Тема №6038 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 1) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 1. Отрезки, заключённые между
параллельными прямыми
1.1. Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b (a > b).
а) Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней
линии.
б) Найдите длину отрезка MN, концы которого делят стороны
AB и CD в отношении AM : MB = DN : NC = p : q.
1.2. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхуголь-
ника— вершины параллелограмма. Для каких четырёхугольников этот
параллелограмм является прямоугольником, для каких— ромбом, для
каких— квадратом?
1.3. а) Точки A1 и B1 делят стороны BC и AC треугольника ABC
в отношениях BA1 : A1C = 1 : p и AB1 : B1C = 1 : q. В каком отношении
отрезок AA1 делится отрезком BB1?
б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1.
Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке D. Пусть a1, b1, c и d— рас-
стояния от точек A1, B1, C и D до прямой AB. Докажите, что
1
a1
+
1
b1
=
1
c
+
1
d
.
1.4. Через точку P медианы CC1 треугольника ABC проведены
прямые AA1 и BB1 (точки A1 и B1 лежат на сторонах BC и CA).
Докажите, что A1B1 k AB.
1.5. Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четы-
рёхугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит
сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону BC.
1.6. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что
AP : AD = 1 : n; Q — точка пересечения прямых AC и BP. Докажите,
что AQ : AC = 1 : (n + 1).
1.7. Вершины параллелограмма A1B1C1D1 лежат на сторонах па-
раллелограмма ABCD (точка A1 лежит на стороне AB, точка B1 — на
стороне BC и т. д.). Докажите, что центры обоих параллелограммов
совпадают.
1.8. На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Пря-
мая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что
AK2 = LK · KM.
1.9. Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольни-
ка является диаметром. Докажите, что проекции противоположных
сторон на другую диагональ равны.
13
1.10. На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что
AE = BC. Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P
соответственно. Докажите, что если BO = PD, то AD2 = BC2 + AD · BC.
1.11. Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу
величиной 60◦
. На этой дуге взята точка M. Докажите, что прямая,
проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна пря-
мой, проходящей через середины отрезков MB и OA.
1.12. а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1,
B1 и C1 — на другой. Докажите, что если AB1 k BA1 и AC1 k CA1, то
BC1 k CB1.
б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1 и C1
таковы, что AB1 k BA1, AC1 k CA1 и BC1 k CB1. Докажите, что точки
A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
1.13. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1. До-
кажите, что расстояние от любой точки M отрезка A1B1 до прямой AB
равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.
1.14. Пусть M и N — середины сторон AD и BC прямоуголь-
ника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точ-
ка P; Q — точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что
∠QNM = ∠MNP.
1.15. На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за
точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны
AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD в точках O и P.
Докажите, что если KM = NL, то KO = PL.
1.16*. На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольни-
ка ABCD взяты точки P, Q, R и S так, что BP : AB = CR : CD = ❛
и AS : AD = BQ : BC = ❜. Докажите, что отрезки PR и QS делятся
точкой их пересечения в отношениях ❜ : (1 − ❜) и ❛ : (1 − ❛).
§ 2. Отношение сторон подобных треугольников
1.17. а) В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего
или внешнего угла. Докажите, что AD : DC = AB : BC.
б) Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника ABC
делит биссектрису AA1 в отношении AO : OA1 = (b + c) : a, где a,
b, c— длины сторон треугольника.
1.18. Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей
стороны равна b. Вычислите радиус его описанной окружности.
1.19. Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пе-
ресекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите,
что
1
AE2 +
1
AF2 =
1
AB2
.
1.20. На высотах BB1 и CC1 треугольника ABC взяты точки B2 и C2
так, что ∠AB2C = ∠AC2B = 90◦
. Докажите, что AB2 = AC2.
14 Глава 1. Подобные треугольники
1.21. В трапецию ABCD (BC k AD) вписана окружность, касающаяся
боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований
AD и BC в точках M и N.
а) Пусть Q— точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что
KQ k AD.
б) Докажите, что AK · KB = CL · LD.
1.22. На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или на их
продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что
4MAN ∼ 4ABC.
1.23. Прямая l пересекает стороны AB и AD параллелограмма
ABCD в точках E и F соответственно. Пусть G — точка пересечения
прямой l с диагональю AC. Докажите, что AB
AE +
AD
AF =
AC
AG.
1.24. Пусть AC — б´ольшая из диагоналей параллелограмма ABCD.
Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуля-
ры CE и CF соответственно. Докажите, что AB · AE + AD · AF = AC2
.
1.25. Углы треугольника ABC связаны соотношением 3❛+2❜=180◦
.
Докажите, что a
2 + bc = c
2
.
1.26. Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного
угла, причём каждая из прямых AB и CD перемещается параллельно
самой себе; M— точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что
величина
AM · BM
CM · DM остаётся постоянной.
1.27. Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC
параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие
стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что
медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.
1.28. На биссектрисе угла взята точка P. Прямая, проходящая
через точку P, высекает на сторонах угла отрезки длиной a и b.
Докажите, что величина 1
a
+
1
b
не зависит от выбора этой прямой.
1.29. На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диа-
метре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты
точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите,
что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.
1.30. Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC.
На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что
BK · AB = BO2 и AM · AB = AO2
. Докажите, что точки M, O и K лежат
на одной прямой.
1.31*. Докажите, что если a1 = a2 и b1 = b2 (рис. 1.1), то x = y.
1.32*. На отрезке MN построены подобные одинаково ориентиро-
ванные треугольники AMN, NBM и MNC (рис. 1.2). Докажите, что
треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его опи-
санной окружности равноудалён от точек M и N.
15
Рис. 1.1 Рис. 1.2
1.33*. Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных
треугольника, причём коэффициент подобия равен √
3. Найдите углы
треугольника ABC.
См. также задачу 5.52.
§ 3. Отношение площадей подобных треугольников
1.34. На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точ-
ку E проведены прямая DE параллельно стороне BC и прямая EF
параллельно стороне AB (D и E— точки на этих сторонах). Докажите,
что SBDEF = 2

SADE · SEFC.
1.35. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки
M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь
трапеции пополам. Найдите длину MN, если BC = a и AD = b.
1.36. Через некоторую точку Q, взятую внутри треугольника ABC,
проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые раз-
бивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники
с площадями S1, S2 и S3. Докажите, что площадь треугольника ABC
равна (

S1 +

S2 +

S3)
2
.
1.37. Докажите, что площадь треугольника, стороны которого рав-
ны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.
1.38. а) Докажите, что площадь четырёхугольника, образованного
серединами сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, равна поло-
вине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника рав-
ны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих
середины противоположных сторон.
1.39. Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника пло-
щади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
16 Глава 1. Подобные треугольники
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных
точках.
§ 4. Вспомогательные равные треугольники
1.40. Катет BC прямоугольного треугольника ABC с прямым уг-
лом C разделён точками D и E на три равные части. Докажите, что
если BC = 3AC, то сумма углов AEC, ADC и ABC равна 90◦
.
1.41. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L
делит диагональ AC в отношении AL : LC = 3 : 1. Докажите, что
угол KLD прямой.
1.42. Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2,
пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендику-
ляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки
B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.
1.43. На катетах CA и CB равнобедренного прямоугольного тре-
угольника ABC выбраны точки D и E так, что CD = CE. Продолжения
перпендикуляров, опущенных из точек D и C на прямую AE, пересе-
кают гипотенузу AB в точках K и L. Докажите, что KL = LB.
1.44*. На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхуголь-
ника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом
построены прямоугольники размером a × c, b × d, c × a и d × b. До-
кажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
1.45*. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R
с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки по-
парного пересечения описанных окружностей треугольников BOC,
DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного
треугольника со стороной R.
* * *
1.46. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены
внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите,
что треугольник AKL правильный.
1.47. На сторонах параллелограмма внешним образом построены
квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
1.48*. На сторонах произвольного треугольника ABC внешним об-
разом построены равнобедренные треугольники с углами 2❛, 2❜ и 2❣
при вершинах A0
, B0 и C
0
, причём ❛ + ❜ + ❣ = 180◦
. Докажите, что
углы треугольника A0B0C
0 равны ❛, ❜ и ❣.
1.49*. На сторонах треугольника ABC как на основаниях постро-
ены подобные равнобедренные треугольники AB1C и AC1B внешним
образом и BA1C внутренним образом. Докажите, что AB1A1C1 — па-
раллелограмм.
1.50*. а) На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним об-
разом построены прямоугольные треугольники ABC1 и AB1C, причём
17
∠C1 = ∠B1 = 90◦
, ∠ABC1 = ∠ACB1 = ❢; M — середина BC. Докажите,
что MB1 = MC1 и ∠B1MC1 = 2❢.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены пра-
вильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правиль-
ный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения
медиан треугольника ABC.
1.51*. На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним
образом построены равнобедренные треугольники AC1B и AB1C с уг-
лом ❢ при вершине.
а) M — точка медианы AA1 (или её продолжения), равноудалённая
от точек B1 и C1. Докажите, что ∠B1MC1 = ❢.
б) O — точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноуда-
лённая от точек B1 и C1. Докажите, что ∠B1OC1 = 180◦ − ❢.
1.52*. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним
образом построены подобные ромбы, причём их острые углы ❛ приле-
гают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры
противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен ❛.
См. также задачи 1.23, 3.1, 3.22, 5.15, 5.16, 7.24—7.26, 8.45.
§ 5. Треугольник, образованный основаниями высот
1.53. Пусть AA1 и BB1 — высоты треугольника ABC. Докажите, что
4A1B1C ∼ 4ABC. Чему равен коэффициент подобия?
1.54. Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена
высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на
стороны BC и AC соответственно. Докажите, что 4MNC ∼ 4ABC.
1.55. В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1.
а) Докажите, что касательная в точке A к описанной окружности
параллельна прямой B1C1.
б) Докажите, что B1C1 ⊥ OA, где O— центр описанной окружности.
1.56. На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H.
Докажите, что AH · A1H = BH · B1H = CH · C1H тогда и только тогда,
когда H— точка пересечения высот треугольника ABC.
1.57. а) Докажите, что высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного
треугольника ABC делят углы треугольника A1B1C1 пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC
взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что если ∠B1A1C =
= ∠BA1C1, ∠A1B1C = ∠AB1C1 и ∠A1C1B = ∠AC1B1, то точки A1, B1 и C1
являются основаниями высот треугольника ABC.
1.58. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1,
BB1 и CC1. Докажите, что точка, симметричная A1 относительно пря-
мой AC, лежит на прямой B1C1.
1.59. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1,
BB1 и CC1. Докажите, что если A1B1 k AB и B1C1 k BC, то A1C1 k AC.
18 Глава 1. Подобные треугольники
1.60*. Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC,
q— полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что p : q = R : r, где R и r— радиусы описанной и вписанной
окружностей треугольника ABC.
§ 6. Подобные фигуры
1.61. В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные
к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают
от него три треугольника. Пусть r1, r2, r3 — радиусы вписанных в эти
треугольники окружностей. Докажите, что r1 + r2 + r3 = r.
1.62. Дан треугольник ABC. Постройте две прямые x и y так, чтобы
для любой точки M на стороне AC сумма длин отрезков MXM и MYM,
проведённых из точки M параллельно прямым x и y до пересечения
со сторонами AB и BC треугольника, равнялась 1.
1.63. В равнобедренном треугольнике ABC из середины H основа-
ния BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC; O— сере-
дина отрезка HE. Докажите, что прямые AO и BE перпендикулярны.
1.64. Докажите, что проекции основания высоты треугольника на
стороны, её заключающие, и на две другие высоты лежат на одной
прямой.
1.65. На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA по-
строены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону от AC. D— такая
точка на S3, что BD ⊥ AC. Общая касательная к S1 и S2, касается
этих полуокружностей в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S3, прове-
дённой через точку D.
б) Докажите, что BFDE— прямоугольник.
1.66*. Из произвольной точки M окружности, описанной около
прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две
его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на про-
должения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT
перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали
прямоугольника ABCD.
1.67*. К двум окружностям, расположенным одна вне другой, про-
ведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две
прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадле-
жащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих
прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.
См. также задачу 6.27.
Задачи для самостоятельного решения
1.68. Основание равнобедренного треугольника составляет четверть
его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые,
19
параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треуголь-
ника больше периметра отсечённого параллелограмма?
1.69. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите,
что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений
длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на
которые они делятся точкой пересечения.
1.70. Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая.
Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата
до этой прямой.
1.71. Точки A1, B1 и C1 симметричны центру описанной окруж-
ности треугольника ABC относительно его сторон. Докажите, что
4ABC = 4A1B1C1.
1.72. Докажите, что если ∠BAC = 2∠ABC, то BC2 = (AC + AB) · AC.
1.73. На прямой l даны точки A, B, C и D. Через точки A и B,
а также через точки C и D проводятся параллельные прямые. До-
кажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов
(или их продолжения) пересекают прямую l в двух фиксированных
точках.
1.74. В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя
линия A1C1. Прямые AD и A1C1 пересекаются в точке K. Докажите,
что 2A1K = |b − c|.
1.75. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD взяты точки
M и N так, что MN k AC. Докажите, что SABM = SCBN.
1.76. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяты точки P и Q
так, что AP = CQ. Точка M такова, что PM k AD и QM k AB. Докажи-
те, что точка M лежит на диагонали BD.
1.77. Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD
и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельно-
го основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей,
лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF =
= AO : CO.
1.78. Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника,
отсекают от него три треугольника, причём остаётся равносторонний
шестиугольник. Найдите длину стороны шестиугольника, если длины
сторон треугольника равны a, b и c.
1.79. Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересека-
ются в одной точке, причём стороны треугольника высекают на этих
прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольни-
ка равны a, b и c.
1.80. Точка P лежит внутри треугольника ABC, причём ∠ABP =
= ∠ACP. На прямых AB и AC взяты такие точки C1 и B1, что
BC1 : CB1 = CP : BP. Докажите, что одна из диагоналей параллелограм-
ма, две стороны которого лежат на прямых BP и CP, а две другие
стороны (или их продолжения) проходят через B1 и C1, параллель-
на BC.

§ 1. Углы, опирающиеся на равные дуги
2.1. Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрез-
ком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена
высота AH. Докажите, что ∠BAH = ∠OAC.
2.2. Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K
проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую
окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите,
что AC k BD.
2.3. Из точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опу-
щены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен
перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что ∠PAK = ∠MAQ.
2.4. а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пе-
ресекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной
окружности, Ob — центр вневписанной окружности, касающейся сто-
роны AC. Докажите, что точки A, C, O и Ob лежат на окружности
с центром M.
б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем
свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описан-
ных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что
O— центр вписанной окружности треугольника ABC.
2.5. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A движется
так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого
угла. Докажите, что множеством точек A является отрезок и найдите
его длину.
2.6. Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой пря-
моугольного треугольника ACK, причём точки B и K лежат по
32 Глава 2. Вписанный угол
одну сторону от прямой AC. Докажите, что BK = |AK − CK|/

2
и DK = (AK + CK)/√
2.
2.7. В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1. Докажи-
те, что если ∠CAA1 = ∠CBB1, то AC = BC.
2.8. Все углы треугольника ABC меньше 120◦
. Докажите, что внут-
ри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны
под углом 120◦
.
Точку из задачи 2.8 называют точкой Торричелли.
2.9. Окружность разделена на равные дуги n диаметрами. Дока-
жите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной
точки M, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются
вершинами правильного многоугольника.
2.10. На окружности даны точки A, B, M и N. Из точки M
проведены хорды MA1 и MB1, перпендикулярные прямым NB и NA
соответственно. Докажите, что AA1 k BB1.
2.11. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окруж-
ность с центром P пересекает первую окружность в точках A и B,
а вторую— в точках C и D. Докажите, что ∠AQD = ∠BQC.
2.12. Шестиугольник ABCDEF вписанный, причём AB k DE и
BC k EF. Докажите, что CD k AF.
2.13*. Многоугольник A1A2 . . . A2n вписанный. Про все пары его
противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллель-
ны. Докажите, что при нечётном n оставшаяся пара сторон тоже
параллельна, а при чётном n оставшаяся пара сторон равна по
длине.
2.14*. Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семей-
ства правильных треугольников, стороны которых (или их продолже-
ния) проходят через точки A, B и C. Докажите также, что центры
треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окруж-
ностях.
См. также задачу 1.54.
§ 2. Величина угла между двумя хордами
Решить задачи этого параграфа помогает следующий факт. Пусть
A, B, C, D — точки на окружности в указанном порядке. Тогда угол между
хордами AC и BD равен (✡AB + ✡CD)/2, угол между хордами AB и CD
равен |✡AD − ✡CB|/2. (Для доказательства нужно через конец одной из хорд
провести хорду, параллельную другой хорде.)
2.15. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке.
M— середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD
с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четы-
рёхугольник.
33
2.16. По стороне правильного треугольника катится окружность
радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги,
высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60◦
.
2.17. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой сторо-
ной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр O её описанной
окружности лежит на описанной окружности треугольника APB.
2.18. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке;
A1, B1, C1 и D1 — середины дуг AB, BC, CD и DA соответственно.
Докажите, что A1C1 ⊥ B1D1.
2.19. Внутри треугольника ABC взята точка P так, что ∠BPC =
= ∠A + 60◦
, ∠APC = ∠B + 60◦ и ∠APB = ∠C + 60◦
. Прямые AP, BP и CP
пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A0
,
B0 и C
0
. Докажите, что треугольник A0B0C
0 правильный.
2.20. На окружности взяты точки A, C1, B, A1, C, B1 в указанном
порядке.
а) Докажите, что если прямые AA1, BB1 и CC1 являются биссектри-
сами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольни-
ка A1B1C1.
б) Докажите, что если прямые AA1, BB1 и CC1 являются высотами
треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольни-
ка A1B1C1.
2.21*. В окружность вписаны треугольники T1 и T2, причём верши-
ны треугольника T2 являются серединами дуг, на которые окружность
разбивается вершинами треугольника T1. Докажите, что в шестиуголь-
нике, являющемся пересечением треугольников T1 и T2, диагонали,
соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам тре-
угольника T1 и пересекаются в одной точке.
§ 3. Угол между касательной и хордой
На языке ориентированных углов теорема об угле между касательной и хор-
дой формулируется следующим образом. Если AB — хорда окружности,
а l — касательная, проведённая в точке A, то для любой точки X данной
окружности имеет место равенство ∠(l, AB) = ∠(XA, XB).
2.22. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A
первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вто-
рую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A
к первой окружности параллельна прямой BC.
2.23. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Через
точку A проведена касательная AB к окружности S1, а через точ-
ку P — прямая CD, параллельная AB (точки B и C лежат на S2,
точка D— на S1). Докажите, что ABCD— параллелограмм.
2.24. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Через
точку A проведена касательная AQ к окружности S1 (точка Q лежит
на S2), а через точку B — касательная BS к окружности S2 (точка S
34 Глава 2. Вписанный угол
лежит на S1). Прямые BQ и AS пересекают окружности S1 и S2
в точках R и P. Докажите, что PQRS— параллелограмм.
2.25. Касательная в точке A к описанной окружности треугольни-
ка ABC пересекает прямую BC в точке E; AD— биссектриса треуголь-
ника ABC. Докажите, что AE = ED.
2.26. Окружности S1 и S2 пересекаются в точке A. Через точку A
проведена прямая, пересекающая S1 в точке B, а S2 в точке C. В точ-
ках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся
в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой,
проходящей через A.
2.27. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A
к этим окружностям проведены касательные AM и AN (M и N— точки
окружностей). Докажите, что:
а) ∠ABN + ∠MAN = 180◦
;
б) BM/BN = (AM/AN)2
.
2.28. Две окружности касаются внутренним образом в точке M.
Пусть AB— хорда большей окружности, касающаяся меньшей окруж-
ности в точке T. Докажите, что MT— биссектриса угла AMB.
2.29. Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведе-
на хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на
касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что вели-
чина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через
точку M.
2.30. Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C.
Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через
точку B; окружность S1 она пересекает в точке M. Докажите, что
прямая AM делит отрезок BC пополам.
2.31. Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1 и A2;
B — точка окружности S, а K1 и K2 — вторые точки пересечения
прямых A1B и A2B с окружностями S1 и S2. Докажите, что если пря-
мая K1K2 касается окружности S1, то она касается и окружности S2.
См. также задачи 1.55 а), 6.49.
§ 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды
2.32. В окружность вписаны равнобедренные трапеции ABCD
и A1B1C1D1 с соответственно параллельными сторонами. Докажите,
что AC = A1C1.
2.33. Из точки M, двигающейся по окружности, опускаются пер-
пендикуляры MP и MQ на диаметры AB и CD. Докажите, что длина
отрезка PQ не зависит от положения точки M.
2.34. В треугольнике ABC угол B равен 60◦
, биссектрисы AD и CE
пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.
2.35. В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40◦
;
BD— биссектриса угла B. Докажите, что BD + DA = BC.
35
2.36. На хорде AB окружности S с центром O взята точка C.
Описанная окружность треугольника AOC пересекает окружность S
в точке D. Докажите, что BC = CD.
2.37. Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что ∠MAC =
= ∠MCD = ❛. Найдите величину угла ABM.
2.38. Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на
окружности S, а вершина C— внутри этой окружности. Точка D лежит
на окружности S, причём BD = AB. Прямая CD вторично пересекает S
в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружно-
сти S.
2.39*. По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится
без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекто-
рию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?
2.40*. В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A
проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описан-
ную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонам
AC и AB— в точках B1 и C1. Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точ-
ке Y. Докажите, что BY + CY = AX.
§ 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности
2.41. Из произвольной точки M катета BC прямоугольного тре-
угольника ABC на гипотенузу AB опущен перпендикуляр MN. До-
кажите, что ∠MAN = ∠MCN.
2.42. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пере-
секаются в точке O; точки B0 и C
0
симметричны вершинам B и C
относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что ∠C
0AC = ∠B0DB.
2.43. Продолжения сторон AB и CD вписанного четырёхугольни-
ка ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD —
в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB
и BPC со сторонами четырёхугольника являются вершинами ромба.
2.44*. Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольни-
ка ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN
и биссектрисы угла B (или её продолжения). Докажите, что:
а) ∠BPC = 90◦
;
б) SABP : SABC = 1 : 2.
2.45*. Внутри четырёхугольника ABCD взята точка M так, что
ABMD — параллелограмм. Докажите, что если ∠CBM = ∠CDM, то
∠ACD = ∠BCM.
2.46*. Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность
треугольника ABC в точках A1, B1 и C1. Точки A2, B2 и C2 взяты на
прямых BC, CA и AB так, что ∠(PA2, BC) = ∠(PB2, CA) = ∠(PC2, AB).
Докажите, что 4A2B2C2 ∼ 4A1B1C1.
2.47*. Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоуголь-
ник ABCD, причём точки P и Q лежат на сторонах BC и CD
36 Глава 2. Вписанный угол
соответственно; P
0 и Q0 — середины сторон AP и AQ. Докажите, что
треугольники BQ0C и CP0D правильные.
2.48*. Докажите, что если для вписанного четырёхугольника ABCD
выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис
углов A и B лежит на стороне CD.
2.49*. Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF
разделены точками M и N так, что AM : AC = CN : CE = ❧. Найдите ❧,
если известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой.
2.50*. Треугольники ABC и A1B1C1 имеют соответственно парал-
лельные стороны, причём стороны AB и A1B1 лежат на одной прямой.
Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных
окружностей треугольников A1BC и AB1C, содержит точку C1.
2.51*. В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.
Прямая KL параллельна CC1, причём точки K и L лежат на прямых
BC и B1C1 соответственно. Докажите, что центр описанной окружно-
сти треугольника A1KL лежит на прямой AC.
2.52*. Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC
проведена прямая MN перпендикулярно CO, причём M и N лежат
на сторонах AC и BC соответственно. Прямые AO и BO пересекают
описанную окружность треугольника ABC в точках A0 и B0
. Докажи-
те, что точка пересечения прямых A0N и B0M лежит на описанной
окружности.
§ 6. Вписанный угол и подобные треугольники
2.53. На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB и CD
пересекаются в точке M. Докажите, что AC · AD/AM = BC · BD/BM.
2.54. На окружности даны точки A, B и C, причём точка B более
удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Пря-
мая AC пересекает прямую, проведённую через точку B параллельно l,
в точке D. Докажите, что AB2 = AC · AD.
2.55. Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C;
M и N — проекции точек A и B на прямую l, D — проекция точки C
на AB. Докажите, что CD2 = AM · BN.
2.56. В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C
опущены перпендикуляры BB1 и CC1 на прямую, проходящую через
точку A. Докажите, что 4ABC ∼ 4HB1C1.
2.57. На дуге BC окружности, описанной около равностороннего
треугольника ABC, взята произвольная точка P. Отрезки AP и BC
пересекаются в точке Q. Докажите, что 1/PQ = 1/PB + 1/PC.
2.58. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F так,
что ∠EAF = 45◦
. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках
P и Q. Докажите, что SAEF/SAPQ = 2.
2.59. Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного тре-
угольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную
37
окружность в точке N. Докажите, что CM · CN = AC2 и CM/CN =
= AM · BM/(AN · BN).
2.60. Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A.
На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что
CH = BC и AK = AB. Докажите, что:
а) DH = DK;
б) 4DKH ∼ 4ABK.
2.61. а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках
A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпен-
дикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB. Докажите,
что PC2
1 = PA1 · PB1 и PA1 : PB1 = PB2
: PA2
.
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольни-
ка ABC опущены перпендикуляры OA0
, OB0
, OC0 на стороны треуголь-
ника ABC и перпендикуляры OA00
, OB00
, OC00 на стороны треугольни-
ка с вершинами в точках касания. Докажите, что OA0
· OB0
· OC0 =
= OA00 · OB00 · OC00
.
2.62. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от
точки E до прямых AB, BC и CD равны a, b и c соответственно.
Найдите расстояние от точки E до прямой AD.
2.63. В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1;
B2 и C2 — середины высот BB1 и CC1. Докажите, что 4A1B2C2 ∼ 4ABC.
2.64. На высотах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1,
делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите,
что 4A1B1C1 ∼ 4ABC.
2.65*. Окружность S1 с диаметром AB пересекает окружность S2
с центром A в точках C и D. Через точку B проведена прямая,
пересекающая S2 в точке M, лежащей внутри S1, а S1 в точке N.
Докажите, что MN2 = CN · ND.
2.66*. Через середину C произвольной хорды AB окружности про-
ведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону
от AB). Отрезки KN и ML пересекают AB в точках Q и P. Докажите,
что PC = QC (задача о бабочке).
2.67*. а) Окружность, проходящая через точку C, пересекает сторо-
ны BC и AC треугольника ABC в точках A1 и B1, а его описанную
окружность в точке M. Докажите, что 4AB1M ∼ 4BA1M.
б) На лучах AC и BC отложены отрезки AA1 и BB1, равные
полупериметру треугольника ABC. M — такая точка его описанной
окружности, что CM k A1B1. Докажите, что ∠CMO = 90◦
, где O— центр
вписанной окружности.
См. также задачу 2.27 б).
§ 7. Биссектриса делит дугу пополам
2.68. В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажи-
те, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой
38 Глава 2. Вписанный угол
и высотой, проведёнными из этой вершины, тогда и только тогда,
когда ∠C = 90◦
.
2.69. Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса
и высота, проведённые из вершины C, делят угол на четыре равные
части. Найдите углы этого треугольника.
2.70. Докажите, что в любом треугольнике ABC биссектриса AE
лежит между медианой AM и высотой AH.
2.71. Дан треугольник ABC. На его стороне AB выбирается точка P
и через неё проводятся прямые PM и PN, параллельные AC и BC
соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC); Q — точ-
ка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM.
Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.
2.72. Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника
ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на
стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите,
что SABC = SAPEQ.
§ 8. Вписанный четырёхугольник
с перпендикулярными диагоналями
В этом параграфе ABCD — вписанный четырёхугольник, диагонали которо-
го перпендикулярны. Мы будем использовать также следующие обозначения:
O — центр описанной окружности четырёхугольника ABCD, P — точка пересе-
чения диагоналей.
2.73. Докажите, что ломаная AOC делит ABCD на две фигуры рав-
ной площади.
2.74. Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите AP2 + BP2 + CP2 + DP2
.
б) Найдите сумму квадратов сторон четырёхугольника ABCD.
2.75. Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина
отрезка OP и радиус окружности R.
2.76. Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD, пересе-
кающие прямые BD и AC в точках K и L соответственно. Докажите,
что AKLB— ромб.
2.77. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD равна
(AB · CD + BC · AD)/2.
2.78. Докажите, что расстояние от точки O до стороны AB равно
половине длины стороны CD.
2.79. Докажите, что прямая, проведённая из точки P перпендику-
лярно BC, делит сторону AD пополам.
2.80. Докажите, что середины сторон четырёхугольника ABCD
и проекции точки P на стороны лежат на одной окружности.
2.81. а) Через вершины A, B, C и D проведены касательные к опи-
санной окружности. Докажите, что образованный ими четырёхуголь-
ник вписанный.
39
б) Четырёхугольник KLMN вписанный и описанный одновременно;
A и B— точки касания вписанной окружности со сторонами KL и LM.
Докажите, что AK · BM = r
2
, где r — радиус вписанной окружности.
См. также задачу 5.45.
§ 9. Три описанные окружности
пересекаются в одной точке
2.82. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
треугольники ABC0
, AB0C и A0BC, причём сумма углов при вершинах
A0
, B0 и C
0 кратна 180◦
. Докажите, что описанные окружности постро-
енных треугольников пересекаются в одной точке.
2.83. а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на
их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные от вершин
треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA и AB
так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же тре-
угольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей
треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C остаётся при этом неподвижной.
(Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково
ориентированными.)
2.84. Точки A1, B1, C1 движутся по прямым BC, CA, AB так, что
все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику
(треугольники предполагаются не только подобными, но и одина-
ково ориентированными). Докажите, что треугольник A1B1C1 имеет
минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры,
восставленные из точек A1, B1, C1 к прямым BC, CA, AB пересекаются
в одной точке.
2.85. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX
и CX пересекают стороны треугольника в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AB1C1,
A1BC1 и A1B1C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения
высот треугольника ABC.
2.86*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1. Докажите, что если треугольники A1B1C1 и ABC по-
добны и противоположно ориентированы, то описанные окружности
треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C проходят через центр описанной
окружности треугольника ABC.
2.87*. Точки A0
, B0 и C
0
симметричны некоторой точке P относи-
тельно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB0C
0
,
A0BC0
, A0B0C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A0BC,
AB0C, ABC0 и A0B0C
0 имеют общую точку Q.
40 Глава 2. Вписанный угол
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треуголь-
ников A0BC, AB0C, ABC0 и A0B0C
0
. Докажите, что QI : OI = QJ : OJ =
= QK : OK.
См. также задачи 28.33, 28.34, 28.38.
§ 10. Точка Микеля
2.88. Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют
общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольни-
ков лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.
2.89*. Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или
их продолжения) в точках C1, B1 и A1; O, Oa, Ob и Oc — центры
описанных окружностей треугольников ABC, AB1C1, A1BC1 и A1B1C;
H, Ha, Hb и Hc — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а) 4OaObOc ∼ 4ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам OH, OaHa, ObHb и OcHc
пересекаются в одной точке.
2.90*. Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка
Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке,
соединяющем точки пересечения продолжений сторон.
2.91*. Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O.
Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности
треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажи-
те, что:
а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;
б) ∠EPO = 90◦
.
2.92*. Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Мике-
ля на эти прямые лежат на одной прямой.
См. также задачи 19.46, 28.34, 28.36, 28.37.
§ 11. Разные задачи
2.93. В треугольнике ABC проведена высота AH; O— центр описан-
ной окружности. Докажите, что ∠OAH = |∠B − ∠C|.
2.94. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC,
а AA0 — диаметр его описанной окружности. Докажите, что отре-
зок A0H делит сторону BC пополам.
2.95. Через вершины A и B треугольника ABC проведены две па-
раллельные прямые, а прямые m и n симметричны им относительно
биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения
прямых m и n лежит на описанной окружности треугольника ABC.
2.96. а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности S
в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности тре-
41
угольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся
стороны BC, лежат на окружности S.
б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и C
любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, вы-
секает на прямых AB и AC равные хорды.
2.97*. На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом
построены квадраты ACA1A2 и BCB1B2. Докажите, что прямые A1B,
A2B2 и AB1 пересекаются в одной точке.
2.98*. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, причём
касательные к S1 в этих точках являются радиусами S2. На внутрен-
ней дуге S1 взята точка C и соединена с точками A и B прямыми.
Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с S2 являются
концами одного диаметра.
2.99*. Из центра O окружности опущен перпендикуляр OA на пря-
мую l. На прямой l взяты точки B и C так, что AB = AC. Через точки
B и C проведены две секущие, первая из которых пересекает окруж-
ность в точках P и Q, а вторая— в точках M и N. Прямые PM и QN
пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS (задача
о бабочке).
Задачи для самостоятельного решения
2.100. В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1; M —
середина стороны AB. Докажите, что MA1 = MB1.
2.101. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C прямые.
Докажите, что AC = BD · sin ABC.
2.102. Диагонали AD, BE и CF вписанного шестиугольника
ABCDEF пересекаются в одной точке. Докажите, что AB · CD · EF =
= BC · DE · AF.
2.103. В выпуклом четырёхугольнике AB = BC = CD, M— точка пе-
ресечения диагоналей, K— точка пересечения биссектрис углов A и D.
Докажите, что точки A, M, K и D лежат на одной окружности.
2.104. Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках
A и B. Прямая O1A пересекает окружность с центром O2 в точке N.
Докажите, что точки O1, O2, B и N лежат на одной окружности.
2.105. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Пря-
мая MN касается окружности S1 в точке M и окружности S2 в точ-
ке N. Пусть A— та из точек пересечения окружностей, которая более
удалена от прямой MN. Докажите, что ∠O1AO2 = 2∠MAN.
2.106. Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность, при-
чём AB = BC. Докажите, что SABCD =
1
2
(DA + CD) · hb, где hb — высота
треугольника ABD, опущенная из вершины B.
2.107. Четырёхугольник ABCD вписанный, причём AC— биссектри-
са угла DAB. Докажите, что AC · BD = AD · DC + AB · BC.
42 Глава 2. Вписанный угол
2.108. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого уг-
ла C проведены биссектриса CM и высота CH. HD и HE— биссектрисы
треугольников AHC и CHB. Докажите, что точки C, D, H, E и M
лежат на одной окружности.
2.109. Две окружности проходят через вершину угла и точку его
биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах
угла, равны.
2.110. Треугольник BHC, где H — ортоцентр треугольника ABC,
достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что ∠BAD = ∠CAH.
2.111. Вне правильного треугольника ABC, но внутри угла BAC
взята точка M так, что ∠CMA = 30◦ и ∠BMA = ❛. Чему равен
угол ABM?
2.112. Докажите, что если вписанный четырёхугольник с перпен-
дикулярными диагоналями является также и описанным, то он сим-
метричен относительно одной из диагоналей.

§ 1. Касательные к окружностям
3.1. Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B—
точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересе-
кающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина
угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.
3.2. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC
в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что CK = BL =
= (a + b − c)/2, где a, b, c— длины сторон треугольника.
3.3. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята
точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, каса-
ющиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN,
если известны длины отрезков AE и BE.
3.4. Четырёхугольник ABCD обладает тем свойством, что существу-
ет окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений
сторон BC и CD. Докажите, что AB + BC = AD + DC.
3.5. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами
R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и ка-
сается одной из окружностей в точке C. Докажите, что AC · CB = Rr.
3.6*. К двум окружностям различного радиуса проведены общие
внешние касательные AB и CD. Докажите, что четырёхугольник ABCD
описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.
57
3.7*. Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность тре-
угольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках
M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC и CD
Рис. 3.1
лежат на вписанной окружности треугольни-
ка BCD.
3.8*. На каждой стороне четырёхугольни-
ка ABCD взято по две точки, и они соединены
так, как показано на рис. 3.1. Докажите, что
если все пять заштрихованных четырёхугольни-
ков описанные, то четырёхугольник ABCD тоже
описанный.
3.9*. Дана окружность и точка вне её; из
этой точки мы совершаем путь по замкнутой
ломаной, состоящей из отрезков прямых, ка-
сательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке.
Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности,
берём со знаком плюс, а участки пути, по которым удалялись от цен-
тра,— со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма
длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
См. также задачи 1.21 а), 1.61, 1.65, 1.67.
§ 2. Произведение длин отрезков хорд
3.10. Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух пересекаю-
щихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хор-
да LN второй окружности. Докажите, что четырёхугольник KLMN
вписанный.
3.11. Две окружности пересекаются в точках A и B; MN — общая
касательная к ним. Докажите, что прямая AB делит отрезок MN
пополам.
3.12. Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC па-
раллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность
в точках K и L. Докажите, что прямая KL делит отрезок OA по-
полам.
3.13. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагона-
ли BD; M — такая точка диагонали AC, что четырёхугольник BCDM
вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной
к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.
3.14. Даны окружность S и точки A и B вне её. Для каждой
прямой l, проходящей через точку A и пересекающей окружность S
в точках M и N, рассмотрим описанную окружность треугольни-
ка BMN. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку,
отличную от точки B.
3.15. Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хор-
ды AB. Для каждой окружности S
0
, касающейся хорды AB в точке C
58 Глава 3. Окружности
и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M
пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не
зависит от выбора окружности S
0
.
См. также задачи 1.32, 2.29.
§ 3. Касающиеся окружности
3.16. Две окружности касаются внешним образом в точке A. К ним
проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей
в точках C и D. Докажите, что ∠CAD = 90◦
.
3.17. Две окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 касаются в точ-
ке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S1 в точке A1
и S2 в точке A2. Докажите, что O1A1 k O2A2.
3.18. Три окружности S1, S2 и S3 попарно касаются друг друга
в трёх различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку
касания окружностей S1 и S2 с двумя другими точками касания, пе-
ресекают окружность S3 в точках, являющихся концами её диаметра.
3.19. Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются
внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите
периметр треугольника OO1O2.
3.20. Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним об-
разом в точках A и B, причём одна из точек пересечения окружностей
S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окруж-
ностей S1 и S2 равна радиусу окружности S.
3.21. Радиусы окружностей S1 и S2, касающихся в точке A, равны
R и r (R > r). Найдите длину касательной, проведённой к окруж-
Рис. 3.2
ности S2 из точки B окружности S1,
если известно, что AB = a. (Разбе-
рите случаи внутреннего и внешнего
касания.)

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar