Тема №6039 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

3.22. На отрезке AB взята точ-
ка C. Прямая, проходящая че-
рез точку C, пересекает окружно-
сти с диаметрами AC и BC в точ-
ках K и L, а окружность с диамет-
ром AB— в точках M и N. Докажи-
те, что KM = LN.
3.23. Даны четыре окружности
S1, S2, S3 и S4, причём окружности
Si и Si+1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1). Дока-
жите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник.
3.24*. а) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг
друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. 3.2.
Пусть a, b и c— радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите,
что 1/

c = 1/

a + 1/

b.
 59
б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести
различных точках). Пусть a, b, c, d — их радиусы, ❛ = 1/a, ❜ = 1/b,
❣ = 1/c и ❞ = 1/d. Докажите, что 2(❛
2 + ❜
2 + ❣2 + ❞
2
) = (❛ + ❜ + ❣ + ❞)
2
.
§ 4. Три окружности одного радиуса
3.25. Три окружности радиуса R проходят через точку H; A, B и C—
точки их попарного пересечения, отличные от H. Докажите, что:
а) H— точка пересечения высот треугольника ABC;
б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен R.
Рис. 3.3
3.26*. Три равные окружности пересекаются так, как показано на
рис. 3.3, а или б. Докажите, что ✡AB1 + ✡BC1 ± ✡CA1 = 180◦
, где знак
Рис. 3.4
минус берётся в случае б.
3.27*. Три окружности одного ра-
диуса проходят через точку P;
A, B и Q — точки их попарного пе-
ресечения. Четвёртая окружность то-
го же радиуса проходит через точ-
ку Q и пересекается с двумя другими
в точках C и D. При этом треуголь-
ники ABQ и CDP остроугольные,
а четырёхугольник ABCD выпуклый
(рис. 3.4). Докажите, что ABCD— па-
раллелограмм.
§ 5. Две касательные, проведённые из одной точки
3.28. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности
с центром O. Докажите, что если из точки M отрезок AO виден под
углом 90◦
, то отрезки OB и OC видны из неё под равными углами.
3.29. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружно-
сти с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL,
60 Глава 3. Окружности
перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC).
Докажите, что KX = XL.
3.30. На продолжении хорды KL окружности с центром O взята
точка A, и из неё проведены касательные AP и AQ; M — середина
отрезка PQ. Докажите, что ∠MKO = ∠MLO.
3.31*. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности
и секущая, пересекающая окружность в точках D и E; M — середина
отрезка BC. Докажите, что BM2 = DM · ME и угол DME в два раза
больше угла DBE или угла DCE; кроме того, ∠BEM = ∠DEC.
3.32*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём ка-
сательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на
прямой AC.
а) Докажите, что AB · CD = BC · AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC
в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.
* * *
3.33. Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из
точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB
к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.
Если точка P лежит вне окружности S, а PA и PB — касательные к окруж-
ности, то прямую AB называют полярой точки P относительно окружно-
сти S.
3.34*. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, причём
центр O окружности S1 лежит на S2. Прямая, проходящая через
точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность S2 в точ-
ке C. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно
окружности S1.
§ 6. Применение теоремы о высотах треугольника
3.35. Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Пря-
мые AC и BD, AD и BC пересекаются в точках P и Q. Докажите,
что AB ⊥ PQ.
3.36*. Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром AB
(C и D — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая P
с точкой пересечения прямых AC и BD, перпендикулярна AB.
3.37*. Даны диаметр AB окружности и точка C, не лежащая на
прямой AB. С помощью одной линейки (без циркуля) опустите перпен-
дикуляр из точки C на AB, если: а) точка C не лежит на окружности;
б) точка C лежит на окружности.
3.38*. Пусть Oa, Ob и Oc — центры описанных окружностей тре-
угольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки Oa и Ob лежат
на прямых PA и PB, то точка Oc лежит на прямой PC.
 61
§ 7. Площади криволинейных фигур
3.39. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника по-
строены полуокружности, расположенные так, как показано на
Рис. 3.5
рис. 3.5. Докажите, что сумма площадей обра-
зовавшихся «луночек» равна площади данного
треугольника.
3.40*. В круге проведены два перпендикуляр-
ных диаметра, т. е. четыре радиуса, а затем
построены четыре круга, диаметрами которых
служат эти радиусы. Докажите, что суммарная
площадь попарно общих частей этих кругов рав-
на площади части исходного круга, лежащей
вне рассматриваемых четырёх кругов (рис. 3.6).
3.41*. На трёх отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B
лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности.
Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного
дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине
площади (обычного) треугольника ABC.
Рис. 3.6 Рис. 3.7
3.42*. На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC
как на диаметрах построены окружности. При этом образуется
три «внешних» криволинейных треугольника и один «внутренний»
(рис. 3.7). Докажите, что если из суммы площадей «внешних» тре-
угольников вычесть площадь «внутреннего» треугольника, то получит-
ся удвоенная площадь треугольника ABC.
§ 8. Окружности, вписанные в сегмент
3.43. Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окруж-
ность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N.
62 Глава 3. Окружности
Докажите, что:
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA.
3.44. Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диа-
метр AB. Окружность S1 касается отрезка CA в точке E, а также
отрезка CD и окружности S. Докажите, что DE — биссектриса тре-
угольника ADC.
3.45*. Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окруж-
ности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN
проходит через середину C дополнительной для данного сегмента ду-
ги AB.
3.46*. На диаметре AB окружности S взята точка K и из неё
восставлен перпендикуляр, пересекающий S в точке L. Окружности
SA и SB касаются окружности S, отрезка LK и диаметра AB, а именно,
SA касается отрезка AK в точке A1, SB касается отрезка BK в точ-
ке B1. Докажите, что ∠A1LB1 = 45◦
.
3.47*. Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC
в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутрен-
ним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с цен-
тром вписанной окружности треугольника ABC.
3.48*. Треугольники ABC1 и ABC2 вписаны в окружность S, при-
чём хорды AC2 и BC1 пересекаются. Окружность S1 касается хор-
ды AC2 в точке M2, хорды BC1 в точке N1 и окружности S. Докажите,
что центры вписанных окружностей треугольников ABC1 и ABC2 ле-
жат на отрезке M2N1.
3.49*. На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окруж-
ность S1 касается отрезков BD и DA и описанной окружности,
окружность S2 касается отрезков CD и DA и описанной окружности.
Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 — центры и радиусы вписанной окруж-
ности и окружностей S1, S2; ❢ = ∠ADB. Докажите, что точка I
лежит на отрезке I1I2, причём I1I: I2I = tg2 ❢
2
. Докажите также, что
r = r1 cos2 ❢
2
+ r2 sin2 ❢
2
(Тебо).
3.50*. Четырёхугольник ABCD вписанный. Пусть ra, rb, rc, rd — ра-
диусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC.
Докажите, что ra + rc = rb + rd.

§ 9. Разные задачи
3.51. Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние между
их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны
тогда и только тогда, когда d
2 = R
2
1 + R
2
2
.
 63
3.52. Три окружности попарно касаются внешним образом в точках
A, B и C. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC
перпендикулярна всем трём окружностям.
3.53. Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках
A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая первую окруж-
ность в точке M1, а вторую в точке M2. Докажите, что ∠BO1M1 =
= ∠BO2M2.
§ 10. Радикальная ось
3.54. На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, про-
ведённая через точку P, пересекает окружность в точках A и B.
Докажите, что произведение PA · PB не зависит от выбора прямой.
Эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне окружности и со зна-
ком минус для точки P внутри окружности, называется степенью точки P
относительно окружности S.
3.55. Докажите, что для точки P, лежащей вне окружности S, её
степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведён-
ной из этой точки.
3.56. Докажите, что степень точки P относительно окружности S
равна d
2 − R
2
, где R — радиус S, d — расстояние от точки P до цен-
тра S.
3.57. Окружность задана уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) = x
2 +
+ y
2 + ax + by + c. Докажите, что степень точки (x0, y0) относительно
этой окружности равна f(x0, y0).
3.58*. На плоскости даны две неконцентрические окружности S1
и S2. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых
степень относительно S1 равна степени относительно S2, является
прямая.
Эту прямую называют радикальной осью окружностей S1 и S2.
3.59*. Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся ок-
ружностей проходит через точки их пересечения.
3.60*. На плоскости даны три окружности, центры которых не ле-
жат на одной прямой. Проведём радикальные оси для каждой пары
этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересека-
ются в одной точке.
Эту точку называют радикальным центром трёх окружностей.
3.61*. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружно-
сти. Через точки пересечения любых двух из них проведена прямая.
Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или па-
раллельны.
3.62*. Постройте радикальную ось двух непересекающихся окруж-
ностей S1 и S2.
64 Глава 3. Окружности
3.63*. Даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите,
что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окруж-
ности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой
(если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.
3.64*. а) Докажите, что середины четырёх общих касательных
к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.
б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя
окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высека-
ют на этой прямой равные хорды.
3.65*. На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C
опущен перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хор-
да окружности S и окружности S1 с центром C и радиусом CH делит
отрезок CH пополам.
3.66*. На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1
и B1; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диа-
метрами AA1 и BB1. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольни-
ка ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда
AB1 : AC = BA1 : BC.
3.67*. Продолжения сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пе-
ресекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E.
Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую
радикальную ось, причём на ней лежат ортоцентры треугольников
ABE, CDE, ADF и BCF.
3.68*. Три окружности попарно пересекаются в точках A1 и A2,
B1 и B2, C1 и C2. Докажите, что A1B2 · B1C2 · C1A2 = A2B1 · B2C1 · C2A1.
3.69*. На стороне BC треугольника ABC взята точка A0
. Середин-
ный перпендикуляр к отрезку A0B пересекает сторону AB в точке M,
а серединный перпендикуляр к отрезку A0C пересекает сторону AC
в точке N. Докажите, что точка, симметричная точке A0 относительно
прямой MN, лежит на описанной окружности треугольника ABC.
3.70*. Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.
3.71*. Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько
попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите,
что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники
так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался
ровно один из данных кругов.
3.72*. а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.
Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 пересекаются в точках C
0
,
A0 и B0
. Докажите, что точки A0
, B0 и C
0 лежат на радикальной оси
окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают про-
должения противоположных сторон в точках A0
, B0 и C
0
. Докажите,
что точки A0
, B0 и C
0 лежат на одной прямой, причём эта прямая пер-
 65
пендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной
окружностей треугольника ABC.
3.73*. Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шести-
угольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).
3.74*. Даны четыре окружности S1, S2, S3 и S4, причём окружно-
сти Si и Si+1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1).
Докажите, что радикальная ось окружностей S1 и S3 проходит через
точку пересечения общих внешних касательных к S2 и S4.
3.75*. а) Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Сте-
пень точки P окружности S1 относительно окружности S2 равна p,
расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между
центрами окружностей равно d. Докажите, что |p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей
треугольников BCD и ACD равны pa и pb. Докажите, что |pa|SBCD =
= |pb|SACD.
§ 11. Пучки окружностей
Пучком окружностей называют семейство окружностей, обладающее сле-
дующим свойством: радикальной осью любой пары окружностей из этого
семейства служит некоторая фиксированная прямая. При этом подразуме-
вается, что это семейство максимально в том смысле, что нет окружностей,
которые можно было бы к нему добавить, не нарушая указанного свойства.
3.76*. а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся па-
рой окружностей.
б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной
окружностью и радикальной осью.
3.77*. Пусть f(x, y) = x
2 + y
2 + a1x + b1y + c1 и g(x, y) = x
2 + y
2 +
+ a2x + b2y + c2. Докажите, что для любого вещественного ❧ 6= 1 урав-
нение f − ❧g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождён-
ного окружностями f = 0 и g = 0.
3.78*. Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает ра-
дикальную ось в двух фиксированных точках (эллиптический пучок),
либо касается радикальной оси в фиксированной точке (параболиче-
ский пучок), либо не пересекает радикальную ось (гиперболический
пучок).
Предельными точками пучка окружностей называют принадлежащие ему
окружности нулевого радиуса (т. е. точки).
3.79*. Докажите, что гиперболический пучок содержит две предель-
ные точки, параболический— одну, а эллиптический— ни одной.
3.80*. Докажите, что если окружность ортогональна двум окруж-
ностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям
пучка.
66 Глава 3. Окружности
3.81*. Докажите, что семейство всех окружностей, ортогональных
окружностям данного пучка, образует пучок.
Этот пучок называют ортогональным пучком.
3.82*. Докажите, что предельная точка пучка является общей точ-
кой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.
Задачи для самостоятельного решения
3.83. Качалка, имеющая форму сектора круга радиуса R, качается
на горизонтальном столе. По какой траектории движется её вер-
шина?
3.84. Из точки A, лежащей вне окружности радиуса R, проведе-
ны к ней две касательные AB и AC, где B и C — точки касания.
Пусть BC = a. Докажите, что 4R
2 = r
2 + r
2
a + a
2/2, где r и ra — радиусы
вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC.
3.85. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, про-
ходящая через центр меньшей окружности, пересекает б´ольшую в точ-
ках A и D, а меньшую в точках B и C. Найдите отношение радиусов
окружностей, если AB : BC : CD = 2 : 4 : 3.
3.86. Центры трёх окружностей радиуса R, где 1 < R < 2, образу-
ют правильный треугольник со стороной 2. Чему равно расстояние
между точками пересечения этих окружностей, лежащими вне тре-
угольника?
3.87. На отрезке AB взята точка C и построены полуокружности
с диаметрами AB, AC и BC (по одну сторону от прямой AB). Найди-
те отношение площади криволинейного треугольника, ограниченного
этими полуокружностями, к площади треугольника, образованного се-
рединами дуг этих полуокружностей.
3.88. Окружность пересекает сторону BC треугольника ABC в точ-
ках A1 и A2, сторону AC в точках B1 и B2, сторону AB в точках
C1 и C2. Докажите, что
3.89. Из точки A к окружности проведены касательные AB и AC;
PQ — диаметр окружности; прямая l касается окружности в точке Q.
Прямые PA, PB и PC пересекают прямую l в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что A1B1 = A1C1.

§ 1. Медиана делит площадь пополам
4.1. Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть рав-
новеликих треугольников.
4.2. Дан треугольник ABC. Найдите все такие точки P, что площа-
ди треугольников ABP, BCP и ACP равны.
82 Глава 4. Площадь
Рис. 4.1
4.3. Внутри данного треугольника ABC
найдите такую точку O, что площади тре-
угольников BOL, COM и AON равны (точки
L, M и N лежат на сторонах AB, BC и CA,
причём OL k BC, OM k AC и ON k AB; рис. 4.1).
4.4. На продолжениях сторон треугольни-
ка ABC взяты точки A1, B1 и C1 так,
что
# – AB1 = 2
# – AB,
# – BC1 = 2
# – BC и
# – CA1 = 2
# – AC. Най-
дите площадь треугольника A1B1C1, если из-
вестно, что площадь треугольника ABC рав-
на S.
4.5. На продолжениях сторон DA, AB, BC,
CD выпуклого четырёхугольника ABCD взя-
ты точки A1, B1, C1, D1 так, что
# – DA1 = 2
# – DA,
# – AB1 = 2
# – AB,
# – BC1 = 2
# – BC
и
# – CD1 = 2
# – CD. Найдите площадь получившегося четырёхугольни-
ка A1B1C1D1, если известно, что площадь четырёхугольника ABCD
равна S.
4.6*. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали
AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что
площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треуголь-
ника ACE.
4.7*. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD существует такая
точка O, что площади треугольников OAB, OBC, OCD и ODA равны.
Докажите, что одна из диагоналей четырёхугольника делит другую
пополам.
§ 2. Вычисление площадей
4.8. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикуляр-
ны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что длина
одной из её диагоналей равна 5.
4.9. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает
от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пяти-
Рис. 4.2
угольника ABCDE.
4.10. В прямоугольник ABCD вписаны
два различных прямоугольника, имеющих
общую вершину K на стороне AB. Докажи-
те, что сумма их площадей равна площади
прямоугольника ABCD.
4.11*. В треугольнике ABC точка E —
середина стороны BC, точка D лежит на
стороне AC, AC = 1, ∠BAC = 60◦
, ∠ABC =
= 100◦
, ∠ACB = 20◦ и ∠DEC = 80◦
(рис. 4.2). Чему равна сумма
площади треугольника ABC и удвоенной площади треугольника CDE?
Условия задач 83
Рис. 4.3
4.12*. В треугольник Ta = 4A1A2A3 вписан
треугольник Tb = 4B1B2B3, а в треугольник Tb
вписан треугольник Tc = 4C1C2C3, причём сто-
роны треугольников Ta и Tc параллельны. Вы-
разите площадь треугольника Tb через площа-
ди треугольников Ta и Tc.
4.13*. На сторонах треугольника ABC взя-
ты точки A1, B1 и C1, делящие его сторо-
ны в отношениях BA1 : A1C = p, CB1 : B1A = q
и AC1 : C1B = r. Точки пересечения отрезков
AA1, BB1 и CC1 расположены так, как показа-
но на рис. 4.3. Найдите отношение площадей
треугольников PQR и ABC.
§ 3. Площади треугольников, на которые разбит
четырёхугольник
4.14. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O.
Докажите, что SAOB = SCOD тогда и только тогда, когда BC k AD.
4.15. а) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересека-
ются в точке P. Известны площади треугольников ABP, BCP, CDP.
Найдите площадь треугольника ADP.
б) Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре тре-
угольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажи-
те, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.
4.16*. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P,
причём S
2
ABP + S
2
CDP = S
2
BCP + S
2
ADP. Докажите, что P — середина одной
из диагоналей.
4.17*. В выпуклом четырёхугольнике ABCD существуют три внут-
ренние точки P1, P2, P3, не лежащие на одной прямой и обладающие
тем свойством, что сумма площадей треугольников ABPi и CDPi равна
сумме площадей треугольников BCPi и ADPi для i = 1, 2, 3. Докажите,
что ABCD— параллелограмм.
§ 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник
4.18. Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA
выпуклого четырёхугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются
в точке O. Докажите, что SAKON + SCLOM = SBKOL + SDNOM.
4.19. Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA
параллелограмма ABCD, причём отрезки KM и LN параллельны сторо-
нам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке O. Докажите,
что площади параллелограммов KBLO и MDNO равны тогда и только
тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.
84 Глава 4. Площадь
4.20. На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD взяты точки
M и N так, что AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересе-
каются в точке K, а отрезки BN и CM — в точке L. Докажите,
что SKMLN = SADK + SBCL.
4.21. На стороне AB четырёхугольника ABCD взяты точки A1 и B1,
а на стороне CD — точки C1 и D1, причём AA1 = BB1 = pAB и CC1 =
= DD1 = pCD, где p < 0, 5. Докажите, что SA1B1C1D1
/SABCD = 1 − 2p.
4.22*. Каждая из сторон выпуклого четырёхугольника разделена
на пять равных частей и соответствующие точки противоположных
Рис. 4.4
сторон соединены (рис. 4.4). Докажите, что пло-
щадь среднего (заштрихованного) четырёхуголь-
ника в 25 раз меньше площади исходного.
4.23*. На каждой стороне параллелограмма
взято по точке. Площадь четырёхугольника с вер-
шинами в этих точках равна половине площади
параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна
из диагоналей четырёхугольника параллельна сто-
роне параллелограмма.
4.24*. Точки K и M — середины сторон
AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD,
точки L и N расположены на сторонах BC и AD
так, что KLMN — прямоугольник. Докажите, что
площадь четырёхугольника ABCD вдвое больше площади прямоуголь-
ника KLMN.
4.25*. Квадрат разделён на четыре части двумя перпендикулярны-
ми прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажи-
те, что если площади трёх из этих частей равны, то равны и площади
всех четырёх частей.
§ 5. Разные задачи
4.26. Даны параллелограмм ABCD и некоторая точка M. Докажите,
что SACM = |SABM ± SADM|.
4.27. На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним образом
построены параллелограммы; P — точка пересечения продолжений их
сторон, параллельных AB и BC. На стороне AC построен параллело-
грамм, вторая сторона которого равна и параллельна BP. Докажите,
что его площадь равна сумме площадей первых двух параллело-
граммов.
4.28*. Точка O, лежащая внутри правильного шестиугольника,
соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольни-
ков раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите,
что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей
синих.
Условия задач 85
4.29*. Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырёхугольни-
ка ABCD пересекаются в точке O; M и N— середины сторон AB и CD,
P и Q— середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а) SPMQN = |SABD − SACD|/2;
б) SOPQ = SABCD/4.
4.30*. На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD
взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N— середины отрезков DE, BF,
CE и AF. Докажите, что четырёхугольник KLMN выпуклый и его
площадь не зависит от выбора точек E и F.
4.31*. Середины диагоналей AC, BD, CE, . . . выпуклого шестиуголь-
ника ABCDEF образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его
площадь в четыре раза меньше площади исходного шестиугольника.
4.32*. Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда RS пересекают-
ся в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B — внутри
окружности, причём BC k PQ и BC = RA. Из точек A и B опущены
перпендикуляры AK и BL на прямую CQ. Докажите, что SACK = SBCL.
Рис. 4.5
4.33*. Диагонали выпуклого четырёхуголь-
ника ABCD пересекаются в точке O; P и Q—
произвольные точки. Докажите, что
SAOP
SBOQ
=
SACP
SBDQ
·
SABD
SABC
.
* * *
4.34*. Через точку O, лежащую внут-
ри треугольника ABC, проведены отрез-
ки, параллельные сторонам. Отрезки AA1,
BB1 и CC1 разбивают треугольник ABC на
четыре треугольника и три четырёхугольника
(рис. 4.5). Докажите, что сумма площадей треугольников, прилегаю-
щих к вершинам A, B и C, равна площади четвёртого треугольника.
4.35*. На биссектрисе угла A треугольника ABC взята точка A1
так, что AA1 = p − a = (b + c − a)/2, и через точку A1 проведена
прямая la, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести
прямые lb и lc, то треугольник ABC разобьётся на части, среди ко-
торых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих
треугольников равна сумме площадей трёх других.
См. также задачи 3.39—3.42, 13.55—13.59, 16.5, 24.7.
§ 6. Прямые и кривые, делящие фигуры
на равновеликие части
4.36. Отрезок MN, параллельный стороне CD четырёхугольни-
ка ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на
сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведённых из точек A и B
86 Глава 4. Площадь
параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b.
Докажите, что MN2 = (ab + c
2
)/2, где c = CD.
4.37. Каждая из трёх прямых делит площадь фигуры пополам.
Докажите, что часть фигуры, заключённая внутри треугольника, об-
разованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4
площади всей фигуры.
4.38*. Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника попо-
лам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоуголь-
ника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходя-
щем 1 +

2.
4.39*. Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно раз-
резать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигу-
ры равной площади.
4.40*. а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь
и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружно-
сти.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного мно-
гоугольника.
4.41*. Точки A и B окружности S1 соединены дугой окружности S2,
делящей площадь круга, ограниченного S1, на равные части. Докажи-
те, что дуга S2, соединяющая A и B, по длине больше диаметра S1.
4.42*. Кривая Г делит квадрат на две части равной площади. Дока-
жите, что на ней можно выбрать две точки A и B так, что прямая AB
проходит через центр O квадрата.
См. также задачи 2.73, 6.55, 6.56, 16.8, 18.33.
§ 7. Формулы для площади четырёхугольника
4.43. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P.
Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите,
что площадь четырёхугольника ABCD равна ab · CD/2p.
4.44. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R, ❢—
угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырёхуголь-
ника ABCD равна 2R
2
sin A sin B sin❢.
4.45*. Докажите, что площадь четырёхугольника, диагонали кото-
рого не перпендикулярны, равна tg❢ · |a
2 + c
2 − b
2 − d
2
|/4, где a, b,
c и d— длины последовательных сторон, ❢— угол между диагоналями.
4.46*. а) Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольни-
ка ABCD вычисляется по формуле
S
2 = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2 B + D
2
,
где p— полупериметр, a, b, c, d— длины сторон.
б) Докажите, что если четырёхугольник ABCD вписанный, то S
2 =
= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d).
Условия задач 87
в) Докажите, что если четырёхугольник ABCD описанный, то S
2 =
= abcd sin2
((B + D)/2).
См. также задачу 11.34.
§ 8. Вспомогательная площадь
4.47. Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произволь-
но внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна
высоте треугольника).
4.48. Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC рав-
на
2bc
b + c
cos

2
.
4.49. Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO,
BO и CO пересекают его стороны в точках A1, B1 и C1. Докажите,
что: а) OA1
AA1
+
OB1
BB1
+
OC1
CC1
= 1; б) AC1
C1B
·
BA1
A1C
·
CB1
B1A
= 1.
4.50. Даны (2n − 1)-угольник A1 . . . A2n−1 и точка O. Прямые
AkO и An+k−1An+k пересекаются в точке Bk. Докажите, что произведе-
ние отношений An+k−1Bk/An+kBk (k = 1, . . ., n) равно 1.
4.51. Дан выпуклый многоугольник A1A2 . . . An. На стороне A1A2
взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 — точки B2 и D3 и т. д. таким
образом, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, . . ., AnBnCnDn,
то прямые A1C1, . . ., AnCn пересекутся в одной точке O. Докажите, что
A1B1 · A2B2 · . . . · AnBn = A1D1 · A2D2 · . . . · AnDn.
4.52. Длины сторон треугольника образуют арифметическую про-
грессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети
одной из высот треугольника.
4.53. Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC до пря-
мых AB и AC равны db и dc. Докажите, что db/dc = BX · AC/(CX · AB).
4.54*. Многоугольник, описанный около окружности радиуса r,
разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что
сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
4.55*. Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD,
проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки
P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно).
Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке.
4.56*. Докажите, что если никакие стороны четырёхугольника не
параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения
противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины
диагоналей (прямая Гаусса).
4.57*. На сторонах BC и DC параллелограмма ABCD выбраны точ-
ки D1 и B1 так, что BD1 = DB1. Отрезки BB1 и DD1 пересекаются
в точке Q. Докажите, что AQ— биссектриса угла BAD.
4.58*. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты
BB1 и CC1 и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что
88 Глава 4. Площадь
AK = BC1 и AL = CB1. Докажите, что прямая AO, где O — центр
описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.
4.59*. Медианы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точ-
ке M. Докажите, что если четырёхугольник A1BC1M описанный,
то AB = BC.
4.60*. Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим рассто-
яния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через da, db, dc,
а расстояния от точки O до вершин A, B, C через Ra, Rb, Rc. Докажи-
те, что:
а) aRa > cdc + bdb;
б) daRa + dbRb + dcRc > 2(dadb + dbdc + dcda);
в) Ra + Rb + Rc > 2(da + db + dc) (Эрдёш—Морделл);
г) RaRbRc > (R/2r)(da + db)(db + dc)(dc + da).
См. также задачи 1.60, 5.5, 5.34, 6.5, 6.31, 6.38, 6.40, 6.83, 9.26,
10.6, 10.52, 10.99, 11.21, 12.35, 22.49.
§ 9. Перегруппировка площадей
4.61. Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна
произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.
4.62. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника
опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что пло-
щадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади
исходного треугольника.
Рис. 4.6
4.63*. Стороны AB и CD параллелограмма ABCD площади 1 разби-
ты на n равных частей, AD и BC— на m равных частей.
а) Точки деления соединены так, как показано на рис. 4.6, а.
б) Точки деления соединены так, как показано на рис. 4.6, б.
Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких парал-
лелограммов?
4.64*. а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника рас-
положены в серединах сторон квадрата (рис. 4.7). Докажите, что
площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадца-
тиугольника.
Условия задач 89
Рис. 4.7
б) Докажите, что площадь двенадцатиуголь-
ника, вписанного в окружность радиуса 1, рав-
на 3.
См. также задачи 2.77, 3.41, 4.35, 9.44.
Задачи для самостоятельного решения
4.65. Стороны вписанного четырёхугольни-
ка ABCD удовлетворяют соотношению AB · BC =
= AD · DC. Докажите, что площади треугольни-
ков ABC и ADC равны.
4.66. Можно ли двумя прямолинейными раз-
резами, проходящими через две вершины треугольника, разрезать его
на четыре части так, чтобы три треугольника (из числа этих частей)
были равновеликими?
4.67. Докажите, что все выпуклые четырёхугольники, имеющие об-
щие середины сторон, равновелики.
4.68. Докажите, что если два треугольника, получающихся при
продолжении сторон выпуклого четырёхугольника до их пересечения,
равновелики, то одна из диагоналей делит другую пополам.
4.69. Площадь треугольника равна S, периметр равен P. Прямые,
на которых расположены его стороны, отодвигаются (во внешнюю
сторону) на расстояние h. Найдите площадь и периметр треугольника,
образованного тремя полученными прямыми.
4.70. На стороне AB треугольника ABC взяты точки D и E так,
что ∠ACD = ∠DCE = ∠ECB = ❢. Найдите отношение CD : CE, если из-
вестны длины сторон AC и BC и угол ❢.
4.71. Пусть AA1, BB1 и CC1 — биссектрисы треугольника ABC. До-
кажите, что
SA1B1C1
/SABC = 2abc/((a + b) · (b + c) · (c + a)).
4.72. Точки M и N являются серединами боковых сторон AB и CD
трапеции ABCD. Докажите, что если удвоенная площадь трапеции
равна AN · NB + CM · MD, то AB = CD = BC + AD.
4.73. Если четырёхугольник с попарно различными длинами сторон
вписан в окружность радиуса R, то существует ещё два не равных ему
четырёхугольника с такими же длинами сторон, вписанных в ту же
окружность. Эти четырёхугольники имеют не более трёх различных
длин диагоналей: d1, d2 и d3. Докажите, что площадь четырёхуголь-
ника равна d1d2d3/4R.
4.74. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C1,
A1 и B1; точки C2, A2 и B2 симметричны этим точкам относительно
середин соответствующих сторон. Докажите, что SA1B1C1 = SA2B2C2
.
4.75. Внутри треугольника ABC взята точка P. Прямые, прохо-
дящие через точку P и вершины треугольника, пересекают стороны
90 Глава 4. Площадь
в точках A1, B1 и C1. Докажите, что площадь треугольника, образо-
ванного серединами отрезков AA1, BB1 и CC1, равна четверти площади
треугольника A1B1C1.
Решения
4.1. Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Прямая BM
разрезает каждый из треугольников ABC и AMC на два равновеликих тре-
Рис. 4.8
угольника, поэтому SABM = SBCM. Анало-
гично SBCM = SCAM.
4.2. Из равенства площадей треугольни-
ков ABP и BCP следует, что расстояния от
точек A и C до прямой BP равны. Поэтому
прямая BP либо проходит через середину
отрезка AC, либо параллельна ему. Иско-
мые точки изображены на рис. 4.8.
4.3. Обозначим точку пересечения пря-
мой LO со стороной AC через L1.
Так как SLOB = SMOC и 4MOC = 4L1OC,
то SLOB = SL1OC. Высоты треугольников
LOB и L1OC равны, поэтому LO = L1O,
т. е. точка O лежит на медиане, прове-
дённой из вершины A. Аналогично доказывается, что точка O лежит на
медианах, проведённых из вершин B и C, т. е. O — точка пересечения медиан
треугольника. Эти рассуждения показывают также, что точка пересечения
медиан треугольника обладает требуемым свойством.
4.4. Так как SA1BB1 = SA1AB = SABC, то SAA1B1 = 2S. Аналогично SBB1C1 =
= SCC1A1 = 2S. Поэтому SABC = 7S.
4.5. Поскольку AB = BB1, то SBB1C = SBAC. А так как BC = CC1,
то SB1C1C = SBB1C = SBAC и SBB1C1 = 2SBAC. Аналогично SDD1A1 = 2SACD, поэтому
SBB1C1 + SDD1A1 = 2SABC + 2SACD = 2SABCD. Аналогично SAA1B1 + SCC1D1 = 2SABCD,
поэтому SA1B1C1D1 = SABCD + SAA1B1 + SBB1C1 + SCC1D1 + SDD1A1 = 5SABCD.
4.6. Пусть O — центр описанной окружности. Так как AD, BE и CF — диа-
метры, то SABO = SDEO = SAEO, SBCO = SEFO = SCEO, SCDO = SAFO = SACO. Ясно
также, что SABCDEF = 2(SABO + SBCO + SCDO) и SACE = SAEO + SCEO + SACO. Сле-
довательно, SABCDEF = 2SACE.
4.7. Пусть E и F — середины диагоналей AC и BD. Так как SAOB = SAOD,
точка O лежит на прямой AF. Аналогично точка O лежит на прямой CF.
Предположим, что точка пересечения диагоналей не является серединой ни
одной из них. Тогда прямые AF и CF имеют единственную общую точку F,
поэтому O = F. Аналогично доказывается, что O = E. Получено противоречие.
4.8. Пусть диагональ AC трапеции ABCD с основанием AD равна 5. Достро-
им треугольник ACB до параллелограмма ACBE. Площадь трапеции ABCD
равна площади прямоугольного треугольника DBE. Пусть BH — высота тре-
угольника DBE. Тогда EH2 = BE2 − BH2 = 5
2 − 4
2 = 3
2 и ED = BE2
/EH = 25/3.
Поэтому SDBE = ED · BH/2 = 50/3.
4.9. Так как SABE = SABC, то EC k AB. Остальные диагонали тоже парал-
лельны соответствующим сторонам. Пусть P — точка пересечения BD и EC.

§ 1. Вписанная и описанная окружности
5.1. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1, причём AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите,
что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторо-
нами.
5.2. Пусть Oa, Ob и Oc — центры вневписанных окружностей тре-
угольника ABC. Докажите, что точки A, B и C — основания высот
треугольника OaObOc.
5.3. Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из цен-
тра O вписанной окружности под углом 90◦ + ∠A/2, а из центра Oa
вневписанной окружности под углом 90◦ − ∠A/2.
5.4. Внутри треугольника ABC взята точка P так, что ∠PAB:∠PAC=
= ∠PCA : ∠PCB = ∠PBC : ∠PBA = x. Докажите, что x = 1.
5.5*. Пусть A1, B1 и C1 — проекции некоторой внутренней точки O
треугольника ABC на высоты. Докажите, что если длины отрезков
AA1, BB1 и CC1 равны, то они равны 2r.
5.6*. Угол величиной ❛ = ∠BAC вращается вокруг своей вер-
шины O — середины основания AC равнобедренного треугольни-
ка ABC. Стороны этого угла пересекают отрезки AB и BC в точках
P и Q. Докажите, что периметр треугольника PBQ остаётся посто-
янным.
5.7*. В неравнобедренном треугольнике ABC через середину M сто-
роны BC и центр O вписанной окружности проведена прямая MO,
пересекающая высоту AH в точке E. Докажите, что AE = r.
5.8*. Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках
P и Q. Расстояния от точек P, Q и A до некоторой касательной к этой
окружности равны u, v и w. Докажите, что uv/w2 = sin2
(A/2).
5.9*. а) На стороне AB треугольника ABC взята точка P. Пусть
r, r1 и r2 — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC,
BCP и ACP; h — высота, опущенная из вершины C. Докажите, что
r = r1 + r2 − 2r1r2/h.
б) Точки A1, A2, A3, . . . лежат на одной прямой (в указанном по-
рядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех
треугольников BAiAi+1 равны одному и тому же числу r1, то радиусы
Условия задач 103
вписанных окружностей всех треугольников BAiAi+k равны одному
и тому же числу rk.
* * *
5.10. Докажите, что точки, симметричные точке H пересечения
высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной
окружности.
5.11*. Из точки P дуги BC описанной окружности треугольни-
ка ABC опущены перпендикуляры PX, PY и PZ на BC, CA и AB
соответственно. Докажите, что BC
PX =
AC
PY +
AB
PZ .
* * *
5.12*. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC,
I — центр вписанной окружности, Ia — центр вневписанной окружно-
сти, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а) d
2 = R
2 − 2Rr, где d = OI (Эйлер);
б) d
2
a = R
2 + 2Rra, где da = OIa.
5.13*. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC,
I — центр вписанной окружности. Докажите, что OI ⊥ BI (или же
O совпадает с I) тогда и только тогда, когда b = (a + c)/2.
5.14*. Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересека-
ют описанную окружность в точках A1, B1 и C1; M— точка пересече-
ния биссектрис. Докажите, что: a) MA · MC
MB1
= 2r; б) MA1 · MC1
MB = R.
5.15*. Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую
прогрессию, причём a < b < c. Биссектриса угла B пересекает опи-
санную окружность в точке B1. Докажите, что центр O вписанной
окружности делит отрезок BB1 пополам.
5.16*. В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах
BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что ради-
ус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между
центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
* * *
5.17*. Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольни-
ков. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольни-
ков лежат на одной окружности.
§ 2. Прямоугольные треугольники
5.18. В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что r =
= (a + b − c)/2 и rc = (a + b + c)/2.
5.19. Пусть M— середина стороны AB треугольника ABC. Докажи-
те, что CM = AB/2 тогда и только тогда, когда ∠ACB = 90◦
.
104 Глава 5. Треугольники
5.20. Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних
углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах
C и D — в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна половине
периметра трапеции.
5.21. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC прове-
дена биссектриса CD. Прямая, проходящая через точку D перпенди-
кулярно DC, пересекает AC в точке E. Докажите, что EC = 2AD.
5.22. На медиане BM и на биссектрисе BK треугольника ABC (или
на их продолжениях) взяты точки D и E так, что DK k AB и EM k BC.
Докажите, что ED ⊥ BK.
5.23. Сумма углов при основании трапеции равна 90◦
. Докажите,
что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности
оснований.
5.24. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются
в точке O. Точка M лежит на прямой AB, причём ∠AMO = ∠MAD.
Докажите, что точка M равноудалена от точек C и D.
5.25. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из
вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK — биссектриса CE.
Докажите, что CB = BE.
5.26. В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD
и биссектриса CF; DK и DL— биссектрисы треугольников BDC и ADC.
Докажите, что CLFK— квадрат.
5.27*. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внеш-
ним образом построен квадрат ABPQ. Пусть ❛ = ∠ACQ, ❜ = ∠QCP
и ❣ = ∠PCB. Докажите, что cos ❜ = cos❛cos❣.
См. также задачи 1.40, 1.43, 1.50 а), 2.5, 2.41, 2.68, 2.69, 3.39,
5.18—5.27, 5.35, 5.43, 5.46, 5.75, 5.157, 6.82, 11.14.
§ 3. Правильный треугольник
5.28. Из точки M, лежащей внутри правильного треугольника ABC,
опущены перпендикуляры MP, MQ и MR на стороны AB, BC и CA
соответственно. Докажите, что AP2 + BQ2 + CR2 = PB2 + QC2 + RA2
и AP + BQ + CR = PB + QC + RA.
5.29. Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треуголь-
ника ABC в отношениях AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE
пересекаются в точке O. Докажите, что ∠AOC = 90◦
.
* * *
5.30. Окружность делит каждую из сторон треугольника на три
равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.
5.31. Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного
треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треуголь-
ник правильный.
Условия задач 105
5.32. а) Докажите, что если a + ha = b + hb = c + hc, то треуголь-
ник ABC правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины
лежат на стороне AC, у другого— на BC, у третьего— на AB. Докажи-
те, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.
5.33. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его
сторон в точках A1, B1, C1. Докажите, что если треугольники ABC
и A1B1C1 подобны, то треугольник ABC правильный.
5.34. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины
высот— целые числа. Докажите, что треугольник правильный.
См. также задачи 1.29, 1.45, 1.46, 1.50 б), 1.59, 2.14, 2.16, 2.19,
2.38, 2.47, 2.57, 4.47, 5.64, 5.65, 6.48, 6.61, 6.82, 7.16 б), 7.18,
7.23, 7.39, 7.47, 10.3, 10.80, 11.3, 11.5, 14.21 а), 16.7, 18.10—18.16,
18.18—18.21, 18.23—18.25, 18.42, 18.43, 24.1, 29.34, 29.42, 29.46,
29.47, 31.44, 31.70.
§ 4. Треугольник с углом 60◦ или 120◦
5.35. В треугольнике ABC с углом A, равным 120◦
, проведены
биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Докажите, что треугольник A1B1C1
прямоугольный.
5.36. В треугольнике ABC с углом A, равным 120◦
, биссектрисы
AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Докажите, что ∠A1C1O = 30◦
.
5.37. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. До-
кажите, что если описанные окружности треугольников ABB1 и ACC1
пересекаются в точке, лежащей на стороне BC, то ∠A = 60◦
.
5.38. а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен 120◦
,
то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относитель-
но биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен 60◦
; O — центр описан-
ной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности,
а Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. До-
кажите, что IO = IH и IaO = IaH.
5.39. В треугольнике ABC угол A равен 120◦
. Докажите, что из
отрезков длиной a, b, b + c можно составить треугольник.
5.40*. В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным 60◦
,
высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N— точки пересечения серединных перпендикуляров
к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите,
что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной
окружности.
5.41*. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. До-
кажите, что если ∠CC1B1 = 30◦
, то либо ∠A = 60◦
, либо ∠B = 120◦
.
См. также задачи 2.34, 2.35, 12.55.
106 Глава 5. Треугольники
§ 5. Целочисленные треугольники
5.42. Длины сторон треугольника— последовательные целые числа.
Найдите эти числа, если известно, что одна из медиан перпендикуляр-
на одной из биссектрис.
5.43. Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются
целыми числами, причём наибольший общий делитель этих чисел
равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m2 − n
2
, а гипотенуза
равна m2 + n
2
, где m и n— натуральные числа.
Прямоугольный треугольник, длины сторон которого — целые числа, назы-
вают пифагоровым.
5.44*. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а дли-
ны его сторон— целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, 5.
5.45*. Приведите пример вписанного четырёхугольника с попар-
но различными целочисленными длинами сторон, у которого длины
диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа
(Брахмагупта).
5.46*. а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых
можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — це-
лые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника— целое число, а дли-
ны сторон— последовательные натуральные числа, то этот треугольник
можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочислен-
ными сторонами.
5.47*. а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональ-
ные числа, проведена высота BB1. Докажите, что длины отрезков
AB1 и CB1 — рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника — ра-
циональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре
треугольника, длины сторон которых— рациональные числа.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar