Тема №5833 Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 4) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

Задачи первого уровня
2.453. Площадь прямоугольника равна 24. Найдите пло-
щадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон пря-
моугольника.
2.4540
. Средняя линия треугольника разбивает его на тре-
угольник и четырехугольник. Какую часть составляет площадь
полученного треугольника от площади исходного?
2.455. Точка M расположена на стороне BC параллело-
грамма ABCD. Докажите, что площадь треугольника AMD
равна половине площади параллелограмма.
2.4560
. Докажите, что медиана разбивает треугольник на
два равновеликих треугольника.
2.457. Точки, делящие сторону треугольника на n равных
частей, соединены отрезками с противоположной вершиной. До-
кажите, что при этом треугольник также разделился на n рав-
новеликих частей.
2.4580
. Пусть M — точка на стороне AB треугольника ABC,
причем AM : MB = m : n. Докажите, что площадь треугольни-
ка CAM относится к площади треугольника CBM как m : n.
2.459. Докажите, что диагонали разбивают параллело-
грамм на четыре равновеликих треугольника.
2.460. Точки M и N — соответственно середины противо-
положных сторон AB и CD параллелограмма ABCD, площадь
которого равна 1. Найдите площадь четырехугольника, образо-
ванного пересечениями прямых AN, BN, CM и DM.
2.4610
. Докажите, что площадь выпуклого четырехуголь-
ника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна поло-
вине произведения диагоналей.
2.462. Площадь трапеции, основания которой относятся
как 3 : 2, равна 35. Найдите площади треугольников, на которые
трапеция разбивается диагональю.
2.4630
. На сторонах AB и AC треугольника ABC, площадь
которого равна 50, взяты соответственно точки M и K так,
что AM : MB = 1 : 5, а AK : KC = 3 : 2. Найдите площадь
треугольника AMK.
2.464. Точки M и N расположены на стороне BC
118 8 класс
треугольника ABC, а точка K — на стороне AC, причем
BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4.
Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите
площадь четырехугольника AMNK.
2.465. Вершины одного квадрата расположены на сторонах
другого и делят эти стороны в отношении 1 : 2, считая по часо-
вой стрелке. Найдите отношение площадей квадратов.
2.466. Площадь треугольника ABC равна 1. Точки M и N —
середины сторон AB и AC, а точка K лежит на стороне BC.
Найдите площадь треугольника KMN.
2.467. Прямая, проведенная через вершину C трапеции
ABCD параллельно диагонали BD, пересекает продолжение
основания AD в точке M. Докажите, что треугольник ACM
равновелик трапеции ABCD.
2.468. Найдите площадь ромба со стороной, равной 8, и ост-
рым углом 30◦
.
2.469. Основания равнобокой трапеции равны a и b (a > b),
острый угол равен 45◦
. Найдите площадь трапеции.
2.470. Проекция диагонали равнобокой трапеции на ее боль-
шее основание равна a, боковая сторона равна b. Найдите
площадь трапеции, если угол при ее меньшем основании ра-
вен 150◦
.
2.471. Медианы BM и CN треугольника ABC пересека-
ются в точке K. Найдите площадь треугольника BKN, если
площадь треугольника ABC равна 24.
2.4720
. Докажите, что медианы треугольника делят его на
шесть равновеликих частей.
2.473. Медианы BM и CN треугольника ABC пересекают-
ся в точке K. Докажите, что четырехугольник AMKN равно-
велик треугольнику BKC.
2.474. Диагонали разбивают трапецию на четыре треуголь-
ника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сто-
ронам трапеции, равновелики.
2.475. Диагонали четырехугольника разбивают его на че-
тыре треугольника. Известно, что треугольники, прилежа-
щие к двум противоположным сторонам четырехугольника,
§ 2.8. Площадь 119
равновелики. Докажите, что данный четырехугольник — тра-
пеция или параллелограмм.
Задачи второго уровня
2.476. Точка внутри параллелограмма соединена со всеми
его вершинами. Докажите, что суммы площадей треугольников,
прилежащих к противоположным сторонам параллелограмма,
равны между собой.
2.477. Докажите, что если диагональ какого-нибудь четы-
рехугольника делит другую диагональ пополам, то она разби-
вает этот четырехугольник на две равновеликие части.
2.478. Середины сторон выпуклого четырехугольника по-
следовательно соединены отрезками. Докажите, что площадь
полученного четырехугольника вдвое меньше площади ис-
ходного.
2.479. Боковые стороны трапеции лежат на перпендикуляр-
ных прямых. Найдите площадь четырехугольника с вершинами
в серединах диагоналей и серединах оснований, если боковые
стороны равны a и b.
2.4800
. Точки M и N принадлежат соответственно сторо-
нам AB и AC треугольника ABC или их продолжениям, при-
чем AM : AB = m : n, AN : AC = p : q. Докажите, что
SAMN : SABC =
m
n
·
p
q
.
2.481. Стороны треугольника площади 1 разделены в отно-
шении 3 : 1 по часовой стрелке. Найдите площадь треугольника
с вершинами в точках деления.
2.482. На продолжениях сторон AB, BC, CD и DA выпук-
лого четырехугольника ABCD соответственно за точки B, C,
D и A отложены отрезки BB1, CC1, DD1 и AA1, равные этим
сторонам. Найдите площадь четырехугольника A1B1C1D1, если
площадь четырехугольника ABCD равна s.
2.483. Данный параллелограмм разделите на три равнове-
ликие части прямыми, выходящими из одной вершины.
2.484. Отрезки, соединяющие середины противоположных
сторон выпуклого четырехугольника, взаимно перпендикуляр-
ны и равны 2 и 7. Найдите площадь четырехугольника.
120 8 класс
2.485. Отрезки, соединяющие середины противоположных
сторон выпуклого четырехугольника, равны между собой. Най-
дите площадь четырехугольника, если его диагонали равны
8 и 12.
2.486. Докажите, что сумма расстояний от произвольной
точки внутри равностороннего треугольника до его сторон все-
гда одна и та же.
2.487. Докажите, что сумма расстояний от произвольной
точки на основании равнобедренного треугольника до его бо-
ковых сторон всегда одна и та же.
2.488. Стороны AB и AC треугольника ABC равны соот-
ветственно a и b. На медиане, проведенной к стороне BC, взята
точка M. Сумма расстояний от этой точки до прямых AB и AC
равна c. Найдите эти расстояния.
2.4890
. Докажите, что площадь треугольника равна про-
изведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной
окружности.
2.490. Докажите теорему Пифагора, используя результат
предыдущей задачи.
2.491. Докажите, что площадь прямоугольного треугольни-
ка равна произведению отрезков, на которые гипотенуза делит-
ся точкой касания со вписанной окружностью.
2.492. Окружность с центром на гипотенузе прямоугольно-
го треугольника касается катетов. Найдите радиус окружности,
если катеты равны a и b.
2.4930
. Окружность касается стороны треугольника, рав-
ной a, и продолжения двух других сторон. Докажите, что ради-
ус окружности равен площади треугольника, деленной на раз-
ность между полупериметром и стороной a.
2.494. Найдите площадь прямоугольного треугольника с ги-
потенузой, равной c, и острым углом 15◦
.
2.495. Точки K, L, M и N — середины сторон соответствен-
но AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD, площадь кото-
рого равна 1. Найдите площадь параллелограмма, образованно-
го пересечениями прямых AL, BM, CN и DK.
2.496. Произвольный четырехугольник разделен диагона-
лями на четыре треугольника; площади трех из них равны 10,
§ 2.8. Площадь 121
20 и 30, и каждая меньше площади четвертого треугольника.
Найдите площадь данного четырехугольника.
2.497. Боковая сторона AB и основание BC трапеции
ABCD вдвое меньше ее основания AD. Найдите площадь
трапеции, если AC = a, CD = b.
2.498. В треугольнике ABC угол A равен 45◦
, а угол C ост-
рый. Из середины стороны BC опущен перпендикуляр NM на
сторону AC. Площади треугольников NMC и ABC относятся
как 1 : 8. Найдите углы треугольника ABC.
2.499. Каждая сторона треугольника больше 100. Может ли
его площадь быть меньше 0,01?
2.500. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое ме-
сто таких точек M, для которых:
а) треугольники AMB и ABC равновелики;
б) треугольники AMB и AMC равновелики;
в) треугольники AMB, AMC и BMC равновелики.
2.501. Точки K и L лежат на стороне BC выпуклого че-
тырехугольника ABCD, а точки M и N на стороне AD, при-
чем BK = KL = LC и AN = NM = MD. Докажите, что
площадь треугольника KNL равна полусумме площадей тре-
угольников ABK и CML.
2.502. Две прямые делят каждую из двух противоположных
сторон выпуклого четырехугольника на три равные части и не
пересекаются внутри четырехугольника. Докажите, что между
этими прямыми заключена треть площади четырехугольника.
2.503. В выпуклом четырехугольнике ABCD, площадь ко-
торого равна 25, проведены диагонали. Известно, что площадь
треугольника ABC вдвое больше площади треугольника ABD,
а площадь треугольника BCD втрое больше площади треуголь-
ника ADC. Найдите площади треугольников ABC, ABD, ACD
и BCD.
2.504. Отрезок, соединяющий середины двух противопо-
ложных сторон выпуклого четырехугольника, разделил его на
два четырехугольника, имеющих равные площади. Докажите,
что эти стороны параллельны.
2.505. Пусть P — середина стороны AB выпуклого четырех-
угольника ABCD. Докажите, что если площадь треугольника
122 8 класс
PDC равна половине площади четырехугольника ABCD, то
стороны BC и AD параллельны.
2.506. Середина каждой стороны параллелограмма соеди-
нена с концами противоположной стороны. Найдите площадь
восьмиугольника, образованного пересечениями проведенных
отрезков, если площадь параллелограмма равна 1.
Задачи третьего уровня
2.507. В квадрате со стороной 1 произвольно берут 101 точ-
ку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сто-
ронах), причем никакие 3 из них не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точ-
ках, площадь которого не больше 1
100.
2.508. Дан угол XAY и точка O внутри него. Проведите че-
рез точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник
наименьшей площади.
2.509. Найдите геометрическое место точек X, лежащих
внутри трапеции ABCD (BC k AD) или на ее сторонах, если
известно, что SXAB = SXCD.
2.510. Пусть M и N — середины противоположных сто-
рон BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD, отрез-
ки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN —
в точке Q. Докажите, что сумма площадей треугольников APB
и CQD равна площади четырехугольника MPNQ.
2.511. Из середины каждой стороны остроугольного тре-
угольника опущены перпендикуляры на две другие стороны.
Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника
равна половине площади треугольника.
2.512. Три прямые, параллельные сторонам треугольни-
ка ABC и проходящие через одну точку, отсекают от тре-
угольника ABC трапеции. Три диагонали этих трапеций, не
имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из
которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма пло-
щадей трех из этих треугольников, прилегающих к сторонам
треугольника ABC, равна площади четвертого.
2.513. На каждой стороне параллелограмма взято по точке.
Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна
Задачи первого уровня
2.514. Докажите, что отношение периметров подобных тре-
угольников равно коэффициенту подобия.
2.515. Докажите, что высота прямоугольного треугольника,
проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на
два подобных треугольника.
2.5160
. Докажите, что прямая, параллельная стороне дан-
ного треугольника и пересекающая две другие его стороны (или
их продолжения), образует с этими сторонами треугольник, по-
добный данному.
2.5170
. Сторона AB треугольника ABC разделена на три
равные части и через точки деления проведены прямые, парал-
лельные стороне BC. Найдите отрезки этих прямых, заключен-
ные внутри треугольника, если BC = 12.
2.518. На стороне AC треугольника ABC отложен отре-
зок AM, равный третьей части стороны AB, а на стороне AB —
отрезок AN, равный третьей части стороны AC. Найдите MN,
если BC = 15.
2.519. Через точку L на стороне BC треугольника ABC по-
ведены прямые, параллельные сторонам AB и AC и пересека-
ющие эти стороны соответственно в точках K и M. Известно,
что BL : LC = 1 : 3, AB = 12 и AC = 18. Найдите стороны
четырехугольника AKLM.
2.5200
. Каждая из сторон AB и AC треугольника ABC раз-
делена соответственно точками M и N в отношении 2:3, считая
от точки A. Докажите, что MN k BC, и найдите MN, ес-
ли BC = 20.
2.5210
. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основания-
ми AD и BC пересекаются в точке O. Докажите, что треуголь-
ники AOD и COB подобны, и найдите коэффициент подобия,
если AD = a и BC = b.
2.522. Точка M — середина стороны BC параллелограм-
ма ABCD. Найдите отношение, в котором отрезок AM делит
диагональ BD.
2.523. Точка K лежит на диагонали BD параллелограм-
ма ABCD, причем BK : KD = 1 : 4. В каком отношении
прямая AK делит сторону BC?
§ 2.9. Подобные треугольники 127
2.524. Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на n
равных частей. Первая точка деления P соединена с верши-
ной B. Докажите, что прямая BP отсекает на диагонали AC
часть AQ, которая равна 1
n+1 всей диагонали.
2.525. Точка M лежит на боковой стороне AB трапеции
ABCD, причем AM : MB = 1 : 2. Прямая, проходящая че-
рез точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает
боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если AD = a
и BC = b.
2.5260
. Боковая сторона трапеции разделена на пять рав-
ных частей, и через третью точку деления (считая от конца
меньшего основания) проведена прямая, параллельная основа-
ниям трапеции. Найдите отрезок прямой, заключенный меж-
ду сторонами трапеции, если основания трапеции равны a и b
и a > b.
2.527. Основание треугольника равно 36. Прямая, парал-
лельная основанию, делит треугольник на две равновеликие ча-
сти. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между
сторонами треугольника.
2.528. Через точки, делящие сторону треугольника на три
равные части, проведены прямые, параллельные другой стороне
треугольника. Найдите площадь четырехугольника, заключен-
ного между этими прямыми, если площадь треугольника рав-
на 24.
2.529. Точка M лежит на боковой стороне AC равнобедрен-
ного треугольника ABC с основанием BC, причем BM = BC.
Найдите MC, если BC = 1 и AB = 2.
2.5300
. С помощью циркуля и линейки разделите данный
отрезок на n равных частей.
2.531. В треугольнике ABC точка K на медиане AM рас-
положена так, что AK : KM = 1 : 3. Найдите отношение, в
котором прямая, проходящая через точку K параллельно сто-
роне AC, делит сторону BC.
2.532. В прямоугольный треугольник с катетами, равными 6
и 8, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой
угол. Найдите сторону квадрата.
128 8 класс
2.533. Постройте прямоугольный треугольник по отноше-
нию его катетов и высоте, опущенной на гипотенузу.
2.534. Постройте прямоугольный треугольник по гипотену-
зе и отношению катетов.
2.5350
. Каждая из боковых сторон трапеции разделена на 5
равных частей. Пусть M и N — вторые точки деления на бо-
ковых сторонах, считая от концов меньшего основания. Найди-
те MN, если основания трапеции равны a и b, a > b.
2.5360
. Основания AD и BC трапеции ABCD равны соот-
ветственно a и b. Диагональ AC разделена на три равные части
и через ближайшую к A точку деления M проведена прямая,
параллельная основаниям. Найдите отрезок этой прямой, за-
ключенный между диагоналями.
2.5370
. На диагоналях AC и BD трапеции ABCD взяты
соответственно точки M и N, причем AM : MC = DN : NB =
= 1 : 4. Найдите MN, если основания AD и BC равны соответ-
ственно a и b (a > b).
2.538. Диагонали AC и BD выпуклого четырехугольни-
ка ABCD, площадь которого равна 28, пересекаются в точке O.
Через середины отрезков BO и DO проведены прямые, парал-
лельные диагонали AC. Найдите площадь части четырехуголь-
ника, заключенной между этими прямыми.
2.5390
. Докажите, что медиана AM треугольника ABC де-
лит пополам любой отрезок с концами на AB и AC, параллель-
ный стороне BC.
Задачи второго уровня
2.5400
. (Замечательное свойство трапеции.) Докажите,
что точка пересечения диагоналей, точка пересечения продол-
жений боковых сторон и середины оснований любой трапеции
лежат на одной прямой.
2.5410
. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапе-
ции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналя-
ми на три части. Докажите, что отрезки, прилегающие к боко-
вым сторонам, равны между собой.
2.5420
. Через точку пересечения диагоналей трапеции с ос-
нованиями a и b проведена прямая, параллельная основаниям.
§ 2.9. Подобные треугольники 129
Найдите отрезок этой прямой, заключенный между боковыми
сторонами трапеции.
2.543. Параллельно основаниям трапеции проведите пря-
мую, отрезок которой, заключенный внутри трапеции, делился
бы ее диагоналями на три равные части.
2.544. Непараллельные стороны трапеции продолжены до
взаимного пересечения и через полученную точку проведена
прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите длину от-
резка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей,
если длины оснований трапеции равны a и b.
2.545. а
0
) Даны отрезки a, b и c. Постройте такой отрезок x,
что x : a = b : c.
б) Даны отрезки a, b, c, d и e. Постройте отрезок, равный abc
de .
2.546. Дан угол и точка внутри него. Проведите через эту
точку прямую, отрезок которой, заключенный внутри данного
угла, делился бы данной точкой в заданном отношении.
2.547. Диагонали выпуклого четырехугольника равны 12
и 18 и пересекаются в точке O. Найдите стороны четырехуголь-
ника с вершинами в точках пересечения медиан треугольни-
ков AOB, BOC, COD и AOD.
2.5480
. AA1 и BB1 — высоты остроугольного треуголь-
ника ABC. Докажите, что треугольник AA1C подобен тре-
угольнику BB1C, а треугольник ABC подобен треугольнику
A1B1C.
2.549. В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1.
Найдите B1C1, если ∠A = 60◦ и BC = 6.
2.550. Пусть M и N — проекции вершины A параллелограм-
ма ABCD на прямые BC и CD соответственно. Докажите, что
треугольник MAN подобен треугольнику ABC.
2.551. Через середину M стороны BC параллелограм-
ма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена
прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите пло-
щадь четырехугольника OMCD.
2.552. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взя-
ты точки M и N так, что прямые MC и NC делят параллело-
грамм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD = d.
2.553. Дан выпуклый четырехугольник площади S. Внутри
130 8 класс
него выбирается точка и отображается симметрично относи-
тельно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового
четырехугольника. Найдите его площадь.
2.554. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, де-
лят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся тра-
пеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней
части, если площади крайних S1 и S2.
2.5550
. Площади треугольников, образованных отрезками
диагоналей трапеции и ее основаниями, равны S1 и S2. Найдите
площадь трапеции.
2.556. Площадь трапеции равна 27, основания 8 и 16. Най-
дите площади треугольников, на которые трапеция разделена
диагоналями.
2.557. Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий
угол. Стороны треугольника, заключающие этот угол, относят-
ся как m : n. Найдите отношение площади ромба к площади
треугольника.
2.558. Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC,
причем ∠MAB = ∠ACB. Найдите AM, если AB = c, BC = a,
AC = b.
2.559. В треугольник ABC вписан ромб DECF так, что вер-
шина E лежит на отрезке BC, вершина F лежит на отрезке AC
и вершина D лежит на отрезке AB. Найдите сторону ромба,
если BC = 12, AC = 6.
2.560. Каждая сторона треугольника разделена на три рав-
ные части. Рассмотрим шестиугольник с вершинами в точках
деления. Докажите, что три его диагонали, соединяющие про-
тивоположные вершины, пересекаются в одной точке.
2.561. Каждая сторона выпуклого четырехугольника разде-
лена на три равные части. Соответствующие точки деления на
противоположных сторонах соединены отрезками. Докажите,
что эти отрезки делят друг друга на три равные части.
2.5620
. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите
площадь треугольника, стороны которого равны медианам
треугольника ABC.
2.563. В равнобедренный треугольник вписана окружность.
Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки
§ 2.9. Подобные треугольники 131
длиной m и n, считая от вершины. К окружности проведены
три касательные, параллельные каждой из сторон треугольни-
ка. Найдите длины отрезков касательных, заключенных между
сторонами треугольника.
2.5640
. Точки K и M лежат на сторонах AB и BC треуголь-
ника ABC, причем AK : BK = 3 : 2, BM : MC = 3 : 1. Через
точку B проведена прямая l, параллельная AC. Прямая KM
пересекает прямую l в точке P, а прямую AC в точке N. Най-
дите BP и CN, если AC = a.
2.565. Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC
за точку C взята точка N так, что CN = AC. Точка K —
середина стороны AB. В каком отношении прямая KN делит
сторону BC?
2.566. Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC
за точку C взята точка N так, что CN = 3AC. Точка K лежит
на стороне AB, причем AK : KB = 1 : 3. В каком отношении
прямая KN делит сторону BC?
2.567. Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC
за точку C взята точка N так, что AC = 2CN. Точка M лежит
на стороне BC, причем BM : MC = 1 : 3. В каком отношении
прямая MN делит сторону AB?
2.568. Точки K и M лежат на сторонах соответственно AB
и BC треугольника ABC, причем BK : KA = 1 : 4, BM : MC =
= 3 : 2. Прямая MK пересекает продолжение стороны AC в
точке N. Найдите AC : CN.
2.5690
. Точки M и N лежат на сторонах соответственно AB
и AD параллелограмма ABCD, причем AM : MB = 1 : 2,
AN : ND = 3 : 2. Отрезки DM и CN пересекаются в точке K.
Найдите отношения DK : KM, CK : KN.
2.570. Точка P лежит на стороне AB треугольника ABC,
причем AP : PB = 1 : 2. Отрезок CP пересекает медиану AD в
точке M. Найдите отношения AM : MD, CM : MP.
2.5710
. Точки K и E лежат соответственно на сторонах BC
и AB треугольника ABC. Отрезки AK и CE пересекаются в
точке M. В каком отношении прямая BM делит сторону AC,
если BK : KC = 1 : 2, AE : EB = 2 : 3?
2.572. На медиане AD треугольника ABC взята точка M,
132 8 класс
причем AM : MD = 1 : 3. В каком отношении прямая BM
делит сторону AC?
2.5730
. Докажите, что биссектриса треугольника делит его
сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
2.574. Биссектриса внешнего угла A треугольника ABC
пересекает продолжение стороны BC и точке M. Докажите,
что BM : MC = AB : AC.
2.5750
. На стороне BC треугольника ABC взята точка D
так, что BD : AB = DC : AC. Докажите, что AD — биссектриса
треугольника ABC.
2.576. В треугольнике ABC известно, что AB = c, BC =
= a, AC = b. В каком отношении центр вписанной окружности
треугольника делит биссектрису треугольника, проведенную из
вершины C?
2.577. В треугольнике ABC сторона AC равна b, сторо-
на AB равна c, а биссектриса A пересекается со стороной BC в
точке D, такой, что DA = DB. Найдите сторону BC.
2.578. Прямая, параллельная основаниям трапеции, делит
ее на две трапеции, площади которых относятся как 1 : 2. Най-
дите отрезок этой прямой, заключенный внутри трапеции, если
основания равны a и b.
2.5790
. Около окружности описана равнобедренная трапе-
ция. Боковая сторона трапеции равна a, отрезок, соединяющий
точки касания боковых сторон с окружностью, равен b. Найдите
диаметр окружности.
2.580. Периметр треугольника ABC равен 8. В треуголь-
ник вписана окружность и к ней проведена касательная, парал-
лельная стороне AB. Отрезок этой касательной, заключенный
между сторонами AC и CB, равен 1. Найдите сторону AB.
2.581. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника,
проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые
разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — тре-
угольники с площадями S1, S2, S3. Найдите площадь данного
треугольника.
2.582. Каждая сторона треугольника разделена на три рав-
ные части. Точки деления служат вершинами двух треугольни-
ков, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь
§ 2.9. Подобные треугольники 133
этого шестиугольника, если площадь данного треугольника
равна S.
2.583. В трапеции ABCD даны основания AD = 12 и BC =
= 8. На продолжении стороны BC выбрана такая точка M,
что CM = 2,4. В каком отношении прямая AM делит площадь
трапеции ABCD?
2.5840
. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взя-
ты соответственно точки C1, A1 и B1 так, что
AC1
C1B
=
BA1
A1C
=
CB1
B1A
= 2.
Найдите площадь треугольника, вершины которого — попарные
пересечения отрезков AA1, BB1, CC1, если площадь треуголь-
ника ABC равна 1.
2.585. На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограм-
ма ABCD взяты точки соответственно M, N, K и L, при-
чем AM : MB = CK : KD = 1 : 2, а BN : NC = DL : LA =
= 1 : 3. Найдите площадь четырехугольника, вершины которо-
го — пересечения отрезков AN, BK, CL и DM, если площадь
параллелограмма ABCD равна 1.
2.586. Через точку K, данную на стороне AB треугольни-
ка ABC, проведите прямую так, чтобы она разделила треуголь-
ник ABC на две равновеликие части.
2.587. В треугольнике со сторонами a, b и c проведены
биссектрисы, точки пересечения которых с противолежащи-
ми сторонами являются вершинами второго треугольника.
Докажите, что отношение площадей этих треугольников рав-
но 2abc
(a+b)(a+c)(b+c)
.
2.588. В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE
перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что пло-
щадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треуголь-
ника ABC.
2.589. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что
площадь треугольника ODC (O — точка пересечения диаго-
налей) есть среднее пропорциональное между площадями тре-
угольников BOC и AOD. Докажите, что ABCD — трапеция
или параллелограмм.
134 8 класс
2.590. Даны две параллельные прямые l и l1. С помощью
одной линейки разделите пополам отрезок, расположенный на
одной из них.
2.591. Даны две параллельные прямые l и l1. С помощью
одной линейки проведите через данную точку M прямую, па-
раллельную прямым l и l1.
Задачи третьего уровня
2.592. Равны ли треугольники по двум сторонам и трем
углам?
2.593. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пе-
ресекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из тре-
угольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырехуголь-
ника не превосходит 4, AD = 3. Найдите сторону BC.
2.594. На сторонах AB, AC и BC правильного треугольни-
ка ABC расположены точки соответственно C1, B1 и A1, причем
треугольник A1B1C1 является правильным. Отрезок BB1 пе-
ресекает сторону C1A1 в точке O, причем BO
OB1
= k. Найдите
отношение площади треугольника ABC к площади треугольни-
ка A1B1C1

Задачи первого уровня
2.595. Точки A, B и C делят окружность на три дуги, уг-
ловые величины которых относятся как 1 : 2 : 3. Найдите углы
треугольника ABC.
2.596. Точки A, B и C расположены на окружности с цен-
тром O. Хорды AB, BC и AC соответственно видны из точки O
под углами: а) 110◦
, 120◦ и 130◦
; б) 150◦
, 40◦ и 110◦
. Найдите
углы треугольника ABC.
2.597. Окружность описана около равностороннего тре-
угольника ABC. На дуге BC, не содержащей точку A, распо-
ложена точка M, делящая эту дугу в отношении 1 : 2. Найдите
углы треугольника ABM.
2.598. Продолжение высоты CD, опущенной из вершины C
прямого угла прямоугольного треугольника ABC, делит ду-
гу AB описанной окружности на дуги, одна из которых на 40◦
больше другой. Найдите острые углы треугольника.
2.599. Окружность радиуса 4 делится точками A, B и C
на дуги, угловые величины которых относятся как 1 : 2 : 3.
Найдите стороны треугольника ABC.
2.600. Точки A, B, C и D последовательно расположены на
§ 2.10. Вписанный угол 137
окружности. Известно, что угловые величины меньших дуг AB,
BC, CD и DA относятся как 1 : 3 : 5 : 6. Найдите углы четы-
рехугольника ABCD.
2.6010
. Докажите, что равные вписанные углы одной
окружности опираются на равные хорды. Верно ли обратное?
2.602. Точки A, B и C расположены на окружности. Биссек-
триса угла BAC пересекает окружность в точке M. Докажите,
что треугольник BMC — равнобедренный.
2.6030
. Докажите, что трапеция, вписанная в окружность,—
равнобокая.
2.604. Найдите углы трапеции, если известно, что ее мень-
шее основание равно одной из боковых сторон, а вершины лежат
на окружности с центром на большей стороне.
2.6050
. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в
окружность, сумма противоположных углов равна 180◦
.
2.6060
. Докажите, что угол между касательной и хордой,
проведенной через точку касания, равен половине угловой ве-
личины дуги, заключенной между ними.
2.607. Окружность касается сторон угла с вершиной A в
точках B и C. Найдите угловые величины дуг, на которые
окружность делится точками B и C, если ∠BAC = 70◦
.
2.6080
. Угловые величины противоположных дуг, высекае-
мых на окружности пересекающимися хордами, равны a и b.
Найдите угол между хордами.
2.6090
. Угловые величины дуг, заключенных между двумя
хордами, продолжения которых пересекаются вне круга, рав-
ны a и b (a > b). Под каким углом пересекаются продолжения
хорд?
Задачи второго уровня
2.610. Рассмотрим четыре сегмента, отсекаемых от окруж-
ности вписанным в нее четырехугольником и расположенных
вне этого четырехугольника. Найдите сумму углов, вписанных
в эти сегменты.
2.611. Трапеция с высотой h вписана в окружность. Боковая
сторона видна из центра окружности под углом 120◦
. Найдите
среднюю линию трапеции.
138 8 класс
2.612. В круге провели три хорды AB, BC, CD и отмети-
ли их середины M, N, K. Докажите, что ∠BMN = ∠NKC
или ∠BMN + ∠NKC = 180◦
.
2.6130
. Пусть AA1 и BB1 — высоты остроугольного тре-
угольника ABC. Докажите, что ∠CA1B1 = ∠CAB.
2.614. Из точки P, расположенной внутри острого уг-
ла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на прямые AB
и AC. Докажите, что ∠C1AP = ∠C1B1P.
2.615. Внутри угла с вершиной O взята некоторая точка M.
Луч OM образует со сторонами угла углы, один из которого
больше другого на 10◦
; A и B — проекции точки M на стороны
угла. Найдите угол между прямыми AB и OM.
2.616. Точка M симметрична вершине C прямоугольного
треугольника ABC относительно прямой, проходящей через
вершину B прямого угла и середину гипотенузы AC. Найдите
угол AMB, если известно, что ∠CAB = a (a < 45◦
).
2.617. Три прямые, проходящие через точку O, образуют
друг с другом углы в 60◦
. Докажите, что проекции произволь-
ной точки, отличной от O, на эти прямые являются вершинами
правильного треугольника.
2.618. Даны диаметр AB, перпендикулярная ему хорда CD
и точка M окружности, отличная от точек C и D. Докажите,
что лучи MA и MB делят пополам углы, образованные пересе-
чением прямых MC и MD.
2.619. Две окружности пересекаются в точках A и B. Про-
должения хорд AC и BD первой окружности пересекают вто-
рую окружность в точках E и F. Докажите, что прямые CD
и EF параллельны.
2.620. Точки A, B, C, D лежат на окружности. Точки M,
N, K, L — середины дуг AB, BC, CD, DA соответственно. До-
кажите, что MK ⊥ NL.
2.621. На одной из сторон острого угла расположен отре-
зок AB. Рассмотрим всевозможные углы, под которыми отре-
зок AB виден из точек, лежащих на второй стороне угла. До-
кажите, что вершина наибольшего из этих углов — это точка
касания окружности, проходящей через точки A и B, со второй
стороной угла.
§ 2.10. Вписанный угол 139
2.622. Продолжения противоположных сторон AB и CD
вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке M,
а сторон AD и BC — в точке N. Докажите, что биссектрисы
углов AMD и DNC взаимно перпендикулярны.
2.6230
. Прямая, проходящая через точку A и центр O впи-
санной окружности треугольника ABC, вторично пересекает
описанную окружность этого треугольника в точке M. Дока-
жите, что треугольники BOM и COM равнобедренные.
2.624. Продолжения биссектрис остроугольного треуголь-
ника ABC пересекают описанную окружность этого треуголь-
ника в точках A1, B1, C1. Докажите, что высоты треугольни-
ка A1B1C1 лежат на прямых AA1, BB1, CC1.
2.625. К двум окружностям, пересекающимся в точках K
и M, проведена общая касательная. Докажите, что если A и B —
точки касания, то ∠AMB + ∠AKB = 180◦
.
2.626. Две прямые, касающиеся данной окружности в точ-
ках A и B, пересекаются в точке C. Докажите, что центр окруж-
ности, вписанной в треугольник ABC, лежит на данной окруж-
ности.
2.627. Через вершину C прямого угла прямоугольного тре-
угольника ABC проведена касательная к описанной окружно-
сти этого треугольника. Расстояния от вершин A и B до каса-
тельной равны a и b. Найдите катеты треугольника ABC.
2.628. Касательная в точке A к описанной окружности тре-
угольника ABC пересекает прямую BC в точке E; AD — бис-
сектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.
2.629. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через
точку K первой окружности проводятся прямые KA и KB, пе-
ресекающие вторую окружность в точках P и Q. Докажите, что
хорда PQ второй окружности перпендикулярна диаметру KM
первой окружности.
2.6300
. Диагонали AC и BD вписанного четырехугольни-
ка ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке M.
Докажите, что прямая, проходящая через точку M и середину
стороны AD, перпендикулярна BC.
2.631. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD
и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OE = 1,
140 8 класс
а вершина C лежит на окружности, проходящей через точки E,
D и O. Найдите стороны и углы треугольника EDO.
2.6320
. Докажите, что около четырехугольника, сумма
противоположных углов которого равна 180◦
, можно описать
окружность.
2.633. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через
точку B проводится прямая, пересекающая окружности в точ-
ках C и D, а затем через точки C и D проводятся касательные
к этим окружностям. Докажите, что точки A, C, D и точка P
пересечения касательных лежат на одной окружности.
2.6340
. Найдите геометрическое место точек, из которых
данный отрезок виден под данным углом.
2.635. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно,
что ∠BCD = 80◦
, ∠ACB = 50◦ и ∠ABD = 30◦
. Найдите
∠ADB.
2.636. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно,
что ∠ACB = 25◦
, ∠ACD = 40◦ и ∠BAD = 115◦
. Найди-
те ∠ADB.
2.637. Даны четыре окружности, каждая из которых внеш-
ним образом касается двух из трех остальных. Докажите, что
через точки касания можно провести окружность.
2.638. Постройте треугольник по стороне, противолежаще-
му углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
2.639. Постройте треугольник по стороне, противолежаще-
му углу и радиусу вписанной окружности.
2.640. Точка E лежит на стороне AC правильного треуголь-
ника ABC; точка K — середина отрезка AE. Прямая, прохо-
дящая через точку E перпендикулярно прямой AB, и прямая,
проходящая через точку C перпендикулярно прямой BC, пере-
секаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD.
2.641. Пусть O — центр окружности, описанной около тре-
угольника ABC, ∠AOC = 60◦
. Найдите угол AMC, где M —
центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
2.642. Угол при вершине A треугольника ABC равен 60◦
.
Биссектрисы BD и CE пересекаются в точке M. Докажите,
что MD = ME.
2.643. A и B — фиксированные точки окружности, C —
§ 2.10. Вписанный угол 141
произвольная точка окружности. Найдите геометрическое ме-
сто точек пересечения: а) биссектрис; б) высот треугольника
ABC.
2.6440
. Докажите, что точка, симметричная точке пересе-
чения высот (ортоцентру) треугольника относительно стороны,
лежит на описанной окружности этого треугольника.
2.6450
. Пусть O — центр описанной окружности треуголь-
ника ABC, AH — высота. Докажите, что ∠BAH = ∠OAC.
2.646. Пусть AA1 и BB1 — высоты остроугольного треуголь-
ника ABC, O — центр его описанной окружности. Докажите,
что CO ⊥ A1B1.
2.647. В трапеции ABCD (AD k BC) угол ADB в два раза
меньше угла ACB, BC = AC = 5, AD = 6. Найдите площадь
трапеции.
2.648. Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаим-
но перпендикулярны, вписан в окружность. Перпендикуляры,
опущенные на сторону AD из вершин B и C, пересекают диа-
гонали AC и BD в точках E и F соответственно. Известно,
что BC = 1. Найдите EF.
2.649. Сторона AD вписанного четырехугольника ABCD
является диаметром описанной окружности, M — точка пере-
сечения диагоналей, P — проекция точки M на AD. Докажите,
что M — центр окружности, вписанной в треугольник BCP.
2.650. Вершины чертежного угольника скользят по сторо-
нам прямого угла. Найдите траекторию вершины прямого угла
угольника.
2.6510
. В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны.
Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол меж-
ду медианой и высотой, проведенными из вершины C, тогда и
только тогда, когда ∠C = 90◦
.
2.652. Постройте треугольник по точкам пересечения с опи-
санной окружностью продолжений его высоты, медианы и бис-
сектрисы, проведенных из одной вершины.
2.653. Треугольник с вершинами в основаниях высот тре-
угольника ABC называется ортотреугольником треугольни-
ка ABC. Докажите, что высоты остроугольного треугольни-
ка ABC являются биссектрисами его ортотреугольника.
142 8 класс
2.654. Отрезки, соединяющие основания высот остроуголь-
ного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с ги-
потенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной
около исходного треугольника.
2.655. Расстояние от точки пересечения высот треугольни-
ка ABC до вершины C равно стороне AB. Найдите угол ACB.
2.656. Расстояние от точки пересечения высот треугольни-
ка ABC до вершины C равно радиусу описанной окружности
этого треугольника. Найдите угол ACB.
2.657. Из точки A проведены к окружности две касатель-
ные AP и AQ (P и Q — точки касания) и секущая AKL (точка K
между A и L). Пусть M — середина отрезка KL. Докажите,
что ∠AMP = ∠AMQ.
2.6580
. Три окружности равных радиусов проходят через
точку M и попарно пересекаются в трех других точках A, B
и C. Докажите, что точки A, B и C лежат на окружности того
же радиуса, а M — точка пересечения высот треугольника ABC

Задачи третьего уровня
2.659. Окружность S2 проходит через центр O окружно-
сти S1 и пересекает ее в точках A и B. Через точку A проведена
касательная к окружности S2; D — вторая точка пересечения
этой касательной с окружностью S1. Докажите, что AD = AB.
2.660. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Че-
рез точку A проведена касательная AB к окружности S1, а через
точку P — прямая CD, параллельная прямой AB (точки B и C
лежат на S2, точка D — на S1). Докажите, что ABCD — парал-
лелограмм.
2.661. В треугольнике ABC стороны CB и CA равны соот-
ветственно a и b. Биссектриса угла ACB пересекает сторону AB
в точке K, а описанную около треугольника ABC окружность —
в точке M. Окружность, описанная около треугольника AMK,
вторично пересекает прямую CA в точке P. Найдите AP.
2.662. Две окружности касаются внутренним образом в точ-
ке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся
меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссек-
триса угла AMB.
§ 2.10. Вписанный угол 143
2.663. Точки касания вписанной в данный треугольник
окружности соединены отрезками и в полученном треуголь-
нике проведены высоты. Докажите, что прямые, соединяющие
основания этих высот, параллельны сторонам исходного тре-
угольника.
2.664. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше
диагонали BD. Точка M на диагонали AC такова, что около
четырехугольника BCDM можно описать окружность. Дока-
жите, что BD — общая касательная окружностей, описанных
около треугольников ABM и ADM.
2.665. Докажите, что основания перпендикуляров, опущен-
ных из произвольной точки описанной окружности на стороны
треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой
(прямая Симсона).
2.666. Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A
и C. Окружность S2 касается прямой AC в точке C и прохо-
дит через точку B. Окружность S1 она пересекает в точке M.
Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.
2.667. К двум окружностям различного радиуса проведены
общие внешние касательные AD и BC. Докажите, что четырех-
угольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда окруж-
ности касаются.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (21.03.2016)
Просмотров: | Теги: Гордин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar