Тема №6679 Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 5) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 1. Перпендикуляр и наклонные к плоскости.

1.  На чертеже 1 изображён прямоугольный параллелепипед.

 

Черт. 1

1)  Пересекаются ли прямые DB1 и D1C?    ВВ1 и D1С?

2)   Возможно ли провести плоскость через прямые AD и B1С1? через DC и DB1? через ВС и АA1?

2.   Провести  плоскость,   проходящую через концы трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины. Ребро куба   равно а. Вычислить  площадь  сечения   (черт. 2).

 

Черт. 2

3.   Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см,  4 см и 7 см.   Определить площадь сечения, проведённого через концы трёх рёбер, выходящих   из   одной вершины.

4.  Основанием правильной призмы служит треугольник со стороной а.  Высота призмы равна b. Провести плоскость через одну из сторон нижнего основания и через противоположную вершину верхнего основания. Вычислить площадь полученного сечения.

5. Через точку, взятую на прямой, провести плоскость, перпендикулярную  этой прямой.

6.Через точку, взятую вне прямой, провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой.

7.   1) Из точки А, данной на расстоянии 6 см от плоскости, проведена к ней наклонная АВ, равная 10 см. Найти её  проекцию ВС на данную плоскость (черт. 3).

 

2) Из некоторой точки проведены к данной   плоскости  перпендикуляр,   равный  а,   и  наклонная;   угол между ними равен 45°. Найти длину наклонной.

8.  Определить на данной плоскости   геометрическое  место точек, удалённых на данное расстояние от точки, лежащей вне плоскости.

9.  Из центра круга проведён перпендикуляр к его плоскости. Определить расстояние от конца этого перпендикуляра до точек окружности, если   длина   перпендикуляра   равна  а, а площадь круга равна Q.

10.   Определить геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от всех точек данной окружности или от трёх точек, не лежащих на одной прямой.

11.  Найти геометрическое место  точек, равноудалённых от двух данных точек.

12.   В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  боковое ребро А1А = 56 см,   а   стороны   основания   АВ = 33 см   и   АD = 40 см. Определить площадь сечения, проведённого через рёбpa  AD и  B1C1.

13.  Точка О — центр квадрата со стороной а; ОА — отрезок перпендикулярный к плоскости квадрата и равный b. Найти расстояние от точки А до вершин квадрата.

14.  Из точки М, отстоящей от плоскости Р на расстоянии d = 4, проведены   к этой плоскости наклонные MA, MB, MC под углами в   30°,   45°,   60°   к   прямой МО, перпендикулярной   к   Р.   Определить   длину   наклонных MA, MB и МС.

15. Из некоторой точки М проведены к плоскости Р три наклонные: МА=МВ=МС= l.  Показать, что точки  А, В и С (основания наклонных на  плоскости Р) лежат на одной окружности,    центром    которой   служит    точка   О — проекция точки М.

16.  Дана плоскость; из некоторой точки пространства проведены к этой плоскости две наклонные длиной 20 см и 15 см; проекция первой из них на плоскость равна  16 см; найти проекцию второй наклонной.

17.  Из некоторой   точки   пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найти проекцию перпендикуляра на наклонную.

18.  Сторона   равностороннего   треугольника    равна   3   см. Определить   расстояние   от   его   плоскости   до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2 см.

19.   1) Из некоторой точки А (черт. 4) проведены к данной плоскости Р перпендикуляр АО = 1 см и две равные наклонные ВА  и АС, которые образуют с перпендикуляром     / ВАО = /  СAO = 60°, а между собой /  САВ = 90°. Найти расстояние ВС между основаниями  наклонных.

 

2)   Из  данной   точки   проведены   к  данной   плоскости две наклонные, равные каждая 2 см; угол между ними   равен   60°, а угол между их проекциями — прямой. Найти расстояние данной точки от плоскости.

3)   Из некоторой точки проведены к данной   плоскости две равные   наклонные;   угол   между   ними   равен   60°, угол между их   проекциями — прямой.   Найти   угол   между   каждой наклонной и её проекцией.

20.  В  равнобедренном треугольнике    основание   и высота   содержат   по 4 см. Данная     точка     находится на    расстоянии    6 см    от плоскости   треугольника   и на   равном   расстоянии   от его вершин. Найти это расстояние.

21.  Дан равнобедренный треугольник   ABC   с   основанием  b = 6 см и боковой  стороной  а = 5 см. К плоскости треугольника в центре О вписанного в него круга проведён перпендикуляр OK=2 см. Найти расстояние точки К от сторон треугольника и от вершины В.

22.   1) В треугольнике ABC угол В прямой и катет BС = а. Из вершины А проведён к плоскости   треугольника   перпендикуляр AD так, что расстояние между точками D и С равно f. Определить расстояние от точки D до катета ВС.

2)   Катеты   прямоугольного   треугольника ABC равны 15 м и 20 м.  Из   вершины   прямого   угла  С  проведён   к   плоскости этого треугольника перпендикуляр CD = 35 м. Найти  расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

3)  Стороны треугольника:  10 см,  17 см   и   21  см. Из вершины большего угла   этого   треугольника   проведён   перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Определить   расстояние от его концов до большей  стороны.

23.   В треугольнике  ABC  угол   С прямой;   CD — перпендикуляр  к  плоскости  этого  треугольника.   Точка   D   соединена с А и В.  Определить площадь треугольника ADB, если дано: СA = 3 дм, ВС=2 дм и CD= 1 дм.

24.    В   вершине  А  прямоугольника  ABCD   проведён к его плоскости  перпендикуляр  АК,   конец  К которого  отстоит от других вершин на расстоянии 6 см, 7 см и 9 см. Найти длину перпендикуляра АК.

25.  А и В — точки на плоскости М; АС и  BD — перпендикуляры к этой плоскости, причём   АС= а  и   BD = b.   Доказать,   что  линии   AD  и ВС  пересекаются, и определить   расстояние от точки их пересечения до плоскости М.

26.  Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от его вершины В на а, а от каждой из сторон — на b. Чему   равно   расстояние   МО   точки   М  от   плоскости прямого угла   (черт. 5)?

 

27. На плоскости M даны две параллельные прямые АВ и CD, расстояние между которыми равно а. Вне плоскости М дана точка S, удалённая от АВ на b и от CD на с. Определить расстояние от точки S до плоскости М, если известно, что 1) а = 66, b = с = 65;  2) а = 6, b = 25, с = 29.

28. 1) Если из вершины угла, лежащего на плоскости, провести наклонную к плоскости так, чтобы она составляла со сторонами угла равные углы, то проекция этой наклонной будет служить биссектрисой данного угла. Доказать.

2) Из вершины А треугольника ABC проведена вне его плоскости прямая AD, образующая со сторонами АВ и АС равные острые углы. На какие части проекция прямой AD на плоскость треугольника делит сторону ВС, если АВ = 51 м, АС= 34 м  и  BC=30 м?

§ 2. Угол прямой линии с плоскостью.

1.   Рёбра основания прямоугольного параллелепипеда имеют длину 4 см и 3 см; высота параллелепипеда равна 5 см. Найти его диагональ и угол диагонали с плоскостью основания.

2.   Диагональ   прямоугольного   параллелепипеда   составляет с плоскостью его  основания  угол   в  45°.   Стороны  основания равны 120 см и 209 см. Определить высоту   параллелепипеда.

3.   Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h; апофема   наклонена  к плоскости   основания   под углом в 60°. Найти боковые рёбра.

4.  В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно b и образует с основанием пирамиды угол в 30°. Найти сторону основания.

5.  Наклонная  равна а. Чему равна проекция этой наклонной   на   плоскость, если   наклонная   составляет   с плоскостью проекции угол, равный: 1) 45°;  2) 60°; 3) 30°?

6.  Точка отстоит от плоскости на h. Найти длину наклонных, проведённых из неё под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°;  3) 60°.

7.  Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его находятся   на   расстоянии   3 см и   2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

8.  Под каким углом к плоскости надо провести наклонный отрезок, чтобы его проекция была вдвое меньше самого отрезка?

9.   1) Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены  две   наклонные,   образующие   с   плоскостью   углы в 45°, а между собой угол в 60°. Определить расстояние между концами наклонных.

2) Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45° и 30°, а между собой прямой угол. Определить расстояние между концами наклонных.

10.  Из  точки,   отстоящей  от  плоскости  на   а, проведены две наклонные под углом в 30° к плоскости, причём их проекции   составляют   между   собой  угол   в   120°. Определить расстояние между концами наклонных.

11.  В плоскости М находится прямая АВ. Из точки В проведены   по   одну   сторону   плоскости   перпендикулярные   к АВ прямые ВС и BD, отклонённые от плоскости М на 50° и 15°. Определить угол CBD.

12.    Если   в   равнобедренном   прямоугольном   треугольнике один   катет находится   на плоскости М, а другой катет образует с ней угол в 45°, то гипотенуза образует с плоскостью М угол в 30°. Доказать это.

13.   Если   наклонная   АВ составляет  с плоскостью М угол в 45°, а прямая АС, лежащая в плоскости М, составляет угол в 45° с проекцией наклонной АВ, то / ВAС=60°. Доказать это.

14.   Если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания, то боковые рёбра составляют с плоскостью основания угол в 60°. Доказать.

§ 3. Параллельные прямые и плоскости.

Параллельные прямые.

1. 1) А и В — точки вне плоскости М; АС и BD — перпендикуляры   на   эту плоскость;АС = 3 м, BD = 2 м  и CD = 24 дм.   Определить  расстояние  между  точками А и В.

2) На верхние  концы  двух вертикально стоящих столбов, удалённых один от другого (по поверхности земли) на 3,4 м, упирается концами перекладина. Один из столбов возвышается над землёй на 5,8 м, другой — на 3,9 м. Определить длину перекладины.

2.   1) Концы  данного  отрезка   длиной   125 см   отстоят от плоскости   на   100 см   и   56 см.   Найти   длину   его   проекции.

2) Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где её прикрепили на высоте 20 м. Определить расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

3.  Из точки  А   плоскости   М проведена  наклонная прямая линия, и на ней взяты точки  В и С, причём  АВ = 8 см и АС=14 см. Точка В удалена от плоскости М на 6 см. Найти расстояние точки С от плоскости М.

4.  Отрезок   длиной   10 см   пересекает    плоскость,   концы его удалены от плоскости на расстояние 5 см и 3 см.  Найти длину проекции отрезка на плоскость.

5. Отрезок пересекает плоскость; концы его отстоят от плоскости на расстоянии 8 см  и 2 см. Найти расстояние середины этого отрезка от плоскости.

6.  Концы  данного  отрезка,   не  пересекающего плоскости, удалены от неё   на 30 см и 50 см. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3:7? (Два случая.)

7.  Правильный   треугольник   спроектирован   на   плоскость; вершины его отстоят от плоскости на расстоянии 10 дм, 15 дм  и 17 дм.   Найти   расстояние   его   центра   от   плоскости   проекций.

8.  Данный  отрезок  АВ  параллелен  плоскости  и равен а. Отрезок ВА1 соединяющий  конец В с проекцией А1 другого конца, составляет с плоскостью угол в 60°. Определить длину отрезка BA1.

9.  Из точек А и В плоскости М проведены вне её параллельные между  собой  отрезки: АС = 8 см и  BD = 6 см. Прямая, проведённая   через С и D, пересекает  плоскость М (почему?) в точке  Е.  Отрезок  АВ = 4 см.   Определить  расстояние BE.

10. АВ— отрезок на плоскости М, равный а, АС и BD—отрезки вне плоскости М, равные b, причём отрезок АС перпендикулярен к плоскости М, a BD, будучи перпендикулярен к АВ, составляет c плоскостью М угол в 30°. Определить расстояние CD.

Прямая, параллельная плоскости.

11. 1) Через данную точку провести прямую  паpаллельную данной плоскости.

2)   Через   данную   точку  провести   плоскость, параллельную данной прямой. Сколько  возможно провести таких плоскостей?

3) Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку, взятую на плоскости, провести в этой же плоскости прямую, параллельную данной прямой.

12.  Провести через данную точку отрезок а так, чтобы его проекция на данную плоскость была равна самому отрезку.

13.   По стороне основания а и боковому ребру b правильной треугольной призмы определить площадь сечения, проведённого через боковое ребро и ось призмы.

14.  Из внешней точки А проведён к плоскости М отрезок AB. Он разделён точкой С в отношении 3:4 (от А к В) и через неё проведён параллельно плоскости М отрезок CD = 12см. Через точку D проведён  к  плоскости М отрезок ADE.   Определить расстояние между точками В и Е.

15.  BDC— отрезок, параллельный плоскости М; ABE, ADF и ACG—прямые, проведённые из внешней точки А к плоскости М и пересекающие её в точках Е, F, G. Определить расстояние между точками Е и G, если ВС = a, AD = b, DF = c.

16.  АВ  и CD — параллельные, отрезки, лежащие в двух пересекающихся плоскостях; АЕ и DF—перпендикуляры на линию пересечения   плоскостей. Расстояние АD= 5см и  отрезок EF= 4 см.   Найти   расстояние   между   прямыми АВ, и CD.

17.  Основание DA трапеции ABCD (черт. 6) находится на плоскости P, а основание   СВ отстоит от неё на 5 см. Найти расстояние от плоскости Р точки М пересечения диагоналей этой трапеции, если DA : CB = 7 : 3.

 

18.  В параллелограмме ABCD вершины A и D находятся на плоскости М, а В и С—вне её. Сторона AD =10 см, сторона АВ =15см,   проекции  диагоналей  АС и BD на   плоскость М соответственно равны 13,5 см и 10,5 см. Определить диагонали.

19.   Через одну из сторон ромба проведена плоскость на расстоянии 4 см от противолежащей стороны. Проекции диагоналей ромба на эту плоскость равны 8 см и 2 см. Найти проекции сторон.

20.  Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость параллельно гипотенузе на расстоянии 1 дм от неё (черт. 7). Проекции катетов на эту плоскость равны 3 дм и 5 дм. Определить проекцию гипотенузы на эту не плоскость.

 

21. АВ и CD—две параллельные прямые, лежащие в плоскости М на расстоянии 28 см одна от другой; EF—внешняя прямая, параллельная АВ и удалённая от АВ на 17 см, а от плоскости М на 15 см. Найти   расстояние   между   EF и CD. (Два   случая.)

22. Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости М, проведены к ней перпендикуляр АС и наклонная BD_|_AB. Определить расстояние CD, если АВ = а,  АС = b и BD = c (черт. 8).

 

23. АВ — отрезок, параллельный плоскости М; АС и BD — две равные наклонные к плоскости М, проведённые перпендикулярно к отрезку АВ и в разных направлениях от него. Отрезок АВ, равный 2 см, отстоит от плоскости M на 7 см, а отрезки АС и BD содержат по 8 см. Определить расстояние CD.

24.   В   правильной    четырёхугольной    пирамиде    провести плоскость   через   диагональ   основания   параллельно боковому ребру. Сторона основания   равна   а, а боковое ребро равно b. Определить площадь полученного сечения.

25. В правильной треугольной пирамиде SABC Сторона основания а и боковое ребро равно b. Провести в этой пирамиде плоскость через середины рёбер АВ и ВС параллельно ребру SB. Определить площадь полученного сечения (черт. 9).

 

26. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно а. Провести сечение через середины двух смежных сторон основания и середину высоты (черт.  10) и найти его площадь.

 

Параллельные плоскости.

27.   Через  данную точку провести плоскость, параллельную данной плоскости.

28.  В кубе с ребром а провести плоскость, которая проходила бы через середины   двух смежных сторон верхнего основания и через центр нижнего. Вычислить периметр сечения.

29. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 дм. Отрезок длиной 10 дм своими концами упирается в эти плоскости. Определить проекции отрезка на каждую плоскость.

30. 1) Плоскости М и Р параллельны. Из точек А и В плоскости М проведены к плоскости Р наклонные: АС = 37 см и BD = 125 см. Проекция наклонной АС на одну из плоскостей равна 12 см. Чему равна проекция наклонной BD?

2) Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся как 6:7. Определить расстояние между данными плоскостями.

31. Между  двумя   параллельными   плоскостями   заключены перпендикуляр длиной 4 м и  наклонная, равная 6 м. Расстояния между их концами в каждой  плоскости  равны  по 3 м. Найти расстояние между серединами перпендикуляра и наклонной.

32.  Два отрезка, сумма которых равна с, упираются своими концами  в  две  параллельные  плоскости;  проекции их а и b. Найти отрезки.

33.  Между  двумя  параллельными  плоскостями Р и Q проведены отрезки АС и BD (точки А и В лежат в плоскости Р); АС= 13 см; BD = 15 см; сумма длин проекций АС и BD на одну из данных плоскостей   равна  14 см. Найти длины этих проекций и расстояние между плоскостями.

34.1) Два прямых угла в пространстве расположены так, что стороны их соответственно параллельны, одинаково направлены и перпендикулярны к отрезку, соединяющему их вершины. Длина этого отрезка равна а. На стороне одного угла отложен от его вершины отрезок b, а на непараллельной ей стороне другого угла отложен отрезок с. Определить расстояние между концами этих отрезков.

2) В предыдущей задаче прямые углы заменить углами в 60° и взять а=24, b=5 и с=8.

35.   Вершины равностороннего  треугольника со стороной а находятся вне плоскости M на одинаковом от неё расстоянии d. Из центра треугольника  проведён перпендикуляр к его плоскости, равный h и направленный в сторону, противоположную плоскости М. Из конца этого перпендикуляра проведены прямые через вершины треугольника до пересечения с плоскостью М. Определить отрезки этих прямых между вершинами треугольника и плоскостью М и расстояния между их концами.

36.  В кубе ABCDA1B1C1D1 середины К и L противолежащих рёбер  АА1  и   СС1   соединены   отрезками прямых с вершинами куба B и D1. Найти стороны и диагонали получившегося четырёхугольника KBLD1 и определить   его вид.  Ребро куба равно а.

37.   В кубе ABCDA1B1C1D1 соединить по порядку середины следующих   рёбер:   АА1,   А1В1,  В1С1,   С1С,   CD,  DA  и  AA1. Доказать, что полученная фигура есть правильный шестиугольник, и определить её площадь по ребру куба а.

38.  1) Основанием правильной призмы служит шестиугольник со стороной в 3 дм;  высота призмы равна 13 дм. Определить площадь   сечения,   проведённого   через   две   противолежащие стороны верхнего и нижнего оснований призмы.

2) Правильная шестиугольная призма, у которой боковые грани — квадраты, пересечена плоскостью, проходящей через сторонy нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Определить площадь полученного сечения.

§ 4. Двугранные углы и перпендикулярные плоскости.

1.   1) На одной грани двугранного угла даны две точки А и В (черт.  11); из них опущены перпендикуляры на другую грань: АС = 1 дм и  ВD = 2дм, и на   ребро: АЕ = 3 дм. и BF. Найти BF.

 

2) На одной грани двугранного угла взяты две точки, отстоящие от ребра на 51 см и 34 см. Расстояние первой точки от другой грани равно 15 см. Определить расстояние второй точки.

2.  Двугранный угол равен 45°. На одной грани дана точка на расстоянии а от другой   грани.   Найти   расстояние этой точки от ребра.

3.    Если    равнобедренный    прямоугольный треугольник ABC перегнуть но высоте BD так,   чтобы   плоскости ABD и CBD  образовали   прямой двугранный угол, то линии DA и DC сделаются взаимно перпендикулярными, а ВА и ВС составят угол в 60°. Доказать.

4. Определить величину двуг.ранного угла, если точка, взятая на одной из граней,отстоит от ребра вдвое далее,чем от другой грани.

5. 1) Из точки, взятой внутри двугранного угла, опущен перпендикуляр на ребро; он образует с гранями углы в 38°24' и 71°36'. Вычислить величину двугранного угла.

2) Точка, взятая внутри двугранного угла в 60°, удалена от обеих граней на а. Найти её расстояние от ребра.

6.   1) А и В — точки на ребре прямого двугранного угла; АС и BD — перпендикуляры    к ребру,   проведённые в разных гранях. Определить расстояние CD, если АВ = 6 см, АС= 3 см и BD = 2см.

2) В предыдущей задаче прямой двугранный угол заменить углом в 120° и взять: a) AB = AC=BD = a;   b)АВ = 3, АС =2, BD = 1.

7.  Треугольник ABC, прямоугольный при С, опирается катетом АС на плоскость М, образуя с ней двугранный угол в 45°. Кaтет AС = 2 м, а гипотенуза АВ относится к катету ВС, как 3:1. Определить расстояние от вершины В до плоскости М.

8.   Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC, у которого  две  стороны  АВ  и ВС  содержат по 7 см, а третья АС = 2 см. Через сторону АС проведена плоскость под углом в 30° к плоскости основания, пересекающая противолежащее боковое ребро в точке D. Определить площадь полученногo сечения и отрезок   BD бокового ребра.

9. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскости их отклонены на 60°. Общее основание равно 16 см; боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а   боковые стороны  другого   взаимно   перпендикулярны.   Определить расстояние между вершинами треугольников.

10.   1) Катеты прямоугольного   треугольника   равны 7 см и 24 см. Определить   расстояние  от   вершины   прямого   угла до плоскости,   которая   проходит   через   гипотенузу и составляет угол в 30° c плоскостью треугольника.

2) Дан треугольник ABC со сторонами: AВ = 9; ВС = 6 и АС = 5. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45°. Найти расстояние между плоскостью М и вершиной В.

11.   Прямая   АВ  параллельна плоскости М и отстоит от неё на а; через АВ проходит плоскость Р, образующая с плоскостью М угол в 45°; в  плоскости Р  проведена прямая линия под углом 45° к АВ. Определить её отрезок между АВ и плоскостью М.

12.  АВ и CD — параллельные прямые, лежащие в двух пересекающихся   плоскостях, образующих   угол   в   60°.   Точки А и D удалены   от   линии   пересечения плоскостей на 8 см  и 6,3 см. Найти расстояние между АВ и CD.

13. Отрезок АВ   упирается своими концами в грани прямого двугранного угла PMNQ (черт. 12); концы отрезка находятся на одинаковых расстояниях от ребра MN двугранного угла. Найти отношение углов, под которыми отрезок наклонён к граням.

 

14. Найти геометрическое место прямых, перпендикулярных к данной плоскости и пересекающих прямую, данную на той же плоскости.

15. 1) Через данную точку провести плоскость, перпендикулярную к другой плоскости.

2) Через данную прямую провестиплоскость, перпендикулярную к другой плоскости. Сколько таких плоскостей можно провести?

16. АВ— прямая пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей М и Р; CD— отрезок в плоскости М, проведённый параллельно АВ на расстоянии 60 см от неё; Е— точка в плоскости Р на расстоянии 91 см от АВ, Найти расстояние от Е до CD.

17.   1) Отрезок АВ соединяет точки А и В, лежащие на двух взаимно перпендикулярных  плоскостях.  Перпендикуляры, опущенные  из  точек  А и В на  линию  пересечения  плоскостей, соответственно   равны а и b, а расстояние   между их основаниями   равно   с. Определить   длину  отрезка  АВ и длины  его проекций на данные плоскости.

2) Данный отрезок имеет концы на двух взаимно перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол в 45°, a с другой — угол в 30°; длина этого отрезка равна а. Определить часть линии пересечения плоскостей, заключённую между перпендикулярами, опущенными на неё из концов данного отрезка.

18.   Боковое   ребро   правильной   шестиугольной   пирамиды равно 8 дм, сторона   основания   равна 4 дм.   Через   середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найти площадь сечения.

19.    В   правильной   четырёхугольной   пирамиде   провести плоскость через сторону основания перпендикулярно к противолежащей боковой грани. Сторона основания     а = 30 см, а  высота пирамиды h = 20 см. Определить площадь полученного сечения.

§ 5. Многогранные углы.

1.    1)   Можно   ли   составить   трёхгранный   угол   с   такими плоскими углами: 1) 130°, 85° и 36°; 2) 100°, 70° и 40°; 3) 160°, 130° и 80°; 4) 82°, 56° и 26°; 5) 150°, 120° и 90°?

2) Можно ли составить выпуклый четырёхгранный угол из таких плоских углов: 1) 40°, 70°, 100° и 150°; 2) 150°, 30°, 70° и 40°; 3) 130°,  50°, 30° и 70°?

2.   Если в правильной   четырёхугольной  пирамиде   плоский угол при вершине равен 60°, то противолежащие боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Доказать.

3.    Из  общей   внешней   точки   проведены к плоскости  две наклонные,   из   которых   одна   составляет   с   плоскостью  угол в 70°, а другая — в 15°.   Чему может быть равен   угол между этими наклонными?

4.   Каждый   плоский угол трёхгранного   угла равен 60°; на одном из рёбер отложен от вершины отрезок, равный 3, и из конца его опущен  перпендикуляр  на противолежащую   грань. Найти длину перпендикуляра.

5.   В трёхгранном угле SABC дано: /  BSC = 90°, /  ASB = /  ASС = 60° и SA = a. Требуется:

1)  найти расстояние от точки А до плоскости BSC;

2)  доказать, что ребро SA составляет с плоскостью BSC угол в 45°.

6.   Если в трёхгранном угле (черт.  13)   один  плоский угол BSC прямой, а два других угла ASB и ASC содержат по 60°, то плоскость ВАС, отсекающая от рёбер три равных отрезка, перпендикулярна к плоскости прямого угла. Доказать.

 

7.  В трёхгранном   угле два плоских угла по 45°, двугранный угол между ними прямой. Найти третий плоский угол.

8.   В  трёхгранном   угле   два   плоских   угла по 45°,   третий плоский угол 60°.   Найти   двугранный   угол,   противолежащий третьему плоскому углу.

9.   В трёхгранном угле два плоских угла по 60°, третий прямой. Найти угол   между плоскостью  прямого угла и противолежащим ребром.

10.   В  трёхгранном   угле   рёбра   взаимно   перпендикулярны. Внутри него из вершины проведён отрезок, проекция которого на каждое из рёбер равна 1.   Найти   его  проекции   на   грани. Сделать чертёж.

11.   В трёхгранном угле все плоские углы прямые. Внутри него дана точка на расстоянии 1 дм, 2 дм и 2 дм от его граней. Найти расстояние данной точки от вершины угла.

12.  В трёхгранном угле все плоские углы прямые. Внутри него из вершины   проведён отрезок   х,   проекции   которого на рёбра 2 см, 3 см и 6 см. Найти длину этого отрезка (черт.  14).

§ 6. Правильные многогранники.

1. Ребро правильного октаэдра a = 1 м (черт. 15). Определить расстояние EF между двумя противолежащими вершинами октаэдра (ось октаэдра).

 

2.  В кубе (черт. 16) из одной вершины (D) проведены диагонали граней DA, DB и DC и концы их соединены прямыми. Доказать, что многогранник DABC, образованный четырьмя плоскостями, проходящими через эти прямые,— правильный тетраэдр.

 

3.   Ребро  куба   равно   а.   Вычислить   поверхность   вписанного в него   правильного   октаэдра (черт. 17). Найти её отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.

 

4.   1) Сколько   плоскостей   симметрии можно  провести через одну вершину правильного тетраэдра?

2) Сколько плоскостей симметрии вообще можно провести в правильном тетраэдре?

5. Соединить прямыми центры каждых двух смежных , граней правильного октаэдра и через смежные прямые провести плоскости. Доказать, что полученный таким образом шестигранник — куб, и вычислить его поверхность, если ребро октаэдра равно а.

6. 1) Ребро правильного октаэдра равно а; найти расстояние между центрами двух соседних граней.

2) Ребро правильного октаэдра равно 3; найти расстояние между противолежащими параллельными гранями.

7.  В правильный тетраэдр вписана правильная треугольная призма с равными рёбрами так, что вершины одного её основания   находятся   на   боковых   рёбрах   тетраэдра,   а   другого — в плоскости его основания. Ребро тетраэдра равно а. Определить ребро призмы.

8.   В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины находятся на рёбрах октаэдра. Ребро октаэдра равно а. Определить ребро куба.

§ 7. Параллелепипеды и призмы.

Диагонали параллелепипеда.

1. Определить диагонали прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям:  1) 1; 2; 2;  2) 2; 3; 6;  3) 6; 6; 7;  4) 8; 9; 12;  5) 12; 16; 21.

2. 1) Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, стороны основания равны 6 м и 8 м и одна из диагоналей основания равна 12 м. Определить диагонали параллелепипеда.

2) В предыдущей задаче заменить данные числа по порядку следующими: 9 см, 7 см,  11 см  и 14 см.

3.   В   прямом   параллелепипеде   стороны   основания   3 см  и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Меньшая диагональ  параллелепипеда с плоскостью основания составляет угол в 60°. Определить диагонали параллелепипеда.

4.   В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 см и 5 см;   расстояние   между   меньшими   из   них   4 см;   боковое ребро равно 2√2  см. Определить диагонали параллелепипеда.

5.   Определить диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.

6.   1) В прямом параллелепипеде стороны основания длиной 3 см и 4 см   составляют   угол в 60°,   а   боковое   ребро   есть средняя пропорциональная между сторонами основания.   Определить диагонали этого параллелепипеда.

2) В прямом параллелепипеде рёбра, выходящие из одной вершины, равны 1 м, 2 м и 3 м, причём два меньших образуют угол в 60°. Определить диагонали этого параллелепипеда.

7.   Ребро куба равно а. Определить расстояние от вершины  куба до его диагонали.

8.   Ребро   куба   равно а.   Найти кратчайшее расстояние  от диагонали до непересекающего её ребра.

9. Доказать, что во всяком  параллелепипеде  сумма  квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех рёбер.

Сечения  параллелепипеда

10. 1) В прямоугольном параллелепипеде стороны   основания   равны   7 дм  и   24 дм, а высота параллелепипеда равна 8 дм. Определить площадь диагонального сечения.

2) В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро равно 5 см, площадь диагонального сечения 205 см2 и площадь основания 360 см2. Определить стороны основания.

11.    В прямом   параллелепипеде боковое ребро   равно 1 м, стороны основания равны 23 дм и 11 дм, а диагонали основания   относятся   как  2:3.   Определить   площади  диагональных сечений.

12.   В прямом параллелепипеде стороны основания  17 см и 28 см;    одна   из   диагоналей   основания   равна   25 см;   сумма площадей диагональных сечений относится к площади основания, как  16:15. Определить  площади  диагональных   сечений.

13.   В прямом  параллелепипеде с основанием  ABCD  дано: АВ=29 см, AD = 36 см, BD = 25 см и боковое ребро   равно 48 см. Определить площадь сечения AB1С1D.

14.   В прямом параллелепипеде острый угол основания содержит α°; одна из сторон основания равна а; сечение, проведённое через эту сторону и противоположное ей ребро, имеет площадь   Q  и   образует   с   плоскостью   основания   угол 90° — α°. Определить другую сторону основания.

15.   Основанием наклонного  параллелепипеда   служит   ромб  ABCD,   в   котором     /  BAD = 60°;   боковые   рёбра   наклонены к плоскости   основания под углом в 60°, и плоскость АА1С1С перпендикулярна к плоскости основания. Доказать, что площади сечений BB1D1D и АА1С1С относятся как 2 : 3.

Призмы.

16.  (Устно.)  Сколько диагоналей можно провести в четырёхугольной призме? в пятиугольной?   в    треугольной?   в   n-угольной?

17.  (Устно.) Сколько плоских углов в пятиугольной призме? сколько двугранных? сколько трёхгранных?

18.  (Устно.)  1) Какие   фигуры   представляют   собой диагональные   сечения   параллелепипеда?   2) Сколько   диагональных сечений можно провести в пятиугольной призме через одно её ребро?  3) На сколько частей эти плоскости (вопрос 2) делят данную призму?   4) Какое тело  представляет   каждая из этих частей (вопросы 2 и 3)?

19.  (Устно.) Сколько диагональных сечений можно провести в n-угольной призме через все её боковые рёбра?

Правильная призма.

20. 1) В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 144 см2, a высота равна 14 см. Определить диагональ этой призмы.

2) Определить диагональ правильной четырёхугольной призмы, если диагональ основания равна 8 см, а диагональ боковой грани равна 7 см.

21.  Если в правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны, то диагонали А1С и B1D образуют угол в 60°. Доказать.

22.  В правильной четырёхугольной призме площадь боковой грани   равна   Q.   Определить площадь диагонального сечения.

23. Основанием призмы служит правильный шестиугольник со стороной а; боковые грани — квадраты.   Определить   диагонали этой призмы и площади её диагональных сечений.

24.  Внутри правильной шестиугольной   призмы,   у   которой боковые грани —квадраты, провести плоскость через сторону  нижнего  основания    и противолежащую   ей   сторону верхнего   основания.   Сторона основания равна а. Определить площадь сечения.

25.   Каждое ребро правильной треугольной призмы а = 3м. Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти площадь сечения.

26.  Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна   15; высота равна 20.   Найти кратчайшее расстояние  от стороны   основания   до   непересекающей её диагонали призмы.

27.  Квадрат с проведённой в нём диагональю свёрнут в виде боковой поверхности правильной   четырёхугольной призмы,   и,  таким   образом,   диагональ    квадрата   обратилась   в   ломаную линию   (не   плоскую).   Определить   угол   между   смежными   её отрезками   (черт.  18).

 

Прямая призма.

28. В прямой треугольной призме через одну из сторон основания проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро и отклонённая от плоскости основания на 45°. Площадь основания равна Q. Определить площадь сечения.

29.   В  прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см,  17 см и 21  см,   а   высота   призмы  18 см.   Определить площадь сечения, проведённого через боковое ребро и меньшую высоту основания.

30. Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы равны 8 см и 5 см; высота 2 см. Найти сторону основания.

Наклонная призма

31.   Боковое   ребро l =15 см  наклонной призмы наклонено к плоскости основания под углом α = 30°. Определить высоту   призмы.

32. В треугольной призме (наклонной) из двугранных углов между боковыми  гранямидва содержат: 20°43'28" и 105°27'32". Чему равен третий угол?

33. В   треугольной  призме   (наклонной) расстояния между боковыми рёбрами 37 см, 13 см и 40 см. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

§ 8. Поверхность параллелепипеда и призмы.

Куб и прямоугольный параллелепипед.

1.  (Устно.) Поверхность куба равна 24 м2. Найти его ребро.

2.   а) Определить   ребро куба, если  его поверхность равна: 1) 5046 см2; 2) 793 1/2 дм2; 3) 47 м2.

b) Определить  поверхность  куба: 1) по  его  диагонали l ; 2) по данной площади Q его диагонального сечения.

3.   1) Определить поверхность прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям: а =10 см, b = 22 см и с = 16 см.

2)  Рёбра   прямоугольного   параллелепипеда   относятся   как 3:7:8,   а   поверхность   содержит   808 см2.  Определить рёбра.

4.   В   прямоугольном   параллелепипеде   стороны   основания относятся как   7: 24, а площадь диагонального   сечения  равна 50 дм2. Определить боковую поверхность.

5.   Определить боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q и площадь диагонального сечения М.

Прямой параллелепипед.

6. B прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 м и 8 м и образуют угол в 30°; боковое ребро равно 5 м. Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

7.    В   прямом   параллелепипеде   стороны   основания   равны 10 см и 17 см;   одна   из  диагоналей   основания   равна 21 см; бoльшая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Определить полную поверхность параллелепипеда.

8.   В   прямом   параллелепипеде   стороны   основания   3 см и 8 см; угол   между   ними   содержит   60°.   Боковая  поверхность параллелепипеда равна 220 см2. Определить полную поверхность и площадь меньшего диагонального сечения.

9.   Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями в 6 см и 8 см; диагональ боковой грани равна 13 см. Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

10. Основанием   прямого   параллелепипеда  служит  ромб, а площади диагональных сечений М и N. Определить боковую поверхность параллелепипеда.

Правильная призма

11.  (Устно.) В прямой треугольной призме все рёбра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найти высоту.'

12.  (Устно.) Боковая поверхность правильной  четырёхугольной призмы равна 32 м2, а полная поверхность 40 м2. Найти высоту.

13.  По стороне основания а и боковому ребру b определить полную    поверхность    правильной    призмы:    1)    треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

14.   Определить   полную   поверхность правильной   четырёхугольной призмы, если её диагональ равна 14 см, а диагональ боковой грани равна  10 см.

15.   Диагональ   правильной   четырёхугольной нриммы   равна 9 см,   а   полная   поверхность   её   равна   144 см2.   Определить сторону основания и боковое ребро.

16.  Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы   и   середину  противолежащего ребра, образует с основанием угол в 45°. Сторона основания  l. Определить боковую поверхность призмы.

Прямая призма.

17.  Определить полную поверхность прямой треугольной призмы, если ее высота равна 50 см, а стороны основания 40 см, 19 см, 37 см.

18. В прямой треугольной призме стороны основания   равны   26 дм,   29 дм и 36 дм, а полная поверхность содержит 1620 дм2. Определить боковую поверхность и высоту призмы.

19.   В прямой треугольной призме стороны основания относятся  как   17 : 10 : 9,   а   боковое   ребро  равно 16 см;   полная поверхность этой призмы содержит 1440  см2, Определить стороны основания.

20.   Основанием    прямой    призмы    служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона относится к основанию, как 5:6. Высота призмы равна высоте  основания, опущенной   на   его   боковую   сторону;   полная  поверхность   содержит 2520 м2. Определить  рёбра призмы.

21.  Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция  ABCD  со  сторонами  АВ = CD = 13 см,  ВС = 11 см  и АD = 21 см; площадь её диагонального сечения равна 180 см2. Определить полную поверхность этой призмы и площадь сечения AB1C1D.

22.  Площадь наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной призмы равна 1 м2. Найти боковую поверхность.

23.  Основанием прямой призмы служит правильный десятиугольник,  вписанный в круг радиуса R. Боковое ребро призмы равно  диагонали   основания,   проведенной   из первой   вершины к четвёртой.   Определить   боковую   поверхность  этой призмы.

Наклонные призмы и параллелепипеды.

24. (Устно.)   Расстояние между боковыми  рёбрами  наклонной треугольной призмы:   2 см, 3 см и 4 см; боковая поверхность равна 45 см2. Найти боковое ребро.

25. 1) В наклонной четырёхугольной призме боковое ребро равно 8 см, а расстояния между последовательными боковыми рёбрами: 3 см, 6 см, 2 см и 7 см. Определить её боковую поверхность.

2) В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны; их общее ребро равно 24 см и отстоит от двух других боковых рёбер на 12 см и 35 см. Определить боковую поверхность этой призмы.

26. 1) В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми рёбрами равны 37 см, 15 см и 26 см, а боковая поверхность равновелика перпендикулярному сечению. Определить боковое ребро.

2) В наклонной треугольной призме боковые рёбра содержат по 8 см; стороны перпендикулярного сечения относятся как 9:10:17, а его площадь равна 144 см2. Определить боковую поверхность этой призмы.

27. 1) Основанием параллелепипеда служит квадрат; одна из вершин верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего основания. Сторона основания равна а, боковое ребро равно b. Определить полную поверхность этого параллелепипеда (черт. 19).

 

2) В том же параллелепипеде определить диагонали и площади диагональных сечений.

28. Основанием наклонной, призмы служит  правильный  треугольник со стороной а;   длина бокового ребра равна b; одно из боковых рёбер образует с прилежащими сторонами основания углы в 45°. Определить боковую поверхность этой призмы (черт. 20).

 

29. Основанием наклонной призмы   служит   равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ =AС=10 см и ВС= 12 см; вершина А1 равноудалена  от вершин А, В и С, и ребро АА1 = 13 см. Определить полную поверхность этой призмы.

§ 9. Пирамида.

1.  По данной стороне основания а и боковому ребру b определить высоту правильной пирамиды:  1) треугольной;  2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

2.  По данной стороне основания а и высоте h определить апофему   правильной   пирамиды:   1)  треугольной;   2)   четырёхугольной; 3) шестиугольной.

3.   Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 см, а сторона   основания равна   8 см. Определить боковое   ребро.

4.   Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны  содержат   3 см и 7 см, а одна   из диагоналей 6 см; высота пирамиды, проходящая через точку пересечения диагоналей основания, равна 4 см. Определить боковые ребра пирамиды.

5.   Основанием  пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6 см и высота 9 см; боковые рёбра равны между собой, и каждое содержит 13 см. Определить высоту этой пирамиды.

6. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Определить высоту этой пирамиды?

7. Основание пирамиды —прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см; каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.  Вычислить высоту пирамиды.

8. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а остальные четыре находятся в плоскости её основания. Определить ребро куба, если в пирамиде сторона основания равна а, а высота равна h.

Сечения пирамиды.

9. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 14 см, а длина бокового ребра 10 см. Определить площадь диагонального сечения.

10.   В правильной шестиугольной пирамиде высота равна h, а   сторона   основания   а.   Определить   площади   диагональных сечений.

11.   В правильной треугольной пирамиде по стороне основания а и боковому ребру b определить площадь   сечения, проведённого через боковое ребро и высоту пирамиды.

12.  (Устно.)  В   пирамиде   проведено   сечение   параллельно основанию через середину высоты. Площадь основания равна Q. Определить площадь  сечения.

13.   Высота пирамиды разделена на четыре равные части, и через точки деления  проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 кв. ед. Определить площади полученных сечений.

14.   Высота   правильной   пирамиды   разделена   на п равных частей, и через точки деления проведены сечения, параллельные основанию.   Площадь   основания   Q.   Найти   площади   сечений (Q = 400, n = 5).

15.   В  пирамиде   сечение,   параллельное   основанию,   делит высоту в отношении 3:4 (от вершины к основанию), а площадь сечения   меньше   площади   основания на 200 см2.   Определить площадь основания.

16.   На каком расстоянии от вершины пирамиды с высотой h надо провести сечение параллельно основанию, чтобы площадь сечения равнялась: 1) половине площади основания; 2) 1/3, 1/5  и вообще 1/n площади основания?

17.   1) Высота   пирамиды   равна   16 м;   площадь основания равна   512  м2.   На   каком  расстоянии от основания находится сечение, параллельное основанию, содержащее 50 м2?

2) В пирамиде площадь основания равна 150 см2, площадь параллельного сечения 54 см2, расстояние между ними равно 14 см. Определить высоту пирамиды.

18.  В правильной треугольной пирамиде через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная к противолежащему боковому ребру. Определить площадь получившегося сечения, если сторона основания равна а, а высота пирамиды h (a = 1; h = 4).

19. Сторона основания правильной   четырёхугольной   пирамиды равна а. Боковое ребро образует с высотой угол в 30°. Построить сечение, проходящее через вершину основания перпендикулярно к противоположному ребру, и найти  его  площадь   (черт.   21).

Ответы к задачам по геометрии Рыбкин 2 from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (25.07.2016)
Просмотров: | Теги: Рыбкин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar