Тема №6047 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 10)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 10) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 10), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 2. Формула Пика
24.7*. Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) распо-
ложены в узлах целочисленной решётки. Внутри его лежит n узлов
решётки, а на границе m узлов. Докажите, что его площадь равна
n + m/2 − 1 (формула Пика).
470 Глава 24. Целочисленные решётки
24.8*. Последовательностью Фарея Fn называют возрастающую по-
следовательность несократимых дробей a/b, где 0 < a < b 6 n. Пусть
a/b и c/d— соседние члены последовательности Фарея. Докажите, что
|ad − bc| = 1.
24.9*. Вершины треугольника ABC расположены в узлах целочис-
ленной решётки, причём на его сторонах других узлов нет, а внутри
его есть ровно один узел O. Докажите, что O — точка пересечения
медиан треугольника ABC.
24.10*. Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть
более (n + 1)
2 точек целочисленной решётки.
§ 3. Разные задачи
24.11*. На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окраше-
но в чёрный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать
конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия:
1) все чёрные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом
вырезанном квадрате K площадь чёрных клеток составит не менее 0,2
и не более 0,8 площади K.
24.12*. Докажите, что для любого n существует окружность, внут-
ри которой лежит ровно n целочисленных точек.
24.13*. Докажите, что для любого n существует окружность, на
которой лежит ровно n целочисленных точек.
См. также задачи 21.1, 21.23, 23.4.
§ 4. Вокруг теоремы Минковского
24.14*. Начало координат является центром симметрии выпуклой
фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя
бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат
(Минковский).
24.15*. а) Во всех узлах целочисленной решётки, кроме одного,
в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют
радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находяще-
гося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной
решётки, расположенных строго внутри окружности радиуса √
n2 + 1
с центром в начале координат и отличных от начала координат,
растут деревья радиуса r. Докажите, что если r <
1
p
n2 + 1
, то на
указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала
координат.
24.16*. Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полуперимет-
ром p нет точек целочисленной решётки. Докажите, что S 6 p.
Решения задач 471
24.17*. Выпуклая фигура Φ имеет площадь S и полупериметр p.
Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то Φ со-
держит по крайней мере n целочисленных точек.
24.18*. Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полуперимет-
ром p лежит n узлов решётки. Докажите, что n > S − p.

§ 1. Равносоставленные фигуры
25.1. Разрежьте произвольный треугольник на 3 части и сложите
из них прямоугольник.
25.2. Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых
можно составить треугольник, симметричный исходному относительно
некоторой прямой (части переворачивать нельзя).
25.3. Разрежьте правильный треугольник шестью прямыми на ча-
сти и сложите из них 7 одинаковых правильных треугольников.
25.4*. Разрежьте правильный шестиугольник на 5 частей и сложи-
те из них квадрат.
* * *
25.5*. Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одина-
ковых квадрата.
25.6*. Даны два параллелограмма равной площади с общей сторо-
ной. Докажите, что первый параллелограмм можно разрезать на части
и сложить из них второй.
25.7*. Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать на
части и сложить из них прямоугольник со стороной 1.
25.8*. а) Докажите, что любой многоугольник можно разрезать на
части и сложить из них прямоугольник со стороной 1.
480 Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия
б) Даны два многоугольника равной площади. Докажите, что пер-
вый многоугольник можно разрезать на части и сложить из них
второй.
См. также задачу 23.18.
§ 2. Разрезания на части, обладающие
специальными свойствами
25.9. Разрежьте фигуру, изображённую на рис. 25.1, на 4 равные
части.
25.10. Существует ли треугольник, который можно разрезать:
Рис. 25.1
а) на 3; б) на 5 равных треугольников, подобных
исходному?
25.11*. а) Докажите, что любой неравносторон-
ний треугольник можно разрезать на неравные тре-
угольники, подобные исходному.
б) Докажите, что правильный треугольник нель-
зя разрезать на неравные правильные треуголь-
ники.
25.12*. Разрежьте квадрат на 8 остроугольных
треугольников.
25.13*. Можно ли какой-нибудь невыпуклый
5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?
25.14*. Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на
7 остроугольных.
25.15*. Разрежьте разносторонний треугольник на 7 равнобедрен-
ных, три из которых равны.
См. также задачу 3.71.
§ 3. Свойства частей, полученных при разрезаниях
25.16. а) В выпуклом n-угольнике проведены все диагонали. Они
разбивают его на несколько многоугольников. Докажите, что у каж-
дого из них не более n сторон.
б)* Докажите, что если n чётно, то у каждого из полученных
многоугольников не более n − 1 сторон.
25.17. Докажите, что если n-угольник разрезан произвольным об-
разом на k треугольников, то k > n − 2.
25.18*. На квадратном листе бумаги нарисовано n прямоуголь-
ников со сторонами, параллельными сторонам листа. Никакие два
из этих прямоугольников не имеют общих внутренних точек. До-
кажите, что если вырезать эти прямоугольники, то количество кус-
ков, на которые распадается оставшаяся часть листа, не превосходит
n + 1.
Условия задач 481
25.19*. Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD мож-
но разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD— трапеция
или параллелограмм.
25.20*. В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрез-
ков, параллельных его сторонам, причём эти отрезки могут пересекать
друг друга. Сумма длин отрезков равна 18. Докажите, что площадь
одной из частей, на которые разбит квадрат, не меньше 0,01.
25.21*. Треугольник, все углы которого не превосходят 120◦
, раз-
резан на несколько треугольников. Докажите, что хотя бы у одного
из полученных треугольников все углы не превосходят 120◦
.
См. также задачи 4.54, 22.45, 22.46, 23.15, 23.30, 23.40, 23.41.
§ 4. Разрезания на параллелограммы
25.22*. Докажите, что следующие свойства выпуклого многоуголь-
ника F эквивалентны: 1) F имеет центр симметрии; 2) F можно
разрезать на параллелограммы.
25.23*. Докажите, что если выпуклый многоугольник можно разре-
зать на центрально симметричные многоугольники, то он имеет центр
симметрии.
25.24*. Докажите, что любой правильный 2n-угольник можно раз-
резать на ромбы.
25.25*. Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан на
параллелограммы. Докажите, что среди них есть по крайней мере
два прямоугольника, причём сумма площадей всех прямоугольников
равна 2.
§ 5. Плоскость, разрезанная прямыми
25.26. 99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все
возможные значения n, меньшие 199.
Пусть на плоскости проведено n попарно непараллельных прямых, никакие
три из которых не пересекаются в одной точке. В задачах 25.27—25.31 рас-
сматриваются свойства фигур, на которые эти прямые разбивают плоскость.
При этом фигуру называют p-звенной, если она ограничена p звеньями
(т. е. отрезками или лучами).
25.27. Докажите, что при n = 4 среди полученных частей есть че-
тырёхугольник.
25.28. а) Найдите число всех полученных фигур.
б) Найдите число ограниченных фигур, т. е. многоугольников.
25.29. а) Докажите, что при n = 2k среди полученных фигур не
более 2k − 1 углов.
б) Может ли при n = 100 среди полученных фигур быть только три
угла?
482 Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия
25.30*. Докажите, что если среди полученных фигур есть p-звенная
и q-звенная, то p + q 6 n + 4.
25.31*. Докажите, что при n > 3 среди полученных частей не менее
(2n − 2)/3 треугольников.
Откажемся теперь от предположения, что никакие три из рассматриваемых
прямых не пересекаются в одной точке. Если P — точка пересечения двух
или нескольких прямых, то количество прямых данной системы, проходя-
щих через точку P, будем обозначать ❧(P).
25.32*. Докажите, что количество отрезков, на которые данные
прямые разбиты точками их пересечения, равно −n +
P❧(P).
25.33*. Докажите, что количество частей, на которые данные пря-
мые разбивают плоскость, равно 1 + n +
P(❧(P) − 1), причём среди
этих частей 2n неограниченных.
25.34*. Части, на которые плоскость разрезана прямыми, раскра-
шены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета
(см. задачу 27.1). Пусть a — количество красных частей, b — количе-
ство синих частей. Докажите, что
a 6 2b − 2 −
X(❧(P) − 2),
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда красные
области— треугольники и углы.
§ 6. Разные задачи на разрезания
25.35*. Можно ли невыпуклый четырёхугольник разрезать двумя
прямыми на 6 частей?
25.36*. Докажите, что любой выпуклый n-угольник, где n > 6,
можно разрезать на выпуклые пятиугольники.
25.37*. Докажите, что семиугольник нельзя разрезать на выпуклые
шестиугольники.
25.38*. Докажите, что для любого натурального n, где n > 6, квад-
рат можно разрезать на n квадратов.
25.39*. Докажите, что выпуклый 22-угольник нельзя разрезать
диагоналями на 7 пятиугольников.
25.40*. Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000
выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие
точки не более чем с 40 из них?
25.41*. Квадратный лист бумаги разрезают прямой на две части.
Одну из полученных частей разрезают на две части, и так дела-
ют несколько раз. Какое наименьшее число разрезаний нужно сде-
лать, чтобы среди полученных частей оказалось 100 двадцатиуголь-
ников?
25.42*. а) Докажите, что из пяти попарно различных по величине
квадратов нельзя сложить прямоугольник.
Условия задач 483
б) Докажите, что из шести попарно различных по величине квад-
ратов нельзя сложить прямоугольник.
25.43*. Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной
из сторон каждого из которых — целое число. Докажите, что длина
одной из сторон исходного прямоугольника— целое число.
См. также задачи 23.18 и 23.19.
§ 7. Разбиение фигур на отрезки
25.44. Докажите, что четырёхугольник (с границей и внутренно-
стью) можно разбить на отрезки, т. е. представить в виде объединения
непересекающихся отрезков.
25.45*. Докажите, что треугольник можно разбить на отрезки.
25.46*. Докажите, что круг можно разбить на отрезки.
25.47*. Докажите, что плоскость можно разбить на отрезки.
§ 8. Покрытия
25.48*. На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, пол-
ностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые
из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сум-
ма их длин не превосходила 2.
25.49*. Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нём
отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попар-
но непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.
25.50*. Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые.
Докажите, что в нём найдутся две такие диагонали, что круги,
построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пяти-
угольник.
25.51*. а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими
квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите,
что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма
площадей которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что
из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов
с общей площадью не менее 1/9.
25.52*. Прожектор освещает угол величиной 90◦
. Докажите, что
в любых четырёх заданных точках можно разместить 4 прожектора
так, что они осветят всю плоскость.
25.53*. Длина проекции фигуры Φ на любую прямую не превос-
ходит 1. Верно ли, что Φ можно накрыть кругом диаметра: а) 1;
б) 1,5?
25.54*. Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно
накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма
484 Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия
их диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них
больше 1.
25.55*. На круглом столе радиуса R расположено без наложений
n круглых монет радиуса r, причём больше нельзя положить ни одной
монеты. Докажите, что R/r 6 2

n + 1.
См. также задачи 20.13, 20.17, 20.28, 20.34, 22.5, 22.10, 22.33,
22.35.
§ 9. Замощения костями домино и плитками
Рис. 25.2
25.56. Замостите обычную шахматную доску
плитками, изображёнными на рис. 25.2.
25.57*. Из шахматной доски со стороной а) 2n
;
б) 6n + 1 выброшена одна клетка. Докажите, что
оставшуюся часть доски можно замостить плитка-
ми, изображёнными на рис. 25.3.
25.58*. Вырежьте из обычной шахматной доски
одну клетку так, чтобы оставшуюся часть можно
Рис. 25.3
было замостить плитками размером 1 × 3.
25.59*. Прямоугольник размером 2n × 2m замостили
костями домино 1 × 2. Докажите, что на этот слой ко-
стей можно положить второй слой так, что ни одна кость
второго слоя не совпадёт с костью первого слоя.
25.60*. Прямоугольник покрыт в два слоя карточка-
ми 1 × 2 (над каждой клеткой лежат ровно две кар-
точки). Докажите, что карточки можно разбить на два
непересекающихся множества, каждое из которых по-
крывает весь прямоугольник.
25.61*. а) Можно ли квадрат 6 × 6 замостить костями домино 1 × 2
так, чтобы не было «шва», т. е. прямой, не разрезающей костей?
б) Докажите, что любой прямоугольник m × n, где m и n больше 6
и mn чётно, можно замостить костями домино так, чтобы не было
«шва».
в) Докажите, что прямоугольник 6 × 8 можно замостить костями
домино так, чтобы не было «шва».
25.62*. Имеется неограниченное количество плиток в форме мно-
гоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить
паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса
так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n > 7, то
паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно
непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar