Тема №6042 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 5) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 1. Метод геометрических мест точек
8.1. Постройте треугольник ABC по a, ha и радиусу описанной
окружности R.
8.2. Постройте точку M внутри данного треугольника так, что
SABM : SBCM : SACM = 1 : 2 : 3.
198 Глава 8. Построения
8.3. Проведите через данную точку P, лежащую внутри данной
окружности, хорду так, чтобы разность длин отрезков, на которые P
делит хорду, имела данную величину a.
8.4. Даны прямая и окружность. Постройте окружность данного
радиуса r, касающуюся их.
8.5. Даны точка A и окружность S. Проведите через точку A пря-
мую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью S на этой прямой,
имела данную длину d.
8.6*. Дан четырёхугольник ABCD. Впишите в него параллелограмм
с заданными направлениями сторон.
§ 2. Вписанный угол
8.7. Постройте треугольник по a, медиане mc и углу A.
8.8. Даны окружность и две точки A и B внутри её. Впишите
в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты про-
ходили через данные точки.
8.9. Продолжения сторон AB и CD прямоугольника ABCD пере-
секают некоторую прямую в точках M и N, а продолжения сторон
AD и BC пересекают ту же прямую в точках P и Q. Постройте прямо-
угольник ABCD, если даны точки M, N, P, Q и длина a стороны AB.
8.10*. Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте,
проведённым из одной вершины.
8.11*. Постройте треугольник ABC по стороне a, углу A и радиусу
вписанной окружности r.
§ 3. Подобные треугольники и гомотетия
8.12. Постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.
8.13. Постройте треугольник ABC по ma, mb и mc.
8.14. Постройте треугольник ABC по ha, hb и hc.
8.15. Впишите в данный остроугольный треугольник ABC квад-
рат KLMN так, чтобы вершины K и N лежали на сторонах AB и AC,
а вершины L и M— на стороне BC.
8.16*. Постройте треугольник ABC по ha, b − c и r.
См. также задачи 19.16—19.21, 19.40, 19.41.
§ 4. Построение треугольников по различным элементам
В задачах этого параграфа требуется построить треугольник по указанным
в условии элементам.
8.17. c, ma и mb.
8.18. a, b и ha.
8.19. hb, hc и ma.
Условия задач 199
8.20. ∠A, hb и hc.
8.21. a, hb и mb.
8.22. ha, ma и hb.
8.23. a, b и mc.
8.24*. ha, ma и ∠A.
8.25*. a, b и lc.
8.26*. ∠A, ha и p.
См. также задачи 17.6—17.8.
§ 5. Построение треугольников по различным точкам
8.27. Постройте треугольник ABC, если дана прямая l, на которой
лежит сторона AB, и точки A1, B1 — основания высот, опущенных на
стороны BC и AC.
8.28. Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основа-
ния его биссектрис.
8.29. а) Постройте треугольник ABC, зная три точки A0
, B0
, C
0
,
в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность
(оба треугольника остроугольные).
б) Постройте треугольник ABC, зная три точки A0
, B0
, C
0
, в ко-
торых высоты треугольника пересекают описанную окружность (оба
треугольника остроугольные).
8.30. Постройте треугольник ABC, зная три точки A0
, B0
, C
0
, сим-
метричные центру O описанной окружности этого треугольника отно-
сительно сторон BC, CA, AB.
8.31. Постройте треугольник ABC, зная три точки A0
, B0
, C
0
, сим-
метричные точке пересечения высот треугольника относительно сто-
рон BC, CA, AB (оба треугольника остроугольные).
8.32. Постройте треугольник ABC, зная три точки P, Q, R, в ко-
торых высота, биссектриса и медиана, проведённые из вершины C,
пересекают описанную окружность.
8.33. Постройте треугольник ABC, зная положение трёх точек A1,
B1, C1, являющихся центрами вневписанных окружностей треугольни-
ка ABC.
8.34*. Постройте треугольник ABC по центру описанной окружно-
сти O, точке пересечения медиан M и основанию H высоты CH.
8.35*. Постройте треугольник ABC по центрам вписанной, описан-
ной и одной из вневписанных окружностей.
§ 6. Треугольник
8.36. Постройте точки X и Y на сторонах AB и BC треугольни-
ка ABC так, что AX = BY и XY k AC.
8.37. Постройте треугольник по сторонам a и b, если известно, что
угол против одной из них в три раза больше угла против другой.
200 Глава 8. Построения
8.38. Впишите в данный треугольник ABC прямоугольник PQRS
(вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S— на стороне AC)
так, чтобы его диагональ имела данную длину.
8.39. Проведите через данную точку M прямую так, чтобы она
отсекала от данного угла с вершиной A треугольник ABC данного
периметра 2p.
8.40. Постройте треугольник ABC по медиане mc и биссектрисе lc,
если ∠C = 90◦
.
8.41*. Дан треугольник ABC, причём AB < BC. Постройте на сто-
роне AC точку D так, чтобы периметр треугольника ABD был равен
длине стороны BC.
8.42*. Постройте треугольник ABC по радиусу описанной окружно-
сти и биссектрисе угла A, если известно, что разность углов B и C
равна 90◦
.
8.43*. На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Проведите
через точку P прямую (отличную от AB), пересекающую лучи CA и CB
в таких точках M и N, что AM = BN.
8.44*. Постройте треугольник ABC по радиусу вписанной окруж-
ности r и (ненулевым) длинам отрезков AO и AH, где O — центр
вписанной окружности, H— ортоцентр.
См. также задачи 15.14 б), 17.12—17.15, 18.11, 18.33.
§ 7. Четырёхугольники
8.45. Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх дан-
ных параллельных прямых.
8.46. Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух дан-
ных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные
точки.
8.47. Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонам и уг-
лу между AB и CD.
8.48. Через вершину A выпуклого четырёхугольника ABCD прове-
дите прямую, делящую его на две равновеликие части.
8.49. Даны середины трёх равных сторон выпуклого четырёхуголь-
ника. Постройте этот четырёхугольник.
8.50. Даны три вершины вписанного и описанного четырёхугольни-
ка. Постройте его четвёртую вершину.
8.51*. Даны вершины A и C равнобедренной описанной трапе-
ции ABCD (AD k BC); известны также направления её оснований.
Постройте вершины B и D.
8.52*. На доске была начерчена трапеция ABCD (AD k BC) и про-
ведены перпендикуляр OK из точки O пересечения диагоналей на
основание AD и средняя линия EF. Затем трапецию стёрли. Как
восстановить чертёж по сохранившимся отрезкам OK и EF?
Условия задач 201
8.53*. Постройте выпуклый четырёхугольник, если даны длины
всех его сторон и одной средней линии1
.
8.54*. Постройте вписанный четырёхугольник по четырём сторонам
(Брахмагупта).
См. также задачи 15.12, 15.15, 16.17, 17.4, 17.5.
§ 8. Окружности
8.55. Внутри угла даны две точки A и B. Постройте окружность,
проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные
отрезки.
8.56. Даны окружность S, точка A на ней и прямая l. Постройте
окружность, касающуюся данной окружности в точке A и данной
прямой.
8.57. а) Даны две точки A, B и прямая l. Постройте окружность,
проходящую через точки A, B и касающуюся прямой l.
б) Даны две точки A и B и окружность S. Постройте окружность,
проходящую через точки A и B и касающуюся окружности S.
8.58*. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каж-
дые две из них провести окружность так, чтобы построенные окруж-
ности были взаимно ортогональны.
8.59*. Постройте окружность, равноудалённую от четырёх данных
точек.
8.60*. Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружно-
сти точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности
хорду CD, параллельную данной прямой MN.
8.61*. Даны три точки A, B и C. Постройте три окружности, по-
парно касающиеся в этих точках.
8.62*. Постройте окружность, касательные к которой, проведённые
из трёх данных точек A, B и C, имели бы длины a, b и c соответ-
ственно.
См. также задачи 15.10, 15.11, 15.13, 15.14 а), 16.13, 16.14,
16.18—16.20, 18.27.
§ 9. Окружность Аполлония
8.63. Постройте треугольник по a, ha и b/c.
8.64. Постройте треугольник ABC, если известны длина биссектри-
сы CD и длины отрезков AD и BD, на которые она делит сторону AB.
8.65*. На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном по-
рядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под
равными углами.
1Средней линией четырёхугольника называют отрезок, соединяющий середины про-
тивоположных сторон.
202 Глава 8. Построения
8.66*. На плоскости даны два отрезка AB и A0B0
. Постройте точ-
ку O так, чтобы треугольники AOB и A0OB0 были подобны (одинако-
вые буквы обозначают соответственные вершины подобных треуголь-
ников).
8.67*. Точки A и B лежат на диаметре данной окружности. Прове-
дите через них две равные хорды с общим концом.
§ 10. Разные задачи
8.68. а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B. Про-
ведите через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a и b
в таких точках A1 и B1, что AA1 = BB1.
б) Проведите через точку C прямую, равноудалённую от данных
точек A и B.
8.69. Постройте правильный десятиугольник.
8.70*. Постройте прямоугольник с данным отношением сторон,
зная по одной точке на каждой из его сторон.
8.71*. Даны диаметр AB окружности и точка C на нём. Постройте
на этой окружности точки X и Y, симметричные относительно пря-
мой AB, так, чтобы прямые AX и YC были перпендикулярными.
См. также задачи 15.9, 16.15, 16.16, 16.21, 17.9—17.11, 17.28—
17.30, 18.45.
§ 11. Необычные построения
8.72. С помощью циркуля и линейки разделите угол 19◦ на 19 рав-
ных частей.
8.73. Докажите, что угол величиной n

, где n — целое число, не
делящееся на 3, можно разделить на n равных частей с помощью
циркуля и линейки.
8.74*. На клочке бумаги нарисованы две прямые, образующие угол,
вершина которого лежит вне этого клочка. С помощью циркуля и ли-
нейки проведите ту часть биссектрисы угла, которая лежит на клочке
бумаги.
8.75*. С помощью двусторонней линейки постройте центр данной
окружности, диаметр которой больше ширины линейки.
8.76*. Даны точки A и B, расстояние между которыми больше 1 м.
С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см, построй-
те отрезок AB. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)
8.77*. На окружности радиуса a дана точка. С помощью монеты
радиуса a постройте точку, диаметрально противоположную данной.
§ 12. Построения одной линейкой
В задачах этого параграфа требуется выполнить указанные построения
с помощью одной линейки без циркуля. С помощью одной линейки почти
Условия задач 203
никаких построений выполнить нельзя. Например, нельзя даже построить
середину отрезка (задача 30.57). Но если на плоскости проведены какие-либо
вспомогательные линии, то можно выполнить многие построения. В случае,
когда на плоскости нарисована вспомогательная окружность и отмечен её
центр, с помощью линейки можно выполнить все построения, которые можно
выполнить с помощью линейки и циркуля. При этом, правда, считается, что
окружность построена, если построен её центр и одна её точка.
З а м е ч а н и е. Если на плоскости нарисована окружность, но не отмечен
её центр, то с помощью одной линейки построить центр нельзя (задача 30.58).
8.78*. Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки
разделите пополам отрезок, лежащий на одной из данных прямых.
8.79*. Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на од-
ной из них. Удвойте этот отрезок.
8.80*. Даны две параллельные прямые. Разделите отрезок, лежа-
щий на одной из них, на n равных частей.
8.81*. Даны две параллельные прямые и точка P. Проведите через
точку P прямую, параллельную данным прямым.
8.82*. Даны окружность, её диаметр AB и точка P. Проведите через
точку P перпендикуляр к прямой AB.
8.83*. Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окруж-
ность S и её центр O, то с помощью одной линейки можно:
а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой,
и опустить на данную прямую перпендикуляр;
б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный
данному отрезку;
в) построить отрезок длиной ab/c, где a, b, c — длины данных от-
резков;
г) построить точки пересечения данной прямой l с окружностью,
центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного от-
резка;
д) построить точки пересечения двух окружностей, центры кото-
рых— данные точки, а радиусы— данные отрезки.
См. также задачи 3.37, 6.105.
§ 13. Построения с помощью двусторонней линейки
В задачах этого параграфа требуется выполнить построения с помощью
линейки с двумя параллельными краями (без циркуля). С помощью двусто-
ронней линейки можно выполнить все построения, выполнимые с помощью
циркуля и линейки.
Пусть a— ширина двусторонней линейки. С помощью этой линейки можно
выполнять следующие элементарные построения:
1) проводить прямую через две данные точки;
2) проводить прямую, параллельную данной и удалённую от неё на рассто-
яние a;
204 Глава 8. Построения
3) через две данные точки A и B, где AB > a, проводить пару параллельных
прямых, расстояние между которыми равно a (таких пар прямых две).
8.84. а) Постройте биссектрису данного угла AOB.
б) Дан острый угол AOB. Постройте угол BOC, биссектрисой кото-
рого является луч OA.
8.85. Восставьте перпендикуляр к данной прямой l в данной точ-
ке A.
8.86. а) Через данную точку проведите прямую, параллельную дан-
ной прямой.
б) Постройте середину данного отрезка.
8.87. Даны угол AOB, прямая l и точка P на ней. Проведите через
точку P прямые, образующие с прямой l угол, равный углу AOB.
8.88. Даны отрезок AB, непараллельная ему прямая l и точка M
на ней. Постройте точки пересечения прямой l с окружностью радиу-
са AB с центром M.
8.89*. Даны прямая l и отрезок OA, параллельный l. Постройте
точки пересечения прямой l с окружностью радиуса OA с центром O.
8.90*. Даны отрезки O1A1 и O2A2. Постройте радикальную ось
окружностей радиуса O1A1 и O2A2 с центрами O1 и O2 соответственно.
См. также задачу 8.75.
§ 14. Построения с помощью прямого угла
В задачах этого параграфа требуется выполнить указанные построения
с помощью прямого угла. Прямой угол позволяет выполнить следующие эле-
ментарные построения:
а) расположить прямой угол так, чтобы одна его сторона лежала на данной
прямой, а другая сторона проходила через данную точку;
б) расположить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на данной
прямой, а стороны проходили через две данные точки (если, конечно, для
данной прямой и точек вообще существует такое положение прямого угла).
Расположив прямой угол одним из указанных способов, можно провести
лучи, соответствующие его сторонам.
8.91. Проведите через данную точку A прямую, параллельную дан-
ной прямой l.
8.92. Дан отрезок AB. Постройте:
а) середину отрезка AB;
б) отрезок AC, серединой которого является точка B.
8.93. Дан угол AOB. Постройте:
а) угол, вдвое больший угла AOB;
б) угол, вдвое меньший угла AOB.
8.94*. Даны угол AOB и прямая l. Проведите прямую l1 так, что
угол между прямыми l и l1 равен углу AOB.
8.95*. Даны отрезок AB, прямая l и точка O на ней. Постройте на
прямой l такую точку X, что OX = AB.
Решения задач 205
8.96*. Дан отрезок OA, параллельный прямой l. Постройте точки,
в которых окружность радиуса OA с центром O пересекает прямую l.
Задачи для самостоятельного решения
8.97. Постройте прямую, касающуюся двух данных окружностей
(разберите все возможные случаи).
8.98. Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые
высота делит основание, и медиана, проведённая к боковой стороне.
8.99. Постройте параллелограмм ABCD по вершине A и серединам
сторон BC и CD.
8.100. Постройте трапецию, боковые стороны которой лежат на
данных прямых, диагонали пересекаются в данной точке, а одно из
оснований имеет данную длину.
8.101. Даны две окружности. Проведите прямую так, чтобы она
касалась одной окружности, а вторая окружность высекала на ней
хорду данной длины.
8.102. Проведите через вершину C треугольника ABC прямую l так,
чтобы площади треугольников AA1C и BB1C, где A1 и B1 — проекции
точек A и B на прямую l, были равны.
8.103. Постройте треугольник ABC по сторонам AB и AC, зная,
что биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются в одной
точке.
8.104. Даны точки A1, B1 и C1, делящие стороны BC, CA и AB
треугольника ABC в отношении 1 : 2. Восстановите по ним треуголь-
ник ABC.

§ 1. Медиана треугольника
9.1. Докажите, что (a + b − c)/2 < mc < (a + b)/2.
9.2. Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4
периметра, но меньше периметра.
9.3. Даны n точек A1, . . ., An и окружность радиуса 1. Докажи-
те, что на окружности можно выбрать точку M так, что MA1 + . . .
. . . + MAn > n.
9.4. Точки A1, . . ., An не лежат на одной прямой. Пусть две разные
точки P и Q обладают тем свойством, что A1P + . . . + AnP = A1Q + . . .
. . . + AnQ = s. Докажите, что тогда A1K + . . . + AnK < s для некоторой
точки K.
9.5*. На столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что
в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов ми-
нутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола
до центров часов.
§ 2. Алгебраические задачи
на неравенство треугольника
В задачах этого параграфа a, b и c— длины сторон произвольного треуголь-
ника.
9.6. Докажите, что a = y + z, b = x + z и c = x + y, где x, y и z —
положительные числа.
9.7. Докажите, что a
2 + b
2 + c
2 < 2(ab + bc + ca).
9.8. При любом натуральном n из чисел a
n
, b
n и c
n можно соста-
вить треугольник. Докажите, что среди чисел a, b и c есть два равных.
9.9. Докажите, что
a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a − b)2 + 4abc > a
3 + b
3 + c
3
.
9.10. Докажите, что
a
b + c − a
+
b
c + a − b
+
c
a + b − c
> 3.
9.11. Пусть p =
a
b
+
b
c
+
c
a
и q =
a
c
+
c
b
+
b
a
. Докажите, что |p − q| < 1.
9.12*. Пять отрезков таковы, что из любых трёх из них можно
составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треуголь-
ников остроугольный.
9.13*. Докажите, что (a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c) 6 abc.
9.14*. Докажите, что a
2b(a − b) + b
2
c(b − c) + c
2a(c − a) > 0.
Условия задач 223
§ 3. Сумма длин диагоналей четырёхугольника
9.15. Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник. Докажите, что
AB + CD < AC + BD.
9.16. Пусть ABCD— выпуклый четырёхугольник, причём AB+BD6
6 AC + CD. Докажите, что AB < AC.
9.17*. Внутри выпуклого четырёхугольника с суммой длин диа-
гоналей d расположен выпуклый четырёхугольник с суммой длин
диагоналей d
0
. Докажите, что d
0 < 2d.
9.18*. Дана замкнутая ломаная, причём любая другая замкнутая
ломаная с теми же вершинами имеет б´ольшую длину. Докажите, что
эта ломаная несамопересекающаяся.
9.19*. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все
диагонали которого имеют одинаковую длину?
9.20*. На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие
три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно
провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих
точек.
9.21*. Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произ-
вольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметическо-
го длин всех его диагоналей.
9.22*. Дан выпуклый (2n + 1)-угольник A1A3A5 . . . A2n+1A2 . . . A2n.
Докажите, что среди всех замкнутых ломаных с вершинами в его
вершинах наибольшую длину имеет ломаная A1A2A3 . . . A2n+1A1.
См. также задачу 6.93.
§ 4. Разные задачи на неравенство треугольника
9.23. В треугольнике длины двух сторон равны 3,14 и 0,67. Най-
дите длину третьей стороны, если известно, что она является целым
числом.
9.24. Докажите, что сумма длин диагоналей выпуклого пятиуголь-
ника ABCDE больше периметра, но меньше удвоенного периметра.
9.25. Докажите, что если длины сторон треугольника связаны нера-
венством a
2 + b
2 > 5c
2
, то c— длина наименьшей стороны.
9.26. Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что
третья высота меньше 30.
9.27. Дан треугольник ABC и точка D внутри его, причём AC−DA>
> 1 и BC − BD > 1. Пусть E— произвольная точка внутри отрезка AB.
Докажите, что EC − ED > 1.
9.28*. Точки C1, A1, B1 взяты на сторонах AB, BC, CA треугольни-
ка ABC так, что BA1 = ❧ · BC, CB1 = ❧ · CA, AC1 = ❧ · AB, причём 1/2 <
< ❧ < 1. Докажите, что периметр P треугольника ABC и периметр P1
треугольника A1B1C1 связаны неравенствами (2❧ − 1)P < P1 < ❧P.
224 Глава 9. Геометрические неравенства
* * *
9.29*. а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоуголь-
ника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой
оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый много-
угольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый мно-
гоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника боль-
ше, чем периметр внутреннего.
9.30*. Внутри треугольника ABC периметра P взята точка O. Дока-
жите, что P/2 < AO + BO + CO < P.
9.31*. На основании AD трапеции ABCD нашлась точка E, облада-
ющая тем свойством, что периметры треугольников ABE, BCE и CDE
равны. Докажите, что тогда BC = AD/2.
См. также задачи 13.43, 20.12.
§ 5. Площадь треугольника не превосходит половины
произведения двух сторон
9.32. Дан треугольник площади 1 со сторонами a 6 b 6 c. Докажите,
что b >

2.
9.33. Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA
четырёхугольника ABCD. Докажите, что
SABCD 6 EG · HF 6 (AB + CD)(AD + BC)/4.
9.34. Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите,
что его площадь не превосходит 1.
9.35. Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что 4S 6
6 AM · BC + BM · AC + CM · AB, где S— площадь треугольника ABC.
9.36*. В окружность радиуса R вписан многоугольник площади S,
содержащий центр окружности, и на его сторонах выбрано по точ-
ке. Докажите, что периметр выпуклого многоугольника с вершинами
в выбранных точках не меньше 2S/R.
9.37*. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD площади S взята
точка O, причём AO2 + BO2 + CO2 + DO2 = 2S. Докажите, что то-
гда ABCD— квадрат и O— его центр.
§ 6. Неравенства для площадей
9.38. Точки M и N лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC,
причём AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырёхуголь-
ника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольни-
ка AMN.
Условия задач 225
9.39. Площади треугольников ABC, A1B1C1, A2B2C2 равны S, S1,
S2 соответственно, причём AB = A1B1 + A2B2, AC = A1C1 + A2C2, BC =
= B1C1 + B2C2. Докажите, что S 6 4

S1S2.
9.40. ABCD — выпуклый четырёхугольник площади S. Угол между
прямыми AB и CD равен ❛, угол между AD и BC равен ❜. Докажите,
что
AB · CD sin❛ + AD · BC sin ❜ 6 2S 6 AB · CD + AD · BC.
9.41. Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три
прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на
Рис. 9.1
которые эти прямые разбивают треугольник,
так, как показано на рис. 9.1. Докажите,
что a/❛ + b/❜ + c/❣ > 3/2.
9.42. Площади треугольников ABC и
A1B1C1 равны S и S1, причём треуголь-
ник ABC не тупоугольный. Наибольшее из
отношений a1/a, b1/b и c1/c равно k. Дока-
жите, что S1 6 k
2S.
9.43. а) Точки B, C и D делят (меньшую)
дугу AE окружности на четыре равные части.
Докажите, что SACE < 8SBCD.
б) Из точки A проведены касательные
AB и AC к окружности. Через середину D (меньшей) дуги BC про-
ведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N.
Докажите, что SBCD < 2SMAN.
9.44*. Все стороны выпуклого многоугольника отодвигаются во
внешнюю сторону на расстояние h. Докажите, что его площадь при
этом увеличится больше чем на Ph + ♣h
2
, где P— периметр.
9.45*. Квадрат разрезан на прямоугольники. Докажите, что сумма
площадей кругов, описанных около всех этих прямоугольников, не
меньше площади круга, описанного около исходного квадрата.
9.46*. Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, обра-
зованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями
выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.
9.47*. а) Докажите, что в любом выпуклом шестиугольнике площа-
ди S найдётся диагональ, отсекающая от него треугольник площади не
больше S/6.
б) Докажите, что в любом выпуклом восьмиугольнике площади S
найдётся диагональ, отсекающая от него треугольник площади не
больше S/8.
9.48*. Проекции многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го
координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных
углов равны соответственно 4, 3√
2, 5, 4√
2. Площадь многоугольника
равна S. Докажите, что S 6 17,5.
См. также задачу 17.19.
226 Глава 9. Геометрические неравенства
§ 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
9.49. Выпуклый многоугольник, площадь которого больше 0,5, по-
мещён в квадрат со стороной 1. Докажите, что внутри многоугольника
можно поместить отрезок длины 0,5, параллельный стороне квад-
рата.
9.50*. Внутри квадрата со стороной 1 даны n точек. Докажите, что:
а) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках
или вершинах квадрата не превосходит
1
2(n + 1)
;
б) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках не
превосходит 1/(n − 2).
9.51*. а) В круг площади S вписан правильный n-угольник пло-
щади S1, а около этого круга описан правильный n-угольник площа-
ди S2. Докажите, что S
2 > S1S2.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный
n-угольник периметра P1, а около этой окружности описан правиль-
ный n-угольник периметра P2. Докажите, что L
2 < P1P2.
9.52*. Многоугольник площади B вписан в окружность площа-
ди A и описан вокруг окружности площади C. Докажите, что 2B 6
6 A + C.
9.53*. В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь
каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пе-
ресекаются.
9.54*. а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S
и периметра P можно поместить круг радиуса S/P.
б) Внутри выпуклого многоугольника площади S1 и периметра P1
расположен выпуклый многоугольник площади S2 и периметра P2.
Докажите, что 2S1/P1 > S2/P2.
9.55*. Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри
треугольника, не превосходит половины площади треугольника.
9.56*. Докажите, что площадь треугольника, вершины которого ле-
жат на сторонах параллелограмма, не превосходит половины площади
параллелограмма.
* * *
9.57*. Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1
можно поместить в прямоугольный треугольник площади √
3.
9.58*. а) Докажите, что выпуклый многоугольник площади S мож-
но поместить в некоторый прямоугольник площади не более 2S.
б) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S можно
вписать параллелограмм площади не менее S/2.
9.59*. Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1
можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4;
б) 3/8.
Условия задач 227
9.60*. Выпуклый n-угольник помещён в квадрат со стороной 1. До-
кажите, что найдутся три такие вершины A, B и C этого n-угольника,
что площадь треугольника ABC не превосходит: а) 8/n2
; б) 16♣/n3
.
См. также задачу 15.8.
§ 8. Ломаные внутри квадрата
9.61*. Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересе-
кающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдётся прямая,
параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную
по крайней мере в 500 точках.
9.62*. В квадрате со стороной 1 расположена ломаная длиной L.
Известно, что каждая точка квадрата удалена от некоторой точки этой
ломаной меньше чем на ❡. Докажите, что тогда L >
1
2❡

♣❡
2
.
9.63*. Внутри квадрата со стороной 1 расположено n
2 точек. До-
кажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина
которой не превосходит 2n.
9.64*. Внутри квадрата со стороной 100 расположена ломаная L,
обладающая тем свойством, что любая точка квадрата удалена от L не
больше чем на 0,5. Докажите, что на L есть две точки, расстояние
между которыми не больше 1, а расстояние по L между ними не
меньше 198.
§ 9. Четырёхугольник
9.65. В четырёхугольнике ABCD углы A и B равны, a ∠D > ∠C.
Докажите, что тогда AD < BC.
9.66. В трапеции ABCD углы при основании AD удовлетворяют
неравенствам ∠A < ∠D < 90◦
. Докажите, что тогда AC > BD.
9.67. Докажите, что если два противоположных угла четырёхуголь-
ника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче
другой диагонали.
9.68. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до
трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой
точки до четвёртой вершины.
9.69. Угол A четырёхугольника ABCD тупой; F — середина сторо-
ны BC. Докажите, что 2FA < BD + CD.
9.70. Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что AC·BD6AB·CD+
+ BC · AD (неравенство Птолемея).
9.71. Пусть M и N — середины сторон BC и CD выпуклого четы-
рёхугольника ABCD. Докажите, что SABCD < 4SAMN.
9.72. Точка P лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD.
Докажите, что сумма расстояний от точки P до вершин четырёх-
угольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами
четырёхугольника.
228 Глава 9. Геометрические неравенства
9.73. Диагонали делят выпуклый четырёхугольник ABCD на четы-
ре треугольника. Пусть P— периметр четырёхугольника ABCD, Q— пе-
риметр четырёхугольника, образованного центрами вписанных окруж-
ностей полученных треугольников. Докажите, что PQ > 4SABCD.
9.74. Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого
четырёхугольника до противоположной диагонали не превосходит по-
ловины этой диагонали.
9.75*. Отрезок KL проходит через точку пересечения диагоналей
четырёхугольника ABCD, а концы его лежат на сторонах AB и CD.
Докажите, что длина отрезка KL не превосходит длины одной из
диагоналей.
9.76*. В параллелограмм P1 вписан параллелограмм P2, а в парал-
лелограмм P2 вписан параллелограмм P3, стороны которого параллель-
ны сторонам P1. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон P1 не
превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны P3.
См. также задачи 13.21, 15.3 а).
§ 10. Многоугольники
9.77. Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют
арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36◦
.
9.78*. Пусть ABCDE — выпуклый пятиугольник, вписанный в ок-
ружность радиуса 1, причём AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = 2.
Докажите, что
a
2 + b
2 + c
2 + d
2 + abc + bcd < 4.
9.79*. Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 взята
точка P. Докажите, что расстояния от точки P до некоторых трёх
вершин шестиугольника не меньше 1.
9.80*. Докажите, что если стороны выпуклого шестиугольника
ABCDEF равны 1, то радиус описанной окружности одного из тре-
угольников ACE и BDF не превосходит 1.
9.81*. Длины сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF мень-
ше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей AD, BE, CF мень-
ше 2.
9.82*. Семиугольник A1 . . . A7 вписан в окружность. Докажите, что
если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при
вершинах A1, A3, A5 меньше 450◦
.
* * *
9.83. а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаим-
но перпендикулярные прямые равны a и b, то его длина не меньше
(a + b)/√
2.
б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны
a и b. Докажите, что его периметр не меньше √
2(a + b).
Условия задач 229
9.84*. Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника пери-
метра P можно составить два отрезка, длины которых отличаются не
более чем на P/3.
9.85*. Многоугольник A1A2 . . . An составлен из n твёрдых стержней,
соединённых шарнирами. Докажите, что если n > 4, то его можно
деформировать в треугольник.
9.86*. Внутри выпуклого многоугольника A1 . . . An взята точка O.
Пусть ❛k — величина угла при вершине Ak, xk = OAk, dk — расстояние
от точки O до прямой AkAk+1. Докажите, что Pxk sin(❛k/2) >
Pdk
и
Pxk cos(❛k/2) > p, где p— полупериметр многоугольника.
9.87*. Правильный 2n-угольник M1 со стороной a лежит внутри
правильного 2n-угольника M2 со стороной 2a. Докажите, что много-
угольник M1 содержит центр многоугольника M2.
9.88*. Внутри правильного многоугольника A1 . . . An взята точка O.
Докажите, что по крайней мере один из углов AiOAj удовлетворяет
неравенствам ♣(1 − 1/n) 6 ∠AiOAj 6 ♣.
9.89*. Докажите, что при n > 7 внутри выпуклого n-угольника
найдётся точка, сумма расстояний от которой до вершин больше пе-
риметра.
9.90*. а) Выпуклые многоугольники A1 . . . An и B1 . . . Bn таковы,
что все их соответственные стороны, кроме A1An и B1Bn, равны
и ∠A2 > ∠B2, . . ., ∠An−1 > ∠Bn−1, причём хотя бы одно из неравенств
строгое. Докажите, что A1An > B1Bn.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников A1 . . . An
и B1 . . . Bn равны. Запишем возле каждой вершины многоугольни-
ка A1 . . . An знак разности ∠Ai − ∠Bi. Докажите, что при n > 4 соседних
вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары.
(Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две
вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разно-
стью, считаются соседними.)
См. также задачи 4.38, 4.54, 13.45.
§ 11. Разные задачи
9.91. На отрезке длиной 1 дано n точек. Докажите, что сумма
расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше n/2.
9.92*. В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту
нужно протянуть провод из точки A в точку B, расстояние между
которыми равно l. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска
провода длиной 1,6l.
9.93*. В некотором лесу расстояние между любыми двумя дере-
вьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту
меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором дли-
ной 200 м.
230 Глава 9. Геометрические неравенства
9.94*. Многоугольник (не обязательно выпуклый), вырезанный из
бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеива-
ются. Может ли периметр полученного многоугольника быть больше,
чем периметр исходного?
9.95*. В треугольник вписана окружность. Около неё описан квад-
рат. Докажите, что вне треугольника лежит не больше половины
периметра квадрата.
* * *
9.96. Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить
в круг радиуса 0,25.
9.97*. Остроугольный треугольник расположен внутри окружности.
Докажите, что её радиус не меньше радиуса описанной окружности
треугольника.
Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?
9.98*. Докажите, что периметр остроугольного треугольника не
меньше 4R.
См. также задачи 14.25, 20.4.
Задачи для самостоятельного решения
9.99. Два отрезка делят прямоугольник ABCD на четыре пря-
моугольника. Докажите, что площадь одного из прямоугольников,
прилегающих к вершинам A и C, не превосходит четверти площа-
ди ABCD.
9.100. Докажите, что если AB + BD = AC + CD, то серединный пер-
пендикуляр к стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD пересе-
кает отрезок AD.
9.101. Докажите, что если диагональ BD выпуклого четырёхуголь-
ника ABCD делит пополам диагональ AC и AB > BC, то AD < DC.
9.102. Основания описанной трапеции равны 2 и 11. Докажите, что
продолжения её боковых сторон пересекаются под острым углом.
9.103. Основания трапеции равны a и b, а высота равна h. Дока-
жите, что длина одной из её диагоналей не меньше p
h2 + (b + a)2/4.
9.104. Вершины n-угольника M1 являются серединами сторон вы-
пуклого n-угольника M. Докажите, что при n > 3 периметр M1 не
меньше половины периметра M, а при n > 4 площадь M1 не меньше
половины площади M.
9.105. В окружность радиуса 1 вписан многоугольник, длины сто-
рон которого заключены между 1 и √
2. Найдите число его сторон.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar