Тема №5834 Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 5) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии 7-9 класс Гордин (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

Задачи первого уровня
3.1. Диагонали AC и BD вписанного в окружность четырех-
угольника ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в
точке M. Известно, что AM = 3, BM = 4 и CM = 6. Найди-
те CD.
3.2. Хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно,
что AB = CD = 12, ∠APC = 60◦ и AC = 2 · BD. Найдите
стороны треугольника APC.
3.3. Через точку M проведены две прямые. Одна из них ка-
сается некоторой окружности в точке A, а вторая пересекает
эту окружность в точках B и C, причем BC = 7 и BM = 9.
Найдите AM.
3.4. Радиусы двух концентрических окружностей относятся
как 1 : 2. Хорда большей окружности делится меньшей окруж-
ностью на три равные части. Найдите отношение этой хорды к
диаметру большей окружности.
3.5. Дана точка P, удаленная на расстояние, равное 7, от
центра окружности, радиус которой равен 11. Через точку P
проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые де-
лится хорда точкой P.
§ 3.1. Пропорциональные отрезки в круге 147
3.6. Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали ко-
торого пересекаются в точке K, известно, что AB = a, BK = b,
AK = c, CD = d. Найдите AC.
3.70
. Точка M лежит внутри окружности радиуса R и уда-
лена от центра на расстояние d. Докажите, что для любой хор-
ды AB этой окружности, проходящей через точку M, произве-
дение AM · BM одно и то же. Чему оно равно?
3.80
. Точка M лежит вне окружности радиуса R и удалена
от центра на расстояние d. Докажите, что для любой прямой,
проходящей через точку M и пересекающей окружность в точ-
ках A и B, произведение AM · BM одно и то же. Чему оно
равно?
3.9. Из точки A проведены два луча, пересекающие данную
окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E.
Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.
3.10. Из внешней точки проведены к окружности секущая
длиной 12 и касательная, равная 2
3
внутреннего отрезка секу-
щей. Найдите длину касательной.
3.11. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность,
которая касается стороны CD в точке E. Найдите хорду, со-
единяющую точки, в которых окружность пересекается с пря-
мой AE.
3.12. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом
при вершине C катет BC равен a, радиус вписанной окружности
равен r. Вписанная окружность касается катета AC в точке D.
Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с
прямой BD.
3.13. Из точки A, лежащей вне окружности, проведены к
окружности касательная и секущая. Расстояние от точки A до
точки касания равно 16, а расстояние от точки A до одной из
точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите
радиус окружности, если расстояние от центра окружности до
секущей равно 5.
Задачи второго уровня
3.14. Диагональ AC вписанного в окружность четырех-
угольника ABCD является биссектрисой угла BAD. Докажите,
148 9 класс
что прямая BD отсекает от треугольника ABC подобный ему
треугольник.
3.15. Пересекающиеся хорды окружности делятся точкой
пересечения в одном и том же отношении. Докажите, что эти
хорды равны между собой.
3.16. Каждая из двух равных пересекающихся хорд окруж-
ности делится точкой пересечения на два отрезка. Докажите,
что отрезки первой хорды соответственно равны отрезкам
второй.
3.17. В круге проведены две хорды AB и CD, пересе-
кающиеся в точке M; K — точка пересечения биссектрисы
угла BMD с хордой BD. Найдите отрезки BK и KD, ес-
ли BD = 3, а площади треугольников CMB и AMD относятся
как 1 : 4.
3.180
. Две окружности пересекаются в точках A и B. Про-
ведены хорды AC и AD этих окружностей так, что хорда од-
ной окружности касается другой окружности. Найдите AB, ес-
ли CB = a, DB = b.
3.19. Окружность проходит через вершины B и C треуголь-
ника ABC и пересекает его стороны AB и AC в точках M и N
соответственно. Известно, что BC = 3 · MN и AB = 12. Найди-
те AN.
3.200
. Докажите, что прямая, проходящая через точки пере-
сечения двух окружностей, делит пополам общую касательную
к ним.
3.21. В угол вписаны две окружности; одна из них касается
сторон угла в точках K1 и K2, а другая — в точках L1 и L2. До-
кажите, что прямая K1L2 высекает на этих двух окружностях
равные хорды.
3.22. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диа-
гональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается
с диагональю BD в точке K. Найдите KC, если BC = 4 и
AK = 6.
3.23. Продолжение медианы треугольника ABC, проведен-
ной из вершины A, пересекает описанную окружность в точ-
ке D. Найдите BC, если AC = DC = 1.
3.24. Окружность делит каждую из сторон треугольника
§ 3.1. Пропорциональные отрезки в круге 149
на три равные части. Докажите, что этот треугольник пра-
вильный.
3.25. Сторона AD квадрата ABCD равна 1 и является хор-
дой некоторой окружности, причем остальные стороны квадра-
та лежат вне этой окружности. Касательная BK, проведенная
из вершины B к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр
окружности.
3.26. Через вершину наибольшего угла треугольника со сто-
ронами 6, 8 и 10 проведена касательная к окружности, описан-
ной около этого треугольника. Найдите отрезок касательной,
заключенный между точкой касания и точкой пересечения с
продолжением наибольшей стороны треугольника.
3.27. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB =
= 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена
окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка
гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.
3.28. Точка B расположена между точками A и C. На отрез-
ках AB и AC как на диаметрах построены окружности. Прямая,
перпендикулярная AC и проходящая через точку B, пересека-
ет б´ольшую окружность в точке D. Прямая, проходящая через
точку C, касается меньшей окружности в точке K. Докажите,
что CD = CK.
3.290
. Постройте окружность, проходящую через две дан-
ные точки и касающуюся данной прямой.
3.30. Окружность касается сторон AB и BC треугольни-
ка ABC в точках D и E соответственно. Найдите высоту тре-
угольника ABC, опущенную из вершины A, если AB = 5, AC =
= 2, а точки A, D, E, C лежат на одной окружности.
3.31. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) про-
ведены биссектрисы AD, BE, CF. Найдите BC, если известно,
что AC = 1, а вершина A лежит на окружности, проходящей
через точки D, E, F.
3.32. Две окружности внутренне касаются. Прямая, прохо-
дящая через центр большей окружности, пересекает ее в точ-
ках A и D, а меньшую окружность — в точках B и C. Най-
дите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD =
= 3 : 7 : 2.
150 9 класс
3.33. Точки A, B и C лежат на одной прямой (точка B рас-
положена между точками A и C). Через точки A и B проводятся
окружности, а через точку C — касательные к ним. Найдите
геометрическое место точек касания.
3.34. Окружность и прямая касаются в точке M. Из точек A
и B этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, рав-
ные a и b соответственно. Найдите расстояние от точки M до
прямой AB.
3.35. Из точки A, находящейся на расстоянии 5 от цен-
тра окружности радиуса 3, проведены две секущие AKC
и ALB, угол между которыми равен 30◦
(K, C, L, B — точ-
ки пересечения секущих с окружностью). Найдите площадь
треугольника AKL, если площадь треугольника ABC рав-
на 10.
3.36. В окружности проведены три попарно пересекающиеся
хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три
равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд
равна a.
3.37. В окружность вписан треугольник. Вторая окруж-
ность, концентрическая с первой, касается одной стороны тре-
угольника и делит каждую из двух других сторон на три равные
части. Найдите отношение радиусов этих окружностей.
3.38. Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120◦
.
Точка C лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB.
При этом AD = 2, BD = 1, DC =

2. Найдите площадь тре-
угольника ABC.
3.39. Окружность касается сторон AB и AD прямоуголь-
ника ABCD и проходит через вершину C. Сторону DC она
пересекает в точке N. Найдите площадь трапеции ABND, ес-
ли AB = 9 и AD = 8.
3.40. Дан угол с вершиной O и окружность, касающаяся его
сторон в точках A и B. Из точки A параллельно OB прове-
ден луч, пересекающий окружность в точке C. OC пересекает
окружность в точке E. Прямые AE и OB пересекаются в точ-
ке K. Докажите, что OK = KB.
3.410
. Точки A1 и B1 принадлежат соответственно сторо-
нам OA и OB угла AOB (не равного 180◦
) и OA·OA1 = OB·OB1.
§ 3.1. Пропорциональные отрезки в круге 151
Докажите, что точки A, B, A1, B1 принадлежат одной окруж-
ности.
3.42. Через точку P, лежащую на общей хорде двух пересе-
кающихся окружностей, проведены хорда KM первой окруж-
ности и хорда LN второй окружности. Докажите, что четырех-
угольник с вершинами в точках K, L, M и N — вписанный.
3.430
. Точка M находится на продолжении хорды AB.
Докажите, что если точка C окружности такова, что MC2 =
= MA · MB, то MC — касательная к окружности.
3.440
. Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника
равен произведению сторон, ее заключающих, без произве-
дения отрезков третьей стороны, на которые она разделена
биссектрисой.
Задачи третьего уровня
3.45. Постройте окружность, проходящую через две данные
точки A и B и касающуюся данной окружности S.
3.460
. На плоскости даны три попарно пересекающиеся
окружности, центры которых не лежат на одной прямой. До-
кажите, что три общие хорды каждой пары этих окружностей
пересекаются в одной точке.
3.47. На продолжении хорды KL окружности с центром O
взята точка A и из нее проведены касательные AP и AQ; M —
середина отрезка PQ. Докажите, что ∠MKO = ∠MLO.
3.48. Две окружности радиусов r и R (r < R) внешним об-
разом касаются друг друга. Прямая касается этих окружностей
в точках M и N. В точках A и B окружности касаются внешним
образом третьей окружности. Прямые AB и MN пересекаются
в точке C. Из точки C проведена касательная к третьей окруж-
ности (D — точка касания). Найдите CD.
3.49. На боковых сторонах трапеции как на диаметрах по-
строены окружности. Докажите, что отрезки касательных, про-
веденных из точки пересечения диагоналей трапеции к этим
окружностям, равны между собой.
3.50. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Рассто-
яния от точки A до прямых BC, DC и DE равны соответствен-
но a, b, c. Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.
152 9 класс
3.51. (Теорема Птолемея.) Докажите, что если четырех-
угольник вписан в окружность, то сумма произведений длин
двух пар его противоположных сторон равна произведению
длин его диагоналей.

Задачи первого уровня
3.52. Стороны треугольника равны 5, 8, 10. Верно ли, что
треугольник остроугольный?
3.53. Сумма квадратов двух сторон треугольника больше
квадрата третьей стороны. Докажите, что против третьей сто-
роны лежит острый угол.
3.54. Дан равносторонний треугольник со стороной a. Най-
дите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой,
делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.
3.55. Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а
угол между этими сторонами равен 60◦
. Докажите, что тре-
угольник прямоугольный.
3.56. Сторона треугольника равна 2

7, а две другие сторо-
ны образуют угол в 30◦ и относятся как 1 : 2√
3. Найдите эти
стороны.
154 9 класс
3.57. Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагона-
ли равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диаго-
налями.
3.58. Угол при вершине D трапеции ABCD с основани-
ями AD и BC равен 60◦
. Найдите диагонали трапеции, ес-
ли AD = 10, BC = 3 и CD = 4.
3.59. Одна из сторон треугольника равна 6, вторая сторо-
на равна 2

7, а противолежащий ей угол равен 60◦
. Найдите
третью сторону треугольника.
3.60. На продолжении боковой стороны AB равнобедрен-
ного треугольника ABC за вершину A взята точка D, при-
чем AD = 2 · AB. Известно, что AB = AC, ∠BAC = 120◦
.
Докажите, что треугольник BDC равнобедренный.
3.61. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD
и BC ромба ABCD, причем DM : AM = BN : NC = 2 : 1. Най-
дите MN, если известно, что сторона ромба равна a, а ∠BAD =
= 60◦
.
3.620
. Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле-
лограмма равна сумме квадратов всех его четырех сторон.
3.63. Диагональ параллелограмма, равная b, перпендику-
лярна стороне параллелограмма, равной a. Найдите вторую
диагональ параллелограмма.
3.64. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной,
равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите осно-
вание треугольника, если эта медиана равна 3.
3.65. Основание равнобедренного треугольника равно 4

2,
а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 5. Найдите
боковую сторону.
3.660
. Стороны треугольника равны a, b, c. Найдите медиа-
ну, проведенную к стороне, равной c.
3.67. Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите ме-
диану, проведенную к большей стороне.
3.68. В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а меди-
ана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сто-
рону.
3.69. Докажите, что отношение суммы квадратов медиан
треугольника к сумме квадратов его сторон равно 3
4
.
§ 3.2. Теорема косинусов 155
3.70. Около четырехугольника ABCD можно описать
окружность. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и AD = 2.
Найдите AC.
3.71. Можно ли около четырехугольника ABCD описать
окружность, если ∠ADC = 30◦
, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
3.72. В равнобедренном треугольнике основание и боковая
сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла
при основании.
3.73. В треугольнике ABC известно, что AC = 13, AB =
= 14, BC = 15. На стороне BC взята точка M, для кото-
рой CM : MB = 1 : 2. Найдите AM.
3.74. В треугольнике ABC известно, что AB = 12, AC = 15,
BC = 18. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из
вершины наибольшего угла.
3.75. Найдите косинусы углов трапеции с основаниями, рав-
ными 3 и 7 и боковыми сторонами, равными 2 и 5.
3.76. Медианы треугольника ABC, проведенные из вер-
шин B и C, равны 6 и 9 и пересекаются в точке M. Известно,
что ∠BMC = 120◦
. Найдите стороны треугольника.
Задачи второго уровня
3.77. Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а угол между
ними равен 60◦
. Через вершину этого угла проведены прямые,
проходящие через середины двух других сторон параллелограм-
ма. Найдите косинус угла между этими прямыми.
3.78. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается
стороны AB в точке M, при этом AM = 1, BM = 4. Найди-
те CM, если известно, что ∠BAC = 120◦
.
3.79. Основания трапеции равны 1 и 6, а диагонали — 3 и 5.
Под каким углом видны основания из точки пересечения диаго-
налей?
3.80. В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон, равны a и b и пересекаются
под углом 60◦
. Найдите диагонали четырехугольника.
3.81. Диагонали выпуклого четырехугольника равны c и d
и пересекаются под углом 45◦
. Найдите отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон четырехугольника.
156 9 класс
3.82. Центр окружности, вписанной в прямоугольный тре-
угольник, удален от вершин острых углов на расстояния a и b.
Найдите гипотенузу.
3.83. Точка M лежит на стороне BC параллелограмма
ABCD с углом 45◦ при вершине A, причем ∠AMD = 90◦
и BM : MC = 2 : 3. Найдите отношение соседних сторон
параллелограмма.
3.84. На боковой стороне BC равнобедренного треугольни-
ка ABC как на диаметре построена окружность, пересекаю-
щая основание этого треугольника в точке D. Найдите рассто-
яние от вершины A до центра окружности, если AD =

3,
а угол ∠ABC = 120◦
.
3.85. Окружность, вписанная в прямоугольный треуголь-
ник с катетами 6 и 8, касается гипотенузы в точке M. Найдите
расстояние от точки M до вершины прямого угла.
3.86. Точка M лежит на стороне AC равностороннего тре-
угольника ABC со стороной 3a, причем AM : MC = 1 : 2.
Точки K и L на сторонах AB и BC являются вершинами друго-
го равностороннего треугольника MKL. Найдите его стороны.
3.87. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE.
Найдите AC, если BC = a, AB = b,
DE
AC = k.
3.88. В окружности проведены хорды AB и BC, причем
AB =

3, BC = 3√
3, ∠ABC = 60◦
. Найдите длину той хорды
окружности, которая делит угол ABC пополам.
3.89. Дан треугольник ABC. Известно, что AB = 4, AC = 2
и BC = 3. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в
точке K. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC,
пересекает продолжение биссектрисы AK в точке M. Найди-
те KM.
3.90. В треугольник ABC вписана окружность, которая ка-
сается сторон AB, BC, AC в точках M, D, N соответственно.
Найдите MD, если известно, что NA = 2, NC = 3, ∠BCA =
= 60◦
.
3.91. В окружности радиуса R = 4 проведены хорда AB и
диаметр AK, образующий с хордой угол 22,5

. В точке B про-
ведена касательная к окружности, пересекающая продолжение
§ 3.2. Теорема косинусов 157
диаметра AK в точке C. Найдите медиану AM треугольни-
ка ABC.
3.92. В треугольнике ABC сторона AC больше стороны AB.
Докажите, что медиана, проведенная из вершины B, меньше
медианы, проведенной из вершины C.
3.93. Стороны треугольника равны a, b и c. Найдите биссек-
трису треугольника, проведенную к стороне a.
3.94. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3√
39
и BC =

39. Кроме того, дано, что угол BAD равен 30◦ и
угол ADC равен 60◦
. Через точку D проходит прямая, делящая
трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка
этой прямой, находящегося внутри трапеции.
3.95. Дан параллелограмм ABCD, в котором AB = a, BC =
= b, ∠ABC = a. Найдите расстояние между центрами окруж-
ностей, описанных около треугольников BCD и DAB.
3.96. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки
окружности до вершин правильного вписанного в эту окруж-
ность треугольника есть величина постоянная, не зависящая от
положения точки на окружности.
3.97. Окружности радиусов r и R касаются внутренним об-
разом. Найдите сторону правильного треугольника, одна вер-
шина которого совпадает с точкой касания, а две другие лежат
на разных данных окружностях.
3.98. Сторона ромба ABCD равна a, а острый угол равен a.
На отрезках AD и BC построены как на сторонах вне ромба
правильные треугольники. Найдите расстояние между центра-
ми этих треугольников.
3.99. В окружность радиуса 2 вписан правильный шести-
угольник ABCDEF. Из точки K, лежащей на продолжении
стороны AF так, что KA < KF и KA =

11 − 1, проведе-
на секущая KH, пересекающая окружность в точках N и H.
Известно, что внешняя часть секущей KH равна 2 (KN = 2),
а угол NFH тупой. Найдите угол HKF.
3.100. Окружность, вписанная в треугольник ABC, де-
лит медиану BM на три равные части. Найдите отноше-
ние BC : CA : AB.
3.101. Медиана AD остроугольного треугольника ABC рав-
158 9 класс
на 5. Проекции этой медианы на стороны AB и AC равны 4
и 2

5 соответственно. Найдите сторону BC.
3.102. (Теорема Стюарта.) Точка D расположена на сто-
роне BC треугольника ABC. Докажите, что
AB2
· DC + AC2
· BD − AD2
· BC = BC · DC · BD.
Задачи третьего уровня
3.103. Даны отрезки a и b. Постройте отрезок √4
a
4 + b
4.
3.104. Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC.
Окружность радиуса √
2
3
, вписанная в треугольник ABD, каса-
ется стороны AB в точке M, а окружность радиуса √
3, впи-
санная в треугольник BCD, касается стороны BC в точке N.
Известно, что BM = 6, BN = 5. Найдите стороны треугольни-
ка ABC.
3.105. Сторона BC треугольника ABC равна 4, сторона AB
равна 2

19. Известно, что центр окружности, проходящей через
середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C.
Найдите AC.

Задачи первого уровня
3.106. Боковая сторона равнобедренного треугольника рав-
на 2, а угол при вершине равен 120◦
. Найдите диаметр описан-
ной окружности.
3.107. Найдите радиус окружности, описанной около тре-
угольника со сторонами a, b и b.
3.108. Под каким углом видна из точек окружности хорда,
равная радиусу?
3.109. Дан треугольник ABC, в котором AC =

2, BC = 1,
∠ABC = 45◦
. Найдите угол BAC.
3.110. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с
острым углом 30◦
, если известно, что биссектриса, проведенная
из вершины прямого угла, равна a.
3.111. Найдите радиус окружности, описанной около тре-
угольника со сторонами 13, 14, 15.
3.112. Боковая сторона равнобокой трапеции равна a, сред-
няя линия равна b, а один углов при большем основании ра-
вен 30◦
. Найдите радиус окружности, описанной около тра-
пеции.
3.113. Основания равнобокой трапеции равны 9 и 21, высо-
та равна 8. Найдите радиус окружности, описанной около тра-
пеции.
3.114. Прямая, пересекающая основание равнобедренно-
го треугольника и проходящая через противоположную вер-
шину, делит этот треугольник на два. Докажите, что ра-
диусы окружностей, описанных около этих треугольников,
равны.
3.115. С помощью теоремы синусов докажите, что биссек-
триса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорцио-
нальные двум другим сторонам.
3.116. В треугольнике известны сторона a и два прилежа-
щих к ней угла b и g. Найдите биссектрису, проведенную из
вершины третьего угла.
3.117. Медиана AM треугольника ABC равна m и образует
со сторонами AB и AC углы a и b соответственно. Найдите эти
стороны.
§ 3.3. Теорема синусов 161
Задачи второго уровня
3.118. Дан треугольник ABC, в котором ∠A = a, ∠B =
= b. На стороне AB взята точка D, а на стороне AC — точ-
ка M, причем CD — биссектриса треугольника ABC, DM k BC
и AM = a. Найдите CM.
3.119. Углы треугольника равны a, b и g, а периметр ра-
вен P. Найдите стороны треугольника.
3.120. Одна из боковых сторон трапеции образует с б´оль-
шим основанием угол a, а вторая равна a и образует с меньшим
основанием угол b. Найдите среднюю линию трапеции, если
меньшее основание равно b.
3.121. В окружности радиуса 12 хорда AB равна 6, а хор-
да BC равна 4. Найдите хорду, соединяющую концы дуги AC.
3.122. Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиу-
сы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее,
если известно, что эти окружности существуют.
3.123. На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сто-
рону построен равносторонний треугольник. Найдите расстоя-
ние между его центром и вершиной C, если AB = c и ∠C = 120◦
.
3.124. Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между
ними равен 60◦
. Через центр вписанной окружности этого тре-
угольника и концы третьей стороны проведена окружность.
Найдите ее радиус.
3.125. Докажите, что если стороны a, b и противолежащие
им углы a и b треугольника связаны соотношением a
cos a =
b
cos b
,
то треугольник равнобедренный.
3.126. Две стороны треугольника равны a и b. Найдите тре-
тью сторону треугольника, если его угол, лежащий против тре-
тьей стороны, в два раза больше угла, лежащего против сторо-
ны, равной b.
3.127. Две окружности пересекаются в точках A и B. Пря-
мая, проходящая через точку A, вторично пересекает эти
окружности в точках C и D, причем точка A лежит меж-
ду C и D, а хорды AC и AD пропорциональны радиусам своих
окружностей. Докажите, что биссектрисы углов ADB и ACB
пересекаются на отрезке AB.
162 9 класс
3.128. В окружность вписаны две трапеции с соответствен-
но параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной
из них равна диагонали другой трапеции.
3.129. Докажите, что для любого треугольника проекция
диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной
стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону,
равна третьей стороне.
3.130. Каждое из оснований высот треугольника проециру-
ется на его стороны. Докажите, что длина отрезка, соединяю-
щего проекции, не зависит от выбора высоты.
3.131. На окружности, описанной около треугольника ABC,
найдите точку M такую, что расстояние между ее проекциями
на прямые AC и BC максимально.
3.132. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
Докажите, что радиусы окружностей, описанных около тре-
угольников ABC, AHB, BHC и AHC, равны между собой.
3.133. В окружности проведены две хорды AB = a и AC =
= b. Длина дуги AC вдвое больше длины дуги AB. Найдите
радиус окружности.
3.134. Из точки M на окружности проведены три хорды:
MN = 1, MP = 6, MQ = 2. При этом углы NMP и PMQ
равны. Найдите радиус окружности.
3.135. В треугольнике ABC известно, что AB = 2, AC = 5,
BC = 6. Найдите расстояние от вершины B до точки пересече-
ния высот треугольника ABC.
3.136. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C
опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB. Известно,
что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треуголь-
ника BPQ равна 2, а PQ = 2√
2. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника ABC.
3.137. Отрезки AB и CD — диаметры одной окружности.
Из точки M этой окружности опущены перпендикуляры MP
и MQ на прямые AB и CD. Докажите, что длина отрезка PQ
не зависит от положения точки M.
3.138. Постройте треугольник по углу и радиусам вписан-
ной и описанной окружностей.
3.139. Через вершины A и B треугольника ABC проходит
§ 3.3. Теорема синусов 163
окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D.
Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и C,
если AB = c и AC = b.
3.140. Угол при основании равнобедренного треугольника
равен a. Найдите отношение радиуса вписанной в данный тре-
угольник окружности к радиусу описанной около него окруж-
ности.
3.141. Радиус окружности, описанной около остроугольного
треугольника ABC, равен 1. Известно, что на этой окружности
лежит центр другой окружности, проходящей через вершины A,
C и точку пересечения высот треугольника ABC. Найдите AC.
3.142. Дан треугольник ABC, в котором ∠BAC = 75◦
,
AB = 1, AC =

6. На стороне BC выбрана точка M так,
что ∠BAM = 30◦
. Прямая AM пересекает окружность, опи-
санную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A.
Найдите AN.
3.143. Даны отрезок AB и на нем точка C. Найдите геомет-
рическое место точек пересечения двух равных окружностей,
одна из которых проходит через точки A и C, другая — через
точки C и B.
3.144. Продолжения высот AM и CN остроугольного тре-
угольника ABC пересекают описанную около него окружность
в точках P и Q. Найдите радиус описанной окружности, ес-
ли AC = a, PQ =
6
5
a.
3.145. Отрезки, соединяющие основания высот остроуголь-
ного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите радиус окружно-
сти, описанной около треугольника.
3.146. Две окружности радиусов R и r пересекаются в точ-
ках A и B и касаются прямой в точках C и D. N — точка пере-
сечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника ACD, и отношение
высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N.
3.147. В треугольник ABC помещены три равных окруж-
ности, каждая из которых касается двух сторон треугольника.
Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите ради-
усы этих окружностей, если радиусы описанной и вписанной
окружностей треугольника ABC равны R и r.
164 9 класс
3.148. В выпуклом четырехугольнике ABKC сторона AB =
=

3, диагональ BC равна 1, а углы ABC, BKA и BKC рав-
ны 120◦
, 30◦ и 60◦
соответственно. Найдите сторону BK.
3.149. В треугольнике ABC известно, что AB = 20, AC =
= 24. Известно также, что вершина C, центр вписанной в тре-
угольник ABC окружности и точка пересечения биссектрисы
угла A со стороной BC лежат на окружности, центр которой
расположен на стороне AC. Найдите радиус описанной около
треугольника ABC окружности.
Задачи третьего уровня
3.150. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены
диагонали AC и BD. Известно, что AD = 2, ∠ABD = ∠ACD =
= 90◦ и расстояние между центрами окружностей, вписанных в
треугольники ABD и ACD, равно √
2. Найдите BC.
3.151. Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы
медиана, проведенная к третьей стороне, делила угол треуголь-
ника в отношении 1 : 2.
3.152. Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипоте-
нузой прямоугольного треугольника ACK, причем точки B и K
лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что BK =
=
|AK−CK|

2
и DK =
AK

+CK
2
.
3.153. На окружности, описанной около треугольника ABC,
взята точка M. Прямая MA пересекается с прямой BC в точ-
ке L, а прямая CM — с прямой AB в точке K. Известно,
что AL = a, BK = b, CK = c. Найдите BL.
3.154. В треугольнике ABC угол ABC равен a, угол BCA
равен 2a. Окружность, проходящая через точки A, C и центр
описанной около треугольника ABC окружности, пересекает
сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB.

Задачи первого уровня
3.155. Среди всех треугольников с заданными сторона-
ми AB и AC найдите тот, у которого наибольшая площадь.
3.156. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8.
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
3.157. В параллелограмме ABCD угол BAD равен 60◦
, а
сторона AB равна 3. Биссектриса угла A пересекает сторону BC
в точке E. Найдите площадь треугольника ABE.
3.158. Докажите, что если диагонали выпуклого четырех-
угольника равны, то его площадь равна произведению отрезков,
соединяющих середины противоположных сторон.
3.159. Найдите площадь треугольника, если две его стороны
равны 1 и √
15, а медиана, проведенная к третьей, равна 2.
3.160. Стороны треугольника равны a, b, b. Найдите высоту,
проведенную к стороне, равной b.
168 9 класс
3.161. В треугольник со сторонами a и b и углом a между
ними вписана полуокружность с диаметром на третьей стороне.
Найдите ее радиус.
3.162. а) В треугольнике ABC известно, что AB = 8, AC =
= 6, ∠BAC = 60◦
. Найдите биссектрису AM.
б) Стороны треугольника равны a и b, а угол между ними
равен a. Найдите биссектрису, проведенную из вершины это-
го угла.
3.163. Найдите площадь трапеции:
а) с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4;
б) с основаниями 16 и 44 и боковыми сторонами 17 и 25.
3.164. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = a,
∠BCA = g, AB = c. Найдите площадь треугольника ABC.
3.165. Найдите площадь трапеции:
а) с основаниями 11 и 4 и диагоналями 9 и 12;
б) с основаниями 6 и 3 и диагоналями 7 и 8.
3.166. В равнобокой трапеции основания равны 40 и 24, а
ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь тра-
пеции.
3.167. Площадь треугольника ABC равна S, ∠BAC = a,
AC = b. Найдите BC.
3.168. Две стороны треугольника равны 2

2 и 3, площадь
треугольника равна 3. Найдите третью сторону.
3.169. Медианы AN и BM треугольника ABC равны 6 и 9
соответственно и пересекаются в точке K, причем угол AKB
равен 30◦
. Найдите площадь треугольника ABC.
3.170. Расстояния от точки M, лежащей внутри треуголь-
ника ABC, до его сторон AC и BC соответственно равны 2 и 4.
Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AB = 10,
BC = 17, AC = 21.
3.171. В треугольник вписана окружность радиуса 4. Од-
на из сторон треугольника разделена точкой касания на части,
равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника.
3.172. Вершины треугольника соединены с центром вписан-
ной окружности. Проведенными отрезками треугольник разде-
лился на три части, площади которых: 28, 60 и 80. Найдите
стороны треугольника.
§ 3.4. Площадь 169
Задачи второго уровня
3.173. Основание равнобедренного треугольника равно a, а
высота, опущенная на боковую сторону, равна h. Найдите пло-
щадь треугольника.
3.174. Углы треугольника равны a, b и g, а площадь рав-
на S. Найдите высоты треугольника.
3.175. Углы треугольника равны a, b и g, а площадь рав-
на S. Найдите стороны треугольника.
3.1760
. Точки B1 и C1 — основания высот BB1 и CC1 тре-
угольника ABC, площадь которого равна S, а угол BAC ра-
вен a. Найдите площадь треугольника AB1C1.
3.177. Найдите площадь треугольника, если две его стороны
равны 35 и 14, а биссектриса угла между ними равна 12.
3.178. Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединя-
ющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
3.179. Дан треугольник ABC. Из вершины A проведена
медиана AM, а из вершины B — медиана BP. Известно,
что ∠APB = ∠BMA, cos ∠ACB = 0,8 и BP = 1. Найдите
площадь треугольника ABC.
3.180. В трапеции ABCD диагонали AC и BD взаимно пер-
пендикулярны, ∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сто-
рон AB и DC пересекаются в точке K, образуя угол AKD,
равный 30◦
. Найдите площадь треугольника AKD, если пло-
щадь трапеции равна P.
3.181. В параллелограмме ABCD точка E делит пополам
сторону CD, биссектриса угла ABC пересекает в точке O от-
резок AE. Найдите площадь четырехугольника OBCE, зная,
что AD = a, DE = b, ∠ABO = a.
3.182. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Од-
на из них равна 6. Отрезок, соединяющий середины оснований,
равен 4,5. Найдите площадь трапеции.
3.183. Около окружности радиуса R описан параллело-
грамм. Площадь четырехугольника с вершинами в точках
касания окружности и параллелограмма равна S. Найдите
стороны параллелограмма.
3.184. В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 4,
AC = 8. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D.
170 9 класс
Через точки A, D и C проведена окружность, пересекающая
сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ADE.
3.185. В параллелограмме ABCD острый угол BAD ра-
вен a. Пусть O1, O2, O3, O4 — центры окружностей, описанных
около треугольников DAB, DAC, DBC, ABC соответственно.
Найдите отношение площади четырехугольника O1O2O3O4 к
площади параллелограмма ABCD.
3.186. В четырехугольнике ABCD острый угол между диа-
гоналями равен a. Через каждую вершину проведена прямая,
перпендикулярная диагонали, не содержащей эту вершину. Най-
дите отношение площади четырехугольника, ограниченного
этими прямыми, к площади четырехугольника ABCD.
3.187. Из точки P, расположенной внутри остроугольного
треугольника ABC, опущены перпендикуляры на его стороны.
Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответ-
ственно равны a и k, b и m, c и n. Найдите отношение площади
треугольника ABC к площади треугольника, вершинами кото-
рого служат основания перпендикуляров.
3.188. Периметр выпуклого четырехугольника равен 4. До-
кажите, что его площадь не превосходит 1.
3.189. Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите,
что его площадь не превосходит

3
4
.
3.190. Около треугольника ABC описана окружность. Ме-
диана AD продолжена до пересечения с этой окружностью в
точке E. Известно, что AB + AD = DE, ∠BAD = 60◦
, AE = 6.
Найдите площадь треугольника ABC.
3.191. Докажите, что в треугольнике ABC:
а) 1
r
=
1
ra
+
1
rb
+
1
rc
, где r — радиус вписанной окружности,
а ra, rb и rc — радиусы вневписанных окружностей треуголь-
ника;
б) S =

r · ra · rb · rc, где S — площадь треугольника.
3.192. В остроугольном треугольнике ABC проведены вы-
соты AM и CN, O — центр описанной около треугольника ABC
окружности. Известно, что ∠ABC = b, а площадь четырех-
угольника NOMB равна S. Найдите AC.
§ 3.4. Площадь 171
3.193. Две окружности пересекаются в точках A и K. Их
центры расположены по разные стороны от прямой, содержа-
щей отрезок AK. Точки B и C лежат на разных окружностях.
Прямая, содержащая отрезок AB, касается одной окружности
в точке A. Прямая, содержащая отрезок AC, касается другой
окружности также в точке A. Известно, что BK = 1, CK = 4,
tg ∠CAB = √
1
15
. Найдите площадь треугольника ABC.
3.194. В остроугольном треугольнике ABC с углом C, рав-
ным 30◦
, высоты пересекаются в точке M. Найдите площадь
треугольника AMB, если расстояния от центра окружности,
описанной около треугольника ABC, до сторон BC и AC со-
ответственно равны √
2 и

3
3
.
3.195. На отрезке AB лежат точки C и D, причем точка C —
между точками A и D. Точка M взята так, что прямые AM
и MD перпендикулярны и прямые CM и MB тоже перпенди-
кулярны. Найдите площадь треугольника AMB, если известно,
что ∠CMD = a, а площадь треугольников AMD и CMB рав-
ны S1 и S2 соответственно.
3.196. (Формула Брахмагупты.) Докажите, что если сто-
роны вписанного четырехугольника равны a, b, c и d, то его
площадь S может быть вычислена по формуле:
S =
p
(p − a)(p − b)(p − c)(p − d),
где p =
1
2
(a + b + c + d) — полупериметр четырехугольника.
3.197. Окружность, вписанная в треугольник, точкой ка-
сания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а про-
тиволежащий этой стороне угол равен 120◦
. Найдите площадь
треугольника.
3.198. Площадь треугольника ABC равна 15√
3. Угол BAC
равен 120◦
. Угол ABC больше угла ACB. Расстояние от вер-
шины A до центра окружности, вписанной в треугольник ABC,
равно 2. Найдите медиану треугольника ABC, проведенную из
вершины B.
172 9 класс
3.199. В окружность радиуса 7 вписан четырехугольник
ABCD. Известно, что AB = BC, площадь треугольника BCD
в два раза меньше площади треугольника ABD, ∠ADC = 120◦
.
Найдите все стороны четырехугольника ABCD.
3.200. На прямой, проходящей через центр O окружности
радиуса 12, взяты точки A и B так, что OA = 15, AB = 5 и A
лежит между O и B. Из точек A и B проведены касательные
к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону
от прямой OB. Найдите площадь треугольника ABC, где C —
точка пересечения этих касательных.
3.201. Точки K, L, M, N и P расположены последователь-
но на окружности радиуса 2

2. Найдите площадь треугольни-
ка KLM, если LM k KN, KM k NP, MN k LP, а угол LOM
равен 45◦
, где O — точка пересечения хорд LN и MP.
3.202. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым уг-
лом C, углом B, равным 30◦
, и катетом CA = 1 проведена
медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15◦ к гипо-
тенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F.
Найдите площадь треугольника CDF.
3.203. Окружность радиуса 3 проходит через вершину B,
середины сторон AB и BC, а также касается стороны AC тре-
угольника ABC. Угол BAC острый, и sin ∠BAC =
1
3
. Найдите
площадь треугольника ABC.
3.204. Остроугольный равнобедренный треугольник и тра-
пеция вписаны в окружность. Одно основание трапеции являет-
ся диаметром окружности, а боковые стороны параллельны бо-
ковым сторонам треугольника. Докажите, что трапеция и тре-
угольник равновелики.
Задачи третьего уровня
3.205. Внутри правильного треугольника имеется точка,
удаленная от его вершин на расстояния 5, 6 и 7. Найдите
площадь треугольника.
3.206. Стороны четырехугольника равны a, b, c и d. Извест-
но, что в этот четырехугольник можно вписать окружность и
около него можно описать окружность. Докажите, что его пло-
щадь равна √
abcd.
§ 3.4. Площадь 173
3.207. Пусть a, b, c, d — последовательные стороны четы-
рехугольника. Докажите, что если S — его площадь, то S 6
6
1
2
(ac + bd), причем равенство имеет место только для вписан-
ного четырехугольника, диагонали которого взаимно перпенди-
кулярны.
3.208. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника
ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади.
Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.
3.209. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D.
Окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, каса-
ются стороны AC в точках M и N соответственно. Известно,
что AM = 3, MD = 2, DN = 2, NC = 4. Найдите стороны
треугольника ABC.
3.210. На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC
и AC построены как на диаметрах полуокружности S1, S2 и S по
одну сторону от AC. Найдите радиус окружности, касающейся
всех трех полуокружностей, если известно, что ее центр удален
от прямой AC на расстояние a.
3.211. Докажите, что точка пересечения диагоналей описан-
ного вокруг окружности четырехугольника совпадает с точкой
пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которо-
го служат точки касания сторон первого четырехугольника с
окружностью.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (21.03.2016)
Просмотров: | Теги: Гордин | Рейтинг: 1.0/1


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar