Тема №6044 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 7)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 7) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 7), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 2. Теорема о группировке масс
14.4. Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в од-
ной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
14.5. Пусть ABCD— выпуклый четырёхугольник, K, L, M и N— се-
редины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения
отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и се-
рединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
14.6. Пусть A1, B1, . . ., F1 — середины сторон AB, BC, . . ., FA произ-
вольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан
треугольников A1C1E1 и B1D1F1 совпадают.
14.7. Докажите теорему Чевы (задача 4.49 б) с помощью группи-
ровки масс.
14.8*. На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхуголь-
ника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причём
AK : KB = DM : MC = ❛ и BL : LC = AN : ND = ❜. Пусть P— точка пере-
сечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = ❛ и KP : PM = ❜.
14.9*. Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую
следующим свойством: для любой прямой, проходящей через O и пе-
ресекающей сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено
равенство p
AK
KB + q
CL
LB = 1, где p и q— данные положительные числа.
14.10*. Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника
так, что их центр масс остаётся на месте. Докажите, что он совпадает
с точкой пересечения медиан треугольника ABC, если известно, что
одна муха проползла по всей границе треугольника.
14.11*. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки
C1, A1 и B1 так, что прямые CC1, AA1 и BB1 пересекаются в некоторой
точке O. Докажите, что:
а) CO
OC1
=
CA1
A1B
+
CB1
B1A
;
б) AO
OA1
·
BO
OB1
·
CO
OC1
=
AO
OA1
+
BO
OB1
+
CO
OC1
+ 2 > 8.
14.12*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B. Докажите, что
центры масс треугольников ABC и A1B1C1 совпадают.
14.13*. В середины сторон треугольника ABC помещены точки,
массы которых равны длинам сторон. Докажите, что центр масс этой
системы точек расположен в центре вписанной окружности треуголь-
ника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC.
З а м е ч а н и е. Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче 14.13,
совпадает с центром масс фигуры, изготовленной из трёх тонких стержней
одинаковой толщины. Действительно, при нахождении центра масс стержень
можно заменить на точку, расположенную в середине стержня и имеющую
массу, равную массе стержня. Ясно также, что масса стержня пропорциональ-
на его длине.
Условия задач 327
14.14*. На окружности дано n точек. Через центр масс n − 2 точек
проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две остав-
шиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной
точке.
14.15*. На прямых BC, CA, AB взяты точки A1 и A2, B1 и B2,
C1 и C2 так, что A1B2 k AB, B1C2 k BC и C1A2 k CA. Пусть la — прямая,
соединяющая точки пересечения прямых BB1 и CC2, BB2 и CC1; пря-
мые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что прямые la, lb и lc
пересекаются в одной точке (или параллельны).
14.16*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1, причём отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке P.
Пусть la, lb, lc — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B1C1,
CA и C1A1, AB и A1B1. Докажите, что прямые la, lb и lc пересекаются
в одной точке, причём эта точка лежит на отрезке PM, где M— центр
масс треугольника ABC.
14.17*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают прямую AA1 в точ-
ках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).
14.18*. На прямой AB взяты точки P и P1, а на прямой AC взяты
точки Q и Q1. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения
прямых PQ и P1Q1, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что
BD
CD
=
(BP/PA) − (BP1/P1A)
(CQ/QA) − (CQ1/Q1A)
.
§ 3. Момент инерции
14.19. Пусть O — центр масс системы точек, суммарная масса ко-
торой равна m. Докажите, что моменты инерции этой системы от-
носительно точки O и произвольной точки X связаны соотношением
IX = IO + mXO2
.
14.20. а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс
системы точек с единичными массами равен
1
n
P
i<j
a
2
ij, где n — число
точек, aij — расстояние между точками с номерами i и j.
б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс систе-
мы точек с массами m1, . . ., mn, равен
1
m
P
i<j
mimja
2
ij, где m=m1+. . .+mn,
aij — расстояние между точками с номерами i и j.
14.21. а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое
место таких точек X, что AX2 = BX2 + CX2
.
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник
относительно треугольника ABC прямоугольный.
328 Глава 14. Центр масс
14.22. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC,
H— точка пересечения высот. Докажите, что a
2 + b
2 + c
2 = 9R
2 − OH2
.
14.23. Хорды AA1, BB1 и CC1 окружности с центром O пересека-
ются в точке X. Докажите, что (AX/XA1) + (BX/XB1) + (CX/XC1) = 3
тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диамет-
ром OM, где M— центр масс треугольника ABC.
14.24*. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие
точки A1 и B2, B1 и C2, C1 и A2, что отрезки A1A2, B1B2 и C1C2
параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Дока-
жите, что PA1 · PA2 + PB1 · PB2 + PC1 · PC2 = R
2 − OP2
, где O — центр
описанной окружности.
14.25*. Внутри окружности радиуса R расположено n точек. До-
кажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не
превосходит n
2R
2
.
14.26*. Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть da, db
и dc — расстояния от точки P до сторон треугольника, Ra, Rb и Rc —
расстояния от неё до вершин. Докажите, что
3(d2
a + d
2
b + d
2
c
) > (Ra sin A)2 + (Rb sin B)2 + (Rc sin C)2
.
14.27*. Точки A1, . . ., An лежат на одной окружности, а M — их
центр масс. Прямые MA1, . . ., MAn пересекают эту окружность в точ-
ках B1, . . ., Bn (отличных от A1, . . ., An). Докажите, что MA1 + . . .
. . . + MAn 6 MB1 + . . . + MBn.
См. также задачу 23.20.
§ 4. Разные задачи
14.28. Докажите, что если у многоугольника есть несколько осей
симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
14.29. Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состо-
Рис. 14.1
ит из n «уголков» и k прямоугольников размером
1 × 4, изображённых на рис. 14.1. Докажите, что n
чётно.
14.30*. Решите задачу 13.47, используя свойства
центра масс.
14.31*. На сторонах BC и CD параллело-
грамма ABCD взяты точки K и L так, что
BK : KC = CL : LD. Докажите, что центр масс тре-
угольника AKL лежит на диагонали BD.
§ 5. Барицентрические координаты
Пусть на плоскости задан треугольник A1A2A3. Если точка X является
центром масс вершин этого треугольника с массами m1, m2 и m3, то числа
(m1 : m2 : m3) называют барицентрическими координатами точки X относи-
тельно треугольника A1A2A3.
Условия задач 329
14.32. Пусть задан треугольник A1A2A3. Докажите, что:
а) любая точка X имеет некоторые барицентрические координаты
относительно него;
б) при условии m1 + m2 + m3 = 1 барицентрические координаты точ-
ки X определены однозначно.
Барицентрические координаты (m1 : m2 : m3), для которых выполняется
условие m1 + m2 + m3 = 1, будем называть абсолютными барицентрически-
ми координатами; они определены уже не с точностью до пропорциональ-
ности, а однозначно.
14.33. Докажите, что барицентрические координаты точки X, ле-
жащей внутри треугольника ABC, равны (SBCX : SCAX : SABX).
14.34. Точка X лежит внутри треугольника ABC. Прямые, прохо-
дящие через точку X параллельно AC и BC, пересекают сторону AB
в точках K и L соответственно. Докажите, что барицентрические ко-
ординаты точки X равны (BL : AK : LK).
14.35. Найдите барицентрические координаты а) центра описанной
окружности; б) центра вписанной окружности; в) ортоцентра треуголь-
ника.
14.36. Относительно треугольника ABC точка X имеет абсолютные
барицентрические координаты (❛, ❜, ❣). Докажите, что # – XA = ❜
# – BA +
+ ❣
# – CA.
14.37. Пусть (❛, ❜, ❣) — абсолютные барицентрические координа-
ты точки X; M — центр масс треугольника ABC. Докажите, что
3
# – XM = (❛ − ❜)
# – AB + (❜ − ❣)
# – BC + (❣ − ❛)
# – CA.
14.38*. а) Вычислите барицентрические координаты точки Наге-
ля N.
б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной
окружности треугольника ABC. Докажите, что # – NM = 2
# – MI; в частности
точка N лежит на прямой MI.
14.39*. Пусть M — центр масс треугольника ABC, X — произволь-
ная точка. На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1 так,
что A1X k AM, B1X k BM и C1X k CM. Докажите, что центр масс M1
треугольника A1B1C1 совпадает с серединой отрезка MX.
14.40*. Найдите уравнение описанной окружности треугольника
A1A2A3 в барицентрических координатах.
14.41*. а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами
(❛ : ❜ : ❣) и (❛
−1
: ❜
−1
: ❣−1
) изотомически сопряжены относительно
треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что
точки с барицентрическими координатами (❛:❜:❣) и (a2/❛:b
2/❜: c
2/❣)
изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.
14.42*. Две прямые заданы в барицентрических координатах урав-
нениями a1❛ + b1❜ + c1❣ = 0 и a2❛ + b2❜ + c2❣ = 0.

§ 1. Перенос помогает решить задачу
15.1. В каком месте следует построить мост MN через реку, раз-
деляющую деревни A и B, чтобы путь AMNB из A в B был
кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост
перпендикулярен берегам.)
15.2. Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри тре-
угольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со сто-
роной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем парал-
лельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое
число шагов траектория движения точки замкнётся.
15.3. Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA
выпуклого четырёхугольника ABCD.
а) Докажите, что KM 6 (BC + AD)/2, причём равенство достигается,
только если BC k AD.
346 Глава 15. Параллельный перенос
б) При фиксированных длинах сторон четырёхугольника ABCD
найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN.
15.4. Внутри параллелограмма ABCD взята точка O так, что
∠OAD = ∠OCD. Докажите, что ∠OBC = ∠ODC.
15.5. В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны, M— точка
пересечения биссектрис углов A и B, N — точка пересечения биссек-
трис углов C и D. Докажите, что 2MN = |AB + CD − BC − AD|.
15.6*. Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высо-
ты BK и BH. Известно, что KH = a и BD = b. Найдите расстояние от
точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.
15.7*. Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке.
Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены. До-
кажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся
треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма.
15.8*. В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние
между любыми двумя точками которой не равно 0,001. Докажите,
что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0,34; б) 0,288.
§ 2. Построения и геометрические места точек
15.9. Дан угол ABC и прямая l. Постройте прямую, параллельную
прямой l, на которой стороны угла ABC высекают отрезок данной
длины a.
15.10. Даны две окружности S1, S2 и прямая l. Проведите пря-
мую l1, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l1 с окружностями
S1 и S2 имело заданную величину a;
б) S1 и S2 высекали на l1 равные хорды;
в) S1 и S2 высекали на l1 хорды, сумма (или разность) длин кото-
рых имела бы заданную величину a.
15.11. Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности. По-
стройте точку X окружности так, чтобы хорды AX и BX высекали на
хорде CD отрезок EF, имеющий данную длину a.
15.12. Постройте четырёхугольник ABCD по четырём углам и дли-
нам сторон AB = a и CD = b.
15.13. Даны окружности S1, S2 и точка A. Проведите через точку A
прямую l так, чтобы S1 и S2 высекали на ней равные хорды.
15.14. а) Даны окружности S1 и S2, пересекающиеся в точках
A и B. Проведите через точку A прямую l так, чтобы отрезок этой
прямой, заключённый внутри окружностей S1 и S2, имел данную
длину.
б) Впишите в данный треугольник ABC треугольник, равный дан-
ному треугольнику PQR.
15.15*. Постройте четырёхугольник по углам и диагоналям.
Решения задач 347
* * *
15.16*. Найдите геометрическое место точек: а) сумма; б) разность
расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную вели-
чину.
15.17*. Угол, изготовленный из прозрачного материала, двигают
так, что две непересекающиеся окружности касаются его сторон внут-
ренним образом. Докажите, что на нём можно отметить точку, кото-
рая описывает дугу окружности.
См. также задачу 7.5.
Задачи для самостоятельного решения
15.18. Даны две пары параллельных прямых и точка P. Проведите
через точку P прямую так, чтобы обе пары параллельных прямых
отсекали на ней равные отрезки.
15.19. Постройте параллелограмм по сторонам и углу между диаго-
налями.
15.20. В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD рав-
ны. Докажите, что:
а) прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, соединяющей
середины сторон AC и BD;
б) прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, соединяющей
середины диагоналей BC и AD.
15.21. Среди всех четырёхугольников с данными длинами диагона-
лей и величиной угла между ними найдите четырёхугольник наимень-
шего периметра.
15.22. Постройте параллелограмм, две смежные вершины которого
даны, а две другие лежат на данной окружности.

§ 1. Симметрия помогает решить задачу
16.1. Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса
совпадают, то треугольник равнобедренный.
16.2. Двое игроков поочерёдно выкладывают на прямоугольный
стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место.
Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что
первый игрок всегда может выиграть.
16.3. Окружность пересекает стороны BC, CA, AB треугольни-
ка ABC в точках A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 соответственно. Докажите,
что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведённые через
точки A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры
к сторонам, проведённые через точки A2, B2 и C2, тоже пересекаются
в одной точке.
16.4. Докажите, что прямые, проведённые через середины сто-
рон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным
сторонам, пересекаются в одной точке.
16.5. Пусть P — середина стороны AB выпуклого четырёхугольни-
ка ABCD. Докажите, что если площадь треугольника PCD равна
половине площади четырёхугольника ABCD, то BC k AD.
16.6. Окружности S1 и S2 радиуса 1 касаются в точке A; центр O
окружности S радиуса 2 принадлежит S1. Окружность S1 касается S
в точке B. Докажите, что прямая AB проходит через точку пересече-
ния окружностей S2 и S.
16.7*. В треугольнике ABC проведены медианы AF и CE. Докажи-
те, что если ∠BAF = ∠BCE = 30◦
, то треугольник ABC правильный.
16.8*. Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сто-
ронами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя
провести более n прямых, каждая из которых делит площадь n-уголь-
ника пополам.
См. также задачи 1.39, 4.41, 4.42.
§ 2. Свойства симметрии
16.9. а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий
является параллельным переносом.
б) Докажите, что композиция параллельного переноса и централь-
ной симметрии (в любом порядке) является центральной симметрией.
16.10. Докажите, что если точку отразить симметрично относи-
тельно точек O1, O2 и O3, а затем ещё раз отразить симметрично
относительно этих же точек, то она вернётся на место.
Условия задач 355
16.11. а) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более
одного центра симметрии.
б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух
центров симметрии.
в) Пусть M — конечное множество точек на плоскости. Назовём
точку O «почти центром симметрии» множества M, если из M можно
выбросить одну точку так, что O будет центром симметрии оставшего-
ся множества. Сколько «почти центров симметрии» может иметь M?
16.12. На отрезке AB дано n пар точек, симметричных относитель-
но его середины; n точек окрашено в синий цвет, остальные— в крас-
ный. Докажите, что сумма расстояний от A до синих точек равна
сумме расстояний от B до красных точек.
См. также задачу 5.49.
§ 3. Симметрия в задачах на построение
16.13. Через общую точку A окружностей S1 и S2 проведите пря-
мую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.
16.14. Через данную точку A проведите прямую так, чтобы отре-
зок, заключённый между точками пересечения её с данной прямой
и данной окружностью, делился точкой A пополам.
16.15. Даны угол ABC и точка D внутри его. Постройте отрезок
с концами на сторонах данного угла, середина которого находилась
бы в точке D.
16.16. Даны угол и внутри его точки A и B. Постройте параллело-
грамм, для которого точки A и B— противоположные вершины, а две
другие вершины лежат на сторонах угла.
16.17. Даны четыре попарно непараллельные прямые и точка O,
не лежащая на этих прямых. Постройте параллелограмм с цен-
тром O и вершинами, лежащими на данных прямых, — по одной на
каждой.
16.18. Даны две концентрические окружности S1 и S2. Проведи-
те прямую, на которой эти окружности высекают три равных от-
резка.
16.19*. Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности и точ-
ка J на хорде CD. Постройте на окружности точку X так, чтобы хорды
AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, делящийся точкой J
пополам.
16.20*. Через общую точку A окружностей S1 и S2 проведите пря-
мую l так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на l окружностями
S1 и S2 имела заданную величину a.
16.21*. Даны m = 2n + 1 точек— середины сторон m-угольника. По-
стройте его вершины.
См. также задачи 8.13, 8.49, 8.52, 8.53, 11.24.
356 Глава 16. Центральная симметрия
Задачи для самостоятельного решения
16.22. Постройте треугольник по медианам ma, mb и углу C.
16.23. а) Дана точка внутри параллелограмма, не лежащая на от-
резках, соединяющих середины противоположных сторон. Сколько
существует отрезков с концами на сторонах параллелограмма, деля-
щихся этой точкой пополам?
б) Дана точка, лежащая внутри треугольника, образованного сред-
ними линиями данного треугольника. Сколько существует отрезков
с концами на сторонах данного треугольника, делящихся этой точкой
пополам?
16.24. а) Найдите множество вершин выпуклых четырёхугольни-
ков, середины сторон которых являются вершинами данного квад-
рата.
б) На плоскости даны три точки. Найдите множество вершин вы-
пуклых четырёхугольников, середины трёх сторон каждого из которых
лежат в данных точках.
16.25. На прямой даны точки A, B, C, D, расположенные в указан-
ном порядке, причём AB = CD. Докажите, что для любой точки P на
плоскости AP + DP > BP + CP.

§ 1. Симметрия помогает решить задачу
17.1. Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD про-
ходит через M и пересекает AB под углом 45◦
. Докажите, что сумма
CM2 + DM2 не зависит от выбора точки M.
362 Глава 17. Осевая симметрия
17.2. Равные окружности S1 и S2 касаются окружности S внутрен-
ним образом в точках A1 и A2. Произвольная точка C окружности S
соединена отрезками с точками A1 и A2. Эти отрезки пересекают
S1 и S2 в точках B1 и B2. Докажите, что A1A2 k B1B2.
17.3. Через точку M основания AB равнобедренного треугольника
ABC проведена прямая, пересекающая его боковые стороны CA и CB
(или их продолжения) в точках A1 и B1. Докажите, что A1A : A1M =
= B1B : B1M.
См. также задачи 2.16, 2.65, 2.93, 2.99, 4.11, 6.3, 6.29, 9.40, 11.27,
22.22, 22.23.
§ 2. Построения
17.4. Постройте четырёхугольник ABCD, у которого диагональ AC
является биссектрисой угла A, зная длины его сторон.
17.5. Постройте четырёхугольник ABCD, в который можно вписать
окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при
вершинах B и D.
17.6. Постройте треугольник ABC по a, b и разности углов A и B.
17.7. Постройте треугольник ABC по стороне c, высоте hc и разно-
сти углов A и B.
17.8. Постройте треугольник ABC по: а) c, a − b (a > b) и углу C;
б) c, a + b и углу C.
17.9. Дана прямая l и точки A и B, лежащие по одну сторону от
неё. Постройте такую точку X прямой l, что AX + XB = a, где a— дан-
ная величина.
17.10. Дан острый угол MON и точки A и B внутри его. Найдите на
стороне OM точку X так, чтобы треугольник XYZ, где Y и Z— точки
пересечения прямых XA и XB с ON, был равнобедренным: XY =
= XZ.
17.11. Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от неё.
Постройте на прямой MN точку X так, что ∠AXM = 2∠BXN.
* * *
17.12. Даны три прямые l1, l2 и l3, пересекающиеся в одной точке,
и точка A1 на прямой l1. Постройте треугольник ABC так, чтобы
точка A1 была серединой его стороны BC, а прямые l1, l2 и l3 были
серединными перпендикулярами к сторонам.
17.13. Постройте треугольник ABC, если даны точки A, B и пря-
мая, на которой лежит биссектриса угла C.
17.14. Даны три прямые l1, l2 и l3, пересекающиеся в одной точке,
и точка A на прямой l1. Постройте треугольник ABC так, чтобы
точка A была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на
прямых l1, l2 и l3.
Условия задач 363
17.15. Постройте треугольник по данным серединам двух сторон
и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из
этих сторон.
§ 3. Неравенства и экстремумы
17.16. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята
точка M, отличная от C. Докажите, что MA + MB > CA + CB.
17.17. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что
2AM > (b + c) cos(❛/2).
17.18. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон
AC и BC в точках B1 и A1. Докажите, что если AC > BC, то AA1 > BB1.
17.19. Докажите, что площадь любого выпуклого четырёхугольника
не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.
17.20. Дана прямая l и две точки A и B по одну сторону от неё.
Найдите на прямой l точку X так, чтобы длина ломаной AXB была
минимальна.
17.21*. В данный остроугольный треугольник впишите треугольник
наименьшего периметра.
§ 4. Композиции симметрий
17.22. а) Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что Sl1
◦ Sl2 = T2a,
где Ta — параллельный перенос, переводящий l1 в l2, причём a ⊥ l1.
б) Прямые l1 и l2 пересекаются в точке O. Докажите, что Sl2
◦ Sl1 =
= R
2❛
O
, где R

O — поворот, переводящий l1 в l2.
17.23. Даны три прямые a, b, c. Докажите, что композиция сим-
метрий Sc ◦ Sb ◦ Sa является симметрией относительно некоторой пря-
мой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной
точке.
17.24. Даны три прямые a, b, c. Пусть T = Sa ◦ Sb ◦ Sc. Докажите,
что T ◦ T— параллельный перенос (или тождественное отображение).
17.25. Пусть l3 = Sl1
(l2). Докажите, что Sl3 = Sl1
◦ Sl2
◦ Sl1
.
17.26. Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC
в точках A1, B1 и C1; точки A2, B2 и C2 симметричны этим точкам
относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Дока-
жите, что A2B2 k AB и прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной
точке.
17.27*. Две прямые пересекаются под углом ❣. Кузнечик прыгает
с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и куз-
нечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что
последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда
❣/♣— рациональное число.
17.28*. а) Впишите в данную окружность n-угольник, стороны ко-
торого параллельны заданным n прямым.
364 Глава 17. Осевая симметрия
б) Через центр O окружности проведено n прямых. Постройте опи-
санный около окружности n-угольник, вершины которого лежат на
этих прямых.
17.29*. Дано n прямых. Постройте n-угольник, для которого эти
прямые являются: а) серединными перпендикулярами к сторонам;
б) биссектрисами внешних или внутренних углов при вершинах.
17.30*. Впишите в данную окружность n-угольник, одна из сторон
которого проходит через данную точку, а остальные стороны парал-
лельны данным прямым.
§ 5. Свойства симметрий и осей симметрии
17.31. Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга
радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно
любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений
точку A можно «загнать» внутрь данного круга; б) за 24 отражения
этого сделать нельзя.
17.32. На окружности с центром O даны точки A1, . . ., An, делящие
её на равные дуги, и точка X. Докажите, что точки, симметричные X
относительно прямых OA1, . . ., OAn, образуют правильный многоуголь-
ник.
17.33. Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
17.34. Докажите, что если плоская фигура имеет ровно две оси
симметрии, то эти оси перпендикулярны.
17.35*. Докажите, что если многоугольник имеет несколько (боль-
ше двух) осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
17.36*. Докажите, что если многоугольник имеет чётное число осей
симметрии, то он имеет центр симметрии.
§ 6. Теорема Шаля
Движением называют преобразование, сохраняющее расстояния между точ-
ками, т. е. если A
0 и B
0 — образы точек A и B, то A
0B
0 = AB. Движение
плоскости, оставляющее неподвижными три точки, не лежащие на одной
прямой, оставляет неподвижными и все остальные точки.
17.37*. Докажите, что любое движение плоскости является компо-
зицией не более чем трёх симметрий относительно прямых.
Движение, являющееся композицией чётного числа симметрий относи-
тельно прямых, называют движением первого рода или движением, со-
храняющим ориентацию плоскости. Движение, являющееся композицией
нечётного числа симметрий относительно прямых, называют движением
второго рода или движением, изменяющим ориентацию плоскости. Дви-
жения первого рода часто называют собственными, а движения второго
рода — несобственными.
Решения задач 365
Композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя пред-
ставить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно пря-
мых (задача 17.40).
17.38*. Докажите, что любое движение первого рода является по-
воротом или параллельным переносом.
Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно
некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l (этот вектор
может быть нулевым).
17.39*. Докажите, что любое движение второго рода является
скользящей симметрией.
17.40*. Докажите, что композицию чётного числа симметрий от-
носительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного
числа симметрий относительно прямых.
17.41*. Дан треугольник ABC. Докажите, что композиция симмет-
рий S = SAC ◦ SAB ◦ SBC является скользящей симметрией, для которой
вектор переноса имеет длину 4R sin❛sin ❜ sin❣, где R— радиус описан-
ной окружности, ❛, ❜, ❣— углы данного треугольника.
17.42*. Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F
0
.
Для каждой пары соответственных точек A и A0 рассмотрим середи-
ну X отрезка AA0
. Докажите, что либо все точки X совпадают, либо
все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную F.
Задачи для самостоятельного решения
17.43. Дан невыпуклый четырёхугольник периметра P. Докажите,
что найдётся выпуклый четырёхугольник того же периметра, но боль-
шей площади.
17.44. Может ли ограниченная фигура иметь центр симметрии
и ровно одну ось симметрии?
17.45. Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AM, BM и CM отно-
сительно биссектрис углов A, B и C, параллельны.
17.46. Вершины выпуклого четырёхугольника лежат на различных
сторонах квадрата. Докажите, что периметр этого четырёхугольника
не меньше 2√
2a, где a— длина стороны квадрата.
17.47. На прямоугольном бильярдном столе лежит шар. Постройте
траекторию, при движении по которой шар, отразившись от каждой
стенки по одному разу, вернётся на исходное место.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar