Тема №5832 Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 3) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

2.231. Хорды AB и CD окружности радиуса R пересекают-
ся под прямым углом. Найдите BD, если AC = a.
2.232. На гипотенузе прямоугольного треугольника с кате-
тами a и b во внешнюю сторону построен квадрат. Найдите
расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра
квадрата.
2.233. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20. Докажите,
что этот треугольник прямоугольный.
2.234. В круге проведены два диаметра AB и CD, M —
некоторая точка. Известно, что AM = 15, BM = 20 и CM = 24.
Найдите DM.
2.235. Катет прямоугольного треугольника равен 2, а про-
тиволежащий ему угол равен 30◦
. Найдите расстояние между
центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые
данный треугольник делится медианой, проведенной из верши-
ны прямого угла.
2.236. Окружность, касающаяся стороны треугольника и
продолжений двух его других сторон, называется вневписанной
окружностью треугольника.
Найдите расстояние между центром вписанной окружности
прямоугольного треугольника с углом 30◦ и центром его вневпи-
санной окружности, касающейся меньшего катета, если радиус
вписанной окружности равен r.
2.237. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окруж-
ностей треугольника со сторонами: а) 5, 12, 13; б) 10, 10, 12.
2.238. В треугольнике PQR угол QRP равен 60◦
. Найдите
расстояние между точками касания со стороной QR окружности
радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3,
касающейся продолжений сторон PQ и PR.
2.239. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности
равен √
3 − 1. Угол BAC этого треугольника равен 60◦
, а ра-
§ 2.4. Теорема Пифагора 85
диус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сто-
рон AB и AC, равен √
3+1. Найдите углы ABC и ACB данного
треугольника.
2.240. Дана окружность с центром в точке O и радиусом 2.
Из конца отрезка OA, пересекающегося с окружностью в точ-
ке M, проведена касательная AK к окружности (K — точка
касания), ∠OAK = 60◦
. Найдите радиус окружности, касаю-
щейся отрезков AK, AM и дуги MK.
2.241. К двум окружностям, касающимся внешним образом
в точке C, проведена общая внешняя касательная, A и B —
точки касания. Найдите радиусы окружностей, если AC = 6,
BC = 8.
2.242. Четырехугольник ABCD вписан в окружность ради-
уса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются
в точке P. Найдите
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 и AP2 + BP2 + CP2 + DP2
.
2.243. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг дру-
га внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей
через точки касания этих окружностей.
Задачи третьего уровня
2.244. Вершины прямоугольника, не являющегося квад-
ратом, расположены по одной на каждой стороне некоторого
квадрата. Докажите, что стороны прямоугольника параллель-
ны диагоналям квадрата.
2.245. Найдите геометрическое место точек M, разность
квадратов расстояний от которых до двух данных точек A и B
постоянна.
2.246. Найдите геометрическое место точек, касательные
из которых, проведенные к двум данным окружностям, равны
между собой.
2.247. Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны
тогда и только тогда, когда AC2 + BD2 = AD2 + BC2
.
2.248. Используя результат предыдущей задачи, докажите,
что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
86 8 класс
2.249. В четырехугольник ABCD можно вписать и вокруг
него можно описать окружность. Диагонали этого четырех-
угольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь,
если радиус описанной окружности равен R и BC = 2AB.
2.250. Прямоугольный треугольник ABC (∠A = 90◦
) и два
квадрата BEFC и AMNB расположены так, что точки E и A
лежат по разные стороны от прямой BC, а точки M и C —
по разные стороны от прямой AB. Найдите расстояние между
центрами квадратов, если AB = b, AC = a.
2.251. На высотах BB1 и CC1 остроугольного треугольни-
ка ABC взяты точки B2 и C2 так, что ∠AB2C = ∠AC2B = 90◦
.
Докажите, что AB2 = AC2

Задачи первого уровня
2.252. Даны точки A(−1;5) и B(3; −7). Найдите расстояние
от начала координат до середины отрезка AB.
2.253. Даны точки A(3;5), B(−6; −2) и C(0; −6). Докажите,
что треугольник ABC равнобедренный.
2.254. Даны точки A(2;4), B(6; −4) и C(−8; −1). Докажите,
что треугольник ABC прямоугольный.
2.255. Докажите, что точки A(−1; −2), B(2; −1) и C(8;1)
лежат на одной прямой.
2.256. Даны точки A(−2;1), B(2;5) и C(4; −1). Точка D ле-
жит на продолжении медианы AM за точку M, причем четы-
рехугольник ABDC — параллелограмм. Найдите координаты
точки D.
2.257. Дана точка M(−1;3). Найдите координаты точки,
симметричной точке M относительно: а) оси Ox; б) оси Oy;
в) начала координат; г) точки K(3;1); д) биссектрисы I и III
координатных углов; е) биссектрисы II и IV координатных
углов.
2.258. Даны точки A(−2;0), B(1;6), C(5;4) и D(2; −2). До-
кажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
2.259. Даны точки A(0; −2), B(−2;1), C(0;0) и D(2; −9).
Укажите те из них, которые лежат на прямой 2x − 3y + 7 = 0.
2.260. Составьте уравнение прямой, проходящей через точ-
ку M(−3;1) параллельно: а) оси Ox; б) оси Oy.
2.261. Найдите расстояние между точкой A(1;7) и точкой
пересечения прямых x − y − 1 = 0 и x + 3y − 12 = 0.
2.262. Составьте уравнение прямой, проходящей через точ-
ку M(−3;2) параллельно прямой 2x − 3y + 4 = 0.
2.263. Составьте уравнение прямой, проходящей через точ-
ку пересечения прямых 3x + 2y − 5 = 0 и x − 3y + 2 = 0
параллельно оси ординат.
2.264. Найдите координаты вершин треугольника, стороны
которого лежат на прямых 2x+y−6 = 0, x−y+4 = 0 и y+1 = 0.
2.265. Даны точки A(−2;2), B(−2; −2) и C(6;6). Составь-
те уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольни-
ка ABC.
2.266. Даны точки A(4;1), B(−8;0) и C(0; −6). Составьте
§ 2.5. Декартовы координаты на плоскости 89
уравнение прямой, на которой лежит медиана AM треугольни-
ка ABC.
2.267. Окружность с центром в точке M(3;1) проходит че-
рез начало координат. Составьте уравнение окружности.
2.268. Найдите радиус и координаты центра окружности,
заданной уравнением: а) (x − 3)2 + (y + 2)2 = 16; б) x
2 + y
2 −
− 2(x − 3y) − 15 = 0; в) x
2 + y
2 = x + y +
1
2
.
2.269. Даны точки A(0;0), B(4;0) и C(0;6). Составьте урав-
нение окружности, описанной около треугольника ABC.
2.270. Найдите длину хорды, которую на прямой y = 3x
высекает окружность (x + 1)2 + (y − 2)2 = 25.
2.271. Докажите, что прямая 3x − 4y + 25 = 0 касается
окружности x
2 + y
2 = 25, и найдите координаты точки ка-
сания.
2.272. Составьте уравнение окружности, касающейся осей
координат и проходящей через точку A(2;1).
2.273. Найдите координаты точек пересечения окружностей
(x − 2)2 + (y − 10)2 = 50 и x
2 + y
2 + 2(x − y) − 18 = 0.
2.274. Даны точки A(0;0), B(−2;1), C(3;3), D(2; −1) и
окружность (x−1)2 +(y +3)2 = 25. Выясните, где расположены
эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
Задачи второго уровня
2.275. Даны точки A(−6;1) и B(4;6). Найдите координаты
точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3, считая от
точки A.
2.276. Даны точки A(5;5), B(8; −3) и C(−4;1). Найдите ко-
ординаты точки пересечения медиан треугольника ABC.
2.277. Даны точки A(−6; −1), B(1;2) и C(−3; −2). Найдите
координаты вершины M параллелограмма ABMC.
2.278. Даны точки A(−1;3), B(1; −2), C(6;0) и D(4;5). До-
кажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
2.2790
. Известно, что прямая с угловым коэффициентом k
проходит через точку M(x0; y0). Докажите, что ее уравнение
имеет вид y − y0 = k(x − x0).
90 8 класс
2.2800
. Известно, что прямая проходит через точки
M(x1; y1) и N(x2; y2), причем x1 6= x2 и y1 6= y2. Докажите,
что ее уравнение имеет вид
y−y1
y2−y1
=
x−x1
x2−x1
.
2.281. Составьте уравнение окружности, проходящей через
точки A(−2;1), B(9;3) и C(1;7).
2.282. Составьте уравнение прямой, проходящей через точ-
ку A(0;7) и касающейся окружности (x − 15)2 + (y − 2)2 = 25.
2.2830
. Докажите, что прямые, заданные уравнениями y =
= k1x+l1 и y = k2x+l2, перпендикулярны тогда и только тогда,
когда k1k2 = −1.
2.284. Даны точки A(−2;3), B(2;6), C(6; −1) и D(−3; −4).
Докажите, что диагонали четырехугольника ABCD взаимно
перпендикулярны.
2.285. Составьте уравнение прямой, проходящей через точ-
ку M(−1;4) перпендикулярно прямой x − 2y + 4 = 0.
2.286. Даны точки A(6;1), B(−5; −4), C(−2;5). Составь-
те уравнение прямой, на которой лежит высота треугольни-
ка ABC, проведенная из вершины A.
2.287. Даны точки A(5; −1), B(4; −8), C(−4; −4). Найдите
координаты точки пересечения высот треугольника ABC.
2.288. С помощью метода координат докажите, что сум-
мы квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до
противоположных вершин прямоугольника равны между собой.
2.289. С помощью метода координат найдите геометриче-
ское место точек плоскости, разность квадратов расстояний от
которых до двух данных точек постоянна.
2.290. Даны точки A, B и положительное число k. Найдите
геометрическое место точек M, для которых AM = kBM.
2.291. Даны точки A, B и положительное число d. Найдите
геометрическое место точек M, для которых AM2 + BM2 = d.
2.292. Докажите, что расстояние от точки M(x0; y0) до пря-
мой, заданной уравнением ax + by + c = 0, равно
|ax0+by0+c|

a
2+b
2
.
2.293. Найдите расстояние между параллельными прямы-
ми y = −3x + 5 и y = −3x − 4.
2.294. Составьте уравнение окружности с центром в точ-
ке M(3;2), касающейся прямой y = 2x + 6.
§ 2.6. Движение 91
2.295. Точка M лежит на прямой 3x − 4y + 34 = 0, а точ-
ка N — на окружности x
2 + y
2 − 8x + 2y − 8 = 0. Найдите
наименьшее расстояние между точками M и N.
2.296. Даны точки A(x1; y1), B(x2; y2) и неотрицательное
число l. Найдите координаты точки M луча AB, для кото-
рой AM : AB = l.
Задачи третьего уровня
2.297. Даны точки A(x1; y1), B(x2; y2) и прямая ax + by +
+ c = 0. Известно, что ax1 + by1 + c > 0, а ax2 + by2 + c < 0.
Докажите, что точки A и B расположены по разные стороны от
этой прямой.
2.298. Найдите наименьшее значение выражения |a + b| +
+
p
(a − 1)2 + (b − 3)2.
2.299. Две окружности касаются внешним образом в точ-
ке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает
окружности в точках B и C. Найдите геометрическое место се-
редин отрезков BC.
2.300. На координатной плоскости нарисовали график
функции y = x
2
, а затем стерли оси координат. Восстановите
их с помощью циркуля и линейки.
2.301. Назовем точку плоскости рациональной, если ее обе
координаты — рациональные числа. Докажите, что если на
окружности x
2 + y
2 = R (R — целое) есть хотя бы одна ра-
циональная точка, то на этой окружности бесконечно много
рациональных точек.

Задачи первого уровня
2.302. Постройте образы данной прямой и данной окружно-
сти при симметрии относительно данной точки.
2.303. Пусть M — середина отрезка AB. Точки A′
, B′ и M′ —
образы точек соответственно A, B и M при симметрии отно-
сительно некоторой точки O. Докажите, что M′ — середина
отрезка A′B′
.
2.304. Докажите, что фигура, состоящая из двух равных па-
раллельных отрезков, имеет центр симметрии.
2.305. Докажите, что четырехугольник, имеющий центр
симметрии, является параллелограммом.
2.306. На противоположных сторонах параллелограмма как
на сторонах построены вне параллелограмма два квадрата. До-
кажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через
центр параллелограмма.
2.307. Докажите, что точки, симметричные произвольной
точке относительно середин сторон квадрата, являются верши-
нами некоторого квадрата.
2.308. Найдите координаты образа точки M(x; y) при сим-
метрии относительно: а) начала координат; б) точки A(a; b).
2.309. Пусть a и b — некоторые числа. Каждой точке
M(x; y) координатной плоскости поставим в соответствие точку
M′
(x

; y

), для которой x
′ = 2a − x и y
′ = 2b − y. Докажите,
что это соответствие есть центральная симметрия плоскости.
Каковы координаты центра симметрии?
Задачи второго уровня
2.310. Выпуклый многоугольник имеет центр симметрии.
Докажите, что сумма его углов делится на 360◦
.
2.311. Дан угол и точка внутри него. С помощью централь-
ной симметрии проведите через данную точку прямую, отрезок
§ 2.6. Движение 95
которой, заключенный внутри угла, делился бы этой точкой по-
полам.
2.312. Проведите через общую точку A пересекающихся
окружностей S1 и S2 прямую так, чтобы эти окружности высе-
кали на ней равные хорды.
2.313. Даны две концентрические окружности S1 и S2. По-
стройте прямую, на которой эти окружности высекают три рав-
ных отрезка.
2.314. Дан параллелограмм ABCD и точка M. Через точ-
ки A, B, C и D проведены прямые, параллельные прямым MC,
MD, MA и MB соответственно. Докажите, что проведенные
прямые пересекаются в одной точке.
2.315. Противоположные стороны выпуклого шестиуголь-
ника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет
центр симметрии.
2.316. При симметрии относительно точки пересечения ме-
диан треугольник ABC переходит в треугольник A1B1C1. Тре-
угольники ABC и A1B1C1 при пересечении образуют шести-
угольник KLMNOP. Докажите, что диагонали KN, LO и MP
этого шестиугольника пересекаются в одной точке, и найдите
стороны шестиугольника, если стороны треугольника ABC рав-
ны a, b и c.
2.317. Докажите, что противоположные стороны шести-
угольника, образованного сторонами треугольника и касатель-
ными к его вписанной окружности, параллельными сторонам,
равны между собой.
2.318. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пе-
ресекаются в точке O. Докажите, что окружности, описанные
около треугольников AOB и COD, касаются.
2.319. Существуют фигуры, имеющие бесконечное множе-
ство центров симметрии (например, полоса между двумя па-
раллельными прямыми). Может ли фигура иметь более одного,
но конечное число центров симметрии?
Задачи третьего уровня
2.320. (Теорема Монжа.) Докажите, что прямые, проведен-
ные через середины сторон вписанного четырехугольника пер-
96 8 класс
пендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в од-
ной точке.
2.321. Две окружности пересекаются в точках A и B. Че-
рез точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую
окружность в точке C, а вторую — в точке D. Пусть M и N —
середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K — середи-
на отрезка CD. Докажите, что угол MKN равен 90◦
. (Можно
считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Задачи первого уровня
2.322. Постройте образы данной прямой и данной окружно-
сти при симметрии относительно данной прямой.
2.323. Докажите, что: а) биссектриса — ось симметрии угла;
б) серединный перпендикуляр — ось симметрии отрезка.
2.324. Докажите, что серединный перпендикуляр к стороне
прямоугольника является его осью симметрии.
2.325. Пусть M и N — середины оснований трапеции. До-
кажите, что если прямая MN перпендикулярна основаниям, то
трапеция — равнобедренная.
98 8 класс
2.326. Через вершины A и C треугольника ABC проведены
прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ABC, пересекаю-
щие прямые CB и BA в точках K и M соответственно. Найди-
те AB, если BM = a, KC = b.
2.327. Существует ли фигура, не имеющая осей симметрии,
но переходящая в себя при некотором повороте?
2.328. Существует ли фигура, не имеющая ни осей симмет-
рии, ни центров симметрии, но переходящая в себя при некото-
ром повороте?
2.329. Найдите координаты точки, симметричной точке
M(x; y) относительно: а) оси ординат; б) оси абсцисс; в) пря-
мой x = a; г) прямой y = b; д) прямой y = x; е) прямой y = −x.
Задачи второго уровня
2.330. Фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии.
Докажите, что она имеет центр симметрии.
2.331. Существует ли фигура, имеющая ровно две оси сим-
метрии, но не имеющая центра симметрии?
2.332. Четырехугольник имеет ровно две оси симметрии.
Верно ли, что он — либо прямоугольник, либо ромб?
2.333. Может ли пятиугольник иметь ровно две оси сим-
метрии?
2.334. Может ли фигура иметь центр симметрии и ровно
одну ось симметрии?
2.335. Докажите, что всякий выпуклый четырехугольник с
осью симметрии либо вписанный, либо описанный.
2.336. Точки A и B лежат по разные стороны от прямой l.
Постройте на этой прямой точку M так, чтобы прямая l делила
угол AMB пополам.
2.337. Точки M и N расположены по одну сторону от пря-
мой l. Как из точки M направить луч света, чтобы он, отразив-
шись от прямой l, попал в точку N?
2.338. Внутри острого угла даны точки M и N. Как из точ-
ки M направить луч света, чтобы он, отразившись последова-
тельно от сторон угла, попал в точку N?
2.339. AB — диаметр окружности; C, D, E — точки на одной
полуокружности ACDEB. На диаметре AB взяты точка F так,
§ 2.6. Движение 99
что ∠CFA = ∠DFB, и точка G так, что ∠DGA = ∠EGB.
Найдите ∠FDG, если дуга AC равна 60◦
, а дуга BE равна 20◦
.
2.340. Внутри острого угла даны точки M и N. Постройте
на сторонах угла точки K и L так, чтобы периметр четырех-
угольника MKLN был наименьшим.
2.341. Постройте треугольник по данным серединам двух
его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведен-
ная к одной из этих сторон.
2.342. В треугольнике ABC проведена высота AH.
O — центр описанной окружности. Докажите, что ∠OAH =
= |∠B − ∠C|.
2.343. Точки M и N расположены по разные стороны от
прямой l. Постройте на прямой l такую точку K, чтобы разность
отрезков MK и NK была наибольшей.
2.344. Постройте четырехугольник ABCD по четырем сто-
ронам, если известно, что его диагональ AC является биссек-
трисой угла A.
2.345. Постройте четырехугольник ABCD по двум сторо-
нам AB и AD и двум углам B и D, если известно, что в него
можно вписать окружность.
2.346. Постройте треугольник, если дана одна его вершина
и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.
2.347. Постройте треугольник по двум сторонам и разности
углов, прилежащих к третьей.
2.348. Постройте треугольник по двум углам и разности
противолежащих им сторон.
2.349. Постройте треугольник по разности двух сторон, уг-
лу между ними и стороне, противолежащей этому углу.
2.350. AD — биссектриса угла A в треугольнике ABC. Че-
рез точку A проведена прямая, перпендикулярная к AD, и из
вершины B опущен перпендикуляр BB1 на эту прямую. До-
кажите, что периметр треугольника BB1C больше периметра
треугольника ABC.
Задачи третьего уровня
2.351. Постройте треугольник по центру его описанной
окружности и двум прямым, на которых лежат высоты.
100 8 класс
2.352. (Задача Фаньяно.) Впишите в данный остроугольный
треугольник ABC треугольник наименьшего периметра

Задачи первого уровня
2.353. Постройте образы данной прямой и данной окружно-
сти при повороте на данный угол относительно данной точки.
2.354. Через точку внутри данного круга проведите хорду,
отсекающую от окружности дугу заданной угловой величины.
2.3550
. Докажите, что треугольник ABC является правиль-
ным тогда и только тогда, когда при повороте на 60◦
(либо по
часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B
переходит в C.
2.356. Через центр квадрата проведены две перпендикуляр-
ные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами
квадрата также являются вершинами квадрата.
2.357. Пусть две прямые пересекаются в точке O под уг-
лом a. Докажите, что при повороте на угол a (в одном из на-
правлений) относительно произвольной точки, отличной от O,
одна из этих прямых перейдет в прямую, параллельную другой.
2.358. Найдите координаты образа точки M(x; y) при по-
вороте относительно начала координат на угол 90◦
: а) против
часовой стрелки; б) по часовой стрелке.
Задачи второго уровня
2.359. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD по-
стройте точки M и N так, чтобы угол при вершине A равнобед-
ренного треугольника MAN имел данную величину a.
102 8 класс
2.360. Пусть M и N — середины сторон CD и DE правиль-
ного шестиугольника ABCDEF. Найдите величину угла между
прямыми AM и BN.
2.361. Шестиугольник ABCDEF правильный, K и M — се-
редины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK
равносторонний.
2.362. Постройте равносторонний треугольник, одна верши-
на которого лежала бы на данной окружности, другая — на
данной прямой, а третья — в данной точке.
2.363. Постройте квадрат, три вершины которого лежали
бы на трех данных параллельных прямых.
2.364. Постройте равнобедренный прямоугольный треуголь-
ник с вершиной прямого угла в данной точке и с вершинами
острых углов на двух данных окружностях.
2.365. Точка P лежит внутри равностороннего треугольни-
ка ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны ко-
торого равны отрезкам PA, PB и PC.
2.366. Впишите квадрат в данный параллелограмм.
2.367. На отрезке AE по одну сторону от него построены
равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середи-
ны отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM —
равносторонний.
2.368. Дан ромб ABCD с острым углом A, равным 60◦
. Пря-
мая MN отсекает от сторон AB и BC отрезки MB и NB,
сумма которых равна стороне ромба. Найдите углы треуголь-
ника MDN.
2.369. На дуге BC окружности, описанной около равносто-
роннего треугольника ABC, взята произвольная точка M. До-
кажите с помощью поворота, что AM = BM + CM.
2.370. Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вер-
шину B. Докажите с помощью поворота, что медиана BE тре-
угольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на
одной прямой. (Вершины обоих квадратов названы по часовой
стрелке).
2.371. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точ-
ки M и K соответственно, причем ∠BAM = ∠MAK. Докажите,
что BM + KD = AK.
§ 2.6. Движение 103
2.372. Дан правильный треугольник ABC. Некоторая пря-
мая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в
точках M и P, соответственно. Точка D — центр правильного
треугольника PMB, точка E — середина отрезка AP. Найдите
углы треугольника DEC.
2.373. На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC.
Пусть P и Q — середины отрезков A1B1 и A1C1. Докажите, что
треугольник APQ равносторонний.
2.374. Из вершины A квадрата ABCD внутрь квадрата про-
ведены два луча, на которые опущены перпендикуляры BK,
BL, DM, DN из вершин B и D. Докажите, что отрезки KL
и MN равны и перпендикулярны друг другу.
2.375. Даны две точки и окружность. Через данные точ-
ки проведите две секущие, отрезки которых внутри данной
окружности были бы равны и пересекались бы под данным уг-
лом a.
2.376. На сторонах треугольника ABC построены вне тре-
угольника равносторонние треугольники BCA1, CAB1, ABC1 и
проведены отрезки AA1, BB1 и CC1. Докажите, что эти отрезки
равны между собой.
2.377. Точка M лежит внутри квадрата ABCD, а точка K —
вне, причем треугольники AMD и CKD равносторонние. До-
кажите, что точки B, M и K лежат на одной прямой.
2.378. Точка P расположена внутри квадрата ABCD, при-
чем AP : BP : CP = 1 : 2 : 3. Найдите угол APB.
Задачи третьего уровня
2.379. Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины
квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Дока-
жите, что перпендикуляры, опущенные их вершин параллело-
грамма на стороны квадрата, образуют новый квадрат.
2.380. Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC
построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. До-
кажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ
и AC образуют квадрат.
104 8 класс
2.381. (Задача Ферма.) Внутри остроугольного треугольни-
ка найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин ми-
нимальна.

Задачи первого уровня
2.382. Докажите, что при параллельном переносе окруж-
ность переходит в окружность.
2.383. Даны точки A и B. Рассмотрим параллельный пе-
ренос, при котором точка A переходит в точку B. Постройте
образы данной прямой и окружности при этом параллельном
переносе.
2.384. Дан угол ABC и прямая l. Параллельно прямой l
проведите прямую, на которой стороны угла ABC высекают
отрезок данной длины.
2.385. Постройте хорду данной окружности, равную и па-
раллельную данному отрезку.
2.386. Постройте отрезок, равный и параллельный данно-
му, так, чтобы его концы лежали на двух данных окружностях.
2.387. Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. До-
кажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпен-
дикулярными диагоналями длины AB и BC, стороны которого
равны AM, BM, CM, DM.
Задачи второго уровня
2.388. Две окружности радиуса R касаются в точке K. На
одной из них взята точка A, а на другой — точка B, при-
чем ∠AKB = 90◦
. Докажите, что AB = 2R.
2.389. Две окружности радиуса R пересекаются в точках M
и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпенди-
куляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну
сторону от прямой MN. Докажите, что MN2 + AB2 = 4R2
.
§ 2.7. Векторы 107
2.390. Через точку пересечения двух окружностей проведи-
те секущую так, чтобы часть ее, заключенная внутри окружно-
стей, имела данную длину.
2.391. Параллельно данной прямой проведите прямую, на
которой две данные окружности высекали бы равные хорды.
2.392. Постройте четырехугольник ABCD по четырем уг-
лам и сторонам AB = a и CD = b.
2.393. Постройте четырехугольник по трем сторонам и уг-
лам, прилежащим к четвертой.
2.394. Постройте четырехугольник по диагоналям, углу
между ними и двум каким-нибудь сторонам.
2.395. Постройте выпуклый четырехугольник по четырем
сторонам и отрезку, соединяющему середины двух противопо-
ложных сторон.
2.396. Докажите, что композиция двух центральных сим-
метрий есть параллельный перенос.
2.397. Докажите, что композиция двух осевых симметрий с
параллельными осями есть параллельный перенос.
Задачи третьего уровня
2.398. Среди всех четырехугольников с данными диагона-
лями и данным углом между ними найдите четырехугольник
наименьшего периметра.

Задачи первого уровня
2.399. Докажите, что для любых трех точек A, B и C верно
равенство
# » AB =
# » AC −
# » BC.
2.400. Точки M и N — середины сторон соответственно AB
и AC треугольника ABC. Докажите, что # » MN =
1
2
# » BC.
110 8 класс
2.401. Точки M и N — расположены соответственно на
сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM : MB =
= AN : NC = 2 : 3. Выразите вектор # » MN через вектор
# » CB.
2.402. Даны точки A(1; −1), B(−5;1), C(3;2). Найдите ко-
ординаты вершины D параллелограмма ABCD, а также коор-
динаты векторов
# » AC и
# » BD и их абсолютные величины.
2.403. Даны точки A(−1;5), B(2;8), C(7;3) и D(4;0). Най-
дите координаты векторов
# » AB,
# » DC,
# » AD,
# » BC,
# » AC,
# » BD и дока-
жите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
2.404. Даны точки A(−2;2), B(3;3), C(4; −2) и D(−1; −3).
Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
2.405. Точка M — середина стороны BC параллелограм-
ма ABCD. Выразите вектор # » AM через векторы
# » AC и
# » BD.
2.4060
. Пусть M — середина отрезка AB, O — произвольная
точка. Докажите, что
# » OM =
1
2
(
# » OA +
# » OB).
2.407. Точка M делит сторону BC треугольника ABC в от-
ношении BM : MC = 2 : 5. Известно, что # » AB =
#»a ,
# » AC =
#»b .
Найдите вектор # » AM.
2.408. В правильном шестиугольнике ABCDEF известно,
что
# » AB =
#»a ,
# » AF =
#»b . Найдите векторы # » AD,
# » BD,
# » FD и
# » BM,
где M — середина стороны EF.
2.409. Пусть AA1, BB1, CC1 — медианы треугольника ABC.
Докажите, что
# » AA1 +
# » BB1 +
# » CC1 =
#»0 .
2.410. Докажите, что существует треугольник, стороны ко-
торого равны и параллельны медианам данного треугольника.
2.411. Пусть M1, M2, . . . , M6 — середины сторон выпук-
лого шестиугольника A1A2 ... A6. Докажите, что существует
треугольник, стороны которого равны и параллельны отрез-
кам M1M2, M3M4, M5M6.
2.412. Пусть точки A1, B1, C1 — середины сторон соответ-
ственно BC, AC и AB треугольника ABC. Докажите, что для
любой точки O выполняется равенство
# » OA1 +
# » OB1 +
# » OC1 =
# » OA +
# » OB +
# » OC.
§ 2.7. Векторы 111
2.4130
. Пусть M — середина отрезка AB, M1 — середина
отрезка A1B1. Докажите, что
# » MM1 =
1
2
(
# » AA1 +
# » BB1).
2.4140
. Пусть M — точка пересечения медиан треугольни-
ка ABC, O — произвольная точка. Докажите, что
# » OM =
1
3
(
# » OA +
# » OB +
# » OC).
2.415. Дан треугольник ABC и точка M. Известно, что
# » MA +
# » MB +
# » MC =
#»0 .
Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника
ABC.
2.416. Даны точки A(−2;5), B(4;3) и C(1; −2). Найдите ко-
ординаты точки пересечения медиан треугольника ABC.
2.417. Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD
параллелограмма ABCD, O — произвольная точка. Докажите,
что
# » OM =
1
4
(
# » OA +
# » OB +
# » OC +
# » OD).
2.4180
. Пусть M и N — точки пересечения медиан треуголь-
ников ABC и PQR соответственно. Докажите , что
# » MN =
1
3
(
# » AP +
# » BQ +
# » CR).
2.419. Даны два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, у
которых O и O1 — точки пересечения диагоналей. Докажите
равенство
# » OO1 =
1
4
(
# » AA1 +
# » BB1 +
# » CC1 +
# » DD1).
2.420. Две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD
окружности с центром O пересекаются в точке M. Докажите,
что
# » OM =
1
2
(
# » OA +
# » OB +
# » OC +
# » OD).
112 8 класс
2.421. Даны точки A(−3;0), B(−2;5), C(9;8) и D(4; −4). До-
кажите, что диагонали четырехугольника ABCD взаимно пер-
пендикулярны.
2.422. С помощью скалярного произведения докажите, что
диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
2.423. Даны точки A(−8; −2), B(−4;3) и C(−1; −3). Точ-
ка D лежит на прямой y = 4, причем AD ⊥ BC. Найдите
координаты точки D.
2.424. Докажите, что для любых векторов #»a и
#»b верно
неравенство
(
#»a ·
#»b )
2 6
#»a
2
·
#»b
2
,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда век-
торы #»a и
#»b коллинеарны.
Задачи второго уровня
2.425. Точки K, L, M и N расположены соответственно на
сторонах AB, BC, CD и AD четырехугольника ABCD, при-
чем AK : KB = AN : ND = CL : LB = CM : MD. Докажите,
что четырехугольник KLMN — параллелограмм.
2.426. На сторонах треугольника ABC построены паралле-
лограммы ABKL, BCMN и ACFG. Докажите, что из отрез-
ков KN, MF и GL можно составить треугольник.
2.427. Проведены четыре радиуса OA, OB, OC и OD
окружности с центром O. Докажите, что если # » OA +
# » OB +
+
# » OC +
# » OD =
#»0 , то ABCD — прямоугольник.
2.428. На поверхности стола отметили вершины остроуголь-
ного треугольника ABC. В точках A, B и C просверлили отвер-
стия и продели через них нити. Нити связали над столом в один
узел, а под столом к каждой из них привязали одинаковые гру-
зы. В какой точке треугольника ABC расположится узел, если
полученную систему отпустить?
2.429. На сторонах параллелограмма заданы точки, кото-
рые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-ли-
бо одном направлении обхода). Докажите, что точки деления
служат вершинами параллелограмма, а центры этих паралле-
лограммов совпадают.
§ 2.7. Векторы 113
2.430. На сторонах треугольника заданы точки, которые де-
лят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном
направлении обхода). Докажите, что точки пересечения меди-
ан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами
точки деления, совпадают.
2.431. Из произвольной точки M внутри равностороннего
треугольника опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3 на
его стороны. Докажите, что
# » MK1 +
# » MK2 +
# » MK3 =
3
2
# » MO,
где O — центр треугольника.
2.432. Точки M, K, N и L — середины сторон AB, BC,
CD и DE пятиугольника ABCDE (не обязательно выпуклого),
P и Q — середины отрезков MN и KL. Докажите с помощью
векторов, что отрезок PQ в четыре раза меньше стороны AE и
параллелен ей.
2.433. Докажите, что при произвольном выборе точки O ра-
венство
# » OC = k
# » OA + (1 − k)
# » OB, где k — любое число,
является необходимым и достаточным условием принадлежно-
сти различных точек A, B, C одной прямой.
2.434. На диагоналях AC и CE правильного шестиуголь-
ника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, такие,
что AM : AC = CN : CE = l. Известно, что точки B, M и N
лежат на одной прямой. Найдите l.
2.435. Пусть H — точка пересечения высот треугольни-
ка ABC, O — центр описанной окружности. Докажите, что
# » OH =
# » OA +
# » OB +
# » OC.
2.436. Используя результат предыдущей задачи, докажите,
что центр описанной окружности, точка пересечения медиан и
точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника лежат на
одной прямой (прямая Эйлера).
2.437. На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, рав-
ным a, расположена точка K, причем AK = BC. Пусть P —
середина BK, M — середина AC. Найдите угол APM.
114 8 класс
2.438. Найдите координаты точки, лежащей на прямой 3x+
+ 5y = 0 и равноудаленной от точек A(−5; −1) и B(7;7).
2.439. Даны три вектора #»a ,
#»b и
#»c . Докажите, что вектор #»c
перпендикулярен вектору (
#»b ·
#»c )
#»a − (
#»a ·
#»c )
#»b .
2.440. Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле-
лограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
2.441. Стороны треугольника равны a, b и c. Найдите меди-
ану треугольника, проведенную к стороне, равной a.
2.442. На стороне BC треугольника ABC взята точка M,
причем BM : MC = 3 : 2. Известно, что BC = 15, AC =
= 10, AB = 8. Выразите вектор # » AM через векторы
# » AB и
# » AC и
найдите длину отрезка AM.
2.443. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD,
а точка M лежит на диагонали AC, причем AM : MC =
= 3 : 1. Докажите с помощью скалярного произведения векто-
ров, что ∠KMD = 90◦
.
2.444. На сторонах AB и AC треугольника ABC во внеш-
нюю сторону построены квадраты AMNB и CKLA. Докажите
с помощью скалярного произведения векторов, что медиана AP
треугольника ABC перпендикулярна прямой ML.
2.445. Пусть A, B, C, D — произвольные точки. Докажите,
что
# » AB ·
# » CD +
# » BC ·
# » AD +
# » CA ·
# » BD = 0.
2.446. С помощью скалярного произведения векторов дока-
жите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
2.447. Пусть O — центр описанной окружности треугольни-
ка ABC, а точка H такова, что
# » OH =
# » OA +
# » OB +
# » OC.
Докажите, что H — точка пересечения высот треугольни-
ка ABC.
2.448. (Теорема Стюарта.) Точка D лежит на стороне AB
треугольника ABC. Докажите с помощью скалярного произве-
дения векторов, что
AB · CD2 = AD · CB2 + BD · CA2 − AD · BD · AB.
§ 2.8. Площадь 115
Задачи третьего уровня
2.449. Пусть O — центр правильного многоугольника
A1A2A3 ... An, X — произвольная точка плоскости. Докажите,
что:
а) # » OA1 + ... +
# » OAn =
#»0 ;
б) # » XA1 + ... +
# » XAn = n
# » XO.
2.450. Какую линию описывает середина отрезка между
двумя пешеходами, равномерно идущими по прямым дорогам?
2.451. Четыре окружности радиуса R пересекаются по три
в точках M и N, и по две в точках A, B, C и D. Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
2.452. Пусть a, b, g — углы треугольника. Докажите, что:
а) cos a + cos b + cos g 6
3
2
;
б) cos 2a + cos 2b + cos 2g > −
3
2
.
Когда достигаются равенства?


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (21.03.2016)
Просмотров: | Теги: Гордин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar