Тема №5991 Решение задач по геометрии 10 класс Мерзляк (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии 10 класс Мерзляк (Часть 3) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии 10 класс Мерзляк (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

261. Точки А и В принадлежат двум перпендикулярным плоскостям а
и р соответственно, и — линия пересечения этих плоскостей. AD и
ВС — перпендикуляры, проведенные из точек А и В к прямой а.
Найдите длину отрезка АВ, если AD = 5см, В С - 6 см,
DC = 12 см.
262. Отрезок лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и
не пересекает другую. Один из концов отрезка удален от прямой а
пересечения плоскостей на 12 см. Во второй плоскости проведена
прямая Ь, параллельная а. Концы данного отрезка удалены от
прямой b на 13 см и ViT см. Найдите расстояние от середины
отрезка до прямой а.
263. Прямоугольник ABCD перегнули по диагонали так, что плоскости
ABD и CBD оказались перпендикулярными. Найдите расстояние
между точками А и С, если А В = 30 см, BD = 50 см.
Вариант 2_________________________________________________________ 61
264. Докажите, что если прямые пересечения плоскостей а, (3 и у по­
парно перпендикулярны, то плоскости попарно перпендикулярны.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
265. На рисунке 8 6 изображен куб с ребром а. Найдите расстояние
между прямыми АВ и CD.
62______________________________________ Тренировочные упражнения
а) б)
Рис. 86
266. Через вершину острого угла А прямоугольного треугольника АВС
(А В = 90°) проведена прямая а. перпендикулярная плоскости
треугольника. Найдите расстояние между прямыми ВС и а, если
ВС = 7 см, АС = 25 см.
267. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая /, перпен­
дикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между
прямыми / и ВС. если /45 = 13 см, В С - 14см, ЛС = 15см.
268. Через середину хорды АВ окружности радиусом 5 см проведена
прямая и, перпендикулярная плоскости окружности. Найдите рас­
стояние между прямой п и диаметром ВС. если АС =8 см.
269. Через точку А окружности проведены хорды АВ и АС. Через точ­
ку В проведена прямая т, перпендикулярная плоскости окружно­
сти, а через точку С прямая к — касательная к окружности.
Найдите расстояние межд> прямыми т и к, если АВ = 6 см,
АС =8 см, Z ВАС = 60°.
270. Через вершину А равнобедренного треугольника АВС ( АВ = АС )
проведена плоскость, перпендикулярная плоскости АВС. и в этой
плоскости через точку А проведена прямая т. Найдите расстояние
между прямыми т и ВС. если ВС - 8 см, ABAC = 120°.
271. Через основание ВС равнобедренного треугольника АВС прове­
дена плоскость а. Расстояние от точки А до плоскости а равно
4 см. Найдите расстояние между прямой ВС и прямой, прохо­
дящей через точку А перпендикулярно плоскости а, если
ВС = 12см, АВ = 10 см.
Париант 2 63
Рис. Л 7 Рис. 88 Рис. 89
272. Скрещивающиеся прямые а и b принадлежат параллельным
плоскостям а и [3 соответственно. Докажите, что расстояние
между прямыми и и b равно расстоянию между плоскостями а
и р.
273. Плоскость а проведена через сторону CD прямоугольника ABCD
перпендикулярно его плоскости (рис. 87). Из точки А к плоскос­
ти а проведена наклонная АК длиной 15 см Найдите расстояние
между прямыми ВС и АК, если АВ = 8 см, AD = 9 см, КС = 12 см.
274. Плоскости квадратов ABCD и ABC^D^ перпендикулярны
(рис. 8 8 ). Найдите расстояние между прямыми CDX и АВ, если
АВ =6 см.
275. Длина ребра куба ABCDA]B]C]Di равна 4 см. Найдите расстоя­
ние между прямыми АС\ и ВВХ.
Угол между скрещивающимися прямыми
276. Отрезок AM — медиана треугольника АВС, прямая МК перпенди­
кулярна прямым AM и ВС. Найдите угол между прямыми А В и
МК.
277. Через центр О квадрата ABCD к его плоскости проведен пер­
пендикуляр ЕО (рис. 89). Найдите угол между прямыми ED и АС.
278. Через центр О правильного шестиугольника ABCDEF к его
плоскости проведена перпендикулярная прямая. На этой прямой
выбрали точку К и соединили ее серединой Р стороны АВ. Дока­
жите, что прямые КР и FC перпендикулярны.
279. На рисунке 90 изображен куб АВСОАхВхС ^ \.
Найдите угол между прямыми: 1) АВ и СС,:
2) Я, С, и А С; 3) A}D и АС.
280. Через вершину В прямоугольника ABCD к его
плоскости проведен перпендикуляр FB длиной
6 см. Найдите угол между прямыми АВ и FD,
если АВ = 9 см, ВС - 12 см.
/1 ,
X -------- 71С' X' л /
D
Рис. 90
64 Т ренировочные упражнения
Угол между прямой и плоскостью
281. Наклонная образует с плоскостью угол 60°. Найдите длину
наклонной, если длина ее проекции 9 см.
282. Найдите угол между наклонной и плоскостью, если длина
наклонной равна 15 см, а расстояние от конца наклонной до
плоскости - — 3 см.
283. Дан куб ABCDAlBtC]Dt . Найдите угол между прямой АС, и
плоскостью .1 ВС.
284. Докажите, что боковые стороны равнобедренного треугольника
образуют равные углы с плоскостью, проходящей через его осно­
вание.
285. Точка Л/ лежит вне плоскости правильного треугольника АВС. а
наклонные МА, МВ и МС образуют равные углы с плоскос­
тью АВС. Докажите, что проекция точки V/ на плоскость треуголь­
ника — центр этого треугольника.
286. Т очка К находится на расстоянии 6 см от плоскости а. Наклон­
ные КА и КВ образуют с плоскостью а углы 45° и 30°. а угол
между проекциями наклонных равен 135°. Найдите расстояние
между точками А и В.
287. В треугольнике АВС известно, что АВ--АС, ВС = 12см, пло­
щадь треугольника равна 18 см'. Через вершину А проведен к
плоскости треугольника перпендикуляр DA такой, что
DE = Зл/2 см, где точка Е — середина ВС. Найдите угол между
прямой DE и плоскостью треугольника.
288. Концы отрезка АВ. длина которого равна 2л/2 см, лежат в двух
перпендикулярных плоскостях а и (3 соответственно. Из точек А и
В опущены перпендикуляры АА, и ВВ] на линию пересечения
плоскостей. АВ, - %/б см. А А, =■ 2 см. Найдите утлы, которые
образует отрезок АВ с плоскостями а и (3
289. Точки А и В лежат в двух перпендикулярных плоскостях. С одной
из плоскостей отрезок АВ образует угол 30°. Точка А находится на
расстоянии 4 см от этой плоскости. а расстояние между
основаниями перпендикуляров, проведенных из точек А и В к
линии пересечения плоскостей, равно 4х/2см. Найдите угол
между отрезком АВ н второй плоскостью.
Вариант 2 65
290. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС
( /. АВС = 90°) к плоскости треугольника проведен перпендикуляр
DA. Найдите расстояние от точки D до прямой ВС, если прямая
DB образует с плоскостью АВС угол (3. АС = с. Z ВАС = а.
291. Треугольники АВС и Л DC лежат в разных плоскостях. Найдите
углы, которые образуют прямые АВ и СВ с плоскостью ADC, если
АВ = ВС = АС . AD = DC , Z ADC = 90°, прямая BD перпендику­
лярна плоскости ADC.
292. Через вершину угла, равного 60°, проведена прямая, образующая
с его сторонами углы по 60°. Найдите угол, который образует эта
прямая с плоскостью данного угла.
Угол между плоскостями
293. Угол между двумя плоскостями равен 30°. В каждой из плоскос­
тей проведена прямая, параллельная линии их пересечения.
Расстояние от одной из этих прямых до линии пересечения
плоскостей равно 8 см, а от другой 2л/3 см. Найдите
расстояние между проведенными прямыми.
294. Плоскости ос и (3, угол между которыми равен 60°, пересекаются
по прямой /. Плоскость у пересекает плоскости а и (3 соответ­
ственно по прямым а и Ь. параллельным прямой /. Расстояние
между прямыми а и h равно 2л/Т9 см, между прямыми а и / —
6 см. Найдите расстояние от прямой b до плоскости а.
295. Квадрат и прямоугольник, плошади которых соответственно
равны 36 см2 и 96 см2, имеют общую сторону, а расстояние между
их параллельными сторонами равно 14 см. Найдите угол между
плоскостями квадрата и прямоугольника.
296. Сторона АВ равностороннего треугольника АВС принадлежит
плоскости ос. Из точки С к плоскости а проведен перпендику­
ляр СО. Расстояние от точки О до прямой АВ равно 3-Уз см.
плошадь треугольника АВС равна 36V3 см2. Найдите угол между
плоскостями АВС и а.
297. Через сторону АВ треугольника АВС проведена плоскость, обра­
зующая с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите расстояние
0 1 вершины С до этой плоскости, если АВ = 14 см. ВС = 13 см,
ЛС - 15 см.
66 Тренировочные упражнения
298. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее
основание АС. Угол между их плоскостями равен 60°, А С - 12 см,
Z АВС = 60°, Z ADC = 120°. Найдите длину отрезка BD.
299. Два равнобедренных треугольника MNK и МЕК имеют общее
основание МК. Найдите угол между плоскостями MNK и МЕК,
если MN = 5-\/3 см, ЕК = 13 см, EN - \ll4 см, МК - 10 см.
300. Прямоугольники ABCD и AMKD имеют общую сторону AD. Най­
дите угол между плоскостями прямоугольников, если AD = 6 см,
DK =16 см, DC = 12 см, МС = 10 см.
301. На рисунке 91 изображен куб ABCDAXB\CXD,.
Найдите угол между плоскостями АВС и
Л Я, С,.
302. Через сторону правильного треугольника про­
ведена плоскость, образующая с плоскостью
треугольника угол 30°. Найдите углы, которые
образуют две другие стороны треугольника с
этой плоскостью.
А
Рис. 91
303. Угол между плоскостями а и |3, которые пересекаются по пря­
мой а, равен 45°. В плоскостях а и р выбраны точки С и D соот­
ветственно и из них проведены перпендикуляры DA и СВ к пря­
мой а. Найдите длину отрезка АВ, если AD = 6V2 см, СВ - 8 см,
£>С = 11см.
304. Плоскости а и р пересекаются по прямой /. Из точек А и В,
лежащих в плоскостях а и Р соответственно, проведены перпен­
дикуляры AM и BN к прямой /. Найдите угол между плоскостями
аир, если AM = 12 см, BN - 8 -ч/з см, AN = 4 VlO см, АВ - 8 см.
305. Через центр О правильного треугольника АВС проведена пря­
мая /, перпендикулярная плоскости треугольника. Плоскость,
проведенная через сторону АВ, пересекает прямую / в точке М.
Угол между плоскостями АВС и АВМ равен 60°. Найдите длину
стороны треугольника АВС. если длина проекции отрезка МО на
' з [Ч
плоскость АВМ равна - у - см.
306. Из точки М, лежащей вне плоскости а. проведены к ней две
наклонные МА и МВ, образующие с плоскостью а углы 45° и 60°
соответственно. Найдите угол между плоскостями а и МЛ В. если
угол между проекциями наклонных МА и МВ равен 150°. .
Вариант 2 b7
307. Угол между двумя плоскостями равен 60°. В одной из плоскостей
проведена прямая, образующая со второй плоскостью угол 30°.
Найдите угол, образованный этой прямой с линией пересечения
плоскостей.
308. Точка М равноудалена от вершин правильного шестиугольни­
ка ABCDEF. Угол между прямой МА и плоскостью АВС равен а.
Найдите угол между плоскостями МАВ и АВС.
309. Точка К равноудалена от вершин квадрата ABCD. Угол между
прямой КА и плоскостью АВС равен (3. Найдите угол между
плоскостями АВК и ADK.
Площадь ортогональной проекции многоугольника
310. Может ли площадь ортогональной проекции многоугольника
быть больше, чем площадь самого многоугольника?
311. Найдите площадь многоугольника, если площадь его ортогональ­
ной проекции на некоторую плоскость равна 32л/2 см2, а угол
между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции ра­
вен 45°.
312. Площадь многоугольника равна 24 см2, а площадь его ортого­
нальной проекции — 16см‘. Найдите угол между плоскостью
многоугольника и плоскостью проекции.
313. Ортогональной проекцией треугольника АВС на некоторую
плоскость является прямоугольный треугольник А]В]С] такой,
что катет А\С\ равен 30 см, медиана, проведенная к гипотенузе
А\В\, - 17 см. Найдите угол между плоскостями АВС и AVB\C],
если площадь треугольника АВС равна 160л/з см*1.
314. Площадь четырехугольника равна 56-\/2 см2. Его ортогональной
проекцией на некоторую плоскость является ромб, одна из диаго­
налей которого равна 14 см. Найдите вторую диагональ ромба,
если угол между плоскостью четырехугольника и плоскостью
ромба равен 45°.
315. Площадь треугольника А\ВуС{ равна 22,5 см2. Он является орто­
гональной проекцией треугольника АВС со сторонами 6 см, 10 см
и 14 см. Найдите угол между плоскостями АВС и /4, В] С ,.
316. Ортогональной проекцией трапеции является равнобокая трапе­
ция, основания которой равны 4 см и 8 см, а диагонали перпен­
дикулярны. Найдите площадь данной трапеции, если угол между
ее плоскостью и плоскостью проекции равен 60°.
6В Тренировочные упражнения
Вариант 3
Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии
1. Углы ЛОВ и АОС равны между собой, а точки В, О и С лежат на
одной прямой. Докажите, что углы ЛОВ и АОС прямые.
2. Докажите равенство остроугольных треугольников по высоте и
углам, которые она образует со сторонами угла, из вершины
которого она проведена.
3. Докажите равенство равнобедренных треугольников по высоте,
проведенной к боковой стороне, и углу, который она образует с
основанием.
4. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане,
проведенной к третьей стороне.
5. Докажите от противного, что если два луча делят развернутый
угол на три угла, то среди этих углов хотя бы один не больше,
чем 60°.
6 . Докажите от противного, что если разность двух углов равна 3°,
то они не могут быть вертикальными.
7. Прямая с параллельна стороне CD треугольника CDE. Может ли
прямая с быть параллельной сторонам СЕ и DE1 Ответ обоснуйте.
8 . Докажите от противного, что если прямые а и Ъ параллельны и
прямая с не пересекает прямую а, то она не пересекает и пря­
мую Ь.
9. На рисунке 92 СЕ = ЕК , PM II КЕ. Дока­
жите, что СМ = Р М .
10. Отрезки DH и DK — высота и
биссектриса треугольника DME соответ­
ственно, Z.DME = 123 °, /.DEM = 19°.
Найдите угол HDK.
11. В треугольнике АВС / С =126°, отрезки AD и AN — высота и
биссектриса треугольника соответственно, /D A N = 48°. Найдите
неизвестные углы треугольника АВС.
12. В прямоугольном треугольнике один из острых углов меньше
угла между биссектрисой и высотой, проведенными к гипотенузе,
на 29°. Найдите острые углы треугольника.
13. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны.
Точки М, F. К и Р — середины сторон А В, ВС, CD и DA
соответственно. Докажите, что МК — FP.
Вариант 3 69
D
С
с
А С ь
Рис. 93 Рис. 94 Рис. 95
14. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются
середины сторон:
1 ) квадрата;
2 ) четырехугольника с перпендикулярными диагоналями.
15. Отрезок BE — медиана треугольника АВС, /.А В С = 90°,
АС = 24 см (рис. 93). Известно, что MN || АС, DK || АС, ВМ = МА,
MD = DA. Найдите LP.
16. Расстояния от точек А, В и С до прямой / (рис. 94) равны со­
ответственно а, Ь и с (а < Ь < г). Известно, что середины отрезков
АВ и ВС равноудалены от прямой I. Докажите, что 2Ь = а + с.
17. Параллельные прямые А и / пересекают стороны угла MDP
(рис. 95). Найдите длину отрезка ААХ, если D A - 8 см, ВВ, = 9 см,
АА{ = 2DB.
18. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересе­
каются в точке М, AM = 20 см. Найдите АВ, если DC : СМ= 3 : 2.
19. В треугольник АВС вписан ромб DKFC так, что угол Г у них
общий, а вершина К принадлежит стороне АВ. Сторона ромба
равна 4 см, BF = 3 см. Найдите АС
20. Основания трапеции равны 6 см и 14 см. а диагонали — 15 см и
20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей
делит каждую диагональ.
21. В прямоугольном треугольнике АВС ( / В - 90°) АС =52 см,
АВ = 20 см. Найдите медиану AM треугольника.
22. В остроугольном треугольнике АВС известно, что АВ = 17 см,
ВС = 25 см, а высота BD делит сторону АС на отрезки AD и DC
такие, что AD : DC = 2:5. Найдите АС.
23. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них равна
22 см и образует с прямой угол 45°. Найдите длину второй
наклонной, если ее проекция на эту прямую равна л/82 см.
70 Тренировочные упражнения
24. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых
на эту прямую равны 5 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если
их сумма равна 28 см.
25. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых
равны 15 см и 2 0 см, а длины их проекций на эту прямую относят­
ся как 9:16. Найдите расстояние от точки до данной прямой.
26. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит
катет на отрезки длиной 25 см и 20 см. Найдите стороны
треугольника.
27. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника
делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки длиной 6 см
и 10 см. Найдите стороны треугольника.
28. В равнобокой трапеции ABCD известно, что АВ = CD = 7 см,
ВС = 2 см, AD = 8 см. Найдите синус и косинус угла CAD.
29. Из точки, находящейся на расстоянии 16 см от прямой, проведены
к ней две наклонные, образующие с прямой углы 30° и 60°.
Найдите длины наклонных и их проекций на прямую.
30. Из точки, находящейся на расстоянии 20 см от прямой, проведены
к ней две наклонные, образующие с прямой углы 60° и 45°.
Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько
решений имеет задача?
31. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание
которого равно 16 см, а боковая сторона — 1 0 см.
32. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см.
Найдите высоту треугольника, проведенную к гипотенузе.
33. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см
и 5 см, а угол между ними равен: I) 60°; 2) 135°.
34. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3 см,
7 см и 8 см.
35. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной
6 см и 10 см. Найдите площадь треугольника, если большая из
двух остальных сторон равна 25 см.
36. Одна сторона треугольника на 4 см меньше другой, а угол между
ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если третья его
сторона равна л/ 79 СМ.
37. Две стороны треугольника относятся как Зл/2 : 7, а угол между
ними равен 45°. Найдите эти стороны, если третья сторона тре­
угольника равна 30 см.
Вариант 3 71
38. В треугольнике ЛВС известно, что AC = b, Z A - a , ZB = (3.
Найдите стороны ЛВ и ВС.
39. Биссектриса прямоугольного треугольника, проведенная из вер­
шины его прямого угла, равна /, а острый угол равен а. Найдите
катеты треугольника.
40. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в
точке, лежащей на стороне ВС. Найдите стороны параллело­
грамма, если его периметр равен 30 см.
41. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны
25 см и 7 см, а одна их диагоналей перпендикулярна его стороне.
42. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20 см, а разность
диагоналей — 8 см.
43. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей
ромба к его стороне, делит ее на отрезки длиной 16 см и 25 см.
Найдите площадь ромба.
44. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см
и 14 см, а угол между ними — 45°.
45. Высоты параллелограмма равны 14 см и 12 см, а угол между ни­
ми — 45°. Найдите площадь параллелограмма.
46. Диагональ равнобокой трапеции образует с боковой стороной
прямой угол. Известно, что боковая сторона в два раза меньше
большего основания. Найдите углы трапеции.
47. В трапеции ABCD ( АВ = CD ) угол В — гупой, его биссектриса
пересекает основание AD в точке К, ВК = ,1В = 13 см. Найдите
разность оснований трапеции.
48. В прямоугольной трапеции ABCD (BC\\AD) диагональ А С равна
14 см, перпендикулярна боковой стороне CD и делит угол А в
отношении 2:1, считая от большего основания. Найдите
среднюю линию трапеции.
49. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание
которой равно 7 см, боковая сторона — 10 см, а угол при большем
основании — 60°.
50. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны
4 см и 10 см, а диагонали деля г ее тупые углы пополам.
51. Около треугольника АВС описана окружность»с центром в точ­
ке О. Найдите угол ЛОВ. если: 1) Z С = 54°; 2), Z С = 136°.
72 Т рен и ро воч ны е у п ражн ен ия
52. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в
окружность, основание которого стягивает дугу, градусная мера
которой равна 1 0 0 °.
53. Точки М и N окружности лежат по одну
сторону от диаметра АВ (рис. 96).
Найдите угол BMN, если ZAM N - I 10°.
54. Три угла четырехугольника, вписанного
в окружность, взятые в порядке следо­
вания, относятся как 4:8:11. Найдите
углы четырехугольника.
Л
Рис 98
55. Боковые стороны тралении, в которую
можно вписать окружность, равны 5 см и 11 см. Найдите пери­
метр трапеции.
56. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию,
делит ее боковую сторону на отрезки длиной 9 см и 16 см.
Найдите площадь трапеции.
57. В треугольнике АВС известно, что АС = 5-J2 см. Z B - 45°. Най­
дите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
58. Основание равнобедренного треугольника равно 70 см, а боковая
сторона — 37 см. Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника.
59. Длина дуги окружности равна 20 см, а ее градусная мера — 15°.
Найдите радиус окружности.
60. Длина окружности, радиус которой 12 см,. равна длине дуги
второй окружности, содержащей 135°. Найдите радиус второй
окружности.
61. Площадь сектора составляет ^ площади круга. Найдите градус­
ную меру центрального угла, соответствующего данному сектору.
62. Стороны треугольника равны 20 см, 34 см и 42 см. Найдите отно­
шение площадей описанного и вписанного в этот треугольник
кругов.
63. Стороны двух правильных шестиугольников относятся как 3 : 5, а
площадь меньшего из них равна 72 см2. Найдите площадь
большего шестиугольника.
64. Сторона правильного треугольника равна 6 см. Найдите радиусы
его вписанной и описанной окружностей.
Вариант 3 73
65. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 8 см. Нащутге
сторону квадрата и радиус описанной около него окружности.
6 6 . Радиус окружности, описанной около правильного шестиуголь­
ника, равен 5л/з см. Найдите сторону шестиугольника и радиус
вписанной в него окружности.
67. Вычислите площадь правильного шестиугольника, если радиус
вписанной в него окружности равен 4 см.
6 8 . Вершинами треугольника являются точки' Л(-3; 1), Д(2;-5),
С(3; 6 ). Докажите, что треугольник АВС— равнобедренный.
69. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего коор­
динатных углов, найдите точку, равноудаленную от точек А{ 1; 1)
и 5(3; 5).
70. Составьте уравнение окружности, радиусом которой является
отрезок Л'/Л/, если М (-3;1), Л7( 1:6). Сколько решений имеет
задача?
71. Четырехугольник ABCD — прямоугольник
(рис. 97). Укажите вектор, равный вектору:
1) ~4В\2)ВА\5)Ш\А)ОС\5) ОА \ 6 ) 7 ю
72. Четырехугольник ABCD — параллело­
грамм. Найдите:
А
Рис 97
С
D
1) B A -B C + A D , 2) BC + BA+DB
73. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке О (рис. 98).
Выразите векторы ВС и DC через
векторы АО - а и OB = b .
74. Даны точки .4(-2;3) и 5(5; 0).
Найдите координаты точки С такой,
что ВА + СА - 6.
3) АВ + ВС + C B -D A .
С
Рис 98
75. Найдите модуль вектора т -= 5а - 3 Ь , где а (5; 6 ); b {1; -4).
76. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD отмечены точки
Р и Q соответственно, причем
АР = j A D , CQ = -у CD (рис. 99).
Выразите векторы ВР и ВО че­
рез векторы АВ = т и ВС = п . г „„ Рис. 99
74 1 реиировочные упражнения
77. На сторонах АВ и НС треугольника АВС выбрали такие точки К и
М соответственно, что АК : КВ = 2:5. AM: МС = 4:3. Выразите
векторы А В . АС, ВС, СК и МВ через векторы ЛК = а и
СМ =с .
78. Найдите значение т, при котором векторы а (/н; 3) и Ь (5; - 8 )
коллинеарны.
79. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, /5 BAD-- 60е,
AD = 10 см. Найдите скалярное произведение векторов:
1) СВ и CD ; 3) АВ п ВС ; 5) ВО и ОС ,
2) DC и DA ; 4) АО и АВ ; 6 ) DO и ОВ
80. Найдите косинус угла между векторами ы(5;-1) и /> (2; 6 ).
81. Даны векторы а ( 6 ; — 1) и Ь(х:1). При каком значении ,v векторы
а и h перпендикулярны?
82. Даны векторы а и b , |о | = 5, |/>j = 4, Д(с/, b ) = 120°. Найдите:
1) | а — b [; 2) | a + 4/т j.
Аксиомы стереометрии и следствия из них
83. Можно ли утверждать, что: •
1 ) существуют две точки, не лежащие на одной прямой;
2 ) любые две точки всегда лежат в одной плоскости?
84. Сколько различных плоскостей можно провести через две точки?
85. Можно ли утверждать, что любая прямая, пересекающая две
стороны треугольника, лежит в плоскости этого треу гольника?
8 6 . Может ли прямая пересекать хорду окружности, но не пересекать
саму окружность?
87. Верно ли утверждение, что если через две прямые можно
провести плоскость, го эти прямые пересекаются?
8 8 . Плоскости а и р пересекаются по прямой а. В плоскости а прове­
дена прямая т, пересекающая прямую а в точке М. В какой точке
прямая т пересекает плоскость р?
89. Плоскости а и р пересекаются по прямой т. Плоскость у, пе­
ресекая прямую т пересекает плоскости и и Р по прямым а и Ь
соответственно. Докажите, что прямые а и b пересекаются.
Вариант 3 75
90. Точка А принадлежит прямой а, а точка В — не принадлежит.
Сколько плоскостей можно провести через прямую а и точки А и
В‘>
91. Прямая а принадлежит плоскости а. Докажите, что через пря­
мую а можно провести плоскость, отличную от плоскости а.
92. Среди точек А, В, С и D есть три. лежащие на одной прямой.
Верно ли утверждение, что через данные четыре точки проходит
единственная плоскость?
93. Даны прямая а и точка 4 вне ее. Докажите, что существует плос­
кость, которая проходит через точку А и пересекает прямую а.
94. Плоскости а и Р пересекаются по прямой а Докажите, что су­
ществует плоскость у, отличная от плоскостей аир, содержащая
прямую а.
95. Прямая а принадлежит плоскости а. Прямая Ь пересекает плос­
кость а в точке, не принадлежащей прямой а. Докажите, что
прямые о и Л не лежат в одной плоскости.
96. Точки А, В, С и D расположены в пространстве так, что пря­
мые АВ и CD не пересекаются. Следует ли из этого, что указанные
точки не лежат в одной плоскости?
97. Прямые а и Ь не пересекаются. Можно ли утверждать, что все
прямые, пересекающие прямые а и Ь, лежат в одной плоскости?
98. Прямые а и Ъ, b и с, а и с пересекаются, и точки их пересечения не
совпадают. Лежат ли прямые а, Ъ и с в одной плоскости?
99. Точки А и В принадлежат прямой а, точки D и С принадлежат
прямой Ь. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Докажите,
что прямые АС и BD не пересекаются.
100. Лучи МА, МВ, МС пересекают плоскость а в точках А. В, С.
Прямая 1 пересекает эти лучи в трех различных точках. Докажите,
что точки А, В, С лежат на одной прямой.
101. Вершина А треугольника АВС принадлежит плоскости а, а вер­
шины В и С ей не принадлежат. Прямая ВС пересекает плос­
кость а в точке D, а продолжение медианы СМ — в точке N.
Докажите, что точки A, D и /V лежат на одной прямой.
102. Вершины А и С треугольника АВС принадлежат плоскости a, a
вершина В ей не принадлежит. В плоскости а выбрана точка D, не
принадлежащая прямой АС. Внутри треугольника АВС отметили
точку О. Постройте линию пересечения плоскости BOD с
плоскостью а.
76 Тренировочные упражнения
103. Две соседние вершины и точка пересечения диагоналей трапеции
принадлежат плоскости а. Принадлежат ли плоскости а две
остальные вершины трапеции?
104. Можно ли утверждать, что все точки окружности принадлежат
плоскости, если: 1) две точки окружности и ее центр принадлежат
плоскости; 2 ) диаметр окружности принадлежит плоскости?
105. Каждая из двух плоскостей а и Р проходит через точки А, В и С.
Следует ли из этого, что плоскости а и р совпадают?
106. Среди данных п точек любые четыре принадлежат одной плос­
кости. Докажите, что все п точек лежат в одной плоскости.
107. Основания высот треугольника принадлежат плоскости а. При­
надлежат ли плоскости а вершины треугольника?
108. Вершины А и В плоского четырехугольника ABCD лежат по одну
сторону от плоскости а, а вершины С и D — по другую сторону.
Докажите, что точки пересечения диагоналей и сторон ВС и AD
четырехугольника с плоскостью а лежат на одной прямой.
Построение сечений многогранников
109. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
ABCDAlBlC]Di плоскостью, проходящей через точки: 1) В, D и
С ,; 2) А, С и середину ребра DD].
110. Точки М и К — середины ребер АС и ВС пирамиды SABC
соответственно. Постройте сечение пирамиды плоскостью SMK.
111. В пирамиде SABC известно, что SB = 26 см, 5С = 28см,
ВС = 30 см. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходя­
щей через середины ребер SA, АС и АВ, и вычислите его периметр
и площадь.
112. Постройте точку пересечения прямой с плоскостью нижнего ос­
нования треугольной призмы, если эта прямая проходит через две
точки, принадлежащие: 1) двум боковым ребрам; 2 ) боковому
ребру и ребру верхнего основания, не имеющего общих точек с
данным боковым ребром; 3) боковому ребру S
и боковой грани, которой это ребро не при- i > / \ \
надлежит; 4) боковой грани и ребру верхнего / \ \
основания, которой этой грани не принад- / М \
лежит; 5) двум боковым граням. 1 г - у (’
113. Постройте сечение треугольной пирами­
ды SABC (рис. 100) плоскостью, проходящей
через точки D, Е и F, принадлежащие ребрам ^мс. МО
SA, SB и ВС соответственно.
Вариант 3 77
114. Постройте сечение прямой призмы ABCDAXBXCXDX плоскостью,
проходящей через точку А и точки М и К, которые принадлежат
соответственно ребрам ВВ] и DDX.
115. Постройте сечение прямой призмы ABCAiB^C] (рис. 101) плос­
костью, которая проходит через точку Вх и точки М и К, лежащие
на ребрах АС и ААХ соответственно.
116. Постройте сечение прямой призмы ABCDA]BlCxD] (рис. 102)
плоскостью, проходящей через вершины А и D, и точку М на ре­
бре ВВХ *
117. В треугольной пирамиде SABC (рис. 103) точка М принадлежит
грани ASC. точка N — грани ASB, точка К - грани CSB. Постройте
сечение пирамиды плоскостью, проходящей «рез точки М, N а К.
Параллельные прямые в пространстве.
Скрещивающиеся прямые
118. Прямые а и b параллельны, прямая с не пересекает прямую а.
Можно ли утверждать, что прямая с не пересекает прямую Ь:
I) на плоскости; 2 ) в пространстве?
119. Точки А и В принадлежат прямой а, точки С и D — прямой Л,
причем а || Ь. Докажите, что прямые ВС и AD не являются
скрещивающимися.
120. Прямые АВ и CD — скрещивающиеся. Докажите, что прямые АС
и BD также скрещивающиеся.
121. Через точки А и В прямой / проведены перпендикулярные ей
прямые. На них отметили соответственно такие точки Ах и Вх,
что ААХ - ВВХ. Верно ли утверждение, что прямые АВ и АХВХ
параллельны: 1 ) на плоскости; 2 ) в пространстве?
78 Тренировочные упражнения
122. На одной из двух параллельных прямых выбрали точку и через
нее провели прямую, которая пересекает другую. Докажите, что
эти три прямые лежат в одной плоскости.
123. Может ли каждая из двух параллельных прямых пересекать
каждую из двух скрещивающихся прямых?
124. Прямые а и Ь и прямые Ь и с пересекаются. Верно ли утвер­
ждение, что прямые а и с также пересекаются?
125. Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС, точки М,
N, Р, Q — середины отрезков АС, DC, DB. АВ соответственно.
Докажите, что MN j| P Q .
126. Две пересекающиеся прямые а и b соответственно параллельны
прямым т и п. Верно ли утверждение, что прямые т и п пере­
секаются?
127. Через вершину В треугольника АВС проведена прямая Ъ, не при­
надлежащая плоскости треугольника. Докажите, что прямая Ъ и
прямая, содержащая медиану треугольника АВС, проведенную из
вершины А, — скрещивающиеся.
128. Через пересекающиеся прямые а и b проведены две плоскости,
которые пересекаются по прямой с. Может ли какая-либо из
прямых а и b быть параллельной прямой с?
129. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что
отрезки, соединяющие середины отрезков АВ и CD, AD и ВС, АС
и BD, пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся
пополам.
130. Треугольник АВС не пересекает пло­
скость а (рис. 104). Через его верши­
ны, середины М и N сторон АС и АВ
соответственно и середину К отрезка
MN проведены параллельные прямые,
пересекающие плоскость а в точках
А1, В{, С], М], 7V], К | соот­
ветственно. Найдите длину отрез­
ка ККХ, если АА\ = 7 см, ВВ} = 9 см,
СС1 = 15см.
Параллельность примой и плоскости
131. Прямая а параллельна прямой Ь, лежащей в плоскости а. Верно
ли утверждение, что прямая а параллельна плоскости а?
Вариант 3 79
132. Прямые a a b параллельны плоскости а. Верно ли утверждение,
что а || Л?
133. Прямые а ч b пересекаются. Как может быть расположена пря­
мая b относительно плоскости а, если прямая а:
1 ) принадлежит плоскости а,
2 ) пересекает плоскость а:
3 ) параллельна плоскости а?
134. Точка М не принадлежит плоскости параллелограмма ABCD.
Докажите, что прямая AD параллельна плоскости МСВ.
135. Точки А. б, С и D не лежат в одной плоскости. Точка М — сере­
дина отрезка AD, точка К - середина отрезка CD. Докажите, что
прямая АС параллельна плоскости ВКМ.
136. Прямая а пересекает плоскость а, прямая b параллельна пря­
мой а. Докажите, что прямая b пересекает плоскость а.
137. Прямые о и Л — скрещивающиеся. Существует ли плоскость,
параллельная каждой из данных скрещивающихся прямых?
138. Плоскости а. и |3 пересекаются по прямой с. В плоскости а прове­
дена прямая о, параллельная прямой с. Через прямую а проведена
плоскость у, пересекающая плоскость Р по прямой Ь. Докажите,
что прямые b и с параллельны.
139. Через середину М боковой стороны АВ трапеции ABCD прове­
дена плоскость, параллельная основаниям ВС и AD и пересекаю­
щая боковую сторону CD в точке N. Докажите, что отрезок M N—
средняя линия трапеции,
140. Плоскость, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересе­
кает стороны АВ и АС в точках В] и С, соответственно, причем
АВ1 : бб, =5:3. Найдите б. С ,, если ВС = 6 см.
141. Сколько существует плоскостей, которые проходят через одну из
двух данных скрещивающихся прямых и параллельны другой?
142. Отрезок MN — средняя линия тре­
угольника АВС (рис. 105). Вне плос­
кости треугольника выбрали точку D.
На отрезке MD отметили точку Е так,
что ME : ED = 5:2. Постройте точку F
пересечения плоскости ВЕС и пря­
мой DN и найдите длину отрезка ЕЕ.
если ВС = 30 см.
80 Тренировочные упражнения
143. Постройте сечение треугольной пирамиды SABC плоскостью,
которая проходит через вершину В, точку на ребре SA и
параллельна прямой А С.
144. Постройте сечение пирамиды SABC (рис. 106)
плоскостью, которая проходит через точку D
на ребре ВС и параллельна прямым АС и SB.
145. Постройте сечение пирамиды SABC плос­
костью, которая проходит через гонки D и Е,
принадлежащие соответственно ребрам 5,4 и
5С, и параллельна прямой ВС.
Параллельные плоскости. С войства
параллельных плоскостей
146. Две прямые плоскости а параллельны плоскости р. Следует ли из
этого, что плоскости а и Р параллельны?
147. Каждая из двух данных плоскостей параллельна каждой из двух
данных прямых. Параллельны ли данные плоскости?
148. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а. Парал­
лельны ли плоскость трапеции и плоскость а?
149. Вне плоскости треугольника АВС лежит точка D. На отрезках АВ.
АС. AD выбраны соответственно точки М. N и Р так, т о
AM : МВ = AN : NC - А Р : PD Докажите, что плоскости MNP и
DBC параллельны.
150. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку 5,
пересекают плоскость о. в вершинах трапеции, то они пересекают
любую плоскость, которая параллельна а. и не проходит через
точку 5, также в вершинах трапеции.
151. Одна из двух параллельных прямых пересекает плоскости а и р в
точках А и Ах соответственно, а другая - соответственно в точ­
ках В и Л,, АВ = А\В\. Можно ли утверждать, что плоскости а и |)
параллельны?
152. Через точку С, не принадлежащую двум параллельным плос­
костям а и р, проведены два луча, один из которых пересекает
плоскости а и Р в точках А} и Д, соответственно, а другой —
соответственно в точках А2 и В2. Известно, что СА} - 4 см,
В}В2 =9 см, А\ 42 - СВ]. Найдите AtA2 и .4,5, .
153. Можно ли через боковые стороны трапеции провести парал­
лельные плоскости?
Рис. W6
Кариант3 81
154. Плоскость а параллельна плоскости р, шюскость у параллельна
плоскости ф. Плоскости а и у пересекаются по прямой а,
плоскости р и ф — по прямой Ь. Докажите, что а || Ь.
155. Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что если плоскость
Р пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость а.
156. Прямая а параллельна плоскости а. Плоскость а пересекает плос­
кость р. Верно ли утверждение, что прямая а пересекает плос­
кость р?
157. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку'
параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.
158. Ребро куба ABCDAIBICID} равно 4 см. На отрезке АС отметили
точку М так, что AM: М С- 3 :'1. Постройте сечение куба плос­
костью, которая проходит через точку М и параллельна плос­
кости SC|D, и вычислите периметр сечения.
159. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
АВСПА]В Л \П ] плоскостью, которая проходит через точки К. Е
и F, принадлежащие соответственно ребрам AD, АА] и ClDl .
160. Постройте сечение прямой призмы ABCDAlBlClDl плоскостью,
которая проходит через точки Е, F и К.
принадлежащие ребрам АА}, ВС и C\D]
соответственно.
161. Постройте сечение прямой призмы
ABCDA\B\CXDX (рис. 107) плоскостью,
которая проходит через точки М и К,
принадлежащие граням АА,ВХВ и
ВВ\С\С соответственно, и точку N на Рис 107
ребре Г, /3,.
Параллельное проектирование.
Изображение фигур в стереометрии
162. Какие геометрические фигуры могут быть параллельными про­
екциями: 1 ) луча. 2 ) двух скрещивающихся прямых; 3) трапеции?
163. Могут ти две скрещивающиеся прямые проектироваться: 1) в две
пересекающиеся прямые; 2) в параллельные прямые; 3)в одну
прямую; 4) в прямую и точку, принадлежащую нон прямой; 5) в
две точки?
164. Как должны быть расположены относительно направления
проектирования две скрещивающиеся прямые, чтобы они про-
ектировались в прямую и точку, ей не принадлежащую?
165. Можно ли при параллельном проектировании квадрата получить:
1 ) ромб; 2 ) прямоугольник?
166. Можно ли при параллельном проектировании прямоугольника
получить четырехугольник с углами 90°, 90°, 40°, 140°?
167. Может ли параллельная проекция отрезка быть больше, чем
отрезок, который проектируется?
168. Может ли параллельной проекцией прямой быть: 1) отрезок;
2 ) луч; 3) точка?
169. Может ли параллельной проекцией угла быть: 1) отрезок;
2 ) равный ему угол?
170. При каких условиях прямоугольник проектируется в прямо­
угольник?
171. Параллелограмм ABCD — изображение квадрата (рис. 108).
Постройте изображение перпендикуляра, проведенного из точки
пересечения диагоналей квадрата к его стороне.
172. Треугольник АВС является параллельной проекцией равносто­
роннего треугольника (рис. 109). Постройте изображение высоты
треугольника, проведенной из вершины В, и перпендикуляра,
опущенного из точки F на сторону АС.
173. Треугольник АХВХСХ (рис. 110) — изображение прямоугольного
треугольника АВС, у которого Z C = 90°, АС : СВ = 3 :4. По­
стройте изображение центра вписанной окружности треугольни­
ка АВС.
174. Точки Ах, Вх, Ох, не лежащие на одной прямой, являются парал­
лельными проекциями двух вершин и точки пересечения диаго­
налей параллелограмма. Постройте изображение параллело­
грамма. Сколько решений имеет задача?
175. Параллелограмм ABCD является параллельной проекцией ква­
драта, на сторонах которого во внешнюю сторону как на гипоте­
нузах построены равнобедренные прямоугольные треугольники
(треугольники лежат в плоскости квадрата). Построите
параллельные проекции этих треугольников.
82 Тренировочные упражнения
Рис. 108 Рис. 109 Рис. П О
Вариант 3 83
176. На изображении окружности с центром О
(рис.1 1 1 ) постройте изображения двух перпен­
дикулярных диаметров.
177. Дана параллельная проекция окружности с Рис. 111
центром в точке О. Постройте параллельную
проекцию вписанного в нее правильного шестиугольника.
178. Точки А, В, О, не лежащие на одной прямой, являются парал­
лельными проекциями двух вершин правильного треугольника и
его центра. Постройте изображение правильного треугольника.
Сколько решений имеет задача?
179. На изображении ромба постройте изо­
бражение его высоты, проведенной из
вершины тупого угла, если одна из
диагоналей ромба равна его стороне.
180. На изображении ромба ABCD построй­
те изображение высоты, проведенной
из вершины А, если Z АВС = 120°.
181. Точки Ai , б, и С( — параллельные
Л
• М
С
т ..
У
Рис 112
проекции точек А, В и С на плоскость а (рис. 112). Постройте
проекцию на плоскость а точки М, лежащей в плоскости АВС.
Перпендикулярность прямой и плоскости
182. Верно ли утверждение, что прямая, перпендикулярная двум
прямым плоскости, перпендикулярна этой плоскости?
183. Через вершину С прямоугольника ABCD проведена прямая Л/С,
перпендикулярная прямым ВС и АС. Докажите, что МС _L CD.
184. Как расположена относительно плоскости треугольника прямая,
перпендикулярная двум его сторонам?
185. На рисунке 113 изображен квадрат ABCD, V/C ± ВС. Укажите
прямую и плоскость, которые перпендикулярны между собой.
186. Четырехугольник ABCD — прямоугольник (рис. 114). Прямая МА
перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что MD _L CD.
М
М- В С
Рис. 113 Рис. 114
84 Тренировочные упражнения
Рис. 115 Рис. 116 Рис. 117
187. На рисунке 115 изображен куб ABCDA\BXCXD\. Докажите, что
четырехугольник AAtC\C — прямоугольник.
188. Через одну сторону параллелограмма проходит плоскость, пер­
пендикулярная соседней стороне. Докажите, что этот паралле­
лограмм — прямоугольник.
189. Точка М лежит вне плоскости прямоугольника ABCD (рис. 116),
МА = МВ = МС = M D, О — точка пересечения диагоналей прямо­
угольника. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскос­
ти АВС.
190. Точка М лежит вне плоскости квадрата ABCD и равноудалена от
его вершин. Докажите, что прямая АС перпендикулярна плос­
кости BMD.
191. Прямая АО перпендикулярна плоскости окружности с центром в
точке О. Точка В лежит на окружности. Найдите расстояние от
точки А до плоскости окружности, если радиус окружности равен
6 см, ZABO = 45°.
192. Прямая СМ перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD
(рис. 117). Найдите МС, если АВ = 3 см, AD = 4 см, AM = 13 см.
193. Через вершину В равнобедренного треуголь­
ника АВС (АВ = ВС) к его плоскости проведен
перпендикуляр МВ (рис. 118). Точка М
соединена с серединой F стороны АС. Найдите
длину отрезка MF, если МВ = 10 см,
Z ВМС - 60°, Z FMC = 45°.
194. Сторона правильного треугольника АВС равна 8 см. Через
центр О треугольника АВС проведен перпендикуляр SO к его
плоскости. Найдите длину отрезка SO, если Z SAO = 30°.
195. Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС и равноудалена
от его вершин. Как расположена точка О — проекция точки М на
плоскость АВС — относительно треугольника АВС, если этот
треугольник тупоугольный?
Иариант 3 85
196. Из точек А и В, лежащих вне плоскости а, проведены к ней пер­
пендикуляры АА] и ВВХ. Докажите, что если отрезки АВ и А1В]
равны, то четырехугольник АА^В^В — прямоугольник.
197. Докажите, что если прямая перпендикулярна двум плоскостям, то
эти плоскости параллельны.
198. Через вершину В ромба ABCD проведен перпендикуляр SB к
плоскости ромба. Найдите SD, если S B - 4 см, сторона ромба —
3 см, а угол АВС равен 120°.
199. В прямоугольнике ABCD известно, что ВС -■ 1 см, CD = л/з см.
Через вершину А проведен перпендикуляр МА к плоскости
прямоугольника. Найдите угол MCA, если М4 = 2 см.
200. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что
АВ = ВС = 15 см, Z A B C - 120°. Точка М находится на расстоянии
39 см от всех его вершин. Найдите расстояние от точки М до
плоскости треугольника АВС.
201. В треугольнике АВС известно, что Z A = 48°,
ZC = 42° (рис. 119). Через вершину А прове­
ден перпендикуляр DA к плоскости треуголь­
ника. Докажите, что DB 1 ВС.
202. Точка S равноудалена от всех вершин пря­
моугольника ABCD. Найдите угол BSD, если
АВ = 3 см, AD - 4 см, SB = 5 см.
203. Из точки М, не принадлежащей плоскости квадрата ABCD,
проведен перпендикуляр ВМ к его плоскости. Через центр О квад­
рата проведена прямая N 0 параллельно ВМ. Найдите расстояние
от точки N до вершин квадрата, если АВ = 4-^2 см, NO = 3 см.
204. Концы отрезка расположены по разные стороны от плоскости и
удалены от нее на 5 см и 7 см. Найдите расстояние от середины
этого отрезка до плоскости.
205. Через вершину С прямоугольника ABCD проведена прямая МС
перпендикулярно прямой CD. Докажите, что прямая АВ перпенди­
кулярна плоскости МСВ.
206. Через вершины В и D трапеции ABCD (ВС || AD) проведены пер­
пендикуляры МВ и ND к плоскости трапеции. Докажите, что
плоскости ВМС и NDA параллельны.
Г
Рис. 119
86 Тренировочные упражнения
Перпендикуляр и наклонная
207. На рисунке 120 изображен куб A B C D A XB SC XD X.
Укажите проекции отрезка A tC на плоскости
граней куба.
208. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр
длиной 10 см и наклонная. Найдите длину
наклонной, если длина ее проекции равна 6 см.
Рис. 120
209. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 8 см и
наклонная. Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость
равен 60°. Найдите длины наклонной и ее проекции.
210. В прямоугольном треугольнике A B C (ZC ’ = 90°) известно, что
А С - 24 см, 5С = 10см. Из точки D к плоскости треугольника
проведен перпендикуляр A D такой, что A D = 18 см. Найдите
длины наклонных D B и DC.
211. Из точки F к плоскости а проведены две наклонные F M и F N и
перпендикуляр FK. Найдите длины наклонных, если М К = 4 см,
Z FM K - 30°, Z N FK = 60°.
212. Из точки М к плоскости проведены две наклонные М В и Л/Т,
длины которых относятся как 5 : 7. Найдите расстояние от точ­
ки М до плоскости, если проекции наклонных равны 12 см и
12д/5 см.
213. Две точки находятся на разных расстояниях от
- плоскости. Из этих точек к плоскости проведе­
ны две равные наклонные. Докажите, что
большая из проекций соответствует наклонной,
проведенной из точки, расположенной ближе к
плоскости.
214. В четырехугольнике A B C D известно, что
A B - A D , СВ = C D (рис. 121). Прямая МЛ перпендикулярна
плоскости четырехугольника. Докажите, что Z .D M C = Z B M C .
215. Из точки D к плоскости А В С проведен пер­
пендикуляр D A, DA = d (рис. 122). Наклонные
D B и D C образуют со своими проекциями
углы, равные 30°, а их проекции образуют угол
120°. Найдите длину отрезка ВС. Рис. 122
Вариант 3 87
216. Биссектрисы треугольника А В С пересекаются в точке О. Прямая
М О перпендикулярна плоскости треугольника. Точка М
равноудалена от вершин треугольника. Докажите, что
треугольник А В С равносторонний.
217. Точка К находится на расстоянии 17 см от вершин квадрата и на
расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите сторону квадрата.
218. В ромбе A B C D известно, что ,45 = 10 см. ВО 12 см. Прямая М С
перпендикулярна плоскости ромба. Найдите длину наклон­
ной М/1, если точка Мудалена от плоскости ромба на 16 см.
219. Из точки, не принадлежащей плоскости, проведены к ней две
наклонные, длины проекций которых равны 1 2 см и 16 см, а
сумма длин наклонных — 56 см. Найдите длины наклонных.
220. Два отрезка длиной 10 см и 17 см упираются своими концами в
параллельные плоскости. Найдите’ расстояние между этими
плоскостями, если сумма проекций этих отрезков на одну из
плоскостей равна 2 1 см.
221. Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные,
угол между которыми 60°, а их проекции перпендикулярны.
Найдите длины наклонных, если расстояние от данной точки до
плоскости равно 4 см.
222. Из точки М к плоскости а проведены две равные наклонные М 4 и
М В и перпендикуляр МО, А В = 12 см, Z M A B - 60°, Z A B O - 30°.
Найдите длину отрезка МО.
223. Сторона ромба равна 6 см, а острый угол — 30°, Через вершину
острого угла проведена плоскость, параллельная меньшей
диагонали ромба, на расстоянии 4 см от нее. Найдите проекции
диагоналей на эту плоскость.
224. Из точки S к плоскости а проведены перпендикуляр S D и
наклонные S K и SF. причем S D 2 = D F ■ D K . Докажите, что
Z FSD ----- Z SKD.

Теорема о трех перпендикулярах
225. На рисунке 123 изображен куб
ABCDAiBlClDl . Докажите, что прямые
5,0 и АС перпендикулярны.
Рис. 123
88 Тренировочные упражнения
D М
А -с---------—-г С А к ~
т — г
— ‘ О /

Рис. 124
226. На рисунке
основанием
В ' ' В
Рис. 125 Рис. 126
24 изображен равнобедренный треугольник АВС с
АС. Прямая ВО перпендикулярна плоскости
треугольника, DM JL АС. Докажите, что точка М — середина АС.
227. К плоскости прямоугольного треугольника АВС ( Z В - 90° )
проведен перпендикуляр МС (рис. 125). Найдите расстояние от
точки М до прямой А В, если МС a .A C - b . Z АСВ = 30°.
228. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая SA, перпендику­
лярная плоскости ромба. Докажите, что точка S' равноудалена от
прямых СВ и CD.
229. Через вершину В треугольника АВС к его плоскости проведен
перпендикуляр МВ. Прямая, проходящая через точку М и сере­
дину АС, делит угол А МС пополам. Докажите, что треугольник
АВС— равнобедренный.
230. Через вершину С равнобедренного треугольника АВС к его плос­
кости проведен перпендикуляр FC (рис. 126). Найдите расстояние
от точки F до прямой АВ. если ЛС = ВС = т, Z A C B -u .,
FC = b.

10 gdz asz_m_ua from mighhv

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (14.04.2016)
Просмотров: | Теги: Мерзляк | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar