Тема №5662 Ответы к задачам по геометрии стереометрические задачи Готман (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии стереометрические задачи Готман (Часть 1) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии стереометрические задачи Готман (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1. Через концы трёх рёбер DA, DB и DC параллелепипеда прове-
дена плоскость ABC. Диагональ DE параллелепипеда пересекает эту
плоскость в точке M. Докажите, что M — центроид (точка пересечения
медиан) треугольника ABC и DM = DE.
2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Через вершину A и цент-
ры P и Q граней A1B1C1D1 и BB1C1C проведите плоскость. В каком
отношении делит эта плоскость ребро B1C1?
3. Докажите, что если диагонали четырёхугольной призмы пересе-
каются в одной точке, то эта призма — параллелепипед.
4. Докажите, что во всяком параллелепипеде сумма квадратов диа-
гоналей равна сумме квадратов всех его рёбер.
∗ ∗ ∗
5. Докажите, что параллелепипед, у которого все диагонали равны,
прямоугольный.
6. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны a, b, c. Най-
дите площади диагональных сечений и сравните их, если a < b < c.
7. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм со
сторонами 3 м и 4 м. Одна из диагоналей параллелепипеда равна 5 м,
а другая — 7 м. Найдите величину острого угла параллелограмма, ле-
жащего в основании, и площадь полной поверхности параллелепипеда.
8. Основанием призмы ABCDA1B1C1D1 служит ромб ABCD, угол A
которого равен 60◦
. Боковые грани — квадраты со стороной, равной a.
Найдите площади сечений, проведённых а) через диагональ BD1 и вершину A; б) через диагональ BD1 и середину K ребра AA1.
9. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором
AB = 4 м, AD = 2 м, и AA1 = 5 м. На ребре AA1 взята точка K такая,
17
что
AK
KA1
= 4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью
BD1K и докажите, что она меньше площади диагонального сечения
A1BCD1.
∗ ∗ ∗
10. Докажите, что плоскость, проходящая через концы трёх рёбер
куба, имеющих общую вершину, перпендикулярна диагонали куба, выходящей из той же вершины.
11. В прямоугольном параллелепипеде диагональ перпендикулярна
плоскости, проходящей через концы трёх рёбер, имеющих с диагональю
общую вершину. Докажите, что параллелепипед является кубом.
12. Через центр куба проведите плоскость перпендикулярно его диагонали. Определите вид полученного сечения.
13. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны a
и b. Найдите расстояние между диагональю параллелепипеда и непересекающим его ребром.
14. Постройте общий перпендикуляр скрещивающихся диагоналей
двух смежных граней куба и найдите его длину, если ребро куба равно a.
∗ ∗ ∗
15. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с рёбрами,
выходящими из той же вершины, углы ❛, ❜, ❣. Найдите ❣, если ❛ = 45◦
и ❜ = 60◦
.
16. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 2 м,
а площадь боковой поверхности равна 4 м2
. Найдите угол наклона
диагонали к плоскости основания и площадь основания.
17. Найдите высоту правильной четырёхугольной призмы со стороной основания a, если сумма углов, образованных диагональю призмы
со стороной и диагональю основания, выходящими из одной и той же
вершины, равна 135◦
.
18. Диагональ правильной четырёхугольной призмы составляет с основанием угол ❛ и с боковой гранью угол ❜. Найдите зависимость между
этими углами. Вычислите ❛ и ❜, если ❛ + ❜ = 75◦
.
19. Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами ❛
и ❜. Найдите угол ❣ между этими диагоналями.
∗ ∗ ∗
20. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 через сторону
основания AB и вершину C1 проведена плоскость. Сторона основания
18
равна a, угол наклона сечения к основанию равен ❢. Найдите объём
призмы.
21. Высота правильной треугольной призмы равна h. Угол между
диагоналями боковых граней, выходящими из одной вершины, равен ❛.
Найдите объём призмы и вычислите его при ❛ = 45◦
.
22. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, наклонена к основанию под углом ❛ и к боковой грани под углом ❜. Найдите
объём параллелепипеда.
23. Основанием прямой призмы служит ромб со стороной a и острым
углом ❛. Сечение плоскостью, проведённой через большую диагональ
основания и через вершину тупого угла другого основания, представляет собой прямоугольный треугольник. Найдите объём призмы.
24. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы, равная d, образует со стороной основания, выходящей из той же вершины,
угол ❛. Найдите объём призмы.
25. Сечение правильной четырёхугольной призмы плоскостью, проходящей через её диагональ, представляет собой ромб с острым углом ❛.
Найдите объём призмы, если её диагональ равна d.
∗ ∗ ∗
26. Три ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны a, b и c. Первые два ребра взаимно перпендикулярны, а третье
образует с каждым из них острый угол ❛. Найдите объём параллелепипеда.
27. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с основанием
острые углы, равные ❛ и ❜ соответственно. Найдите объём призмы, если боковое ребро равно c.
§2. Пирамида, усечённая пирамида
28. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 10 см,
10 см и 12 см. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости
основания под углом 45◦
. Найдите высоту пирамиды.
29. Основание пирамиды — трапеция, параллельные стороны которой равны 6 см и 8 см, а высота равна 7 см. Каждое боковое ребро
равно 13 см. Найдите высоту пирамиды.
30. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см
и 15 см. Все двугранные углы при сторонах основания равны 75◦
. Най-
дите высоту пирамиды.
19
31. Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник. Каждый из двугранных углов при основании равен ❜. Высота
пирамиды равна h. Найдите площадь основания.
∗ ∗ ∗
32. Основанием пирамиды NABC служит равнобедренный треугольник, AC = BC = b. Все боковые рёбра наклонены к основанию под углом ❢. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через ребро NC и высоту пирамиды.
33. Основание пирамиды NABC — треугольник с равными сторонами AC и BC, ∠ACB = ❣. Каждое боковое ребро наклонено к основанию под углом 45◦
. Через вершину C и высоту NO пирамиды
проведена плоскость. Докажите, что Sсеч >
1
2
Sосн. При каком условии
а) Sсеч =
1
2
Sосн; б) Sсеч = Sосн?
34. Сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро и высоту пирамиды, есть прямоугольный
треугольник. Найдите отношение площади боковой поверхности пира-
миды к площади её основания.
∗ ∗ ∗
35. Дана правильная треугольная пирамида NABC, NH — её высо-
та, NK — апофема, ∠NAH = ❛, ∠NKH = ❜, ∠ANB = ❣. Докажите, что
tg ❜ = 2 tg ❛, sin ❣
.
36. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a,
плоский угол при вершине вдвое больше угла наклона бокового к плоскости основания. Найдите высоту пирамиды.
37. Высота правильной треугольной пирамиды равна стороне её
основания. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основа-
ния и двугранный угол при боковом ребре.
38. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды
равен ❣, двугранный угол при боковом ребре равен ❞. Докажите, что
cos

39. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, боковое ре-
бро которой равно b и двугранный угол при боковом ребре равен ❞.
40. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды, сторона основания которой равна a и двугранный угол при
боковом ребре вдвое больше двугранного угла при основании.
20
∗ ∗ ∗
41. Сторона основания правильной треугольной пирамиды ABCD
равна a, плоский угол при вершине равен ❣. Через середины рёбер основания AB и BC проведена плоскость, параллельная ребру BD. Найдите
площадь сечения.
42. Противоположные рёбра AC и BD треугольной пирамиды ABCD
равны. Через точку K, принадлежащую ребру AB, проведена плоскость
параллельно рёбрам AC и BD. Докажите, что в сечении получится параллелограмм, периметр которого не зависит от выбора точки K.
43. В треугольной пирамиде ABCD проводятся сечения, параллельные рёбрам AC и BD. Найдите сечение наибольшей площади.
44. Докажите, что правильную треугольную пирамиду со стороной
основания a и боковым ребром b можно пересечь плоскостью так, чтобы
в сечении получился квадрат. Найдите длину стороны квадрата.
45. Докажите, что любую треугольную пирамиду можно пересечь
плоскостью так, что в сечении получится ромб.
46. Правильная треугольная пирамиды со стороной основания a
и двугранным углом ❜ при основании пересечена плоскостью, делящей
двугранный угол при основании пополам. Найдите площадь сечения.
Вычислите её при ❜ = 60◦
47. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды
проведена плоскость перпендикулярно противоположному ребру. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна a и плоский угол
при вершине равен ❣. При каких значениях ❣ задача разрешима?
48. Через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды проведена плоскость перпендикулярно противоположному ребру.
Найдите площадь сечения, если сторона основания равна a и боковая
грань наклонена к плоскости основания под углом ❜.
49. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a, угол при вершине диагонального сечения равен ❛. Найдите
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину
основания перпендикулярно противоположному ребру. При каких значениях ❛ задача имеет решение?
50. Найдите двугранный угол при основании правильной четырёхугольной пирамиды, если плоскость, проходящая через сторону основания, делит этот угол и площадь боковой поверхности пирамиды пополам.
∗ ∗ ∗
21
51. В основании пирамиды NABCD лежит прямоугольник со сторонами AB = a и AD = a
√2. Все боковые рёбра наклонены к основанию
под углом 30◦
. Через диагональ основания AC проведена плоскость параллельно ребру DN. Найдите плоские углы при вершине пирамиды
и площадь сечения.
52. В основании пирамиды лежит ромб с углом 60◦
. Каждая из бо-
ковых граней пирамиды наклонена к основанию под углом ❜. Большее
боковое ребро пирамиды равно b. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Вычислите её при ❜ = 45◦
.
53. Основанием пирамиды NABCD является квадрат со стороной
AB = a. Боковая грань NAB перпендикулярна плоскости основания,
AN = BN. Найдите площадь грани NCD, если она наклонена к плоскости основания под углом, вдвое меньшим угла ANB.
∗ ∗ ∗
54. Основанием пирамиды NABC служит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, катеты AC и BC которого равны a. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом,
∠ANC =❣. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проведённой через ребро AB перпендикулярно противоположному ребру CN.
55. В основании пирамиды NABC лежит равнобедренный треугольник ABC с углом BAC при вершине, равным ❛. Грани NAB и NAC
перпендикулярны основанию, NA = h. Площади граней NAB и NBC
равны. Найдите площадь основания пирамиды.
56. Основанием треугольной пирамиды служит прямоугольный треугольник. Боковые грани равновелики и все боковые рёбра имеют длину, равную 1. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
∗ ∗ ∗
57. Основанием пирамиды NABC служит равносторонний треугольник ABC со стороной a. Грань NBC перпендикулярна основанию,
∠NAB = ∠NAC = ❛. Найдите объём пирамиды. Вычислите объём при
❛ = 60◦
.
58. Основание пирамиды — квадрат со стороной a. Линейные углы
двугранных углов при основании пропорциональны числам 2, 3, 5 и 3.
Найдите объём пирамиды.
59. Основание пирамиды NABCD — квадрат. Ребро ND перпенди-
кулярно основанию и равно h. Двугранный угол при ребре NB равен
❜. Найдите объём пирамиды.
∗ ∗ ∗
22
60. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны
оснований равны 36 см и 14 см. Плоскость, проведённая через сторону
нижнего основания перпендикулярно противолежащей боковой грани,
проходит через сторону верхнего основания. Найдите площадь сечения.
61. Площади оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны Q и q. Угол, образованный боковым ребром со стороной
основания, равен 60◦
. Найдите площадь диагонального сечения.
62. Найдите площадь боковой поверхности правильной усечённой
треугольной пирамиды, боковые рёбра которой наклонены к основанию
под углом ❛, а стороны оснований равны a и b (a > b).
63. Плоскость, параллельная основаниям правильной усечённой пирамиды, делит площадь её боковой поверхности пополам. Найдите пло-
щадь сечения, если площади оснований равны S1 и S2.
64. Через середины боковых рёбер произвольной усечённой пирами-
ды проведена плоскость. Площади оснований пирамиды равны S1 и S2,
площадь её среднего сечения — S. Докажите, что65. Осевое сечение цилиндра — квадрат. Найдите отношение площа-
ди боковой поверхности цилиндра к площади его основания.
66. Осевые сечения двух цилиндров — равновеликие прямоугольники. Докажите, что площади их боковых поверхностей равны.
67. Высота одного цилиндра вдвое больше высоты другого, а осевые сечения — равные прямоугольники. Найдите отношение их объёмов.
28
68. Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник, диагональ которого равна d, а угол между диагоналями, обращённый к образующей, равен ❛. Найдите объём цилиндра.
69. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник ABCD. Кратчайшее
расстояние по боковой поверхности цилиндра от точки A до точки C
равно l1, длина ломаной ABC равна l2. Сравните пути l1 и l2, если
а) AB = BC, б) AB = 2BC.
∗ ∗ ∗
70. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Найдите
отношение площади его боковой поверхности к площади основания.
71. Цилиндр и конус имеют равные основания и равные высоты.
Отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади боковой
поверхности конуса равно k. В каких границах может изменяться k?
Найдите угол наклона образующей конуса к основанию, если k = 1.
72. Отношение полных поверхностей конусов, полученных вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета AC и вокруг
катета BC, равно 2. Найдите острые углы треугольника.
73. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен ❛. Найдите
центральный угол в развёртке его боковой поверхности. При каком зна-
чении ❛ развёртка боковой поверхности есть полукруг?
74. Прямоугольный треугольник ABC вращается сначала вокруг гипотенузы AB, а затем вокруг катета BC. Найдите отношение объёмов
тел вращения, если угол A треугольника равен ❛.
∗ ∗ ∗
75. Высота усечённого конуса равна 4. Радиус одного основания ко-
нуса в два раза больше радиуса другого, а сумма площадей оснований
равна площади боковой поверхности. Найдите радиусы оснований и образующую усечённого конуса.
76. Образующая усечённого конуса наклонена к плоскости большего
основания под углом ❛. Диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найдите отношение площади боковой поверхности усечённого
конуса к сумме площадей его оснований.
77. Прямоугольная трапеция ABCD вращается сначала вокруг большего основания AB, а потом вокруг меньшей боковой стороны AD.
Найдите отношение объёмов полученных тел вращения, если AB = 2CD
и ∠ABC = ❜.
78. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается
вокруг внешней оси, которая параллельна большему катету и отстоит
от него на 3 см. Найдите объём тела вращения.
29
§4. Комбинация круглых тел
79. В сферу вписан цилиндр, площадь боковой поверхности которого
составляет
2
5
площади сферы. Найдите отношение высоты цилиндра
к диаметру его основания.
80. Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их объёмов
и отношение площадей их поверхностей.
81. В конус вписан цилиндр с квадратным осевым сечением. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади основания конуса.
Найдите угол ❛ наклона образующей конуса к плоскости его основания.
82. В сферу вписан конус, радиус основания которого равен 1
2
радиуса сферы. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
83. В шар радиуса R вписан конус. Объём конуса составляет 1
4
объ-
ёма шара. Найдите высоту конуса.
∗ ∗ ∗
84. Около сферы радиуса r описан конус, высота которого равна h.
Найдите площадь полной поверхности конуса.
85. В конус вписана сфера. Площадь сферы составляет 2
3
площади
боковой поверхности конуса. Найдите образующую конуса, если радиус
его основания равен R.
86. Около шара радиуса r описан конус, объём которого в два раза
больше объёма шара. Найдите высоту конуса.
87. В конус вписан шар. Докажите, что отношение площади полной
поверхности конуса к площади поверхности шара равно отношению их
объёмов.
88. В конус вписан шар, площадь поверхности которого равна пло-
щади основания конуса. Какую часть объёма конуса составляет объём
шара?
89. В конус вписан шар и через их линию касания проведена плоскость. Найдите отношение объёма отсечённого конуса к объёму данного,
если угол при вершине осевого сечения конуса равен 2❛.
∗ ∗ ∗
90. Около сферы описан усечённый конус, образующая которого составляет с большим основанием угол ❛. Площадь сферы равна Q. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
91. Площадь сферы составляет 3
4
площади поверхности описанно-
го около сферы усечённого конуса. Найдите радиусы оснований усе
30
чённого конуса и радиус сферы, если образующая усечённого конуса
равна l.
92. В сферу радиуса R вписан усечённый конус, образующая которого равна R

2, а угол наклона её к плоскости нижнего основания
равен ❛. Найдите площадь полной поверхности усечённого конуса.
93. В сферу радиуса R вписан усечённый конус, образующая которо-
го составляет с плоскостью основания угол ❜. Угол между диагоналями
в осевом сечении конуса, обращённый к основанию, равен ❛. Найдите
площадь осевого сечения конуса.
94. В сферу радиуса R вписан усечённый конус, высота которого
равна h. Диагонали осевого сечения конуса перпендикулярны. Найдите
объём усечённого конуса. Имеет ли задача решение, если а) h =
2
3
R,
б) h =
3
2
R?
§5. Касание круглых тел
95. Три шара, радиусы которых равны 2a, 3a и 3a, касаются попарно
внешним образом. Найдите радиус сферы, касающейся каждого из них
внутренним образом, если её центр и центры данных трёх шаров лежат
в одной плоскости.
96. Три шара лежат на плоскости и попарно касаются друг друга.
Расстояние между точками касания их с плоскостью равны a, b и c.
Найдите радиусы шаров.
97. Внутри сферы расположены четыре шара одного и того же ра-
диуса r. Каждый из них касается трёх других и сферы. Найдите радиус
сферы.
98. Четыре одинаковых шара радиуса r лежат на плоскости. Центры
их находятся в вершинах квадрата со стороной 2r. Пятый шар того же
радиуса касается всех четырёх. Найдите расстояние от центра пятого
шара до плоскости.
99. На основании конуса лежат три шара радиуса r, каждый из ко-
торых касается двух других и боковой поверхности конуса. Угол при
вершине осевого сечения конуса равен 60◦
. Найдите радиус основания
конуса.
100. На основании конуса лежат два шара радиуса r. На них лежит
четвёртый шар того же радиуса. Каждый из этих четырёх шаров ка-
сается боковой поверхности конуса и трёх других шаров. Найдите угол
наклона образующей к плоскости основания и высоту конуса.
101. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса 2a и один шар ради-
уса a так, что каждый шар касается двух других, нижнего основания
31
цилиндра и его боковой поверхности. Найдите радиус основания ци-
линдра.
102. На плоскости лежат три шара, попарно касающихся друг друга.
Радиусы их равны r, 3r и 3r. Четвёртый шар касается первых трёх
и той же плоскости. Найдите радиус четвёртого шара.
103. Три шара, радиусы которых равны 3, 1 и 3
4
, попарно касаются
друг друга и некоторой плоскости. Четвёртый шар касается первых
трёх и той же плоскости. Найдите радиус четвёртого шара.
104. Два шара одного радиуса и два другого лежат на плоскости
и каждый касается трёх других. Найдите отношение радиуса большего
шара к радиусу меньшего.
105. Четыре шара расположены так, что каждый из них касается
трёх остальных. Радиусы трёх шаров равны R, радиус четвёртого ша-
ра r. Найдите радиус пятого шара, касающегося всех четырёх шаров,
если R = 6 и r = 1.

124. Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — равные ромбы,
AB = a, ∠BAD1 = 60◦
. Найдите длины диагоналей AC1 и BD1.
125. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грань ABCD — квадрат со
стороной a, ребро AA1 также равно a и образует с рёбрами AB и AD
углы, равные 60◦
. Найдите длины диагоналей и площадь диагонального
сечения ACC1A1.
126. Высота правильной четырёхугольной призмы вдвое больше вы-
соты основания. Найдите величину угла между диагональю призмы
и не пересекающей её диагональю боковой грани.
127. Точка K — середина ребра BB1 правильной четырёхугольной
призмы ABCDA1B1C1D1. Докажите, что ∠AKC1 > 90◦
. При каком от-
ношении высоты призмы к стороне основания ∠AKC1 = 120◦
?
128. В тетраэдре ABCD ребро AD перпендикулярно грани ABC,
AD = a, AB = b, ∠BAC = 45◦
. Найдите угол между прямыми AC и BD.
Вычислите этот угол при a = b.
129. Дан тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вер-
шине D. Точки M и N — середины рёбер AB и CD. Найдите угол между
прямыми AN и DM, если DA = DB = 1 и DC = 2.
∗ ∗ ∗
45
130. а) Докажите, что если биссектрисы двух плоских углов трёх-
гранного угла перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла
перпендикулярна первым двум биссектрисам.
б) Проведены биссектрисы плоских углов трёхгранного угла. Дока-
жите, что углы между этими биссектрисами, взятыми попарно, либо
все острые, либо все прямые, либо все тупые.
131. а) Выразите через плоские углы ❛, ❜, ❣ трёхгранного угла коси-
нус угла между его ребром и биссектрисой противолежащего угла.
б) Докажите, что если сумма двух плоских углов трёхгранного угла
равна 180◦
, то их общая сторона перпендикулярна биссектрисе третьего
плоского угла.
132. а) Известны плоские углы трёхгранного угла OABC: ∠BOC =❛,
∠COA = ❜, ∠AOB = ❣. Вычислите косинус угла между биссектрисами
углов BOC и COA.
б) Найдите зависимость между плоскими углами ❛, ❜, ❣ трёхгран-
ного угла, если их биссектрисы, взятые попарно, образуют три равных
между собой угла.
133. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трёхгранного
угла и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат
в одной плоскости.
∗ ∗ ∗
134. а) Докажите, что для любых трёх векторов ★✕a ,
★✕b ,
★✕c имеет место
равенство:
★✕a · (
★✕b −
★✕c ) + ★✕b · (
★✕c −
★✕a ) + ★✕c · (
★✕a −
★✕b ) = 0.
б) Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D пространства
имеет место векторное равенство
★✥✥✥✥✕ DA ·
★✥✥✥✥✕ BC +
★✥✥✥✥✕ DB ·
★✥✥✥✥✕ CA +
★✥✥✥✥✕ DC ·
★✥✥✥✥✕ AB = 0.
135. а) Докажите, что высоты треугольника или их продолжения
пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что если противоположные рёбра AB и CD, AC и BD
тетраэдра ABCD перпендикулярны, то противоположные рёбра AC
и BD также перпендикулярны.
136. а) Высоты треугольника ABC (или их продолжения) пересе-
каются в точке H, точка O — центр окружности, описанной около тре-
угольника. Докажите, что
★✥✥✥✥✥✕ OH =
★✥✥✥✥✕ OA +
★✥✥✥✥✕ OB +
★✥✥✥✥✕ OC.
(Точка H называется ортоцентром треугольника ABC).
46
б) Дан тетраэдр ABCD, высоты которого пересекаются в одной точ-
ке H. Докажите, что
★✥✥✥✥✥✕ OH =
1
2
(
★✥✥✥✥✕ OA +
★✥✥✥✥✕ OB +
★✥✥✥✥✕ OC +
★✥✥✥✥✕ OD),
где O — центр сферы, описанной около тетраэдра.
137. Докажите, что высоты тетраэдра или их продолжения пересе-
каются в одной точке тогда и только тогда, когда противоположные
рёбра тетраэдра перпендикулярны.
(Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке H, на-
зывается ортоцентрическим, а точка H — ортоцентром тетраэдра.)
138. Вычислите длину отрезка, соединяющего середину рёбер AB
и CD тетраэдра ABCD, если известны длины его рёбер: DA=a, DB =b,
DC = c, BC = a1, CA = b1, AB = c1.
∗ ∗ ∗
139. а) Докажите, что во всяком треугольнике ABC центр O описан-
ной окружности, центроид M и ортоцентр H лежат на одной прямой,
причём ★✥✥✥✥✥✕ OH = 3★✥✥✥✥✥✥✕ OM.
б) Докажите, что центр O описанной сферы, центроид M и орто-
центр H ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой,
причём точка O и H симметричны относительно точки M.
∗ ∗ ∗
140. а) Докажите, что если O — центр описанной около треугольника
ABC окружности и M — его центроид, то
OM2 = R
2 −
1
9
(a
2 + b
2 + c
2
),
где R — радиус описанной окружности и a, b, c — стороны треугольника.
б) Известны длины рёбер тетраэдра ABCD и радиус R сферы, опи-
санной около него. Вычислите расстояние от центра O сферы до точки
пересечения M медиан тетраэдра.
Какие следствия можно вывести из задач а) и б)?
∗ ∗ ∗
141. а) Докажите, что расстояние от любой точки P пространства
до вершин треугольника ABC и до его центроида M связаны соотно-
шением
P A2 + P B2 + P C2 = AM2 + BM2 + CM2 + 3PM2
.
(теорема Лейбница).
б) Докажите, что если M — центроид тетраэдра ABCD и P — про-
извольная точка пространства, то
P A2 + P B2 + P C2 + P D2 = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 + 4PM2
.
47
142. а) В плоскости треугольника ABC найдите точку, сумма квад-
ратов расстояний от которого до вершин треугольника наименьшая.
б) Найдите точку пространства, сумма квадратов расстояний от ко-
торой до вершин данного тетраэдра наименьшая.
в) Дан треугольник ABC и некоторая точка P пространства. Дока-
жите, что
PM2 =
1
3
(P A2 + P B2 + P C2
) −
1
9
(AB2 + BC2 + CA2
),
где M — центроид треугольника.
143. Дана сфера радиуса R с центром O. Через точку M, не принад-
лежащую сфере, проведена прямая, пересекающая сферу в точках A
и B. Докажите, что
★✥✥✥✥✥✕ MA ·
★✥✥✥✥✥✥✕ MB = OM2 − R
2
.
∗ ∗ ∗
144. Даны две точки A и B. Найдите множество точек M простран-
ства, для которых
★✥✥✥✥✥✕ MA ·
★✥✥✥✥✥✥✕ MB = k, где k — данное действительное число.
145. Даны три точки A, B, C, не принадлежащие одной прямой.
Найдите множество точек M пространства, для которых
★✥✥✥✥✥✕ MA ·
★✥✥✥✥✥✥✕ MB =
★✥✥✥✥✥✥✕ MB ·
★✥✥✥✥✥✥✕ MC =
★✥✥✥✥✥✥✕ MC ·
★✥✥✥✥✥✕ MA.
146. Дан треугольник ABC. Найдите множество точек M простран-
ства, для которых
MA2 + MB2 = 2MC2
.
147. Дан треугольник ABC. Найдите множество точек M простран-
ства, для которых
MA2 + MB2 = MC2
.
∗ ∗ ∗
148. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы за-
ключающих её сторон.
Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для тетра-
эдра.
149. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что
DA2 + DB2 + DC2 >
1
3
(AB2 + BC2 + CA2
).
150. Даны четыре точки A, B, C, D пространства. Докажите, что
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 > AC2 + BD2
.
В каком случае это неравенство обращается в равенство?
48
151. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы на-
клонена к плоскости основания под углом ❛. Найдите косинус угла ❢
между скрещивающимися диагоналями двух боковых граней. Вычис-
лите ❢, если ❛ = arctg √
2.
152. Длины всех рёбер правильной треугольной призмы равны a.
Постройте общий перпендикуляр двух скрещивающихся диагоналей бо-
ковых граней и найдите его длину.
153. Все плоские углы тетраэдра ABCD при вершине D прямые.
Точка K — середина ребра AB. Найдите косинус угла ❢ между прямыми
CA и DK. Докажите, что ∠BAC = ❢. Найдите расстояние от точки K
до прямой AC, если DA = 1, DB = DC = 2.
154. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. В каком
отношении делит общий перпендикуляр прямых AA1 и BD1 отрезки
AA1 и BD1, если AB = a и AD = b? Найдите длину этого перпендику-
ляра.
155. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, каждое
ребро которой равно 1. Постройте общий перпендикуляр MN прямых
AB и SC и найдите его длину. В каком отношении точки M и N делят
отрезки AB и SC?

156. Дан тетраэдр ABCD, все плоские углы при вершине D которого
прямые. Точка M, принадлежащая грани ABC, одинаково удалена от
всех других граней. Найдите DM, если DA = a, DB = b и DC = c.
157. Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 служит треугольник
ABC с прямым углом C. Из вершины C проведена прямая перпенди-
кулярно плоскости ABC1, пересекающая плоскость A1B1C1 в точке M.
Найдите CM, если CC1 = 1, CA = 2 и CB = 3.
158. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды NABCD
образует с основанием угол 45◦
. Найдите синус угла наклона ребра ND
к плоскости ABN.
159. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна сто-
роне основания и равна √
3. Через вершину A проведена плоскость пер-
пендикулярно боковому ребру SB, пересекающая ребро SB в точке N.
Найдите объём пирамиды NABC.
∗ ∗ ∗
160. Все плоские углы тетраэдра ABCD при вершине D прямые.
Точки M и N — середины рёбер AC и BD. Найдите длину отрезка
MN и угол наклона прямой MN к плоскости ABC, если DA = 1,
DB = DC = 2.
161. В основании пирамиды NABCD лежит прямоугольник ABCD.
Боковое ребро ND перпендикулярно основанию. Плоскость, прохо-
дящая через вершину B и середины рёбер NA и NC, пересекает ре-
бро ND в точке L. Найдите BL, площадь сечения и угол между плос-
костью сечения и плоскостью основания, если AD = 2, AB = 4,
DN = 6.
162. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AA1 = 2,
AB = 3, AD = 4. Через вершину A проведите плоскость, перпендикуляр-
ную диагонали B1C грани, и вычислите площадь сечения.
163. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1,
в которой AB = a и AA1 = 2a. Через вершину A проведите плоскость,
перпендикулярную диагонали DB1 призмы, и найдите площадь сече-
ния. В каком отношении точка M пересечения прямой DB1 с плоско-
стью сечения делит отрезок DB1?
∗ ∗ ∗
164. Через точку M, делящую диагональ куба в отношении 2 : 3, про-
ведите плоскость перпендикулярно этой диагонали. Найдите периметр
сечения, если ребро куба равно a.
57
165. Через центр куба проведите плоскость перпендикулярно его
диагонали. Докажите, что сечение куба этой плоскостью есть правиль-
ный шестиугольник.
§9. Многогранники и сфера
166. Основанием пирамиды служит ромб со стороной a и углом 60◦
.
Высота пирамиды равна h. Двугранные углы при основании пирами-
ды равны. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду. Вычислите
радиус при a = 4 и h = 3.
167. В правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основа-
ния a и высотой h вписана сфера. Найдите радиус сферы, если a = 12
и h = 8.
168. a) Внутри прямого угла дана точка A, расстояния от которой до
сторон угла равны m и n. Вычислите радиус окружности, проходящей
через точку A и касающейся сторон данного угла. Сколько решений
имеет данная задача?
б) Через данную внутри прямого трёхгранного угла точку A прове-
дена сфера, касающаяся всех его граней. Найдите радиус этой сферы,
если расстояния от точки A до граней равны соответственно m, n и p.
Вычислите радиус сферы, если: 1) m = 1, n = 2, p = 5; 2) m = n = 1, p = 4;
3) m = 1, n = 2, p = 6.
169. Дан прямоугольный тетраэдр OABC с прямым трёхгранным
углом при вершине O. Точка P расположена в плоскости грани ABC,
причём AP
AO = u,
BP
BO = v,
CP
CO = w. Докажите, что
u
2 + v
2 + w
2 = 2 + ctg2
❛,
где ❛ — угол наклона прямой OP к плоскости ABC.
П р и м е ч а н и е. Эта формула используется в теории изображения
пространственных фигур (в аксонометрии).
170. Все плоские углы при вершине D тетраэдра ABCD прямые,
DA= 4, DB = 8, DC = 12. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр.
171. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a. Найдите радиус сферы,
проходящей через середину E ребра AB и вершины A, A1 и C1 куба.
172. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы
ABCDA1B1C1D1 равна a, высота равна √
2a. Найдите радиус сферы,
проходящей через середины рёбер AA1, BB1 и через вершины A и C1.
Докажите, что эта сфера проходит также через вершину B.
173. Основанием треугольной пирамиды SABC служит равносто-
ронний треугольник ABC, ребро SC перпендикулярно плоскости осно-
58
вания, AB = 1 и SC = 3. Сфера проходит через середину M ребра SA,
касается плоскости ABC в точке B и пересекает ребро SB в точке N.
Найдите радиус сферы и отношение SN
NB .
∗ ∗ ∗
174. В куб, ребро которого равно a, вписана сфера. Докажите, что
сумма квадратов расстояний от любой точки сферы до вершин куба
постоянна. Вычислите эту сумму.
175. Дан куб, ребро которого равно a. Найдите множество точек
пространства, сумма квадратов расстояний от которых до вершин куба
равна 12a
2
.
∗ ∗ ∗
176. Даны две точки A и B. Найдите множество точек M простран-
ства, для которых
MA2 + MB2 = 2AB2
.
177. a) Даны две точки A и B. Найдите множество точек M про-
странства, удалённых от A вдвое дальше, чем от B.
б) Даны две точки A и B. Найдите множество точек M пространства
таких, что
MA
MB = k, k > 1.
178. Дан треугольник ABC с прямым углом C. Найдите множество
точек M пространства, для которых
MA2 + MB2 = 3MC2
.
179. a) В плоскости равностороннего треугольника ABC найдите
множество точек M таких, что из отрезков AM, BM и CM можно
составить прямоугольный треугольник с гипотенузой CM.
б) Дан равносторонний треугольник ABC. Найдите множество то-
чек M пространства, для которых
MA2 + MB2 = MC2
.
180. Дан правильный тетраэдр ABCD, ребро которого равно a. Най-
дите множество точек M пространства, сумма квадратов расстояний
от которых до вершин тетраэдра равно 3a
2

181. Среди прямоугольных параллелепипедов с данной диагональю
найдите тот, который имеет наибольшую площадь полной поверхности.
182. а) Какую наибольшую площадь боковой поверхности может
иметь правильная четырёхугольная призма с данной диагональю d?
б) Из всех прямоугольных параллелепипедов с данной диагональю
найдите тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.
183. Каковы должны быть размеры открытого бассейна данного объ-
ёма V , чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество
материала?
∗ ∗ ∗
184. а) В данный треугольник впишите прямоугольник наибольшей
площади так, чтобы одна сторона прямоугольника лежала на большей
стороне треугольника.
б) В данный конус впишите цилиндр с наибольшей площадью боко-
вой поверхности.
185. В данный конус впишите цилиндр наибольшего объёма.
186. В правильную четырёхугольную пирамиду впишите прямо-
угольный параллелепипед наибольшего объёма так, чтобы одна грань
параллелепипеда лежала в плоскости основания пирамиды, а вершины
противоположной грани принадлежали боковым рёбрам.
∗ ∗ ∗
67
187. а) Из всех цилиндров, вписанных в данную сферу, найдите тот,
который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.
б) В сферу вписан цилиндр с наибольшей площадью полной поверх-
ности. Чему равно отношение площади сферы к площади поверхности
цилиндра?
188. В сферу радиуса R вписана правильная n-угольная пирамида.
Какова должна быть высота пирамиды, чтобы её объём был наиболь-
шим?
∗ ∗ ∗
189. Около шара радиуса R описан конус. При какой высоте конуса
его объём будет наименьшим? Докажите, что
V > 2V1,
где V — объём конуса, V1 — объём шара.
190. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что
четыре его вершины принадлежат боковым рёбрам пирамиды, а осталь-
ные четыре — плоскости её основания. Докажите, что
V1 6
4
9
V,
где V1 — объём куба, V — объём пирамиды. При каком условии имеет
место равенство?
.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (08.03.2016)
Просмотров: | Теги: Готман | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar