусу r определить площадь правильного описанного шестиугольника.

3) Определить сторону правильного шестиугольника по его площади S.

103. По данному радиусу R определить площадь правильных вписанных восьмиугольника и двенадцатиугольника.

104. Сечение железобетонной сваи имеет вид правильного восьмиугольника. Наибольшее расстояние между противоположными вершинами равно 224 мм. Определить площадь сечения.

105. Расстояние между противоположными гранями восьмигранного железа равно 
36 мм. Вычислить площадь поперечного сечения.

106. 1) По данной площади Q правильного вписанного двенадцатиугольника определить площадь правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность.

2) По данной площади Q правильного вписанного восьмиугольника определить площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.

107. 1) Окружность радиуса R разделена на шесть равных частей, и точки деления соединены через одну. Определить площадь полученной шестиугольной звезды.

2) Окружность радиуса R разделена на восемь равных частей, и точки деления соединены через одну. Определить площадь полученной восьмиугольной звезды.

Сравнение площадей треугольников и многоугольников.

108.1) Всякая прямая, проходящая через центр симметрии параллелограмма, делит его на две равновеликие части. Доказать.

2) Провести через данную точку прямую, делящую площадь данного параллелограмма пополам.

109. Разделить данный параллелограмм на п равновеликих частей прямыми, исходящими из его верщины, если 1) п = 6; 2) п = 5.

110. Середина одной из диагоналей четырёхугольника соединена с концами другой диагонали. Доказать, что полученная ломаная делит четырёхугольник на две равновеликие части.

111. Если диагональ какого-нибудь четырёхугольника делит другую диагональ пополам, то она делит пополам и площадь четырёхугольника. Доказать.

112. 1) Прямая, проходящая через середины параллельных сторон трапеции, делит её на две равновеликие части. Доказать.

2) На прямой, соединяющей середины оснований трапеции, взята точка и соединена со всеми вершинами трапеции. Доказать, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

113. 1) Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника. Доказать, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

2) Если в трапеции середину M одной боковой стороны АВ соединить с концами другой боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину площади трапеции. Доказать.

114. Диагональ трапеции делит её площадь в отношении 3:7. В каком отношении разделится площадь этой трапеции, если из конца верхнего основания провести прямую, параллельную боковой стороне?

115. 1) Построить квадрат, равновеликий сумме двух данных квадратов со сторонами а и b (а = 5 см  и  b = 12 см).

2) Построить квадрат, площадь которого в три раза больше площади данного квадрата со стороной а.

116. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, и свободные вершины их соединены. Определить площадь получившегося шестиугольника, если катеты данного треугольника равны а и b.

117. Как относятся между собой площади Р и Q двух треугольников, имеющих по равному углу, заключённому в первом треугольнике между сторонами в 12 дм и 28 дм, а во втором — между сторонами в 21 дм и 24 дм?

118. В треугольнике ABC сторона ВА продолжена  на длину AD = 0,2 ВА и сторона 
ВС—на длину  СЕ = 2/3BC; точки D и Е соединены. Найти отношение площадей треугольников ABC и DBE.

119. Свойство биссектрисы треугольника вывести из сравнения площадей.

120. Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если каждую сторону увеличить в 4 раза? в 5 раз?

121. Сторона треугольника равна 5 дм. Чему равна сходственная сторона подобного ему треугольника, площадь которого вдвое более?

122. Какую часть площади (считая от вершины) отсекает средняя линия треугольника?

123. Высота треугольника равна h. На каком расстоянии от вершины находится параллель к основанию, делящая площадь треугольника пополам?

124. 1) Боковая сторона треугольника разделена в отношении 2:3:4 (от вершины к основанию), и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. В каком отношении разделилась площадь треугольника?

2) Через точку Е, делящую сторону АВ треугольника ABC в отношении т : п, проведена параллель к ВС. В каком отношении находятся площадь отсечённого треугольника и площадь получившейся трапеции?

125. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его боковую сторону в отношении 5:3 (начиная от вершины), а площадь — на части, разность которых равна 56 см2. Определить площадь всего треугольника.

126. Прямыми, параллельными основанию, площадь треугольника разделилась в отношении 9:55:161 (от вершины к основанию). В каком отношении разделились боковые стороны?

127. Какую часть площади одноимённых описанных фигур составляют площади следующих вписанных: 1) правильного треугольника; 2) квадрата; 3) правильного шестиугольника? (Решить, не вычисляя самих площадей.)

128. Сумма площадей трёх подобных многоугольников равна 232 дм2, а периметры их относятся, как 2:3:4. Определить площадь каждого многоугольника.

129. На сторонах прямоугольного треугольника построены подобные фигуры, причём стороны треугольника являются сходственными сторонами этих фигур. Доказать, что площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах.

130. 1) Построить квадрат, равновеликий разности двух данных квадратов.

2) Построить  квадрат,  равновеликий сумме n  данных квадратов.

131. Построить треугольник, равновеликий данному многоугольнику.

132. Дано отношение сторон двух квадратов и один из них; построить другой квадрат.

133. В параллелограмме соединены середина каждой стороны с концом следующей стороны, отчего получился внутренний параллелограмм. Доказать, что его площадь составляет 1/5 площади данного параллелограмма.

134. Как относятся между собой основания такой трапеции, которая равновелика своему дополнительному треугольнику?

135. Площадь прямоугольного треугольника разделена пополам прямой, перпендикулярной к гипотенузе. Найти расстояние между этой прямой и вершиной меньшего острого угла, если больший катет равен 20 м.

136. В прямоугольном треугольнике катеты относятся, как 3:4, а высота делит площадь треугольникa  на части, разность которых равна 84 дм2. Определить площадь всего треугольника.

137. 1) Три медианы треугольника ABC пересекаются в точке М. Доказать, что площадь треугольника АМВ составляет треть площади треугольника ABC.

2) Три медианы треугольника делят его площадь на шесть равных частей. Доказать.

138. Из внешней точки А проведены к кругу касательная АВ и секущая ACD. Определить площадь треугольника CBD,  если   АС : АВ= 2:3   и    площадь треугольника AВС равна 20 дм2.

139. АВ и CD—две непересекающиеся хорды, причём AB= 120° и CD = 90°;
М—точка пересечения хорд AD и ВС. Определить площади АМВ и CMD, если их сумма содержит 100 см2.

140. АВ—диаметр; ВС к АС—хорды, причём BC=60°; D — точка пересечения  продолженного   диаметра и касательной CD. Найти отношение площадей DCB и DCA.

141. Каждая сторона квадрата повёрнута на 30° внутрь квадрата, как указано на чертеже 58. Определить отношение сторон и площадей данного квадрата и квадрата, образованного повёрнутыми сторонами.

 

142. ABCD—данный квадрат; Е и F—середины сторон CD и AD; М—точка пересечения прямых BE и FC. Доказать, что площадь /\  ВМС составляет 1/5 площади квадрата.

143. Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий угол. Стороны треугольника, заключающие этот угол, относятся, как т : п. Найти отношение площади ромба к площади треугольника.

Ответы к задачам по геометрии Рыбкин from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (25.07.2016)
Просмотров: | Теги: Рыбкин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar