Тема №5831 Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

Задачи первого уровня
1.282. Дан отрезок AB. Найдите геометрическое место точек M, для которых ∠MAB = 70◦.
1.283. Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с данным основанием.
44 7 класс
1.284. Найдите геометрическое место центров окружностей,
проходящих через две данные точки.
1.285. Найдите геометрическое место центров окружностей,
имеющих данный радиус и проходящих через данную точку.
1.286. На данной прямой постройте точку, равноудаленную
от двух данных точек.
1.287. На данной окружности постройте точку, которая на-
ходилась бы на данном расстоянии от данной прямой.
1.288. Постройте окружность данного радиуса, проходящую
через две данные точки.
1.289. Постройте окружность, которая проходила бы через
две данные точки и центр которой находился бы на данной
прямой.
1.290. Постройте окружность с центром в данной точке на
стороне данного угла, которая на другой стороне угла отсекала
бы хорду данной длины.
1.291. Найдите геометрическое место центров окружностей
данного радиуса, касающихся данной прямой.
1.292. Постройте окружность данного радиуса, проходящую
через данную точку и касающуюся данной прямой.
1.293. Постройте окружность данного радиуса, касающую-
ся данной прямой в данной точке.
1.294. Постройте окружность, проходящую через данную
точку A и касающуюся данной прямой в данной точке B.
1.295. Найдите геометрическое место центров окружностей
данного радиуса, высекающих на данной прямой отрезки, рав-
ные данному.
1.296. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу
описанной окружности.
1.297. Найдите геометрическое место середин всех хорд дан-
ной окружности.
1.298. Найдите геометрическое место середин хорд окруж-
ности, параллельных данной прямой.
1.299. Дана окружность. Найдите геометрическое место се-
редин ее хорд, имеющих данную длину.
1.300. На листе прозрачной бумаги нарисован угол, вер-
шина которого недоступна (находится вне чертежа). Как
§ 1.6. Геометрическое место точек 45
без всяких инструментов построить биссектрису этого угла?
1.301. На прозрачной бумаге нарисован треугольник. Без
всяких инструментов постройте центр вписанной в него окруж-
ности.
1.302. На прозрачной бумаге нарисован треугольник. Без
всяких инструментов постройте центр описанной около него
окружности.
1.303. Найдите геометрическое место центров окружностей,
вписанных в данный угол.
1.304. Постройте окружность, касающуюся двух данных
прямых, причем одной из них — в данной точке.
1.305. Найдите геометрическое место точек, равноудален-
ных от трех прямых.
1.306. Постройте окружность данного радиуса, касающую-
ся двух данных пересекающихся прямых.
1.307. Найдите геометрическое место центров окружностей,
касающихся данной окружности в данной на ней точке.
1.308. Постройте окружность с данным центром, касающу-
юся данной окружности.
1.309. Найдите геометрическое место центров окружностей
данного радиуса, касающихся данной окружности.
1.310. Постройте окружность данного радиуса, проходящую
через данную точку и касающуюся данной окружности.
1.311. Постройте окружность данного радиуса, которая ка-
салась бы данной прямой и данной окружности.
1.312. Постройте окружность, проходящую через данную
точку и касающуюся двух данных параллельных прямых.
1.313. Постройте окружность, которая касалась бы двух
данных параллельных прямых и круга, находящегося меж-
ду ними.
1.314. Постройте окружность данного радиуса, касающую-
ся двух данных окружностей.
Задачи второго уровня
1.315. Постройте окружность, касающуюся двух данных
концентрических окружностей (концентрическими окружно-
стями называются окружности с общим центром).
46 7 класс
1.316. Постройте окружность, которая проходила бы че-
рез данную точку и касалась бы данной окружности в данной
точке.
1.317. Впишите в данный треугольник ABC равнобедрен-
ный треугольник MNK данной высоты так, чтобы его основа-
ние MN было параллельно AB, а вершина K лежала на сто-
роне AB.
1.318. Даны точки A и B. Проводятся всевозможные окруж-
ности с центром в точке B и радиусом, не превосходящим AB,
а через точку A — касательные к ним. Найдите геометрическое
место точек касания.
1.319. Дана окружность с центром O и точка A внутри нее.
Постройте окружность, проходящую через точки A и O и каса-
ющуюся данной окружности.
1.320. Постройте треугольник по радиусу описанной окруж-
ности, стороне и высоте, проведенной к другой стороне.
1.321. Дана линейка постоянной ширины (т. е. с параллель-
ными краями) и без делений. Постройте биссектрису данно-
го угла.
1.322. Точка A лежит на окружности. Найдите геометри-
ческое место таких точек M, что отрезок AM делится этой
окружностью пополам.
1.323. Дана линейка с делениями через 1 см. Постройте бис-
сектрису данного угла.
1.324. Точка O лежит на отрезке AC. Найдите геометриче-
ское место точек M, для которых ∠MOC = 2∠MAC.
1.325. Постройте треугольник по стороне и проведенной к
ней высоте, если известно, что эта сторона видна из центра впи-
санной в треугольник окружности под углом 135◦
.
1.326. Найдите геометрическое место точек, из которых
данный отрезок виден: а) под острым углом; б) под тупым
углом.
1.327. Через данную точку проведите прямую, на которой
данная окружность высекала бы хорду, равную данному от-
резку.
1.328. Постройте прямую, на которой две данные окружно-
сти высекали бы хорды, равные двум данным отрезкам.
§ 1.7. Геометрические неравенства 47
1.329. Постройте окружность, касающуюся двух данных
окружностей, причем одной из них — в данной точке.
Задачи третьего уровня
1.330. Точка X движется по окружности с центром O. На
каждом радиусе OX откладывается отрезок OM, длина которо-
го равна расстоянию от точки X до заданного диаметра окруж-
ности. Найдите геометрическое место точек M.
1.331. На стороне треугольника постройте точку, сумма рас-
стояний от которой до двух других сторон равна данному от-
резку.

Задачи первого уровня
1.332. Докажите, что катет прямоугольного треугольника
меньше гипотенузы.
50 7 класс
1.333. Стороны равнобедренного треугольника равны 1 и 3.
Какая из сторон является основанием?
1.334. Может ли основание равнобедренного треугольника
быть вдвое больше боковой стороны?
1.335. Может ли периметр треугольника быть равным 19,
если одна из его сторон на 1 короче другой и на 3 длиннее
третьей?
1.336. Может ли в треугольнике сторона быть вдвое больше
другой стороны и вдвое меньше третьей?
1.337. Докажите, что высота треугольника ABC, проведен-
ная из вершины A, не может быть больше стороны AB.
1.338. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его
периметра.
1.339. В треугольнике ABC с неравными сторонами AB
и AC проведены из вершины A высота, медиана и биссектриса.
Докажите, что из этих трех отрезков наименьшим является
высота.
1.340. Сколько можно составить треугольников из отрезков,
равных: а) 2, 3, 4 и 5; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7?
1.341. В треугольнике две стороны равны 1 и 6. Найдите
третью сторону, если известно, что ее длина равна целому числу.
1.342. В треугольнике ABC известно, что AB < BC < AC,
а один из углов вдвое меньше другого и втрое меньше третьего.
Найдите угол при вершине A.
1.343. В треугольнике ABC угол A равен среднему ариф-
метическому двух других углов. Укажите среднюю по величине
сторону треугольника.
1.344. Докажите, что диаметр есть наибольшая хорда
окружности.
1.3450
. Даны четыре точки A, B, C и D. Докажите, что
AD < AB + BC + CD.
1.346. Существует ли четырехугольник со сторонами, рав-
ными: а) 1, 1, 1, 2; б) 1, 2, 3, 6?
1.347. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к
гипотенузе, делит прямой угол на два неравных угла. Докажи-
те, что катет, прилежащий к меньшему из них, меньше другого
катета.
§ 1.7. Геометрические неравенства 51
1.348. Основание D высоты AD треугольника ABC лежит
на стороне BC, причем ∠BAD > ∠CAD. Что больше, AB
или AC?
1.349. Докажите, что в треугольнике любая сторона меньше
половины периметра.
1.350. Докажите, что в четырехугольнике любая диагональ
меньше половины периметра.
1.3510
. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого че-
тырехугольника больше суммы его двух противоположных
сторон.
1.352. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого че-
тырехугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма рас-
стояний от него до четырех домов была наименьшей?
1.353. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четы-
рехугольника меньше периметра, но больше полупериметра это-
го четырехугольника.
1.354. Докажите, что отрезок, соединяющий вершину рав-
нобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не
больше боковой стороны треугольника.
Задачи второго уровня
1.355. Биссектриса угла при основании BC равнобедренно-
го треугольника ABC пересекает боковую сторону AC в точ-
ке K. Докажите, что BK < 2CK.
1.3560
. Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекают-
ся. Докажите, что расстояние между их центрами: а) меньше,
чем r + R; б) больше, чем R − r.
1.3570
. Расстояние между центрами окружностей ради-
усов 2 и 3 равно 8. Найдите наименьшее и наибольшее из
расстояний между точками, одна из которых лежит на первой
окружности, а другая — на второй.
1.358. Докажите, что каждая сторона треугольника видна
из центра вписанной окружности под тупым углом.
1.359. Верно ли утверждение предыдущей задачи для четы-
рехугольника, в который можно вписать окружность?
1.360. Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними
52 7 класс
и теми же боковыми сторонами. Докажите, что чем больше угол
при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.
1.361. Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними
и теми же боковыми сторонами. Докажите, что чем больше ос-
нование, тем меньше проведенная к нему высота.
1.362. Докажите что из двух неравных хорд окружности
б´ольшая удалена от центра на меньшее расстояние. Верно ли
обратное?
1.363. Через данную точку внутри круга проведите наи-
меньшую хорду.
1.3640
. Докажите, что медиана треугольника ABC, прове-
денная из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC, но
больше их полуразности.
1.365. Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажи-
те, что угол BMC больше угла BAC.
1.366. Пусть CK — биссектриса треугольника ABC и AC >
> BC. Докажите, что угол AKC — тупой.
1.367. Пусть BD — биссектриса треугольника ABC. Дока-
жите, что AB > AD и CB > CD.
1.368. В треугольнике ABC сторона AC больше сторо-
ны BC. Медиана CD делит угол C на два угла. Какой из них
больше?
1.369. Биссектриса треугольника делит его сторону на два
отрезка. Докажите, что к большей из двух других сторон тре-
угольника примыкает больший из них.
1.370. AD — биссектриса треугольника ABC, причем BD >
> CD. Докажите, что AB > AC.
1.371. В треугольнике ABC известно, что ∠B > 90◦
. На
отрезке BC взяты точки M и N (M между B и N) так, что лу-
чи AN и AM делят угол BAC на три равные части. Докажите,
что BM < MN < NC.
1.372. В треугольнике ABC угол B прямой или тупой. На
стороне BC взяты точки M и N так, что BM = MN = NC.
Докажите, что ∠BAM > ∠MAN > ∠NAC.
1.373. Даны точки A и B. Найдите геометрическое место
точек, расстояние от каждой из которых до точки A больше,
чем расстояние до точки B.
§ 1.7. Геометрические неравенства 53
1.374. В треугольнике ABC с тупым углом C точки M и N
расположены соответственно на сторонах AC и BC. Докажите,
что отрезок MN короче отрезка AB.
1.375. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой,
лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот от-
резок меньше большей из двух других сторон.
1.376. Докажите, что расстояние между любыми двумя точ-
ками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наиболь-
шей из его сторон.
1.377. В треугольнике ABC на наибольшей стороне BC,
равной a, выбирается точка M. Найдите наименьшее расстояние
между центрами окружностей, описанных около треугольни-
ков BAM и ACM.
1.378. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC
взята точка M, отличная от C. Докажите, что
MA + MB > CA + CB.
1.379. Угол при вершине A треугольника ABC равен 60◦
.
Докажите, что AB + AC < 2BC.
1.380. Пусть AA1 — медиана треугольника ABC. Докажите,
что угол A острый тогда и только тогда, когда AA1 >
1
2
BC.
1.381. Точки D и E — середины сторон соответственно AB
и BC треугольника ABC. Точка M лежит на стороне AC, при-
чем ME > EC. Докажите, что MD < AD.
1.382. Два противоположных угла выпуклого четырех-
угольника тупые. Докажите, что диагональ, соединяющая
вершины этих углов, меньше другой диагонали.
1.383. Диагональ AC делит вторую диагональ выпуклого
четырехугольника ABCD на две равные части. Докажите, что
если AB > AD, то BC < DC.
1.3840
. Точки M и N расположены по одну сторону от
прямой l. Постройте на прямой l такую точку K, чтобы сум-
ма MK + NK была наименьшей.
1.385. Точка M лежит внутри острого угла. Постройте на
сторонах этого угла точки A и B, для которых периметр тре-
угольника AMB был бы наименьшим.
54 7 класс
Задачи третьего уровня
1.386. Внутри острого угла даны точки M и N. Постройте
на сторонах угла точки K и L так, чтобы периметр четырех-
угольника MKLN был наименьшим.
1.387. Точка C лежит внутри прямого угла AOB. Докажи-
те, что периметр треугольника ABC больше 2OC.
1.388. Пусть вписанная окружность касается сторон AC
и BC треугольника ABC в точках B1 и A1. Докажите, что
если AC > BC, то AA1 > BB1.
1.389. Точка M расположена внутри треугольника ABC.
Докажите, что BM + CM < AB + AC.
1.390. Докажите, что сумма расстояний от любой точки
внутри треугольника до трех его вершин больше полуперимет-
ра, но меньше периметра треугольника.
1.391. Высота треугольника в два раза меньше его основа-
ния, а один из углов при основании равен 75◦
. Докажите, что
треугольник равнобедренный.
1.392. Угол при вершине равнобедренного треугольника ра-
вен 20◦
. Докажите, что боковая сторона больше удвоенного ос-
нования, но меньше утроенного.
1.393. Сколько сторон может иметь выпуклый многоуголь-
ник, все диагонали которого равны?
1.394. В некотором царстве, в некотором государстве есть
несколько городов, причем расстояния между ними все попар-
но различны. В одно прекрасное утро из каждого города выле-
тает по одному самолету, который приземляется в ближайшем
городе. Может ли в одном городе приземлиться более пяти са-
молетов?

Задачи первого уровня
2.1. Сторона параллелограмма втрое больше другой его сто-
роны. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр
равен 24.
2.2. Один из углов параллелограмма на 50◦ меньше другого.
Найдите углы параллелограмма.
2.3. Точки M и N — середины противолежащих сторон BC
и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехуголь-
ник AMCN — параллелограмм.
2.4. Из произвольной точки основания равнобедренного тре-
угольника с боковой стороной, равной a, проведены прямые,
58 8 класс
параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получив-
шегося четырехугольника.
2.5. Биссектриса угла параллелограмма делит сторону па-
раллелограмма на отрезки, равные a и b. Найдите стороны па-
раллелограмма.
2.6. Высота параллелограмма, проведенная из вершины ту-
пого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам.
Острый угол параллелограмма равен 30◦
. Найдите диагональ,
проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она об-
разует со сторонами.
2.7. Постройте параллелограмм
а) по двум соседним сторонам и углу между ними;
б) по диагоналям и углу между ними;
в) по двум сторонам и диагонали, исходящим из одной вер-
шины.
2.8. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в
точке O. Периметр параллелограмма равен 12, а разность пери-
метров треугольников BOC и COD равна 2. Найдите стороны
параллелограмма.
2.9. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиа-
ну AM. Докажите, что BC1 = B1C.
2.100
. В треугольнике ABC медиана AM продолжена за
точку M до точки D на расстояние, равное AM (AM = MD).
Докажите, что ABDC — параллелограмм.
2.11. Постройте ромб по данным диагоналям.
2.12. Постройте прямоугольник по диагонали и одной из его
сторон.
2.13. Докажите, что концы двух различных диаметров
окружности являются вершинами прямоугольника.
2.14. Докажите, что около любого прямоугольника можно
описать окружность. Где расположен ее центр?
2.15. Докажите, что в любой ромб можно вписать окруж-
ность. Где расположен ее центр?
2.16. В данную окружность впишите прямоугольник с дан-
ным углом между диагоналями.
2.17. Диагонали прямоугольника равны 8 и пересекаются
под углом в 60◦
. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
§ 2.1. Параллелограмм 59
2.18. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше
стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD
в точках M и N, причем MN = 12. Найдите стороны паралле-
лограмма.
2.19. Угол при вершине A ромба ABCD равен 20◦
. Точки M
и N — основания перпендикуляров, опущенных из вершины B
на стороны AD и CD. Найдите углы треугольника BMN.
2.20. Две равные окружности с центрами O1 и O2 пересека-
ются в точках A и B. Отрезок O1O2 пересекает эти окружности
в точках M и N. Докажите, что четырехугольники O1AO2B
и AMBN — ромбы.
2.21. Докажите, что точки попарного пересечения биссек-
трис всех четырех углов параллелограмма являются вершинами
прямоугольника.
2.22. Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный
треугольник, причем одна вершина квадрата расположена на
гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с верши-
ной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах.
Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен a.
2.23. Две вершины квадрата расположены на гипотенузе
равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие —
на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза рав-
на a.
2.24. На каждой стороне квадрата взяли по одной точке.
При этом оказалось, что эти точки являются вершинами пря-
моугольника, стороны которого параллельны диагоналям квад-
рата. Найдите периметр прямоугольника, если диагональ квад-
рата равна 6.
2.25. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диаго-
нали, исходящим из одной вершины.
2.26. В данный треугольник ABC впишите ромб, имеющий
с треугольником общий угол A.
2.27. Около данной окружности опишите ромб с данным
углом.
2.28. Вершины M и N равностороннего треугольника BMN
лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD.
Докажите, что MN k AC.
60 8 класс
Задачи второго уровня
2.29. Докажите, что отрезок, соединяющий середины про-
тивоположных сторон параллелограмма, проходит через его
центр.
2.30. Противоположные стороны выпуклого шестиугольни-
ка попарно равны и параллельны. Докажите, что отрезки, со-
единяющие противоположные вершины, пересекаются в одной
точке.
2.31. На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма
ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти
стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой
стрелке). Докажите, что KLMN — параллелограмм, причем
его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.
2.32. Через центр параллелограмма ABCD проведены две
прямые. Одна из них пересекает стороны AB и CD соответ-
ственно в точках M и K, вторая — стороны BC и AD со-
ответственно в точках N и L. Докажите, что четырехуголь-
ник MNKL — параллелограмм.
2.33. На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма
ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти
стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой
стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN, BK, CL
и DM получится параллелограмм, причем его центр совпадает
с центром параллелограмма ABCD.
2.34. Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из
вершины D параллелограмма ABCD на диагональ AC. Дока-
жите, что перпендикуляры к прямым AB и BC, проведенные
через точки A и C соответственно, пересекутся на прямой DM.
2.35. Через данную точку внутри угла проведите прямую,
отрезок которой, заключенный внутри этого угла, делился бы
данной точкой пополам.
2.36. Постройте выпуклый четырехугольник по данным се-
рединам трех его равных сторон.
2.37. Докажите, что в параллелограмме против большего
угла лежит б´ольшая диагональ.
2.38. Найдите расстояние от центра ромба до его стороны,
если острый угол ромба равен 30◦
, а сторона равна 4.
§ 2.1. Параллелограмм 61
2.39. Около данной окружности опишите ромб с данной сто-
роной.
2.40. На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взя-
ты точки K и M так, что AKCM является ромбом. Диаго-
наль AC составляет со стороной AB угол 30◦
. Найдите сторону
ромба, если наибольшая сторона прямоугольника ABCD рав-
на 3.
2.41. Через середину диагонали KM прямоугольника
KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая,
пересекающая стороны KL и MN в точках A и B соответствен-
но. Известно, что AB = BM = 6. Найдите б´ольшую сторону
прямоугольника.
2.42. Прямая, проходящая через центр прямоугольника пер-
пендикулярно диагонали, пересекает б´ольшую сторону прямо-
угольника под углом, равным 60◦
. Отрезок этой прямой, заклю-
ченный внутри прямоугольника, равен 10. Найдите б´ольшую
сторону прямоугольника.
2.43. Окружность, построенная на стороне AD параллело-
грамма ABCD как на диаметре, проходит через вершину B и
середину стороны BC. Найдите углы параллелограмма.
2.44. Постройте квадрат по его центру и двум точкам, ле-
жащим на противоположных сторонах.
2.45. Через центр квадрата проведены две взаимно перпен-
дикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих
прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного
квадрата.
2.46. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD взяты
соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном
и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите,
что KLMN — также квадрат.
2.47. Через произвольную точку внутри квадрата проведе-
ны две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых
пересекает две противоположные стороны квадрата. Докажи-
те, что отрезки этих прямых, заключенные внутри квадрата,
равны.
2.48. Прямая имеет с параллелограммом ABCD единствен-
ную общую точку B. Вершины A и C удалены от этой прямой на
62 8 класс
расстояния a и b соответственно. На какое расстояние удалена
от этой прямой вершина D?
2.49. Стороны параллелограмма равны a и b. Найдите
диагонали четырехугольника, образованного пересечениями
биссектрис: а) внутренних углов параллелограмма; б) внешних
углов параллелограмма.
2.50. Докажите, что биссектрисы всех четырех углов пря-
моугольника (не являющегося квадратом) при пересечении об-
разуют квадрат.
2.51. Через точку, расположенную внутри треугольника,
проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти
прямые разбивают треугольник на три треугольника и три
четырехугольника. Пусть a, b и c — параллельные высоты
трех этих треугольников. Найдите параллельную им высоту
исходного треугольника.
2.52. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точ-
ки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон
постоянна.
2.53. Через каждую вершину параллелограмма проведена
прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту
вершину. Докажите, что диагонали четырехугольника, обра-
зованного пересечениями четырех проведенных таким образом
прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.
2.540
. Окружность, построенная на стороне BC треуголь-
ника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в
точках M и N соответственно. Отрезки CM и BN пересекаются
в точке P. Докажите, что AP перпендикулярно BC.
2.55. С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из
данной точки на данный диаметр данной окружности (точка не
лежит ни на окружности, ни на диаметре).
2.56. Три равных окружности проходят через одну точку и
попарно пересекаются в трех других точках A, B и C. Докажи-
те, что треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в
центрах окружностей.
2.57. Угол при вершине A ромба ABCD равен 60◦
. На сторо-
нах AB и BC взяты соответственно точки M и N, причем AM =
= BN. Докажите, что треугольник DMN равносторонний.
§ 2.2. Средняя линия треугольника 63
2.58. На сторонах параллелограмма вне его построены квад-
раты. Докажите, что их центры являются вершинами квадрата.
2.59. В прямоугольнике ABCD точка M — середина сто-
роны BC, точка N — середина стороны CD, P — точка пере-
сечения отрезков DM и BN. Докажите, что угол MAN равен
углу BPM.
Задачи третьего уровня
2.60. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше
стороны CD, P — проекция вершины C на прямую AB, M —
середина стороны AD. Докажите, что ∠DMP = 3∠APM.
2.61. На сторонах AB и AC треугольника ABC построй-
те соответственно точки M и N так, что BM = AN и MN
параллельно BC.
2.62. На каждой стороне квадрата отметили по точке. Затем
все, кроме этих точек, стерли. Восстановите квадрат с помощью
циркуля и линейки.
2.63. Дана линейка с делениями в 1 см. Проведите какой-ни-
будь перпендикуляр к данной прямой.

Задачи первого уровня
2.64. Докажите, что три средние линии разбивают треуголь-
ник на четыре равных треугольника.
2.65. Дан треугольник с периметром, равным 24. Найди-
те периметр треугольника с вершинами в серединах сторон
данного.
2.66. Стороны треугольника равны a и b. Через середину
третьей стороны проведены прямые, параллельные двум другим
сторонам. Найдите периметр полученного четырехугольника.
2.67. Постройте треугольник по серединам трех его сторон.
2.680
. Докажите, что середины сторон любого четырех-
угольника являются вершинами параллелограмма.
2.69. Дан четырехугольник, сумма диагоналей которого
равна 18. Найдите периметр четырехугольника с вершинами в
серединах сторон данного.
66 8 класс
2.70. Найдите периметр четырехугольника с вершинами
в серединах сторон прямоугольника с диагональю, равной 8.
2.71. Найдите стороны и углы четырехугольника с вершина-
ми в серединах сторон ромба, диагонали которого равны 6 и 10.
2.72. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника,
проведенная из вершины прямого угла, равна отрезку, соединя-
ющему середины катетов.
2.73. Острый угол A ромба ABCD равен 45◦
, проекция сто-
роны AB на сторону AD равна 12. Найдите расстояние от цен-
тра ромба до стороны CD.
2.74. Расстояние между серединами взаимно перпендику-
лярных хорд AC и BC некоторой окружности равно 10. Найдите
расстояние от центра окружности до точки пересечения хорд.
2.75. Расстояние от середины хорды BC до диаметра AB
равно 1. Найдите хорду AC, если ∠BAC = 30◦
.
2.76. Середины сторон выпуклого пятиугольника последо-
вательно соединены отрезками. Найдите периметр полученного
пятиугольника, если сумма всех диагоналей данного равна a.
2.77. Две окружности пересекаются в точках A и D. Прове-
дены диаметры AB и AC этих окружностей. Найдите BD+DC,
если расстояние между центрами окружностей равно a и центры
окружностей лежат по разные стороны от общей хорды.
2.78. Точки M и N расположены соответственно на сторо-
нах AB и AC треугольника ABC, причем BM = 3AM и CN =
= 3AN. Докажите, что MN k BC и найдите MN, если BC = 12.
Задачи второго уровня
2.79. Две прямые, проходящие через точку C, касаются
окружности в точках A и B. Может ли прямая, проходящая
через середины отрезков AC и BC, касаться этой окружности?
2.80. Сторона треугольника равна a. Найдите отрезок, со-
единяющий середины медиан, проведенных к двум другим сто-
ронам.
2.81. Найдите геометрическое место середин всех отрезков,
один конец которых лежит на данной прямой, а второй совпа-
дает с данной точкой, не лежащей на этой прямой.
§ 2.2. Средняя линия треугольника 67
2.82. Докажите, что середины двух противоположных сто-
рон любого четырехугольника без параллельных сторон и
середины его диагоналей являются вершинами параллело-
грамма.
2.83. Отрезки, соединяющие середины противоположных
сторон четырехугольника, равны. Докажите, что диагонали
четырехугольника перпендикулярны.
2.84. Отрезки, соединяющие середины противоположных
сторон четырехугольника, перпендикулярны. Докажите, что
диагонали четырехугольника равны.
2.85. В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезок, соеди-
няющий середины сторон AB и CD, равен 1. Прямые BC и AD
перпендикулярны. Найдите отрезок, соединяющий середины
диагоналей AC и BD.
2.86. В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезок, соеди-
няющий середины диагоналей, равен отрезку, соединяющему
середины сторон AD и BC. Найдите угол, образованный про-
должениями сторон AB и CD.
2.87. Из вершины A треугольника ABC опущены перпен-
дикуляры AM и AP на биссектрисы внешних углов B и C.
Найдите отрезок PM, если периметр треугольника ABC ра-
вен 10.
2.88. Окружность проходит через середины гипотенузы AB
и катета BC прямоугольного треугольника ABC и касает-
ся катета AC. В каком отношении точка касания делит ка-
тет AC?
2.89. Две медианы треугольника равны. Докажите, что тре-
угольник равнобедренный.
2.90. Постройте параллелограмм по вершине и серединам
сторон, не содержащих эту вершину.
2.91. Докажите, что сумма трех медиан треугольника
меньше периметра, но больше трех четвертей периметра тре-
угольника.
2.92. Точки M и N — середины соседних сторон BC и CD
параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые DM и BN
пересекаются на диагонали AC.
2.93. Точки M и N — середины соседних сторон BC и CD
68 8 класс
параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN де-
лят диагональ BD на три равные части.
2.94. Высоты остроугольного треугольника ABC, проведен-
ные из вершин B и C, равны 7 и 9, а медиана AM равна 8. Точ-
ки P и Q симметричны точке M относительно сторон AC и AB
соответственно. Найдите периметр четырехугольника APMQ.
2.95. Постройте треугольник по высотам, проведенным из
двух вершин, и медиане, проведенной из третьей.
2.96. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного
треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так,
что BM = CN. Докажите, что середина отрезка MN лежит
на средней линии треугольника ABC, параллельной его осно-
ванию.
2.97. С помощью циркуля и линейки разделите данный от-
резок на три равные части.
2.98. Постройте треугольник по стороне и медианам, прове-
денным к двум другим сторонам.
2.99. Постройте треугольник по трем медианам.
2.100. Докажите признак равенства треугольников по трем
медианам.
2.101. Точки A1, B1 и C1 симметричны произвольной точ-
ке O относительно середин сторон соответственно BC, AC и AB
треугольника ABC. Докажите, что треугольник A1B1C1 равен
треугольнику ABC.
2.102. Точки A1, B1 и C1 — образы произвольной точ-
ки O при симметрии относительно середин сторон соответ-
ственно BC, AC и AB треугольника ABC. Докажите, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
2.103. В четырехугольнике ABCD точка E — середина AB,
F — середина CD. Докажите, что середины отрезков AF, CE,
BF и DE являются вершинами параллелограмма.
2.104. Диагональ AC параллелограмма ABCD втрое боль-
ше диагонали BD и пересекается с ней под углом в 60◦
. Найдите
отрезок, соединяющий вершину D с серединой стороны BC, ес-
ли AC = 24, а угол BDC — тупой.
2.105. Сторона AB треугольника ABC больше стороны AC,
а ∠A = 40◦
. Точка D лежит на стороне AB, причем BD = AC.
§ 2.2. Средняя линия треугольника 69
Точки M и N — середины отрезков BC и AD соответственно.
Найдите угол BNM.
2.106. В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая
через середины двух противоположных сторон, образует равные
углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагона-
ли равны.
2.107. Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаим-
но перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Най-
дите расстояние от точки O до стороны AB, если известно,
что CD = a.
2.1080
. Докажите, что расстояние от вершины треугольни-
ка до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от
центра описанного круга до противоположной стороны.
2.109. Пусть H — точка пересечения высот треугольни-
ка ABC. Докажите, что расстояние между серединами отрез-
ков BC и AH равно радиусу окружности, описанной около
треугольника ABC.
Задачи третьего уровня
2.110. Постройте треугольник, зная три точки, симметрич-
ные центру его описанной окружности относительно сторон.
2.111. Постройте пятиугольник по серединам его сторон.
2.112. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD вза-
имно перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD
проведены прямые, перпендикулярные противоположным сто-
ронам CD и CB соответственно. Докажите, что эти прямые и
прямая AC имеют общую точку.
2.113. Два равносторонних треугольника ABC и CDE рас-
положены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную
общую точку C. Пусть M, N и K — середины отрезков BD,
AC и CE соответственно. Докажите, что треугольник MNK
равносторонний.
2.114. Внутри треугольника ABC взята точка P так, что
∠PAC = ∠PBC. Из точки P на стороны BC и CA опущены
перпендикуляры PM и PK соответственно. Пусть D — середина
стороны AB. Докажите, что DK = DM.

Задачи первого уровня
2.1150
. Докажите следующие утверждения:
а) углы при основании равнобокой трапеции равны;
б) если углы при одном из оснований трапеции равны, то она
равнобокая;
в) диагонали равнобокой трапеции равны;
г) если диагонали трапеции равны, то она равнобокая.
2.116. Докажите, что сумма противоположных углов рав-
нобокой трапеции равна 180◦
. Верно ли обратное: если сумма
противоположных углов трапеции равна 180◦
, то она равно-
бокая?
2.117. Наибольший угол прямоугольной трапеции равен
120◦
, а б´ольшая боковая сторона равна c. Найдите разность
оснований.
2.1180
. Пусть P — основание перпендикуляра, опущен-
ного из конца C меньшего основания BC равнобокой трапе-
ции ABCD на ее большее основание AD. Найдите DP и AP,
если основания трапеции равны a и b (a > b).
2.119. Найдите углы и стороны четырехугольника с верши-
нами в серединах сторон равнобокой трапеции, диагонали кото-
рой равны 10 и пересекаются под углом, равным 40◦
.
2.120. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а
средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середи-
ны оснований.
2.121. Высота равнобокой трапеции, проведенная из конца
меньшего основания, делит ее большее основание на отрезки,
равные 4 и 8. Найдите основания трапеции.
2.122. Найдите меньшее основание равнобокой трапеции, ес-
ли высота, проведенная из конца меньшего основания, делит
большее основание на отрезки, один из которых на 5 больше
другого.
2.123. Боковая сторона равнобокой трапеции видна из точ-
ки пересечения диагоналей под углом, равным 60◦
. Найдите
диагонали трапеции, если ее высота равна h.
2.124. В равнобокой трапеции острый угол равен 60◦
. Дока-
жите, что меньшее основание равно разности большего основа-
ния и боковой стороны.
§ 2.3. Трапеция. Теорема Фалеса 73
2.125. Диагональ равнобокой трапеции равна 10 и образу-
ет угол, равный 60◦
, с основанием трапеции. Найдите среднюю
линию трапеции.
2.126. AB и BC — соответственно боковая сторона и мень-
шее основание трапеции ABCD. Известно, что AB = 2,6 и
BC = 2,5. Какой из отрезков пересекает биссектриса угла A:
основание BC или боковую сторону CD?
2.127. Расстояния от концов диаметра окружности до неко-
торой касательной равны a и b. Найдите радиус окружности.
2.128. Окружность касается всех сторон равнобокой трапе-
ции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней
линии.
2.129. Окружность касается всех сторон трапеции. Докажи-
те, что боковая сторона трапеции видна из центра окружности
под прямым углом.
2.130. Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основа-
ния — 5 и 15. Прямая, проведенная через вершину меньшего
основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от
трапеции треугольник. Найдите его стороны.
Задачи второго уровня
2.131. Постройте трапецию по основаниям и боковым сто-
ронам.
2.132. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
2.133. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции
равна 3, а б´ольшая образует угол, равный 30◦
, с одним из осно-
ваний. Найдите это основание, если на нем лежит точка пересе-
чения биссектрис углов при другом основании.
2.134. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD
трапеции ABCD. Могут ли прямые BN и DM быть параллель-
ными?
2.135. Докажите, что биссектрисы углов при боковой сто-
роне трапеции пересекаются на ее средней линии.
2.136. Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектри-
сы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P,
а при вершинах C и D — в точке Q. Докажите, что отрезок PQ
равен полупериметру трапеции.
74 8 класс
2.137. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Бис-
сектрисы углов при вершинах A и B пересекаются в точке M, а
биссектрисы углов при вершинах C и D — в точке N. Най-
дите MN, если известно, что AB = a, BC = b, CD = c и
AD = d.
2.1380
. Основания трапеции равны a и b (a > b). Най-
дите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей тра-
пеции.
2.139. Точка A лежит на одной из двух параллельных пря-
мых, а точка B — на другой. Найдите геометрическое место
середин отрезков AB.
2.140. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120◦
,
большее основание равно 12. Найдите отрезок, соединяющий
середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ
трапеции равна ее большему основанию.
2.141. Найдите отношение оснований трапеции, если ее
средняя линия делится диагоналями на три равные части.
2.142. Боковая сторона трапеции равна одному основанию
и вдвое меньше другого. Докажите, что вторая боковая сторона
перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.
2.143. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Од-
на из них равна 6, а вторая образует с основанием угол, рав-
ный 30◦
. Найдите среднюю линию трапеции.
2.144. Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединя-
ющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основа-
нии трапеции равны 30◦ и 60◦
. Найдите основания и меньшую
боковую сторону трапеции.
2.1450
. Точка M — середина отрезка AB. Точки A1, M1
и B1 — проекции точек A, M и B на некоторую прямую. Дока-
жите, что M1 — середина отрезка A1B1.
2.146. На прямую, проходящую через вершину A треуголь-
ника ABC, опущены перпендикуляры BD и CE. Докажите, что
середина стороны BC равноудалена от точек D и E.
2.147. Две окружности касаются друг друга внешним об-
разом в точке K. Одна прямая касается этих окружностей в
различных точках A и B, а вторая — соответственно в точ-
ках C и D. Общая касательная к окружностям, проходящая
§ 2.3. Трапеция. Теорема Фалеса 75
через точку C, пересекается с этими прямыми в точках M и N.
Найдите MN, если AC = a, BD = b.
2.148. Одна из боковых сторон трапеции равна сумме ос-
нований. Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне
пересекаются на другой боковой стороне.
2.149. Дана трапеция, в которую можно вписать окруж-
ность. Докажите, что окружности, построенные на боковых
сторонах как на диаметрах, касаются друг друга.
2.150. Отрезок, соединяющий середины двух противопо-
ложных сторон четырехугольника, равен полусумме двух дру-
гих сторон. Докажите, что этот четырехугольник — трапеция
или параллелограмм.
2.151. Окружность, построенная на большем основании
трапеции как на диаметре, проходит через середины боковых
сторон и касается меньшего основания. Найдите углы тра-
пеции.
2.152. Окружность, построенная на меньшем основании
трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей
и касается большего основания. Найдите углы трапеции.
Задачи третьего уровня
2.153. В выпуклом четырехугольнике ABCD противопо-
ложные углы A и C прямые. На диагональ AC опущены
перпендикуляры BE и DF. Докажите, что CE = FA.
2.154. В остроугольном треугольнике ABC проведены вы-
соты BD и CE. Из вершин B и C на прямую ED опущены
перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF = DG.
2.155. Одним прямолинейным разрезом отрежьте от тре-
угольника трапецию, у которой меньшее основание было бы
равно сумме боковых сторон.
2.156. Существуют ли две трапеции, основания первой из
которых соответственно равны боковым сторонам второй, а ос-
нования второй — боковым сторонам первой?
2.157. На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая
через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC
в точках K и L, а также окружность с диаметром AB — в точ-
ках M и N. Докажите, что KM = LN.

Задачи первого уровня
2.158. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦
) из-
вестно, что AB = 4, ∠A = 60◦
. Найдите BC и AC.
2.159. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦
) из-
вестно, что ∠A = a, BC = a. Найдите гипотенузу и второй
катет.
2.160. Найдите высоту прямоугольного треугольника, про-
веденную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 8,
а один из острых углов равен 60◦
.
2.161. В равнобедренном треугольнике ABC угол при вер-
шине B равен 120◦
, а основание равно 8. Найдите боковую
сторону.
2.162. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами
5 и 12.
2.163. Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8.
Один из углов при меньшем основании равен 120◦
. Найдите
диагонали трапеции.
2.164. Высота прямоугольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, рав-
ные a и b. Найдите катеты.
2.165. Высота параллелограмма, проведенная из вершины
тупого угла, равна a и делит сторону пополам. Острый угол
параллелограмма равен 30◦
. Найдите диагонали параллело-
грамма.
2.166. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпенди-
кулярна стороне AB. Высота BM параллелограмма делит сто-
рону AD на отрезки DM = 9 и AM = 4. Найдите стороны и
диагонали параллелограмма.
2.167. Найдите расстояние от центра окружности радиу-
са 10 до хорды, равной 12.
2.168. Прямая, проходящая через точку M, удаленную от
центра окружности радиуса 10 на расстояние, равное 26, каса-
ется окружности в точке A. Найдите AM.
2.169. Прямые, касающиеся окружности с центром O в точ-
ках A и B, пересекаются в точке M. Найдите хорду AB, если
отрезок MO делится ею на отрезки, равные 2 и 18.
§ 2.4. Теорема Пифагора 79
2.170. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность
радиуса 8.
2.171. Один из катетов прямоугольного треугольника ра-
вен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Най-
дите гипотенузу и второй катет.
2.172. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная
к гипотенузе, равна 12 и делит прямой угол в отношении 1 : 2.
Найдите стороны треугольника.
2.173. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16.
Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.
2.174. Найдите высоту трапеции со сторонами, равными 10,
10, 10 и 26.
2.175. Найдите высоту равнобедренного треугольника, про-
веденную к основанию, если стороны треугольника равны 10,
13 и 13.
2.176. Найдите высоту, а также радиусы вписанной и опи-
санной окружностей равностороннего треугольника со сторо-
ной, равной a.
2.177. Вершина M правильного треугольника ABM со сто-
роной a расположена на стороне CD прямоугольника ABCD.
Найдите диагональ прямоугольника ABCD.
2.178. Дан отрезок, равный 1. Постройте отрезки, рав-
ные √
2,

3,

5.
2.179. Даны отрезки a и b. Постройте отрезки √
a
2 + b
2
√ ,
a
2 − b
2.
2.1800
. Докажите, что произведение стороны треугольни-
ка на проведенную к ней высоту для данного треугольника по-
стоянно.
2.181. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16.
Найдите высоту, проведенную из вершины прямого угла.
2.182. Найдите высоту равнобедренного треугольника, про-
веденную к боковой стороне, если основание равно a, а боковая
сторона равна b.
2.183. Точка M расположена на стороне CD квадрата
ABCD с центром O, причем CM : MD = 1 : 2. Найди-
те стороны треугольника AOM, если сторона квадрата рав-
на 6.
80 8 класс
2.184. Дан треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Найдите
высоту, проведенную к большей стороне.
2.1850
. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифа-
гора. Верна ли она?
2.186. Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой
равны 6 и 8, а основания равны 4 и 14.
2.187. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла,
делит его сторону на отрезки длиной a и b. Найдите диагонали
ромба.
2.188. Одно основание прямоугольной трапеции вдвое боль-
ше другого, а боковые стороны равны 4 и 5. Найдите диагонали
трапеции.
2.189. В прямоугольный треугольник вписан квадрат так,
что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрез-
ки гипотенузы равны a и b. Найдите сторону квадрата.
2.190. В прямоугольный треугольник с углом 60◦ вписан
ромб со стороной, равной 6, так, что угол в 60◦ у них общий,
а остальные вершины ромба лежат на сторонах треугольника.
Найдите стороны треугольника.
2.191. Две вершины квадрата расположены на основании
равнобедренного треугольника, а две другие — на его боковых
сторонах. Найдите сторону квадрата, если основание треуголь-
ника равно a, а угол при основании равен 30◦
.
2.192. Найдите диагональ и боковую сторону равнобедрен-
ной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр
ее описанной окружности лежит на большем основании.
2.193. Хорда AC окружности радиуса R образует с диамет-
ром AB угол a. Найдите расстояние от точки C до диаметра AB.
2.194. Диагональ равнобокой трапеции равна a, а средняя
линия равна b. Найдите высоту трапеции.
2.195. Прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пе-
ресекаются под прямым углом. Б´ольшая боковая сторона трапе-
ции равна 8, а разность оснований равна 10. Найдите меньшую
боковую сторону.
2.196. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен r, а ост-
рый угол ромба равен a. Найдите сторону ромба.
2.197. Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся
§ 2.4. Теорема Пифагора 81
окружностей, делится их общей хордой на отрезки, равные 5
и 2. Найдите общую хорду, если известно, что радиус одной
окружности вдвое больше радиуса другой.
2.198. Из точки M проведены касательные MA и MB к
окружности с центром O (A и B — точки касания). Найдите
радиус окружности, если ∠AMB = a и AB = a.
Задачи второго уровня
2.199. Найдите основание равнобедренного треугольника,
если его боковая сторона равна a, а высота, опущенная на ос-
нование, равна отрезку, соединяющему середину основания с
серединой боковой стороны.
2.200. Сторона треугольника равна 2, прилежащие к ней
углы равны 30◦ и 45◦
. Найдите остальные стороны треуголь-
ника.
2.201. Косинус угла при основании равнобедренного тре-
угольника равен 3
5
, высота, опущенная на основание, равна h.
Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.
2.202. Вершины M и N равностороннего треугольника
BMN лежат соответственно на сторонах AD и CD квадра-
та ABCD со стороной a. Найдите MN.
2.203. Радиус окружности, описанной около равнобедренно-
го треугольника, равен R. Угол при основании равен a. Найдите
стороны треугольника.
2.204. Даны отрезки a и b. Постройте отрезок √
ab.
2.205. Высота CD треугольника ABC делит сторону AB на
отрезки AD и BD, причем AD · BD = CD2
. Верно ли, что
треугольник ABC прямоугольный?
2.206. Найдите sin15◦ и tg 15◦
.
2.207. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного
треугольника, равны a и b. Найдите гипотенузу треугольника.
2.208. Две стороны треугольника равны a и b. Медианы,
проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Най-
дите третью сторону треугольника.
2.209. На катете BC прямоугольного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, которая пересекает
гипотенузу AB в точке K. Найдите CK, если BC = a и AC = b.
82 8 класс
2.210. На боковой стороне равнобедренного треугольника
как на диаметре построена окружность, делящая вторую бо-
ковую сторону на отрезки, равные a и b. Найдите основание
треугольника.
2.211. На катете BC прямоугольного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая гипоте-
нузу AB в точке D, причем AD : DB = 1 : 3. Высота, опущенная
на гипотенузу, равна 3. Найдите катет BC.
2.212. В прямоугольном треугольнике ABC проведена вы-
сота из вершины C прямого угла. На этой высоте как на диа-
метре построена окружность. Известно, что эта окружность вы-
секает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты
треугольника ABC.
2.213. Высота прямоугольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла, равна a и образует угол a с медианой,
проведенной из той же вершины. Найдите катеты треугольника.
2.214. В прямоугольном треугольнике точка касания впи-
санной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12.
Найдите катеты треугольника.
2.215. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции
пересекаются на другом ее основании. Найдите все стороны тра-
пеции, если ее высота равна 12, а биссектрисы равны 15 и 13.
2.216. Диагональ AC равнобокой трапеции ABCD равна a
и образует с б´ольшим основанием AD и боковой стороной AB
углы a и b соответственно. Найдите основания трапеции.
2.217. В трапеции ABCD основание AD = 2, основа-
ние BC = 1. Боковые стороны AB = CD = 1. Найдите
диагонали трапеции.
2.218. Основания трапеции равны 3 и 5, одна из диагоналей
перпендикулярна боковой стороне, а другая делит пополам угол
при большем основании. Найдите высоту трапеции.
2.219. Боковая сторона AD и основание CD трапеции
ABCD равны a, основание AB равно 2a, а диагональ AC
равна b. Найдите боковую сторону BC.
2.220. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC ра-
вен 21, а катет BC равен 28. Окружность, с центром на гипоте-
нузе AB, касается обоих катетов. Найдите радиус окружности.
§ 2.4. Теорема Пифагора 83
2.221. Через середину гипотенузы прямоугольного тре-
угольника проведен к ней перпендикуляр. Отрезок этого пер-
пендикуляра, заключенный внутри треугольника, равен c, а от-
резок, заключенный между одним катетом и продолжением
другого, равен 3c. Найдите гипотенузу.
2.2220
. Окружность, вписанная в трапецию, делит ее боко-
вую сторону на отрезки a и b. Найдите радиус окружности.
2.223. Окружность радиуса R вписана в прямоугольную
трапецию, меньшее основание которой равно 4R
3
. Найдите
остальные стороны трапеции.
2.224. Даны окружности радиусов r и R (R > r). Расстояние
между их центрами равно a (a > R+r). Найдите отрезки общих
внешних и общих внутренних касательных, заключенные между
точками касания.
2.225. Окружности радиусов r и R (R > r) касаются внеш-
ним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние ка-
сательные. Их точки касания с меньшей окружностью — A и D,
с большей — B и C соответственно.
а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касатель-
ной, заключенный между внешними касательными.
б) Докажите, что углы AKB и O1MO2 прямые (O1 и O2 —
центры окружностей).
в) Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих дан-
ных окружностей и их общей внешней касательной.
2.226. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпен-
дикулярна основаниям AD и BC, сумма острых углов A и C
равна 90◦
. Основания AD = a, BC = b. Найдите боковые сторо-
ны AB и CD.
2.227. Отрезок, соединяющий середины оснований трапе-
ции, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30◦
и 60◦
. Найдите высоту трапеции.
2.228. Стороны параллелограмма равны a и b, а угол между
ними равен a. Найдите стороны и диагонали четырехугольни-
ка, образованного пересечением биссектрис внутренних углов
параллелограмма.
2.229. Вне прямоугольного треугольника ABC на его
84 8 класс
катетах AC и BC построены квадраты ACDE и BCFG. Про-
должение медианы CM треугольника ABC пересекает пря-
мую DF в точке N. Найдите CN, если катеты равны 1 и 4.
2.230. Основание CD, диагональ BD и боковая сторона AD
трапеции ABCD равны p. Боковая сторона BC равна q. Найди-
те диагональ AC.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (21.03.2016)
Просмотров: | Теги: Гордин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar