Тема №5990 Решение задач по геометрии 10 класс Мерзляк (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии 10 класс Мерзляк (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии 10 класс Мерзляк (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

271. Через гипотенузу АВ равнобедренного прямоугольного треуголь­
ника АВС проведена плоскость а. Расстояние от точки С до
плоскости а равно 3 см. Найдите расстояние между прямой АВ и
прямой, которая проходит через точку С и перпендикулярна
плоскости а, если АС = ВС = 6 см.
Вариант 1 33
272. Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что расстояние
между прямой а и каждой прямой, принадлежащей плоскости а и
скрещивающейся с прямой а, равно расстоянию между прямой а и
плоскостью а.
273. Точки А и В находятся по одну сторону
от плоскости а на расстоянии 8 см от нее.
Из точки А к плоскости а проведен пер­
пендикуляр ААХ, а из точки В — наклон­
ная ВВ, длиной 10 см. Найдите рассто-
' Рис 42
яние между прямыми ААХ и ВВХ, если
АВ = 7 см, А]В] = 11 см (рис. 42).
274, Плоскости прямоугольников ABCD и ABEF
перпендикулярны. Найдите расстояние ме­
жду прямыми DE и А В, если AF = К см,
ВС = 15 см (рис. 43).
275. Длина ребра куба ABCDAXBXCXDX равна
2 см. Найдите расстояние между прямыми
Ш , и АВ.
Рис. 43
Угол между скрещивающимися прямыми
276. Прямая МА перпендикулярна сторонам А В и АС треугольни­
ка АВС. Найдите угол между прямыми МА и ВС.
277. Через вершину А прямоугольника A BCD к
его плоскости проведен перпендикуляр AM
(рис. 44). На отрезке МВ выбрали
произвольную точку К. Найдите угол ме­
жду прямыми АК и ВС.
278. Докажите, что если точка М равноудалена
от сторон правильного треугольника АВС,
то прямые AM и ВС перпендикулярны.
279. На рисунке 45 изображен куб ABCDA^B^C^D^.
Найдите угол между прямыми: 1) AD и ВВХ;
2) DD\ и ВХС\ 3) ВХС и £>С,.
280. Через центр О квадрата ABCD к его плоскости
проведен перпендикуляр ОМ. Расстояние от
точки W до точки А равно стороне квадрата. Найдите угол между
прямыми ME и АС, где точка Е — середина стороны АВ.
Рис. 45
34 I ренировочные упражнения
Угол между прямой и плоскостью
281. Наклонная образует с плоскость угол 30°. Найдите длину ее
проекции на Эту плоскость, если длина наклонной равна 4 см.
282. Найдите угол между наклонной и плоскостью, если длина
наклонной равна 6 см, а длина ее проекции — 3 см.
283. Дан куб АВС0Л]В]С,,0]. Найдите угол между прямой DC( и
плоскостью АВС.
284. Докажите, что параллельные прямые, пересекающие плоскость,
образуют с ней равные углы.
285. Из точки А, лежащей вне плоскости а. проведены к ней равные
наклонные АВУ, ЛВ2, АВ.. ... и перпендикуляр АО. Докажите,
что точки В, , В2, В^,... лежат на окружности с центром О.
286. Точка А находится на расстоянии 9 см от плоскости ос. Наклон­
ные АВ и АС образуют с плоскостью а углы 45° и 60°, а угол
между проекциями наклонных равен 150°. Найдите расстояние
между точками В и С.
287. Через вершину В равностороннего треугольника АВС к его
плоскости проведен перпендикуляр DB длиной 4л/з см. Найдите
угод между прямой AD и плоскостью треугольника, если его
площадь равна 4л/3 см2.
288. Точки А и В лежат в двух перпендикулярных плоскостях и и Р
соответственно. Из точек А и В проведены перпендикуляры АА] и
ВВ\ к линии пересечения плоскостей. Найдите углы, которые
образует отрезок АВ с плоскостями ос и |3. если АА, = 2~]ъ см,
BBt - 2 ^ 6 см, А^В-В см.
289. Точки А и В лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Отре­
зок А В образует с этими плоскостями углы 30° и 45°. Найдите
расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных
из точек А а В к линии пересечения плоскостей, если АВ = 8 см.
290. Через центр О правильного треугольника АВС к его плоскости
проведен перпендикуляр МО длиной 9 см. Перпендикуляр, про­
веденный из точки М к прямой АВ. образует с плоскостью АВС
угол 30°. Найдите длину отрезка АВ.
291. Из точки к плоское™ проведены две наклонные, образующие с
плоскостью углы по 30°. Найдите угол между проекциями на­
клонных, если угол между наклонными равен 60°.
Вариант 1 35
292. Через вершину прямого угла проведена прямая, образующая с его
сторонами углы по 60°. Найдите угол, который образует эта
прямая с плоскостью прямого угла.
Угол между плоскостями
29.3. Плоскости аи(3 пересекаются по прямой т. В плоскостях а и р
проведены прямые а и h соответственно, параллельные прямой т.
Расстояние между прямыми а и т равно 5 см, между прямыми b
и т — 3 см. Найдите угол между плоскостями а и р. если
расстояние между прямыми а и b равно 7 см.
294. Плоскости а и Р пересекаются по прямой т, а угол между ними
равен 30°. Найдите расстояние между прямой т и плоскостью у,
которая пересекает плоскости а и р по параллельным прямым,
удаленным от линии пересечения плоскостей на 2 см и 2-Уз см.
295. Квадрат и прямоугольник, площади которых соответственно
равны 36 см2 и 54 см2, имеют общую сторону, а угол между их
плоскостями равен 30°. Найдите расстояние между параллель­
ными сторонами прямоугольника и квадрата.
296. Сторона ВС равностороннего треугольника АВС принадлежит
плоскости а, а расстояние от вершины А до плоскости а равно
1 см. Найдите угол между плоскостями АВС и а, если площадь
. fa
треугольника АВС равна —V- см".
297. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС прове­
дена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30°.
Найдите расстояние от вершины С до этой плоскости, если катеты
треугольника равны 6 см и 8 см.
298. Равнобедренные треугольники ЛВС и ABD имеют общее основа­
ние АВ. Угол между их плоскостями равен 60°. Найдите длину
отрезка CD, если ВС = 15 см, BD = 13 см, А В = 24 см.
299. Равнобедренные треугольники АВС и DBC имеют общее
основание ВС Найдите угол между плоскостями АВС и DBC, если
АВ = 2V2T см, AD = 2Vl5 см, Z BDC у 90°, ВС - 12 см.
300. Равносторонний треугольник АВЕ и квадрат ABCD имеют общую
сторону АВ длиной 4 см. Найдите угол между их плоскостями,
если ЕС -2\[2 см.
36 Тренировочныс упражнения
301. На рисунке 46 изображен куб ABCDA\BXC\D\.
Найдите угол между плоскостями АВС и А] ВС .
302. Через гипотенузу прямоугольного равнобед­
ренного треугольника проведена плоскость, об­
разующая с плоскостью треугольника угол 45°.
Найдите углы, которые образуют катеты тре­
угольника с этой плоскостью.
303. Угол между плоскостями а и (3, пересекающимися по прямой а,
равен 60°. В плоскостях а и (3 выбраны точки Mw К соответствен­
но и из них проведены перпендикуляры ММ\ и KKt к прямой а.
Найдите длину отрезка МК, если КК{ = 3см, ММ, = 8 см,
А',М| — %/] 5 см.
304. Плоскости а и (3 пересекаются, по прямой а. Из точек А и В,
лежащих в плоскостях а и (3 соответственно, проведены перпен­
дикуляры АС = 5 см и BD = 8 см к прямой а. Расстояние между
точками С и D равно 24 см, АВ = 25 см. Найдите угол между
плоскостями а и (3.
305. Сторона квадрата ABCD равна 4 см. Через его центр О проведена
прямая ОЕ, перпендикулярная плоскости квадрата. Плоскость,
проведенная через сторону АВ. пересекает прямую ОЕ в точке F.
Угол между плоскостями ABF и АВС равен 60°. Найдите длину
проекции отрезка OF на плоскость ABF.
306. Из точки М. лежащей вне плоскости а, проведены к ней две
наклонные М4 и МВ. образующие с плоскость а углы 30° и 45°
соответственно. Найдите угол между плоскостями а и МАВ, если
Z А МВ = 90°.
307. В одной из двух пересекающихся плоскостей проведена прямая,
образующая со второй плоскостью угол 30°, а с линией пере­
сечения этих плоскостей — угол 45°. Найдите угол между
плоскостями.
308. Точка М равноудалена от вершин квадрата ABCD. Угол между
прямой МА и плоскостью АВС равен а. Найдите угол между
плоскостями МАВ и АВС.
309. Точка Р равноудалена от вершин правильного треугольника АВС.
Угол между прямой РА и плоскостью АВС равен (3. Найдите угол
между плоскостями А PC и ВРС.
В,л
! Л.
'Р- Y
Рис. 46
Вариант 1 37
Площадь ортогональной проекции многоугольника
310. Может ли площадь ортогональной проекции многоугольника
быть равной площади самого многоугольника?
311. Найдите площадь ортогональной проекции многоугольника на
некоторую плоскость, если площадь многоугольника равна 8 см2,
а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции
равен 30°.
312. Площадь многоугольника равна 8 см2, а площадь его ортого­
нальной проекции — 4 см2. Найдите угол между плоскостью
многоугольника и плоскостью проекции.
313. Ортогональной проекцией треугольника АВС на некоторую
плоскость является прямоугольный треугольник АХВХСХ с гипоте­
нузой 10 см и катетом 8 см. Найдите площадь треугольника АВС,
если угол между плоскостями АВС и АХВХСХ равен 45°.
314. Площадь четырехугольника равна 126 см? Его ортогональной
проекцией является прямоугольник, диагональ которого равна
л/l30 см, а одна из сторон — 9 см. Найдите угол между
плоскостями четырехугольника и прямоугольника.
315. Площадь треугольника АХВХСХ равна 42 см2. Он является орто­
гональной проекцией треугольника АВС со сторонами 7 см, 17 см
и 18 см. Найдите угол между плоскостями АВС и АХВХСХ.
316. Площадь трапеции равна 48л/з см2, а ее ортогональная проекция
— равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 20 см и боковой
стороной 10 см. Найдите угол между плоскостями трапеций.
38 Тренировочные упражнения
Вариант 2
Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии
1. Углы ABD и CBD прямые. Докажите, что точки А, В я С лежат на
одной прямой.
2. Докажите равенство треугольников по медиане, углам, которые
она образует со стороной треугольника, к которой она проведена,
и углам, которые она образует со сторонами угла, из вершины
которого она проведена.
3. Докажите равенство равнобедренных треугольников, если равны
их основания и высоты, проведенные к основаниям.
4. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане,
проведенной к одной из них.
5. Докажите от противного, что из двух смежных углов хотя бы
один не меньше, чем 90°.
6 . Докажите от противного, что каждый угол имеет только одну
биссектрису.
7. Прямая а параллельна стороне АВ треугольника АВС. Может ли
прямая а быть параллельной сторонам ВС и АС? Ответ обоснуйте.
8 . Докажите от противного, что если прямые т и п параллельны и
прямая а пересекает прямую т, то она пересекает и прямую п.
9. На рисунке 47 АВ = CD и АВ || CD.
Докажите, что AADB = ACBD.
10. Отрезки СИ и QM— высота и биссектриса
треугольника АВС соответственно,
ZA - 6 8 °, ZB = 26°. Найдите угол НСМ. Рис. 47
11. Биссектриса одного из углов остроуголь­
ного треугольника образует с высотой, проведенной из той же
вершины, угол, равный 1 0 °, а один из двух других углов треуголь­
ника равен 70°. Найдите неизвестные углы треугольника.
12. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника провели
биссектрису и высоту, угол между
которыми равен 19°. Найдите острые
углы треугольника.
13. В ромбе ABCD точки Е, F, К — сере­
дины сторон АВ, ВС и CD соответст­
венно (рис. 48). Докажите, что ЕЕ 1 FK.
Вариант 2 39
14. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются
середины сторон: 1 ) прямоугольника; 2 ) ромба.
15. На стороне АВ параллелограмма ABCD (рис. 49) отметили точ­
ки М и N, а на стороне CD — точки Е и F так, что
BN = NM = МЛ = СЕ = EF = FD. Отрезки BE, ЛIF. MD пересекают
диагональ АС в точках R, Q, Р соответственно. Докажите,
что АР = PQ = £?Я = ЯГ.
16. Точки .4 н б лежат по разные стороны от прямой /, точка М —
середина отрезка АВ. Точки А и М удалены от прямой / на 6 см и
1 см соответственно. Найдите расстояние от точки В до прямой /.
17. Параллельные прямые c u d пересекают стороны угла АВС
(рис. 50). Найдите длину отрезка EF, если BE = 4см, MN = 9см,
BN = EF.
18. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD
пересекаются в точке N, DN = 36 см. Найдите CD. если
АВ : BN= 5 : 7 и AD > ВС.
19. В треугольник АВС вписан ромб DMNA гак, что угол А у них
общий, а вершина М принадлежит стороне ВС. Найдите сторону
ромба, если СМ = 6 см, ВМ = 4 см, АВ = 20 см.
20. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из
диагоналей на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите основания
трапеции, если их разность равна 16 см.
21. В прямоугольном треугольнике ABC (Z C = 90°) катет АС равен
5 см, а медиана AM 13 см. Найдите гипотенузу АВ.
22. В треугольнике АВС угол С тупой, 4С = 13см, .15 = 15см, а
высота АЕ равна 12 см. Найдите сторону ВС.
23. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них
равна 15 см, а ее проекция на эту прямую — 12 см. Найдите длину
второй наклонной, если она образует с прямой угол 45°.
24. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых
равны 5 см и 7 см. а разность их проекций на эту прямую — 4 см.
Найдите расстояние от точки до данной прямой.
40 Тренировочные упражнения
25. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых
относятся как 2:3, а длины их проекций на эту прямую равны
2 см и 7 см. Найдите длины наклонных.
26. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а
разность отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса
прямого угла, равна 10 см. Найдите периметр треугольника.
27. Отношение боковой стороны к основанию равнобедренного
треугольника равно 5:6, а разность отрезков, на которые
биссектриса угла при основании делит высоту, проведенную к
основанию, равна 6 см. Найдите стороны треугольника.
28. В равнобокой трапеции ABCD известно, что АВ - CD = 2 см,
ВС — 6 л/2 см. AD = 8-\/2 см. Найдите углы трапеции.
29. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены
к ней две наклонные, образующие с прямой углы 30° и 45°.
Найдите длины наклонных и их проекций на данную прямую.
30. Из точки, находящейся на расстоянии 10 см от прямой, проведены
к ней две наклонные, образующие с прямой углы 30° и 60°.
Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько
решений имеет задача?
31. Найдите площадь равнобедренного греугольника, боковая
сторона которого равна 17 см, а высота, опущенная на основание,
— 5 см.
32. Катет прямоугольного треугольника равен 10 см, а гипотенуза —
26 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к гипотенузе.
33. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 9 см
и Зл/2 см, а угол между ними равен: 1) 45°; 2) 150°.
34. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 13 см,
14 см и 15 см.
35. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, один из
которых на 3 см больше другого. Две другие стороны треуголь­
ника равны 14 см и 21 см. Найдите площадь треугольника.
36. Стороны треугольника, одна из которых на 8 см больше другой,
образуют угол 120°, а третья сторона равна 28 см. Найдите
периметр греугольника.
37. Одна сторона греугольника равна 35 см, а две другие относятся
как 3 . 8 и образуют угол 60°. Найдите неизвестные стороны
треугольника.
38. В треугольнике АВС известно, что АВ = с, Z A = a , А С - у.
Найдите стороны ВС и АС.
39. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а, а
биссектриса этого угла равна /. Найдите стороны треугольника.
40. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в
отношении 2 : 3, считая от вершины тупого угла. Периметр
параллелограмма равен 42 см. Найдите его стороны.
41. Найдите плошадь параллелограмма, диагонали которого равны
16 см и 2 0 см, а одна из диагоналей перпендикулярна его стороне.
42. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а разность
диагоналей — 1 0 см.
43. Перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба,
делит сторону на отрезки длиной 7 см и 9 см. считая от вершины
тупого угла. Найдите плошадь ромба.
44. Найдите плошадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см
и 14 см, а угол между ними— 150°.
45. Стороны параллелограмма равны 24 см и 30 см, а угол между
высотами — 30°. Найдите площадь параллелограмма.
46. В равнобокой трапеции диагональ равна большему основанию и
образует с ним угол 38°. Найдите углы трапеции.
47. В равнобокой трапеции с тупым углом 1 2 0 ° через вершину тупого
угла проведена прямая, которая параллельна боковой стороне и
отсекает от большего основания отрезок длиной 12 см. Найдите
периметр трапеции, если ее меньшее основание равно 16 см.
48. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 18 см, а большее
основание — 32 см. Угол между ними равен 60°. Найдите
среднюю линию трапеции.
49. Найдите плошадь равнобокой трапеции, меньшее основание
которой равно 1 0 см, боковая сторона — 6 см, а тупой угол ра­
вен 1 2 0 °.
50. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны
22 см и 50 см, а диагонали деляг ее гупые углы пополам.
51. Около треугольника DEF описана окружность с центром в точ­
ке О. Найдите угол DOF, если: 1) А Е = 38°; 2) А Е = 148°.
52. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в
окружность, если его основание стягивает дугу, градусная мера
которой 192°.
Вариант 2_________________________________________________________ 41_
42 Тренировочные упражнения
53. Точки D и В окружности лежат по одну
сторону от диаметра АС (рис. 51). Най­
дите угол ABD, если ZDAC = 52°.
54. Четырехугольник ABCD вписан в
окружность. Угол А больше угла В
на 58° и в 4 раза больше угла С. Найдите
углы четырехугольника.
55. Боковая сторона равнобокой трапеции, в
которую можно вписать окружность,
равна 12 см. Найдите периметр трапеции.
56. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен
8 см, а один из отрезков, на которые точка касания вписанной
окружности делит боковую сторону, — 4 см. Найдите .площадь
трапеции.
57. В треугольнике АВС известно, что ВС = 5-т/з см, Z A = 120°. Най­
дите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
58. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая
сторона — 10 см. Найдите радиус окружности, описанной около
этого треугольника.
59. Длина дуги окружности равна 8 л см, а ее градусная мера — 24°.
Найдите радиус окружности.
60. Дуга окружности, радиус которой 6 см, содержит 240°. Найдите
радиус окружности, длина которой равна длине этой дуги.
61. Площадь сектора составляет ^ площади круга. Найдите градус­
ную меру центрального угла, соответствующего данному сектору.
62. Стороны треугольника равны 26 см, 28 см и 30 см. Найдите
площади его описанного и вписанного кругов.
63. Стороны двух правильных треугольников относятся как 4 : 7, а
площадь большего из них равна 98 см2. Найдите площадь
меньшего треугольника.
64. Сторона квадрата равна 6 см. Найдите радиусы его вписанной и
описанной окружностей.
65. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 2 см.
Найдите сторону квадрата и радиус вписанной в него окружности.
6 6 . Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
4уЗ см. Найдите радиус окружности, описанной около тре­
угольника, и сторону треугольника.
Вариант 2 43
67. Вычислите площадь правильного восьмиугольника, вписанного в
окружность, радиус которой 6 см.
6 8 . Вершинами треугольника являются точки Л(4; - 2), # (-4 ; 4),
С(—12; 10). Докажите, что треугольник АВС— равнобедренный.
69. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек
Л (4;-5) и #(2:3).
70. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является
отрезок АВ. если А(-3;9), 6 (5 ;-7 ).
71. Четырехугольник МКРЕ — параллело­
грамм (рис. 52). Укажите вектор, рав­
ный вектору: I) КР \ 2) РК ; 3) КМ ; М
4) МО - 5) РО, 6 ) ОЕ .
72. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:
1 ) A B -D B -C D - 3) АВ - СВ + СА .
2) СВ + CD -B A -D B ■
73. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О
(рис. 53). Выразите векторы АВ и ВС через векторы А О -т
и OD = п .
74. Даны точки Л/(0;5) и Л7(— 6 ; 0). Найдите координаты точки К
такой, что МК - KN = 0.
75. Найдите модуль вектора т =2а -ЪЬ , где а (—4; 2); b (1; —2).
76. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отмечены такие
точки Е и F соответственно, что АЕ = ^ А В , BF = ^ В С (рис. 54).
Выразите векторы DE и DF через векторы DA = а и DC = b .
Рис. 53 Рис. 54
44 Тренировочные упражнения
77. На сторонах DF и EF треугольника DEF отмечены такие точки Р
и К соответственно, что D P: PF = 1:4, ЕК : KF = 4: 3. Выразите
векторы E F , F D , D E , KD и РЕ через векторы DP - т и
FK = n .
78. Найдите значение и, при котором векторы а (и; - 8 ) и b (-4; -2)
коллинеарны.
79. Диагонали квадрата ABCD со стороной 4 см пересекаются в точ­
ке О. Найдите скалярное произведение векторов:
1) АВ и АС ; Ъ )Ш и BD \ 5) Ш и СО ;
2 ) Шп~АО\ 4) 04 и ОС ; 6 ) 5С и Z d .
80. Найдите косинус угла между векторами о (4; -1) и Ь ( - 6 ; - 8 ).
81. Даны векторы с(х; 6 ) и </(3;-2). При каком значении л: векторы
cud перпендикулярны?
82. Даны векторы а и Ь, \ а =4, |6=5, Z (a ,b ) = 135°. Найдите:
1 ) а -Ь 2 )\a + 3 b \.
Аксиомы стереометрии и следствия из них
83. Можно ли утверждать, что:
1 ) любые три точки всегда лежат на одной прямой;
2 ) любые три точки всегда лежат в одной плоскости?
84. Сколько различных плоскостей можно провести через одну
прямую?
85. Можно ли утверждать, что любая прямая, проходящая через цент­
ры вписанной и описанной окружностей данного треугольника,
лежит в плоскости этого треугольника?
8 6 . Может ли прямая проходить через центр окружности, но не иметь
с окружностью общих точек?
87. Верно ли утверждение, что если через две прямые можно
провести плоскость, то эти прямые параллельны?
8 8 . Плоскости аи(3 пересекаются по прямой а. В плоскостях а и р
проведены соответственно прямые т и п, которые пересекаются.
Где находится точка их пересечения?
Вариант 2 45
89. Плоскости а и (3 пересекаются по прямой, т. В плоскости а
проведена прямая а, пересекающая прямую т. Через прямую а
проведена плоскость у. пересекающая плоскость |3 по прямой Ь.
Докажите, что прямые а и b пересекаются.
90. Через прямую а и точку А можно провести две различные
плоскости. Какой вывод можно сделать?
91. Точка А принадлежит плоскости а. Докажите, что через точку А
можно провести плоскость, не совпадающую с плоскостью а.
92. Среди точек Л, В, С и D никакие три не лежат на одной прямой.
Могут ли эти точки лежать в одной плоскости?
93. В плоскости а лежат две параллельные прямые. Докажите, что
существует плоскость, отличная от плоскости а, которая пере­
секает две данные параллельные прямые.
94. Плоскости а и р пересекаются по прямой с. Докажите, что суще­
ствует плоскость, которая пересекает прямую с и плоскости а и р.
95. Прямая а принадлежит плоскости а. Докажите, что существует
прямая, которая не пересекает прямую а и не лежит с ней в одной
плоскости.
96. Точки А, В, С и D расположены в пространстве гак, что диагонали
четырехугольника ABCD пересекаются. Докажите, что указанные
точки лежат в одной плоскости. •
97. Через точку А проведены две прямые, пересекающие каждую из
прямых и и b в точках, отличных от точки А. Докажите, что
прямые а и b лежат в одной плоскости.
98. Даны прямая а и точка А вне ее. Докажите, что все прямые,
которые проходят через точку А и пересекают прямую а, лежат в
одной плоскости.
99. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Прямая с пересекает
прямые а и Ь. Существует ли прямая, пересекающая прямые а, Ь и
с в грех различных точках?
100. Прямые МА, МВ и МС пересекают плоскость а в точках А, В и С,
не лежащих на одной прямой. Существует ли прямая, пересе­
кающая прямые МА, МВ и МС в трех различных точках?
101. Вершина D плоского четырехугольника ABCD принадлежит
плоскости а, а остальные вершины лежат вне этой плоскости.
Продолжения стороны ВС и диагонали АС пересекают плос­
кость а в точках M h N соответственно. Докажите, что точки D, М
и N лежат на одной прямой.
46 Тренировочные упражнения
102. Плоскости а и Р пересекаются по прямой а. Треугольник АВС
расположен так, что две его вершины А и С принадлежат плоскос­
ти а (прямые АС и а не параллельны), а вершина В — плоскос­
ти р. Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостями
аир.
103. Две противоположные вершины трапеции и точка пересечения
диагоналей принадлежат плоскости а. Принадлежат ли плоскос­
ти а две другие вершины трапеции?
104. Можно ли утверждать, что все точки окружности принадлежат
плоскости, если:
1 ) хорда и центр окружности принадлежат плоскости;
2 ) две хорды окружности принадлежат плоскости?
105. Сколько плоскостей можно провести через три точки, лежащие на
одной прямой?
106. Любые четыре точки фигуры принадлежат одной плоскости.
Докажите, что вся фигура принадлежит этой плоскости.
107. Основания биссектрис треугольника принадлежат плоскости а.
Принадлежат ли плоскости а вершины треугольника?
108. Вершины А и В треугольника АВС лежат по одну сторону от
плоскости а, а вершина С --- по другую. Докажите, что точки
пересечения сторон ВС и АС и медианы СМ с плоскостью а лежат
на одной прямой.
Построение сечений многогранников
109. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
ABCDAXBXCXDX плоскостью, проходящей через точки: 1) Л, С и
Вх; 2) В}, Dx и середину ребра ААХ.
110. Точка М — середина ребра SB пирамиды SABC. Постройте
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и
прямую АС.
111. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью, прохо­
дящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины,
и вычислите его периметр и площадь.
112. Постройте точку пересечения прямой с плоскостью основания че­
тырехугольной пирамиды, если эта прямая проходит через две
точки, принадлежащие: 1 ) боковым ребрам одной грани; 2 ) боко­
вым ребрам, не принадлежащим одной грани; 3) боковому ребру и
боковой грани, которой это ребро не принадлежит; 4) двум
соседним боковым граням; 5) двум противоположным боковым
граням.
113. Постройте сечение треугольной пирами­
ды SABC (рис. 55) плоскостью, которая
проходит через точки Т, F и Е, принадле­
жащие ребрам SA, АВ и ВС соответственно.
114. Постройте сечение прямой призмы
ABCDAiB]ClD] плоскостью, которая про­
ходит через точки А и В и точку Л/, при­
надлежащую ребру DD], если прямые АВ
и CD не параллельны.
115. Постройте сечение прямой призмы АВСА\В\СХ (рис. 56) плос­
костью, проходящей через точку С и точки Р и М. которые лежат
на ребрах ВВ1 и А1В1 соответственно.
116. Постройте сечение прямой призмы АВСОАхВ,СхО^ (рис. 57)
плоскостью, проходящей через вершины Вх и С и точку К на ре­
бре DD[.
117. В пирамиде SABC (рис. 58) точка М принадлежит грани ASC,
точка N — грани ASB, точка К — ребру ВС. Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через точки М, N и К.
Параллельные прямые в пространстве.
Скрещивающиеся прямые
118. Прямые а и b не параллельны, прямая t параллельна прямой а.
Можно ли утверждать, что прямая Ь пересекает прямую с:
1 ) на плоскости; 2 ) в пространстве?
119. Точки А и В принадлежат прямой а, точки С и D — прямой Ь.
причем а || Ь. Докажите, что прямые АС и BD не являются
скрещивающим ися.
Вариант 2_________________________________________________________ 47
48 Тренировочные упражнения
120. Точка А не лежит в плоскости треугольника DEF. Докажите, что
прямые AD и EF скрещивающиеся.
121. Через точку А прямой / к ней проведен перпендикуляр АА{. Через
точку At проведена прямая т, перпендикулярная прямой AAt
Можно ли утверждать, что прямые / и т параллельны:
1) на плоскости; 2 ) в пространстве?
122. На одной из двух пересекающихся прямых выбрали точку и через
нее провели прямую, параллельную второй прямой. Докажите,
что эти зри прямые лежат в одной плоскости.
123. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых пересекать
каждую из двух пересекающихся прямых?
124. Прямые а и b скрещивающиеся, прямая с параллельна прямой а.
Верно ли утверждение, что прямые Л ис скрещивающиеся?
125. Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС, точки М,
N, Р и Q — середины отрезков AD. АВ, ВС и CD соответственно.
Докажите, что MN || PQ.
126. Две скрещивающиеся прямые и и Л соответственно параллельны
прямым т и п . Верно ли утверждение, что прямые т и п
скрещивающиеся?
127. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая а, не при­
надлежащая плоскосзи треугольника. Докажите, что прямые а
и В М — скрещивающиеся, где точка М — середина стороны АС.
128. Три плоскости попарно пересекаются по прямым а, Ь и с. Дока­
жите, что если эти плоскости не имеют общей точки, то а || h || с.
129. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, точки М, N, К и F
— середины отрезков АВ, BD, DC и АС соответственно. Дока­
жите, что отрезки МК и NF пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам.
130. Треугольник АВС не пересекает
плоскость а. Через его вершины и
середины М н N соответственно сто­
рон АВ и АС проведены параллель­
ные прямые, пересекающие плос­
кость а в точках At , В{, С |, Мi ,
N | (рис. 59). Найдите длины отрез­
ков ВВ] и СС|, если АА{ = 9 см. ■ Рис. 59
NN| = 8 см, ММ| =10см.
Вариант 1 49
Параллельность прямой и плоскости
131. Через точку А, не принадлежащую плоскости а, проведена
прямая, параллельная плоскости а. Сколько существует в
плоскости а прямых, параллельных прямой сР
132. Прямые а и b параллельны плоскости а. Могут ли прямые а и Ъ
пересекаться?
133. Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли утверждение:
1 ) прямая а не пересекает ни одной прямой, лежащей в плоскос­
ти а;
2 ) прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости а;
3) прямая а параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскос­
ти а?
134. Докажите, что если прямая а параллельна каждой из двух
пересекающихся плоскостей, то она параллельна прямой их
пересечения.
135. Отрезок Лй лежит в плоскости а. Точка М не принадлежит плос­
кости а. Точки К и Р — середины отрезков МА и МВ соответ­
ственно. Докажите, что прямая КР параллельна плоскости а.
136. Прямая а пересекает плоскость а. Лежит ли в плоскости а хотя
бы одна прямая, параллельная прямой сР
137. Прямые а и b скрещивающиеся. Сколько существует плоскостей,
которые содержат прямую h и параллельны прямой сР.
138. Через параллельные прямые а и b проведены две плоскости,
пересекающиеся по прямой с. Докажите, что прямые а и b парал­
лельны прямой с.
139. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена
плоскость, которая параллельна прямой АС и пересекает сторо­
ну ВС в точке А7. Докажите, что отрезок MN — средняя линия
треугольника ЛВС,
140. Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересе­
кает стороны АВ и ВС в точках Ах и С, соответственно. Найдите
отношение ААХ: АВ, если А{С\ - 6 см, АС = 9 см.
141. Прямые а и Ь принадлежат соответственно параллельным
плоскостям а и |3. Докажите, что через любую точку, не
принадлежащую данным плоскостям, можно провести плоскость,
параллельную прямым а и Ь.
50 Тренировочные упражнения
142. Вне плоскости параллелограмма ABCD
выбрали точку Е. На отрезке BE отме­
тили точку F так. что B F : FE = 4 :1
(рис. 60). Постройте точку М пересе­
чения плоскости AFD и прямой СЕ и
найдите длину отрезка FM, если
ВС = 12 см. Рис. 60
143. Постройте сечение треугольной пира­
миды SABC плоскостью, которая параллельна прямой АВ и
проходит через вершину С и точку на ребре SB.
144. Постройте сечение пирамиды SABC (рис 61)
плоскостью, которая проходит через точку Р
на ребре SB и параллельна прямым ВС и SA.
145. Постройте сечение призмы ABCDA]BiC]D]
плоскостью, которая проходит через точки Е
и F, принадлежащие соответственно ребрам
A]Dl и -8 ,С|. и параллельна прямой AAt .
Параллельные плоскости. Свойства параллельных плоскостей
146. Две плоскости параллельны одной и той же прямой. Верно ли
утверждение, что эти плоскости параллельны?
147. Каждая из двух данных плоскостей параллельна каждой из двух
данных пересекающихся прямых. Параллельны ли эти плоскости?
148. Основания трапеции параллельны плоскости а. Можно ли
утверждать, что плоскость трапеции и плоскость а параллельны?
149. Точка D лежит вне плоскости треугольника АВС. На отрезках ВА,
ВС и BD выбраны соответственно точки К, F и Е так, что
ВК : BA = B F : ВС - BE : BD. Докажите, что плоскости KEF и ADC
параллельны.
150. Даны параллелограмм ABCD и точка S вне его плоскости.
Плоскость р пересекает прямые SA. SB, SC, SD в точках А\ , В, ,
С), £>, соответственно так, что АВ\\А\В\, AD || TjD,. Докажите,
что четырехугольник AlBlClDl — параллелограмм.
151. Параллельные прямые /( и / 2 пересекают плоскость а в точках А
и В. Докажите, что любая прямая, которая параллельна плоскос­
ти а и пересекает каждукч из прямых /, и /2, пересекает эти
прямые в точках, расстояние между которыми равно АВ.

152. Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости а. Плоскость (3
параллельна плоскости а и пересекает стороны АС и ВС в точках
Ах и Вх соответственно. Найдите длину отрезка А, Вх, если
АВ = 12см, СВХ :ВХВ = 2:Ъ.
153. Через противоположные стороны четырехугольника ABCD про­
ведены попарно параллельные плоскости. Докажите, что четырех­
угольник ABCD — параллелограмм.
154. Плоскости а и Р параллельны. Через прямую а плоскости а
проведены плоскости у, и у2, пересекающие плоскость Р по
прямым Ьх и Ь2 соответственно. Докажите, что Л| || Л2 -
155. Плоскости а и Р параллельны. Отрезки АВ и CD, лежащие в этих
плоскостях, не параллельны. Могут ли отрезки AD и ВС быть
параллельными?
156. Плоскость а параллельна плоскости р, плоскость Р параллельна
плоскости у. Докажите, что плоскости а и у параллельны.
157. Плоскости а и Р параллельны. В плоскости а лежит прямая а.
Через точку В плоскости р проведена прямая b, параллельная
прямой а. Докажите, что прямая Ь лежит в плоскости р.
158. Точка М — середина ребра ВС пирамиды SABC. Постройте
сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через точку' Л/ и
параллельна плоскости ASC, и вычислите площадь сечения, если
SA = 24 см, SC = 10 см, А С = 26 см.
159. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
ABCDAXBXCXDX плоскостью, которая проходит через точки М, Р
и К, принадлежащие соответственно ребрам CtDx, ВС и DDX.
160. Постройте сечение прямой призмы
ABCDAXBXCXDX плоскостью, которая
проходит через точки М, N и Р, при­
надлежащие ребрам ВС, АХВХ и DDX
соответственно.
161. Постройте сечение прямой призмы
ABCDAXBXC\DX (рис. 62) плоскостью,
которая проходит через точки Т и Р,
принадлежащие граням AAXDXD и
DDXCXC соответственно, и точку Q на ребре ВС.
52 Тренировочные упражнения
Параллельное проектирование.
Изображение фигур в стереометрии
162. Какие геометрические фигуры могут быть параллельными про­
екциями: 1 ) отрезка; 2 ) двух параллельных отрезков; .^паралле­
лограмма?
163. Могут ли две параллельные прямые проектироваться: 1)в две
пересекающиеся прямые; 2 ) в параллельные прямые; 3) в одну
прямую; 4) в прямую и точку, принадлежащую этой прямой; 5) в
прямую и точку, не принадлежащую этой прямой?
164. Как должны быть расположены относительно направления про­
ектирования две пересекающиеся прямые, чтобы они проекти­
ровались в прямую и точку, ей принадлежащую?
165. Можно ли при параллельном проектировании ромба получить:
1 ) трапецию; 2 ) квадрат?
166. Можно ли при параллельном проектировании выпуклого четы­
рехугольника с углами 2 0 °, 1 0 0 °, 160°, 80° получить ромб?
167. Может ли параллельной проекцией двух равных отрезков быть
два неравных отрезка?
168. Может ли параллельной проекцией луча быть: 1) отрезок;
2 ) прямая; 3) точка?
169. В каком случае отрезок проектируется: 1) в точку; 2) в равный
ему отрезок?
170. При каких условиях квадрат проектируется в ромб?
171. Параллелограмм ABCD — изображение ромба с острым уг­
лом 60° (рис. 63). Постройте изображение высоты, опущенной из
вершины тупого угла В на сторону AD.
172. Четырехугольник ABCD — проекция ромба (рис. 64), М — точка
на стороне ВС. Постройте изображения перпендикуляров, опу­
щенных из точки М на диагонали ромба.
173. Треугольник А^В\СУ — изображение равнобедренного треуголь­
ника АВС (рис. 65). Постройте изображение точки пересечения
биссектрис этого треугольника, если АВ : ВС : АС - 5:5:8.
Рис 63 Рис. 64 Рис. 63
174. Точки M j, N | , Р\ являются изображениями вершин А и В и сере­
дины стороны CD параллелограмма ABCD. Постройте изображе­
ние параллелограмма. Сколько решений имеет задача?
175. Треугольник АВС — параллельная проекция правильного тре­
угольника, на сторонах которого в его плоскости построены в
свою очередь правильные треугольники. Постройте параллельные
проекции этих треугольников.
176. На изображении окружности (рис. 6 6 ) постройте
изображение ее центра.
177. Дана параллельная проекция окружности с цен­
тром О. Постройте параллельную проекцию
Вариант 2_________________________________________________________ 53
Рис. 66
квадрата, вписанного в эту окружность.
178. Точки А, В, О, не лежащие на одной прямой, являются параллель­
ными проекциями двух вершин квадрата и его центра. Постройте
изображение квадрата. Сколько решений имеет задача?
179. Дано изображение треугольника и двух его высот. Постройте
изображение центра окружности, описанной около треугольника.
180. Стороны прямоугольника относятся
как 3:1. Постройте изображение пер­
пендикуляра, проведенного из вер­
шины прямоугольника к его диагонали.
181. Точки ,4|, В\, С] — параллельные
проекции точек А. В, С на плоскость а
(рис. 67), прямая р { — проекция пря­
мой р, лежащей в плоскости АВС, на
плоскость а. Постройте прямую р.
Перпендикулярность прямой и плоскости
182. Может ли прямая быть перпендикулярной только одной прямой
плоскости?
183. Через точку М, лежащую вне плоскости треугольника АВС, про­
ведена прямая МЛ. перпендикулярная прямым АВ и АС. Докажи­
те, что прямая МА перпендикулярна медиане AN треугольни­
ка АВС.
184. Как расположена относительно плоскости круга прямая, пер­
пендикулярная двум его диаметрам?
54 Тренировочные упражнения
Рис. 68 Рис. 69 Рис. 70
185. На рисунке 6 8 изображен прямоугольник ABCD, FA LAD . Ука­
жите прямую и плоскость, которые перпендикулярны друг другу.
186. Четырехугольник ABCD — ромб (рис. 69), прямая АЕ перпен­
дикулярна плоскости АВС. Докажите, что ЕО L DB.
187. На рисунке 70 изображен куб ABCDA]BIClD1. Докажите, что
четырехугольник ABiCiD — прямоугольник.
188. Через одну сторону ромба проходит плоскость, перпендикуляр­
ная соседней стороне. Докажите, что этот ромб — квадрат.
189. Точка М лежит вне плоскости равностороннего
треугольника АВС (рис. 71), МА - МВ = МС,
точка О — центр правильного треугольника.
Докажите, что. прямая МО перпендикулярна
плоскости АВС.
190. Точка М лежит вне плоскости равностороннего р ис 7 у
треугольника АВС и равноудалена от всех его
вершин, точка N — середина стороны АВ. Докажите, что прямая
АВ перпендикулярна плоскости NMC.
191. Прямая АО перпендикулярна плоскости окружности с центром О.
Точка В лежит на окружности. Найдите радиус окружности, если
АВ = 12 см, ZABO = 30°.
192. Через вершину А правильного треугольни­
ка АВС проведен перпендикуляр АК к плоскос­
ти треугольника (рис. 72). Найдите расстояние
от точки К до вершин треугольника, если
ВС = 12>/з см, Z КВА = 30°.
193. Через точку М пересечения диагоналей пря-

моугольника ABCD к его плоскости про­
веден перпендикуляр SM и точка S соеди­
нена с серединой F стороны CD (рис. 73).
Найдите длину отрезка SD, если АВ - 10 см,
ВС = 24 см, ZMSF= 60°.
Вариант 2 55
194. Прямая SA перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD,
AD =6 см, CD = 8 см, ZSCA = 30°. Найдите SA.
195. Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС и равноудалена
от его вершин. Как расположена точка О - - проекция точки М на
плоскость АВС — относительно треугольника АВС, если этот
треугольник прямоугольный?
196. Плоскость а проходит через середины сторон AD и ВС четырех­
угольника ABCD и перпендикулярна прямым AD и ВС. Докажите,
что если ВС - AD , то четырехугольник ABCD — прямоугольник.
197. Могут ли две пересекающиеся плоскости быть перпендикуляр­
ными одной прямой?
198. Через вершину В прямоугольника ABCD к его плоскости про­
веден перпендикуляр SB. Известно, что SA = а . SC - b , SD - с .
Найдите SB.
199. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС Проведен
перпендикуляр SB к его плоскости длиной 4 см. Найдите ZSMB,
где точка М — середина стороны АС, если АВ = ВС = 5 см,
АС = 6 см.
200. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 см. Точка М
находится на расстоянии 15 см от всех его вершин. Найдите
расстояние от точки М до плоскости треугольника.
201. Прямая ВК перпендикулярна плоскости
ромба ABCD (рис. 74), О — точка пересе­
чения диагоналей ромба. Докажите, что пря­
мая АС перпендикулярна плоскости КВО
202. Даны ромб ABCD и точка S вне его плос­
кости такая, что SA = SC и SB - SD. Найдите
угол BSD. если SB = AD и ZBAD ~ 60°.
203. Из точки М, не принадлежащей плоскости прямоугольника
ABCD, проведен перпендикуляр AM к его плоскости. Через точ­
ку О пересечения диагоналей прямоугольника проведена пря­
мая ОК, параллельная прямой AM. Найдите расстояние от точки К
до вершин прямоугольника, если АВ = 3 см, ВС = 4 см, ОК = 6 см.
204. Концы отрезка, расположенного по одну сторону от плоскости,
удалены от нее на 9 см и 11 см. Найдите расстояние от середины
отрезка до этой плоскости.
205. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпен­
дикулярная прямым АВ и BD. Докажите, что прямая АС перпен­
дикулярна плоскости BFD.
\
с
Рис. 74
56 Тренировочные упражнения
206. Через вершины В и D ромба ABCD проведены перпендикуля­
ры ВМ и DN к плоскости ромоа. Докажите, что плоскость АВМ
параллельна плоскости CDN.
А 7
1 /
Перпендикуляр и наклонная
207. На рисунке 75 изображен куб ABCDA^BxClDx. --------„С,
Укажите проекции отрезка BD{ на плоскости
граней куба.
208. Из точки к плоскости проведены перпендику- л --------- d
ляр и наклонная длиной 12 см. Найдите длину рж 7 5
перпендикуляра, если длина проекции наклон­
ной равна 7 см.
209. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная.
Длина проекции наклонной равно 6 см. Найдите длины перпенди­
куляра и наклонной, если угол между перпендикуляром и наклон­
ной равен 30°.
210. Из точки М к плоскости а проведены наклонные MV и МК, а
также перпендикуляр MF. Найдите MF и МК, если MN = 20 см,
NF = 16 см, KF = 5 см.
211. Из точки М к плоскости а проведены наклонные МК и МС и
перпендикуляр MD. Найдите длины наклонных, если K D -Ь с н ,
Z MCD = 30°, Z MKD ш 60°.
212. Из точки М к плоскости а проведены наклонные MN и МК,
длины которых относятся как 25 : 26. Найдите расстояние от
точки М до плоскости а, если проекции наклонных MN и МК
равны соответственно 14 см и 20 см.
213. Докажите, что если проекции двух наклон­
ных, проведенных к плоскости из одной
точки, равны, то равны и наклонные.
214. В четырехугольнике ABCD известно, что
АВ - AD (рис. 76). Прямая SA перпен­
дикулярна плоскости четырехугольника,
ZDSC = ZBSC . Докажите, что ВС = CD .
215. Прямая FB перпендикулярна плоскости тре­
угольника АВС (рис. 77). Точка F равно­
удалена от точек А и С. Найдите длину
отрезка FB, если АС =6 см, Z СВА = 120°,
Z CFA = 90°,
Вариант 2 57
216. Точка М равноудалена от вершин ромба ABCD. Докажите, что
A BCD — квадрат.
217. Точка М находится на расстоянии 10 см от вершин равнобедрен­
ного треугольника АВС ( АВ - В С ) и на расстоянии 6 см от его
плоскости. Найдите стороны треугольника, если Z ВАС = 30°.
218. В прямоугольнике ABCD известно, что АВ = 2ВС Прямая FB
перпендикулярна плоскости прямоугольника, FB - 7 см,
FD = 12 см. Найдите стороны прямоугольника.
219. Из точки, лежащей вне плоскости, проведены к ней две
наклонные, проекции которых равны 9 см и 5 см Найдите длины
наклонных, если их разность равна 2 см.
220. Два отрезка длиной 10 см и 17 см упираются своими концами в
параллельные плоскости. Найдите расстояние между плоскостя­
ми, если сумма проекций этих наклонных на одну из плоскостей
равна 2 1 см.
221. Из точки М к плоскости а проведены две равные наклонные, угол
между которыми равен 90°. Найдите угол между наклонными и их
проекциями на плоскость а, если угол между проекциями
наклонных равен 1 2 0 °.
222. Из точки М к плоскости а проведены наклонные МЛ и МВ и
перпендикуляр МС, t МЛ -1 0 см, МС - 8 см, Л5 = л/316см,
Z АСВ = 120°. Найдите длину наклонной МВ.
223. Через вершину С треугольника АВС проведена плоскость а, па­
раллельная стороне АВ. Расстояние от прямой АВ до плоскости а
равно 6 см, а проекции сторон СА и СВ на эту плоскость равны
4 см и 8 см соответственно. Найдите медиану СМ треуголь­
ника АВС. если АВ - 10 см.
224. Из точки М к плоскости а проведены перпендикуляр i\1A и
наклонные МВ и МС\ причем МА1 = АС АВ. Докажите, что
ZAMB + Z АМС - 90°.
225. На рисунке 78 изображен куб
ABCDAiB]CiD]. Докажите, что прямая
СО перпендикулярна прямой Л,Д .
Теорема о трех перпендикулярах
Рис. 78
58 Тренировочные упражнения
N
S м
с
Рис. 79 Рис. НО Рис. 81
226. На рисунке 79 изображен квадрат ABCD, прямая NC перпенди­
кулярна его плоскости. Докажите, что прямые BD и NO перпенди­
кулярны.
227. К плоскости равнобедренного треугольника АВС ( АВ - ВС ) про­
вели перпендикуляр SB (рис. 80). Найдите расстояние от точки Л'
до прямой АС, если АС = с , ВС = b. SB - и . .
228.1 очка S принадлежит перпендикуляру к плоскости треугольника,
проходящему через точку пересечения его биссектрис. Докажите,
что точка S равноудалена от сторон треугольника.
229. Через вершину В треугольника АВС к его плоскости проведен
перпендикуляр МВ. Прямая, проходящая через точку М, перпен­
дикулярна отрезку АС и пересекает этот отрезок в его середине.
Докажите, что треугольник Л5Г равнобедренный.
230. Через вершину угла В треугольника АВС проведен перпендику­
ляр МВ к его плоскости (рис. 81). Найдите расстояние от точки М
до прямой АС, если АВ = с , MB = cl. Z ВАС = о..
231. Точка М — центр равностороннего треугольника АВС (рис. 82).
Прямая FM перпендикулярна плоскости треугольника. Постройте
перпендикуляры, опущенные из точки F на стороны треуголь­
ника.
232. К плоскости прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр Fk
(рис. 83). Проведите перпендикуляр из точки F к прямой АВ.
233. Из точки М к плоскости квадрата ABCD проведен перпендику­
ляр MN (рис. 84). Постройте перпендикуляр, проведенный из точ­
ки М к прямой АС.
F
Рис. 82 Рис. 83 Рис. 84
Вариант 2 59
234. Точка N принадлежит плоскости правиль­
ного шестиугольника ABCDEF (рис. 85). К
плоскости шестиугольника проведен перпен­
дикуляр MN. Постройте перпендикуляр, про­
веденный из точки М к прямой CD.
235. Через вершину прямого угла В прямоуголь­
ного треугольника АВС к его плоскости проведен перпендику­
ляр ВК длиной 7 см. Найдите расстояние от точки К до пря­
мой АС, если АС = 8л/2 см, Z ВАС = 45°.
236. Через точку О пересечения диагоналей ромба ABCD к его плос­
кости проведен перпендикуляр OF длиной 2 см. Найдите рассто­
яние от точки F до сторон ромба, если ЛС = 16см, BD = 12см.
237. Через вершину угла С треугольника АВС к его плоскости про­
веден перпендикуляр CN. Расстояние от точки N до прямой АВ
равно 26 см. Найдите расстояние от точки N до плоскости тре­
угольника, если АС = 30 см, АВ = 28 см, ВС = 26 см.
238. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС ( АВ = ВС )
к плоскости треугольника проведен перпендикуляр ВТ длиной
5 см. Найдите расстояние от точки Т до стороны АС, если
АС =8 см, АВ =6 см.
239. В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Через
точку О к плоскости треугольника проведен перпендикуляр FO.
Точка F удалена от стороны АВ треугольника на 5 см. Найдите
длину отрезка FO, если АВ = 15 см, 4С = 12см, ВС = 9 см.
240. Через центр О окружности, вписанной в правильный
треугольник, к плоскости треугольника проведен перпендику­
ляр OD длиной 6 см. Точка D удалена от сторон треугольника на
расстояние 14 см. Найдите сторону треугольника.
241. Основания равнобокой трапеции равны 2 см и 14 см. Через
центр О окружности, вписанной в эту трапецию, проведен пер­
пендикуляр ОК к плоскости трапеции, ОК - 6 см. Найдите рас­
стояние от точки К до сторон трапеции.
242. Диагонали ромба равны 60 см и 80 см. Точка М удалена от
каждой из сторон ромба на 26 см. Найдите расстояние от точки М
до плоскости ромба.
243. Точка ^удалена от каждой из сторон треугольника АВС на 10 см,
а от его плоскости на 6 см. Найдите периметр треугольни­
ка АВС, если его площадь равна 96 см-.
А/*
С.---—I — D
\ V / Е
Рис. В5
60 1 ренировочные упражнения
244. Сторона ромба равна а, а один из углов равен а. Точка /V/удалена
от плоскости ромба на расстояние Ь. Найдите расстояние от точ­
ки М до сторон ромба, если она равноудалена от них.
245. Точка 5 находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.
Докажите, что проекция точки S на плоскость данного угла
принадлежит его биссектрисе.
246. Стороны прямоугольника равны 12 см и 1б см. Через середину F
меньшей стороны к плоскости прямоугольника проведен
перпендикуляр FT длиной 2 см. Найдите расстояние от точки Т до
диагоналей прямоугольника.
247. Через вершину С ромба ABCD к его плоскости проведен пер­
пендикуляр CF. Точка / ’удалена от стороны АВ на 25 см. Найдите
расстояние от точки F до плоскости ромба, если диагонали ромба
равны 30 см и 40 см.
248. Из точки S к плоскости п проведены перпендикуляр SF и наклон­
ная SK, образующая со своей проекцией угол у. Через точку К в
плоскости л проведена прямая а, образующая с наклонной SK
угол ф. Найдите угол между прямыми FK и а.
249. В треугольнике АВС известно, что Л5 = 18см, ВС = 26 см,
АС = 21 см. Через вершину А треугольника проведена наклонная,
образующая с лучами АС и АВ равные углы. Проекция наклонной
пересекает сторону ВС в точке F. Найдите длины отрезков BF и CF.
250. Основания трапеции равны 8 см и 12 см. Через меньшее осно­
вание трапеции проведена плоскость, удаленная на 4 см от боль­
шего основания. Найдите расстояние от точки пересечения диаго­
налей трапеции до данной плоскости.
Перпендикулярные плоскости
251. Верно ли утверждение, что если плоскость а перпендикулярна
плоскости (3. то любая прямая, перпендикулярная плоскости а, не
имеет общих точек с плоскостью р?
252. Верно ли утверждение, что если прямая а и плоскость а перпен­
дикулярны плоскости Р, то прямая а параллельна плоскости а ?
253. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости перпенди­
кулярны третьей, то линия их пересечения также перпендику­
лярна этой плоскости.
254. Точка D равноудалена от вершин А и С равнобедренного
треугольника АВС, АВ = ВС. Точка М — середина стороны АС.
Докажите, что плоскости АВС и BDM перпендикулярны.
255. Два равносторонних треугольника АВС и АВС1 имеют общую
сторону АВ, длина которой равна 10 см. Плоскости этих треуголь­
ников перпендикулярны. Найдите расстояние между вершина­
ми С и С].
256. Точка М равноудалена от сторон ромба ABCD. Докажите, что
плоскости АМС и BMD перпендикулярны.
257. Точка S равноудалена от вершин равностороннего треугольни­
ка АВС, точка М — середина стороны АС. Докажите, что
плоскости MSB и АВС перпендикулярны.
258. Точка М равноудалена от вершин С и D прямоугольника ABCD.
Из точки М к стороне АВ проведен перпендикуляр A1N. Докажите,
что плоскость прямоугольника перпендикулярна плоскости MNO,
где О — точка пересечения диагоналей прямоугольника.
259. Плоскости л и у перпендикулярны и пересекаются по прямой т.
Плоскость ф пересекает плоскости л и у по прямым к и р,
параллельным прямой т. Расстояние между прямыми к а р равно
20 см, а между прямыми т и р — 16 см. Найдите расстояние
между прямыми т и к, а также расстояние от прямой т до плос­
кости ф.
260. Концы отрезка, длина которого равна 25 см. принадлежат двум
перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка
до линии пересечения плоскостей равны 20 см и 9 см. Найдите
расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из
концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

10 gdz asz_m_ua from mighhv

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (14.04.2016)
Просмотров: | Теги: Мерзляк | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar