Тема №5663 Ответы к задачам по геометрии стереометрические задачи Готман (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по геометрии стереометрические задачи Готман (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по геометрии стереометрические задачи Готман (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

191. Из квадратного листа жести со стороной a требуется сделать ко-
робку без крышки, вырезая по углам квадраты и загибая затем получа-
ющиеся выступы так, чтобы коробка получилась наибольшего объёма.
Каковы должны быть длины сторон вырезанных квадратов?
192. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно l.
При каком отношении высоты пирамиды к стороне основания объём
пирамиды будет наибольшим? Чему равен этот объём?
193. Образующая конуса равна l и составляет с основанием угол ❢.
При каком значении ❢ объём конуса будет наибольшим? Чему равен
этот объём?
∗ ∗ ∗
194. Длины двух противоположных рёбер тетраэдра равны x, а все
остальные имеют длину, равную 1. Выразите объём тетраэдра как
функцию x. При каком значении x объём тетраэдра имеет наиболь-
шее значение?
195. Длина одного бокового ребра четырёхугольной пирамиды рав-
на x, все остальные рёбра имеют длину, равную 1. Выразите объём
68
тетраэдра как функцию x. При каком значении x объём пирамиды при-
нимает наибольшее значение?
∗ ∗ ∗
196. Куб, ребро которого равно a, пересекается плоскостью, прохо-
дящей через его диагональ. Какую наименьшую площадь может иметь
сечение и при каком угле наклона сечения к плоскости основания?
197. а) Тетраэдр ABCD пересечён плоскостью, параллельной его
рёбрам AD и BC. Найдите периметр сечения, если AD = BC = a.
б) Тетраэдр ABCD пересечён плоскостью так, что в сечении полу-
чился четырёхугольник. Какое наименьшее значение может принимать
периметр сечения, если AD = BC = a, BD = AC = b, CD = AB = c?
198. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD.
Через вершину A и середину K ребра SC проведена плоскость, пересе-
кающая рёбра SB и SD в точках M и N. Докажите, что
где V — объём пирамиды SABCD, а V1 — объём пирамиды SAMKN.
При каком условии каждое неравенство обращается в равенство?
199. a) Докажите, что для любых положительных чисел a1, a2, . . . , an
и b1, b2, . . . , bn имеет место неравенство

где a1 + a2 + . . . + an = a, b1 + b2 + . . . + bn = b. При этом неравенство об-
ращается в равенство, если

б) Из всех треугольников ABC с общим основанием AB и данной
высотой CH найдите тот, который имеет наименьший периметр.
в) Из всех тетраэдров ABCD с общим основанием ABC и данной
высотой DH найдите тот, который имеет наименьшую площадь боковой
поверхности.
200. а) Докажите, что для любых действительных чисел a1, a2, a3
и b1, b2, b3 выполняется неравенство
a1b1 + a2b2 + a3b3 6
причём равенство имеет место только, если a1

(неравенство
Коши—Буняковского).
б) Дан тетраэдр ABCD, рёбра AD, BD, CD которого попарно пер-
пендикулярны, причём AD = a, BD = b, CD = c. Докажите, что для
69
любой точки M, лежащей в грани ABC, сумма s расстояний от вер-
шин A, B и C до прямой DM удовлетворяет неравенству
s 6
p
2(a
2 + b
2 + c
2).
При каком положении DM имеет место равенство? Рассмотрите част-
ный случай: a = b =

6, c = 2.
201. Из точки A, расположенной вне плоскости, проведены к ней пер-
пендикуляр AO и наклонные AB и AC. Известно, что BO = 1, CO = 2√
2
и ∠BOC = 45◦
. Найдите расстояние AO, при котором ∠BAC = 45◦
. Ка-
кое наибольшее значение может принимать этот угол?
202. Около сферы описан конус. Какую наименьшую площадь боко-
вой поверхности может иметь конус, если площадь сферы равна Q?
203. Около сферы радиуса r описана правильная четырёхугольная
пирамида. При каком угле наклона боковой грани к плоскости основа-
ния площадь полной поверхности пирамиды будет наименьшей? Най-
дите значение этой площади.
§11. Применение производной
204. Бак цилиндрической формы должен вмещать V литров воды.
Каковы должны быть его размеры, чтобы площадь его поверхности без
крышки была наименьшей?
205. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полу-
круглым поперечным сечением, поверхность которой равна S, имеет
наибольшую вместимость?
206. Консервная банка данного объёма V имеет форму цилиндра.
Каковы должны быть её размеры, чтобы на её изготовление пошло ми-
нимальное количество жести?
∗ ∗ ∗
207. В сферу радиуса R вписан цилиндр. При какой высоте цилиндра
объём его будет наибольшим?
208. Какой наибольший объём может иметь правильная треугольная
призма, вписанная в сферу радиуса R?
209. Объём правильной треугольной призмы равен V . Каковы долж-
ны быть высота и сторона основания, чтобы площадь полной поверхно-
сти призмы была наименьшей?
210. Около полушара радиуса r описан конус так, что центр основа-
ния конуса совпадает с центром шара. При какой высоте конуса объём
его будет наименьшим?
70
211. В полушар радиуса R вписана правильная четырёхугольная
призма так, что одно её основание лежит в плоскости большого кру-
га полушара, а вершины другого основания принадлежат поверхности
полушара. При какой высоте призмы сумма длин всех её рёбер будет
наибольшей?
∗ ∗ ∗
212. Прямоугольная трапеция вращается вокруг большего основа-
ния. Меньшее основание равно 5 см, большая боковая сторона равна
15 см. Какой наибольший объём может иметь тело вращения и при ка-
кой длине большего основания трапеции?
213. Равнобочная трапеция вращается вокруг большего основания.
Меньшее основание трапеции равно 2, боковая сторона равна 3. При ка-
кой длине большего основания объём полученного тела вращения будет
наибольшим?
∗ ∗ ∗
214. Высота правильной четырёхугольной пирамиды NABCD рав-
на h, диагональ основания равна 2r. Какую наибольшую площадь мо-
жет иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину N
параллельно диагонали AC основания, если h = 2 и r = 9?
215. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a,
высота призмы h. Какую наибольшую площадь может иметь сече-
ние призмы плоскостью, проходящей через сторону основания, если
a = 14 см и h = 6 см?
216. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, высота которой
равна h, сторона AB основания равна a, высота CH основания равна l.
Через сторону AB проведена плоскость, пересекающая верхнее осно-
вание призмы. Найдите наибольшее и наименьшее значения площади
сечения при 1) a = 2, h = 2, l = 3; 2) a = 9, h = 4, l = 9.
217. Грани ABC и ABD тетраэдра ABCD — равнобедренные тре-
угольники с общим основанием AB. Двугранный угол при ребре AB —
прямой. Через середины рёбер AC и BC проведена плоскость, пере-
секающая грань ABD. Найдите наибольшее и наименьшее значения
площади сечения, если AB = a и высоты треугольников ABC и ABD,
проведённые из вершин C и D, равны соответственно h и l. Рассмотрите
случаи: 1) a = h = l = 1; 2) a = 4, h = 2, l = 3.
218. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоуголь-
ный треугольник, у которого ∠C = 90◦
, BC =a и AB =c. Через ребро AB
проведена плоскость, пересекающая рёбра B1C1 и A1C1 соответственно
в точках M и N. В каких границах заключена площадь сечения, если
a = 1, c = 2 и h = AA1 =
1

3
?
71
∗ ∗ ∗
219. В сферу, площадь которой равна Q, вписан конус. Какую наи-
большую площадь боковой поверхности может иметь конус и при каком
угле ❛ наклона его образующей к плоскости основания?
220. В сферу радиуса R вписан конус наибольшего объёма. В конус,
в свою очередь, вписан цилиндр наибольшего объёма. Найдите высоту
цилиндра.
221. Треугольник, две стороны которого равны соответственно √
21
и 4, вращается вокруг третьей стороны. При какой длине этой стороны
объём тела вращения будет наибольшим?
222. В сферу вписана правильная четырёхугольная пирамида, а в пи-
рамиду вписана правильная четырёхугольная призма, сторона основа-
ния и высота которой равны 2 и 1 соответственно. Какое наименьшее
значение может иметь радиус сферы? При какой высоте пирамиды до-
стигается это значение?

282. Противоположные рёбра равногранного тетраэдра равны a, b, c.
Найдите расстояния между ними.
283. В тетраэдре ABCD суммы трёх плоских углов при каждой
вершине равны 180◦
. Найдите объём тетраэдра и расстояние между рё-
брами AB и CD, если BC = 4, CA = 5, AB = 6.
284. Найдите радиус сферы, описанной около равногранного тетра-
эдра ABCD, если BC = AD = 6 см и расстояние между рёбрами BC
и AD равно 8 см.
285. Равногранный тетраэдр ABCD достроен до призмы ABCDB1C1
(грань ABC — основание призмы). Докажите, что грань BCC1B1 ромб.
Найдите расстояние от вершины D до этой грани, если DA = a, DB = b
и DC = c.
Вычислите объём тетраэдра, пользуясь указанным построением.
286. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взятой вну-
три равногранного тетраэдра, до его граней есть величина постоянная.
Пользуясь этим свойством, докажите, что r =
1
4
h, где r — радиус впи-
санной сферы и h — высота равногранного тетраэдра.
287. Докажите, что радиус сферы, вписанной в равногранный тет-
раэдр, вдвое меньше радиуса сферы, касающейся одной грани и про-
должений трёх других граней.

291. Дана четырёхугольная призма. Середины сторон её нижнего
основания и произвольная точка верхнего основания являются верши-
нами вписанной в призму четырёхугольной пирамиды. Найдите отно-
шение объёма пирамиды к объёму призмы.
292. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно a. Найдите
объём тетраэдра, вершинами которого являются точка D1 и середины
рёбер AB, BC и BB1 куба.
293. Все плоские углы при вершине D тетраэдра ABCD прямые.
В тетраэдр вписан куб так, что одна его вершина совпадает с вер-
шиной D куба, а противоположная ей вершина лежит в грани ABC.
Вычислите длину ребра куба, если DA = a, DB = b и DC = c.
294. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна диагона-
ли её основания. В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины
лежат на апофемах пирамиды, а другие четыре — в плоскости основа-
ния. Объём пирамиды равен V . Найдите объём куба.
295. Даны правильная четырёхугольная пирамида и куб, вершинами
одной из граней которого являются середины рёбер основания пира-
миды. Каждое ребро противолежащей грани куба пересекает одно из
боковых рёбер пирамиды. Найдите отношение объёма куба к объёму
пирамиды.
296. Основанием четырёхугольной пирамиды NABCD служит квад-
рат. Боковые грани NAD и NCD пирамиды перпендикулярны плоско-
сти основания, а грань NAB образует с плоскостью основания угол ❛.
В пирамиду вписан куб так, что четыре вершины куба лежат на боко-
вых рёбрах пирамиды, четыре другие — в плоскости основания. Найди-
87
те: а) отношение k объёма пирамиды к объёму куба; б) величину угла ❛,
при котором k =
8
3
; в) наименьшее возможное значение k.
297. Высота правильной четырёхугольной пирамиды вдвое больше
диагонали её основания, объём пирамиды равен V . В пирамиду вписы-
ваются правильные четырёхугольные призмы так, что боковые рёбра
одной грани лежат в плоскости основания пирамиды и параллельны
диагоналям основания, а вершины противоположной грани лежат на
боковой поверхности пирамиды. Найдите наибольшее значение объёма
рассматриваемых призм.

298. а) Высота правильной треугольной пирамиды и сторона её осно-
вания имеют одинаковую длину, равную 6 см. Найдите угол наклона
бокового ребра к плоскости основания и радиус описанной около пира-
миды сферы.
б) Правильная треугольная пирамида вписана в сферу, радиус ко-
торой равен 4 см. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите
высоту пирамиды.
299. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a,
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ❛. Найдите
радиус описанной сферы.
300. Правильная треугольная пирамида вписана в сферу радиуса R,
плоский угол при вершине пирамиды равен ❣. Найдите площадь боко-
вой поверхности пирамиды и вычислите её при ❣ = 45◦
.
301. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет
с плоскостью основания угол ❛. Двугранный угол при основании ра-
вен ❜, двугранный угол при боковом ребре равен ❞. Докажите, что
а) sin ❛ =
1

3
ctg ❞
2
;
б) sin ❜ =
2

3
cos

2
.
302. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, двугран-
ный угол при боковом ребре равен ❞. Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды. Какие значения может принимать ❞? При каком зна-
чении ❞ радиус сферы равен 3
2
h?
303. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной
пирамиды вдвое больше двугранного угла при основании. Докажите,
что радиус сферы, описанной около пирамиды, равен её боковому ребру.
∗ ∗ ∗
92
304. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.
Двугранный угол при основании равен ❜. Найдите радиус сферы, впи-
санной в пирамиду.
305. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a,
высота её равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду, если
a = 4 см и h = 8 см.
306. Высота правильной треугольной пирамиды равна h. Двугран-
ный угол при основании равен двугранному углу при боковом ребре.
Найдите радиус вписанной сферы.
307. В правильную треугольную пирамиду вписана сфера, радиус
которой равен r. Высота пирамиды равна h. Найдите двугранный угол
при основании и объём пирамиды, если r = 1 и h = 3.
∗ ∗ ∗
308. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная пи-
рамида, двугранный угол при боковом ребре которой равен ❞. Найдите
высоту пирамиды. Какие значения может принимать ❞?
309. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная пи-
рамида, плоский угол при вершине которой равен ❣. Найдите объём
пирамиды. При каком значении ❣ объём пирамиды будет наибольшим?
310. Отношение радиуса сферы, описанной около правильной четы-
рёхугольной пирамиды, к стороне основания равно √
2. Найдите угол
наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.
∗ ∗ ∗
311. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырёхуголь-
ную пирамиду, высота которой равна h и плоский угол при вершине
равен ❣.
312. Радиус сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пи-
рамиду, равен
1
3
высоты пирамиды. Найдите площадь боковой поверх-
ности пирамиды, если её боковое ребро равно b.
313. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная пира-
мида, высота которой равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в эту
пирамиду, если R = 5 см и h = 8 см.
314. В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера, рас-
стояние от центра которой до вершины пирамиды равно d. Плоский
угол при вершине пирамиды равен ❣. Найдите радиус r сферы, вписан-
ной в пирамиду, и радиус R сферы, описанной около неё.
315. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды рав-
на a. Радиус сферы, вписанной в пирамиду, вдвое меньше стороны осно-
вания. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
93
∗ ∗ ∗
316. Пусть r и R — радиусы вписанной и описанной сфер правильной
n-угольной пирамиды, h — её высота, ❣ — плоский угол при вершине.
Докажите, что
h
R
=
(1 + k
2
) cos ❣ + k
2 − 1
k
2
,
r
R
=
k sin ❣ + cos ❣ − 1
k
2
,
где k = tg ♣
n
.
317. Отношение высоты правильной треугольной пирамиды к радиу-
су описанной около неё сферы равно k. Найдите величину угла ❞ между
её боковыми гранями. Вычислите ❞ при k =
2
3
.
318. Правильная n-угольная пирамида вписана в сферу радиуса R.
Высота пирамиды равна h. Найдите объём пирамиды. При каком зна-
чении h объём будет наибольшим?
319. Радиус сферы, описанной около правильной n-угольной пира-
миды, в три раза больше радиуса вписанной сферы. Найдите величину
двугранного угла при основании пирамиды.
320. Найдите величину двугранного угла при основании правильной
n-угольной пирамиды, у которой центры вписанной и описанной сфер
симметричны относительно плоскости основания.
321. Докажите, что расстояние d между центрами вписанной и опи-
санной сфер правильной n-угольной пирамиды выражается формулой
d =
˛
˛
˛
sin “
❣ −

n
”˛
˛
˛
sin

n
.
322. Докажите, что в правильной n-угольной пирамиде центры впи-
санной и описанной сфер совпадают тогда и только тогда, когда плоский
угол при вершине пирамиды равен

n
, т. е. сумма всех плоских углов
при вершине равна ♣.
323. Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной сфер правиль-
ной n-угольной пирамиды. Докажите, что
R
r
> 1 + 1
cos

n
,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда центры сфер
совпадают.
324. a) Центр окружности, описанной около равнобедренного тре-
угольника, лежит на вписанной в него окружности. Найдите величи-
94
ну угла при основании треугольника и отношение радиусов описанной
и вписанной окружностей.
б) Центр сферы, описанной около правильной четырёхугольной пи-
рамиды, лежит на вписанной сфере. Найдите величину плоского угла
при вершине пирамиды и отношение радиусов описанной и вписанной
сфер.
325. В правильную треугольную пирамиду вписана сфера радиуса r
и около неё описана сфера радиуса R. Найдите высоту пирамиды h
и расстояние d между центрами этих сфер, если r = 1 и R = 1 + √
5.

328. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды
равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус R1 сферы, касающей-
ся всех рёбер пирамиды. Вычислите угол ❛ наклона бокового ребра
к плоскости основания, если R1 =
1
2
a.
329. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и об-
разует с плоскостью основания угол 30◦
. Найдите радиус R1 сферы,
касающейся всех рёбер пирамиды, радиус R описанной сферы и высо-
ту h пирамиды.
330. Около правильной треугольной пирамиды описана сфера, ра-
диус которой равен 6. Радиус сферы, касающейся всех рёбер этой пи-
100
рамиды, равен 2

3. Найдите радиус вписанной сферы и высоту пира-
миды.
331. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды рав-
на a, плоский угол при вершине пирамиды равен ❣. Найдите радиус
сферы, касающейся всех рёбер пирамиды.
332. Радиусы R1 и R сфер, касающейся всех рёбер правильной ше-
стиугольной пирамиды и описанной около неё, равны 3 и 4 соответ-
ственно. Найдите высоту пирамиды и расстояние между центрами этих
сфер.
∗ ∗ ∗
333. Высота правильной n-угольной пирамиды равна h. Боковое ре-
бро наклонено к плоскости основания под углом ❛. Найдите радиус
сферы, касающейся всех рёбер пирамиды, и расстояние от вершины
пирамиды до центра этой сферы. При каком значении ❛ центр сферы
совпадает с основанием высоты пирамиды?
334. Высота правильной n-угольной пирамиды равна h, плоский угол
при вершине пирамиды равен ❣. Найдите радиус R1 сферы, касающейся
всех рёбер пирамиды.
335. Найдите радиус R1 сферы, касающейся всех рёбер правиль-
ной n-угольной пирамиды, если радиус сферы, вписанной в пирамиду,
равен r и двугранный угол при основании пирамиды равен ❜. Вычис-
лите R1, если r = 1 и ❜ = 60◦
.339. При каком условии центр сферы, описанной около правиль-
ной n-угольной пирамиды, совпадает с центром сферы, касающейся
всех её рёбер?
340. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна a,
боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом ❛.
На каком расстоянии от плоскости основания находится а) центр сферы,
касающейся всех рёбер пирамиды; б) центр сферы, описанной около
пирамиды?
341. В правильной n-угольной пирамиде центр сферы, описанной
около пирамиды, симметричен центру сферы, касающейся всех её рё-
бер. Найдите угол наклона ❛ бокового ребра пирамиды к плоскости её
основания. Вычислите ❛ при n = 6.
§19. Разные задачи
342. В конус вписан куб, ребро которого в два раза меньше высоты
конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
343. Дан тетраэдр ABCD, в котором ∠DAB =∠DAC =∠ACB = 90◦
.
Найдите радиус описанной сферы, если AD = BC = 6 и AC = 3.
344. Основанием пирамиды NABCD служит квадрат со стороной,
равной a. Боковое ребро ND перпендикулярно основанию, грань NAB
наклонена к основанию под углом ❜. Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды, и площадь боковой поверхности пирамиды.
345. Основанием пирамиды служит треугольник, стороны которого
равны 13 см, 14 см и 15 см. Вершина пирамиды удалена от каждой
стороны основания на 12 см. Найдите радиус сферы, вписанной в пи-
рамиду.
346. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар, радиус
которого равен r. Найдите высоту h пирамиды, если её объём равен V .
Вычислите h при r = 1 м и V = 12 м
3
.
∗ ∗ ∗
347. Основанием прямой призмы, описанной около шара, служит
прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна c и острый
угол равен ❛. Найдите объём призмы.
348. Около конуса описана четырёхугольная пирамида, основанием
которой служит равнобочная трапеция с острым углом ❛. Образующая
конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом ❜. Найдите
объём пирамиды.
102
349. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды
равна a, двугранный угол при основании равен ❜. В пирамиду вписан
шар, к шару проведена касательная плоскость, параллельная осно-
ванию пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности полученной
усечённой пирамиды.
350. Основанием прямой призмы служит треугольник ABC, в кото-
ром ∠C = 45◦ и AB = 4. Высота призмы также равна 4. Найдите радиус
сферы, проходящей через вершины треугольника ABC и касающейся
верхнего основания призмы.
351. Около шара описана прямая призма, основанием которой слу-
жит ромб, острый угол которого равен a. Большая диагональ призмы
составляет с плоскостью основания угол, равный ❢. Докажите, что
sin ❛
2
= tg ❢.
352. Основанием параллелепипеда служит квадрат со стороной a.
Одно из боковых рёбер образует со сторонами основания острые углы,
каждый из которых равен ❛. Известно, что в параллелепипед можно
вписать сферу, касающуюся всех его граней. Найдите длину бокового
ребра параллелепипеда и радиус вписанной сферы.
353. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит равно-
бочная трапеция ABCD, в которой AB = 3, BC = 6, ∠B = 60◦
. Боковое
ребро призмы равно 9. Найдите радиус сферы, проходящей через вер-
шины основания ABCD и касающейся верхнего основания.
∗ ∗ ∗
354. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы рав-
на 2, боковое ребро равно 3. Сфера проходит через вершины нижнего
основания призмы и касается сторон верхнего основания. Найдите ра-
диус этой сферы.
355. Сфера проходит через вершины нижнего основания прямой тре-
угольной призмы и касается сторон верхнего основания. Докажите, что
призма правильная.
356. Основание призмы ABCA1B1C1 — равнобедренный треуголь-
ник, в котором AB =AC = 6 и BC = 4. Боковое ребро призмы наклонено
к плоскости основания под углом ❛ = arctg 5
3. Сфера проходит через все
вершины основания ABC и касается всех сторон основания A1B1C1.
Найдите радиус этой сферы.
357. В правильную четырёхугольную пирамиду помещены два ша-
ра, касающиеся друг друга и всех боковых граней пирамиды. Больший
103
шар касается также основания пирамиды. Отношение радиуса больше-
го шара к радиусу меньшего шара равно n. Найдите двугранный угол ❜
при основании пирамиды. Вычислите ❜ при n = 3.
358. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды равны 3 и 4, высота равна 7. Найдите радиус описанной сферы.
359. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная усечённая пирамида, стороны оснований которой равны a и b. Найдите
высоту h пирамиды, если a = 8, b = 6 и R = 5√2.
360. Около сферы описана правильная треугольная призма и около
призмы описана сфера. Как относятся между собой площади этих сфер?
361. Найдите отношение площадей трёх сфер, если первая сфера
вписана в правильный тетраэдр, вторая касается всех его рёбер, а третья проходит через его вершины.
362. Найдите отношение радиусов трёх сфер, первая из которых вписана в правильную четырёхугольную пирамиду с плоским углом при
вершине, равным 60◦
, вторая касается всех её рёбер, третья описана
около этой пирамиды.
363. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная пирамида, а в пирамиду вписан куб. Высота пирамиды равна стороне её
основания. Найдите ребро куба.
364. В сферу вписан конус, а в конус вписан цилиндр. Образующая
конуса наклонена к плоскости основания под углом ❛, высота цилиндра
равна диаметру его основания и равна h. Найдите радиус сферы.
365. Высота правильной треугольной пирамиды вдвое больше сто-
роны её основания. В пирамиду вписаны две сферы: одна касается всех
граней пирамиды, а вторая касается первой сферы и трёх боковых граней пирамиды. Найдите отношение радиусов этих сфер.
366. Внутри правильной треугольной призмы лежат три шара одинакового радиуса, каждый из которых касается двух других шаров,
двух боковых граней и обоих оснований призмы. Четвёртый шар касается этих трёх шаров и нижнего основания призмы. Найдите отношение
объёма всех четырёх шаров к объёму призмы.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (08.03.2016)
Просмотров: | Теги: Готман | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar