Тема №6040 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 3) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 6. Разные задачи
5.48. Треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что их соответственные
углы равны или составляют в сумме 180◦
. Докажите, что в действи-
тельности все соответственные углы равны.
5.49. Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и по-
строены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин
сторон BC, CA и AB. Докажите, что 4ABC = 4A1B1C1 и прямые AA1,
BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
5.50. Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC
проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллель-
ная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, па-
раллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите,
Условия задач 107
что MN = AM + BN и периметр треугольника OPQ равен длине от-
резка AB.
5.51. а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной
точке.
б) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, R — ра-
диус описанной окружности. Докажите, что AH2 + BC2 = 4R
2 и AH =
= BC|ctg❛|.
5.52. Пусть x = sin 18◦
. Докажите, что 4x
2 + 2x = 1.
5.53. В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть
A1 и B1 — середины сторон BC и AC, а B2 и C2 — точки касания
вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки
A1B1 и B2C2 пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.
5.54. Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на
биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат
на одной прямой.
5.55*. Докажите, что если в треугольнике две биссектрисы равны,
то он равнобедренный.
5.56*. а) В треугольниках ABC и A0B0C
0 равны стороны AC и A0C
0
,
углы при вершинах B и B0 и биссектрисы углов B и B0
. Дока-
жите, что эти треугольники равны (точнее говоря, 4ABC = 4A0B0C
0
или 4ABC = 4C
0B0A0
).
б) Через точку D биссектрисы BB1 угла ABC проведены прямые
AA1 и CC1 (точки A1 и C1 лежат на сторонах треугольника). Докажи-
те, что если AA1 = CC1, то AB = BC.
5.57*. Докажите, что прямая делит периметр и площадь треуголь-
ника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит
через центр вписанной окружности.
5.58*. Точка E— середина той дуги AB описанной окружности тре-
угольника ABC, на которой лежит точка C; C1 — середина стороны AB.
Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треуголь-
ника, пересекаются в одной точке.
5.59*. На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC
внешним образом построены квадраты ABC1D1 и A2BCD2. Докажите,
что точка пересечения прямых AD2 и CD1 лежит на высоте BH.
5.60*. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
квадраты с центрами A1, B1 и C1. Пусть a1, b1 и c1 — длины сторон
треугольника A1B1C1, S и S1 — площади треугольников ABC и A1B1C1.
Докажите, что:
а) a
2
1 + b
2
1 + c
2
1 = a
2 + b
2 + c
2 + 6S;
б) S1 − S = (a2 + b
2 + c
2
)/8.
5.61*. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их
продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что ∠(CC1, AB) =
= ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = ❛. Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1,
108 Глава 5. Треугольники
CC1 и AA1 пересекаются в точках C
0
, A0
, B0
соответственно. Докажите,
что:
а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром
описанной окружности треугольника A0B0C
0
;
б) 4A0B0C
0 ∼ 4ABC, причём коэффициент подобия равен 2 cos❛.
5.62*. В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружно-
сти. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла,
видны под равными углами. Из другой — тоже. Докажите, что тогда
и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.
5.63*. На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1
так, что AB1 : B1C = c
n
: a
n
, BC1 : C1A = a
n
: b
n и CA1 : A1B = b
n
: c
n
(a, b и c — длины сторон треугольника). Описанная окружность тре-
угольника A1B1C1 высекает на сторонах треугольника ABC отрезки
длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией
треугольника). Докажите, что x
an−1 +
y
b
n−1 +
z
c
n−1 = 0.
5.64*. В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, деля-
щие углы на три равные части). Ближайшие к стороне BC триссектри-
сы углов B и C пересекаются в точке A1; аналогично определим точки
B1 и C1 (рис. 5.1). Докажите, что треугольник A1B1C1 равносторонний
(теорема Морли).
Рис. 5.1
5.65*. На сторонах правильного треугольника ABC как на осно-
ваниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники
A1BC, AB1C и ABC1 с углами ❛, ❜ и ❣ при основаниях, при-
чём ❛ + ❜ + ❣ = 60◦
. Прямые BC1 и B1C пересекаются в точке A2,
AC1 и A1C— в точке B2, AB1 и A1B— в точке C2. Докажите, что углы
треугольника A2B2C2 равны 3❛, 3❜ и 3❣.
5.66*. Окружность радиуса ua вписана в угол A треугольника ABC,
окружность радиуса ub вписана в угол B; эти окружности касаются
Условия задач 109
друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окруж-
ности треугольника со сторонами a1 =

ua ctg(❛/2), b1 =
p
ub ctg(❜/2)
и c1 =

c равен √
p/2, где p— полупериметр треугольника ABC.
5.67*. Окружность S1 вписана в угол A треугольника ABC; окруж-
ность S2 вписана в угол B и касается S1 (внешним образом); окруж-
ность S3 вписана в угол C и касается S2; окружность S4 вписана
в угол A и касается S3 и т. д. Докажите, что окружность S7 совпадает
с S1.
5.68*. Окружность S1 вписана в угол A треугольника ABC. Из
вершины C к ней проведена касательная (отличная от CA), и в об-
разовавшийся треугольник с вершиной B вписана окружность S2. Из
вершины A к S2 проведена касательная, и в образовавшийся тре-
угольник с вершиной C вписана окружность S3 и т. д. Докажите, что
окружность S7 совпадает с S1.
§ 7. Теорема Менелая
Пусть # – AB и
# – CD — коллинеарные векторы. Обозначим через AB
CD
величи-
ну ±
AB
CD
, где знак плюс берётся в том случае, когда векторы # – AB и
# – CD
сонаправлены, а знак минус — в случае, когда векторы
# – AB и
# – CD направ-
лены в разные стороны. Эту величину будем называть ориентированным
отношением отрезков AB и CD.
5.69*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их
продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1 соответственно. Докажите,
что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда
BA1
CA1
·
CB1
AB1
·
AC1
BC1
= 1 (теорема Менелая).
5.70*. а) В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних уг-
лов AA1, BB1 и CC1 (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC,
CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1 и бис-
сектриса внешнего угла CC1. Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат
на одной прямой.
5.71*. Касательные к описанной окружности неравнобедренного тре-
угольника ABC в точках A, B и C пересекают продолжения сторон
в точках A1, B1 и C1. Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на
одной прямой.
5.72*. Решите задачу 5.105 а) с помощью теоремы Менелая.
5.73*. Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1
и A2. Докажите, что прямая A1A2 проходит через точку пересечения
110 Глава 5. Треугольники
общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям
S1 и S2.
5.74*. а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD треугольни-
ка ABC пересекает прямую BC в точке E. Докажите, что BE : CE =
= c
2
: b
2
.
б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров
к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон
лежат на одной прямой.
5.75*. Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена
высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая,
проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F.
Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.
5.76*. На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1, причём
точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямые, симметричные
прямым AA1, BB1 и CC1 относительно соответствующих биссектрис
треугольника ABC, пересекают прямые BC, CA и AB в точках A2,
B2 и C2. Докажите, что точки A2, B2 и C2 лежат на одной прямой.
5.77*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их
продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, лежащие на одной прямой.
Докажите, что
AB
BC1
·
C1A1
B1A1
·
A1B
BC ·
CB1
B1A
= 1.
* * *
5.78*. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке O. До-
кажите, что точки пересечения прямых AB и A1B1, BC и B1C1,
AC и A1C1 лежат на одной прямой (Дезарг).
5.79*. На одной прямой взяты точки A1, B1 и C1, а на другой— точ-
ки A2, B2 и C2. Прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1
пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки
A, B и C лежат на одной прямой (Папп).
5.80*. На сторонах AB, BC и CD четырёхугольника ABCD (или
на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL и AC
пересекаются в точке P, LM и BD — в точке Q. Докажите, что точка
пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой AD.
5.81*. Продолжения сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пе-
ресекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q.
Через точку P проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD
в точках E и F. Докажите, что точки пересечения диагоналей четы-
рёхугольников ABCD, ABEF и CDFE лежат на прямой, проходящей
через точку Q.
5.82*. а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим
их точки пересечения так, как показано на рис. 5.2. Докажите, что
прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).
Условия задач 111
Рис. 5.2
б) Докажите, далее, что если точка O
лежит на прямой BD, то точка пересече-
ния прямых KL, AC и MN лежит на пря-
мой PQ.
5.83*. На прямых BC, CA и AB взяты
точки A1, B1 и C1. Пусть P1 — произволь-
ная точка прямой BC, P2 — точка пересе-
чения прямых P1B1 и AB, P3 — точка пе-
ресечения прямых P2A1 и CA, P4 — точка
пересечения P3C1 и BC и т. д. Докажите,
что точки P7 и P1 совпадают.
5.84*. Диагонали AD, BE и CF шести-
угольника ABCDEF пересекаются в одной
точке. Пусть A0 — точка пересечения пря-
мых AC и FB, B0 — точка пересечения BD и AC, C
0 — точка пересече-
ния CE и BD, и т. д. Докажите, что точки пересечения прямых A0B0
и D0E0
, B0C
0 и E0F
0
, C
0D0 и F
0A0 лежат на одной прямой.
См. также задачи 6.106, 14.43.
§ 8. Теорема Чевы
5.85*. Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точ-
ки C1, A1 и B1, причём k из них лежат на сторонах треугольника
и 3 − k— на продолжениях сторон. Пусть
R =
BA1
CA1
·
CB1
AB1
·
AC1
BC1
.
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда R = 1 и k чётно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или парал-
лельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечётно (Чева).
5.86*. Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника ABC
касается прямых BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1. Докажите, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Точку пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками
касания вписанной окружности, называют точкой Жергонна.
5.87*. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника
с точками касания вневписанных окружностей со сторонами, пересе-
каются в одной точке (точка Нагеля).
5.88*. Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересе-
каются в одной точке.
5.89*. Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC
(или их продолжения) в точках A1, B1 и C1. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB парал-
лельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
112 Глава 5. Треугольники
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с середи-
нами отрезков AA1, BB1 и CC1, пересекаются в одной точке.
5.90*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной
точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают прямую, проходящую через
вершину A параллельно стороне BC, в точках C2 и B2 соответственно.
Докажите, что AB2 = AC2.
5.91*. а) Пусть ❛, ❜ и ❣ — произвольные углы, причём сумма
любых двух из них меньше 180◦
. На сторонах треугольника ABC
внешним образом построены треугольники A1BC, AB1C и ABC1, име-
ющие при вершинах A, B и C углы ❛, ❜ и ❣. Докажите, что прямые
AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, постро-
енных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
5.92*. Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окруж-
ности с центром O в точках A1, B1 и C1. На лучах OA1, OB1 и OC1
отложены равные отрезки OA2, OB2 и OC2. Докажите, что прямые
AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
5.93*. Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA и AB в точ-
ках A1, B1 и C1 соответственно. Точки A2, B2 и C2 выбраны на прямых
BC, CA и AB так, что BA2 : A2C = A1C : BA1, CB2 : B2A = B1A : CB1
и AC2 : C2B = C1B : AC1. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 тоже
пересекаются в одной точке Q (или параллельны).
Такие точки P и Q называют изотомически сопряжёнными относительно
треугольника ABC.
5.94*. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки A1,
B1, C1. Докажите, что
AC1
C1B
·
BA1
A1C
·
CB1
B1A
=
sin ACC1
sin C1CB ·
sin BAA1
sin A1AC ·
sin CBB1
sin B1BA.
5.95*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1, причём прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной
точке P. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2, симметричные этим
прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекают-
ся в одной точке Q.
Такие точки P и Q называют изогонально сопряжёнными относительно
треугольника ABC.
5.96*. Докажите, что при изогональном сопряжении окружность,
проходящая через вершины B и C и отличная от описанной окружно-
сти, переходит в окружность, проходящую через вершины B и C.
5.97*. Касательные к описанной окружности треугольника ABC
в точках B и C пересекаются в точке P. Точка Q симметрична точ-
ке A относительно середины отрезка BC. Докажите, что точки P и Q
изогонально сопряжены.
Условия задач 113
5.98*. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника по-
парно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины
противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
5.99*. Из некоторой точки P опущены перпендикуляры PA1 и PA2
на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA3. Аналогично
определяются точки B1, B2 и C1, C2. Докажите, что прямые A1A2,
B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке или параллельны.
5.100*. Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены
касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки
B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точ-
ке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.
5.101*. Вписанная окружность треугольника ABC касается его сто-
рон в точках A1, B1 и C1. Внутри треугольника ABC взята точка X.
Прямая AX пересекает дугу B1C1 вписанной окружности в точке A2;
точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2,
B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.
5.102*. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пе-
ресекает описанную окружность в точке A1. В сегмент, отсекаемый
стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A1,
а стороны BC — в точке A2. Точки B2 и C2 определяются аналогично.
Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
5.103*. а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольни-
ка ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые
AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что
AC1
C1B
=
sin ABB1 sin CAA1
sin BAA1 sin CBB1
.
б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взя-
ты точки M и N так, что ∠CAM = ∠ABN и ∠CBM = ∠BAN. Докажите,
что точки C, M и N лежат на одной прямой.
5.104*. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1
и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A1
в точках M и N. Докажите, что ∠MBB1 = ∠NBB1.
См. также задачи 4.49 б), 10.59, 14.7, 14.43.
§ 9. Прямая Симсона
5.105*. а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных
из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или
их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона1
).
1Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но
в действительности она была открыта лишь в 1797 г. Вильямом Уоллесом. Поэтому
наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более
справедливое название прямая Уоллеса.
114 Глава 5. Треугольники
б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P
на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной пря-
мой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности тре-
угольника.
5.106*. Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P— вне этой
прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольни-
ков ABP, BCP, ACP и точка P лежат на одной окружности.
5.107*. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точ-
ки D опущены перпендикуляры DB0 и DC0 на прямые AC и AB;
точка M лежит на прямой B0C
0
, причём DM ⊥ BC. Докажите, что
точка M лежит на медиане AA1.
5.108*. а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC
проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным)
углом ❛ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1
лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1
лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона уг-
ла 90◦ на угол ❛ она повернётся на угол 90◦ − ❛.
5.109*. а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC
опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите,
что PA · PA1 = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — рассто-
яние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть ❛ — угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что
cos❛ = PA/2R.
5.110*. Пусть A1 и B1 — проекции точки P описанной окружности
треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрез-
ка A1B1 равна длине проекции отрезка AB на прямую A1B1.
5.111*. На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B
перемещаются по окружности так, что угол ACB остаётся постоянным.
Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольни-
ков ABC касаются фиксированной окружности.
5.112*. Точка P движется по описанной окружности треугольни-
ка ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относи-
тельно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине
угловой величины дуги, пройденной точкой P.
5.113*. Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально про-
тивоположных точек описанной окружности треугольника ABC пер-
пендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти
точек (см. задачу 5.129).
5.114*. Точки A, B, C, P и Q лежат на окружности с центром O,
причём углы между вектором # – OP и векторами
# – OA,
# – OB,
# – OC и
# – OQ равны
❛, ❜, ❣ и (❛ + ❜ + ❣)/2. Докажите, что прямая Симсона точки P
относительно треугольника ABC параллельна OQ.
5.115*. Точки A, B, C и P лежат на окружности с центром O.
Стороны треугольника A1B1C1 параллельны прямым PA, PB, PC
Условия задач 115
(PA k B1C1 и т. д.). Через вершины треугольника A1B1C1 проведены
прямые, параллельные сторонам треугольника ABC.
а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке P1, ко-
торая лежит на описанной окружности треугольника A1B1C1.
б) Докажите, что прямая Симсона точки P1 параллельна пря-
мой OP.
5.116*. Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC пер-
пендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки P
относительно треугольника ABC параллельна прямой AQ.
5.117*. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P —
точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точ-
ки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.
5.118*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; la — прямая
Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые lb, lc и ld
определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются
в одной точке.
5.119*. а) Докажите, что проекции точки P описанной окружно-
сти четырёхугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD,
CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного
четырёхугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить
прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую
проекции точки P на прямые Симсона всех (n − 1)-угольников, полу-
ченных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
См. также задачи 2.88 б), 2.92, 5.11, 5.72, 19.61, 29.40.
§ 10. Подерный треугольник
Пусть A1, B1 и C1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на
прямые BC, CA и AB. Треугольник A1B1C1 называют под ´ерным (или педаль-
ным) треугольником точки P относительно треугольника ABC. Описанную
окружность подерного треугольника называют подерной (или педальной)
окружностью.
5.120. Пусть A1B1C1 — подерный треугольник точки P относительно
треугольника ABC. Докажите, что B1C1 = BC · AP/2R, где R — радиус
описанной окружности треугольника ABC.
5.121*. Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность
треугольника ABC в точках A2, B2 и C2; A1B1C1 — подерный тре-
угольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что
4A1B1C1 ∼ 4A2B2C2.
5.122*. Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P.
Опустив из неё перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на стороны, полу-
чим 4A1B1C1. Проделав для него ту же операцию, получим 4A2B2C2,
а затем 4A3B3C3. Докажите, что 4A3B3C3 ∼ 4ABC.
116 Глава 5. Треугольники
5.123*. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с цен-
тром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P
относительно треугольника ABC равна
1
4

 

1 −
d
2
R2

 

SABC, где d = PO.
5.124*. Из точки P опущены перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на
стороны треугольника ABC. Прямая la соединяет середины отрезков
PA и B1C1. Аналогично определяются прямые lb и lc. Докажите, что
эти прямые пересекаются в одной точке.
5.125*. Точки P1 и P2 изогонально сопряжены относительно тре-
угольника ABC.
а) Докажите, что их подерные окружности совпадают, причём цен-
тром этой окружности является середина отрезка P1P2.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек
P1 и P2 проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под
данным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P1 перпен-
дикулярны прямым, соединяющим точку P2 с вершинами треугольни-
ка ABC.
5.126*. Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Перпендикуляры,
опущенные из точек A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекают-
ся в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные
из точек A1, B1, C1 на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной
точке (Штейнер).
Треугольники ABC и A1B1C1, для которых выполняется условие из зада-
чи 5.126, называют ортологическими.
5.127*. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что подерная ок-
ружность точки D относительно треугольника ABC проходит через
точку пересечения его диагоналей.
См. также задачи 5.162, 5.163, 14.21 б).
§ 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек
5.128*. Пусть H— точка пересечения высот треугольника ABC, O—
центр описанной окружности, M — точка пересечения медиан. Дока-
жите, что точка M лежит на отрезке OH, причём OM : MH = 1 : 2.
(Прямую, содержащую точки O, M и H, называют прямой Эйлера.)
5.129*. Докажите, что середины сторон треугольника, основания
высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот
с вершинами, лежат на одной окружности (окружности девяти то-
чек), причём центром этой окружности является середина отрезка OH.
5.130*. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что треугольники ABC, HBC, AHC и ABH имеют
общую окружность девяти точек.
Условия задач 117
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников ABC, HBC, AHC
и ABH пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников
ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырёхугольник, симметричный
четырёхугольнику HABC.
5.131*. Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном
и тупоугольном треугольниках?
5.132*. а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC
является окружностью девяти точек для треугольника, образованного
центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок,
соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.
5.133*. Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC парал-
лельна стороне BC тогда и только тогда, когда tg B tg C = 3.
5.134*. Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне AB остро-
угольного треугольника ABC окружностью девяти точек, виден из её
центра под углом 2|∠A − ∠B|.
5.135*. Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр
вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.
5.136*. Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC
в точках A1, B1 и C1. Докажите, что прямая Эйлера треугольника
A1B1C1 проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.
5.137*. В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.
Пусть A1A2, B1B2 и C1C2 — диаметры окружности девяти точек тре-
угольника ABC. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются
в одной точке (или параллельны).
См. также задачи 3.72 а), 5.12, 8.34, 13.36 б), 14.55, 14.58, 28.31,
29.40, 31.42, 31.59, 31.80.
§ 12. Точки Брокара
5.138*. а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует та-
кая точка P, что ∠ABP = ∠CAP = ∠BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
подобные ему треугольники CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых
вершинах всех четырёх треугольников равны и т. д.). Докажите, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причём эта точка
совпадает с точкой P из задачи а).
Точку P называют точкой Брокара треугольника ABC. Аналогично до-
казывается, что существует ещё и вторая точка Брокара Q, для кото-
рой ∠BAQ = ∠ACQ = ∠CBQ.
5.139*. а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены
прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках
A1, B1 и C1. Докажите, что 4ABC = 4B1C1A1.
118 Глава 5. Треугольники
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что тре-
угольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC
с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем
для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересе-
чения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A,
B и C.)
5.140*. а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол ❢ =
= ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP называют углом Брокара этого треугольника.
Докажите, что
ctg❢ = ctg❛ + ctg ❜ + ctg❣ и sin3 ❢ = sin(❛ − ❢) sin(❜ − ❢) sin(❣ − ❢).
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально
сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точ-
ке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересе-
каются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC
равен углу A1AC.
5.141*. а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не
превосходит 30◦
.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один
из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30◦
.
5.142*. Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O —
центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описан-
ных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что
4A1B1C1 ∼ 4ABC и O— первая точка Брокара треугольника A1B1C1.
5.143*. Пусть P— точка Брокара треугольника ABC; R1, R2 и R3 —
радиусы описанных окружностей треугольников ABP, BCP и CAP.
Докажите, что R1R2R3 = R
3
, где R — радиус описанной окружности
треугольника ABC.
5.144*. Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара треуголь-
ника ABC. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ пересекаются
в точках A1, B1 и C1. Докажите, что описанная окружность треуголь-
ника A1B1C1 проходит через точки P и Q.
5.145*. На сторонах CA, AB и BC остроугольного треугольника ABC
взяты точки A1, B1 и C1 так, что ∠AB1A1 = ∠BC1B1 = ∠CA1C1. До-
кажите, что 4A1B1C1 ∼ 4ABC, причём центр поворотной гомотетии,
переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой
Брокара обоих треугольников.
5.146*. Докажите, что для угла Брокара ❢ выполняются следую-
щие неравенства:
а) ❢3 6 (❛ − ❢)(❜ − ❢)(❣ − ❢);
б) 8❢3 6 ❛❜❣ (неравенство Йиффа).
5.147*. Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а верши-
на A движется так, что угол Брокара ❢ треугольника ABC остаётся
Условия задач 119
постоянным. Докажите, что точка A движется по окружности радиуса
(a/2)
q
ctg2 ❢ − 3, где a = BC (окружность Нейберга).
5.148*. Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 на
прямые BC, CA и AB. Докажите, что для фиксированного треуголь-
ника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треуголь-
ника A1B1C1 имеет заданное значение, состоит из двух окружностей,
причём одна из них расположена внутри описанной окружности тре-
угольника ABC, а другая вне её (окружности Схоуте).
См. также задачи 14.45, 14.52, 19.59.
§ 13. Точка Лемуана
Пусть AM — медиана треугольника ABC, а прямая AS симметрична пря-
мой AM относительно биссектрисы угла A (точка S лежит на отрезке BC).
Тогда отрезок AS называют симедианой треугольника ABC; иногда симеди-
аной называют луч AS.
Симедианы треугольника пересекаются в точке, изогонально сопряжён-
ной точке пересечения медиан. Точку пересечения симедиан треугольника
называют точкой Лемуана.
5.149. Прямые AM и AN симметричны относительно биссектрисы
угла A треугольника ABC (точки M и N лежат на прямой BC).
Докажите, что BM · BN/(CM · CN) = c
2/b2
. В частности, если AS — си-
медиана, то BS/CS = c
2/b2
.
5.150. Выразите длину симедианы AS через длины сторон треуголь-
ника ABC.
5.151. Отрезок B1C1, где точки B1 и C1 лежат на лучах AC и AB,
называют антипараллельным стороне BC, если ∠AB1C1 = ∠ABC
и ∠AC1B1 = ∠ACB.
а) Докажите, что симедиана AS делит пополам любой отрезок B1C1,
антипараллельный стороне BC.
б) Докажите, что если симедиана AS делит пополам отрезок B1C1,
то этот отрезок антипараллелен стороне BC.
5.152. Докажите, что если отрезок B1C1 антипараллелен стороне BC,
то B1C1 ⊥ OA, где O— центр описанной окружности.
5.153. Касательная в точке B к описанной окружности S треуголь-
ника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена
вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD— симеди-
ана треугольника ABC.
5.154*. Касательные к описанной окружности треугольника ABC
в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что прямая AP
содержит симедиану AS.
5.155*. Окружность S1 проходит через точки A и B и касается
прямой AC, окружность S2 проходит через точки A и C и касается
120 Глава 5. Треугольники
прямой AB. Докажите, что прямая, проходящая через общие точки
этих окружностей, содержит симедиану треугольника ABC.
5.156*. Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине A
треугольника ABC пересекают прямую BC в точках D и E. Окруж-
ность с диаметром DE пересекает описанную окружность треуголь-
ника ABC в точках A и X. Докажите, что прямая AX содержит
симедиану треугольника ABC.
* * *
5.157*. Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC с прямым
углом C является серединой высоты CH.
5.158*. Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC, прове-
дены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти
отрезки равны тогда и только тогда, когда X— точка Лемуана.
5.159*. Точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 лежат на сторонах BC,
CA, AB треугольника ABC (A1 ближе к C, чем A2, B1 ближе к A, C1
ближе к B).
а) Докажите, что если эти точки являются точками пересече-
ния сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника
A0B0C
0
, полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром
в точке Лемуана K, то точки A1, B2, B1, C2, C1, A2 лежат на одной
окружности (окружность Тукера).
б) Докажите, что если длины отрезков A1B2, B1C2 и C1A2 равны
и эти отрезки антипараллельны сторонам AB, BC и CA, то точки A1,
B2, B1, C2, C1, A2 лежат на одной окружности.
5.160*. Докажите, что центр окружности Тукера лежит на пря-
мой KO, где K— точка Лемуана, O— центр описанной окружности.
5.161*. а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллель-
ные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со
сторонами треугольника лежат на одной окружности (первая окруж-
ность Лемуана).
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные
сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторо-
нами треугольника лежат на одной окружности (вторая окружность
Лемуана).
5.162*. Пусть A1, B1 и C1 — проекции точки Лемуана K на сторо-
ны треугольника ABC. Докажите, что K — точка пересечения медиан
треугольника A1B1C1.
5.163*. Пусть A1, B1 и C1 — проекции точки Лемуана K треуголь-
ника ABC на стороны BC, CA и AB. Докажите, что медиана AM
треугольника ABC перпендикулярна прямой B1C1.
5.164*. Прямые AK, BK и CK, где K — точка Лемуана треуголь-
ника ABC, пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что K— точка Лемуана треугольника A1B1C1.
Решения задач 121
5.165*. Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон тре-
угольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке
Лемуана.
См. также задачи 6.41, 7.17, 11.22, 19.58—19.60.
Задачи для самостоятельного решения
5.166. Докажите, что проекция диаметра описанной окружности,
перпендикулярного первой стороне треугольника, на прямую, содер-
жащую вторую сторону, равна по длине третьей стороне.
5.167. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в цен-
трах вневписанных окружностей треугольника ABC равна 2pR.
5.168. Равнобедренный треугольник с основанием a и боковой сто-
роной b и равнобедренный треугольник с основанием b и боковой
стороной a вписаны в окружность радиуса R. Докажите, что ес-
ли a 6= b, то ab =

5R
2
.
5.169. Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC
касается гипотенузы AB в точке P; CH — высота треугольника ABC.
Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ACH лежит
на перпендикуляре, опущенном из точки P на AC.
5.170. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон
CA и AB в точках B1 и C1, а вневписанная окружность касается
продолжения сторон в точках B2 и C2. Докажите, что середина сторо-
ны BC равноудалена от прямых B1C1 и B2C2.
5.171. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O,
O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD
и ACD. Докажите, что OO1 = OO2.
5.172. Треугольник, составленный: а) из медиан; б) из высот тре-
угольника ABC, подобен треугольнику ABC. Каким соотношением
связаны длины сторон треугольника ABC?
5.173. Через центр O правильного треугольника ABC проведена
прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что одно из чисел 1/OA1, 1/OB1 и 1/OC1 равно сумме двух
других.
5.174. В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Докажи-
те, что если ∠A = 45◦
, то B1C1 — диаметр окружности девяти точек
треугольника ABC.
5.175. Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению sin2 A+
+sin2 B+sin2 C=1. Докажите, что его описанная окружность и окруж-
ность девяти точек пересекаются под прямым углом.

§ 1. Вписанные и описанные четырёхугольники
6.1. Докажите, что если центр вписанной в четырёхугольник ок-
ружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четы-
рёхугольник— ромб.
6.2. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O.
Докажите, что ∠AOB + ∠COD = 180◦
.
152 Глава 6. Многоугольники
6.3. Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех
сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, и окружность, касающа-
яся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырёхуголь-
ника перпендикулярны.
6.4. Окружность высекает на всех четырёх сторонах четырёхуголь-
ника равные хорды. Докажите, что в этот четырёхугольник можно
вписать окружность.
6.5. Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окруж-
ность, то центр этой окружности лежит на одной прямой с серединами
диагоналей.
6.6. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O.
В треугольнике AOB проведены высоты AA1 и BB1, а в треугольни-
ке COD — высоты CC1 и DD1. Докажите, что точки A1, B1, C1 и D1
лежат на одной прямой.
6.7. Углы при основании AD трапеции ABCD, отличной от парал-
лелограмма, равны 2❛ и 2❜. Докажите, что трапеция описанная тогда
и только тогда, когда BC/AD = tg❛tg ❜.
6.8. В треугольнике ABC проведены отрезки PQ и RS, параллель-
ные стороне AC, и отрезок BM (рис. 6.1). Трапеции RPKL и MLSC
Рис. 6.1
описанные. Докажите, что трапеция APQC
тоже описанная.
6.9*. Дан выпуклый четырёхугольник
ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точ-
ке P, а лучи BC и AD— в точке Q. Докажите,
что четырёхугольник ABCD описанный то-
гда и только тогда, когда выполняется одно
из следующих условий: AB + CD = BC + AD,
AP + CQ = AQ + CP или BP + BQ = DP + DQ.
6.10*. Через точки пересечения продол-
жений сторон выпуклого четырёхугольни-
ка ABCD проведены две прямые, делящие его
на четыре четырёхугольника. Докажите, что
если четырёхугольники, примыкающие к вер-
шинам B и D, описанные, то четырёхугольник ABCD тоже описанный.
6.11*. На стороне BC треугольника ABC взяты точки K1 и K2.
Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям
треугольников ABK1 и ACK2 и общие внешние касательные к вписан-
ным окружностям треугольников ABK2 и ACK1 пересекаются в одной
точке.
6.12*. Через каждую из точек пересечения продолжений сторон
выпуклого четырёхугольника ABCD проведено по две прямые. Эти
прямые делят четырёхугольник на девять четырёхугольников.
а) Докажите, что если три из четырёхугольников, примыкающих
к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвёртый четырёхугольник
тоже описанный.
Условия задач 153
б) Докажите, что если ra, rb, rc, rd — радиусы окружностей, вписан-
ных в четырёхугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то
1
ra
+
1
rc
=
1
rb
+
1
rd
.
6.13*. Окружности S1 и S2, S2 и S3, S3 и S4, S4 и S1 касаются
внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках
касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касают-
ся одной окружности.
6.14*. Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного
четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четы-
рёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон ис-
ходного четырёхугольника с вписанной окружностью.
* * *
6.15*. Четырёхугольник ABCD вписанный; Hc и Hd — ортоцентры
треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDHcHd — параллелограмм.
6.16*. Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что центры
вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB обра-
зуют прямоугольник.
6.17*. Продолжения сторон четырёхугольника ABCD, вписанного
в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его
диагонали пересекаются в точке S.
а) Расстояния от точек P, Q и S до точки O равны p, q и s, а радиус
описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольни-
ка PQS.
б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точ-
ке O.
* * *
6.18*. Диагональ AC разбивает четырёхугольник ABCD на два тре-
угольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC
в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников
ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их
касания со сторонами четырёхугольника лежат на одной окружности.
6.19*. Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей впи-
санного четырёхугольника на его стороны являются вершинами опи-
санного четырёхугольника, если они не попадают на продолжения
сторон.
6.20*. Докажите, что если диагонали четырёхугольника перпен-
дикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны
являются вершинами вписанного четырёхугольника.
См. также задачи 1.9, 1.44, 2.15, 2.18, 2.43, 2.48, 2.73—2.81, 2.90,
2.91, 3.6, 3.8, 3.10, 3.23, 3.32, 3.50, 4.46, 4.59, 5.45, 5.118, 6.24,
6.31, 6.37, 6.38, 6.101, 6.102, 7.50, 8.50, 8.54 13.35, 13.36, 16.4, 17.5,
30.35, 30.44.
154 Глава 6. Многоугольники
§ 2. Четырёхугольники
6.21. Угол между сторонами AB и CD четырёхугольника ABCD
равен ❢. Докажите, что
AD2 = AB2 + BC2 + CD2 − 2(AB · BC cos B + BC · CD cos C + CD · AB cos❢).
6.22. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, при-
чём лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что пря-
мая, соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектри-
се угла AOD.
6.23. На сторонах BC и AD четырёхугольника ABCD взяты точки
M и N так, что BM : MC = AN : ND = AB : CD. Лучи AB и DC пересека-
ются в точке O. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе
угла AOD.
6.24. Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольни-
ка образуют вписанный четырёхугольник.
6.25. Два различных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1 с соответ-
ственно параллельными сторонами вписаны в четырёхугольник PQRS
(точки A и A1 лежат на стороне PQ, B и B1 — на QR и т. д.). Докажите,
что диагонали четырёхугольника параллельны сторонам параллело-
граммов.
6.26. Середины M и N диагоналей AC и BD выпуклого четы-
рёхугольника ABCD не совпадают. Прямая MN пересекает стороны
AB и CD в точках M1 и N1. Докажите, что если MM1 = NN1, то
AD k BC.
6.27*. Докажите, что два четырёхугольника подобны тогда и только
тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответствен-
ные углы между диагоналями.
6.28*. Четырёхугольник ABCD выпуклый; точки A1, B1, C1 и D1
таковы, что AB k C1D1, AC k B1D1 и т. д. для всех пар вершин. Докажи-
те, что четырёхугольник A1B1C1D1 тоже выпуклый, причём ∠A+∠C1 =
= 180◦
.
6.29*. Из вершин выпуклого четырёхугольника опущены перпенди-
куляры на диагонали. Докажите, что четырёхугольник, образованный
основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырёхугольнику.
6.30*. Выпуклый четырёхугольник разделён диагоналями на четы-
ре треугольника. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересече-
ния медиан двух противоположных треугольников, перпендикулярна
прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треуголь-
ников.
6.31*. Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD
и BC пересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей тре-
угольников AOD, AOB, BOC и COD равны r1, r2, r3 и r4 соответствен-
но. Докажите, что 1
r1
+
1
r3
=
1
r2
+
1
r4
.
Условия задач 155
6.32*. Окружность радиуса r1 касается сторон DA, AB и BC выпук-
лого четырёхугольника ABCD, окружность радиуса r2 — сторон AB,
BC и CD; аналогично определяются r3 и r4. Докажите, что AB
6.33*. О выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что радиусы
окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB,
равны между собой. Докажите, что ABCD— прямоугольник.
6.34*. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD; A1, B1, C1 и D1 —
центры описанных окружностей треугольников BCD, CDA, DAB и ABC.
Аналогично для четырёхугольника A1B1C1D1 определяются точки A2,
B2, C2 и D2. Докажите, что четырёхугольники ABCD и A2B2C2D2
подобны, а коэффициент подобия равен |(ctg A+ctg C)(ctg B+ctg D)/4|.
6.35*. Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соот-
ветственно. Докажите, что BC k AD.
6.36*. Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что
ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

§ 3. Теорема Птолемея
6.37*. Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что AB · CD+
+ AD · BC = AC · BD (Птолемей).
6.38*. Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что
AC
BD =
AB · AD + CB · CD
BA · BC + DA · DC .
6.39*. Пусть ❛ = ♣/7. Докажите, что 1
sin❛
=
1
sin 2❛
+
1
sin 3❛
.
6.40*. Расстояния от центра описанной окружности остроугольного
треугольника до его сторон равны da, db и dc. Докажите, что da + db +
+ dc = R + r.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar