Тема №6043 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 6) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 1. Треугольник
11.1. Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным
углом ❛ и площадью S наименьшую длину стороны BC имеет рав-
нобедренный треугольник с основанием BC.
11.2. Докажите, что среди всех треугольников ABC с фиксиро-
ванным углом ❛ и полупериметром p наибольшую площадь имеет
равнобедренный треугольник с основанием BC.
274 Глава 11. Задачи на максимум и минимум
11.3. Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным по-
лупериметром p наибольшую площадь имеет правильный треугольник.
11.4. Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными сто-
роной a и углом ❛. Чему равен максимум суммы квадратов длин
сторон b и c?
11.5. Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность,
найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
11.6*. Периметр треугольника ABC равен 2p. На сторонах AB и AC
взяты точки M и N так, что MN k BC и MN касается вписанной
окружности треугольника ABC. Найдите наибольшее значение длины
отрезка MN.
11.7*. В данный треугольник поместите центрально симметричный
многоугольник наибольшей площади.
11.8*. Площадь треугольника ABC равна 1. Пусть A1, B1, C1 — се-
редины сторон BC, CA, AB соответственно. На отрезках AB1, CA1, BC1
взяты точки K, L, M соответственно. Чему равна минимальная пло-
щадь общей части треугольников KLM и A1B1C1?
11.9*. Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная по-
лоса бумаги, чтобы из неё можно было вырезать любой треугольник
площадью 1?
* * *
11.10. Докажите, что треугольники с длинами сторон a, b, c
и a1, b1, c1 подобны тогда и только тогда, когда

aa1 +
p
bb1 +

cc1 =
p
(a + b + c)(a1 + b1 + c1).
11.11*. Докажите, что если ❛, ❜, ❣ и ❛1, ❜1, ❣1 — углы двух тре-
угольников, то
cos❛1
sin❛
+
cos ❜1
sin ❜
+
cos❣1
sin❣
6 ctg❛ + ctg ❜ + ctg❣.
11.12*. Пусть a, b и c — длины сторон треугольника площади S;
❛1, ❜1 и ❣1 — углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a
2
ctg❛1 + b
2
ctg ❜1 + c
2
ctg❣1 > 4S, причём равенство достигается, толь-
ко если рассматриваемые треугольники подобны.
11.13*. Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём a > b > c;
x, y и z— углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
bc + ca − ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z 6
a
2 + b
2 + c
2
2
.
См. также задачу 17.21.
§ 2. Экстремальные точки треугольника
11.14. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята
точка X; M и N— её проекции на катеты AC и BC.
Условия задач 275
а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наи-
меньшей?
б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника
CMXN будет наибольшей?
11.15. Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного тре-
угольника ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны
BC и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ мини-
мальна?
11.16. Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M,
для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников
ACM и BCM была бы наименьшей.
11.17. Из точки M описанной окружности треугольника ABC опу-
щены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком
положении точки M длина отрезка PQ максимальна?
11.18*. Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть da, db, dc —
расстояния от неё до прямых BC, CA, AB. При каком положении
точки O произведение dadbdc будет наибольшим?
11.19*. Точки A1, B1 и C1 взяты на сторонах BC, CA и AB тре-
угольника ABC, причём отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной
точке M. При каком положении точки M величина
MA1
AA1
·
MB1
BB1
·
MC1
CC1
максимальна?
11.20*. Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC,
опущены перпендикуляры MA1, MB1, MC1 на прямые BC, CA, AB.
Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина
a/MA1 + b/MB1 + c/MC1 принимает наименьшее значение?
11.21*. Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для
которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите вни-
мание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120◦
.)
11.22*. Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой
сумма квадратов расстояний от неё до сторон треугольника мини-
мальна.
См. также задачу 18.22 а).
§ 3. Угол
11.23. На одной стороне острого угла даны точки A и B. Постройте
на другой его стороне точку C, из которой отрезок AB виден под
наибольшим углом.
11.24. Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точ-
ку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей
площади.
11.25. Проведите через данную точку P, лежащую внутри уг-
ла AOB, прямую MN так, чтобы величина OM + ON была минималь-
ной (точки M и N лежат на сторонах OA и OB).
276 Глава 11. Задачи на максимум и минимум
11.26. Даны угол XAY и окружность внутри его. Постройте точ-
ку окружности, сумма расстояний от которой до прямых AX и AY
минимальна.
11.27*. Внутри острого угла BAC дана точка M. Постройте на сто-
ронах BA и AC точки X и Y так, чтобы периметр треугольника XYM
был минимальным.
11.28*. Дан угол XAY. Концы B и C отрезков BO и CO длиной 1
перемещаются по лучам AX и AY. Постройте четырёхугольник ABOC
наибольшей площади.
§ 4. Четырёхугольники
11.29. Внутри выпуклого четырёхугольника найдите точку, сумма
расстояний от которой до вершин была бы наименьшей.
11.30. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются
в точке O. Какую наименьшую площадь может иметь этот четы-
рёхугольник, если площадь треугольника AOB равна 4, а площадь
треугольника COD равна 9?
11.31. Трапеция ABCD с основанием AD разрезана диагональю AC
на два треугольника. Прямая l, параллельная основанию, разрезает
эти треугольники на два треугольника и два четырёхугольника. При
каком положении прямой l сумма площадей полученных треугольни-
ков минимальна?
11.32. Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину
может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?
11.33*. На основании AD трапеции ABCD дана точка K. Найдите
на основании BC точку M, для которой площадь общей части тре-
угольников AMD и BKC максимальна.
11.34*. Докажите, что среди всех четырёхугольников с фиксиро-
ванными длинами сторон наибольшую площадь имеет вписанный че-
тырёхугольник.
См. также задачи 9.37, 15.3 б).
§ 5. Многоугольники
11.35. Многоугольник имеет центр симметрии O. Докажите, что
сумма расстояний до вершин минимальна для точки O.
11.36. Среди всех многоугольников, вписанных в данную окруж-
ность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин
сторон.
11.37*. Дан выпуклый многоугольник A1 . . . An. Докажите, что точ-
ка многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от
неё до всех вершин, является вершиной.
См. также задачу 6.74.
Условия задач 277
§ 6. Разные задачи
11.38. Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите
точку M окружности, для которой угол OMA максимален.
11.39. На плоскости даны прямая l и точки A и B, лежащие по
разные стороны от неё. Постройте окружность, проходящую через
точки A и B так, чтобы прямая l высекала на ней хорду наименьшей
длины.
11.40. Даны прямая l и точки P и Q, лежащие по одну сторону
от неё. На прямой l берём точку M и в треугольнике PQM проводим
высоты PP0 и QQ0
. При каком положении точки M длина отрезка P
0Q0
минимальна?
11.41. Точки A, B и O не лежат на одной прямой. Проведите через
точку O прямую l так, чтобы сумма расстояний от неё до точек A и B
была: а) наибольшей; б) наименьшей.
* * *
11.42. Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая все-
возможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим
наименьший из этих углов ❛. Найдите наибольшее значение ❛.
11.43*. В городе 10 улиц, параллельных друг другу, и 10 улиц,
пересекающих их под прямым углом. Какое наименьшее число по-
воротов может иметь замкнутый автобусный маршрут, проходящий
через все перекрёстки?
11.44*. Чему равно наибольшее число клеток шахматной доски раз-
мером 8 × 8, которые можно разрезать одной прямой?
11.45*. Какое наибольшее число точек можно поместить на отрезке
длиной 1 так, чтобы на любом отрезке длиной d, содержащемся в этом
отрезке, лежало не больше 1 + 1000d
2 точек?
См. также задачи 15.1, 17.20.
§ 7. Экстремальные свойства
правильных многоугольников
11.46*. а) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных
около данной окружности, наименьшую площадь имеет правильный
n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной
окружности, наименьший периметр имеет правильный n-угольник.
11.47*. Треугольники ABC1 и ABC2 имеют общее основание AB
и ∠AC1B = ∠AC2B. Докажите, что если |AC1 − C1B| < |AC2 − C2B|, то:
а) площадь треугольника ABC1 больше площади треугольника ABC2;
б) периметр треугольника ABC1 больше периметра треугольни-
ка ABC2.
278 Глава 11. Задачи на максимум и минимум
11.48*. а) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных
в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный
n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную
окружность, наибольший периметр имеет правильный n-угольник.
Задачи для самостоятельного решения
11.49. На стороне острого угла с вершиной A дана точка B. По-
стройте на другой его стороне такую точку X, что радиус описанной
окружности треугольника ABX наименьший.
11.50. Через данную точку внутри окружности проведите хорду
наименьшей длины.
11.51. Среди всех треугольников с заданной суммой длин биссек-
трис найдите треугольник с наибольшей суммой длин высот.
11.52. Внутри выпуклого четырёхугольника найдите точку, сумма
квадратов расстояний от которой до вершин наименьшая.
11.53. Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность,
найдите тот, для которого величина 1
наименьшая.
11.54. На шахматной доске с обычной раскраской проведите окруж-
ность наибольшего радиуса так, чтобы она не пересекла ни одного
белого поля.
11.55. Внутри квадрата дана точка O. Любая прямая, проходящая
через O, разрезает квадрат на две части. Проведите через точку O
прямую так, чтобы разность площадей этих частей была наибольшей.
11.56. Какую наибольшую длину может иметь наименьшая сторона
треугольника, вписанного в данный квадрат?
11.57. Какую наибольшую площадь может иметь правильный тре-
угольник, вписанный в данный квадрат?

§ 1. Векторы сторон многоугольников
13.1. а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить
треугольник.
б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A1B1C1,
а из медиан треугольника A1B1C1 составлен треугольник A2B2C2.
Докажите, что треугольники ABC и A2B2C2 подобны, причём коэф-
фициент подобия равен 3/4.
13.2. Стороны треугольника T параллельны медианам треугольни-
ка T1. Докажите, что медианы треугольника T параллельны сторонам
треугольника T1.
13.3. M1, M2, . . ., M6 — середины сторон выпуклого шестиугольника
A1A2 . . . A6. Докажите, что существует треугольник, стороны которого
равны и параллельны отрезкам M1M2, M3M4, M5M6.
13.4. Из точки, лежащей внутри выпуклого n-угольника, проведе-
ны лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны
(или их продолжения). На этих лучах отложены векторы a1, . . ., an,
длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что
a1 + . . . + an = 0.
13.5. Сумма четырёх единичных векторов равна нулю. Докажите,
что их можно разбить на две пары противоположных векторов.
13.6. Пусть E и F — середины сторон AB и CD четырёхугольни-
ка ABCD, K, L, M и N — середины отрезков AF, CE, BF и DE.
Докажите, что KLMN— параллелограмм.
13.7. Дано n попарно не сонаправленных векторов (n > 3), сумма
которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый n-уголь-
ник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором
векторов.
13.8. Даны четыре попарно непараллельных вектора, сумма которых
равна нулю. Докажите, что из них можно составить: а) невыпуклый
четырёхугольник; б) самопересекающуюся четырёхзвенную ломаную.
13.9*. Даны четыре попарно непараллельных вектора a, b, c и d,
сумма которых равна нулю. Докажите, что
|a| + |b| + |c| + |d| > |a + b| + |a + c| + |a + d|.
13.10*. В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона BC параллель-
на диагонали AD, CD k BE, DE k AC и AE k BD. Докажите, что AB k CE.
См. также задачу 5.49.
310 Глава 13. Векторы
§ 2. Скалярное произведение. Соотношения
13.11. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD пер-
пендикулярны, то и диагонали любого другого четырёхугольника с та-
кими же длинами сторон перпендикулярны.
13.12. а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки. Докажите, что
(
# – AB,
# – CD) + (
# – BC,
# – AD) + (
# – CA,
# – BD) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
13.13. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC,
а точка H обладает тем свойством, что # – OH =
# – OA +
# – OB +
# – OC. Докажите,
что H— точка пересечения высот треугольника ABC.
13.14. Докажите, что OH2 = R
2
(1 − 8 cos❛cos ❜ cos❣).
13.15. Пусть A1 . . . An — правильный n-угольник, X — произволь-
ная точка. Рассмотрим проекции X1, . . ., Xn точки X на прямые
A1A2, . . ., AnA1. Пусть xi — длина отрезка AiXi с учётом знака (знак
плюс берётся в случае, когда лучи AiXi и AiAi+1 сонаправлены).
Докажите, что сумма x1 + . . . + xn равна половине периметра много-
угольника A1 . . . An.
13.16. Пусть a1, . . ., an — векторы сторон n-угольника, ❢ij=∠(ai, aj).
Докажите, что a
2
1 = a
2
2 + . . . + a
2
n + 2
P
i>j>1
aiaj cos❢ij, где ai = |ai
|.
13.17. Дан четырёхугольник ABCD. Пусть u=AD2
, v=BD2
, w=CD2
,
U = BD2 + CD2 − BC2
, V = AD2 + CD2 − AC2
, W = AD2 + BD2 − AB2
. До-
кажите, что uU2 + vV2 + wW2 = UVW + 4uvw (Гаусс).
13.18*. Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа
(
# – MA,
# – MB) и (
# – MC,
# – MD) различны. Докажите, что # – AC =
# – DB.
13.19*. Докажите, что в выпуклом k-угольнике сумма расстояний
от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда,
когда сумма векторов единичных внешних нормалей равна нулю.
13.20*. В выпуклом четырёхугольнике сумма расстояний от верши-
ны до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот
четырёхугольник является параллелограммом.
См. также задачи 6.72, 6.73, 6.75—6.80, 6.89, 7.3.
§ 3. Неравенства
13.21. Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB2 + BC2 + CD2 +
+DA2 >AC2 +BD2
, причём равенство достигается, только если ABCD—
параллелограмм.
13.22. Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два
так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся
трёх векторов.
13.23. Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти
их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что
Условия задач 311
существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов
положительна.
13.24. Точки A1, . . ., An лежат на окружности с центром O, причём # – OA1 + . . . +
# – OAn =
#–0 . Докажите, что для любой точки X справедливо
неравенство XA1 + . . . + XAn > nR, где R— радиус окружности.
13.25. Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Дока-
жите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh,
ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.
13.26*. На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек
P1, . . ., P2n+1, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. До-
кажите, что |
# – OP1 + . . . +
# – OP2n+1| > 1.
13.27*. Пусть a1, a2, . . ., an — векторы, длины которых не превос-
ходят 1. Докажите, что в сумме c = ±a1 ± a2 . . . ± an можно выбрать
знаки так, что |c| 6

2.
13.28*. Из точки O выходит n векторов единичной длины, причём
в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точ-
ку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная
прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих
векторов не превосходит n − 2k.
См. также задачи 9.78, 10.5, 11.5, 11.11.
§ 4. Суммы векторов
13.29. Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только
тогда, когда
# – OX = t
# – OA + (1 − t)# – OB для некоторого t и любой точки O.
13.30. Дано несколько точек и для некоторых пар (A, B) этих то-
чек взяты векторы
# – AB, причём в каждой точке начинается столько
же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех
выбранных векторов равна #–0 .
13.31. Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что
SBOC ·
# – OA + SAOC ·
# – OB + SAOB ·
# – OC =
#–0 .
13.32. Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с об-
щим началом O так, что величина
p
OA +
q
OB остаётся постоянной.
Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную
точку.
13.33. Через точку M пересечения медиан треугольника ABC про-
ведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A1,
B1 и C1. Докажите, что (1/MA1) + (1/MB1) + (1/MC1) = 0 (отрезки
MA1, MB1 и MC1 считаются ориентированными).
13.34. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1. Отрезки BB1 и CC1, CC1 и AA1, AA1 и BB1 пересе-
каются в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что если
# – AA2 +
# – BB2 +
# – CC2 =
#–0 , то AB1 : B1C = CA1 : A1B = BC1 : C1A.
312 Глава 13. Векторы
13.35. Четырёхугольник ABCD вписанный. Пусть Ha — ортоцентр
треугольника BCD, Ma — середина отрезка AHa; точки Mb, Mc и Md
определяются аналогично. Докажите, что точки Ma, Mb, Mc и Md
совпадают.
13.36*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть Sa — окружность радиуса R с центром в ортоцентре тре-
угольника BCD; окружности Sb, Sc и Sd определяются аналогично.
Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC,
BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.
§ 5. Вспомогательные проекции
13.37. Точка X лежит внутри треугольника ABC, ❛ = SBXC, ❜ = SCXA
и ❣ = SAXB. Пусть A1, B1 и C1 — проекции точек A, B и C на произ-
вольную прямую l. Докажите, что длина вектора ❛
# – AA1 + ❜
# – BB1 + ❣
# – CC1
равна (❛ + ❜ + ❣)d, где d— расстояние от точки X до прямой l.
13.38*. Выпуклый 2n-угольник A1A2 . . . A2n вписан в окружность
радиуса 1. Докажите, что
|
# – A1A2 +
# – A3A4 + . . . +
# – A2n−1A2n| 6 2.
13.39*. Пусть a1, a2, . . ., a2n+1 — векторы длины 1. Докажите, что
в сумме c = ±a1 ± a2 ± . . . ± a2n+1 знаки можно выбрать так, что |c| 6 1.
13.40*. Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, na, nb
и nc — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствую-
щим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что
a
3na + b
3nb + c
3nc = 12S · # – MO,
где S— площадь, M— точка пересечения медиан, O— центр описанной
окружности треугольника ABC.
13.41*. Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности тре-
угольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности;
K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках
касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. До-
кажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причём OZ : ZK = 3R : r.
См. также задачу 4.26.
§ 6. Метод усреднения
13.42*. Даны два набора векторов a1, . . ., an и b1, . . ., bm, причём
сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не
больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же пря-
мую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше
суммы длин векторов второго набора.
Условия задач 313
13.43*. Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит
внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превос-
ходит периметра внешнего.
13.44*. Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна L.
Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число век-
торов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не
меньше L/♣.
13.45*. Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей вы-
пуклого многоугольника меньше d, то его периметр меньше ♣d.
13.46*. На плоскости даны четыре вектора a, b, c и d, сумма
которых равна нулю. Докажите, что
|a| + |b| + |c| + |d| > |a + d| + |b + d| + |c + d|.
13.47*. Внутри выпуклого n-угольника A1A2 . . . An взята точка O
так, что
# – OA1 + . . . +
# – OAn =
#–0 . Пусть d = OA1 + . . . + OAn. Докажите, что
периметр многоугольника не меньше 4d/n при чётном n и не меньше
4dn/(n2 − 1) при нечётном n.
13.48*. Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую
прямую равна 1. Докажите, что её длина равна ♣.
13.49*. Дано несколько выпуклых многоугольников, причём нельзя
провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоуголь-
ника и по обе стороны от неё лежал хотя бы один многоугольник.
Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоуголь-
ник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.
§ 7. Псевдоскалярное произведение
Псевдоскалярным произведением ненулевых векторов a и b называют число
c = |a| · |b| sin ∠(a, b); если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то c = 0.
Псевдоскалярное произведение векторов a и b обозначают a ∨ b. Ясно, что
a ∨ b = −b ∨ a.
Абсолютная величина псевдоскалярного произведения векторов a и b
равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы. В связи
с этим ориентированной площадью тройки точек A, B и C называют чис-
ло S(A, B, C) = (
# – AB ∨
# – AC)/2; абсолютная величина числа S(A, B, C) равна
площади треугольника ABC.
13.50. Докажите, что:
а) (❧a) ∨ b = ❧(a ∨ b);
б) a ∨ (b + c) = a ∨ b + a ∨ c.
13.51. Пусть a = (a1, a2) и b = (b1, b2). Докажите, что a ∨ b =
= a1b2 − a2b1.
13.52. а) Докажите, что S(A, B, C) = −S(B, A, C) = S(B, C, A).
б) Докажите, что для любых точек A, B, C и D справедливо равен-
ство S(A, B, C) = S(D, A, B) + S(D, B, C) + S(D, C, A).
314 Глава 13. Векторы
13.53. Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам
с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треуголь-
ника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему она может быть равна
ещё через 5 с?
13.54. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями
идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились
на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой
не более двух раз.
13.55. Решите с помощью псевдоскалярного произведения зада-
чу 4.29 б).
13.56*. Точки P1, P2 и P3, не лежащие на одной прямой, располо-
жены внутри выпуклого 2n-угольника A1 . . . A2n. Докажите, что если
сумма площадей треугольников A1A2Pi, A3A4Pi, . . ., A2n−1A2nPi равна
одному и тому же числу c для i = 1, 2, 3, то для любой внутренней
точки P сумма площадей этих треугольников равна c.
13.57*. Дан треугольник ABC и точка P. Точка Q такова, что
CQ k AP, а точка R такова, что AR k BQ и CR k BP. Докажите, что
SABC = SPQR.
13.58*. Пусть H1, H2 и H3 — ортоцентры треугольников A2A3A4,
A1A3A4 и A1A2A4. Докажите, что площади треугольников A1A2A3
и H1H2H3 равны.
13.59*. В выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого рав-
на S, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a,
b, c, d и e. Докажите, что
S
2 − S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = 0.
Задачи для самостоятельного решения
13.60. Пусть M и N— середины отрезков AB и AC, P— середина от-
резка MN, O— произвольная точка. Докажите, что 2# – OA+
# – OB+
# – OC=4
# – OP.
13.61. Точки A, B и C движутся равномерно с одинаковыми уг-
ловыми скоростями по трём окружностям в одну и ту же сторону.
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC при этом
движется также по окружности.
13.62. Пусть A, B, C, D и E — произвольные точки. Существует
ли такая точка O, что
# – OA +
# – OB +
# – OC =
# – OD +
# – OE? Найдите все такие
точки.
13.63. Пусть P и Q — середины диагоналей выпуклого четырёх-
угольника ABCD. Докажите, что
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4PQ2
.
13.64. Середины отрезков AB и CD, BC и DE соединены; середи-
ны полученных отрезков тоже соединены. Докажите, что последний
отрезок параллелен отрезку AE и его длина равна AE/4.
Решения задач 315
13.65. Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB тре-
угольника ABC в точках A1, B1 и C1. Докажите, что если # – AA1 +
# – BB1 +
+
# – CC1 =
#–0 , то треугольник ABC правильный.
13.66. Четырёхугольники ABCD, AEFG, ADFH, FIJE и BIJC яв-
ляются параллелограммами. Докажите, что четырёхугольник AFHG
тоже параллелограмм.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar