Тема №6041 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 4) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

6.41*. Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точ-
ках A1, B1 и C1. Пусть Q — середина отрезка A1B1. Докажите, что
∠B1C1C = ∠QC1A1.
6.42*. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную
окружность в точке D. Докажите, что AB + AC 6 2AD.
156 Глава 6. Многоугольники
6.43*. На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята
точка P. Докажите, что PA + PC =

2PB.
6.44*. Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через
точку A, пересекает отрезки AB, AC и AD в точках P, Q и R соответ-
ственно. Докажите, что AP · AB + AR · AD = AQ · AC.
6.45*. На дуге A1A2n+1 описанной окружности S правильного
(2n + 1)-угольника A1 . . . A2n+1 взята точка A. Докажите, что:
а) d1 + d3 + . . . + d2n+1 = d2 + d4 + . . . + d2n, где di = AAi;
б) l1 + . . . + l2n+1 = l2 + . . . + l2n, где li — длина касательной, проведён-
ной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке Ai
(все касания одновременно внутренние или внешние).
6.46*. Окружности радиусов x и y касаются окружности радиуса R,
причём расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину
следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновре-
менно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.
6.47*. Окружности ❛, ❜, ❣ и ❞ касаются данной окружности в вер-
шинах A, B, C и D выпуклого четырёхугольника ABCD. Пусть t❛❜ —
длина общей касательной к окружностям ❛ и ❜ (внешней, если оба
касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если
одно касание внутреннее, а другое внешнее); t❜❣, t❣❞ и т. д. определя-
ются аналогично. Докажите, что t❛❜t❣❞ + t❜❣t❞❛ = t❛❣t❜❞ (обобщённая
теорема Птолемея).
См. также задачу 9.70.
§ 4. Пятиугольники
6.48*. В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE
угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.
Рис. 6.2
6.49*. а) Диагонали AC и BE правильного пя-
тиугольника ABCDE пересекаются в точке K.
Докажите, что описанная окружность треуголь-
ника CKE касается прямой BC.
б) Пусть a— длина стороны правильного пяти-
угольника, d — длина его диагонали. Докажите,
что d
2 = a
2 + ad.
6.50*. Докажите, что в правильный пяти-
угольник можно так вписать квадрат, что его
вершины будут лежать на четырёх сторонах пя-
тиугольника.
6.51*. Правильный пятиугольник ABCDE со
стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через
его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пя-
тиугольник со стороной b (рис. 6.2). Сторона правильного пяти-
Условия задач 157
угольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что
a
2 + b
2 = c
2
.
См. также задачи 2.62, 4.9, 6.60, 6.95, 9.24, 9.46, 9.77, 9.78, 10.66,
10.70, 12.8, 13.10, 13.59, 20.12, 29.7.
§ 5. Шестиугольники
6.52*. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные сто-
роны попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины пло-
щади шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.
6.53*. Все углы выпуклого шестиугольника ABCDEF равны. Дока-
жите, что |BC − EF| = |DE − AB| = |AF − CD|.
6.54*. Суммы углов при вершинах A, C, E и B, D, F выпуклого
шестиугольника ABCDEF с равными сторонами равны. Докажите, что
противоположные стороны этого шестиугольника параллельны.
6.55*. Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждая
из трёх диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит
площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной точке.
6.56*. Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждый
из трёх отрезков, соединяющих середины противоположных сторон,
делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке.
6.57*. а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник
вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD, BE и CF
равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно,
самопересекающегося) шестиугольника.
См. также задачи 1.45, 2.12, 2.21, 2.49, 3.73, 4.6, 4.28, 4.31, 5.17,
5.84, 5.98, 6.97, 9.47 а), 9.79—9.81, 13.3, 14.6, 18.16, 18.17, 18.24,
18.25, 29.37 а), 30.41, 30.42.
§ 6. Правильные многоугольники
6.58. Число сторон многоугольника A1 . . . An нечётно. Докажите,
что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он
правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то
он правильный.
6.59. Все углы выпуклого многоугольника A1 . . . An равны, и из
некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными
углами. Докажите, что этот многоугольник правильный.
158 Глава 6. Многоугольники
Рис. 6.3
6.60*. Бумажная лента постоянной ши-
рины завязана простым узлом и затем
стянута так, чтобы узел стал плоским
(рис. 6.3). Докажите, что узел имеет фор-
му правильного пятиугольника.
6.61*. На сторонах AB, BC, CD и DA
квадрата ABCD построены внутренним
образом правильные треугольники ABK,
BCL, CDM и DAN. Докажите, что середи-
ны сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата)
и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двена-
дцатиугольник.
6.62*. Существует ли правильный многоугольник, длина одной диа-
гонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?
6.63*. Правильный (4k + 2)-угольник вписан в окружность радиу-
са R с центром O. Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых
углом AkOAk+1 на прямых A1A2k, A2A2k−1, . . ., AkAk+1, равна R.
6.64*. В правильном восемнадцатиугольнике A1 . . . A18 проведены
диагонали AaAd, AbAe и AcAf. Пусть k = a − b, p = b − c, m = c − d,
q = d − e, n = e − f и r = f − a. Докажите, что указанные диагонали
пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
а) {k, m, n} = {p, q, r};
б) {k, m, n} = {1, 2, 7} и {p, q, r} = {1, 3, 4};
в) {k, m, n} = {1, 2, 8} и {p, q, r} = {2, 2, 3}.
З а м е ч а н и е. Равенство {k, m, n} = {x, y, z} означает, что указанные на-
боры чисел совпадают; порядок их записи при этом не учитывается.
6.65*. В правильном тридцатиугольнике проведены три диаго-
нали. Определим для них наборы {k, m, n} и {p, q, r} так же,
как и в предыдущей задаче. Докажите, что если {k, m, n} =
= {1, 3, 14} и {p, q, r} = {2, 2, 8}, то диагонали пересекаются в одной
точке.
З а м е ч а н и е. Тройки диагоналей, пересекающихся в одной точке, по-
дробно обсуждаются на с. 613—617.
6.66*. В правильном n-угольнике (n > 3) отмечены середины всех
сторон и диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек ле-
жит на одной окружности?
6.67*. Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько
цветов так, что точки одного цвета служат вершинами правильного
многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников найдутся
два равных.
6.68*. Докажите, что при n > 6 правильный (n − 1)-угольник нель-
зя вписать в правильный n-угольник так, чтобы на всех сторонах
Условия задач 159
n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n−1)-уголь-
ника.
* * *
6.69. Пусть O — центр правильного n-угольника A1 . . . An, X — про-
извольная точка. Докажите, что # – OA1 + . . . +
# – OAn =
#–0 и # – XA1 + . . .
. . . +
# – XAn = n
# – XO.
6.70. Докажите, что в вершинах правильного n-угольника можно
расставить действительные числа x1, . . ., xn, все отличные от нуля,
так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которо-
го являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих
в его вершинах, равнялась нулю.
6.71. Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1 . . . X10,
а точка B — вне его. Пусть a =
# – AX1 + . . . +
# – AX10 и b =
# – BX1 + . . . +
# – BX10.
Может ли оказаться, что |a| > |b|?
6.72. Правильный многоугольник A1 . . . An вписан в окружность
радиуса R с центром O; X — произвольная точка. Докажите, что
A1X2 + . . . + AnX2 = n(R2 + d
2
), где d = OX.
6.73. Найдите сумму квадратов длин всех сторон и диагоналей пра-
вильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R.
6.74. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до
вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X — центр
n-угольника.
6.75. Правильный n-угольник A1 . . . An вписан в окружность радиу-
са R с центром O; ei =
# – OAi, x =
# – OX— произвольный вектор. Докажите,
что P(ei, x)
2 = nR2
· OX2/2.
6.76. Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильно-
го n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной
прямой, проходящей через центр многоугольника.
6.77. Расстояние от точки X до центра правильного n-угольника
равно d, r — радиус вписанной окружности n-угольника. Докажите,
что сумма квадратов расстояний от точки X до прямых, содержащих
стороны n-угольника, равна n(r2 + d
2/2).
6.78. Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон пра-
вильного n-угольника на любую прямую равна na2/2, где a — сторо-
на n-угольника.
6.79*. Правильный n-угольник A1 . . . An вписан в окружность ради-
уса R; X — точка этой окружности. Докажите, что XA4
1 + . . . + XA4
n =
= 6nR4
.
6.80*. а) Правильный n-угольник A1 . . . An вписан в окружность ра-
диуса 1 с центром O; ei =
# – OAi, u — произвольный вектор. Докажите,
что P(u, ei)ei = nu/2.
б) Из произвольной точки X опущены перпендикуляры XA1, . . .
. . ., XAn на стороны правильного n-угольника (или на их продолже-
ния). Докажите, что P # – XAi = n
# – XO/2, где O— центр n-угольника.
160 Глава 6. Многоугольники
6.81*. Докажите, что если число n не является степенью просто-
го числа, то существует выпуклый n-угольник со сторонами дли-
ной 1, 2, . . ., n, все углы которого равны.
См. также задачи 2.9, 2.49, 4.28, 4.61, 4.64, 6.39, 6.45, 6.49—6.51,
8.69, 9.51, 9.79, 9.87, 9.88, 10.66, 11.46, 11.48, 13.15, 17.32, 18.34,
19.48, 23.8, 24.2, 25.3, 25.4, 27.11, 30.34.
§ 7. Вписанные и описанные многоугольники
6.82*. На сторонах треугольника внешним образом построены три
квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вер-
шин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на
одной окружности?
6.83*. В окружность вписан 2n-угольник A1 . . . A2n. Пусть p1, . . .
. . ., p2n — расстояния от произвольной точки M окружности до сто-
рон A1A2, A2A3, . . ., A2nA1. Докажите, что p1p3 . . . p2n−1 = p2p4 . . . p2n.
6.84*. Вписанный многоугольник разбит непересекающимися диа-
гоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех впи-
санных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.
6.85*. Два n-угольника вписаны в одну окружность, причём наборы
длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные
стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.
6.86*. Положительные числа a1, . . ., an таковы, что 2ai < a1 + . . . + an
при всех i = 1, . . ., n. Докажите, что существует вписанный n-уголь-
ник, длины сторон которого равны a1, . . ., an.
* * *
6.87. Точка, лежащая внутри описанного n-угольника, соединена
отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся
при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий
цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников
равно произведению площадей синих треугольников.
6.88*. В 2n-угольнике (n нечётно) A1 . . . A2n, описанном около ок-
ружности с центром O, диагонали A1An+1, A2An+2, . . ., An−1A2n−1 про-
ходят через точку O. Докажите, что и диагональ AnA2n проходит через
точку O.
6.89*. Окружность радиуса r касается сторон многоугольника в точ-
ках A1, . . ., An, причём длина стороны, на которой лежит точка Ai,
равна ai. Точка X удалена от центра окружности на расстояние d.
Докажите, что a1XA2
1 + . . . + anXA2
n = P(r2 + d
2
), где P — периметр мно-
гоугольника.
6.90*. Около окружности описан n-угольник A1 . . . An; l — произ-
вольная касательная к окружности, не проходящая через верши-
ны n-угольника. Пусть ai — расстояние от вершины Ai до пря-
Условия задач 161
мой l, bi — расстояние от точки касания стороны AiAi+1 с окружностью
до прямой l. Докажите, что:
а) величина b1 . . . bn/(a1 . . . an) не зависит от выбора прямой l;
б) величина a1a3 . . . a2m−1/(a2a4 . . . a2m) не зависит от выбора пря-
мой l, если n = 2m.
6.91*. Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные,
остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины пе-
риметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что
в этот многоугольник нельзя вписать окружность.
См. также задачи 1.45, 2.12, 2.13, 2.62, 4.40, 4.54, 5.119 а), 9.36,
11.36, 11.46 б), 11.48 б), 13.38, 19.6, 22.13.
§ 8. Произвольные выпуклые многоугольники
6.92. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый
многоугольник?
6.93*. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон,
равных по длине наибольшей диагонали?
6.94*. Для каких n существует выпуклый n-угольник, у которого
одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей— целые числа?
6.95*. Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ров-
но четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали
одинаковой длины?
Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точ-
ку с пятой диагональю?
6.96*. Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольника, обра-
зует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник.
Докажите, что точка O равноудалена от вершин этого многоугольника.
См. также задачи 4.50, 4.51, 9.86, 9.89, 9.90, 11.35, 13.16, 14.28,
16.8, 17.35, 17.36, 19.9, 23.13, 23.15.
§ 9. Теорема Паскаля
6.97*. Докажите, что точки пересечения противоположных сторон
(если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат
на одной прямой (Паскаль).
6.98*. Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC;
R— произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную
окружность в точках A1, B1 и C1. Докажите, что точки пересечения
прямых MA1 и BC, MB1 и CA, MC1 и AB лежат на одной прямой,
проходящей через точку R.
6.99*. Даны треугольник ABC и некоторая точка T. Пусть P и Q—
основания перпендикуляров, опущенных из точки T на прямые AB
и AC соответственно, a R и S — основания перпендикуляров, опущен-
162 Глава 6. Многоугольники
ных из точки A на прямые TC и TB соответственно. Докажите, что
точка пересечения прямых PR и QS лежит на прямой BC.
6.100*. В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 и бис-
сектрисы AA2 и BB2; вписанная окружность касается сторон BC и AC
в точках A3 и B3. Докажите, что прямые A1B1, A2B2 и A3B3 пересе-
каются в одной точке или параллельны.
6.101*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность S; X— произ-
вольная точка, M и N — вторые точки пересечения прямых XA и XD
с окружностью S. Прямые DC и AX, AB и DX пересекаются в точках
E и F. Докажите, что точка пересечения прямых MN и EF лежит на
прямой BC.
6.102*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O.
Точка X такова, что ∠BAX = ∠CDX = 90◦
. Докажите, что точ-
ка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD лежит на пря-
мой XO.
6.103*. Точки A и A1, лежащие внутри окружности с центром O,
симметричны относительно точки O. Лучи AP и A1P1 сонаправлены,
лучи AQ и A1Q1 тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения
прямых P1Q и PQ1 лежит на прямой AA1. (Точки P, P1, Q и Q1 лежат
на окружности.)
6.104*. Две окружности касаются описанной окружности треуголь-
ника ABC в точке K дуги BC (не содержащей точку A); кроме того,
одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а дру-
гая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной
окружности треугольника ABC лежит на прямой MN.
6.105*. Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной
линейки постройте шестую точку этой окружности.
6.106*. Точки A1, . . ., A6 лежат на одной окружности, а точки K,
L, M и N — на прямых A1A2, A3A4, A1A6 и A4A5 соответственно,
причём KL k A2A3, LM k A3A6 и MN k A6A5. Докажите, что NK k A5A2.
См. также задачи 5.84, 30.33, 30.42, 30.49, 31.52.
Задачи для самостоятельного решения
6.107. Докажите, что если ABCD — прямоугольник, а P — произ-
вольная точка, то AP2 + CP2 = DP2 + BP2
.
6.108. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендику-
лярны. На его сторонах внешним образом построены квадраты с цен-
трами P, Q, R и S. Докажите, что отрезок PR проходит через точку
пересечения диагоналей AC и BD, причём PR = (AC + BD)/√
2.
6.109. На наибольшей стороне AC треугольника ABC взяты точки
A1 и C1 так, что AC1 = AB и CA1 = CB, а на сторонах AB и BC
взяты точки A2 и C2 так, что AA1 = AA2 и CC1 = CC2. Докажите, что
четырёхугольник A1A2C2C1 вписанный.
Решения задач 163
6.110. В окружность вписан выпуклый семиугольник. Докажите,
что если какие-то три его угла равны 120◦
, то какие-то две его сторо-
ны равны.
6.111. На плоскости даны правильный n-угольник A1 . . . An и точ-
ка P. Докажите, что из отрезков A1P, . . ., AnP можно составить за-
мкнутую линию.
6.112. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность S1 и описан
около окружности S2; K, L, M и N — точки касания его сторон
с окружностью S2. Докажите, что KM ⊥ LN.
6.113. Около окружности описан пятиугольник ABCDE, длины сто-
рон которого — целые числа, причём AB = CD = 1. Найдите длину
отрезка BK, где K— точка касания стороны BC с окружностью.
6.114. Докажите, что в правильном 2n-угольнике A1 . . . A2n диагона-
ли A1An+2, A2n−1A3 и A2nA5 пересекаются в одной точке.
6.115. Докажите, что в правильном двадцатичетырёхугольнике
A1 . . . A24 диагонали A1A7, A3A11 и A5A21 пересекаются в точке, ле-
жащей на диаметре A4A16.

§ 1. ГМТ— прямая или отрезок
7.1. Два колеса радиусов r1 и r2 катаются по прямой l. Найдите
множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.
184 Глава 7. Геометрические места точек
7.2. Стороны AB и CD четырёхугольника ABCD площади S не па-
раллельны. Найдите ГМТ X, лежащих внутри четырёхугольника, для
которых SABX + SCDX = S/2.
7.3. Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ X,
для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые посто-
янна.
7.4. Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых
AX + BX = CX + DX.
7.5*. Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ром-
ба ABCD и обладающих тем свойством, что ∠AMD + ∠BMC = 180◦
.
* * *
7.6. На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых
разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.
7.7. Даны окружность S и точка M вне её. Через точку M про-
водятся всевозможные окружности S1, пересекающие окружность S;
X— точка пересечения касательной в точке M к окружности S1 с про-
должением общей хорды окружностей S и S1. Найдите ГМТ X.
7.8. Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометри-
ческое место точек центров окружностей, делящих пополам данные
окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных
точках).
7.9. Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое ме-
сто точек пересечения касательных к окружности, проведённых через
концы всевозможных хорд, содержащих точку A.
7.10*. а) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что величина
AX2 + CX2 − BX2 − DX2 не зависит от выбора точки X.
б) Четырёхугольник ABCD не является параллелограммом. Дока-
жите, что все точки X, удовлетворяющие соотношению AX2 + CX2 =
= BX2 + DX2
, лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку,
соединяющему середины диагоналей.
См. также задачи 2.39, 3.45, 3.58, 6.5, 6.17, 7.28, 7.30, 8.6, 12.82,
15.16, 30.24, 30.37.
§ 2. ГМТ— окружность или дуга окружности
7.11. Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что
его концы скользят по сторонам прямого угла ABC. По какой траек-
тории движется середина этого отрезка?
7.12. Найдите геометрическое место середин хорд данной окружно-
сти, проходящих через данную точку.
7.13. Даны две точки A и B. Две окружности касаются прямой AB
(одна — в точке A, другая — в точке B) и касаются друг друга в точ-
ке M. Найдите ГМТ M.
Условия задач 185
* * *
7.14. На плоскости даны две точки A и B. Найдите ГМТ M, для
которых AM : BM = k (окружность Аполлония).
7.15. Пусть S — окружность Аполлония для точек A и B, причём
точка A лежит вне окружности S. Из точки A проведены касательные
AP и AQ к окружности S. Докажите, что B— середина отрезка PQ.
7.16*. Пусть AD и AE— биссектрисы внутреннего и внешнего углов
треугольника ABC и Sa — окружность с диаметром DE, окружности
Sb и Sc определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности Sa, Sb и Sc имеют две общие точки M и N, причём
прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольни-
ка ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC
образуют правильный треугольник.
Точки M и N из задачи 7.16 называют изодинамическими центрами тре-
угольника.
7.17*. Докажите, что изодинамические центры лежат на пря-
мой KO, где O— центр описанной окружности, K— точка Лемуана.
7.18*. Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка. До-
кажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую
прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.
См. также задачи 2.14, 2.67 б), 5.156, 7.27, 7.29, 14.21 а), 18.15,
28.23, 28.24.
§ 3. Вписанный угол
7.19. На окружности фиксированы точки A и B, а точка C пере-
мещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения:
а) высот; б) биссектрис треугольников ABC.
7.20. Точка P перемещается по описанной окружности квадра-
та ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая,
проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP
в точке X. Найдите ГМТ X.
7.21. а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A1 и B1
движутся по той же окружности так, что величина дуги A1B1 остаёт-
ся постоянной; M — точка пересечения прямых AA1 и BB1. Найдите
ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A1B1C1, причём
треугольник ABC неподвижен, а треугольник A1B1C1 вращается. До-
кажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке не
более чем при одном положении треугольника A1B1C1.
7.22*. На плоскости даны четыре точки. Найдите множество цен-
тров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими
соответственно через данные точки.
186 Глава 7. Геометрические места точек
7.23*. Найдите ГМТ X, лежащих внутри правильного треугольни-
ка ABC и обладающих тем свойством, что ∠XAB + ∠XBC + ∠XCA = 90◦
.
См. также задачи 2.5, 2.39.
§ 4. Вспомогательные равные
или подобные треугольники
7.24. Дана полуокружность с центром O. Из каждой точки X,
лежащей на продолжении диаметра полуокружности, проводится ка-
сающийся полуокружности луч и на нём откладывается отрезок XM,
равный отрезку XO. Найдите ГМТ M, полученных таким образом.
7.25*. Пусть A и B — фиксированные точки плоскости. Найдите
ГМТ C, обладающих следующим свойством: высота hb треугольни-
ка ABC равна b.
7.26*. Даны окружность и точка P внутри её. Через каждую точ-
ку Q окружности проведём касательную. Перпендикуляр, опущенный
из центра окружности на прямую PQ, и касательная пересекаются
в точке M. Найдите ГМТ M.
§ 5. Гомотетия
7.27. На окружности фиксированы точки A и B. Точка C переме-
щается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения
медиан треугольников ABC.
7.28. Дан треугольник ABC. Найдите множество центров прямо-
угольников PQRS, вершины Q и P которых лежат на стороне AC,
вершины R и S— на сторонах AB и BC соответственно.
7.29. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точ-
ку A проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями
в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда
секущая вращается вокруг точки A?
7.30. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится
между A и C. Найдите ГМТ M таких, что радиусы описанных окруж-
ностей треугольников AMB и CMB равны.
См. также задачи 19.10, 19.22, 19.39.
§ 6. Метод ГМТ
7.31. Точки P и Q движутся с одинаковой постоянной скоростью v
по двум прямым, пересекающимся в точке O. Докажите, что на плос-
кости существует неподвижная точка A, расстояния от которой до
точек P и Q в любой момент времени равны.
7.32. Через середину каждой диагонали выпуклого четырёхугольни-
ка проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые
пересекаются в точке O. Докажите, что отрезки, соединяющие точку O
Условия задач 187
с серединами сторон четырёхугольника, делят его площадь на равные
части.
7.33. Пусть D и E — середины сторон AB и BC остроугольного
треугольника ABC, а точка M лежит на стороне AC. Докажите, что
если MD < AD, то ME > EC.
7.34. Внутри выпуклого многоугольника взяты точки P и Q. Дока-
жите, что существует вершина многоугольника, менее удалённая от Q,
чем от P.
7.35. Точки A, B и C таковы, что для любой четвёртой точки M
либо MA 6 MB, либо MA 6 MC. Докажите, что точка A лежит на
отрезке BC.
7.36. Дан четырёхугольник ABCD, причём AB < BC и AD < DC.
Точка M лежит на диагонали BD. Докажите, что AM < MC.
§ 7. ГМТ с ненулевой площадью
7.37. Пусть O— центр прямоугольника ABCD. Найдите ГМТ M, для
которых AM > OM, BM > OM, CM > OM и DM > OM.
7.38. Найдите ГМТ X, из которых можно провести касательные
к данной дуге AB окружности.
7.39. Пусть O — центр правильного треугольника ABC. Найдите
ГМТ M, удовлетворяющих следующему условию: любая прямая, про-
ведённая через точку M, пересекает либо отрезок AB, либо отре-
зок CO.
7.40. На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно
ли найдётся точка M, лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая та-
кому условию: каждая прямая, проходящая через точку M, пересекает
хотя бы один из этих кругов?
Найдите ГМТ M, удовлетворяющих такому условию.
См. также задачи 18.12, 31.66—31.69.
§ 8. Теорема Карно
7.41*. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A1,
B1, C1 на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются
в одной точке тогда и только тогда, когда A1B2 + C1A2 + B1C
2 = B1A2 +
+ A1C
2 + C1B2
(Карно).
7.42*. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной
точке.
7.43*. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров внев-
писанных окружностей на соответственные стороны треугольника, пе-
ресекаются в одной точке.
7.44*. Точки A1, B1 и C1 таковы, что AB1 = AC1, BC1 = BA1 и CA1 =
= CB1. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A1,
B1 и C1 на прямые BC, CA и AB, пересекаются в одной точке.
188 Глава 7. Геометрические места точек
7.45*. а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC
на соответствующие стороны треугольника A1B1C1, пересекаются в од-
ной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин
треугольника A1B1C1 на соответствующие стороны треугольника ABC,
тоже пересекаются в одной точке.
б) Прямые, проведённые через вершины треугольника ABC парал-
лельно соответствующим сторонам треугольника A1B1C1, пересекаются
в одной точке. Докажите, что прямые, проведённые через верши-
ны треугольника A1B1C1 параллельно соответствующим сторонам тре-
угольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.
7.46*. На прямой l взяты точки A1, B1 и C1, а из вершин треуголь-
ника ABC на эту прямую опущены перпендикуляры AA2, BB2 и CC2.
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на
прямые BC, CA и AB, пересекаются в одной точке тогда и только
тогда, когда A1B1 : B1C1 = A2B2 : B2C2 (отношения отрезков ориентиро-
ванные).
7.47*. Треугольник ABC правильный, P — произвольная точка. До-
кажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных
окружностей треугольников PAB, PBC и PCA на прямые AB, BC и CA,
пересекаются в одной точке.
7.48*. Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из ос-
нований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то
треугольник равнобедренный.
§ 9. Окружность Ферма—Аполлония
7.49*. Докажите, что множество точек X, обладающих тем свой-
ством, что k1A1X2 + . . . + knAnX2 = c:
а) при k1+. . .+kn 6=0 является окружностью или пустым множеством;
б) при k1+. . .+kn=0 является прямой, плоскостью или пустым мно-
жеством.
7.50*. Прямая l пересекает две окружности в четырёх точках.
Докажите, что касательные в этих точках к одной окружности пере-
секают касательные к другой окружности в четырёх точках, лежащих
на окружности, причём центр этой окружности лежит на прямой,
соединяющей центры данных окружностей.
7.51*. Точки M и N таковы, что AM : BM : CM = AN : BN : CN.
Докажите, что прямая MN проходит через центр O описанной окруж-
ности треугольника ABC.
См. также задачи 7.6, 7.14, 8.63—8.67.
Задачи для самостоятельного решения
7.52. На сторонах AB и BC треугольника ABC берутся точки D и E.
Найдите геометрическое место середин отрезков DE.
Решения задач 189
7.53. Две окружности касаются данной прямой в двух данных точ-
ках A и B и касаются друг друга. Пусть C и D— точки касания этих
окружностей с другой внешней касательной. Найдите геометрическое
место середин отрезков CD.
7.54. Докажите, что если биссектриса одного из углов треуголь-
ника имеет внутри треугольника общую точку с перпендикуляром,
восставленным из середины противоположной стороны, то треугольник
равнобедренный.
7.55. Дан треугольник ABC. Найдите множество всех точек M этого
треугольника, для которых выполнено условие AM > BM > CM. Когда
полученное множество есть а) пятиугольник; б) треугольник?
7.56. Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место середин
сторон квадратов, вписанных в данный квадрат.
7.57. Дан равносторонний треугольник ABC. Найдите ГМТ M та-
ких, что треугольники AMB и BCM равнобедренные.
7.58. Найдите геометрическое место середин отрезков длины 2/

3,
концы которых лежат на сторонах единичного квадрата.
7.59. На сторонах AB, BC и CA данного треугольника ABC вы-
бираются такие точки P, Q и R, что PQ k AC и PR k BC. Найдите
геометрическое место середин отрезков QR.
7.60. Дана полуокружность с диаметром AB. Для любой точки X
этой полуокружности на луче XA строится точка Y так, что XY = XB.
Найдите ГМТ Y.
7.61. Дан треугольник ABC. На его сторонах AB, BC и CA выби-
раются точки C1, A1 и B1 соответственно. Найдите ГМТ пересечения
описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar