Тема №6045 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 8)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 8) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 8), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 1. Поворот на 90◦
18.1. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K со-
ответственно, причём ∠BAM = ∠MAK. Докажите, что BM + KD = AK.
18.2. В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH.
Прямые, проведённые через произвольную точку P плоскости пер-
пендикулярно CA, CM и CB, пересекают прямую CH в точках A1,
M1 и B1. Докажите, что A1M1 = B1M1.
18.3. Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B.
Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF тре-
угольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов
перечислены по часовой стрелке.)
18.4. Внутри квадрата A1A2A3A4 взята точка P. Из вершины A1
опущен перпендикуляр на A2P, из A2 — на A3P, из A3 — на A4P,
из A4 — на A1P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их
продолжения) пересекаются в одной точке.
18.5. На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так,
что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла MAK.
18.6. На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квад-
рата: ABCD, AB1C1D1 и A2B2CD2; первый квадрат имеет с двумя
другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треуголь-
ника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.
18.7*. Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC постро-
ены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что
центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют
квадрат.
18.8*. Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что пер-
пендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны
квадрата, образуют квадрат.
См. также задачи 1.43, 1.47, 4.25, 8.45.
§ 2. Поворот на 60◦
18.9. На сторонах треугольника ABC внешним образом построе-
ны правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите, что
AA1 = BB1 = CC1.
18.10. На отрезке AE по одну сторону от него построены равно-
сторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков
AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.
18.11. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы его
вершины лежали на трёх данных параллельных прямых.
18.12. Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники
PKM, вершина P которых фиксирована, а вершина K лежит в данном
квадрате. Найдите геометрическое место вершин M.
Условия задач 375
18.13. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены
внешним образом правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите,
что треугольник APQ правильный.
18.14. Точка M лежит на дуге AB описанной окружности правиль-
ного треугольника ABC. Докажите, что MC = MA + MB.
18.15. Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри
правильного треугольника ABC, для которых MA2 = MB2 + MC2
.
18.16. Шестиугольник ABCDEF правильный, K и M — середины
отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK правильный.
18.17. Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного ше-
стиугольника ABCDEF, P— точка пересечения отрезков AM и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что SABP = SMDNP.
18.18. На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC взяты
точки M и N так, что MN k AC, E — середина отрезка AN, D — центр
треугольника BMN. Найдите величины углов треугольника CDE.
18.19. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Пусть P и Q — сере-
дины отрезков A1B1 и A1C1. Докажите, что треугольник APQ пра-
вильный.
18.20. На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом
построены правильные треугольники ABC0 и AB0C. Точка M делит
сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сто-
рон AC0 и B0C. Докажите, что углы треугольника KLM равны 30◦
,
60◦ и 90◦
.
18.21. Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины об-
ходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на
плоскости так, что
# – AD =
# – DK. Докажите, что треугольник BHD тоже
правильный.
18.22. а) Для данного треугольника ABC, все углы которого мень-
ше 120◦
, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин
минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше 120◦
, взята
точка O, из которой его стороны видны под углом 120◦
. Докажите,
что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a2 + b
2 + c
2
)/2 +
+ 2

3S.
18.23*. Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите,
что из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причём
этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X
лежит на описанной окружности треугольника ABC (Помпею).
18.24*. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R,
причём AB=CD=EF=R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA
образуют правильный треугольник.
18.25*. На сторонах выпуклого центрально симметричного шести-
угольника ABCDEF внешним образом построены правильные тре-
376 Глава 18. Поворот
угольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины
соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
§ 3. Повороты на произвольные углы
18.26. Докажите, что при повороте на угол ❛ с центром в начале
координат точка с координатами (x, y) переходит в точку
(x cos❛ − y sin❛, x sin❛ + y cos❛).
18.27. Даны точки A и B и окружность S. Постройте на окруж-
ности S такие точки C и D, что AC k BD и дуга CD имеет данную
величину ❛.
18.28. Поворот с центром O переводит прямую l1 в прямую l2,
а точку A1, лежащую на прямой l1, — в точку A2. Докажите, что
точка пересечения прямых l1 и l2 лежит на описанной окружности
треугольника A1OA2.
18.29. На плоскости лежат две одинаковые буквы Г. Конец корот-
кой палочки одной буквы обозначим A, а другой — A0
. Длинные па-
лочки разбиты на n равных частей точками A1, . . ., An−1; A0
1
, . . ., A0
n−1
(точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые
AAi и A0A0
i пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки X1, . . ., Xn−1
образуют выпуклый многоугольник.
18.30. По двум прямым, пересекающимся в точке P, равномерно
с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точ-
ка A, по другой — точка B. Через точку P они проходят не одновре-
менно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность
треугольника ABP проходит через некоторую фиксированную точку,
отличную от P.
18.31. Для данного треугольника ABC, один из углов которого
больше 120◦
, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин
минимальна.
18.32. Треугольник A1B1C1 получен из треугольника ABC поворо-
том на угол ❛ (❛<180◦
) вокруг центра его описанной окружности.
Докажите, что точки пересечения сторон AB и A1B1, BC и B1C1,
CA и C1A1 (или их продолжений) являются вершинами треугольника,
подобного треугольнику ABC.
18.33*. Дан треугольник ABC. Постройте прямую, делящую попо-
лам его площадь и периметр.
18.34*. На векторах # – AiBi, где i = 1, . . ., k, построены правильные
одинаково ориентированные n-угольники AiBiCiDi
. . . (n > 4). Докажите,
что k-угольники C1 . . . Ck и D1 . . . Dk правильные одинаково ориентиро-
ванные тогда и только тогда, когда k-угольники A1 . . . Ak и B1 . . . Bk
правильные одинаково ориентированные.
18.35*. Докажите, что три прямые, симметричные произволь-
ной прямой, проходящей через точку пересечения высот треуголь-
Условия задач 377
ника, относительно сторон треугольника, пересекаются в одной
точке.
18.36*. По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает
лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что
сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.
См. также задачи 1.52, 6.69, 6.74, 6.81.
§ 4. Композиции поворотов
18.37. Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме
не кратные 360◦
, является поворотом. В какой точке находится его
центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда
сумма углов поворотов кратна 360◦
.
* * *
18.38. На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника
внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соеди-
няющие центры противоположных квадратов, равны по длине и пер-
пендикулярны.
18.39. На сторонах параллелограмма внешним образом построены
квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
18.40. На сторонах треугольника ABC внешним образом построе-
ны квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах треугольника PQR
внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры
являются серединами сторон треугольника ABC.
18.41. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD построены рав-
нобедренные прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3 и DAO4.
Докажите, что если O1 = O3, то O2 = O4.
* * *
18.42*. а) На сторонах произвольного треугольника внешним обра-
зом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры
образуют правильный треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, постро-
енных внутренним образом.
в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников,
полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треуголь-
ника.
18.43*. На сторонах треугольника ABC построены правильные тре-
угольники A0BC и B0AC внешним образом, C
0AB — внутренним, M —
центр треугольника C
0AB. Докажите, что A0B0M— равнобедренный тре-
угольник, причём ∠A0MB0 = 120◦
.
18.44*. Пусть углы ❛, ❜, ❣ таковы, что 0<❛, ❜, ❣<♣ и ❛+❜+❣=♣.
Докажите, что если композиция поворотов R
2❣
C
◦ R
2❜
B
◦ R
2❛
A является
378 Глава 18. Поворот
тождественным преобразованием, то углы треугольника ABC равны
❛, ❜, ❣.
18.45*. Постройте n-угольник, если известны n точек, являющихся
вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах
этого n-угольника и имеющих при вершинах углы ❛1, . . ., ❛n.
18.46*. На сторонах произвольного треугольника ABC вне его по-
строены равнобедренные треугольники A0BC, AB0C и ABC0
с верши-
нами A0
, B0 и C
0 и углами ❛, ❜ и ❣ при этих вершинах, причём
❛ + ❜ + ❣ = 2♣. Докажите, что углы треугольника A0B0C
0 равны ❛/2,
❜/2, ❣/2.
18.47*. Пусть AKL и AMN— подобные равнобедренные треугольни-
ки с вершиной A и углом ❛ при вершине; GNK и G
0LM — подобные
равнобедренные треугольники с углом ♣ − ❛ при вершине. Докажите,
что G = G
0
. (Треугольники ориентированы одинаково.)
18.48*. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки
P, Q и R соответственно. Докажите, что центры описанных окружно-
стей треугольников APR, BPQ и CQR образуют треугольник, подобный
треугольнику ABC.
Задачи для самостоятельного решения
18.49. На плоскости проведена окружность радиуса 1 с центром O.
Две соседние вершины квадрата лежат на этой окружности. На ка-
ком наибольшем расстоянии от точки O могут лежать две другие его
вершины?
18.50. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD постро-
ены правильные треугольники ABM, CDP во внешнюю сторону,
а BCN, ADK— во внутреннюю. Докажите, что MN = AC.
18.51. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD во внеш-
нюю сторону построены квадраты с центрами M, N, P, Q. Докажите,
что середины диагоналей четырёхугольников ABCD и MNPQ образуют
квадрат.
18.52. Внутри правильного треугольника ABC лежит точка O. Из-
вестно, что ∠AOB = 113◦
, ∠BOC = 123◦
. Найдите углы треугольника,
стороны которого равны отрезкам OA, OB, OC.
18.53. На плоскости проведено n прямых (n > 2), причём никакие
две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной
точке. Известно, что можно повернуть плоскость вокруг некоторой
точки O на некоторый угол ❛ (❛ < 180◦
) так, что каждая из проведён-
ных прямых совместится с какой-нибудь другой проведённой прямой.
Укажите все n, для которых это возможно.
18.54. По кругу расположены 10 шестерёнок различных размеров.
Первая шестерёнка сцеплена со второй, вторая с третьей и т. д. Деся-
тая сцеплена с первой. Всегда ли такая система может вращаться?
Решения задач 379
Может ли вращаться такая же система, состоящая из 11 шесте-
рёнок?
18.55. а) Постройте равносторонний треугольник, высоты которого
пересекаются в данной точке, а две вершины лежат на данной окруж-
ности.
б) Постройте квадрат, две вершины которого лежат на данной
окружности, а диагонали пересекаются в данной точке.

§ 1. Гомотетичные многоугольники
19.1. Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треуголь-
ника. Докажите, что их точки пересечения медиан образуют паралле-
лограмм.
19.2. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пере-
секаются в точке K, а её диагонали— в точке L. Докажите, что точки
K, L, M и N, где M и N — середины оснований BC и AD, лежат на
одной прямой.
19.3. В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от
прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция
равнобедренная.
19.4. Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются
в точке M; P— произвольная точка. Прямая la проходит через точку A
параллельно прямой PA1; прямые lb и lc определяются аналогично.
Докажите, что:
а) прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причём PM : MQ = 1 : 2.
19.5. Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедрен-
ного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним
образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что
середина отрезка PK является центром вписанной окружности тре-
угольника ABC.
19.6*. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством:
если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону,
то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному.
Докажите, что этот многоугольник описанный.
19.7*. Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей
треугольника. Докажите, что R > 2r, причём равенство достигается
лишь для равностороннего треугольника.
19.8*. Пусть M — центр масс n-угольника A1 . . . An; M1, . . ., Mn —
центры масс (n − 1)-угольников, полученных из этого n-угольника
выбрасыванием вершин A1, . . ., An соответственно. Докажите, что мно-
гоугольники A1 . . . An и M1 . . .Mn гомотетичны.
19.9*. Докажите, что любой выпуклый многоугольник Φ содержит
два непересекающихся многоугольника Φ1 и Φ2, подобных Φ с коэф-
фициентом 1/2.
См. также задачи 4.12, 4.56, 5.99, 5.107, 5.126, 5.159 б), 5.165, 8.52.
§ 2. Гомотетичные окружности
19.10. На окружности фиксированы точки A и B, а точка C дви-
жется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пере-
сечения медиан треугольников ABC.
390 Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
19.11*. а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сто-
роны AC в точке D, DM — её диаметр. Прямая BM пересекает сторо-
ну AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD.
Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к ок-
ружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые
MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что
EF = KH.
19.12*. Пусть O— центр вписанной окружности треугольника ABC,
D — точка касания её со стороной AC, B1 — середина стороны AC.
Докажите, что прямая B1O делит отрезок BD пополам.
19.13*. Окружности ❛, ❜ и ❣ имеют одинаковые радиусы и касают-
ся сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окруж-
ность ❞ касается внешним образом всех трёх окружностей ❛, ❜ и ❣.
Докажите, что центр окружности ❞ лежит на прямой, проходящей
через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
19.14*. Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности рав-
ного радиуса r так, что одна из них касается трёх других, а каждая
из этих трёх касается двух сторон треугольника. Найдите r, если ра-
диусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R
соответственно.
19.15*. В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, ка-
сающаяся описанной окружности. Пусть A1, B1 и C1 — точки касания
этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые
AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
См. также задачи 2.28, 5.7, 5.129, 12.81, 17.2, 17.26.
§ 3. Построения и геометрические места точек
19.16. Даны угол ABC и точка M внутри его. Постройте окруж-
ность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку M.
19.17. Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из
которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.
19.18. Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте точки X и Y
на сторонах AB и BC так, что a) AX = XY = YC; б) BX = XY = YC.
19.19. Постройте треугольник ABC по сторонам AB и AC и биссек-
трисе AD.
19.20. Решите задачу 16.18 с помощью гомотетии.
19.21. Постройте на стороне BC данного треугольника ABC такую
точку, что прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опу-
щенных из этой точки на стороны AB и AC, параллельна BC.
* * *
19.22*. Прямоугольный треугольник ABC изменяется таким обра-
зом, что вершина A прямого угла треугольника не изменяет своего
Условия задач 391
положения, а вершины B и C скользят по фиксированным окруж-
ностям S1 и S2, касающимся внешним образом в точке A. Найдите
геометрическое место оснований D высот AD треугольников ABC.
См. также задачи 7.27—7.30, 8.15, 8.16, 8.74.
§ 4. Композиции гомотетий
19.23. Преобразование f обладает следующим свойством: если A0
и B0 — образы точек A и B, то
# – A0B0 = k
# – AB, где k — постоянное число.
Докажите, что:
а) если k = 1, то преобразование f является параллельным перено-
сом;
б) если k 6= 1, то преобразование f является гомотетией.
19.24. Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициен-
тами k1 и k2, где k1k2 6= 1, является гомотетией с коэффициентом
k1k2, причём её центр лежит на прямой, соединяющей центры этих
гомотетий. Исследуйте случай k1k2 = 1.
19.25. Общие внешние касательные к парам окружностей S1 и S2,
S2 и S3, S3 и S1 пересекаются в точках A, B и C соответственно.
Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.
19.26. Трапеции ABCD и APQD имеют общее основание AD, причём
длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной
прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых:
а) AB и CD, AP и DQ, BP и CQ;
б) AB и CD, AQ и DP, BQ и CP.
§ 5. Поворотная гомотетия
19.27. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Прямые
p и q, проходящие через точку A, пересекают окружность S1 в точ-
ках P1 и Q1, а окружность S2 — в точках P2 и Q2. Докажите, что
угол между прямыми P1Q1 и P2Q2 равен углу между окружностями
S1 и S2.
19.28. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. При
поворотной гомотетии с центром A, переводящей S1 в S2, точка M1
окружности S1 переходит в M2. Докажите, что прямая M1M2 прохо-
дит через точку B.
19.29. Окружности S1, . . ., Sn проходят через точку O. Кузнечик
прыгает из точки Xi окружности Si в точку Xi+1 окружности Si+1 так,
что прямая XiXi+1 проходит через точку пересечения окружностей
Si и Si+1, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков
(с окружности S1 на S2, с S2 на S3, ..., с Sn на S1) кузнечик вернётся
в исходную точку.
19.30. Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды
AM и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен
392 Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками
P и Q в равных отношениях. Докажите, что ∠APQ = ∠ANC.
19.31. Даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажи-
те, что существуют ровно две поворотные гомотетии с углом поворо-
та 90◦
, переводящие S1 в S2.
* * *
19.32. Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на
сторонах AB и BC, причём BP = BQ. Пусть H — основание перпен-
дикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что
∠DHQ = 90◦
.
19.33. На сторонах треугольника ABC внешним образом построе-
ны подобные треугольники: 4A1BC ∼ 4B1CA ∼ 4C1AB. Докажите, что
точки пересечения медиан треугольников ABC и A1B1C1 совпадают.
19.34. Середины сторон BC и B1C1 правильных треугольников
ABC и A1B1C1 совпадают (вершины обоих треугольников перечис-
лены по часовой стрелке). Найдите величину угла между прямыми
AA1 и BB1, а также отношение длин отрезков AA1 и BB1.
19.35. Треугольник ABC при поворотной гомотетии переходит в тре-
угольник A1B1C1; O — произвольная точка. Пусть A2 — вершина па-
раллелограмма OAA1A2; точки B2 и C2 определяются аналогично.
Докажите, что 4A2B2C2 ∼ 4ABC.
19.36*. На прямоугольную карту положили карту той же местно-
сти, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой
сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах
одну и ту же точку местности.
19.37*. Поворотные гомотетии P1 и P2 с центрами A1 и A2 имеют
один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов рав-
но 1. Докажите, что композиция P2 ◦ P1 является поворотом, причём
его центр совпадает с центром другого поворота, переводящего A1 в A2
и имеющего угол поворота 2∠(
# – MA1,
# – MN), где M— произвольная точка
и N = P1(M).
19.38*. Треугольники MAB и MCD подобны, но имеют противопо-
ложные ориентации. Пусть O1 — центр поворота на угол 2∠(
# – BA,
# – BM),
переводящего A в C, а O2 — центр поворота на угол 2∠(
# – AB,
# – AM),
переводящего B в D. Докажите, что O1 = O2.
* * *
19.39*. Дана полуокружность с диаметром AB. Для каждой точ-
ки X этой полуокружности на луче XA откладывается точка Y так,
что XY = kXB. Найдите ГМТ Y.
19.40*. На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Впишите
в треугольник ABC треугольник PXY, подобный данному треугольни-
ку LMN.
Условия задач 393
19.41*. Постройте четырёхугольник ABCD по ∠B + ∠D, a = AB,
b = BC, c = CD и d = DA.
См. также задачи 2.89, 5.108 б), 5.145, 18.32.
§ 6. Центр поворотной гомотетии
19.42. а) Пусть P— точка пересечения прямых AB и A1B1. Докажи-
те, что если среди точек A, B, A1, B1 и P нет совпадающих, то общая
точка описанных окружностей треугольников PAA1 и PBB1 является
центром поворотной гомотетии, переводящей точку A в A1, а точку B
в B1, причём такая поворотная гомотетия единственна.
б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей от-
резок AB в отрезок BC, является точка пересечения окружности,
проходящей через точку A и касающейся прямой BC в точке B,
и окружности, проходящей через точку C и касающейся прямой AB
в точке B.
19.43. По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не рав-
ными скоростями движутся точки A и B. Докажите, что существует
такая точка P, что в любой момент времени AP : BP = k, где k— отно-
шение скоростей.
19.44. Постройте центр O поворотной гомотетии с данным коэф-
фициентом k 6= 1, переводящей прямую l1 в прямую l2, а точку A1
лежащую на l1,— в точку A2.
19.45. Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей от-
резок AB в отрезок A1B1, совпадает с центром поворотной гомотетии,
переводящей отрезок AA1 в отрезок BB1.
19.46*. Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треуголь-
ника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих тре-
угольников, имеют общую точку.
19.47*. Параллелограмм ABCD отличен от ромба. Прямые, симмет-
ричные прямым AB и CD относительно диагоналей AC и DB соответ-
ственно, пересекаются в точке Q. Докажите, что Q— центр поворотной
гомотетии, переводящей отрезок AO в отрезок OD, где O — центр
параллелограмма.
19.48*. Даны два правильных пятиугольника с общей вершиной.
Вершины каждого пятиугольника нумеруются цифрами от 1 до 5 по
часовой стрелке, причём в общей вершине ставится 1. Вершины с оди-
наковыми номерами соединены прямыми. Докажите, что полученные
четыре прямые пересекаются в одной точке.
19.49*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1, B1 и C1 так, что 4ABC ∼ 4A1B1C1. Пары отрезков BB1 и CC1,
CC1 и AA1, AA1 и BB1 пересекаются в точках A2, B2 и C2 соответ-
ственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC2,
BCA2, CAB2, A1B1C2, B1C1A2 и C1A1B2 пересекаются в одной точке.
См. также задачу 5.145.
394 Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
§ 7. Композиции поворотных гомотетий
19.50. Пусть H1 и H2 — две поворотные гомотетии. Докажите, что
H1 ◦ H2 = H2 ◦ H1 тогда и только тогда, когда центры этих поворотных
гомотетий совпадают.
19.51. Пусть H1 и H2 — две поворотные гомотетии. Докажите, что
H1 ◦ H2 = H2 ◦ H1 тогда и только тогда, когда H1 ◦ H2(A) = H2 ◦ H1(A)
для некоторой точки A.
19.52. а) На сторонах треугольника ABC построены собственно по-
добные треугольники A1BC, CAB1 и BC1A. Пусть A2, B2 и C2 — со-
ответственные точки этих треугольников. Докажите, что 4A2C2B2 ∼
∼ 4A1BC.
б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных
внешним (внутренним) образом на сторонах треугольника ABC, обра-
зуют правильный треугольник.
§ 8. Окружность подобия трёх фигур
Пусть F1, F2 и F3 — три подобные фигуры, O1 — центр поворотной гомоте-
тии, переводящей F2 в F3, точки O2 и O3 определяются аналогично. Если
точки O1, O2 и O3 не лежат на одной прямой, то треугольник O1O2O3
называют треугольником подобия фигур F1, F2 и F3, а его описанную
окружность называют окружностью подобия этих фигур. В случае, когда
точки O1, O2 и O3 совпадают, окружность подобия вырождается в центр
подобия, а в случае, когда эти точки не совпадают, но лежат на одной
прямой, окружность подобия вырождается в ось подобия. В задачах этого
параграфа предполагается, что окружность подобия рассматриваемых фигур
не вырождена.
19.53*. Прямые A2B2 и A3B3, A3B3 и A1B1, A1B1 и A2B2 пересека-
ются в точках P1, P2, P3 соответственно.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников A1A2P3,
A1A3P2 и A2A3P1 пересекаются в одной точке, лежащей на окруж-
ности подобия отрезков A1B1, A2B2 и A3B3.
б) Пусть O1 — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок
A2B2 в отрезок A3B3; точки O2 и O3 определяются аналогично. До-
кажите, что прямые P1O1, P2O2 и P3O3 пересекаются в одной точке,
лежащей на окружности подобия отрезков A1B1, A2B2 и A3B3.
Точки A1 и A2 называют соответственными точками подобных фигур
F1 и F2, если при поворотной гомотетии, переводящей F1 в F2, точка A1
переходит в A2. Аналогично определяются соответственные прямые и от-
резки.
19.54*. Пусть A1B1, A2B2 и A3B3, а также A1C1, A2C2 и A3C3 — со-
ответственные отрезки подобных фигур F1, F2 и F3. Докажите, что
треугольник, образованный прямыми A1B1, A2B2 и A3B3, подобен
треугольнику, образованному прямыми A1C1, A2C2 и A3C3, причём
Условия задач 395
центр поворотной гомотетии, переводящей один из этих треугольников
в другой, лежит на окружности подобия фигур F1, F2 и F3.
19.55*. Пусть l1, l2 и l3 — соответственные прямые подобных фигур
F1, F2 и F3, пересекающиеся в точке W.
а) Докажите, что точка W лежит на окружности подобия фигур F1,
F2 и F3.
б) Пусть J1, J2 и J3 — точки пересечения прямых l1, l2 и l3
с окружностью подобия, отличные от точки W. Докажите, что эти
точки зависят только от фигур F1, F2 и F3 и не зависят от выбора
прямых l1, l2 и l3.
Точки J1, J2 и J3 называют постоянными точками подобных фигур F1,
F2 и F3, а треугольник J1J2J3 называют постоянным треугольником.
19.56*. Докажите, что постоянный треугольник трёх подобных фи-
гур подобен треугольнику, образованному их соответственными пря-
мыми, причём эти треугольники противоположно ориентированы.
19.57*. Докажите, что постоянные точки трёх подобных фигур яв-
ляются их соответственными точками.
Окружностью подобия треугольника ABC называют окружность подобия
отрезка AB, отрезка BC и отрезка CA (или любых трёх подобных треуголь-
ников, построенных на этих отрезках). Постоянными точками треуголь-
ника называют постоянные точки трёх рассматриваемых фигур.
19.58*. Докажите, что окружностью подобия треугольника ABC яв-
ляется окружность с диаметром KO, где K— точка Лемуана, O— центр
описанной окружности.
19.59*. Пусть O— центр описанной окружности треугольника ABC,
K — точка Лемуана, P и Q — точки Брокара, ❢ — угол Брокара. Дока-
жите, что точки P и Q лежат на окружности с диаметром KO, причём
OP = OQ и ∠POQ = 2❢.
Треугольник с вершинами в постоянных точках треугольника часто назы-
вают треугольником Брокара, а описанную окружность этого треугольника
(т. е. окружность подобия треугольника) — окружностью Брокара. Диа-
метр KO этой окружности называют диаметром Брокара.
19.60*. Докажите, что вершинами треугольника Брокара A1B1C1
являются точки пересечения окружности Брокара с прямыми, про-
ходящими через точку Лемуана параллельно сторонам треугольни-
ка ABC.
19.61*. а) Докажите, что прямые, проходящие через вершины тре-
угольника ABC параллельно сторонам треугольника Брокара A1B1C1
(через A проходит прямая, параллельная B1C1, и т. п.), пересекаются
в одной точке S (точка Штейнера), причём эта точка лежит на
описанной окружности треугольника ABC.
б) Докажите, что прямая Симсона точки Штейнера параллельна
диаметру Брокара.
396 Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
Задачи для самостоятельного решения
19.62. Впишите в данный треугольник ABC треугольник A1B1C1,
стороны которого параллельны сторонам данного треугольника KLM.
19.63. На плоскости даны точки A и E. Постройте ромб ABCD
с заданной высотой, для которого E— середина стороны BC.
19.64. Дан четырёхугольник. Впишите в него ромб, стороны кото-
рого параллельны диагоналям четырёхугольника.
19.65. Даны острый угол AOB и внутри его точка C. Найдите на
стороне OB точку M, равноудалённую от стороны OA и от точки C.
19.66. Дан остроугольный треугольник ABC, O— точка пересечения
его высот, ✇ — окружность с центром O, лежащая внутри этого тре-
угольника. Постройте треугольник A1B1C1, описанный около окруж-
ности ✇ и вписанный в треугольник ABC.
19.67. Даны три прямые a, b, c и три точки A, B, C, расположен-
ные соответственно на прямых a, b, c. Постройте точки X, Y, Z на
прямых a, b, c так, чтобы BY : AX = 2, CZ : AX = 3 и точки X, Y, Z
лежали на одной прямой.

§ 1. Наименьший или наибольший угол
20.1. Докажите, что если длины всех сторон треугольника мень-
ше 1, то его площадь меньше √
3/4.
20.2. Докажите, что круги, построенные на сторонах выпуклого
четырёхугольника как на диаметрах, полностью покрывают этот че-
тырёхугольник.
20.3. В некоторой стране 100 аэродромов, причём все попарные
расстояния между ними различны. С каждого аэродрома поднимается
самолёт и летит на ближайший к нему аэродром. Докажите, что ни
на один аэродром не может прилететь больше пяти самолётов.
20.4. Внутри круга радиуса 1 лежат восемь точек. Докажите, что
расстояние между некоторыми двумя из них меньше 1.
20.5. Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая
точка O лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих
кругов содержит центр некоторого другого.
20.6*. Внутри остроугольного треугольника взята точка P. Докажите,
что наибольшее из расстояний от точки P до вершин этого треугольника
не меньше удвоенного наименьшего из расстояний от P до его сторон.
20.7*. а) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Дока-
жите, что его площадь не превосходит 1/

3.
408 Глава 20. Принцип крайнего
б) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1,
B1 и C1. Докажите, что если длины отрезков AA1, BB1 и CC1 не
превосходят 1, то площадь треугольника ABC не превосходит 1/

3.
См. также задачу 13.26.
§ 2. Наименьшее или наибольшее расстояние
20.8. На плоскости дано n > 3 точек, причём не все они лежат на
одной прямой. Докажите, что существует окружность, проходящая
через три из данных точек и не содержащая внутри ни одной из
оставшихся точек.
20.9. На плоскости расположено несколько точек, все попарные
расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек со-
единяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая
ломаная?
20.10. Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпенди-
куляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника
на его стороны, лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
20.11. Из каждой вершины многоугольника опущены перпендику-
ляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной
вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне,
а не на её продолжении.
20.12*. Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся
три диагонали, из которых можно составить треугольник.
20.13*. Докажите, что многоугольник нельзя покрыть двумя мно-
гоугольниками, гомотетичными ему с коэффициентом k, где 0 < k < 1.
20.14*. На плоскости дано конечное число точек, причём любая
прямая, проходящая через две из данных точек, содержит ещё од-
ну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной
прямой (Сильвестр).
20.15*. На плоскости дано конечное число попарно непараллельных
прямых, причём через точку пересечения любых двух из них проходит
ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят
через одну точку.
20.16*. На плоскости дано n точек и отмечены середины всех отрез-
ков с концами в этих точках. Докажите, что различных отмеченных
точек не менее 2n − 3.
См. также задачи 9.18, 9.20, 9.57, 9.58, 16.11, 17.35, 19.9.
§ 3. Наименьшая или наибольшая площадь
20.17*. На плоскости расположено n точек, причём площадь любого
треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. Докажите,
что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
Условия задач 409
20.18*. Многоугольник M0
гомотетичен многоугольнику M с коэф-
фициентом гомотетии −1/2. Докажите, что существует параллельный
перенос, переводящий многоугольник M0 внутрь многоугольника M.
См. также задачу 9.46.
§ 4. Наибольший треугольник
20.19*. Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четы-
рёхугольника ABCD. Докажите, что если периметры треугольников
ABO, BCO, CDO и DAO равны, то ABCD— ромб.
20.20*. Докажите, что если центр вписанной окружности четырёх-
угольника совпадает с точкой пересечения диагоналей, то четырёх-
угольник— ромб.
20.21*. Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четы-
рёхугольника ABCD. Докажите, что если радиусы вписанных окруж-
ностей треугольников ABO, BCO, CDO и DAO равны, то ABCD— ромб.
§ 5. Выпуклая оболочка и опорные прямые
При решении задач этого параграфа рассматриваются выпуклые оболочки
систем точек и опорные прямые выпуклых многоугольников.
Выпуклой оболочкой конечного набора точек называют наименьший вы-
пуклый многоугольник, содержащий все эти точки (слово «наименьший»
означает, что он не содержится ни в каком другом таком многоугольни-
ке). У любой конечной системы точек существует единственная выпуклая
оболочка (рис. 20.1).
Опорной прямой выпуклого многоугольника называют прямую, проходя-
щую через его вершину и обладающую тем свойством, что многоугольник
лежит по одну сторону от неё. Легко проверить, что для любого выпукло-
го многоугольника существуют ровно две опорные прямые, параллельные
данной прямой (рис. 20.2).
Рис. 20.1 Рис. 20.2
20.22. Решите задачу 20.8, воспользовавшись понятием выпуклой
оболочки.
410 Глава 20. Принцип крайнего
20.23*. На плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых
не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной
окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки
так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведён-
ной через выбранные точки, а n— вне её.
20.24*. Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1
можно поместить в прямоугольник площади 2.
20.25*. На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из
них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней
являются не более трёх данных точек.
20.26*. На столе расположено n картонных и n пластмассовых
квадратов, причём никакие два картонных и никакие два пласт-
массовых квадрата не имеют общих точек, в том числе и точек
границы. Оказалось, что множество вершин картонных квадратов сов-
падает с множеством вершин пластмассовых квадратов. Обязательно
ли каждый картонный квадрат совпадает с некоторым пластмас-
совым?
20.27*. На плоскости дано n > 4 точек, причём никакие три из них
не лежат на одной прямой. Докажите, что если для любых трёх из
них найдётся четвёртая (тоже из данных), с которой они образуют
вершины параллелограмма, то n = 4.
20.28*. На плоскости дано несколько точек, попарные расстояния
между которыми не превосходят 1. Докажите, что эти точки можно
покрыть правильным треугольником со стороной √
3.
См. также задачи 9.58, 9.59.
§ 6. Разные задачи
20.29. На плоскости дано конечное множество многоугольников (не
обязательно выпуклых), каждые два из которых имеют общую точку.
Докажите, что существует прямая, имеющая общие точки со всеми
этими многоугольниками.
20.30. Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, что-
бы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других
отрезков?
20.31. На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной
прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами
в этих точках не является остроугольным.
20.32. На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников,
вершины каждого из которых расположены в точках с координата-
ми (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные
числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих
прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался
в другом.
Решения задач 411
20.33*. На плоскости дано n точек, причём любые три из них
можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек
можно накрыть кругом радиуса 1.
20.34*. Дан выпуклый многоугольник A1 . . . An. Докажите, что опи-
санная окружность некоторого треугольника AiAi+1Ai+2 содержит весь
многоугольник.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar