Тема №6680 Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 6) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии Рыбкин (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 10. Поверхность пирамиды.

Правильные пирамиды.

1. По стороне основания а и высоте h определить полную поверхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3), шестиугольной.

2.   Определить боковую   поверхность  правильной треугольной   пирамиды,   если   её   высота равна 4 см, а апофема 8 см.

3.   Определить полную поверхность правильной шестиугольной  пирамиды,   если   апофема   пирамиды   равна   k   и   апофема основания r.

4.   Определить   высоту   правильной   треугольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковая поверхность вдвое больше площади основания.

5.   В правильной четырёхугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м2, а полная поверхность 18 м2. Определить сторону основания и высоту пирамиды.

6.   Определить боковую поверхность   правильной треугольной  пирамиды,   если   сторона   основания   равна   а   и   боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 45°.

7.  По стороне основания а определить боковую поверхность правильной четырёхугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию;

8.   Определить сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды по её высоте h и боковой поверхности Р.

9.   Определить  сторону  основания   и  апофему  правильной треугольной   пирамиды,   если её боковое   ребро и боковая поверхность соответственно равны 10 см и   144 сма.

10.  В  правильной   четырёхугольной   пирамиде   определить сторону основания, если боковое  ребро  равно 5 см, а полная поверхность 16 см2.

11.  Определить   боковую  поверхность   правильной  шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковая грань равновелика диагональному сечению, проведённому через диаметр основания.

12.   Определить   боковую   поверхность   правильной десятиугольной пирамиды, если радиус основания пирамиды равен R, а высота пирамиды более радиуса основания на половину стороны основания.

13.  Центр верхнего основания куба и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в этот куб пирамиды. Определить её боковую поверхность по данному ребру куба а.

Неправильные пирамиды.

14. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями в 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, лежащего в основании пирамиды, и равна 1 м. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

15. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны содержат 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см2, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

16. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны равны 5 м и 4 м, а одна из диагоналей 3 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Определить полную поверхность этой пирамиды.

17. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого одна сторона содержит 40 см, а две другие по 25 см. Высота пирамиды проходит через вершину угла, образуемого равными сторонами основания, и равна 8 см. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

18. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами: 13 см, 14 см  и 15 см. Боковое ребро, противолежащее средней по величине стороне основания, перпендикулярно к плоскости основания и равно 16 см. Определить полную поверхность этой пирамиды.

19. Основанием пирамиды SABC служит прямоугольный треугольник ABC, в котором гипотенуза АВ = 26 см и катет АС = 24 см; ребро SA перпендикулярно к плоскости основания АВС и равно 18 см. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

20. Основанием пирамиды служит квадрат, её высота проходит через одну из вершин основания.   Определить  боковую, поверхность   этой   пирамиды,   если   сторона   основания   равна 20 дм, а высота равна 21 дм.

21.  Основанием пирамиды служит  правильный шестиугольник со стороной а; одно  из  боковых  рёбер   перпендикулярно к плоскости основания и равно стороне основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

22.   Основанием    пирамиды    служит    равносторонний    треугольник    со    стороной   а;   одна   из   боковых    граней   также равносторонний     треугольник     и     перпендикулярна     к    плоскости основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

§11. Усечённая пирамида.

1.  Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна   7 см.   Стороны   оснований   10 см  и   2 см.   Определить боковое  ребро пирамиды.

2.  Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды 4 дм и 1  дм. Боковое   ребро  2 дм. Найти  высоту.

3.   Определить    высоту    правильных   усечённых    пирамид: 1) треугольной;   2)   четырёхугольной;  3) шестиугольной,   если даны   боковое   ребро   с и стороны а и b нижнего  и   верхнего оснований.

4.   В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде   высота равна 63 см, апофема равна 65 см, а стороны оснований относятся как 7:3. Определить эти стороны.

5. (Устно.) Сколько диагоналей можно провести в   усечённой пятиугольной пирамиде? в усечённой n-угольной пирамиде?

6.   В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна 2 см, а   стороны   оснований   3 см   и   5 см.   Определить диагональ этой усечённой пирамиды.

7.  Определить стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её высота равна 7 см, боковое ребро 9 см и диагональ 11  см.

8.   Диагонали АС1 и А1С правильной четырёхугольной усечённой    пирамиды   ABCDA1B1C1D1   взаимно   перпендикулярны; каждая из них равна 2. Найти высоту.

9.   Диагонали   данной   правильной четырёхугольной усечённой   пирамиды   перпендикулярны   к   боковым   рёбрам;   сторона нижнего   основания   равна 9 см и боковое   ребро   равно 8 см. Определить   сторону   верхнего   основания,   высоту   усечённой пирамиды и расстояние от точки пересечения её диагоналей до плоскости нижнего основания.

10.   В   правильной    четырёхугольной    усечённой   пирамиде сторона большего основания а,  сторона меньшего b.   Боковое ребро образует, с основанием угол в 45°. Найти боковое ребро.

11. Стороны основания правильной треугольной усечённой пирамиды 2 см  и 6 см. Боковая грань образует с бoльшим основанием угол в 60°. Найти высоту.

Сечения.

12. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4. Стороны оснований равны 2 и 8. Найти площади диагональных сечений.

13.   В правильной усечённой треугольной пирамиде сторона большего  основания   а,   сторона   меньшего  b.   Боковое ребро образует с основанием  угол  в   45°.   Провести  сечение  через боковое ребро и ось и найти его площадь.

14.   Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4 см, диагональ 5 см. Найти площадь диагонального сечения.

15.   В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде площади   оснований  Q   и   q ,   а   боковое   ребро составляет с плоскостью нижнего   основания   угол в 45°.  Определить площадь диагонального сечения.

16.   В правильной треугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 8 м и 5 м, а высота 3 м.  Провести сечение через сторону нижнего   основания и  противоположную ей вершину верхнего основания. Определить площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием.

17.   В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны   оснований   равны 6 см  и 8 см, а   боковое  ребро 10 см. Провести сечение через конец диагонали  меньшего  основания перпендикулярно к этой диагонали и определить его площадь,

18.   Соответственные стороны оснований усечённой пирамиды относятся как 13:17, а периметр среднего сечения равен 45 м. Определить периметры оснований.

19.   Площади оснований усечённой пирамиды 9 см2 и 25 см2. Найти площадь среднего сечения.

20.  Пусть будет   в   какой-нибудь   усечённой  пирамиде   Q1 и Q2—площади оснований и М—площадь её среднего сечения.

Доказать, что 

21.  Даны   площади   оснований   усечённой   пирамиды:   2 м2 и 98 м2. Определить   площадь   параллельного сечения, проведённого через середину высоты.

22.  Высота усечённой пирамиды равна h , а площади оснований Q и q. На каком расстоянии от верхнего основания находится параллельное ему сечение, площадь которого есть средняя пропорциональная между площадями оснований?

23.   Основания усечённой пирамиды содержат 18 м2 и 128 м2. Определить площадь параллельного сечения, делящего высоту в отношении 2:3 (начиная от меньшего основания).

24.  Высота усечённой  пирамиды  разделена на три  равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Определить площади полученных сечений, если площади оснований Q и q (Q =32; q = 2).

§ 12. Поверхность усечённой пирамиды.

1.  В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найти полную поверхность.

2. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды 6 дм и 12 дм; высота равна 1 дм. Найти боковую поверхность.

3.  Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды 4 см и 2 см; высота 1 см. Найти боковую поверхность.

4.  Определить полную   поверхность   правильной   усечённой пирамиды:  1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной, если даны высота h и стороны оснований а и b (a  > b).

5.  Определить высоту правильной четырёхугольной усечённой пирамиды,   если   стороны   её   оснований а и b, а боковая поверхность равновелика сумме оснований.

6.   1)  В правильной  четырёхугольной усечённой  пирамиде апофема равна 12 см, боковое   ребро   равно   13 см и боковая поверхность 720 см2. Определить стороны оснований.

2) В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна 12 см, разность сторон оснований 10 см и полная поверхность   равна  512  см2.   Определить  стороны оснований.

7.  В правильной треугольной усечённой пирамиде двугранный угол  при  основании  равен  60°, сторона этого основания а и полная поверхность S. Определить сторону другого основания.

8.  В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде площади оснований Q и q, а боковая поверхность Р. Определить площадь диагонального сечения.

9.   Основаниями   усечённой   пирамиды    служат   правильные треугольники со сторонами а и b; одно из боковых рёбер, равное с, перпендикулярно к плоскости основания. Определить боковую поверхность этой усечённой пирамиды (а = 5; b = 3; с = 1).

10.   Основаниями усечённой   пирамиды   служат прямоугольники, причём точки пересечения диагоналей оснований находятся на   одном   перпендикуляре   к   плоскости   основания.   Стороны одного прямоугольника равны 54 см и 30 см; периметр другого прямоугольника    112 см;   расстояние   между   их   плоскостями равно 12 см. Определить боковую поверхность этой усечённой пирамиды.

11.  В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде построить внутреннюю пирамиду, принимая за её основание верхний квадрат, а за вершину — центр нижнего квадрата. Стороны квадратов: нижнего а, верхнего b. Чему равна высота пирамид (данной усечённой и внутренней полной), если их боковые поверхности равновелики?   (Указать,   при   каком   условии задача имеет решение.)

12.  В усечённой пирамиде сходственные стороны оснований относятся как 3:11.  В каком отношении   её  боковая  поверхность делится средним сечением?

§13. Цилиндр (прямой круговой).

1.  (Устно.) Радиус  основания   цилиндра   2 м,   высота 8 м. Найти диагональ осевого сечения.

2.  (Устно.)  Осевое   сечение  цилиндра —квадрат,   площадь которого Q. Найти площадь основания.

3.   (Устно.) Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на  расстоянии 4 см от неё.

4.  (Устно.) Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр этот пересечён плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси.

5.  В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая   от   окружности   основания   дугу   в   120°.   Длина   оси h =10 см;   её   расстояние   от   секущей   плоскости   а = 2   см. Определить площадь  сечения.

6.   Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π : 4. Найти угол между диагоналями осевого сечения.

7.   Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра (в   осевом   сечении — квадрат) равна а. Найти объём правильной вписанной в этот цилиндр восьмиугольной призмы.

8.   Высота   цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы данного    отрезка    лежат    на окружностях обоих оснований; длина   его   10 дм.   Найти его кратчайшее расстояние от оси.

9.    Высота   цилиндра 2 м, радиус основания 7 м. В этот цилиндр   наклонно   к оси  вписан квадрат так, что все вершины его находятся на окружностях   оснований. Найти сторону квадрата.

10.   Через   верхний   конец образующей  цилиндра   под углом в 45° к ней проведена касательная к цилиндру. Радиус основания цилиндра 1 м, высота 4 м. Определить расстояние касательной от центра каждого основания (черт. 22).

 

Поверхность  цилиндра.

11. Цилиндрический паровой котёл имеет 0,7 м в диаметре; длина его равна 3,8 м. Как велико давление пара на полную поверхность котла, если на 1 см2 пар давит с силой в  10 кг?

12.   Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, а полная поверхность равна 144π см2. Определить  радиус основания и высоту.

13.   Цилиндрическая   дымовая   труба с диаметром   в 65 см имеет высоту в  18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для её изготовления, если на заклёпку уходит 10% всего требующегося количества жести?

14.  Полуцилиндрический  свод  подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре.   Определить  полную   поверхность   подвала.

15. При паровом отоплении низкого давления количество тепла, которое даёт 1 м2 поверхности нагрева, принимается равным 550 тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром в 34 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по расчётам требуется 4500 единиц тепла в час?

16.  (Устно.)  Стороны   прямоугольника   а и b. Найти боковую   поверхность   цилиндра,   полученного   от вращения   этого прямоугольника вокруг стороны, равной а.

17.  (Устно.) Диаметр   основания  цилиндра равен 1; высота равна длине окружности основания. Найти Sбок..

18.  (Устно.)   Высота   равностороннего   цилиндра   равна   h. Найти боковую поверхность.'

19.  (Устно.) Радиус основания   цилиндра   равен R; боковая поверхность равна сумме   площадей   оснований. Найти высоту.

20.  (Устно.) Площадь   осевого   сечения  цилиндра равна Q. Найти боковую поверхность.

21.   1) Чему равно отношение боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения?

2) Какой высоты должен быть цилиндр, чтобы его боковая поверхность была в три раза больше площади основания?

22.   Определить полную поверхность равностороннего цилиндра, если боковая поверхность Р = 50 см2 ( 1/π ≈  0,32 ).

23.   1)   В  цилиндре   радиуc основания r = 2 см,   а   высота h = 7 см.   Определить   радиус   круга,   равновеликого   полной поверхности этого цилиндра.

2) Найти зависимость между высотой цилиндра и радиусом его основания, если их сумма служит радиусом круга, равновеликого полной поверхности этого цилиндра.

24.   1) Из круглого листа   металла выштампован  цилиндрический   стакан   диаметром   в 25 см  и   высотой в 50 см. Предполагая,   что при   штамповке   площадь   листа   не изменилась, определить диаметр листа.

2) К цилиндрическому стакану (см. предыдущую задачу) выштампована крышка диаметром в 25,2 см и высотой в 0,5 см. Найти диаметр круглого листа, из которого выштампована крышка.

25.  В цилиндре площадь основания равна Q и площадь осевого    сечения   М.   Определить    полную    поверхность    этого цилиндра.

26.  1)  Какая  должна  быть зависимость  между  высотой и радиусом основания, чтобы боковая поверхность цилиндра была равновелика кругу, описанному около его осевого сечения?

2) Такая же задача для полной поверхности.

27.  В цилиндр вписана   правильная шестиугольная призма. Найти  отношение  боковых  поверхностей  цилиндра и призмы.

28.   В данном цилиндре проведена плоскость, параллельная основанию, так, что площадь полученного сечения есть средняя пропорциональная между частями боковой поверхности цилиндра. Определить положение секущей плоскости (зная радиус основания R и высоту Н цилиндра). Указать условие, при котором задача имеет решение.

29.  Определить полную поверхность  цилиндра, описанного около куба с ребром а (вершины куба  находятся на окружностях основании цилиндра).

30.  Около правильного октаэдра описан цилиндр. Две вершины октаэдра лежат в центрах оснований цилиндра, а остальные   четыре — на   боковой   поверхности   его.   Ребро   октаэдра а = 10 см. Найти боковую поверхность цилиндра.

§ 14. Конус (прямой круговой).

1.  (Устно.)   Радиус   основания   конуса   3 м,   высота   4 м. Найти образующую.

2.  (Устно.)  Образующая  конуса   L наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найти высоту.

3.  (Устно.) Радиус  основания   конуса R. Осевым  сечением служит прямоугольный треугольник. Найти его площадь.

4.  Отношение площади основания конуса к площади осевого сечения равно π. Найти угол наклона образующей к основанию.

5.  Высота конуса H. На каком расстоянии от вершины надо провести  плоскость   параллельно   основанию,   чтобы  площадь сечения была равна половине площади основания?

6.   1) Радиус основания  конуса R. Через середину высоты проведена плоскость  параллельно  основанию. Найти площадь сечения.

2) Радиус основания конуса R. Определить площадь параллельного сечения, делящего высоту конуса в отношении т : п (от вершины к основанию).

7.  Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведённого через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

8.  В равностороннем конусе (в осевом сечении—правильный треугольник) радиус основания R. Найти площадь сечения, проведённого через две образующие, угол между которыми равен 30°.

9.  Высота  конуса Н. Угол  между  высотой  и образующей равен 60°.  Найти  площадь  сечения,  проведённого  через две взаимно перпендикулярные образующие.

10.   1) В конусе, у которого высота равна радиусу основания R, проведена   через   вершину  плоскость,  отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Определить площадь полученного сечения.

2) Через вершину конуса под углом в 45° к основанию проведена плоскость, отсекающая четверть окружности основания. Высота конуса равна 10 см. Определить площадь сечения.

11. Через середину высоты конуса проведена прямая параллельно образующей l. Найти длину отрезка прямой, заключённого внутри конуса.

12.   Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус этот пересечён прямой ММ, параллельной основанию; расстояние её от основания равно 6 см, а от высоты 2 см. Найти отрезок этой прямой, заключённый внутри конуса (черт. 23).

 

13.  В конусе даны  радиус основания R и высота Н. Определить ребро вписанного в него куба.

14.  В конусе  даны радиус основания R и высота  Н. В него вписана правильная  треугольная  призма, у которой  боковые грани—квадраты. Определить ребро этой призмы.

Поверхность конуса.

15.  (Устно.) Высота конуса h = 6, радиус основания r = 8. Найти боковую поверхность.

16.  (Устно.) Высота конуса h = 4, образующая а = 5. Найти полную  поверхность.

17.  Конусообразная  палатка   высотой в 3,5 м с диаметром основания в 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?

18.   Крыша   силосной  башни   имеет  форму конуса. Высота крыши 2 м. Диаметр башни 6 м. Сколько  листов кровельного железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,7x1,4 (м2) и на швы пошло 10% требующегося железа?

19.  Поверхность  конического шпиля башни равна 250 м2, диаметр основания 9 м. Найти высоту шпиля.

20.   1) Определить величину поверхности, полученной вращением  хорды  около   диаметра,   выходящего  из её  конца, если диаметр равен 25 см, а хорда равна 20 см.

2) Из точки А на окружности радиуса r = 7 м проведена касательная АB = l = 24 м, а из её конца В — секущая ВОС через центр. Определить величину поверхности, которую описывает отрезок ВС секущей, вращаясь вокруг касательной.

21.  Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей высоты. Определить стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см, а полная поверхность тела вращения равна 60π см2.

22.  Наибольший угол между образующими конуса равен 60°. Найти отношение боковой поверхности к площади основания конуса.

23.  1) Как относятся между собой площадь основания, боковая поверхность   и полная   поверхность в равностороннем   конусе?

2) По высоте H равностороннего конуса определить его полную поверхность.

24.  Как   относится    боковая   поверхность   равностороннего конуса к боковой поверхности равностороннего цилиндра, имеющего такую же высоту?

25.  Найти зависимость между образующей и радиусом основания конуса, у которого боковая поверхность есть средняя пропорциональная между площадью основания и полной поверхностью.

26. 1) Какая должна быть зависимость между образующей конуса и радиусом основания, чтобы его полная поверхность была равновелика кругу, за радиус которого принята высота конуса?

2)  Какая должна быть зависимость между образующей конуса и радиусом основания, чтобы его полная поверхность была равновелика кругу, радиус которого равен образующей конуса?

Развёртка конуса.

27. 1) Высота конуса 4, радиус основания 3; боковая поверхность конуса развёрнута на плоскость. Найти угол полученного сектора.

2) По радиусу основания R и образующей L определить угол в развёртке боковой поверхности конуса. (Рассмотреть особо случай равностороннего конуса.)

3)  Вычислить угол в развёртке боковой поверхности конуса: а) если наибольший угол между образующими— прямой; b) если образующая   составляет с   плоскостью   основания   угол в 30°.

28.   1) Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найти угол между образующей и высотой конуса.

2) Радиус сектора равен 3 м; его угол 120°. Сектор свёрнут в коническую   поверхность.   Найти   радиус   основания   конуса.

29.   1) Боковая поверхность  конуса содержит 80 см2; угол в её развёртке равен 112° 30'. Определить площадь основания.

2)  Боковая   поверхность   конуса   равна   10 см2  и развёртывается в сектор с углом в 36°. Определить полную поверхность.

3)   Боковой поверхностью конуса служит свёрнутая четверть круга.   Определить   полную   поверхность   этого   конуса,   если площадь его осевого сечения равна М.

Вписанный и описанный конус.

30. Если  наибольший угол между образующими конуса равен 120°, то его боковая поверхность   равновелика   боковой   поверхности   цилиндра,   имеющего   те   же  самые  основания и высоту. Доказать.

31.  В равносторонний   конус   вписана  правильная четырёхугольная пирамида. Как относятся боковые поверхности конуса и пирамиды?

32. В данном конусе радиус основания r = 39 см, а высота h = 52 см. В него вписан цилиндр такой высоты, что его боковая поверхность равновелика боковой поверхности малого конуса, стоящего на его верхнем основании. Определить высоту цилиндра.

33.  В конус с высотой Н и образующей L вписан цилиндр, у которого боковая поверхность в п раз менее боковой поверхности конуса. Определить высоту цилиндра (L= l,5H;  n = 4).

34.   В конус вписан цилиндр, у которого полная поверхность равновелика   боковой   поверхности   конуса.   Наибольший   угол между образующими конуса равен прямому. Доказать, что расстояние от вершины   конуса до   верхнего   основания цилиндра равно половине образующей конуса.

§ 15. Усечённый  конус.

1.  (Устно.) Радиусы оснований усечённого конуса 3 м и 6 м; высота 4 м. Найти образующую.

2.  (Устно.) Радиусы оснований усечённого конуса R и r; образующая наклонена к основанию под углом в 45°. Найти высоту.

3.  Радиусы   оснований   усечённого  конуса   11 см и 16 см; образующая  13 см. Найти расстояние от центра меньшего основания до окружности большего.

4.  (Устно.) Высота усечённого конуса равна H; определить образующую, если она наклонена к основанию под углом в 30°.

5.   Образующая   усечённого   конуса  равна 2а и  наклонена к основанию под углом в 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найти каждый из радиусов.

6.   Радиусы   основания   усечённого   конуса   3 дм   и   7 дм; образующая 5 дм. Найти площадь осевого сечения.

7.   1) Площади оснований усечённого конуса 4 м2 и 16 м2. Через середину высоты проведена плоскость параллельно основанию. Найти площадь сечения.

2) Площади  оснований  усечённого  конуса  M и m. Найти площадь среднего  сечения, параллельного основаниям.

8.  Площади оснований  усечённого   конуса 4 и 25. Высота разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости   параллельно   основаниям.   Найти   площади сечений.

9.   В усечённом   конусе   площади  оснований   1 м2 и 49 м2. Площадь параллельного сечения равна их полусумме. На какие части это сечение делит высоту?

10. В усечённом конусе высота h = 10 см, а радиусы оснований 8 см и 18 см. На каком расстоянии от меньшего основания находится параллельное сечение, площадь которого есть средняя пропорциональная между площадями оснований?

Поверхность усечённого конуса.

11.  Высота усечённого конуса 4 дм; радиусы его оснований 2 дм и 5 дм. Найти Sбок.

12.  Радиусы оснований усечённого конуса R и r. Образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найти боковую поверхность.

13.   Радиусы оснований усечённого конуса и его образующая относятся как  1:4:5; высота равна 8 см. Найти Sбок.

14.  1) Определить высоту усечённого конуса, если его полная поверхность равна 572π  м2, а радиусы оснований   6 м  и 14 м.

2) В усечённом конусе высота h = 63 дм, образующая l = 65 дм и боковая поверхность  S = 26π  м2. Определить радиусы оснований.

15.   Сколько   квадратных   метров   латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая  1,42 м?

16.   Над котлом устроен колпак в форме усечённого конуса, размеры   которого   (в метрах)   даны на чертеже 24.   Сколько квадратных   метров  листового  железа  потребовалось для его изготовления? (Обрезки не принимаются во внимание.)

 

17.   Сколько олифы потребуется для окраски 100 вёдер конической   формы, если  диаметры   ведра   25 см и 30 см, а образующая 27,5 см и если на 1 м2 требуется 150 г олифы?

18.  Сколько материала пойдёт на изготовление урны, форма и размеры которой (в сантиметрах) указаны на чертеже 25, если на швы требуется прибавить 3%?

 

19.   1) В усечённом конусе образующая l = 5 см, а радиусы оснований   1 см  и  5 см.   Найти  радиус  цилиндра с такой же высотой и такой же величиной боковой поверхности.

2) В усечённом конусе радиусы оснований 6 см и 10 см, а образующая  l = 4 см. Требуется: а) найти радиус цилиндра такой же высоты, полная поверхность которого была бы равновелика боковой поверхности данного усечённого конуса; b) найти радиус цилиндра такой же высоты, полная поверхность которого была бы равновелика полной поверхности усечённого конуса.

20.  Определить боковую поверхность усечённого конуса, если его образующая составляет с плоскостью основания угол в 30°, а площадь осевого сечения равна F.

21. Боковая поверхность усечённого конуса равна S, а радиусы оснований R и r. Определить боковую поверхность полного конуса.

22. Определить высоту усечённого конуса,если его боковая поверхность равновелика сумме оснований, а их радиусы равны R и r.

23.   1) Определить боковую поверхность усечённого конуса, у которого  образующая  составляет   с  плоскостью  основания угол в 45°, а радиусы оснований R и r.

2) Определить боковую поверхность усечённого конуса, если его образующая составляет с плоскостью основания угол 60°, а площади оснований Q и q.

24.   1) В усечённом конусе даны: высота Н, образующая L и боковая поверхность S. Определить площадь осевого сечения.

2) В усечённом конусе определить площадь осевого сечения, если даны площади оснований Q и q и боковая поверхность S.

25.   В усечённом конусе радиусы оснований 1 см и 3 см. Определить образующую, если полная поверхность усечённого конуса должна быть равновелика всему тому круговому кольцу, в часть которого развертывается боковая поверхность усечённого конуса.

§ 16. Объём параллелепипеда, призмы и цилиндра.

1.   (Устно.)   Объём   куба   8 м3.   Найти   его   поверхность.

2. Три латунных куба с рёбрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб.   Какую  длину  имеет ребро этого куба?

3. 1) Металлический куб имеет внешнее ребро а =10,2 см и весит 514,15 г. Толщина стенок m = 0,1 см. Найти удельный вес металла, из которого сделан куб.

2)    Из   10 кг   свинца   отливают   куб.   Найти   ребро   куба. (Удельный вес свинца 11,4; угар во внимание не принимается.)

3) Чугунный полый куб, наружное ребро которого 260 мм, имеет толщину стенок в 30 мм. Найти его веc (Удельный вес чугуна 7,4.)

4. Определить   объём   куба: 1) по его диагонали l , 2) по его поверхности S.

5. 1) Если   каждое   ребро   куба увеличить на 2 см, то его объём увеличится на 98 см3. Определить ребро.

2)   Если   каждое   ребро   куба   увеличить   на  1 м, то  объём увеличится в 125 раз.  Определить ребро.

3)  Поверхность   (в кв. ед.) и объём   куба   (в куб. ед.) выражены одним числом. Найти ребро куба.

6. (Устно.) Как относятся объёмы двух кубов: данного и его модели, уменьшенной в масштабе 1 :2; 1:3; 1:4 и т.д.; вообще 1 : п?

Прямоугольный параллелепипед.

7.   Кирпич (25 см  х 12 см  х 6,5 см)   весит 3,51 кг. Найти его удельный вес.

8.   Требуется установить   резервуар для воды ёмкостью в 10 м3 на площади размером 2,5 м х 1,75 м,   служащей   для   него   дном. Найти высоту резервуара.

9. Прямоугольный золотой лист имеет размеры 4,7 см х 6,2 см  и весит 6,3 г. Найти толщину листа. (Удельный вес золота 19,3.)

10. Плот сколочен из 16 балок прямоугольного сечения, из которых каждая имеет 3,6 м длины,  0,20 м ширины   и 0,25 м толщины. Какой наибольший груз может он поднять, не затонув? (Удельный вес дерева равен 0,84.)

11. Для учёта дров, поступающих в котельную, сделана мерка длиной в 1,5 м (черт. 26). Поступающие в котельную дрова имеют разную длину: 54 см, 71 см и 1 м. Определить   высоту   кладки   для каждого  размера,   если   единица измерения во всех случаях—кубический метр.

 

12. (Устно.) Во сколько   раз   нужно  увеличить   каждое из трёх измерений  прямоугольного   бруса, чтобы   объём его увеличился вдвое? втрое? вообще в п раз?

13. Измерения   прямоугольного  бруса:   3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить   каждое   ребро   на х сантиметров, то  поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится его объём?

14.   1) Измерения   прямоугольного   параллелепипеда: 15 м, 50 м и 36 м. Найти ребро равновеликого ему куба.

2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см. Найти ребро такого куба, чтобы объёмы этих тел относились как их поверхности.

15. 1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 35 см, а рёбра относятся как 2:3:6. Определить объём параллелепипеда.

2) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как т : п, а диагональное сечение — квадрат с площадью Q. Определить объём параллелепипеда.

16.   1) Площади трёх граней  прямоугольного  параллелепипеда 2 м2, 3 м2 и 6 м2. Найти его объём.

2) Определить объём прямоугольного параллелепипеда по данным площадям его граней: Q1,  Q2 и Q3.

17. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет с одной гранью у гол в 30°, а с другой в 45°. Определить объём.

Прямой параллелепипед.

18. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол в 30°; боковая поверхность равна S. Определить его объём.

19. 1) Основанием прямого параллелепипеда   служит параллелограмм, у которого одна из диагоналей равна 17 см, а стороны равны 9 см и 10 см. Полная поверхность этогопараллелепипеда содержит 334 см2. Определить его объём.

2) В прямом параллелепипеде стороны основания равны 13 дм и 37 дм, а большая диагональ основания равна 40 дм. Боковое ребро относится к большей диагонали параллелепипеда, как 15:17. Определить объём этого параллелепипеда.

20. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2√2  см и 5 см и образуют угол в 45°; меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Определить его объём.

21. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°; меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определить объём этого параллелепипеда.

22.    1) Основанием прямого параллелепипеда  служит ромб,  площадь которого равна 1 м2. Площади диагональных сечений  3 м2 и 6 м2. Найти объём параллелепипеда.

2) Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна Q; площади диагональных сечений равны М  и N. Определить объём параллелепипеда.

23.  Основанием  параллелепипеда  служит ромб; диагональные сечения   перпендикулярны к  плоскости   основания, и площади их содержат 100 см2  и 105 см2, а длина их линии пересечения   равна   10 см.   Определить   объём   и боковую поверхность этого параллелепипеда.

24. Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм,у которого стороны содержат 3 см и 5 см и образуют угол в 60°; площадь большего диагонального сечения равна 63 см2. Определить меньшую диагональ параллелепипеда, боковую поверхность и объём.

25. В прямом   параллелепипеде с основанием  ABCD ребро  АВ = 50 см; перпендикуляр В1Е, опущенный из вершины В1 на ребро   AD,   равен   41 см и. делит AD на   отрезки АЕ=30 см и ED=18 см. Определить объём параллелепипеда.

Правильная призма

26. По стороне основания а и боковому ребру b определить объём правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

27. Деревянная плитка в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной в 0,7 см весит 17,3 г. Найти удельный вес дерева.

28.  Сколько   весит   железная   колонка,   имеющая   вид правильной двенадцатиугольной призмы, сторона основания которой а=12см и высота h = 78 см? (Удельный вес 7,4.)

29.  Чугунная труба имеет квадратное сечение, её внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см.  Сколько весит погонный метр трубы?' (Удельный вес 7,3.)

30. 1) Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 3,5 м, а диагональ   боковой   грани  2,5 м.   Определить   объём.

2) Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 6 см, а боковая поверхность 32 см2. Определить объём.

31.   1) Сторона основания   правильной  треугольной призмы равна а; боковая  поверхность   равновелика   сумме  оснований. Определить  объём.

2) Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведённого через них, равна Q. Определить объём призмы.

32.   Основанием   призмы   служит   правильный   треугольник, вписанный   в   круг   радиуса R;   боковые   грани   её — квадраты. Определить объём этой призмы.

33.  В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м2, а расстояние между двумя противолежащими боковыми гранями 2 м. Найти объём призмы.

34.  В правильной шестиугольной призме большее диагональное сечение равновелико основанию, сторона которого а. Определить ребро куба, равновеликого этой призме.

Прямая призма.

35. Вычислить максимальную пропускную способность в кубических метрах за 1 час водосточной трубы, сечение которой изображено на чертеже 27. Скорость течения воды 2 м/сек.

 

36.   Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как 24:7; гипотенуза основания относится к высоте призмы, как 5:2; боковая поверхность содержит 140 м2. Определить объём призмы.

37.   1) В прямой треугольной призме стороны основания равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Определить объём призмы.

2) Высота прямой треугольной призмы равна 5 м, её объём равен 24 м3, а площади боковых граней относятся как 17:17.: 16. Определить стороны основания.

38. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней 9 см2,  10 см2 и 17 см2. Определить объём.

39.  Железнодорожная насыпь дана в разрезе (черт. 28); размеры указаны в метрах. Найти, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.

 

40.   Сколько  надо назначить  рабочих, чтобы большими лопатами окончить в 6 час. рытьё   канавы длиной в   25  м?   Размеры   (в метрах)     поперечного сечения канавы указаны на чертеже 29. (Большой   лопатой выкапывают  0,75 м3 в  час.)

41. Основанием прямой призмы служит трапеция ABCD, в которой параллельные стороны AD = 39 см и ВС =22 см, а непараллельные АВ = 26 см и CD = 25 см. Площадь сечения АA1C1С содержит 400см2. Определить объём этой призмы.

42.  ACDB—данная полуокружность радиуса R, С— её середина,   D — середина   дуги   СВ. Определить объём прямой призмы, у которой основанием служит треугольник   ADB, а боковое ребро равно хорде АС.

43.  Вырыта канава глубиной в 1,5 м, вид и размеры которой (в метрах) указаны на черт. 30. Определить объём земляных работ.

 

Наклонный параллелепипед.

44. Основанием наклонного параллелепипеда служит параллелограмм ABCD, в котором АВ = 3 дм, AD = 7 дм и BD = 6 дм. Диагональное сечение АA1C1С перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 м2. Определить объём параллелепипеда.

45.  1) Основанием наклонного параллелепипеда служит квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых рёбер образует с каждой прилежащей стороной  основания угол в 60° и равно 2 м. Найти объём параллелепипеда.

2) Основанием наклонного параллелепипеда служит квадрат, и одно из боковых рёбер образует с прилежащими сторонами основания равные острые углы. Сторона основания а; боковое ребро b; расстояние между соответственными сторонами двух оснований с. Определить объём параллелепипеда (а=15; b=14; с=10).

46.  Грани параллелепипеда—равные ромбы со стороной а и острым углом в 60°. Определить объём параллелепипеда.

47.   Основанием   наклонного   параллелепипеда служит прямоугольник со сторонами а и b; боковое ребро с образует со сторонами основания углы в 60°. Определить объём параллелепипеда, боковую поверхность и угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

48. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной а и острым углом в 60°. Ребро АА1 также равно  а и образует с рёбрами АВ и AD углы в 45°. Определить объём этого параллелепипеда.

Наклонная призма.

49. Основанием призмы служит треугольник, у которого  одна  сторона равна 2 cм, а две другие по 8 см ; боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол в 45°. Определить ребро равновеликого куба.

50. 1) Основанием призмы служит треугольник  со сторонами 3 см, 5 см и 7 см. Боковое ребро длиной 8 см составляет с плоскостью основания угол в 60°. Определить объём призмы.

2) В наклонной треугольной призме стороны основания равны 5 м, 6 м и 9 м; боковое ребро равно 10 м и составляет с плоскостью основсния угол в 45°. Определить объём призмы.

51.  Основанием призмы служит правильный треугольник ABC со стороной   а; вершина   А1   проектируется   в   центр   нижнего основания, и ребро AА1 составляет со стороной основания угол в 45°. Определить объём и боковую поверхность призмы.

52.   Основанием наклонней призмы   служит   равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна   к   плоскости   основания   и   представляет   собой ромб, у которого меньшая диагональ равка с. Определить объём призмы.

53.   1) Боковые  рёбра  наклонней треугольной призмы равны 15 м,   а расстояние   между   ними   26 м,   25 м и 17 м. Определить её объём.

2) В данной треугольной призме расстояния между боковыми рёбрами относятся как 9:10:17; боковое ребро равно 1 м; боковая поверхность равна 6 м2. Определить объём   этой  призмы.

54.   Основание наклонной призмы — четырёхугольник ABCD, в котором диагонали взаимно перпендикулярны; диагональное сечение АА1С1С перпендикулярно к плоскости основания. Диагональ BD = 16 дм, а площадь АА1С1С= 250 дм2. Определить объём.

55.   В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней т2, а расстояние её от противолежащего ребра 2а. Чему разен объем призмы?

Цилиндр.

56.   25 м  медной проволоки весят 100,7 г. Найти диаметр проволоки. (Удельный вес меди 8,9.)

57.  Погонный метр пенькового каната диаметром в 36 мм весит 0,96 кг. Найти его удельный вес.

58.   Столбик ртути в термометре длиной 15,6 см весит 5,2 г. (Удельный вес ртути  13,6.) Найти площадь поперечного сечения столбика.

59.  В мензурке (цилиндрический сосуд с делениями на кубические   сантиметры)   расстояние  между двумя смежными делениями 1,8 см. Найти внутренний диаметр мензурки.

60.  Насос, подающий воду в паровой котёл, имеет два водяных цилиндра. Размеры каждого цилиндра: ход поршня 150 мм, диаметр 80 мм. Определить часовую производительность насоса, если известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в 1 минуту.

61. Граната  имеет   форму   цилиндра   длиной 31/2 калибра  и толщину стенок в 1/8 калибра.(Калибром  называется внутренний диаметр дула пушки.) Определить в кубических сантиметрах объём взрывчатого вещества, наполняющего внутреннюю пустоту гранаты полевой пушки калибра в 76 мм.

62.  (Устно.) Найти объём тела, получаемого при вращении квадрата вокруг его стороны а.

63.  Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 4. Найти объём цилиндра.

64.  (Устно.) 1) Как относятся объёмы   цилиндра и его модели, уменьшенной в масштабе 1:2,  1:3,   ... ,  1: п?

2)   Как относятся объёмы двух цилиндров, имеющих равные высоты? равные диаметры оснований?

3)   Во   сколько   раз надо   увеличить   высоту   цилиндра,   не меняя основания, чтобы объём его увеличился вдвое? в п раз?

4)  Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя его высоты, чтобы объём его увеличился вдвое? в п раз?

5)  Боковая поверхность (в кв.ед.) и объём цилиндра (в куб. ед.) выражаются одним числом.   Определить диаметр цилиндра.

65. (Устно.) 1) Диаметр основания одного цилиндра равен 0,20 м, высота его 0,60 м. Другой цилиндр имеет высоту 0,30 м и тот же диаметр основания. Сравните между собой объёмы обоих цилиндров.

2) Один цилиндр имеет высоту 2,4 м и диаметр основания 1 м; другой цилиндр имеет высоту 1,2 м и диаметр основания 0,5 м. Сравнить между собой объёмы обоих цилиндров.

66. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в последнюю вписан цилиндр. Найти отношение объёмов обоих цилиндров.

67. Боковая поверхность цилиндра равна S, а длина окружности основания С. Найти объём.

68.    1)   Боковая   поверхность   цилиндра   развёртывается   в квадрат   со   стороной   а.   Найти   объём.   

2)   Высота   цилиндра равна Н, и в развёртке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол в 60°. Определить объём.

69.   Прямоугольный  лист   жести,   имеющий  1,6 м длины и 0,8 м ширины, можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина трубки будет 1,6 м, во втором 0,8 м. Найти отношение объёмов трубок и их поверхностей.

70.   Определить объём цилиндра, вписанного   в   правильную   шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.

71. Определить вес детали из песчаника, данной на чертеже 31. Размеры указаны в дециметрах. (Удельный вес песчаника 2,4.).

 

72.  Сколько весит погонный метр карниза из известняка, поперечный разрез которого дан на чертеже 32? Размеры даны в сантиметрах.(Удельный вес известняка 2,2.)

 

73.   Свинцовая   труба   (удельный   вес свинца 11,4) с толщиной стенок в 4 мм имеет внутренний диаметр в 13 мм. Сколько весят 25 м этой трубы?

74.  Стальной   вал,   имеющий   1,40  м длины и 0,083 м в диаметре, обтачивается на токарном станке, причём диаметр его уменьшается на 0,003 м. Сколько теряет он в весе благодаря обточке? (Удельный вес стали 7,4.)

75.   Вычислить   вес деревянной  катушки,   размеры которой (и миллиметрах) даны на чертеже 33. (Удельный вес дерева 0,8.)

Ответы к задачам по геометрии Рыбкин 2 from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (25.07.2016)
Просмотров: | Теги: Рыбкин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar