Тема №6038 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 1) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 1. Отрезки, заключённые между
параллельными прямыми
1.1. Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b (a > b).
а) Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней
линии.
б) Найдите длину отрезка MN, концы которого делят стороны
AB и CD в отношении AM : MB = DN : NC = p : q.
1.2. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхуголь-
ника— вершины параллелограмма. Для каких четырёхугольников этот
параллелограмм является прямоугольником, для каких— ромбом, для
каких— квадратом?
1.3. а) Точки A1 и B1 делят стороны BC и AC треугольника ABC
в отношениях BA1 : A1C = 1 : p и AB1 : B1C = 1 : q. В каком отношении
отрезок AA1 делится отрезком BB1?
б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1.
Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке D. Пусть a1, b1, c и d— рас-
стояния от точек A1, B1, C и D до прямой AB. Докажите, что
1
a1
+
1
b1
=
1
c
+
1
d
.
1.4. Через точку P медианы CC1 треугольника ABC проведены
прямые AA1 и BB1 (точки A1 и B1 лежат на сторонах BC и CA).
Докажите, что A1B1 k AB.
1.5. Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четы-
рёхугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит
сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону BC.
1.6. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что
AP : AD = 1 : n; Q — точка пересечения прямых AC и BP. Докажите,
что AQ : AC = 1 : (n + 1).
1.7. Вершины параллелограмма A1B1C1D1 лежат на сторонах па-
раллелограмма ABCD (точка A1 лежит на стороне AB, точка B1 — на
стороне BC и т. д.). Докажите, что центры обоих параллелограммов
совпадают.
1.8. На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Пря-
мая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что
AK2 = LK · KM.
1.9. Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольни-
ка является диаметром. Докажите, что проекции противоположных
сторон на другую диагональ равны.
13
1.10. На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что
AE = BC. Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P
соответственно. Докажите, что если BO = PD, то AD2 = BC2 + AD · BC.
1.11. Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу
величиной 60◦
. На этой дуге взята точка M. Докажите, что прямая,
проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна пря-
мой, проходящей через середины отрезков MB и OA.
1.12. а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1,
B1 и C1 — на другой. Докажите, что если AB1 k BA1 и AC1 k CA1, то
BC1 k CB1.
б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1 и C1
таковы, что AB1 k BA1, AC1 k CA1 и BC1 k CB1. Докажите, что точки
A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
1.13. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1. До-
кажите, что расстояние от любой точки M отрезка A1B1 до прямой AB
равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.
1.14. Пусть M и N — середины сторон AD и BC прямоуголь-
ника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точ-
ка P; Q — точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что
∠QNM = ∠MNP.
1.15. На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за
точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны
AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD в точках O и P.
Докажите, что если KM = NL, то KO = PL.
1.16*. На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольни-
ка ABCD взяты точки P, Q, R и S так, что BP : AB = CR : CD = ❛
и AS : AD = BQ : BC = ❜. Докажите, что отрезки PR и QS делятся
точкой их пересечения в отношениях ❜ : (1 − ❜) и ❛ : (1 − ❛).
§ 2. Отношение сторон подобных треугольников
1.17. а) В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего
или внешнего угла. Докажите, что AD : DC = AB : BC.
б) Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника ABC
делит биссектрису AA1 в отношении AO : OA1 = (b + c) : a, где a,
b, c— длины сторон треугольника.
1.18. Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей
стороны равна b. Вычислите радиус его описанной окружности.
1.19. Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пе-
ресекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите,
что
1
AE2 +
1
AF2 =
1
AB2
.
1.20. На высотах BB1 и CC1 треугольника ABC взяты точки B2 и C2
так, что ∠AB2C = ∠AC2B = 90◦
. Докажите, что AB2 = AC2.
14 Глава 1. Подобные треугольники
1.21. В трапецию ABCD (BC k AD) вписана окружность, касающаяся
боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований
AD и BC в точках M и N.
а) Пусть Q— точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что
KQ k AD.
б) Докажите, что AK · KB = CL · LD.
1.22. На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или на их
продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что
4MAN ∼ 4ABC.
1.23. Прямая l пересекает стороны AB и AD параллелограмма
ABCD в точках E и F соответственно. Пусть G — точка пересечения
прямой l с диагональю AC. Докажите, что AB
AE +
AD
AF =
AC
AG.
1.24. Пусть AC — б´ольшая из диагоналей параллелограмма ABCD.
Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуля-
ры CE и CF соответственно. Докажите, что AB · AE + AD · AF = AC2
.
1.25. Углы треугольника ABC связаны соотношением 3❛+2❜=180◦
.
Докажите, что a
2 + bc = c
2
.
1.26. Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного
угла, причём каждая из прямых AB и CD перемещается параллельно
самой себе; M— точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что
величина
AM · BM
CM · DM остаётся постоянной.
1.27. Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC
параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие
стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что
медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.
1.28. На биссектрисе угла взята точка P. Прямая, проходящая
через точку P, высекает на сторонах угла отрезки длиной a и b.
Докажите, что величина 1
a
+
1
b
не зависит от выбора этой прямой.
1.29. На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диа-
метре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты
точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите,
что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.
1.30. Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC.
На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что
BK · AB = BO2 и AM · AB = AO2
. Докажите, что точки M, O и K лежат
на одной прямой.
1.31*. Докажите, что если a1 = a2 и b1 = b2 (рис. 1.1), то x = y.
1.32*. На отрезке MN построены подобные одинаково ориентиро-
ванные треугольники AMN, NBM и MNC (рис. 1.2). Докажите, что
треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его опи-
санной окружности равноудалён от точек M и N.
15
Рис. 1.1 Рис. 1.2
1.33*. Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных
треугольника, причём коэффициент подобия равен √
3. Найдите углы
треугольника ABC.
См. также задачу 5.52.
§ 3. Отношение площадей подобных треугольников
1.34. На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точ-
ку E проведены прямая DE параллельно стороне BC и прямая EF
параллельно стороне AB (D и E— точки на этих сторонах). Докажите,
что SBDEF = 2

SADE · SEFC.
1.35. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки
M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь
трапеции пополам. Найдите длину MN, если BC = a и AD = b.
1.36. Через некоторую точку Q, взятую внутри треугольника ABC,
проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые раз-
бивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники
с площадями S1, S2 и S3. Докажите, что площадь треугольника ABC
равна (

S1 +

S2 +

S3)
2
.
1.37. Докажите, что площадь треугольника, стороны которого рав-
ны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.
1.38. а) Докажите, что площадь четырёхугольника, образованного
серединами сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, равна поло-
вине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника рав-
ны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих
середины противоположных сторон.
1.39. Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника пло-
щади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
16 Глава 1. Подобные треугольники
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных
точках.
§ 4. Вспомогательные равные треугольники
1.40. Катет BC прямоугольного треугольника ABC с прямым уг-
лом C разделён точками D и E на три равные части. Докажите, что
если BC = 3AC, то сумма углов AEC, ADC и ABC равна 90◦
.
1.41. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L
делит диагональ AC в отношении AL : LC = 3 : 1. Докажите, что
угол KLD прямой.
1.42. Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2,
пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендику-
ляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки
B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.
1.43. На катетах CA и CB равнобедренного прямоугольного тре-
угольника ABC выбраны точки D и E так, что CD = CE. Продолжения
перпендикуляров, опущенных из точек D и C на прямую AE, пересе-
кают гипотенузу AB в точках K и L. Докажите, что KL = LB.
1.44*. На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхуголь-
ника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом
построены прямоугольники размером a × c, b × d, c × a и d × b. До-
кажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
1.45*. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R
с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки по-
парного пересечения описанных окружностей треугольников BOC,
DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного
треугольника со стороной R.
* * *
1.46. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены
внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите,
что треугольник AKL правильный.
1.47. На сторонах параллелограмма внешним образом построены
квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
1.48*. На сторонах произвольного треугольника ABC внешним об-
разом построены равнобедренные треугольники с углами 2❛, 2❜ и 2❣
при вершинах A0
, B0 и C
0
, причём ❛ + ❜ + ❣ = 180◦
. Докажите, что
углы треугольника A0B0C
0 равны ❛, ❜ и ❣.
1.49*. На сторонах треугольника ABC как на основаниях постро-
ены подобные равнобедренные треугольники AB1C и AC1B внешним
образом и BA1C внутренним образом. Докажите, что AB1A1C1 — па-
раллелограмм.
1.50*. а) На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним об-
разом построены прямоугольные треугольники ABC1 и AB1C, причём
17
∠C1 = ∠B1 = 90◦
, ∠ABC1 = ∠ACB1 = ❢; M — середина BC. Докажите,
что MB1 = MC1 и ∠B1MC1 = 2❢.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены пра-
вильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правиль-
ный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения
медиан треугольника ABC.
1.51*. На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним
образом построены равнобедренные треугольники AC1B и AB1C с уг-
лом ❢ при вершине.
а) M — точка медианы AA1 (или её продолжения), равноудалённая
от точек B1 и C1. Докажите, что ∠B1MC1 = ❢.
б) O — точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноуда-
лённая от точек B1 и C1. Докажите, что ∠B1OC1 = 180◦ − ❢.
1.52*. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним
образом построены подобные ромбы, причём их острые углы ❛ приле-
гают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры
противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен ❛.
См. также задачи 1.23, 3.1, 3.22, 5.15, 5.16, 7.24—7.26, 8.45.
§ 5. Треугольник, образованный основаниями высот
1.53. Пусть AA1 и BB1 — высоты треугольника ABC. Докажите, что
4A1B1C ∼ 4ABC. Чему равен коэффициент подобия?
1.54. Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена
высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на
стороны BC и AC соответственно. Докажите, что 4MNC ∼ 4ABC.
1.55. В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1.
а) Докажите, что касательная в точке A к описанной окружности
параллельна прямой B1C1.
б) Докажите, что B1C1 ⊥ OA, где O— центр описанной окружности.
1.56. На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H.
Докажите, что AH · A1H = BH · B1H = CH · C1H тогда и только тогда,
когда H— точка пересечения высот треугольника ABC.
1.57. а) Докажите, что высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного
треугольника ABC делят углы треугольника A1B1C1 пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC
взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что если ∠B1A1C =
= ∠BA1C1, ∠A1B1C = ∠AB1C1 и ∠A1C1B = ∠AC1B1, то точки A1, B1 и C1
являются основаниями высот треугольника ABC.
1.58. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1,
BB1 и CC1. Докажите, что точка, симметричная A1 относительно пря-
мой AC, лежит на прямой B1C1.
1.59. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1,
BB1 и CC1. Докажите, что если A1B1 k AB и B1C1 k BC, то A1C1 k AC.
18 Глава 1. Подобные треугольники
1.60*. Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC,
q— полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что p : q = R : r, где R и r— радиусы описанной и вписанной
окружностей треугольника ABC.
§ 6. Подобные фигуры
1.61. В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные
к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают
от него три треугольника. Пусть r1, r2, r3 — радиусы вписанных в эти
треугольники окружностей. Докажите, что r1 + r2 + r3 = r.
1.62. Дан треугольник ABC. Постройте две прямые x и y так, чтобы
для любой точки M на стороне AC сумма длин отрезков MXM и MYM,
проведённых из точки M параллельно прямым x и y до пересечения
со сторонами AB и BC треугольника, равнялась 1.
1.63. В равнобедренном треугольнике ABC из середины H основа-
ния BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC; O— сере-
дина отрезка HE. Докажите, что прямые AO и BE перпендикулярны.
1.64. Докажите, что проекции основания высоты треугольника на
стороны, её заключающие, и на две другие высоты лежат на одной
прямой.
1.65. На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA по-
с