Тема №6678 Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 4) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

 § 14. Определение в треугольнике: медиан, биссектрис и радиусов 
          описанного и вписанного кругов  .

Вычисление медиан.

1. Стороны треугольника равны а, b и с. Доказать, что медиана тс, проведённая к стороне с, равна    1/2√2 (а2 + b2) — с2 .

2. 1) Основание треугольника равно 22 дм, а боковые стороны 13 дм и 19 дм. Определить медиану основания.

2) Определить все медианы треугольника, в котором а = 2, b = 3, с = 4.

3. В треугольнике две стороны равны 11 и 23 и медиана третьей стороны равна 10. Найти третью сторону.

4. В треугольнике одна из сторон равна 26 дм, а её медиана равна 16 дм. Определить две другие стороны этого треугольника, если они относятся, как 3:5.

5. Медианы равнобедренного треугольника равны 15, 15 и 18. Найти площадь треугольника.

6. Основание треугольника равно 23; медианы боковых сторон равны 15 и 221 . Найти третью медиану.

7. 1) Построить треугольник по основанию и двум медианам, исходящим из концов основания.

2) Основание треугольника равно 10, а медианы двух других сторон равны 9 и 12. Найти площадь треугольника.

8. 1) Построить треугольник по трём медианам. 2) Медианы   треугольника   равны   9,   12  и  15.  Найти площадь треугольника.

Биссектрисы.

9. Квадрат биссектрисы угла при вершине треугольника равен разности между произведением боковых сторон и произведением отрезков основания. Доказать.

10. В треугольнике ABC определить биссектрису угла А при следующей длине сторон: 1) а = 7, b = 6, с = 8; 2) а = 18, b =15, с = 12; 3) а = 39, b = 20, с = 45.

11. В треугольнике две стороны равны 6 и 12, а угол между ними 120°.  Определить биссектрису данного угла.

12. По данным двум сторонам треугольника и биссектрисе угла между ними определить отрезки третьей стороны: b =20; с = 45; bA = 24.

Радиусы вписанного и описанного кругов.

13. 1) Доказать, что в прямоугольном треугольнике   радиус   вписанного   круга равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
2) Катеты равны 40 см и 42 см. Определить  радиусы кругов описанного и вписанного.

14. Определить относительное положение центра описанного около треугольника круга, если даны три стороны треугольника или отношение их: 1) 5, 8, 10; 2) 8, 7, 5; 
3) 80, 315, 325.

15. Доказать, что во всяком треугольнике произведение двух сторон равно произведению диаметра описанного круга на высоту, опущенную на третью сторону.

16. Площадь треугольника равна S; его периметр равен а + b + с = 2р. Доказать, что:  1) радиус вписанного круга r = S/p 2) радиус описанного круга R= abc/4S

17. Для треугольника определить R и r при следующей длине сторон: 1) 13, 14, 15; 
2) 15,13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7.

18. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6, высота равна 4. Найти радиус описанного круга.

19. В круг радиуса R вписан треугольник; один из его углов равен: 1) 30°; 2) 45°. Найти противолежащую сторону треугольника.

20. Доказать справедливость формулы: 

21. Определить площадь треугольника по данному радиусу R описанного круга и двум углам, содержащим 45° и 60°.

22. Определить катеты прямоугольного треугольника, если они относятся между собой, как 20:21, а разность между радиусами кругов описанного и вписанного равна 17 см.

23. В круг радиуса R  вписан прямоугольник ABCD. Определить площадь этого прямоугольника, если дуга АВ содержит α градусов [α  равно: 1) 30°; 2)45°; 3) 60°; 4) 90°].

§ 15. Длина окружности и дуги. Площадь круга и его частей .

Длина окружности и дуги.

1. Вычислить длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м; 3) 35 см.

2. Вычислить радиус, если длина окружности равна: 1) 1 м; 2) 25 см; 3) 4,75 дм.

3. Расстояние между серединами двух зубцов зубчатого колеса, имеющего 0,66 м в диаметре, равно 34,5 мм, считая по дуге. Сколько зубцов имеет колесо?

4. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Определить скорость точки, лежащей на окружности шкива.

5. По данному радиусу R определить длину дуги, содержащей:
1) 45°; 2) 24°30'; 3) 5°14'15".

6. Определить радиус дуги, если её длина равна l, а градусная мера: 1) 135°; 2) 1040'.

7. Окружность шкива (черт. 59) имеет длину 540 мм, ремень касается шкива по дуге длиной 200 мм. Определить угол обхвата шкива ремнём (α).

 

8. Радиус железнодорожного закругления равен 1200 м; длина дуги равна 450 м. Сколько градусов содержит дуга?

9. 1) Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 см. Найти получившийся центральный угол.

2) Дуга радиуса 4 см, измеряющая центральный угол в 120°, равна длине некоторой окружности. Найти радиус этой окружности.

3) Окружность радиуса 6 см разогнута в дугу, измеряющую центральный угол в 300°. Найти радиус дуги.

10. Определить число градусов дуги, если дан её ра диус R и длина l: 
1) R = 10, l = 45; 2) R=15, l = 6.

11. Сколько градусов и минут в дуге, длина которой равна радиусу(1/π = 0,31831)?

12. По данной хорде а определить длину её дуги, если она содержит: 
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

13. По данной длине дуги  l  определить её хорду, если дуга содержит: 
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

14. Определить радиус окружности, если она длиннее своего диаметра на 107 см.

15. 1) На сколько увеличится длина  окружности, если радиус увеличится на m ?

2) Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и футбольный мяч по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и останется некоторый прозор (промежуток). В каком случае этот прозор был бы больше: у земного шара или мяча?

16. 1) Железная труба со стенками толщиной в 6 мм имеет внешнюю окружность в 22 см. Найти длину внутренней окружности.

2) Из двух концентрических окружностей одна равна 167 см, а другая 117 см. Определить ширину кольца.

17. Определить длину окружности, если она более периметра правильного вписанного шестиугольника на 7 см.

18. Дуга сегмента содержит 120° и имеет длину l. Определить длину окружности, вписанной в этот сегмент.

19. Из концов дуги ABC, содержащей 120°, проведены касательные до взаимного пересечения в точке D, и в полученную фигуру ABCD вписана окружность. Доказать, что длина этой окружности равна длине дуги ABC.

20. На чертеже 60 даны вид и размеры в сантиметрах коленчатой трубы паровой машины. Найти её длину. (Её длина измеряется по средней пунктирной линии.)

 

21. Найти радиус такой окружности, длина и площадь круга которой выражаются одним и тем же числом.

22. Определить относительную погрешность при замена длины полуокружности 1/2 С через a3 + a4 (для приближённого спрямления окружности).

23. Одно из приближённых спрямлений окружности состоит в том, что её заменяют периметром прямоугольного треугольника, у которого один катет  равен 6/5 диаметра, другой    катет    составляет  3/5 диаметра. Определить абсолютную погрешность.

Площадь круга.

24. Определить площадь круга при следующей   длине   радиуса:   
1)   10 м;  2) 4 дм; 3) 2,6 см (взять π =3,14).

25. Определить радиус   круга,   если его площадь равна: 1) 2 см2; 2) 50 м2; 3) 17 дм2.

26. Лошадь привязана к колу верёвкой, длина которой равна 10,5 м. Найти площадь участка, на котором она может пастись. (С точностью до 0,01 кв. м.)

27. Найти площадь круга поршня  воздушного насоса, диаметр которого равен 10 см.

28. Поршень насоса имеет площадь сечения в 12,56 см2. Найти диаметр поршня.

29. Дерево имеет 1,884 м в обхвате. Чему равна площадь его поперечного сечения, имеющего (приблизительно) форму круга?

30. Какой груз выдерживает пеньковый канат, имеющий 18 см в окружности, если допускаемая нагрузка равна 100 кг\см2

31. 1) Определить площадь круга, если длина окружности равна 8 см.

1) Определить длину окружности, если площадь круга равна 18 см2.

32. 1)  Пропускная  способность  трубы III (черт.  61) та же, что и у труб I и II вместе. Определить построением   величину  x по данным на чертеже размерам.

 

2) Две трубы с диаметром в 6 см и в 8 см требуется заменить одной трубой той же пропускной способности. Найти диаметр этой трубы.

33. Определить площадь круга, если площадь вписанного квадрата равна F.

34. Вычислить площадь круга, если она менее площади описанного квадрата на 4,3 м2.

35. Найти отношение между площадями вписанного и описанного кругов: 1) для правильного треугольника; 2) для квадрата; 3) для правильного шестиугольника.

Площадь кольца.

36. Вертикальный цилиндрический котёл 78 см в диаметре и весящий 752 кг имеет в днище круглое отверстие, наружный диаметр которого равен 36 см. Всей площадью своего днища котёл опирается на фундамент. Определить давление, оказываемое котлом вследствие его тяжести на 1 см2 поверхности фундамента.

37. В кольце, образованном двумя концентрическими окружностями, хорда большей окружности, касающаяся меньшей, равна а. Определить площадь кольца.

38. Круга касаются шесть равных ему кругов, касающихся также между собой, и полученное соединение семи равных кругов охвачено таким концентрическим кольцом, которое равновелико их сумме. Доказать, что ширина кольца равна радиусу кругов.

Сектор и сегмент.

39. Определить площадь сектора, если радиус равен r, а дуга содержит: 
1) 67°30'; 2) 15°45'.

40. Определить радиус сектора, если его площадь равна q, а центральный угол равен: 1) 72°; 2) 36'.

41. Радиус сектора равен r, а площадь равна q. Определить величину центрального угла (или дуги).

42. Определить площадь сегмента, если радиус равен R, а дуга содержит: 1) 90°; 2) 60°; 3) 45°; 4) 30°.

43. Определить площадь сегмента, если хорда равна а, а дуга содержит: 1) 120°; 2) 90°; 3) 60°.

Площадь фигур, ограниченных прямыми и дугами окружностей.

44. Определить площадь окна (черт. 62), имеющего форму прямоугольника, законченного вверху дугой круга в 60°; высота окна, считая от середины дуги до основания, равна 2,4 м, ширина его 1,6 м.

 

45. 1) Полуокружность радиуса r разделена на три равные части, и точки деления соединены с концом диаметра. Определить площадь средней части полукруга.

2) Концы дуги CD одинаково удалены соответственно от концов диаметра АВ. Определить площадь, заключённую между дугой CD и хордами АС и AD, если площадь круга равна Q и дуга CD содержит п°.

46. В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°. Определить часть площади круга, заключённую между хордами.

47. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и стягивает в одном круге дугу в 60°, а в другом— дугу в 90°. Определить площадь общей части кругов (два случая).

48. Площадь круга Q. Определить площадь вписанного в него прямоугольника, стороны которого относятся, как т : п.

49. В круг радиуса R вписан прямоугольник, площадь которого составляет половину площади круга. Определить стороны этого прямоугольника.

50. Около круга, площадь которого равна Q, описан ромб с углом в 30°. Определить площадь этого ромба.

51. Около правильного треугольника с площадью Q описана окружность, и в тот же треугольник вписана окружность. Определить площадь кольца, заключённого между этими окружностями.

52. АМВ—дуга, содержащая 120°; OA и ОВ—радиусы; АС и ВС—касательные; DME—дуга, описанная из центра С между СА и СВ и касающаяся дуги АМВ. Найти отношение между площадями секторов CDME и ОАМВ.

53. Из концов дуги АСВ проведены касательные до пересечения в точке D. Определить площадь DACB, заключённую между двумя касательными и дугой, если радиус равен R, а дуга содержит: 1) 90°; 2) 120°; 3) 60°.

54. Из центра равностороннего треугольника описана окружность, пересекающая его стороны так, что внешние дуги содержат по 90°. Обозначая сторону этого треугольника через а, определить площадь, ограниченную внутренними дугами и средними отрезками сторон.

55. 1) Во сколько раз увеличится площадь круга, если диаметр его увеличить в 3 раза? Во сколько раз площадь уменьшится, если радиус уменьшить в 5 раз?

2) Во сколько раз надо уменьшить радиус круга, чтобы площадь уменьшилась в 4 раза? Во сколько раз надо увеличить диаметр круга, чтобы площадь увеличилась в 5 раз?

56. Можно ли водопроводную трубу диаметром в 50 мм заменить двумя трубами диаметром в 25 мм каждая? Одинакова ли площадь сечения одной большой трубы и двух малых?

57. Вычислить площадь заштрихованной части прямоугольника, данного 
на чертеже 63.

 

58. Определить площадь фигур, заштрихованных на чертежах 64 — 67, по данным размерам.

 

 

59. Два равных полукруга наложены так, что диаметры их параллельны, а полуокружность одного проходит через центр другого. Определить площадь общей части полукругов по данному их радиусу R.

60. На каждой стороне квадрата, принятой за диаметр, описана полуокружность, лежащая внутри квадрата. Определить площадь полученной розетки, если стороны квадрата равны а.

61. На сторонах ромба описаны, как на диаметрах, полуокружности, обращенные внутрь. Диагонали ромба равны а и b. Определить площадь полученной розетки.

62. Диаметр разделён на равные части, из обоих его концов проведены полуокружности во все точки деления, причём из одного конца все полуокружности сверху, а из другого все снизу. Доказать, что полученными изогнутыми линиями круг разделился на части равной величины, а периметр каждой части равен длине окружности.

63. В равностороннем треугольнике проведены дуги между каждыми двумя вершинами через центр треугольника (черт. 68). Сторона треугольника равна а. Определить площадь полученной розетки.

 

64. Между точками А и В проведены две дуги, обращенные выпуклостью в одну сторону: дуга АМВ содержит 240° и дуга ANB 120°. Расстояние между серединами этих, дуг равно а. Определить площадь луночки (черт. 69).

65. АВ и CD— два взаимно перпендикулярных диаметра. Из точки D, как из центра, радиусом DA описанa дуга АМВ. Доказать, что луночка АМВС равновелика треугольнику ABD.

66. Из точки С данной полуокружности опущен перпендикуляр CD на диаметр АВ, и на отрезках AD и DB построены новые полуокружности по одну сторону с данной. Доказать, что площадь, заключённая между тремя полуокружностями, pавна площади круга с диаметром CD.

67. Вычислить площадь фигуры, заштрихованной на чертеже 70. Размеры даны в миллиметрах.

 

68. Вычислить площадь сечения, изображённого на чертеже 71. Размеры даны в миллиметрах.

 

69. Определить площадь поперечного сечения фасонного железа, изображённого на чертеже 72.

70. Две параллельные хорды равны 14 м и 40 м, а расстояние между ними 39 м. Определить площадь круга.

71. Определить радиус круга, вписанного в данный сектор, если радиус сектора равен R, а дуга содержит α градусов [α равно: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°].

 § 16. Приложение алгебры к геометрии. 
          Деление в среднем и крайнем отношении  .

Построение формул..

1. 1) Построить отрезки, равные √6  и √7 .

2) На чертеже 73 дано: OA = АВ = ВС= CD = DE= EF= FG= GH= HK= KL = 1, причём  AB_|_AO,  BC_|_BO,  CD_|_CO и т. д.  Вычислить: OB, ОС, OD, ОЕ, OF, OG, OH, OK, OL.

 

3) Построить отрезки, равные: √11,  √12,  2 √3,  1/2√5,  3/5√6.

2. Построить треугольник со сторонами: √2, √5, √7.

3.   Указать   измерения следующих выражений, в которых каждая буква,кроме π , обозначает длину отрезка:

 

4. Какие из следующих формул неоднородны:

 

5. Построить  треугольник  со  сторонами   a = 2 + √3,  b = √3 —1, с = 2√3

6. Построить отрезки, выражаемые следующими формулами:

l) x = 31/2 a; 2) х = а — (b + 3d);  3) х = 3с — (2т — n);
 

7. Построить отрезки, выражаемые следующими формулами:

 

 

Построение фигур.

8. Построить квадрат, равновеликий данному равностороннему треугольнику со стороной а.

9. Построить круг, площадь которого вдвое больше площади данного круга с радиусом R.

10. Данный круг с радиусом R разделить пополам концентрической окружностью.

11. Построить квадрат, равновеликий 3/5 параллелограмма со стороной а и опущенной на неё высотой h.

12. Построить круг, равновеликий кольцу между двумя концентрическими окружностями с радиусами R и r.

13. По данному основанию а и прилежащему к нему углу в 30° построить треугольник, равновеликий данному треугольнику с основанием b и высотой h.

Построение корней квадратного уравнения.

14. Построить корни квадратных уравнений х2 ± рх ± q2 = 0.

15. 1) На АВ, как на диаметре (черт. 74), описана полуокружность. Дано: AB = р; 
ВС_|_АВ; BD = q; DE||AB; EF_|_АВ. Доказать, что отрезки AF и FB служат  корнями квадратного   уравнения   х2 — рх + q2 = 0.

 

2) Применить рассмотренное построение к построению корней уравнения: 
 х2— 6,5 x + 4 = 0, не решая уравнения.

3) Почему применение этого способа к уравнению х2— 2,5 x + 9 = 0 не даёт желательных   результатов?

Деление в среднем и крайнем отношении.

16. Разделить данный отрезок а в среднем и крайнем отношении, т. е. разделить его на две части так, чтобы большая часть была средней пропорциональной между всем отрезком и  его  меньшей  частью.

17. 1) Доказать, что сторона правильного вписанного десятиугольника равна большему отрезку радиуса, разделённого в среднем и крайнем отношении.

2) По данному R вычислить а10.

18. Если какой-нибудь отрезок разделён в среднем и крайнем отношении, то большая часть составляет приблизительно 5/8  всего отрезка.  Проверить это и определить степень точности такого приближения.

19. 1) Определить бoльшую часть при делении отрезка в среднем и крайнем отношении, если меньшая часть равна b.

2) Если меньшую часть отрезка, разделённого в среднем и крайнем отношении, отложить на большей части, то бoльшая часть также разделится в среднем и крайнем отношении. Доказать.

20. Диаметр разделён в среднем и крайнем отношении перпендикуляром, проведённым из точки окружности. Радиус окружности равен r. Найти длину перпендикуляра.

21. Доказать, что в правильном пятиугольнике две пересекающиеся диагонали взаимно делятся в среднем и крайнем отношении.

22. Если радиус круга разделить в среднем и крайнем отношении и, взяв бoльшую часть, описать ею концентрическую окружность, то площадь данного круга тоже разделится в среднем и крайнем отношении, причём большей частью будет кольцо. Доказать это.

Применение алгебраического метода.

23. На продолжении диаметра круга радиуса r найти такую точку, чтобы касательная, проведённая из неё к данному кругу, равнялась диаметру.

24. В данную полуокружность вписать квадрат.

25. Дан треугольник с основанием а и высотой h. Вписать в него прямоугольник, имеющий данный периметр 2р.

26. Данный треугольник разделить пополам прямой, параллельной его основанию.

27. Площадь треугольника разделить пополам прямой, перпендикулярной к основанию.

28. Вписать в данный ромб прямоугольник, стороны которого были бы параллельны диагоналям ромба и площадь которого равнялась бы 1/3   площади ромба.

29. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из вершин у них была общая.

30. В квадрат со стороной а вписать другой квадрат со стороной b.

31. Построить окружность, касающуюся данной окружности радиуса r и данной прямой в данной на ней точке.

32. Даны два прямоугольника. Построить третий прямоугольник, изопериметричный с  одним из данных прямоугольников и равновеликий другому.

33. В данный треугольник вписать прямоугольник, основание которого относилось бы к высоте, как  т : п.

34. В параллелограмме ABCD сторона АВ= а и ВС= b. Провести прямую EF так, чтобы она отсекла параллелограмм ABEF, подобный ABCD.

35. В параллелограмме ABCD сторона АВ= а и ВС= b. Провести прямую EF, параллельную АВ, так, чтобы она разделила данный параллелограмм на два подобных между собой параллелограмма.

36. В углы A и С прямоугольника ABCD вписать две равные окружности, которые касались бы между собой.

37. Через точки А и В провести окружность, отсекающую от данной прямой хорду данной длины т.

Ответы к задачам по геометрии Рыбкин from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (25.07.2016)
Просмотров: | Теги: Рыбкин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar